texto de matemática y lógica

Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote Matemática y Lógica

1Ing. Julio Núñez Cheng

CAPÍTULO I

NÚMEROS REALES



ECUACIONES

Por ejemplo: 3 − 6 = 2(4 − 2 ) − 121.1 Ecuaciones de Primer Grado

El mayor exponente de la incógnita es 1 y pueden ser de una o másvariables.

Por ejemplo:

Una sola variable: 3 + 2 = 6( − 2) + 8Dos variables: + = 10 − = 2

Para resolver ecuaciones de primer o segundo grado, es preciso recordar lasoperaciones básicas del álgebra: Término algebraico, términos semejantes, suma,resta, potenciación, factorización, multiplicación, división de expresionesalgebraicas y las leyes de los signos aplicados en dichas operaciones.

1.2 Término Algebraico

Números y letras que se relacionan entre sí por las operaciones demultiplicación y división.

Por ejemplo:

4 , 4 3 , − 83

Las ecuaciones son igualdades donde aparecen incógnitas (x, y, z) ynúmeros.

Raíz de una ecuación

Valor que satisface la ecuación.



La parte literal está formada por las letras del término.

1.3 Términos Semejantes

Son los términos que tienen la misma parte literal.2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 21−2 − 3 − 4 − 5 − 7 = −214 − 2 + 8 − 6 + 10 − 12 = 2En suma y resta de términos semejantes no se aplica la ley de signos como enmultiplicación y división.

En multiplicación: (+) (+) = + (-) (-) = +

En división:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(3 + 2)(4 − 3) = 12 − − 6(2 − 3) = 4 − 12 + 9(3 − 2) = 27 − 54 + 36 − 8Se puede usar las siguientes reglas:( + ) = 2 + 2 + 2

( − ) = 2 − 2 + 2( + ) = 3 + 3 + 3 + 3( − ) = 3 − 3 + 3 − 3

1.4 Resolución de Ecuaciones de Primer Grado

El procedimiento es:

a. Eliminar los denominadores hallando el mínimo común múltiplo.b. Efectuar las operaciones indicadas.c. Realizar la transposición de términos, las incógnitas al primer miembro de

la ecuación y los números al segundo miembro.



d. Los términos que pasan de un miembro de la ecuación al otro debencambiar de signo en sumas y restas. El coeficiente que está multiplicandopasa a dividir con su mismo signo.

e. Reducir términos semejantes y despejar la incógnita.

Ejemplos:

a) Resolver 5( − 2) + 4 − 8 = 2( + 5) − 3( − 1) + 9Efectuando operaciones:5 − 10 + 4 − 8 = 2 + 10 − 3 + 3 + 9Por transposición de términos a ambos miembros de la ecuación:5 + 4 − 2 + 3 = 10 + 3 + 9 + 10 + 810 = 40

= 4010= 4b) Resolver 10+ 2 − 6− 2 = −4− 2El mínimo común múltiplo es ( + 2)( − 2), que al dividir y multiplicar por cadauno de los términos del denominador se obtiene:10( − 2) − 6( + 2) = −4( + 2)10 − 20 − 6 − 12 = −4 − 8Por transposición de términos:10 − 6 + 4 = −8 + 20 + 128 = 24= 248= 3



c) Resolver 6− 1 + 3+ 1 − 4− 1 = 8+ 1Al factorizar ( − 1) se obtiene ( + 1)( − 1) y por consiguiente el mínimocomún múltiplo es ( + 1)( − 1).Al dividir y multiplicar el mínimo común múltiplo por cada uno de los términos deldenominador se obtiene: 6 + 3( − 1) − 4( + 1) = 8( − 1)6 + 3 − 3 − 4 − 4 = 8 − 86 + 3 − 4 − 8 = −8 + 3 + 49 − 12 = −8 + 7−3 = −1

= −1−3=d) Resolver: −+ − +− = −−Factorizando ( − ) = ( + )( − ) resulta ser el mínimo común múltiplodel denominador y que al realizar las operaciones se obtiene:( − 1)( − 4) − ( + 3)( + 4) = 12 − 2− 5 + 4 − ( + 7 + 12) = 12 − 2− 5 + 4 − − 7 − 12 = 12 − 2Simplificando y reduciendo términos semejantes:−12 − 8 = 12 − 2−12 + 2 = 12 + 8−10 = 20



= 20−10= −21.5 Mínimo Común Múltiplo.

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas, es elproducto indicado de los factores primos, comunes y no comunes con su mayorexponente.

Ejemplos:

a) Hallar el mínimo común múltiplo de las expresiones algebraicas:6 − 3, 4 + 2, 16 + 8Solución: Descomponiendo en sus factores primos cada una de las expresionesalgebraicas: 6 − 3 = 3(2 − 1)4 + 2 = 2(2 + 1)16 + 8 = 8(2 + 1) = 2 (2 + 1)El mínimo común múltiplo es: 2 . 3(2 + 1)(2 − 1) = 24(2 + 1)(2 − 1) y es lamenor expresión algebraica que divide exactamente a cada uno de las expresionesalgebraicas dadas.

a) Hallar el mínimo común múltiplo de las expresiones algebraicas:6 − 12, 16 − 64, − 4 + 4Solución: Descomponiendo en sus factores primos:6 − 12 = 6( − 2) = 2.3 ( − 2)16 − 64 = 16 ( − 4) = 2 ( + 2)( − 2)− 4 + 4 = ( − 2)( − 2) = ( − 2)Por lo tanto el mínimo común múltiplo es:2 . 3( − 2) ( + 2) = 48( − 2) ( + 2)

b) Hallar el mínimo común múltiplo de las expresiones algebraicas:8 − 2, 32 − 32 + 8, 12 + 12 + 3Solución: Descomponiendo en sus factores primos:



8 − 2 = 2(4 − 1) = 2(2 + 1)(2 − 1)32 − 32 + 8 = 8(4 − 4 + 1) = 2 (2 − 1)(2 − 1) = 2 (2 − 1)12 + 12 + 3 = 3(4 + 4 + 1) = 3(2 + 1)(2 + 1) = 3(2 + 1)Por lo tanto el mínimo común múltiplo es:2 . 3(2 + 1) (2 − 1) = 24(2 + 1) (2 − 1)

1.6 Casos de factorización

1.6.1 Diferencia de Cuadrados Perfectos.

Cuando ambos términos tienen raíz cuadrada exacta unida por el signomenos y corresponde a la forma general:( − ) = ( + )( − )Se extrae la raíz cuadrada a ambos términos del binomio, luego se multiplica porla suma y diferencia de dichos factores.

Ejemplos: Factorizar las expresiones algebraicas:) 16 − 9 = (4 + 3)(4 − 3)) 36 − 25 = (6 + 5)(6 − 5)) 81 − 16 = (9 + 4)(9 − 4)1.6.2 Trinomio de la Forma ± ±

Se resuelve por medio del aspa simple.

Ejemplos: Factorizar las expresiones algebraicas:

Revisar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas y losprincipales casos de factorización: Diferencia de cuadrados perfectos,

aspa simple, trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia decubos perfectos para resolver ecuaciones cuyos denominadores son

binomios o trinomios.



) + 5 + 6 = ( + 3)( + 2)+ 3+ 2) 12 + 14 − 10 = (4 − 2)(3 + 5)4 − 23 + 5) 10 − 14 − 12 = (5 + 3)(2 − 4)5 + 32 − 41.6.3 Suma de Cubos Perfectos.

Cuando ambos términos tiene raíz cúbica exacta unida por el signo más ycorresponde a la forma general:+ = ( + )( − + )Ejemplos: Factorizar las expresiones algebraicas:

a) 8 + 27 = (2 + 3)(4 − 6 + 9)) 6 + 8 = (4 + 2)(16 − 8 + 4)1.6.4 Diferencia de Cubos Perfectos.

Cuando ambos términos tienen raíz cúbica exacta unida por el signo menosy corresponde a la forma general:− = ( − )( + + )Ejemplos: Factorizar las expresiones algebraicas:) 27 − 8 = (3 − 2)(9 + 6 + 4)) 125 − 64 = (5 − 4)(25 + 20 + 16)) 8 − 27 = (2 − 3)(4 + 6 + 9)) 125 − 64 = (5 − 4)(25 + 20 + 16)



1.7 Ecuaciones de Segundo Grado

1.7.1 Por Factorización. Se resuelve de preferencia aplicando factorizacióncuando la ecuación se pueda factorizar rápidamente.

Resolver las ecuaciones por factorización:) − 5 + 6 = 0Factorizando la ecuación e igualando cada factor a cero se obtiene:( − 3)( − 2) = 0− 3 = 0 − 2 = 0= 3 = 2) 12 + 14 − 10 = 0Factorizando la ecuación e igualando cada factor a cero se obtiene:(4 − 2)(3 + 5) = 04 − 2 = 0 3 + 5 = 0= 24 = 12 = − 531.7.2 Por la Fórmula General

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado se deducepartiendo de una ecuación cuadrática general:

+ + = 0 > 0Multiplicando la ecuación por 4 :4 + 4 + 4 = 04 + 4 = −4Completando el trinomio cuadrado perfecto aumentado + en ambos miembrosde la ecuación para que no cambie.

+ + = 0Una ecuación de segundo grado con una incógnita corresponde a laforma:

Y el conjunto solución está formado por todas las raíces de laecuación.



4 + 4 + = − 4Factorizando: (2 + ) = − 4Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación.2 + = ± ± 4Despejando , se tiene la fórmula general para resolver una ecuación de segundogrado:

= − ± √ − 42Si una ecuación tiene el coeficiente de b negativo, entonces cambia a positivocuando se reemplaza en la fórmula general. De igual forma si el coeficiente de c esnegativo el signo menos del radicando cambia a positivo, considerando la ley designos.

1.7.3 Discriminante

La expresión ∆ = − 4 se denomina discriminante y toma valores como:

a) Si ∆ ≥ 0 la solución de la ecuación son dos números reales y diferentes.

b) Si ∆ = 0 la solución de la ecuación son dos números reales e iguales.

c) Si ∆ < 0 la solución corresponde a dos números complejos conjugados

1.7.4 Número Complejo

Es todo número que tiene una parte real y una imaginaria, porejemplo 5 + 2 , 7 − 3 donde = √−1 . Asimismo un número imaginario es unnúmero complejo cuya parte real es cero, por ejemplo 2 , 4 .

Como consecuencia de lo anterior la raíz cuadrada de un número real negativo,resulta siempre un número imaginario:

Por ejemplo:

√−8 = (8)(−1) = √8 √−1 = √8√−4 = (4)(−1) = √4 √−1 = 2



Los números complejos permiten resolver una ecuación de segundo grado cuandoel radicando toma valores negativos:

Por ejemplo: Resolver la ecuación:+ + 2 = 0Aplicando la fórmula general = − ± √ − 42Donde al reemplazar los coeficientes = 1, = 1, = 2 se tiene:

= −1 ± (−1) − 4(1)(2)(2)(1)= −1 ± √1 − 82= −1 ± √−72= −1 ± √72

Por lo tanto las soluciones son:= −1 + √72 = −1 − √721.7.5 Ecuación Incompleta

Son aquellas ecuaciones de las siguientes formas y sus soluciones:

) + = 0 = 0 = −) + = 0 = ± −

1.7.6 Resolución de Problemas

A continuación se presenta un conjunto de problemas resueltos, base paracontinuar en la búsqueda de nuevos problemas.

a) La suma de tres números enteros consecutivos es 51. Hallar dichos números.

Solución: Sean , + 1, + 2 los números consecutivos, por el enunciado:



+ + 1 + + 2 = 513 + 3 = 513 = 51 − 33 = 48= 483= 16

Los números son 16, 17 y 18

b) La suma de 2 números es 40 y la diferencia de sus cuadrados es 400. Hallardichos números.

Solución: Si es el primer número, entonces 40 − es el otro número y por elenunciado se tiene: − (40 − ) = 400− (1600 − 80 + ) = 400Simplificando y ordenando − 1600 + 80 − = 40080 = 400 + 160080 = 2000= 25El primero es 25 y el segundo 15.

c) La suma de 2 números es 33 y su producto es 270. Hallar dichos números.

Solución: Si es el primer número, entonces 33 − es el otro número y por elenunciado se tiene: (33 − ) = 270

Efectuando operaciones 33 − = 270− 33 + 270 = 0Resolviendo la ecuación de segundo grado por factorización o por la fórmulageneral:



= 18 = 15d) La suma de 2 números es 28 y la suma de sus cuadrados es 400. Hallar dichos

números.

Solución: Si es el primer número, entonces 28 − es el otro número y por elenunciado: + (28 − ) = 400+ 784 − 56 + = 4002 − 56 + 384 = 0

Dividiendo entre 2 a la ecuación para simplificar:− 28 + 192 = 0Resolviendo la ecuación de segundo grado: = 16 = 12e) La diagonal de un rectángulo es 50 cm y su semiperímetro es 70 cm. Hallar las

dimensiones del rectángulo.

Solución: En el rectángulo de la siguiente figura el largo es y el ancho 70 −

Aplicando el teorema de Pitágoras:(50) = + (70 − )2500 = + 4900 − 140 +2 − 140 + 2400 = 0Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene:= 40 = 30f) La suma de tres términos de una progresión aritmética es 54. Hallar los

términos de la progresión si la distancia es de 6.

50 70 −



Solución: En toda progresión aritmética la diferencia de dos términos sucesivosse denomina diferencia o distancia. El primer término es − , el segundo y eltercer término + . − + + + = 54Simplificando se tiene: + + = 54De donde el valor de es: 3 = 54= 18= 18 Segundo término− = 18 − 6 = 12 Primer término+ = 18 + 6 = 24 Tercer término

g) En un triángulo isósceles los lados iguales miden 20 cm. La altura es 3 cm másque la base. Hallar la base y la altura del triángulo.

Solución: Sea la base cm y la altura + 3 cm y aplicando el teorema dePitágoras:

h) La suma de la tercera y la novena parte de un número equivale al exceso deldicho número sobre 15. Hallar dicho número.

Solución: El número buscado es y por el enunciado:13 + 19 = ( − 15)

+ 32

20 20



El mínimo común múltiplo es 9 y realizando las operaciones se tiene:3 + = 9( − 15)3 + = 9 − 1353 + − 9 = −135−5 = −135= −135−5= 27

i) El largo de un rectángulo excede en 6 cm al ancho, si se aumenta en 5 cm al largoy al ancho entonces el área aumenta en 175 cm2. Hallar las dimensiones delrectángulo.

Solución: Según el enunciado el ancho es y el largo + 6El área inicial del rectángulo es ( + 6) y cuando se incrementan

sus dimensiones en 5 cm su área será ( + 6 + 5)( + 5) = ( + 11)( + 5).El área final menos el área inicial es 175, por lo tanto estableciendo la igualdad:( + 11)( + 5) − ( + 6) = 175+ 16 + 55 − − 6 = 175Simplificando: 10 + 55 = 17510 = 120= 12El ancho es 12 y el largo es 18 cm

j) La diferencia de los cuadrados de dos números es 56 y su producto es 195. Hallarlos números.

Solución: Como el producto de los números es 195, entonces suponemos queuno es y el otro es . Por el enunciado se tiene:− (195) = 56



− 38025 = 56De donde: − 38025 = 56− 56 − 38025 = 0Por ser una ecuación bicuadrada o de cuarto grado su solución será:

= − ± √ − 42= 56 ± (−56) − 4(1)(−38025)2(1)= 56 ± 3136 + 152100)2(1)

= 56 ± √1552362= 56 ± 3942= 56 + 3942= 4502= 225= √225= 15Tomando los valores positivos los números buscados son 15 y 13 que se obtiene dedividir = 13k) Si al triple de la edad de Juan se aumenta el cuadrado de la edad que tenía hace5 años resulta el cuádruplo de la edad que tendrá dentro de 10 años disminuido en3. Hallar la edad actual de Juan.

Solución: La edad actual de Juan: , su edad hace 5 años − 5 y su edad dentrode 10 años + 10. Por el enunciado se tiene:3 + ( − 5) = 4( + 10) − 3



3 + − 10 + 25 = 4 + 40 − 3− 7 + 25 = 4 − 37− 7 − 4 + 25 − 37 = 0− 11 − 12 = 0Resolviendo la ecuación de segundo grado = 12 años la edad actual de Juan elvalor = −1 se descarta pues se interpreta como si Juan aún no nace.

l) En una granja hay 30 animales entre vacas y gallinas, si el total de patas es 84.¿Cuántas vacas y gallinas hay?

Solución: Si es el número de vacas, entonces (30 − ) representa el número degallinas y por el enunciado se tiene:

Número de patas de las vacas: 4Número de patas de las gallinas: 2(30 − )Siendo el total de patas 84: 4 + 2(30 − ) = 844 + 60 − 2 = 842 = 84 − 602 = 24

= 242= 12Por lo tanto el número de vacas es 12 y 18 el número de gallinas.

m) Las edades actuales de Juan y María son de 40 y 10 años respectivamente. ¿Alcabo de cuántos años la edad de Juan será el doble de la edad de María?

Solución: El tiempo que debe transcurrir es años

La edad de Juan al cabo de años es: (40 + )La edad de María al cabo de años es: (10 + )Por el enunciado la edad de Juan debe ser el doble de María:(40 + ) = 2( 10 + )



40 + = 20 + 240 − 20 = 2 −20 =Al cabo de 20 años la edad de Juan será el doble de la edad de María.

AUTOEVALUACIÓN

1. En un cajón hay 720 bolas entre rojas, verdes y azules. Las rojas son el doblede las verdes y azules juntas, las verdes son el cuadrado de las bolas azules.¿Cuántas bolas de cada color hay?Solución: Azules 15, verdes 225, Rojas 480.2. En una granja hay 90 animales entre caballos y patos, si hay un totalde 260 patas ¿Cuántos caballos y patos hay?Solución: 40 caballos y 50 patos.3. Tres números están en progresión geométrica, cuya suma es 117 y su razónes 3 . Hallar dichos números.Solución: 9, 27, 814. La diagonal de un cuadrado es √2 . Hallar la dimensión de su lado.Solución: 15. La suma de dos números es 35 y la suma de sus cuadrados es 625 . Hallardichos números.Solución: 20, 156. Hallar la altura de un triángulo isósceles de 10 cm de lado.Solución: 8,67 cm.7. Un rectángulo tiene 300 de área y un cuadrado 144 . ¿Cuántoscentímetros se debe aumentar al cuadrado para que las áreas sean iguales?Solución: 5,32 cm8. La suma de los cubos de dos números es 152 y la diferencia de sus cubos es98 . Hallar dichos números.Solución: 5 39. Resolver: 2− 3 + 5+ 3 = 32( − 1)Solución: = 1,45 + 1,40 = 1,45 − 1,4010. Resolver: 2+ 4 + 4 − 5+ 2 = 3+ 2Solución: = 2,24 = 0,36



CAPÍTULO II

CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES



CONJUNTOS

2.1 Concepto. Es la colección de personas, cosas, números, letras, colores,

considerados como un todo.

Los objetos que forman al conjunto son nombrados elementos de conjuntos.

Ejemplos:A = {a, e, i, o, u}

B = {matemática, lenguaje, inglés}

C = {x/x es un número real}

2.2 Diagramas de Venn. Representan curvas cerradas que contienen a loselementos de um conjunto

2.3 Determinación de Conjuntos: Los conjuntos pueden determinarse por

extensión y comprensión.

Por Extensión: Cuando se nombra uno a uno sus elementos.

A = {a, e, i, o, u} B = { Física, Química, Cálculo}

Por Comprensión: Cuando se conoce una propiedad que cumplen sus

componentes

C = { / es un número real} D = { / es un alumno de la ULADECH}

F = { / es un río del Perú}

2.4 Clases de Conjuntos.

2.4.1 Conjunto Finito. Cuando tiene un determinado número de elementos.

Ejemplo:

A = { / son los días de la semana}

B = {1, 2, 3, 4 }

2.4.2 Conjunto Infinito. Tiene una cantidad ilimitada de elementos.

A = { / son los números enteros}

2.4.3 Conjuntos Numéricos. Están representados por los naturales, enteros,

racionales, irracionales, reales y los números complejos.

Conjunto de Números Naturales: Es el conjunto representado por N y



se utiliza para contar.

N = { 1, 2, 3, 4 …}

Conjuntos de Números Enteros. Es una extensión de los números

naturales.

Z = { . . .−3, −2, −1, 0, 1 , 2, 3, . . . }

= {1, 2, 3, 4,5. . } = {… − 4, −3, −2, −1} Conjuntos de los Números Racionales. Son la solución de una

ecuación de la forma: + = 0 y se representa con Q

Por ejemplo: = 35 , 27 , 43 , 12 Conjuntos de los Números Irracionales. Se representa por I y está

Conjunto de los Números Irracionales. Se representa por I y está formado

por los números que no son racionales.

I = 1,23, 2,47, √2, √5, e, π Conjunto de los Números Reales: Formado por los conjuntos Q e I y se

representa por R.

Conjunto de los Números Complejos. Tienen la forma C = a + bisiendo a la parte real y bi la imaginaria3 + 2 , 5 + 3 , 8 + 2

Donde = √−12.4.4 Conjunto Universal. Es conjunto que tiene a todos los elementos y se

representa por U.

2.4.5 Conjunto Vacío. Es el conjunto carente de elementos y se representa por

.

2.4.6 Conjunto Unitario. Contiene un solo elemento.



2.5 Operaciones entre Conjuntos.

2.5.1 Diferencia de Conjuntos. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el

conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.

2.5.2 Complemento de un Conjunto. Dados los conjuntos A y B, el

complemento de A respecto de B es la diferencia de B-A.

El complemento de A respecto del universal U, se representa por:A = U − A

2.5.3 Unión de Conjuntos. Son todos los elementos que pertenecen tanto al

conjunto A como al conjunto B. A ∪ B2.5.4 Intersección de Conjuntos. Representan los elementos que son comunes

a A y B. A ∩ B

A B

A- B B-A

U

A A′

A B

A ∩ B



2.5.5 Diferencia Simétrica. Son todos los elementos no comunes de A y B y se

representa por A Δ B. A∆B = (A − B) ∪ (B − A)2.6 Resolución de Problemas con Conjuntos

a. De 60 alumnos 20 practican el vóley, 18 practican fútbol y 15 practicanbásquet; además 8 practican vóley y fútbol, 7 fútbol y básquet, 9 practicanbásquet y vóley y 5 practican los 3 deportes. ¿Cuántos alumnos no practicanningún deporte?

Como 5 practican los tres deportes en el cuadro anterior se ha colocado:3, de la diferencia de 8 que practican vóley y fútbol.2, de la diferencia de 7 que practican fútbol y básquet.4, de la diferencia de 9 que practican vóley y básquet.

Solo vóley será: 20 − (3 + 5 + 4) = 8Solo fútbol será: 18 − (3 + 5 + 2) = 8Solo básquet será: 15 − (4 + 5 + 2) = 4Los que practican un solo deporte será: 8 + 8 + 4 = 20Y los que no practican ningún deporte será:60 − (20 + 4 + 5 + 3 + 2) = 60 − 34 = 26b. En una carrera participaron 18 atletas de los cuales 6 lograron medallas deoro, plata y bronce; 10 de oro y plata, 13 de plata y bronce y 8 de oro y bronce.¿Cuántos atletas lograron al menos dos medallas?

60 V: 20 F: 18

B: 15

42

3

5



6, representa la intersección de atletas que lograron medallas de oro, plata ybronce.¿Cómo sale 4, 7, 2 por diferencia con la intersección 6, pues :10, lograron medallas de oro y plata.13, medallas de plata y bronce.8, medallas de oro y bronce.

¿Cuántos atletas lograron al menos dos medallas

Será la suma de: 4 + 7 + 2 + 6 = 19Se considera la intersección pues no limita a que puedan ser solo a dos medallas.

¿Cuántos conquistaron solo dos medallas?

La respuesta sería: 4 + 7 + 2 = 13 sin considerar la intersección.

c. De 60 excursionistas se supo que 30 durmieron en hotel y 40 en campamento.¿Cuántos durmieron en hotel y campamento?

PlataPlata

18

6

Oro

Bronce

4

72

Plata



La intersección corresponde a los excursionistas que usaron el hotel y elcampamento, designado con .

Del gráfico se desprende: 30 − + + 40 − = 60Al resolver la ecuación se tiene: = 10d. De 29 alumnos 12 nadan, 8 practican karate y nadan, 5 no nadan ni practicankarate. ¿Cuántos practican solo uno de los dos deportes?

Campamento: 40Hotel: 30

30-x x 40-x

60

29Nadan Karate

812 x

No nadan, ni practican karate: 5



La intersección representa a los alumnos que practican los dos deportes. El valorde representa a los que practican solo karate.

Solución: 12 + 8 + + 5 = 29De donde = 4 y los que practican un solo deporte será: 12 + 4 = 16

AUTOEVALUACIÓN

1. De 38 alumnos 17 estudian francés, 19 alemán, 20 ruso. Además 7 francés yalemán, 9 ruso y alemán, 6 francés y ruso, 4 estudian los tres idiomas. ¿Cuántosalumnos estudian un solo idioma?Solución : 24

2. De 48 alumnos 20 fueron a Trujillo, 25 a Lima y 8 a ningún lugar. ¿Cuántosvisitaron Trujillo y Lima?Solución: 53. La preferencia de 45 alumnos es la siguiente: 35 por lenguaje, 13 por matemáticay 5 por las dos asignaturas. ¿Cuántos no prefieren ni matemática ni lenguaje?

Solución: 24. De 37 comensales 20 prefieren pollo, 22 carne y 18 pescado. Asimismo 9 pollo ycarne, 11 carne y pescado, 8 pollo y pescado y 5 los tres. ¿Cuántos prefieren solodos de ellos?Solución: 135. De 50 consumidores de gaseosas, 20 no prefieren coca cola, 25 no prefieren incacola, 5 no prefieren ni coca cola ni inca cola. ¿Cuántos prefieren otras gaseosas?Solución: 106. De 49 atletas 23 obtuvieron medalla de oro, 25 de plata, 27 de bronce. Asimismo9 de oro y plata, 11 de plata y bronce, 10 de oro y bronce. ¿Cuántos obtuvieron latres medallas?Solución: 4



RELACIONES BINARIAS

2.7 Concepto. Es una relación entre los componentes de dos conjuntos A y B.

Las expresiones 12 > 7 y 4 < 8 establecen relaciones entre números.

2.7.1 Par Ordenado. Conjunto de elementos donde cada uno de ellos tiene unlugar fijo.

Cuando los componentes son el par ordenado se simboliza por: ( , )2.7.2 Producto Cartesiano. Son todos los pares ordenados formados por loscomponentes de los conjuntos A y B.

Con los conjuntos: A = {2, 4, 7} y B = {3, 5}El producto cartesiano es:AxB = {(2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5), (7, 3), (7, 5)}La relación binaria es una parte o un subconjunto del producto cartesiano AxB.Por ejemplo: R = {(2, 3), (4, 3), (7, 5)}R = {(2, 5), (4, 3), (7, 3)}2.7.2.1 Dominio de una Relación. Son los primeros componentes de lospares ordenados de una relación.

El dom (R ) = {2, 4, 7}El (R ) = {2, 4, 7}

2.7.2.2 Rango de una Relación. Son los segundos componentes de los paresordenados de una relación.

El ran (R ) = {3, 5}El dom (R ) = {5, 3}

2.8 Sistema de Coordenadas Rectangulares.

Un par ordenado { , } se representa sobre dos rectas perpendiculares,

denominado sistema de coordenadas en el plano.

En el eje horizontal ( abscisas ) se ubican las primeras componentes:

En el eje vertical ( ordenadas ) se ubican las segundas componentes:

En el centro del origen se ubican las coordenadas {0, 0}.



2.8.1 Puntos en el Plano Cartesiano.

El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes:

En el primer cuadrante las abscisas y ordenadas son positivas: A(2, 3). En el segundo cuadrante las abscisas son negativas y las ordenadas

positivas: B(−3, 4). En el tercer cuadrante las abscisas y ordenadas son negativas: C(−1, −3).

En el cuarto cuadrante las abscisas son positivas y las ordenadas negativas:(5, −2).B (- 3, 4)

A (2, 3)

-5 -4 -3 -2 1 2 3 4

D (5, - 2)

C (- 1, - 3)

y

C (0, 5)

B (- 3, 0) A (5, 0)

5 x

D (0, - 3)

Ordenadas y

x Abscisas



Los puntos en el eje , tienen solo el valor de la abscisa: A(5, 0), B(−3, 0).Los puntos en el eje , tienen solo el valor de la ordenada: C(0, 5), D(0, −3).2.9 Distancia entre dos Puntos.

2.9.1 En el Plano Unidimensional. Se determina por el valor absoluto de ladiferencia entre dichos puntos.

A B

- - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 + x 1 x2|AB| = − = 4 − (−5) = 4 + 5 = 9|BA| = − = |−5 − 4| = |−9| = 9

La distancia de A a B es la misma que de B a A .

2.9.2 En el Plano Bidimensional. Se calcula usando el teorema de Pitágoras.

A ( x1 , y1 )C y2

x1x2

B En el ∆ Rectángulo A B C

A B = 2y1y22x1x2

y2 – y1

A Cx2 – x1

y1 x2 – x1

B ( x2, y2 )

y2 – y1

C y2



Hallar la distancia entre los puntos:

A ( 2 5 ) y B ( - 6 - 3 )

x1 y1 x2 y2

AB = (− − ) + (− − ) = √64 + 64 = √1282.10 Pendiente de la Recta. Representa la inclinación entre dos puntos: m

En el triángulo rectángulo ABC se tiene:= =Pero =Entonces la pendiente se calcula:= −−

La pendiente de una recta (m) y la tangente de su ángulo tienen el mismo valor.

Calcular la pendiente de la recta cuyos puntos son: A(2, −5) y B(−6, −3)m = −3 − (−5)−6 − 2 = −8 + 5−8 = −3−8 = 38

Si la pendiente es positiva el ángulo de la recta es menor de 90° y si negativa elángulo de la recta es mayor de 90°.

2.11 Ecuación de la Recta. Conociendo dos puntos se puede determinar Laecuación de una recta en sus tres formas.

Tener presente que las coordenadas de x1 , y1 cambian siempre de signo

y2 – y1

CAx2 – x1

B



2.11.1 Forma Pendiente-Intercepto. Si se conoce las coordenadas de lospuntos se debe seguir el procedimiento con el siguiente ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (−3, 4) y B = (5, 1) Hallar La pendiente de la recta:

m = y − yx − x = 1 − 45 − (−3) = −38 Reemplazar la pendiente en la ecuación:y = mx + by = − 38 x + b El valor de b representa el segmento donde la recta corta al eje y . Se calcula

reemplazando el punto A (−3, 4) en la ecuación anterior, donde −3 es laabscisa y 4 la ordenada. También se puede reemplazar el punto B y elresultado de b es el mismo.4 = (−3)(−3)8 + b4 = 98 + b

De donde b es: b = 4 − 98 = 238 La ecuación de la recta es:

y = − 38 x + 2382.11.2 Forma Simétrica de la Ecuación de la Recta. Toda recta corta a losejes en dos puntos a y b que define a la ecuación simétrica:

a + b = 1Así como b representa el intercepto con el eje " ”, el a representa el intercepto conel eje " ".

En la ecuación anterior: y = − x + cuando = 0 resulta = calculadoanteriormente. Para calcular el valor de a, se hace = 0 en la ecuación:

y = − 38 x + 238



0 = − 38 x + 238De donde se despeja el valor de que es el valor de a (intercepto con el eje ).

= 233Finalmente la ecuación simétrica es:

233 + 238 = 1Graficando los puntos:

2.11.3 Forma General de la Ecuación de la Recta. Se representa por laforma: + + = 0Que se puede deducir de la forma pendiente-intercepto o de la forma simétrica.Tomando la ecuación primera: y = − 38 x + 238Multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por 8 se tiene:8y = −3x + 23Haciendo la transposición de términos queda:

1

-3

4

A

B= 238

= 233 5



3 + 8 − 23 = 02.12. Rectas Paralelas. Dos rectas son paralelas si tienen el mismo ángulo y porconsiguiente la misma pendiente.Por ejemplo las rectas: = + 3 = − 2 son paralelas por tener lamisma pendiente, que se puede comprobar graficando dichas rectas.

2.13. Rectas Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si el producto desus pendientes es igual a -1.

Por ejemplo las rectas: = + 2 = − − 1 pues el producto de sus

pendientes es − = -1

AUTOEVALUACIÓN

1. Hallar la distancia entre los puntos = −4 y = −9.Solución: 52. Hallar la distancia entre los puntos A(5, −3) y B(2, −1).Solución: AB = √133. Hallar la pendiente entre los puntos: A(7, −3) y B(5, −2).Solución: = −4. Hallar la ecuación de la recta en sus tres formas con los puntos: A(2, 5) yB(7, 3).

Solución: = − + + = 1 2 + 5 − 29 = 05. Hallar las tres formas de la ecuación de la recta que pasa por el puntoA(−2, 5) y tiene una pendiente = 3.Solución: = 3 + 11 + = 1 3 − + 11 = 06. Del conjunto de ecuaciones de rectas¿ Cuáles son paralelas y cuáles sonperpendiculares?) = − 1 ) = 5 + 3 ) = 4 + 4 ) = − + 2e) = 4 − 2 ) = 6 − 5Solución: Paralelas: Perpendiculares:

7. Hallar el perímetro de un triángulo cuyos vértices son:(3, 4), (−3, 1) (2, −1)Solución: 17, 2



FUNCIONES

2.14 Concepto. Una función es un caso particular de las relaciones binarias,donde los primeros componentes no se repiten.

2.15 Gráfico de Funciones: Se dan valores a la variable independiente (x) y secalcula los respectivos valores de la variable dependiente (y). Los pares ordenadosse grafican en el plano cartesiano.

2.15.1 Función Identidad.

Graficar: y = x

Dominio y Rango de la Función:

Dominio = < - ∞ +∞ Rango = < - ∞ +∞

2.15.2 Función Lineal.

Graficar: y = 2 x + 3Dominio = < - ∞ +∞ Rango = < - ∞ +∞

x 0 1 2 3 - 1 - 2 - 3 1 1y 0 1 2 3 - 1 - 2 - 3 1 1

Toda función es una relación, pero no toda relación es una función



2.15.3 Función Cuadrática.

Graficar y = x2

Dominio = < - ∞ +∞ Rango = 0 +∞

x - 2 - 1 0 1y - 1 1 3 5

x - 2 - 1 0 1 2y 4 1 0 1 4



2.15.4 Función Raíz Cuadrada.

Graficar: y = x

Dominio = 0 +∞ Rango = 0 +∞

2.15.5 Función Seno: y = sen x

x 4 3 2 1 0y 2 1.7 1.4 1 0

X 0 / 2 3/2 2 y 0 1 0 - 1 0

Radianes



2.15.6 Función Coseno: y = cos x

2.15.7 Función Exponencial. y = e x

X 0 / 2 3/2 2 y 1 0 - 1 0 1

X 0 1 2 3y 1 2,718 7,38 20,07

Radianes

e = 2,718 (base de los logaritmos neperianos)



2.15.8 Función Constante. Es toda recta paralela al eje “x”.

Ejemplos y = 3 y = 5

AUTOEVALUACIÓN

1. Con la ecuación de la recta = 3 − 6 , hallar los valores de los interceptoscon los ejes eje “y” y “x”. Comprobar la solución mediante su gráfico.Solución: b = −6 a = 2.

2. Graficar la función = + − 6 y determinar su dominio y rango.Solución: D( f ) =< −∞, ∞ >= Reales R( f ) = [−3, ∞ >.

3. En la función = 2 − 3 + 1, hallar f (2).Solución: 3

4. En la ecuación = + , hallar los valores de si se conoce quef (2) = −4 f (5) = 2.Solución: = 2 = −8 .

5. Hallar los valores de donde ( ) = 0 en la función = − 7 + 12Solución: = 4 = 3

6. Dada la función ( ) = , hallar la función inversa.

Solución: ( ) = + 2

y

x

y = - 4

y = 3



CAPÍTULO III

LÓGICA PROPOSICIONAL



LÓGICA PROPOSICIONAL

4.1 Concepto de Lógica: Deriva del griego logos que significa palabra y en laépoca actual se interpreta como razonamiento o pensamiento.

4.2 Antecedentes Históricos. La evolución de la lógica está relacionada a laevolución del ser humano pues su historia representa la historia del hombre.

4.2.1 Lógica Antigua. Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló lasilogística.

Precursores:

Aristóteles (384-332 a.c.) Platón (427-347 a.c.) Sócrates (470-399 a.c.) Parménides Zenón

4.2.2 Lógica Moderna. La lógica moderna como ciencia impactó en eldevenir contemporáneo y el nacimiento del sistema computacional se debaal formalismo lógico.

Precursores:

Gottfried Wilhelm Von Leibniz Leonhard Euler René Descartes Isaac Newton George Boole Augustus de Morgan

4.3 Leyes de la Lógica. Son enunciados universales y verdaderos.

El principio de identidad. Una cosa es idéntica a sí misma. El principio de contradicción. Es imposible afirmar y negar que una

cosa es y no es al mismo tiempo. El principio de tercio excluido. Una cosa es o no es, no cabe un término

medio. El principio de razón suficiente. Lo que ocurre tiene una razón

suficiente para ser así y no de otra manera.



4.4. La Oración: Un lenguaje es un conjunto de palabras que forman oraciones yfrases.

Existen cuatro clases de oraciones: Declarativas, interrogativas, imperativasy exclamativas. La lógica solo usa las oraciones declarativas denominadas“proposiciones”.

4.5 Proposición Lógica. Es una oración cuya propiedad es ser verdadera o falsa.

Ejemplos:

Los abogados poseen conocimientos jurídicos. (V) La Tierra gira sobre su propio eje. (V) 8 + 5 > 15 (F) El Sol no es el centro del Sistema planetario Solar. (F) Las obstetrices atienden partos. (V) Los odontólogos realizan endodoncias. (V)

4.5.1 Clases de Proposiciones. Pueden clasificarse en simples ycompuestas.

4.5.1.1 Proposiciones Simples. Tienen un solo sujeto y un solopredicado.

p: Todos los hombres son mortales.q: El Presidente del Perú es el jefe de las fuerzas armadas.r: Los Ingenieros usan la lógica para resolver problemas.Las proposiciones simples se clasifican en:

Proposiciones Simples Predicativas. El predicado concede unacualidad del sujeto:

- Colón fue un navegante.- El sol es una estrella.- El mar contiene sal.

Proposiciones Simples Relacionales. Guaran una relación entredos o más entes.- El río amazona es más caudaloso que el río moche.- Carolina es más joven que Andrea.- Diego y Enzo son hermanos y viven en Francia.

La oración es la mínima expresión para decir algo



4.5.1.2 Proposiciones Compuestas. Están formadas por dos o másproposiciones simples

4.6 Expresiones No Proposicionales. Son proposiciones que no tienen lapropiedad de ser verdaderas o falsas:

¡ Prohibido fumar ¡ ¡ Buenas noches ¡ ¡ Bienvenido amigo ¡ ¡ Holacomo te encuentras ¡

Expresan los sentimientos, directivas, creencias, etc.

4.7 Operaciones con Proposiciones. Se estudian varias operaciones entreproposiciones.

4.7.1 La Negación. Una proposición negativa de otra afirmativa “p” sedenota por “p” y se lee “no p” o “no es cierto que p”.

Su tabla de verdad

4.7.2 La Conjunción. Cuando dos proposiciones simples se unenmediante el conectivo lógico “y”.

Su símbolo es , se escribe “p q” y se lee “p y q”

Su Tabla de verdad:

p q p qV V VV F FF V FF F F

p ~ pV FF V

-Las enfermeras realizan trabajos comunitarios y los odontólogos realizanendodoncias.

-Si el Sol es el centro del Sistema Planetario Solar, entonces la Tierra girasobre su eje.

- Los abogados poseen conocimientos jurídicos si y solo si estudian leyes.- Las obstetrices atienden partos o los farmacéuticos conocen de medicamentos.

La proposición conjuntiva es verdadera únicamente cuando las dosproposiciones p y q son verdaderas



También puede usarse la conjunción por “además”, “no obstante”, “aunque”.

4.7.3 La Disyunción Inclusiva. También la o débil que resulta de unirdos proposiciones con el conectivo “o”, cuyo símbolo es , se escribe “p q”y se lee “p o q”.

Expresa que el cumplimiento de uno de ellos no impide el cumplimiento delotro.Ejemplos:

La tierra es un planeta o el agua tiene nitrógeno. Trece es mayor que ocho o siete es un número primo. Ramón es ingeniero o es médico.

Su tabla de verdad:

4.7.4 La disyunción Exclusiva. La “o” se usa en sentido excluyente, seescribe “p Δ q” y se lee o bien p o bien q pero no ambas.

Ejemplos:-O la Luna es un satélite o Marte es el centro del Sistema Planetario.-O bien siete es un número primo o bien es un número par.-O Lima es la capital de Quito o París está en Francia.

Su Tabla de Verdad:

p q p qV V VV F VF V VF F F

p q p Δ qV V FV F VF V VF F F

Es verdadera si y sólo si por lo menos una de sus componentes esverdadera, siendo falsa solamente cuando las dos son falsas

Es verdadera si y solo si por lo menos una de las dos proposiciones esverdadera y no las dos



4.7.5 La Condicional. Su símbolo “p q”, se lee “si p entonces q”, dondep es el antecedente o condición y q es el consecuente o conclusión.

Ejemplos:

Si Juan se cae al agua, entonces no se moja. Si 12 + 9 = 21 , entonces 9 < 21. Si 5 es un número primo, entonces es divisible por 1.

Su tabla de verdad es:

4.7.6 La Bicondicional. Su símbolo es “p q” y se lee “p si solo si q”El símbolo es llamado también doble implicación.

Ejemplos: Hace sombra en el patio, si y solo si no hay sol. Andrea es estudiosa, si y solo si obtiene notas sobresalientes. Los hombres son mortales, si y solo si son vertebrados.

Su tabla de verdad:

p q p qV V VV F FF V VF F V

p q p qV V VV F FF V FF F V

La condicional es falsa si y solo si el antecedente es verdadero y falso elconsecuente

La bicondicional resulta verdadera, cuando el antecedente (p) yconsecuente (q) tienen los mismos valores de verdad



4.8 Tautología. Es toda proposición simple o compuesta, cuyo valor de verdad essiempre verdadero.

Ejemplo: La tabla se representa: [ ( p q ) q ] p

p q ( p q ) [ ( p q ) q ] ~pV V V F V FV F F F V FF V V F V VF F V V V V

4.9 Contradicción: Es toda proposición que resulta siempre falsa, para todas lascombinaciones de sus valores de verdad.

Ejemplo: Hallar la tabla de verdad: [ ( p q ) q ] q

4.10 Contingencia. Cuando la proposición compuesta contiene al menos unoverdadero o al menos uno falso.

4.11 Combinaciones de Proposiciones. Cuando se tienen dos proposiciones,se pueden obtener cuatro combinaciones posibles (22) y cuando se tienen tresproposiciones, se obtiene ocho combinaciones (23) y así sucesivamente:

Nº PROPOSICIONES COMBINACIONES2 22 = 43 23 = 84 24 = 165 25 = 326 26 = 64

El exponente representa el número de proposiciones y la base los dos valoresde verdad: verdadero y falso.Para el caso de tres proposiciones se tiene:

p q ( p q ) [ ( p q ) q ] qV V V V F FV F F F F VF V F V F FF F F F F V



4.12 Proposiciones Lógicamente Equivalentes. Dos proposiciones p y q sellaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Se representa por:

p q

La tabla de p q es:

La tabla de verdad de la proposición ~ p v q resulta:

Los valores de verdad de ambas proposiciones son idénticas y por eso sonproposiciones lógicamente equivalentes o simplemente equivalentes. Se simboliza

(p q) (~ p q)

Las proposiciones equivalentes, se pueden sustituirse sin afectar sus valores deverdad.

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

p q p qV V VV F FF V VF F V

p q ~ p v qV V VV F FF V VF F V



4.13 Leyes del Álgebra Proposicional. En el cálculo proposicional existentautologías útiles cuya demostración requiere hallar su tabla de verdad.

Doble Negación. ~ (~ p) p

Idempotencia. (p p) p (p v p) p

Conmutatividad.

De la disyunción. (p v q) (q v p)De la conjunción. (p q) (q p)

Asociatividad.

De la disyunción. [(p v q) v r] [p v (q v r)]De la conjunción: [(p q) r] [p (q r)]

Leyes de De Morgan.

La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones.

~ (p v q) (~ p ~ q)

La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones.

~ ( p q ) ( ~ p v ~ q )

Ley del Tercio excluido.

(p v ~ p) V

Ley de Contradicción.

(p ~ p) F

Las equivalencias lógicas sirven para simplificar proposiciones compuestas.

4.14 Implicación: Es toda condicional que resulta siempre tautológica.

Si p q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y se

representa por:

p q



Ejemplo: Hallar la tabla de verdad de: ( p q) (p q)

Como se puede observar su tabla de verdad es una tautología, por lo quepodemos afirmar que:

( p q) Implica a (p q)

Es decir su tabla de verdad es tautológica.

4.15 Inferencias. Conjunto de proposiciones donde a partir de ellas se obtieneuna conclusión válida o inválida.

Ejemplos: Si A es igual a By B es igual a C

Luego, A es igual a C

Todos los hombres son mortalesPedro es un hombre

Pedro es mortal

Si llueve, entonces la tierra se humedece

Si la tierra se humedece, entonces crecen las plantas

Si las plantas crecen, entonces habrá alimentos

Luego, si llueve, entonces habrá alimentos

p q ( p q) (p q)V V F V VV F F V VF V V V VF F F V F

Conclusión: Si P implica a Q su valor de verdad es una tautología



En una inferencia las premisas y la conclusión pueden ser verdaderas o falsas,lo importante es establecer si las premisas guardan relación con la conclusión a finde determinar si es válida o inválida la conclusión. En lógica se establecen dosprocedimientos para establecer la validez de una inferencia.

4.15.1 Validez por Tabla de Valores. La inferencia es válida cuando laconjunción de premisas implica a la conclusión, es decir su tabla de verdad esuna tautología.

Se representar mediante el esquema de una inferencia cuya validez se deseadeterminar:

es la conclusiónSu tabla de verdad de la inferencia será:

Si tiene una premisa: p Si tiene dos premisas: (p p ) c Si tiene tres premisas: {(p p ) p } cEjercicios:a) Determinar la validez de la inferencia por el método de tabla de valores:

Si la tierra gira alrededor del sol entonces es un planeta del sistema solarSi es un planeta del sistema solar entonces la luna es un satélite de la tierraEntonces, si la tierra gira alrededor del sol la luna es un satélite de la tierra

Formalizando la inferencia:p qq rp rAplicando la tabla de valores:[(p ) (q r ] ( p r)



La inferencia es válida por ser una tautología.

b) Determinar la validez de la inferencia por el método de tabla de valores:

p q premisa

~ q premisa

~ p conclusión

Su tabla de verdad: [(p ) ~ q ] ~ pp q p q ~ q ~ pV

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

V

1 3 2 5 4

La inferencia es válida por ser una tautología.

r p q q r p rV V V V V V V VV V F V F F V FV F V F F V V VV F F F F V V FF V V V V V V VF V F V F F V VF F V V V V V VF F F V V V V V

1 3 2 5 4



c) Determinar la validez de la inferencia por el método de tabla de valores:

p q premisa

r premisa

r q conclusión

Su tabla de verdad:

p q r p q ^ r r qV

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

V

La inferencia no es válida, pues la conjunción de premisas no implica a laconclusión (no es una tautología). La conclusión no se deriva de laspremisas.

4.15.2 Validez de Inferencias por el Método Abreviado. Se aplicanseis reglas a la inferencia obviando las tablas de valores.

Reglas:1ra: Suponer que la conclusión es falsa.2da: Suponer que todas las premisas son verdaderas.3ra: Partiendo de la conclusión se determina los valores de verdad de p, q, r.4ta: Los valores de verdad hallados en la conclusión se llevan a la primera,segunda tercera premisa. Se determina los valores de verdad de p, q, r en cadapremisa a fin de que estas sean verdaderas.5ta: Si los valores de verdad de p, q, r toman un solo valor de verdad, lainferencia es inválida.6ta: Si los valores de verdad de p, q, r toman dos valores de verdad a la vez(suficiente uno de ellos) la inferencia es válida.

Por ejemplo:



a) Determinar la validez de la inferencia aplicando el método abreviado:p qq rp

Solución: La inferencia se puede escribir de manera horizontal para sermás objetiva la aplicación de las seis reglas.p q q r p r

1ra: Suponer que la conclusión es falsa: Escribir debajo de la conclusión: Fp q q r p rF

2da: Suponer que todas las premisas son verdaderas: Escribir debajo de laspremisas V p q q r p r

V V F

3ra: Partiendo de la conclusión se determina los valores de verdad de p, q, r.

En este caso p r debe ser falso y por consiguiente el valor deverdad de p = v r= F.La proposición condicional es falsa cuando el antecedente es verdadero y elconsecuente es falso únicamente.

4ta: Los valores de verdad hallados en la conclusión se llevan a la primera,segunda, tercera premisa. Se determina los valores de verdad de p, q, r encada premisa a fin de que estas sean verdaderas según la regla Nº 02.p q q r p r

V V F

P = V q = V q = V r = V p = v r = F

Aplicamos la regla seis:Si los valores de verdad de p, q, r toman dos valores de verdad a la vez



(suficiente uno de ellos) la inferencia es válida. En este ejemplo el valor de rtoma dos valores de verdad: Verdadero y Falso a la vez, por consiguiente lainferencia es válida.Precisar que al aplicar a una inferencia el método de tabla de valores o elmétodo abreviado el resultado es el mismo.

b) Determinar la validez de la inferencia aplicando el método abreviado:p qq rp r

Solución: Escribiendo la inferencia en forma horizontal:p q q r p 1ra: Suponer que la conclusión es falsa: Escribir debajo de la conclusión: Fp q q r p r

F 2da: Suponer que todas las premisas son verdaderas: Escribir debajo de las

premisas V p q q r p rV V F

3ra: Partiendo de la conclusión se determina los valores de verdad de p, q, r.

En p r el valor de verdad de p = v r= F.

4ta: Los valores de verdad hallados en la conclusión se llevan a la primera,segunda, tercera premisa para determinar los valores de verdad de p, q, r encada premisa.p q q r p r

V V F



P = V q = V q = V r = V p = v r = FAplicamos la regla seis:La inferencia es válida pues r toma dos valores de verdad a la vez.

4.16 Implicaciones Lógicas.

a)p Adición

p v qb) p q Modus Ponnespqc) p q Modus Tollendo Tollens~ q~ pd) p v q Silogismo Disyuntivo~ p

qe) p q Silogismo Hipotéticoq rp r

Una inferencia es válida si su formalización corresponde a una de las siguientesformas y no requiere demostración



4.17 Circuitos Lógicos. George Boole desarrolló a mediados del siglo XIX elálgebra de Boole conocida también como álgebra de la lógica y que permitesimplificar deductivamente afirmaciones lógicas.

4.17.1 Bit. Un bit es un dígito del sistema de numeración binario (binary digit) enel que se usan dos dígitos, el 0 y el 1. En nuestro sistema de numeración decimal seusan 10 dígitos.

Podemos suponer un bit como un foco que puede estar en uno de lossiguientes dos estados:

apagado o encendido

Se puede representar dos valores cualesquiera, como verdadero o falso, abierto ocerrado, blanco o negro etc.

4.17.2 Combinaciones de Bits. Para codificar mayor información en undispositivo digital, necesitamos una mayor cantidad de bits. Si usamos dos bits,tendremos cuatro combinaciones posibles, como el caso de dos proposicioneslógicas:

Los unos representan estados encendidos y los ceros estados apagados.

Hay 4 combinaciones posiblescon dos bits

Bit 1 Bit 0

1 1

1 0

0 1

0 0

Hay 4 combinaciones posiblescon dos proposiciones

p q

V V

V F

F V

F F



¿Con tres bits (tres proposiciones) cuantas combinaciones se pueden obtener?2 = 8En general, con n número de bits (n proposiciones) pueden representarse hasta 2valores diferentes.

Se crearán dos nuevas proposiciones representadas por 0 y 1, respectivamente.El cero (0) representa toda proposición que es Falsa y uno (1) como la proposiciónque siempre es Verdadera.La conjunción p q se representará por p q (un producto).La disyunción inclusiva p q se representará por p + q (una suma).La Tabla de Verdad para p q será usando el cero y el uno:

La conjunción

1= Verdadero

0 = Falso

p q = p q

La Disyunción Inclusiva

p q = p + q

4.18 Álgebra de Conmutación. Una aplicación importante del álgebrabooleana es el álgebra de circuitos con dispositivos de dos estados: El ejemplo mássimple es un conmutador que cumple una función de estar cerrado o abierto.

Los interruptores de corriente cumplen una función de cerradura:

Cerrados Dejan pasar la Corriente EléctricaAbiertos No dejan pasar la Corriente Eléctrica

p q p q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

p q p + q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0



p q r

Los interruptores pueden representarse mediante letras; p, q, r, s, t.

Si un interruptor está cerrado: pSi está abierto: p´p: Cerrado p: Abierto1: Cerrado 0: Abierto

4.18.1 Circuitos en Serie. Dos o más interruptores están en serie, cuando seencuentran uno a continuación de otro y la corriente que pasa al primero de ellosserá la misma que la que atraviesa el último.

Si uno o dos interruptores están abiertos entonces no pasa corriente y el focono prende.

Es decir en un circuito en serie todos los interruptores deben estar cerrados paraque pase corriente.

Con tres interruptores en serie: Pasa corriente, si los tres interruptores estáncerrados.

FOCO

BATERIA

En un Circuito en Serie, basta que un interruptor (Conmutador)este abierto para que no pase corriente.



4.18.2 Circuitos en Paralelo. Cada receptor conectado a la fuente de energíaestá independiente del resto.

Solo cuando los interruptores están abiertos no pasa corriente.

p q r p q r

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

BATERIA

FOCO

p

q

r

En un Circuito en paralelo, basta que un interruptor este cerrado para que pasecorriente



La disyunción Inclusiva Circuito en Paralelo

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Con tres interruptores en Paralelo

p q r p + q + r

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

4.18.3 Funciones y Circuitos. En la figura se representa un circuito deinterruptores en serie y otro en paralelo, con su respectiva función (F).

Circuito en Serie Circuito en Paralelo

F = x y F = x + y

¿Cuál es la función que representa al circuito de la siguiente figura?

p q p + q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

X YY

Y

X W

Z

X



Observar que X, W están en serie y estos a su vez con Z en Paralelo: surepresentación será: X W + ZFinalmente el interruptor “Y” está en serie con X W, Z por lo tanto la función querepresenta al circuito será: F = Y (X W + Z).

Establecer la función del circuito de la figura siguiente:

Comprobar su respuesta: F = Z (X W + Z) + X Y W

Un circuito que realice la función Booleana: F = X Y Z´ + X´ (Y + Z´) se presenta acontinuación.

Hallar la función booleana que representa el circuito en la figura:

Z

X W

Z

X Y W

X

X´

Y Z´

Y

Z´

Z

X

Y´ U V

Y Z´

Y´ U

X

Recordar que todo producto representa conmutadores en serie y la sumaconmutadores en paralelo



Respuesta: F = ( X + Y´ + Z ) U V ( Y Z´ + X + Y´ U )

4.18.4 Puertas o Compuertas Lógicas. Es la expresión física de un operadorbooleano en la lógica de conmutación.

4.18.4.1 Puerta Y (and). Es la función Booleana del producto.

Su ecuación es: F = p qSu tabla de verdad es igual a la conjunción de proposiciones donde se hacambiado V= 1 y F= 0:

Tabla de verdad de la puerta YEntrada p Entrada q Salida p q

1 1 11 0 00 1 00 0 0

4.18.4.2 Puerta O (or). Es la función Booleana de la suma.

Su ecuación es: F = p + qSu tabla de verdad es igual a la disyunción inclusiva.

Tabla de verdad de la puerta OEntrada p Entrada q Salida p + q

1 1 11 0 10 1 10 0 0

p

q

p q

p

q

p + q



4.18.4.3 Puerta No (not). Niega a una variable lógica.

Su ecuación: F = pTabla de verdad de la puerta NO

Entrada de p Salida de p1 00 1

AUTOEVALUACIÓN

1. Comprobar que la tabla de verdad de la proposición compuesta es unatautología.

[(p q) ^ (q r) ] (p )2. Usar las tablas de verdad y demostrar la validez o invalidez de la siguiente

inferencia. Verificar la respuesta aplicando el método abreviado.

p ~ qq v ~ rp r

3. Determinar la validez de la siguiente inferencia:

Si me gusta el inglés, entonces estudiaré. Estudio o desapruebo el curso; enconsecuencia, si desapruebo el curso, entonces no me gusta el inglés.Respuesta: Inferencia no válida.

4. En las siguientes proposiciones compuestas determinar su valor de verdadresultante:

p p



a) Todos los hombres son mortales y los peces son acuáticos.b) Sócrates fue un filósofo griego y Pelé un jugador de fútbol.c) El sol es el centro del sistema planetario solar y la luna no es un satélite de la

tierra.Solución: a) Verdadera b) Verdadera c) Falsa

5) De los enunciados son proposiciones:

a) 8 es par b) x es impar

b) 3 + 5 > 6 d) ¡ Arriba Perú!

Solución: a y c



BIBLIOGRAFÍA

1. Figueroa R, Matemática Básica. 3ª ed. Lima-Perú. editorial Gráficas AméricaS.R.L.,20042. Venero A, Matemática Básica. 4ª ed. editorial Lima-Perú. Graf. Top E.I.R.L,2004.3. Lázaro M, Matemática Básica. 3ª ed. Lima-Perú. editorial Moshera S.R., 2007.4. Mena D, Matemática. 1ra ed. Lima Perú. ediciones Jurídicas, 2008.5. Miró R, Números Combinatorios y Probabilidades. 1ra. ed. Argentina. editorialUniversitaria de Buenos Aires, 2009.

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