teoria da relatividade restrita: contrac˘c~ao do espa˘co · pdf filefaculdade de ci^encias...

Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto

Departamento de Fısica

Seminario de Fısica

Teoria da Relatividade Restrita:

Contraccao do Espaco

Trabalho Realizado por:

Sofia Isabel da Costa Gomes Brandao

Com a orientacao de:

Professor Doutor Miguel Sousa da Costa

Porto, 7 de Maio de 2008

Agradecimentos

Queria agradecer a minha famılia e a todos os meus amigos que, durante este estagio,

me apoiaram e me ajudaram a manter motivada em todos os momentos.

Um agradecimento muito especial ao Jose Carlos pelo seu apoio total e incondicional

e por toda a paciencia e tempo dispendidos.

Queria tambem agradecer a minha orientadora, Mestre Teresa Costa, pela partilha de

ideias e experiencias e pela completa disponibilidade e apoio.

Por ultimo, queria agradecer ao meu orientador, Professor Doutor Miguel Costa.

Obrigado pela orientacao, disponibilidade, conselhos e opinioes que me ajudaram a

evoluir, como professora e como pessoa, ao longo deste ano lectivo.

2

3

Conteudo

1 Introducao 4

2 Contextualizacao Historica 5

3 Teoria da Relatividade Restrita 7

3.1 Transformacoes de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Relatividade Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 Relatividade Newtoniana e Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Experiencia de Michelson-Morley: tentativa de localizar o referencial

absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Teorias de emissao: tentativa de modificar o Electromagnetismo . . . . 12

3.6 Postulados da Teoria da Relatividade Restrita . . . . . . . . . . . . . . 13

3.7 Transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.8 Observador em Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.9 Composicao das Velocidades em Relatividade . . . . . . . . . . . . . . 17

3.10 Diagramas de espaco-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.11 Consequencias das Transformacoes de Lorentz: O caso particular da

contraccao do espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Propostas pedagogicas 22

4.1 A contraccao do espaco evidenciada por um feixe de luz . . . . . . . . . 22

4.2 A contraccao do espaco evidenciada pelos muoes de origem cosmica . . 24

4.3 O paradoxo da vara e do celeiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Bibliografia 28

CAPITULO 1. INTRODUCAO 4

1. Introducao

Em finais do seculo XIX, prevalecia o pensamento, entre os cientistas da epoca, de

que se estava a atingir um conhecimento completo do Universo. Era instituıdo que

o espaco estava preenchido por um meio contınuo, denominado ”eter”. Neste meio,

tanto os raios luminosos como as ondas radio eram propagados de forma analoga ao

que ocorre quando o som se propaga atraves do ar como uma onda de pressao. De

acordo com esta teoria, esperar-se-ia que a luz viajasse a uma velocidade constante

atraves do ”eter”, de forma que um observador que viajasse neste meio na mesma

direccao e sentido que a luz, deveria ver a luz a mover-se mais lentamente ao passo

que um observador que viajasse no sentido contrario deveria observar a luz a mover-se

mais rapidamente. No entanto, este resultado nao foi observado em varias experiencias,

como a realizada por Albert Michelson e Edward Morley em 1887, onde verificaram que

a luz viajava sempre a mesma velocidade em relacao ao observador, independentemente

da velocidade e direccao do movimento deste. Com base nesta experiencia, George

FitzGerald e Hendrik Lorentz propuseram que os corpos se contrairiam e que os relogios

se atrasariam ao moverem-se atraves do ”eter”, de tal forma que todos os observadores

mediriam a mesma velocidade da luz, considerando ainda que o ”eter”seria uma

substancia real.

Em Junho de 1905, Albert Einstein fez notar que, uma vez que e impossıvel detectar

se estamos ou nao em movimento atraves do espaco, o ”eter”nao necessita de ser

considerado. Assim, Einstein declarou o valor da velocidade da luz como sendo uma

constante, independente do observador e de todos os seus movimentos. Nesta teoria,

o tempo deixa de ser considerado uma grandeza universal e absoluta. Em vez disso,

cada corpo tem o seu tempo proprio, sendo este tempo diferente do tempo individual

de outros corpos que estejam em movimento relativamente ao seu referencial.

O postulado de Einstein de que as leis da natureza deveriam ser as mesmas para

todos os observadores em movimento livre, onde apenas os movimentos relativos sao

considerados, constituiu a base da Teoria da Relatividade Restrita.

CAPITULO 2. CONTEXTUALIZACAO HISTORICA 5

2. Contextualizacao Historica

Frequentemente, diz-se que Isaac Newton foi o precursor da Fısica Moderna. No seculo

XVII, Newton formulou tres leis que explicam como os objectos se movem e estabeleceu

a Lei da Gravidade que explica como os objectos se atraem, a distancia, mutuamente.

Newton estabeleceu tambem um princıpio da relatividade, mais de duzentos anos

antes de Einstein estabelecer a sua Teoria da Relatividade Restrita, baseando-se este

no trabalho de outros grandes cientistas, nomeadamente Galileu Galilei e Johannes

Kepler. Galileu depreendeu que, na ausencia de uma forca, um corpo apresentaria

movimento rectilıneo e uniforme. Esta ideia substituiu a crenca que imperava desde

os antigos gregos de que o estado natural de qualquer corpo e o de repouso, a menos

que uma forca o coloque em movimento. Kepler descobriu, usando observacoes metic-

ulosamente compiladas por Tycho Brahe, que as orbitas planetarias sao elipses com

o Sol num dos focos. Descobriu tambem que a velocidade orbital planetaria varia de

forma regular e relacionou o perıodo de translacao de cada planeta com a sua distancia

media ao Sol. Utilizando as conclusoes inferidas por Galileu e Kepler, Newton mostrou

que o movimento planetario podia ser explicado, se considerassemos que os planetas

possuıam uma tendencia natural para se movimentarem rectilınea e uniformemente

e que em qualquer instante eles eram atraıdos pelo Sol, por uma forca inversamente

proporcional ao quadrado da distancia entre o Sol e o planeta. Newton mostrou que

esta forca - a forca da gravidade - podia explicar nao so o movimento planetario

mas tambem a queda de um corpo, considerando-a uma lei universal que se aplicaria a

tudo. Newton conjecturou que deveriam existir tambem padroes universais de espaco e

tempo. Considerou que qualquer acontecimento decorria contra um cenario de ”espaco

absoluto”que era igual em qualquer parte e que estava em repouso. Esta e a base da

relatividade newtoniana, o conceito de padroes absolutos de espaco e tempo em relacao

aos quais tudo o resto poderia ser comparado.

Na epoca de Newton a luz era considerada um fluxo de pequenas partıculas que

irradiavam de uma fonte de luz e chocavam contra os objectos de modo a ilumina-

los. Christiaan Huygens, contemporaneo de Newton defendeu que a luz podia ser

considerada uma onda, que se espalhava a partir de uma fonte de luz. Contudo o

proprio Newton explicou as propriedades da luz tendo por base o comportamento

corpuscular. Durante todo o seculo XVIII foi esta a teoria que prevaleceu. Porem no

inıcio do seculo XIX, Thomas Young e Augustin Fresnel, realizaram um conjunto de

experiencias que comprovavam o caracter ondulatorio da luz. Independentemente da

sua constituicao, a grandeza do valor da velocidade da luz era conhecida mesmo na

epoca de Newton. As medicoes foram realizadas por Ole RØmer e derivaram de outra

descoberta de Galileu - a existencia de luas de Jupiter. Na decada de 1820 os fısicos

sabiam que a luz se comportava como uma onda que se movia a 300 000 quilometros

CAPITULO 2. CONTEXTUALIZACAO HISTORICA 6

por segundo. Contudo algumas questoes continuavam sem resposta. O que e que

realmente estava a ondular? Qual o meio de propagacao da onda?

Antes do seculo XIX os fısicos tinham ficado intrigados com as similaridades existentes

entre os fenomenos da electricidade e do Electromagnetismo. Contudo so em 1820 e

que Hans Christin Ørsted descobriu a primeira conexao entre electricidade e mag-

netismo. Descobriu que quando uma corrente electrica se desloca atraves de um fio

metalico, existe um campo magnetico a envolve-lo. Isto perturba um ıman colocado

nas proximidades do fio. Em 1831, Michael Faraday descobriu o efeito oposto: um ıman

que se desloca ao longo de um fio metalico cria um campo electrico e as cargas no fio

(conhecidas hoje como electroes) deslocam-se em resposta a esse campo magnetico. Na

decada de 1860, James Maxwell baseou-se nestas descobertas para construir uma teoria

matematica que explicavam a electricidade e o magnetismo simultaneamente. Surge

o Electromagnetismo. Este foi o primeiro exemplo, na Fısica, da unificacao de duas

forcas da Natureza numa unica teoria matematica. As equacoes de Maxwell descreviam

a electricidade e o magnetismo do mesmo modo, sendo que, do ponto de vista das duas

forcas, as equacoes sao simetricas. Maxwell concluiu que um campo electrico variavel

podia dar origem a um campo magnetico variavel o qual, por sua vez, originava um

campo electrico variavel e assim sucessivamente. Assim que o campo electromagnetico

variavel fosse criado, iria propagar-se como uma onda electromagnetica. A solucao das

equacoes de Maxwell incluıa uma constante que era a velocidade a que estas ondas

electromagneticas teriam de propagar-se. Maxwell calculou o valor dessa constante

que se revelou ser a velocidade da luz. Nao restavam duvidas de que a luz era uma

forma de onda electromagnetica. Ao unificar a electricidade e o magnetismo, Maxwell

tinha explicado a natureza da luz.

Como referido anteriormente, na segunda metade do seculo XIX os fısicos defendiam

que o universo estava preenchido por uma misteriosa substancia denominada ”eter”,

no qual as ondas electromagneticas se propagavam. O ”eter”era visto como um quadro

de referencia contra o qual o movimento podia ser medido, algo semelhante ao espaco

absoluto de Newton. Assim, a velocidade da luz resultante das equacoes de Maxwell,

seria a velocidade da luz atraves do ”eter”. Neste sentido, dado que a Terra descreve

uma orbita fechada em torno do Sol, teria de viajar atraves do ”eter”com diferentes

velocidades, em diferentes pontos da sua trajectoria. Nos finais do seculo XIX foi

possıvel executar experiencias suficientemente sofisticadas que permitiriam medir estas

diferencas produzidas pelo movimento orbital da Terra. Contudo nenhuma destas

experiencias mostrou qualquer variacao da velocidade da luz. No final do seculo XIX

a Fısica baseava-se em duas grandes teorias. A primeira, a Mecanica newtoniana,

que descrevia o modo como os corpos interagem e que se baseava no pressuposto que

de existia um espaco absoluto. A segunda, o Electromagnetismo de Maxwell, que

explicava a natureza da luz mas que conduzira a experiencias que nao corroboravam

o espaco absoluto de Newton.

CAPITULO 3. TEORIA DA RELATIVIDADE RESTRITA 7

3. Teoria da Relatividade Restrita

Em 1905, Albert Einstein publicou a Teoria da Relatividade Restrita. Com o objectivo

de aprofundar o Electromagnetismo, Einstein, generalizou tambem a Mecanica new-

toniana com a sua teoria. Esta originou uma visao completamente nova da natureza

do espaco e do tempo.

3.1 Transformacoes de Galileu

Um acontecimento (ou evento) e uma ocorrencia que sucede independentemente do ref-

erencial, que possamos utilizar para o descrever. Este acontecimento da-se num ponto

do espaco e num instante do tempo. Poderemos assim descrever este acontecimento

utilizando quatro coordenadas: x, y e z que indicam a posicao e t que indica o tempo.

Para o mesmo acontecimento as quatro coordenadas referidas podem ser diferentes em

diferentes referenciais. Por este motivo e importante referir qual o referencial que se

utiliza para descrever um evento.

Um referencial inercial e um sistema de referencia onde a Primeira Lei de Newton

(todos os corpos em repouso ou em movimento rectilıneo uniforme continuam nesse

estado a nao ser que neles actue uma forca) e valida. Newton supos que um referencial

fixo em relacao as estrelas e um referencial inercial e concluiu que os referenciais

acelerados em relacao a esse referencial fixo nao sao inerciais. Na pratica podemos

desprezar os efeitos da aceleracao devida a rotacao e translacao da Terra, considerando

qualquer conjunto de eixos fixos na Terra como sendo um referencial inercial. Assim,

qualquer conjunto de eixos em movimento com velocidade uniforme em relacao a Terra

pode ser considerado um referencial inercial.

Consideremos um referencial inercial O e um referencial inercial O′ que se move com

uma velocidade constante v em relacao a O. Consideremos que os tres eixos sao

paralelos entre si e que o movimento relativo se realiza ao longo do eixo comum x−x′.Consideremos agora um acontecimento A, cujas coordenadas de tempo e de espaco sao

medidas em ambos os referenciais. Um observador no referencial inercial O descreve

o acontecimento A pelas coordenadas do espaco-tempo (x, y, z, t) ao passo que um

observador no referencial O′ descreve o mesmo acontecimento A pelas coordenadas

(x′, y′, z′, t′). Para realizar as suas medicoes, os observadores inerciais utilizaram instru-

mentos calibrados e sincronizados entre si. Segundo a Fısica Classica os comprimentos

e os intervalos de tempo sao absolutos, ou seja, para um mesmo acontecimento estes

valores sao os mesmos para todos os observadores inerciais. Consideremos tambem

que os relogios dos dois observadores marcam zero no instante em que as origens dos

dois referencias O e O′ coincidem. Podemos relacionar agora as coordenadas (x, y, z, t)


e (x′, y′, z′, t′) atraves das transformacoes de Galileu:

x′ = x− vty′ = y

z′ = z

t′ = t

(3.1)

Se considerarmos um segundo acontecimento B, podemos concluir prontamente, a

partir das transformacoes de Galileu, que o intervalo de tempo entre os dois aconteci-

mentos A e B e o mesmo para cada observador:

t′B − t′A = tB − tA (3.2)

e a distancia (ou intervalo de espaco) entre os dois pontos (P e Q) medida num dado

instante e a mesma para cada observador:

x′P = xP − vtPx′Q = xQ − vtQ

x′Q − x′P = xQ − xP − v(tQ − tP )

(3.3)

Como os pontos P e Q sao medidos no mesmo instante, tQ = tP , podemos concluir

que:

x′Q − x′P = xQ − xP (3.4)

3.2 Relatividade Newtoniana

A posicao de uma partıcula em movimento e uma funcao do tempo, pelo que e possıvel

exprimir a velocidade e a aceleracao da partıcula em termos das respectivas derivadas.

Para tal temos apenas de derivar em ordem ao tempo as transformacoes de Galileu.

As transformacoes da velocidade sao obtidas a partir da equacao:

x′ = x− vt (3.5)

Derivando em ordem a t, temos que:

dx′

dt=dx

dt− v (3.6)

Mas, dado que t = t′, a derivacao em ordem a t e igual a derivacao em ordem a t′,

pelo que:dx′

dt=dx′

dt′(3.7)

Logo:dx′

dt′=dx

dt− v (3.8)


Para as restantes equacoes, obtemos:

dy′

dt′=dy

dte

dz′

dt′=dz

dt(3.9)

No entantodx′

dt′= u′x , sendo u′x a componente x da velocidade medida no referencial

inercial O′ edx

dt= ux , onde ux e a componente x da velocidade medida no referencial

inercial O. Obtemos assim o resultado classico para a adicao da velocidade:

u′x = ux − vu′y = uy

u′z = uz

(3.10)

No caso geral em que v, a velocidade relativa dos referenciais, tem componentes ao

longo dos tres eixos coordenados, obtemos o resultado:

~u′ = ~u− ~v (3.11)

As transformacoes da aceleracao sao obtidas derivando as relacoes da velocidade em

ordem ao tempo:

d

dt′(u′x) =

d

dt(ux − v) ou

du′xdt′

=dux

dt(3.12)

sendo v constante. Analogamente, obtemos:

du′ydt′

=duy

dte

du′zdt′

=duz

dt(3.13)

Pelo que, a′x = ax, a′y = ay e a′z = az . Logo ~a′ = ~a.

Podemos assim concluir que a aceleracao de uma partıcula e a mesma em todos os

referencias inerciais que se movem um em relacao ao outro, com velocidade constante.

Na Fısica Classica, a massa tambem nao e afectada pelo movimento do referencial

inercial pelo que o produto m~a sera o mesmo em todos os referenciais inerciais. Dado

que a forca e definida como ~F = m~a , tambem o valor de cada forca sera o mesmo,

independentemente do referencial onde e medido, pelo que ~F = ~F ′. As Leis de Newton

do movimento sao assim exactamente as mesmas em todos os referenciais inerciais.

Daqui resulta que e impossıvel realizar uma experiencia num dado referencial inercial

que nos permita dizer qual o movimento desse referencial em relacao a qualquer outro

referencial. Podemos dizer qual a velocidade relativa de dois referenciais comparando

medidas realizadas nos dois referenciais mas nao podemos deduzir a velocidade relativa

a partir de observacoes realizadas num so referencial. Nao existe assim nenhum meio

que nos permita determinar a velocidade absoluta de um referencial atraves das Leis

da Mecanica ate porque estas sao iguais para todos os referenciais inerciais nao sendo


possıvel escolher um como preferido em relacao aos restantes. Podemos dizer que nao

e possıvel definir fisicamente um referencial absoluto em repouso. Esta conclusao de

que so podemos falar de velocidade relativa de um referencial em relacao a outro e nao

de velocidade absoluta de um referencial e, por vezes, denominada de Relatividade

Newtoniana.

De um modo geral as transformacoes alteram algumas quantidades mas deixam outras

inalteradas. A estas ultimas da-se o nome de invariantes da transformacao. No caso

presente das transformacoes de Galileu a aceleracao e invariante. E como consequencia

deste facto tambem o sao as Leis de Newton do movimento.

3.3 Relatividade Newtoniana e Electromagnetismo

Se para alem das Leis da Mecanica, todas as outras leis da Fısica permanecerem

invariaveis ao aplicar as transformacoes de Galileu, o Princıpio da Relatividade de

Newton seria valido nao so para a Mecanica, mas para toda a Fısica, incluindo o

Electromagnetismo.

Consideremos um feixe de luz que se movimenta em relacao ao meio atraves do qual se

propaga com uma velocidade c, segundo as Leis de Maxwell. Como vimos, durante o

seculo XIX os fısicos defendiam que a luz se propagava atraves do ”eter”. Consideremos

ainda que o referencial do ”eter”, O, e um referencial inercial no qual o observador mede

a velocidade da luz como sendo exactamente c. Se considerarmos agora um segundo

referencial inercial, O′, que se movimenta com velocidade v constante em relacao ao

referencial O, o observador deste referencial mediria diferentes velocidades do feixe de

luz desde c+v ate c−v, dependendo do sentido do movimento relativo. Daqui podemos

concluir que a velocidade da luz nao e uma invariante perante as transformacoes de

Galileu. Se estas transformacoes sao aplicaveis tambem ao Electromagnetismo, entao

existe um referencial inercial absoluto - o referencial do ”eter- no qual as equacoes

de Maxwell sao validas e no qual a luz se propaga exactamente com velocidade c, o

que contraria o Princıpio da Relatividade. Estamos perante ideias contraditorias que

exigem que seja feita uma escolha de entre as seguintes possibilidades:

1. existe um Princıpio da Relatividade para a Mecanica, mas nao existe para o

Electromagnetismo; no Electromagnetismo existe um referencial inercial prefer-

encial - o referencial do ”eter”. Se isto for verdade, as transformacoes de Galileu

sao aplicaveis e poderemos comprovar experimentalmente a existencia do ”eter”.

2. existe um Princıpio da Relatividade quer para a Mecanica quer para o Electro-

magnetismo, mas as Leis de Maxwell do Electromagnetismo nao estao correc-

tas. Se isto for verdade, as transformacoes de Galileu sao aplicaveis e podere-

mos comprovar experimentalmente a existencia de desvios nas Leis de Maxwell,

reformulando-as.


3. existe um Princıpio da Relatividade quer para a Mecanica quer para o Electro-

magnetismo, mas as Leis de Newton da Mecanica nao estao correctas. Se isto

for verdade poderemos comprovar experimentalmente a existencia de desvios nas

Leis de Newton, reformulando-as. Neste caso as transformacoes de Galileu nao

sao aplicaveis, devendo existir outras transformacoes que se apliquem quer ao

Electromagnetismo quer a nova Mecanica.

3.4 Experiencia de Michelson-Morley: tentativa de

localizar o referencial absoluto

Em 1887, Albert Michelson e Edward Morley, realizaram uma experiencia com o

objectivo de comprovar a existencia de um referencial absoluto. Nesta epoca defendia-

se que o ”eter”preenchia todo o espaco e que este era o meio em relacao ao qual a

velocidade da luz era c. Assim, um observador que se movia atraves do ”eter”com

velocidade ~v mediria uma velocidade da luz ~c′ = ~c + ~v . Era este o resultado que a

experiencia de Michelson-Morley pretendia comprovar.

Figura 3.1: Experiencia de Michelson-Morley, onde v e a velocidade do interferometro

relativamente ao ”eter”

Foi Albert Michelson quem inventou o interferometro cuja elevada sensibilidade per-

mitiu a realizacao da experiencia (figura 3.1). O interferometro de Michelson esta

fixo na Terra. Se imaginarmos que o ”eter”esta fixo em relacao ao Sol, entao o inter-


ferometro mover-se-a atraves do ”eter”com uma velocidade v, de 30km/s (velocidade

de translacao da Terra) em diferentes direccoes, em diferentes estacoes. O feixe de

luz da fonte S no laboratorio (fixa em relacao ao interferometro) e separado pelo

espelho M , parcialmente espelhado, em dois feixes: o feixe 1 e transmitido atraves

de M e o feixe 2 e reflectido por M . O feixe 1 e reflectido pelo espelho M1 de volta

para M e o feixe 2 e reflectido pelo espelho M2 tambem de volta para M . Neste

ponto o feixe 1 e parcialmente reflectido e o feixe 2 e parcialmente transmitido para o

telescopio T , onde os dois feixes sofrem interferencia. A interferencia e construtiva

ou destrutiva dependendo da diferenca de fase dos dois feixes. Poderemos entao

calcular a diferenca de fase entre os feixes 1 e 2. Esta diferenca pode dever-se a

dois aspectos distintos: diferentes comprimentos dos caminhos percorridos l1 e l2 e

diferentes velocidades de percurso em relacao ao interferometro, devido ao ”eter”. A

experiencia foi cuidadosamente elaborada para que os comprimentos l1 e l2 fossem

iguais, de modo a que qualquer diferenca de fase se devesse exclusivamente a diferenca

de velocidades de percurso. O tempo que o feixe 1 demora a ir de M para M1 e voltar

e dado por:

t1 =l1

c− v+

l1c+ v

=2l1c

( 1

1− v2/c2

)(3.14)

dado que a luz, cuja velocidade no ”eter”e c, apresenta uma velocidade compreendida

entre c − v, quando viaja na direccao oposta a do interferometro e c + v, quando

viaja na mesma direccao que o interferometro. O percurso do feixe 2, que viaja de M

para M2 voltando de novo a M e um percurso oblıquo relativamente ao movimento do

”eter”, de modo que o feixe retoma para o espelho M quando este ja avancou para uma

nova posicao. A distancia percorrida pelo feixe 2 e dada por (por aplicacao algebrica

do Teorema de Pitagoras):

∆x = 2.

√l22 +

(vt22

)2

(3.15)

e o tempo que o feixe 2 demora a percorrer esta distancia e dado por:

t2 =∆x

v⇔ t2 =

2.

√l22 +

(vt22

)2

c⇔ t2 =

2l2c

1√(1− v2

c2

) (3.16)

A diferenca entre os dois tempos e dada por:

∆t = t2 − t1 =2

c

(l2√

1− v1/c2− l1√

1− v1/c2

)(3.17)

E de notar que ambos os tempos apresentam valores na ordem de 10−8, isto e,

apresentam efeitos muito pequenos. Contudo o interferometro construıdo era suficien-

temente sensıvel para detectar esta diferenca entre os dois tempos, facto que nunca foi


observado. Michelson e Morley nunca detectaram qualquer diferenca entre os tempos

o que parecia rejeitar a existencia de um referencial absoluto - o referencial do ”eter”.

Daqui podemos concluir simplesmente que a velocidade da luz e constante e igual a c,

em qualquer referencial inercial.

3.5 Teorias de emissao: tentativa de modificar o

Electromagnetismo

Pela experiencia de Michelson-Morley concluımos que a velocidade da luz tem o

mesmo valor em qualquer referencial inercial. Assim, a velocidade da luz nao pode

depender da velocidade da fonte luminosa, relativamente ao observador. Algumas

propostas surgiram para modificar as Leis do Electromagnetismo de modo a que o

princıpio da invariancia da velocidade da luz prevalecesse. Estas teorias, designadas

por teorias de emissao tem como base a hipotese de que a velocidade da luz esta

relacionada com o movimento da fonte em vez de se relacionar com o ”eter”, tendo

tambem em comum o facto de a velocidade da luz ser c em relacao a fonte original

e que esta velocidade e independente do movimento do meio. Contudo estas teorias

sao contrariadas directamente por varias experiencias nomeadamente a experiencia

de Michelson-Morley utilizando uma fonte de luz extraterrestre. A experiencia de

Michelson-Morley usando como fonte de luz uma fonte extraterrestre foi executada

por Rudolf Tomaschek, que usou a luz de uma estrela e por Dayton Miller que

usou a luz do Sol. Se a velocidade da fonte (devido aos movimentos de rotacao e

translacao relativamente ao interferometro) afectasse a velocidade de luz, observar-

se-iam variacoes nos resultados experimentais da experiencia de Michelson-Morley.

Contudo tais efeitos nao foram observados em nenhuma das experiencias. Assim,

pela experiencia, somos encaminhados a concluir que as leis do Electromagnetismo

estao correctas. Deste modo, o Princıpio da Relatividade aplicavel a Mecanica e ao

Electromagnetismo parece ser a hipotese correcta, restando-nos questionar o princıpio

de Galileu, uma vez que este exige uma velocidade da luz dependente do movimento

relativo da fonte e do observador. As transformacoes de Galileu devem entao ser

substituıdas e, consequentemente, as Leis da Mecanica que eram consistentes com

estas transformacoes, devem ser modificadas.

3.6 Postulados da Teoria da Relatividade Restrita

Em 1905 Albert Einstein forneceu uma solucao para o dilema que assolava a Fısica. No

seu artigo ”Sobre a electrodinamica dos corpos em movimento”, Einstein escreveu: ”...

nenhuma propriedade dos factos observados corresponde ao conceito de repouso abso-

luto;... para todos os sistemas de coordenadas para os quais sao validas as equacoes


da Mecanica, sao validas tambem as equacoes equivalentes da Electrodinamica e

Optica... Seguidamente fazemos estas suposicoes (que chamaremos de Princıpio da

Relatividade) e introduzimos uma hipotese adicional - uma suposicao que e, a primeira

vista bastante irreconciliavel com a anterior - que a luz se propaga no vacuo com a

velocidade c, independentemente da natureza do movimento do corpo que a emite.

Estas duas hipoteses sao suficientes para nos dar uma teoria simples e consistente da

Electrodinamica dos corpos em movimento, baseada na teoria Maxwelliana para os

corpos em repouso.”De um outro modo, podemos dizer que:

1. As leis da Fısica sao as mesmas em todos os referenciais inerciais. Nao existe

nenhum referencial inercial preferencial (O Princıpio da Relatividade).

2. A velocidade da luz no vacuo tem o mesmo valor c em todos os referenciais

inerciais (O Princıpio da Invariabilidade da Velocidade da Luz).

O Princıpio da Relatividade Restrita de Einstein vai mais alem do que o Princıpio da

Relatividade de Newton na medida em que incide nao so sobre as Leis da Mecanica

mas sobre todas as leis da Fısica. Ele afirma que e impossıvel escolher um referencial

inercial como intrinsecamente em movimento ou em repouso, isto e, apenas podemos

falar de movimento relativo entre dois referenciais inerciais. O segundo postulado

contradiz as transformacoes de Galileu da velocidade, mas esta em concordancia com

a experiencia de Michelson-Morley.

A Teoria da Relatividade Restrita foi capaz de explicar todos os resultados experi-

mentais existentes, mas foi tambem capaz de prever novos efeitos, que foram posteri-

ormente comprovados experimentalmente.

3.7 Transformacoes de Lorentz

Como foi referido anteriormente, as transformacoes de Galileu devem ser substituıdas.

As novas transformacoes podem ser deduzidas a partir dos postulados da Teoria da

Relatividade Restrita juntamente com a hipotese de que o espaco e o tempo sao

homogeneos. Esta hipotese - a hipotese da homogeneidade - defende que todos os

pontos do espaco e tempo sao equivalentes, isto e, os resultados de uma medida de um

comprimento ou de um intervalo de tempo de um dado acontecimento, nao dependem

de onde ou quando o intervalo (de tempo ou espaco) pertence ao nosso referencial

inercial.

Consideremos um acontecimento cujas coordenadas do espaco-tempo sao (x, y, z, t) no

referencial inercial O e (x′, y′, z′, t′) no referencial inercial O′ que se move relativamente

ao referencial inercial O. Consideremos que os tres eixos sao paralelos entre si e que o

movimento relativo se realiza ao longo do eixo comum x− x′. Consideremos tambem

que no instante em que as origens dos referenciais O e O′ coincidem, os relogios marcam


t = 0 e t′ = 0, respectivamente. A hipotese da homogeneidade implica que as equacoes

de transformacao sejam lineares, sendo a sua forma mais geral dada por:

x′ = a11x+ a12y + a13z + a14t

y′ = a21x+ a22y + a23z + a24t

z′ = a31x+ a32y + a33z + a34t

t′ = a41x+ a42y + a43z + a44t

(3.18)

onde os coeficientes com ındices sao constantes que devemos determinar a fim de

obter as equacoes exactas de transformacao. Convencionamos que o eixo x coincide

continuamente com o eixo x′. Deste modo as formulas de transformacao para y e z

devem tomar a forma:

y′ = y e z′ = z (3.19)

Consideremos agora a equacao de t′. Suponhamos que t′ nao depende de y e z.

Caso isto nao acontecesse, os relogios colocados simetricamente no plano y − z, em

torno do eixo x, discordariam quando observados de O′, o que viria a contrariar a

homogeneidade do espaco. Deste modo a42 = a43 = 0. Consideremos agora a equacao

de x′. Sabemos que um ponto tendo x′ = 0 move-se na direccao positiva do eixo dos

x com velocidade v, de tal modo que x′ = 0 deve-se identificar com x = vt. Assim, a

equacao correcta de transformacao devera ser:

x′ = a11x+ a14t = a11(x− vt) = a11x− a11vt (3.20)

pelo que a14 = −va11.

As nossas equacoes das transformacoes podem ser expressas como:

x′ = a11(x− vt)y′ = y

z′ = z

t′ = a41x+ a44t

(3.21)

Para determinar as constantes a11, a41 e a44, e necessario considerar o Princıpio da

invariancia da velocidade da luz. Admitamos que no instante t = 0, uma onda

electromagnetica esferica parte da origem do referencial inercial O, a qual coincide com

O′ nesse instante. A onda propaga-se com uma velocidade c em todas as direccoes.

Esta ocorrencia pode ser descrita pela equacao de uma esfera, cujo raio se expande

com o tempo com uma velocidade c. Isto e:

x2 + y2 + z2 = c2t2 ou x′2 + y′2 + z′2 = c2t′2 (3.22)

Substituindo as equacoes das transformacoes nesta equacao obtemos:

a211(x− vt)2 + y2 + z2 = c2(a41x+ a44t)

2 (3.23)


Rearranjando:

(a211 − c2a2

41)x2 + y2 + z2 − 2(va2

11 + c2a41a44)xt = (c2a244 − v2a2

11)t2 (3.24)

De modo a que esta equacao esteja concordante com a equacao x2 +y2 + z2 = c2t2 que

representa a mesma ocorrencia, deveremos ter:

c2a244 − v2a2

11 = c2

a211 − c2a2

41 = 1

va211 + c2a41a44 = 0

(3.25)

A solucao destas equacoes e dada por:

a44 = 1/√

1− v2/c2

a11 = 1/√

1− v2/c2

a41 = − vc2/√

1− v2/c2(3.26)

Substituindo estes valores obtemos as novas equacoes de transformacao:

x′ =x− vt√1− v2/c2

y′ = y

z′ = z

t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2

(3.27)

Estas equacoes sao conhecidas como transformacoes de Lorentz.

Se trocassemos os nossos referenciais inerciais, a unica mudanca permitida pelo Princıpio

da Relatividade Restrita seria a variacao fısica da velocidade relativa de v para −v.

Se resolvermos as equacoes de acordo com este ponto obtemos as equacoes:

x =x′ + vt′√1− v2/c2

y = y′

z = z′

t =t′ + (v/c2)x′√

1− v2/c2

(3.28)

que sao identicas as anteriormente obtidas, excepto que v e substituıdo por −v.

Para velocidades pequenas, quando comparadas com a velocidade da luz, ou seja,

para v/c� 1, as transformacoes de Lorentz reduzem-se as transformacoes de Galileu:

x′ = x− vty′ = y

z′ = z

t′ = t

(3.29)


3.8 Observador em Relatividade

Em Relatividade, o termo ”observador”nao significa ”quem ve”mas sim ”quem mede”.

Podemos definir observador como um conjunto infinito de relogios, distribuıdos por

todo o espaco, em repouso e sincronizados entre si. As coordenadas do espaco-tempo

de dado acontecimento A (x, y, z, t) sao registadas pelo relogio na posicao (x, y, z) do

acontecimento A no instante (t) em que este ocorre. As relacoes entre as coordenadas

do espaco-tempo de um acontecimento fısico, medido por um observador (O) e as

coordenadas do espaco-tempo do mesmo acontecimento fısico, medido por um outro

observador (O′) sao as equacoes de transformacao referidas anteriormente.

3.9 Composicao das Velocidades em Relatividade

Consideremos um comboio que se move com velocidade ~v em relacao a Terra e um

passageiro, no interior do comboio que se move com velocidade ~u′ em relacao ao

comboio. Consideremos o caso particular em que todas as velocidades tem a direccao

comum aos dois referenciais inerciais, x − x′. Seja O o referencial inercial da Terra e

O′ o referencial inercial do comboio. A posicao do passageiro, a medida que o tempo

decorre e dada por x′ = u′t′. Tendo em conta as transformacoes de Lorentz podemos

determinar a velocidade do passageiro medida por um observador no referencial O.

Assim, temos que:

x′ =x− vt√1− v2/c2

= u′t′ e t′ =t− (v/c2)x√

1− v2/c2(3.30)

Combinando as equacoes, obtemos:

x− vt = u′(t− v

c2x)

(3.31)

Rearranjando:

x =

(u′ + v

)(1 + u′

v

c2

)t (3.32)

Se considerarmos que u e a velocidade do passageiro em relacao a Terra, entao a sua

localizacao na Terra, a medida que o tempo decorre e dada por x = ut. Substituindo

na equacao anterior, temos finalmente que:

u =u′ + v

1 + u′v

c2

(3.33)

Esta expressao evidencia a composicao relativista da velocidades. Podemos concluir

que se u′ e v forem muito pequenos, quando comparados com c, esta equacao reduz-se

ao resultado classico, u = u′ + v, dado que u′v

c2� 1. Por outro lado, concluımos


tambem que se u′ = c, entao u = c, para qualquer valor de v. Neste caso o ”pas-

sageiro”seria um fotao. Este ponto esta de acordo com a hipotese usada inicialmente

para deduzir as transformacoes de Lorentz, de que todos os observadores medem a

mesma velocidade c para a luz. E tambem evidente que a soma de duas velocidades,

cada uma menor do que c, nao pode exceder a velocidade da luz, pelo que c e a

velocidade limite.

3.10 Diagramas de espaco-tempo

Como vimos anteriormente, segundo a Teoria da Relatividade Restrita, o tempo e

o espaco deixam de ser invariantes quando passamos de um referencial inercial para

outro. Por este motivo Herman Minkowski desenvolveu os diagramas espaco-tempo

(ou diagramas de Minkowski) que permitem caracterizar, simultaneamente no mesmo

diagrama, um dado acontecimento segundo diferentes referenciais inerciais.

Nos diagramas apresentados, iremos considerar apenas um eixo espacial, o eixo x,

ignorando os eixos y e z. As coordenadas de um acontecimento sao entao dadas por

x e t e todas as coordenadas possıveis do espaco-tempo podem ser representadas num

diagrama de espaco-tempo onde o eixo espacial e horizontal e o eixo temporal e vertical.

Com o intuito de manter as dimensoes das coordenadas inalteradas multiplicaremos o

tempo, t, pela velocidade da luz, c. Assim, as equacoes de Lorentz tomam a forma:

x′ =x− v

cct√

1− v2/c2x =

x′ +v

cct′√

1− v2/c2

ct′ =ct− v

cx√

1− v2/c2ct =

ct′ +v

cx′√

1− v2/c2

(3.34)

Geometricamente, devemos comecar por representar os eixos x e ct, perpendiculares

entre si, do referencial inercial O. Por exemplo, se quisessemos representar o movi-

mento de uma partıcula neste referencial, deverıamos tracar uma curva, que se designa

por linha do universo, tal como representado na figura 3.2. A linha do universo da-nos

o lugar geometrico dos pontos do espaco-tempo que correspondem ao movimento da

partıcula material. A tangente a linha do universo em cada ponto apresenta sempre

um angulo inferior a 45o em relacao ao eixo ct. Este angulo e dado por:

tg(θ) =dx

d(ct)=v

c(3.35)

onde v < c pois trata-se de uma partıcula material. A linha do universo de um

fotao, para o qual v = c e uma recta que apresenta um angulo de 45o com os eixos

coordenados. Consideremos agora o referencial inercial O′, que se move com velocidade


Figura 3.2: Linhas de universo de uma partıcula material e de um fotao

~v ao longo do eixo x − x′. Assim como o eixo dos tempos ct′, no referencial O

corresponde a x = 0, o eixo dos tempos ct′, no referencial inercial O′, e obtido quando,

nas equacoes de Lorentz obtidas anteriormente, igualamos x′ a zero. Obtemos assim

que:

0 =x− v

cct√

1− v2/c2⇔ x− v

cct = 0⇔ x =

v

cct (3.36)

De modo analogo, obtemos o eixo espacial x igualando ct a zero:

0 =ct− v

cx√

1− v2/c2⇔ ct− v

cx = 0⇔ ct =

v

cx (3.37)

O que esta graficamente representado na figura 3.3. E agora necessario realizar a

calibracao dos eixos coordenados do referencial O′ (figura 3.4) . Para tal tracamos os

dois ramos da hiperbole (ct)2 − x2 = 1 e os dois ramos da hiperbole x2 − (ct)2 = 1. A

calibracao so e possıvel dado que:

∆t′2 −∆x′2 = ∆t2 −∆x2 (3.38)

este facto pode ser provado, deduzindo as respectivas expressoes a partir das trans-

formacoes de Lorentz. Assumindo que c = 1 e que γ =1√

1− v2, temos que:

∆t′ = γ(∆x− v∆t) e ∆x′ = γ(∆t− v∆x) (3.39)


Figura 3.3: Diagrama de espaco-tempo dos referenciais O e O′

pelo que:

∆t′2 −∆x′2 = γ2(1− v2)∆t2 + γ2(v2 − 1)∆t2 ⇔⇔ ∆t′2 −∆x′2 = ∆t2 −∆x2 (3.40)

O ponto P1 e a interseccao do ramo direito da hiperbole x2 − (ct)2 = 1 com o eixo

x′, dado por ct =v

cx. O ponto P1 pertence assim a estas duas linhas e apresenta as

seguintes coordenadas:

ct =v/c√

1− v2/c2e x =

1√1− v2/c2

(3.41)

Comparando as coordenadas anteriores com as equacoes de Lorentz, concluımos que

estas coordenadas representam o comprimento unitario, isto e, x′ = 1 e instante zero,

ou seja, ct′ = 0, no referencial inercial O′. Isto significa que o intervalo OP1 da-nos o

comprimento unitario ao longo do eixo x′, permitindo assim a sua calibracao.

De modo semelhante o ponto P2 e a interseccao do ramo superior da hiperbole (ct)2−x2 = 1 com o eixo ct′, dado por x =

v

cct. O ponto P2 esta sobre estas duas linhas e as

suas coordenadas sao:

ct =1√

1− v2/c2e x =

v

c

√1− v2/c2 (3.42)

Comparando as coordenadas anteriores com as equacoes de Lorentz, concluımos que

estas coordenadas representam o tempo unitario, isto e, ct′ = 1 e comprimento zero,


Figura 3.4: Calibracao de um diagrama de espaco-tempo

ou seja, x′ = 0, no referencial inercial O′. Isto significa que o intervalo OP1 da-nos o

tempo unitario ao longo do eixo ct′, permitindo assim a sua calibracao.

Consideremos um acontecimento A representado no diagrama espaco-tempo da figura

3.5. Para sabermos qual a coordenada espacial deste acontecimento, tracamos uma

Figura 3.5: Coordenadas do acontecimento A nos referenciais O e O′


recta paralela ao eixo dos tempos, de A ate ao eixo espacial. Analogamente, a

coordenada temporal e dada por uma recta paralela ao eixo espacial, de A ate ao

eixo dos tempos. No exemplo da figura anterior, o acontecimento A tem coordenadas

do espaco-tempo x = 3, ct = 2, 5 no referencial O e x′ = 2, ct′ = 1, 3 no referencial O′.

3.11 Consequencias das Transformacoes de Lorentz:

O caso particular da contraccao do espaco

Existem algumas consequencias das transformacoes de Lorentz no que diz respeito as

medicoes de intervalos de tempo e espaco. Focaremos a nossa atencao nesta ultima.

Consideremos uma regua, em repouso, ao longo do eixo x′ do referencial inercial O′.

As suas extremidades coincidem com os pontos x′2 e x′1, pelo que o comprimento da

regua, em repouso, e dado por x′2 − x′1. O comprimento da regua, quando medido

por um observador num referencial inercial O, para quem a regua se move com uma

velocidade relativa v, pode ser determinado a partir das transformacoes de Lorentz.

Da primeira equacao das transformacoes de Lorentz, sabemos que:

x′2 =x2 − vt2√1− v2/c2

e x′1 =x1 − vt1√1− v2/c2

(3.43)

de tal modo que:

x′2 − x′1 =(x2 − x1)− v(t2 − t1)√

1− v2/c2(3.44)

Mas, o comprimento da regua no referencial inercial O e a distancia das extremi-

dades x2 e x1 da barra em movimento, medidas no mesmo instante nesse referencial.

Assim,t2 − t1, pelo que obtemos:

x′2 − x′1 =(x2 − x1)√1− v2/c2

ou x2 − x1 = (x′2 − x′1)√

1− v2/c2 (3.45)

Concluımos assim que o comprimento da regua em movimento, medido no referencial

O, e dado por x2−x1, contrai-se pelo factor√

1− v2/c2 relativamente ao comprimento

da regua em repouso, medido no referencial O′ e dado por x′2 − x′1. Podemos concluir

tambem a partir das transformacoes de Lorentz que as dimensoes da regua ao longo

de y e z, perpendiculares ao movimento relativo, tem as mesmas medidas para ambos

observadores, pois y′ = y e z′ = z.

No diagrama de espaco-tempo da figura 3.6 e evidenciada a contraccao do espaco,

descrita anteriormente.


Figura 3.6: Contraccao do espaco evidenciada em diagramas espaco-tempo

CAPITULO 4. PROPOSTAS PEDAGOGICAS 24

4. Propostas pedagogicas para a

exploracao da contraccao do espaco

O tema Relatividade esta inserido no programa curricular da disciplina de Fısica do

12o ano de escolaridade. Este tema e desenvolvido na Unidade III - Fısica Moderna que

tem por objectivo ”introduzir as bases da fısica moderna, apresentando os principais

resultados que estiveram na origem da revolucao operada na fısica no inıcio do seculo

XX”1.

Seguidamente fazer-se-a uma abordagem pedagogico-didactica de alguns exemplos que

podem, em contexto de sala de aula, auxiliar os alunos a compreenderem o fenomeno

da contraccao do espaco, uma das consequencias da Teoria da Relatividade Restrita.

4.1 A contraccao do espaco evidenciada por um

feixe de luz

De acordo com a teoria da relatividade restrita a velocidade da luz tem o mesmo valor

de c em todos os referenciais inerciais. Consideremos uma regua, em repouso, ao longo

do eixo x′ do referencial inercial O′ e cujo comprimento e L′. Numa das extremidades

da regua esta colocada uma lampada e na outra um espelho (figura 4.1). O tempo

Figura 4.1: Regua com lampada e espelho, representada (horizontalmente)nos

referenciais O e O′

que o feixe de luz proveniente da lampada demora a percorrer a regua ate ao espelho

1Cardoso,E. et al; Programa de Fısica 12o ano - Curso Cientıfico-Humanıstico de Ciencias e

Tecnologias; Homolgado em 21/10/2004


e regressar ao ponto inicial e, para um observador que se encontra no referencial O′,

dado pela expressao:

∆t′ =L′

c+L′

c=

2L′

c(4.1)

Consideremos agora um observador num referencial inercial O, para quem a regua se

move com uma velocidade relativa v e cujo comprimento e dado por L. O tempo que

o feixe de luz proveniente da lampada demora a percorrer a regua ate ao espelho e

dado por:

∆t1 =L+ v∆t1

c=

L

c− v(4.2)

uma vez que o feixe luminoso nao percorre apenas a distancia L, correspondente ao

comprimento da regua, mas tambem a distancia v∆t1 percorrida pelo espelho nesse

intervalo de tempo. Por sua vez, o tempo que o feixe de luz demora a percorrer a

distancia entre o espelho e o ponto inicial e dado por:

∆t2 =L− v∆t2

c=

L

c+ v(4.3)

pois neste caso o feixe percorre uma distancia inferior a L, correspondente a diferenca

do comprimento da regua e a distancia percorrida pela lampada. Assim, o tempo total

que o feixe de luz demora a percorrer a regua ate ao espelho e regressar ao ponto inicial

e:

∆t =L

c− v+

L

c+ v=

2Lc

c2 − v2=

2L/c

1− v2/c2(4.4)

Verifica-se que os calculos realizados sao semelhantes aos relativos a Experiencia de

Michelson-Morley (ver seccao 3.4).

E agora importante compreender a relacao existente entre o tempo que um feixe de

luz demora a percorrer uma regua num referencial inercial O′, onde a regua esta em

repouso, e o tempo que o mesmo feixe de luz demora a percorrer a referida regua num

referencial O para quem a regua se move com uma velocidade relativa v. Consideremos

agora uma regua, em repouso, ao longo do eixo y′ do referencial inercial O′ e cujo

comprimento e d. Numa das extremidades da regua esta colocada uma lampada e na

outra um espelho (figura 4.2). Neste referencial, o tempo que o feixe de luz proveniente

da lampada demora a percorrer a regua ate ao espelho e regressar ao ponto inicial e

dado por:

∆t′ =d

c+d

c=

2d

c(4.5)

e a distancia percorrida, ∆x′, e dada por 2d. No referencial O, para quem a regua se

move com uma velocidade relativa v, a distancia percorrida pelo feixe e dado por:

∆x = 2

√d2 +

(v∆t

2d

)2

(4.6)


Figura 4.2: Regua com lampada e espelho, representada (verticalmente) nos referen-

ciais O e O′

e o intervalo de tempo que o feixe demora a percorrer esta distancia e:

∆t =∆x

v⇔ ∆t =

2

c

√d2 +

(v∆t

2d

)2

⇔ ∆t′ = ∆t√

1− v2/c2 (4.7)

Analisando a expressao anterior podemos concluir que o intervalo de tempo que o

feixe demora a percorrer a distancia entre a lampada e o espelho e este e a lampada

e superior quando medido no referencial O, do que quando medido no referencial O′

onde a regua se encontra em repouso. Este resultado evidencia a dilatacao do tempo,

uma das consequencias das transformacoes de Lorentz.

Substituindo na equacao 4.7 os resultados obtidos para as equacoes 4.1 e 4.4, temos

que:

2L′

c=

2L/c

1− v2/c2

√1− v2/c2 ⇔ L′

L=

√1− v2/c2

1− v2/c2(4.8)

pelo que:

L = L′√

1− v2/c2 (4.9)

Concluımos que o comprimento da regua medido no referencial O, para quem a regua

se move a uma velocidade v e inferior ao comprimento medido no referencial O′, onde

a regua se encontra em repouso.


4.2 A contraccao do espaco evidenciada pelos muoes

de origem cosmica

Consideremos um detector de muoes instalado no topo da torre da Serra da Estrela

(2000 m) e outro instalado ao nıvel das aguas do mar. No primeiro sao detectados

1000 muoes e, posteriormente, no segundo sao detectados 540 muoes. Os muoes sao

partıculas instaveis que decaem de acordo com a seguinte lei do decaimento radioactivo:

N(t) = N0(t)e−ln(2)

t

T (4.10)

O tempo de semi-vida dos muoes e de 1, 52 µs e a sua velocidade e de 0, 8c. Segundo

a Fısica Classica, o tempo que um muao demora a percorrer a distancia entre o topo

da torre e o nıvel das aguas do mar e dado por:

∆t =∆x

v⇔ ∆t =

2000

0, 98c=

2000

0, 98(3× 108)⇔ ∆t = 6, 8 µs (4.11)

Substituindo os valores na expressao relativa ao decaimento relativo, obtemos o numero

de muoes que atinge o nıvel das aguas do mar:

N(6, 8µs) = 1000× e−ln(2)

6, 8

1, 52 ⇔ N(6, 8µs) = 45 muoes (4.12)

Este numero nao esta de acordo com os resultados experimentais. Segundo a Fısica

Relativista, os 2000 m percorridos pelos muoes correspondem a distancia, L′, medida

por um observador, em repouso, na Terra. No referencial dos muoes a distancia

percorrida e dada por:

L = L′√

1− v2/c2 = 2000√

1− (0, 98c)2/c2 ⇔ L = 2000√

1− 0, 982 ⇔ L = 398 m

(4.13)

Calculando agora o tempo que um muao demora a percorrer esta distancia temos que:

∆t =398

0, 98(3× 108)⇔ ∆t = 1, 35 µs (4.14)

Substituindo os valores na expressao do decaimento relativo, obtemos:

N(1, 35µs) = 1000−ln(2)

1, 35

1, 52 ⇔ N(1, 35µs) = 540 muoes (4.15)

Este valor esta de acordo com os resultados experimentais, o que evidencia a im-

portancia da Fısica Relativista em situacoes reais.


4.3 O paradoxo da vara e do celeiro

Consideremos uma vara em repouso no referencial O′, cujo comprimento, L′0, e 2, 5 m

e um celeiro em repouso no referencial O, com comprimento, L0, igual a 2 m. A vara

desloca-se com uma velocidade de 0, 8c. No referencial O, a vara tem o comprimento:

L(vara) = L′0(vara)√

1− v2/c2 = 2, 5×√

1− (0, 8c)2

c2= 2, 5×

√1− (0, 8)2 ⇔

(vara) = 2, 5× 0, 6 = 1, 5 m(4.16)

No referencial O′, o celeiro tem o comprimento:

L′(celeiro) = L0(celeiro)√

1− v2/c2 = 2×√

1− (0, 8c)2

c2= 2×

√1− (0, 8)2 ⇔

⇔ L′(celeiro) = 2× 0, 6 = 1, 2 m(4.17)

Assim, concluımos que no referencial O a vara cabe dentro do celeiro, pois L(vara) <

L(celeiro) e no referencial O′ a vara nao cabe dentro do celeiro, pois L′(vara) >

L(celeiro). Esta aparente contradicao e a origem deste paradoxo.

Consideremos os seguintes acontecimentos:

A1 : a extremidade direita da vara entra no celeiro pela porta da esquerda.

A2 : a extremidade esquerda da vara entra no celeiro pela porta da esquerda.

A3 : a extremidade direita da vara sai do celeiro pela porta da direita.

A4 : a extremidade esquerda da vara sai do celeiro pela porta da direita.

De acordo com o referencial O estes acontecimentos tem as seguintes coordenadas:

A1 =

{x1 = 0 m

t1 = 0 sA2 =

x2 = 0 m

t2 =∆x

v=

1, 5

0, 8c= 6, 25× 10−9 s

A3 =

x3 = 2 m

t3 =∆x

v=

2

0, 8c= 8, 33× 10−9 s

A4 =

x4 = 2 m

t4 =∆x

v=

3, 5

0, 8c= 1, 46× 10−8 s

Substituindo estes valores nas transformacoes de Lorentz, os referidos acontecimentos

apresentam as seguintes coordenadas no referencial O′:


A1 =

x′1 = 0 m

t′1 = 0 s

A2 =

x′2 = −2, 5 m

t′2 = 1, 04× 10−8 s

A3 =

x′3 = 0 m

t′3 = 5, 00× 10−9 s

A4 =

x′4 = −2, 5 m

t′4 = 1, 54× 10−8 s

Concluımos assim que no referencial O, a sequencia temporal dos acontecimentos e

A1→A2→A3→A4, dado que t1 < t2 < t3 < t4 e no referencial O′ a sequencia temporal

e A1→A3→A2→A4, uma vez que t1 < t3 < t2 < t4. Assim, existe um intervalo de

tempo, medido em O, em que a vara se encontra totalmente dentro do celeiro, o que

nao acontece no referencial O′. Neste referencial a extremidade direita da vara sai do

celeiro pela porta da direita (acontecimento A3) antes de a extremidade esquerda da

vara entra no celeiro pela porta da esquerda (acontecimento A2), o que significa que a

vara nunca esta completamente dentro do celeiro. Nao existe assim nenhum paradoxo

pois ambas as descricoes estao correctas.

As mesmas conclusoes podem ser retiradas analisando o diagrama espaco-tempo rep-

resentado na figura 4.3, que descreve os acontecimentos atras referidos. A area som-

breada a azul e a area de universo do celeiro e a area sombreada a amarelo e a area

de universo da vara. As linhas azuis, no referencial do celeiro, paraleleas ao eixo x

sao linhas de tempo constante e podemos ver que t1 < t2 < t3 < t4. No caso do

referencial da vara, as linhas a vermelho, paralelas ao eixo x′, sao tambem linhas de

tempo constante neste referencial, e evidenciam que t1 < t3 < t2 < t4, tal como

concluımos anteriormente.


Figura 4.3: Diagrama de espaco-tempo relativo ao paradoxo da vara e do celeiro

CAPITULO 5. BIBLIOGRAFIA 31

5. Bibliografia

• Alonso, M.; Finn, E.; Fısica - um curso universitario, Volume I - Mecanica; Sao

Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda; 1972.

• Cardoso, E. et al; Programa de Fısica 12o ano - Curso Cientıfico-Humanıstico

de Ciencias e Tecnologias; Homologado em 21/10/2004.

• Deus, J.D. et al; Introducao a Fısica; Amadora; McGraw-Hill; 2000.

• d’Inverno, R.; Introducing Einstein’s Relativity; Oxford; Clarendon Press; 1992.

• Feynman, R. et al; The Feynman Lectures on Physics - Volume I; Reading;

Addison-Wesley Publishing Company; 1977.

• Fraser, G. et al; A Descoberta do Infinito - Os Misterios do Universo; Venda

Nova; Bertran Editora; 1995.

• Hawking, S.; Brevıssima Historia do Tempo; Lisboa; Gradiva; 2007.

• Hawking, S.; O Universo numa Casca de Noz; Lisboa; Gradiva; 2002.

• Rodrigues, J.; Introducao a Teoria da Relatividade Restrita; Lisboa; IST Press;

1998.

• Russel, B.; ABC da Relatividade; Publicacoes Europa-America; 1969.

• Sagan, C.; Cosmos; Lisboa; Gradiva.

• Santos, J.; Projecto Faraday - Textos 12o ano - Capıtulo 12: Relatividade; Porto;

Fundacao Calouste Gulbenkian.

• Schutz, B.; A First Course in General Relativity; Cambridge; Cambridge Uni-

versity Press; 1985.

• White, M.; Gribbin, J.; Einstein; Mem Martins; Publicacoes Europa-America;

2004.

teoria da relatividade restrita: contrac˘c~ao do espa˘co · pdf filefaculdade de ci^encias...

Documents