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Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
1
Introdução. Relatividade Newtoniana
A relatividade é o campo de estudo de
eventos medidos na física; onde e quando eles
acontecem, e como dois eventos são separados
no espaço e no tempo. Há uma relação de
transformação entre as medidas feitas quando
ocorrem em referenciais em movimento um
em relação ao outro.
Essas relações eram bem conhecidas
pelos físicos até 1905, quando Albert Einstein
publicou sua Teoria Especial da Relatividade.
O termo especial significa que a teoria trata
somente fenômenos quie ocorrem em
referenciais inerciais, nos quais as Leis de
Newton são válidas. A teoria geral da
Relatividade de Einstein considera a situação
na qual o sistema referencial pode estar sujeito
a uma aceleração gravitacional.
Com dois postulados básicos, Einstein
demonstrou ao mundo científico que as
antigas idéias sobre relatividade estavam
erradas, pois estavam baseadas em um bom
senso comum, que era apoiado no estudo do
movimento de objetos com velocidades
baixas, muito menores que a velocidade da
luz. A relatividade de Einstein demonstrou
que fenômenos eram explicados para
quaisquer velocidades das entidades presentes
no experimento. Einstein demonstrou que o
espaço e o tempo estão interligados; ou seja, o
tempo entre dois eventos depende como ele
ocorre e vice versa. Um resultado disso é que
o tempo não passa a uma taxa fixa, como se
estivesse interligado a um mecanismo regular
de um relógio que controla o universo. A taxa
é ajustável: movimento relativo pode mudar a
uma taxa a qual o tempo passa.
Hoje, experimentos comprovam essa
teoria, como a engenharia envolvida com o
sistema de posicionamento global (GPS –
Global Positioning System) dos satélites
NAVSTAR, cujas rotinas de controle utilizam
relatividade (especial e geral) para determinar
a taxa a qual o tempo passa nos satélites
devido às diferenças medidas na superfície da
Terra. Caso os engenheiros não incluíssem a
teoria da relatividade nos cálculos do sistema
GPS, haveria falhas no sistema em menos de
um dia.
O éter e a velocidade da luz Adaptado de:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Experi%C3%AAncia_de_Michelso
n-Morley
A experiência de Michelson-Morley, uma
das mais importantes e famosas experiências da
história da física, realizada em 1887 por Albert
Michelson (1852 - 1931) e Edward Morley (1838-
1923), é considerada uma das provas forte contra
a teoria do éter.
A teoria física no fim do século XIX postulava
que, tal como as ondas de água têm de ter um meio
por onde propagar-se (a água) e as ondas sonoras
audíveis também requerem o seu meio (o ar), as
ondas luminosas iriam necessitar, também elas, de
um meio próprio, o "éter".
A cada ano, a Terra viaja tremendas distâncias
em sua orbita ao redor do sol, a uma velocidade
em torno de 30km/segundo, em torno 100.000 km
por hora. Estava-se proposto que a terra poderia
estar a todo instante se movendo através de um
éter e produzindo um "Vento Etéreo" detectável. A
qualquer ponto da superfície da Terra, a
intensidade e a direção do vento poderia variar
com o horário do dia e a estação do ano. Através
da análise do vento aparente em vários momentos
diferentes do dia, deveria ser possível a separação
dos componentes devido à movimentação da terra
em relação ao sistema solar em qualquer situação
de movimento desde mesmo sistema.
O efeito do vento etéreo em ondas de luz
deveria ser semelhante ao efeito do vento sobre as
ondas de som. Ondas de som viajam em uma
velocidade constante em relação ao meio em que
se encontram (isso varia de acordo com a pressão,
temperatura, mas é normalmente de 340m/s).
Então, se a velocidade do som em nossas
condições é de 340m/s, em uma condição de vento
de 10m/s em relação ao chão, dentro da corrente de
vento, a viajem do som terá 330m/s(340 - 10). Ao
percorrer contra a corrente de vento, parecerá que
o som está viajando a 350m/s(340 + 10). Medindo
a velocidade do som em comparação ao solo em
direções diferentes nos permite calcular a
velocidade do ar em relação ao chão.
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A experiência de Michelson-Morley foi
planejada com a intenção de estudar o movimento
da Terra em relação ao referencial do éter. Como a
Terra se move em relação ao Sol, pareceria não
realístico fazer a hipótese de que o éter se movia
com a Terra, e, já eram conhecidas na época
evidências experimentais que contradiziam essa
hipótese. Seria mais razoável considerar que o éter
estaria em repouso em relação ao centro de massa
do sistema solar, ou o centro de massa do universo.
No primeiro caso, a velocidade da Terra relação ao
éter teria um módulo de 104m/s; no segundo caso,
ela seria um pouco maior. A idéia básica da
experiência era de medir a velocidade da luz em
duas direções perpendiculares, a partir de um
sistema de referência fixo em relação à Terra. Se
considerarmos por momentos a teoria clássica
resumida pela adição vetorial: a velocidade da luz
em relação a referencial em movimento é igual à
velocidade da luz em relação ao éter menos a
velocidade do referencial em movimento em
relação ao éter, veremos que a teoria prevê que as
velocidades medidas deverão ter valores diferentes
em relação à direção de movimento do observador
em relação ao éter.
Embora a diferença observada entre as
duas velocidades medidas fosse pequena, devido
ao fato da velocidade da Terra em relação ao éter
ser pequena comparada à velocidade da luz em
relação ao éter, Michelson e Morley construíram
um aparelho com um interferômetro que seria
suficientemente sensível para detectar e medir essa
diferença. Eles se surpreenderam extremamente ao
verificar que não puderam detectar nenhuma
diferença. Eles, e muitos cientistas depois deles,
repetiram a experiência com equipamentos
aperfeiçoados, porém nunca se observou diferença
nenhuma. A experiência de Michelson-Morley
mostrou que a velocidade da luz tem o mesmo
valor, c, medida em direções perpendiculares em
um sistema de referência que se supõe estar em
movimento em relação através do referencial do
éter.
Assim, a velocidade da luz no vácuo
independe do movimento do observador e do
movimento da fonte.
Aparato experimental do experimento de Michelson-
Morley, em 1887. As partes ópticas foram montados em uma
laje de arenito quadrado 5 pés, que foi lançada em mercúrio, reduzindo assim as tensões e vibrações durante a rotação que
afectaram os experimentos anteriores. As observações podem
ser feitas em todas as direcções ao rodar o aparelho em relação ao plano horizontal. [From R.S. Shankland, “The Michelson-
Morley Experiment.” Copyright © November 1964 by Scientific
American, Inc. All rights reserved.]
Interferômetro de Michelson . ( a) A luz amarela a
partir da fonte de sódio é dividida em dois feixes com a
segunda superfície do divisor de feixe parcialmente reflector em A, no ponto em que os dois feixes estão exactamente em
fase . As guias pelos caminhos dos raios luminosos
perpendiculares 1 e 2, refletem a partir de espelhos M1 e M2, e voltar para A, onde eles se recombinam e são vistas pelo
observador. A finalidade do compensador é fazer com que os
dois caminhos de comprimento óptico sejam iguais, de modo que o comprimento L contêm o mesmo número de ondas de luz
, fazendo com que ambos os feixes passem através de duas
espessuras de vidro antes da recombinação . M2 é , em seguida, inclinado ligeiramente de modo que
não seja completamente perpendicular a M1. Assim, o
observador vê M1 e M2 , a imagem de M2 formada pela segunda
superfície reflectora, parcialmente do divisor de feixe, a
formação de uma película em forma de cunha fina de ar entre
eles. A interferência de dois feixes de recombinação depende do número de comprimentos de onda em cada trajeto, o que por
sua vez depende de ( 1 ) o comprimento de cada caminho e ( 2 ) a velocidade da luz (em relação ao instrumento) em cada
caminho . Independentemente do valor do que a velocidade , a
película de ar em forma de cunha entre M1 e M2 resulta num aumento do comprimento do percurso de feixe
2 em relação ao feixe 1 , olhando da esquerda para a direita
através do campo do observador de vista, portanto, o observador vê uma série de franjas de interferência paralelas
como em ( b) , alternadamente, amarelo e preto da interferência
construtiva e destrutiva , respectivamente.
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Os Postulados de Einstein
Em 1905, com a idade de 26 anos, Albert
Einstein publicou vários artigos, entre os quais
estava um sobre a eletrodinâmica de corpos
em movimento. Neste trabalho, ele postulou
um princípio mais geral da relatividade que
aplicou as leis de eletrodinâmica e mecânica.
Uma conseqüência desse postulado é que o
movimento absoluto não pode ser detectado
por qualquer experimento. Podemos, então,
considerar o aparelho de Michelson em
repouso em relação a Terra. Nenhuma
mudança de franja é esperada quando o
interferômetro é girado 90 ° desde que todas
as direções são equivalentes. O resultado nulo
da experiência de Michelson -Morley é,
portanto, de se esperar. Deve-se salientar que
Einstein não se propôs a explicar a experiência
de Michelson-Morley. Sua teoria surgiu a
partir de suas considerações sobre a teoria da
eletricidade e magnetismo e a propriedade
incomum de ondas eletromagnéticas que se
propagam no vácuo. Em seu primeiro artigo,
que contém a teoria completa da relatividade
especial, ele fez apenas uma referência de
passagem para as tentativas experimentais
para detectar o movimento da Terra através do
éter, e, anos mais tarde, ele não conseguia se
lembrar se ele estava ciente dos detalhes do
experimento de Michelson-Morley antes de
publicar sua teoria.
1o Postulado:
O Postulado da Relatividade
As leis da física são as mesmas para todos os
sistemas referenciais inerciais. Nenhum
sistema é preferido em relação a outro.
Galileo Gallilei afirmou que as Leis da
mecânica eram as mesmas em todos os referenciais
inerciais; Einstein estendeu esse resultado
incluindo todas as Leis da Física, destacando-se
aqui o eletromagnetismo e a ótica. O postulado não
diz que as medições de quantidades físicas feitas
em referenciais inerciais são iguais para
observadores inerciais.
20Postulado: O postulado da velocidade
da Luz.
A velocidade da luz no vácuo tem o
mesmo valor em todas as direções e em todos os
sistemas referenciais inerciais.
A velocidade da luz é um limite para as
velocidades de quaisquer objetos ou partículas.
Atualmente, considera-se de acordo com
experimentos realizados, o valor da velocidade da
luz (para o vácuo):
299792458m
cs
onde usualmente utiliza-se nos livros o
valor aproximado:
83 10m
cs
A Transformação Galileanas e a
Transformação de Lorentz
Suponha que há um sistema referencial
inercial S com uma velocidade v em relação a um
sistema fixo S.
z z’
As transformações Galileanas para as
coordenadas desses sistemas são:
x x v t
t t
As transformações de Lorentz entre os
dois sistemas S e S’ são dadas por:
x x v t
y y
z z
2
v xt t
c
É assumido que em t’ = t = 0 as origens
dos dois sistemas S e S’ coincidam.
A demonstração dessa transformação
obtém-se pelos postulados estudados. Sua prova,
juntamente com o valor de será visto a seguir.
A Dilatação do tempo
Observadores que possuem movimentos
relativos entre si (ou separados temporalmente)
medem o mesmo intervalo de tempo, eles obterão
diferentes resultados.
Porque? Por causa da separação espacial pode
afetar o intervalo de tempo medido pelos
observadores.
O intervalo de tempo entre dois eventos
depende como eles ocorrem no espaço e no tempo;
ou seja, as separações espaciais e temporais estão
interligadas.
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Exemplificaremos através de um experimento
no qual Sally conduz. Ela utiliza um espelho, um
relógio e uma fonte luminosa B e realiza o
experimento em um trem que se move com
velocidade constante v.
Um pulso de luz deixa a fonte luminosa B
(Evento 1), propaga-se verticalmente e reflete-se
no espelho e é detectado sua volta na fonte (Evento
2). Sally mede um certo intervalo de tempo 0t .
Assim, podemos afirmar que:
0
2Dt
c
Os dois eventos ocorrem no mesmo local, o
sistema referencial inercial de Sally, no interior do
trem com velocidade constante v.
Considere agora que esses dois eventos são
observados por Sam, que está de pé sobre uma
plataforma da estação de trem, portanto, parado em
relação a plataforma fixa. Para ele os dois eventos
ocorrem em diferentes locais de seu sistema
referencial inercial, e, para medir seu intervalo de
tempo, Sam utiliza dois relógios sincronizados C1
e C2, um para cada evento.
Assim, o tempo medido por Sam será:
2 2Lt t L
c c
Como: 2
2 2
2
v tL D
2
2 2 2 2
2 2
4 4
2
v tt L t D
c c
2 2 2
2
2 2
4 4
4
D v tt
c c
2 2 2 22 2 2
2 2 2 2
4 41
v D v Dt t t
c c c c
2
22
2
2
4
1
D
ctv
c
2
2
2
2
4
1
D
ctv
c
2
2
2
1
D
ctv
c
0
2
21
tt
v
c
02
2
1
1
t tv
c
2
1
1
v
c
Denominamos de fator de Lorentz e de
parâmetro de velocidade.
O intervalo de tempo medido no referencial no
qual os eventos ocorrem no mesmo local é
chamado de tempo próprio. O efeito relacionado
ao fato que o intervalo de tempo medido no
referencial S’ é maior que o intervalo de tempo
medido no referencial S é chamado de dilatação do
tempo.
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A Contração das distâncias
0L v t
L v t
0
L Lv
t t
0 1tL L L L
t
Outra demonstração: Imagine uma
experiência imaginária onde no referencial S´do
trem em movimento colocamos uma régua e em
uma das extremidades dela uma fonte de luz e na
outra um espelho. A régua está em repouso em
relação a S´ que se move com velocidade constante
u em relação ao referencial S. No referencial S´ o
comprimento da régua é l0. Portanto o intervalo de
tempo t0 que um pulso de luz leva para ir da fonte
ao espelho e retornar é:
00
2lt
c
Esse intervalo de tempo é o tempo próprio
porque a ida e a volta ocorrem no mesmo ponto de
S´.
No sistema de referência S, a régua se
desloca da esquerda para a direita com velocidade
u durante a propagação do pulso de luz. O
comprimento da régua no referencial S í igual a l e
o intervalo de tempo que leva a luz para ir da fonte
até ao espelho é t1. Durante esse intervalo de
tempo, a régua, juntamente com a fonte e o
espelho, já andou u t1. Portanto a distância total d
entre a fonte e o espelho não é l e sim:
1d l u t
O pulso de luz se desloca com velocidade
c, portanto podemos afirmar que:
1d c t
Assim:
1 1 1
ld l u t c t t
c u
Analogamente, podemos mostrar que a
distância d entre a fonte e o espelho quando a luz
percorre do espelho à fonte é:
2d l u t
Como:
2d c t
2 2 2
ld l u t c t t
c u
O intervalo de tempo total que o pulso de
luz leva para ir da fonte até o espelho e retornar ao
ponto inicial é:
1 2t t t
l lt
c u c u
l c u l c ut
c u c u c u c u
2 2
2l ct
c u
2
2
2
1
l
ctu
c
2 2lt
c
00
2lt
c
2
00
2
2
l
t clt
c
2
0 0
t l
t l
Porém sabemos que:
0t t
20
0 0
t l
t l
2
0
0
1ll l
l
2
021
ul l
c
Ou:
2
01l l
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O comprimento l0 é chamado de
comprimento próprio e o fenômeno descrito é
chamado de contração de Lorentz.
Sincronização de relógios e
simultaneidade.
Anteriormente, observamos a medida de um
intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem
no mesmo ponto em determinado sistema
referencial. Ele pode ser medido utilizando um
relógio simples. No referencial em movimento em
relação ao primeiro, os mesmos dois eventos
ocorrem em diferentes lugares, portanto são
necessário dois relógios para medir o intervalo de
tempo. O tempo de cada evento é medido em
relógios diferentes, e o intervalo é encontrado pela
subtração. Esse procedimento requer que os
relógios estejam sincronizados.
É possível demonstrar que:
Dois relógios que estão sincronizados em um
sistema referencial não estão necessariamente
sincronizados em algum outro sistema referencial
movendo-se relativamente em relação ao sistema
referencial. (Relógios sincronizados).
Um corolário desse resultado: Dois eventos
que são simultâneos em um sistema referencial
tipicamente não são simultâneos em um outro
sistema referencial que se move em relação ao
primeiro. (Eventos simultâneos).
Definição de eventos simultâneos: Dois
eventos em um sistema referencial são simultâneos
se o sinal luminoso dos eventos chegam ao mesmo
tempo para um observador situado no meio
caminho entre os eventos.
Para mostrar que dois eventos são
simultâneos num referencial S e não são
simultâneos num referencial S’, utilizaremos um
exemplo importante proposto por Einstein.
Um trem, movendo-se a velocidade v,
passa por uma plataforma. Considere o trem em
repouso em S’ e a plataforma estar em repouso em
S.
Há observadores A’, B’, e C’ localizados
na frente, atrás e no meio do trem. Suponha
que a plataforma e o trem sejam atingidos por
relâmpagos, na frente e atrás do trem e que os
relâmpagos são simultâneos no referencial da
plataforma S. O observador C, no meio da plataforma
entre as posições A e B, vê os relâmpagos no
mesmo tempo. É conveniente supor que a luz
chamusca o trem e a plataforma e os eventos
podem ser facilmente localizados. Como C’ está
no ponto médio do trem, o ponto médio das marcar
feitas pelo relâmpago, os eventos são simultâneos
em S’ somente se C’ observa os flashes ao mesmo
tempo. A luz à frente de C’ é vista por C’ antes
que a luz atrás. Entendemos assim por considerar o
movimento de C’ como é visto no referencial S.
No momento em que a luz da frente atinge C’ C’
move-se alguma distância para frente do flash da
frente e alguma distância para o flash de trás.
Então, a luz do flash de trás ainda não atinge C’,
como é indicado na figura a seguir.
O observador C’ deve então concluir que
os eventos não são simultâneos e que a parte da
frente do trem foi atingida antes que a de trás.
Conseqüentemente, todos os observadores
em S’ concordam com C’ quando é considerada a
correção do tempo que leva a luz para chegar a
eles.
A figura a seguir mostra a luz que é vista
no referencial do trem (S’). Nessa fotografia, a
plataforma está se movendo, estão a distância entre
as duas marcas da plataforma está contraída. A
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plataforma é menor do que está em S e, desde que
o trem está em repouso, o trem é maior do que seu
comprimento contraído em S. Quando a luz a
frente do trem atinge o ponto A’, a frente do trem é
o ponto A, e a luz ainda não atingiu o ponto B.
Quando a luz atinge a parte de trás do trem em B’,
atinge o ponto B da plataforma.
A discrepância no tempo dos dois relógios
sincronizados em S, como é vista em S’, pode ser
encontrada pelas equações da transformações de
Lorentz. Suponha que tenhamos relógios em x1 e
x2, que estão sincronizados em S. O que são os
tempos t1 e t2 nesses relógios como observados de
S’ no tempo t0’? Utilizando a transformação de
Lorentz, teremos:
10 1 2
v xt t
c
20 2 2
v xt t
c
Então:
0 11 2
t v xt
c
0 22 2
t v xt
c
2 1 2 12
vt t x x
c
Como o comprimento próprio é dado por:
2 1pL x x
2 1 2 p
vt t L
c
A transformação das velocidades
x x v t
y y
z z
2
v xt t
c
2
1
1
vdx dx v dt
c
22
1
1
v dxdt dt
c
2
22
1
1
1
1
x x
dx v dtdx
v vv dxdt
dtc
21
x
dxv
dtv
dxv
dt
c
21
xx
x
v vv
v v
c
22
1
1
y y
dy dyv v
v dxdtdt
c
22
1
1
y
dy
dtvdx
vdt dt
dt c
22
11
1
y
y
x
vv
v v
c
2
2
1
1
y
yx
vv
v v
c
Similarmente:
2
2
1
1
zz
x
vv
v v
c
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O paradoxo dos gêmeos.
Dois gêmeos fazem a seguinte experiência:
um deles parte da Terra numa astronave, com
destino a uma estrela distante, enquanto o outro
permanece na Terra. Ao retornar, o viajante
encontra-se com o gêmeo que permaneceu na
Terra e observa que este estará anos mais velho do
que ele.
Exemplo1. : Sua nave passa a 0.999c da
Terra. Depois de 10 anos viajando (medido no seu
tempo) você retorna à Terra com a mesma
velocidade e leva os mesmos 10 anos para voltar
(medido no seu tempo). Quanto tempo passará na
Terra, desprezando efeitos da desaceleração?
02
2
1
1
t tv
c
2
2
110
0.9991
tc
c
222.7t
(ida)
448T a
Exemplo 2: Uma régua de comprimento
próprio 1 m move-se com velocidade v relativa a
você. Você mede um comprimento de 0.914m.
Qual é a velocidade v?
2
21p
vL L
c
2
21
p
Lv c
L
2
2
0.9141
1v c
0.406v c
Exemplo 3: Um avião supersônico move-
se a uma velocidade de 1000 m/s (3 vezes a
velocidade do som) ao longo de um eixo x em
relação a você. Um segundo avião, move-se com
velocidade de 500 m/s em relação ao primeiro
avião e para longe de você. Qual a velocidade do
segundo avião em relação a você?
21
xx
x
v vv
v v
c
21 x
x x
v vv v v
c
21 x
x x
v vv v v
c
2
xx x x
v vv v v v
c
21 x
x x
v vv v v
c
21
xx
x
v vv
v v
c
12
2 8
1000 5005.6 10
3 10
xv v
c
~ 500 1000 15001 0
xx
v v mv
s
Exemplo 4: Um observador numa
espaçonave possui uma arma de fogo e um
espelho, como mostra a figura.
A distância entre a arma e o espelho é de
15 minutos-luz e a espaçonave, em S’ atravessa a
velocidade v = 0.8c em relação a uma plataforma
muito longa em S. A plataforma possui dois
relógios sincronizados, um localizado na posição
x1 da espaçonave e outro relógio a x2 quando a luz
retorna após a reflexão do espelho. Encontre o
intervalo de tempo entre os dois eventos (explosão
da arma de fogo e recebimento do sinal após a
reflexão no espelho)
(a) no referencial da espaçonave.
(b) no referencial da plataforma.
(c) Encontre a distância percorrida pela
espaçonave.
(d) o tempo de não sincronização dos
relógios da plataforma de acordo com os
observadores na espaçonave.
(a) Na espaçonave, a luz atravessa a distância da
arma ao espelho e percorre uma distância total de:
D
D c t tc
DD c t t
c
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
9
Como os eventos ocorrem no mesmo lugar na
espaçonave, o intervalo de tempo é o tempo
próprio.
30p p
D ct t
c c
30minpt
(b) No referencial S, o intervalo de tempo
entre os eventos é maior por um fator :
2
2
1
1
p pt t t tv
c
2
1 530 30
31 0.8t t
50mint
(c) No referencial S, a distância percorrida
pela espaçonave é:
2 1x x v t
2 1 2 10.8 50 40 minx x c x x c
(d) Os relógios da plataforma estão fora de
sincronização pela quantidade:
2s P
vt L
c
2
0.840 mins
ct c
c
32minst
Momento relativístico
As leis do movimento de Newton possuem a
mesma forma em todos os sistemas de referenciais
inerciais. Quando utilizamos uma transformação
para i de um sistema á outro, as leis permanecem
invariantes. Porém, o princípio da relatividade
obriga a trocar as transformações de Galileo pelas
de Lorentz, que são mais gerais. Isso exige
generalizações correspondentes para as leis de
movimento e para as definições de energia e
momento linear.
O princípio da conservação do momento
linear afirma que, quando dois corpos interagem, o
momento linear total permanece constante, desde
que a força externa resultante que atua sobre os
corpos no sistema referencial inercial seja nula.
Suponha que observemos uma colisão em
um sistema referencial inercial S e verifiquemos
que o momento é conservado. Então, usa-se as
transformações de Lorentz para obter as
velocidades em um segundo sistema referencial S´.
Verifica-se que, usando a definição de momento
linear: p m v
, o momento linear não é
conservado no segundo sistema de referência!
Como temos certeza que o princípio da
relatividade e as transformações de Lorentz são
corretos, a única maneira de salvar a lei da
conservação do momento linear consiste em
generalizar a definição de momento linear.
Suponha que, ao medirmos a massa de
uma partícula que está em repouso em relação a
nós, achamos um valor m; geralmente chamamos
de massa de repouso a massa m. Vamos chamar de
partícula material toda partícula com massa de
repouso diferente de zero. Quando essa partícula
tem velocidade v
, seu momento linear
relativístico p
é dado por:
2
21
m vp
v
c
Ou p m v
Exemplo 5 - Da segunda Lei de Newton:
dpF
dt
Então, usando 2
21
m vp
v
c
como
momento linear (relativístico) e se a força
resultante e a velocidade estiverem situadas num
mesmo eixo, mostre que: 3F m a
2
21
d m vF
dt v
c
11
2 2 2
2 2 2
22
2
1 21 1
2
1
dv v v v dvm m v
dt c c c dtF
v
c
12 2 2
2 2 2
22
2
1 1
1
v v vm a m v a
c c cF
v
c
2
2 2
122 2
2
2
2
1
1
1
v
v c
cv
cF m a
v
c
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
10
2 2
2 2
12 2
2
2
2
1
1
1
v v
c c
v
cF m a
v
c
2 2
2 2
11
2 2
2
1
1
v v
c cF m a
v
c
32 2
21
mF a
v
c
3F m a
Energia Relativística
Suponha que a força resultante e o
deslocamento estão numa mesma direção. O
trabalho realizado por esta força é:
W Fdx
2
1
32 2
21
x
x
m dvW dx
dtv
c
320 2
21
vm dx
W dvdt
v
c
320 2
21
vm v
W dv
v
c
2
2 21 2
v vu du dv
c c
2
21
2
3
1 22
v
c m cW du
u
2
21
32
2
12
v
cm cW u du
2
21
1
2 2
1
12
2
vu
c
u
m c uW
2
21
2
1
1v
uc
u
W m cu
2 2
2
2
1 1
11
W m c m cv
c
2 2
2
2
1
1
W m c m cv
c
21W m c
Utilizando o teorema trabalho – energia:
21W K m c
Energia total da partícula: 2E K m c
2E m c
A energia 2m c associada à massa de
repouso m da partícula é a chamada energia de
repouso da partícula. Se eliminarmos a velocidade
v da partícula chega-se a:
2 2 2
2
1
1
E E
m c m c v
c
2
22
2
1
1
E
vm c
c
2
21
m vp
v
c
2
22
2
21
v
p c
vm c
c
2 22 2E m c p c
(energia total, energia de repouso e momento
linear.)
Efeito Doppler
O Efeito Doppler é o deslocamento da
freqüência de uma fonte produzido pelo
movimento relativo entre a fonte e o observador.
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
11
Para uma fonte emitindo ondas eletromagnética
com freqüência f0 que se aproxima de um
observador com velocidade relativa u, a freqüência
f medida pelo observador é dada por:
0
c uf f
c u
Se a fonte se afasta do observador:
0
c uf f
c u
O Sistema GPS (Adaptado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Gps)
O sistema de posicionamento global,
popularmente conhecido por GPS (acrônimo do
original inglês Global Positioning System, ou do
português "geo-posicionamento por satélite") é um
sistema de navegação por satélite que fornece a um
aparelho receptor móvel a posição do mesmo,
assim como informação horária, sob todas
quaisquer condições atmosféricas, a qualquer
momento e em qualquer lugar na Terra, desde que
o receptor se encontre no campo de visão de quatro
satélites GPS. Encontram-se em funcionamento
dois sistemas de navegação por satélite: o GPS
americano e o GLONASS russo. Existem também
dois outros sistemas em implementação: o Galileu
da União Européia e o Compas chinês. O sistema
americano é detido pelo Governo dos Estados
Unidos e operado através do Departamento de
Defesa. Inicialmente o seu uso era exclusivamente
militar, estando atualmente disponível para uso
civil gratuito. No entanto, poucas garantias
apontam para que em tempo de guerra o uso civil
seja mantido, o que resultaria num sério risco para
a navegação. O GPS foi criado em 1973 para
superar as limitações dos anteriores sistemas de
navegação.
O sistema foi declarado totalmente
operacional apenas em 1995. Seu desenvolvimento
custou 10 bilhões de dólares. Consiste numa
"constelação" de 24 satélites. Os satélites GPS,
construídos pela empresa Rockwell, foram
lançados entre Fevereiro de 1978 (Bloco I), e 6 de
Novembro de 2004 (o 29º). Cada um circunda a
Terra duas vezes por dia a uma altitude de 20200
quilômetros (12600 milhas) e a uma velocidade de
11265 quilômetros por hora (7000 milhas por
hora), de modo que, a qualquer momento, pelo
menos 4 deles estejam “visíveis” de qualquer
ponto da Terra. Os satélites têm a bordo relógios
atômicos e constantemente difundem o tempo
preciso de acordo com o seu próprio relógio, junto
com informação adicional como os elementos
orbitais de movimento, tal como determinado por
um conjunto de estações de observação terrestres.
O receptor não necessita de ter um relógio
de tão grande precisão, mas sim de um
suficientemente estável. O receptor capta os sinais
de quatro satélites para determinar as suas próprias
coordenadas, e ainda o tempo. Então, o receptor
calcula a distância a cada um dos quatro satélites
pelo intervalo de tempo entre o instante local e o
instante em que os sinais foram enviados (esta
distância é chamada pseudodistância).
Decodificando as localizações dos satélites a partir
dos sinais de microondas (tipo de onda
eletromagnética) e de uma base de dados interna, e
sabendo a velocidade de propagação do sinal, o
receptor, pode situar-se na intersecção de quatro
calotes, uma para cada satélite. Até meados de
2000 o departamento de defesa dos EUA impunha
a chamada "disponibilidade seletiva", que consistia
em um erro induzido ao sinal impossibilitando que
aparelhos de uso civil operassem com precisão
inferior a 90 metros.
Porém, o presidente Bill Clinton foi
pressionado a assinar uma lei determinando o fim
dessa interferência no sinal do sistema, desse modo
entende-se que não há garantias que em tempo de
guerra o serviço continue a disposição ou com a
atual precisão.
No cenário militar, o GPS é também
usado para o direcionamento de diversos tipos de
armamentos de precisão, como as bombas JDAM
(Joint Direct Attack Munition) e os famosos
mísseis Tomahawk. Estas bombas "inteligentes"
são guiadas a seus alvos por um sistema inercial
em conjunto com um GPS. Este tipo de sistema de
guiamento pode ser usado em qualquer condição
climática e garante um alto índice de acertos. lém
de sua aplicação óbvia na aviação geral e
comercial e na navegação marítima, qualquer
pessoa que queira saber a sua posição, encontrar o
seu caminho para determinado local (ou de volta
ao ponto de partida), conhecer a velocidade e
direção do seu deslocamento pode-se beneficiar
com o sistema. Atualmente o sistema está sendo
muito difundido em automóveis com sistema de
navegação de mapas, que possibilita uma visão
geral da área que você está percorrendo.
A comunidade científica utiliza-o pelo seu
relógio altamente preciso. Durante experiências
científicas de recolha de dados, pode-se registrar
com precisão de micro-segundos (0,000001
segundo) quando a amostra foi obtida.
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
12
Naturalmente a localização do ponto onde a
amostra foi recolhida também pode ser importante.
Agrimensores diminuem custos e obtêm
levantamentos precisos mais rapidamente com o
GPS. Unidades específicas têm custo aproximado
de 3.000 dólares e precisão de 1 metro, mas
existem receptores mais caros com precisão de 1
centímetro. A recolha de dados por estes
receptores é mais lenta. Guardas florestais,
trabalhos de prospecção e exploração de recursos
naturais, geólogos, arqueólogos, bombeiros, são
enormemente beneficiados pela tecnologia do
sistema. O GPS tem-se tornado cada vez mais
popular entre ciclistas, balonistas, pescadores,
ecoturistas, geocachers, vôo livre ou por
aventureiros que queiram apenas orientação
durante as suas viagens. Com a popularização do
GPS, um novo conceito surgiu na agricultura: a
agricultura de precisão. Uma máquina agrícola
dotada de receptor GPS armazena dados relativos à
produtividade em um dispositivo de memória que,
tratados por programa específico, produz um mapa
de produtividade da lavoura. As informações
permitem também otimizar a aplicação de
corretivos e fertilizantes.
Latitude
A latitude é a distância ao Equador
medida ao longo do meridiano de Greenwich. Esta
distância mede-se em graus, podendo variar entre
0º e 90º para Norte ou para Sul.
Por exemplo, Lisboa está à latitude de 38º
4´N, o Rio de Janeiro à latitude de 22º 55´S e
Macau à latitude de 22º 27´N.
Longitude
A longitude é a distância ao meridiano de
Greenwich medida ao longo do Equador. Esta
distância mede-se em graus, podendo variar entre
0º e 180º para Este ou para Oeste.
Por exemplo, Lisboa está à longitude de
9º 8´W, o Rio de Janeiro à longitude de 34º 53´W
e Macau à longitude de 113º 56´E.
Altitude
A Terra é aproximadamente esférica, com
um ligeiro achatamento nos pólos. Para se definir a
altitude de um ponto sobre a Terra define-se uma
esfera --- geóide --- com um raio de 6378 km. A
altitude num ponto da Terra é a distância na
vertical à superfície deste geóide. Por exemplo, a
altitude média do Aeroporto de Lisboa é de 114 m,
mas a altitude média da Holanda é negativa.
Existem algumas páginas na Internet com
a informação relativa à latitude e longitude de cidades:
http://www.realestate3d.com/gps/world-latlong.htm Site do Google Earth:
http://www.google.com.br/intl/pt-
BR/earth/index.html
Fatos interessantes
O primeiro satélite GPS foi lançado em
1978.
O sistema atual é composto de satélites
GPS de segunda geração, chamado Bloco II.
O primeiro satélite do Bloco II foi
lançado em 1989.
O Departamento de Defesa dos Estados
Unidos declarou o GPS inteiramente operacional
em 1995.
Quando o sistema foi inicialmente
introduzido, erros de cálculo eram programados
em transmissões GPS para limitar a precisão de
receptores GPS não-militares. Essa operação foi
cancelada em maio de 2000.
Há 24 satélites GPS em órbita neste
momento.
Os 24 satélites custaram cerca US$ 12
bilhões para serem fabricados e lançados.
Cada satélite pesa aproximadamente 785
kg.
Os satélites estão em órbita a cerca de 20
mil km acima da Terra.
Um satélite leva 12 horas para orbitar a
Terra completamente.
Os russos possuem um sistema idêntico
ao sistema americano chamado GLONASS. Adaptado de:
http://informatica.hsw.uol.com.br/receptores-gps2.htm
Assim como o sistema GPS/NAVSTAR, o sistema
GLONASS foi desenvolvido inicialmente para fins
militares. O sistema foi inicialmente desenvolvido
pela extinta União Soviética a partir do ano de
1976. O primeiro satélite foi lançado em 1982,
sendo o primeiro teste com quatro satélites
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
13
realizado em 1984 2 . O número de satélites foi
gradualmente aumentado até obter-se uma
constelação entre 10-12 satélites que permitiu
definir o sistema como operacional (mas não com
cobertura global) em 1993. A crise econômica
advinda do fim da União Soviética reduziu os
investimentos no sistema, que entrou em franca
decadência. Na década de 2000, sob a presidência
de Vladimir Putin, a restauração do sistema foi
feita com grande prioridade do Governo e o
financiamento foi aumentado substancialmente. A
partir de 2003 uma nova geração de satélites
(GLONASS-M) foi lançada e em Outubro de 2011
o sistema tornou-se completamente operacional e,
possuindo 24 satélites, passou a possibilitar
cobertura global2 . Também em 2011 foi lançado o
primeiro satélite da terceira geração de satélites
GLONASS, chamada de GLONASS-K, cuja
proposta é atualizar completamente o sistema até o
ano de 2021.
Características do sistema
O sistema GLONASS é estruturado em três
segmentos: espacial, usuário e controle. 2 4 .
O segmento espacial é composto pela constelação
de satélites dispostos distribuídos em três planos
orbitais em Média Órbita Terrestre.
O segmento de usuário define todos os receptores
na superfície terrestre que permitem rastrear os
satélites GLONASS. Considera-se que para
receber um posicionamento adequado um receptor
deve receber o sinal de quatro satélites: três para
obter as coordenadas da posição e o quatro para
determinar o tempo. 1 2 4
O segmento de controle define as estações
terrestres que controlam e monitoram os satélites
GLONASS, corrigindo suas órbitas e relógios. O
segmento de controle do GLONASS está
diretamente subordinada à Força Espacial Russa. 2
O sistema de tempo no GLONASS é baseado em
uma escala atômica, não contínua, orientada ao
horário padrão da cidade de Moscou, Rússia. As
efemérides são transmitidas no sistema de
referência PZ-90. Soluções que demandem a
combinação de GLONASS com sistemas como
GPS demandam que sejam realizadas
transformações pertinentes entre PZ-90 e outros
sistemas de referência como WGS84.1
Diversos estudos científicos foram efetuados pela
comunidade internacional para avaliar a eficácia
do posicionamento GLONASS em comparação
com o posicionamento obtido via GPS. Pelas
características dos sistemas, considera-se que GPS
possui melhor alcance global do que o GLONASS,
ainda que a diferença da acurácia do
posicionamento para ambos sistemas não seja
relevante para a maior parte das necessidades em
que não se demande alto grau de acurácia (como
posicionamento veicular). 2
As principais vantagens, no entanto, apresentadas
pela literatura englobam principalmente a
utilização de posicionamento que combine os
sistemas GLONASS e GPS com o intuito de
melhorar a geometria (PDOP) da recepção dos
sinais, aumentar a oferta de satélites que possam
ser rastreados e minimizar a possibilidade de
bloqueio dos sinais dos satélites em cenários como
cânions urbanos. 2 3
Exercícios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Física Moderna – Capítulo 1 – Relatividade Restrita Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori
14
8.
9.
10.