UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES

URI - CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE MATEMÁTICA

JULIANA MOTERLE

TEOREMA DE PITÁGORAS

ERECHIM 2010

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JULIANA MOTERLE

TEOREMA DE PITÁGORAS

Trabalho de conclusão de curso, apresentado ao Curso de Matemática, Departamento das Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus de Erechim. Profª. Orientador (a) Adriane Zago.

ERECHIM

2010

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Dedico o presente trabalho acadêmico a minha

mãe e ao meu pai, pessoas maravilhosas que

sempre estiveram ao meu lado me ajudando,

apoiando e me ensinando a viver a vida com

dignidade e honestidade.

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AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar devo agradecer a Deus que em todos os momentos de nossa vida está

presente guiando-nos com sua luz divina.

Aos meus pais, que compartilharam e alimentaram meus ideais, incentivando-me a prosseguir

na jornada e a superar os obstáculos.

À minha orientadora, profª. Adriane Zago, pelos conhecimentos e pela sua amigável

convivência.

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“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho dos homens”.

Descartes

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RESUMO

Ao transmitir determinado conteúdo, o professor é frequentemente questionado sobre qual origem ou finalidade da matéria a ser apresentada. Diante disso, muitos professores não têm conhecimento suficiente para responder tais perguntas feitas pelos alunos e apresentam o conteúdo de uma forma acabada não contextualizando com as suas origens. Neste trabalho tenho como objetivo principal resgatar a história de vida de um dos matemáticos mais famosos da época: Pitágoras, bem como relacionar e analisar a influência das contribuições de Pitágoras ao Ensino de Matemática. O estudo baseia-se em uma análise bibliográfica, onde foram levantados dados de livros, artigos e textos sobre o assunto. Com isso, pode-se dizer que este trabalho contribui para os professores de matemática, orientadores educacionais, alunos e a todos aqueles que acreditam que a matemática pode ser estudada relacionando o contexto histórico que foi produzido. Palavras-chave: Pitágoras. Ensino de Matemática. Relacionar descobertas.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Símbolo da Escola Pitagórica.............................................................................17

Figura 2: Subdivisão das diagonais de um pentágono.......................................................18

Figura 3: Representação dos números pitagóricos.............................................................20

Figura 4: Representação da pirâmide pitagórica................................................................20

Figura 5: Representação dos números triangulares............................................................21

Figura 6: Modelo da corda de 13 nós.................................................................................23

Figura 7: Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Quadrado Chinês..............24

Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Bhaskara...........................25

Figura 9: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes....25

Figura 10: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes..26

Figura 11: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de semicircunferências........27

Figura 12: Esquema da aplicação do Teorema de Pitágoras..............................................28

Figura 13: Triângulo inscrito em uma circunferência........................................................29

Figura 14: Imagem formada por um triângulo e três semicircunferências........................30

Figura 15: Áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos de um triângulo...............30

Figura 16: Modelo de uma escada, onde é aplicado o Teorema de Pitágoras....................31

Figura 17: Esquema da distância de uma escada em relação ao muro...............................32

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 8

2 IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA .......................................... 9

3 HISTÓRIA DA VIDA DE PITÁGORAS .................................................................. 11

4 A ESCOLA PITAGÓRICA ........................................................................................ 16

5 DESCOBERTAS E CONTRIBUIÇÕES DE PITÁGORAS PARA MATEMÁTICA ..............................................................................................................

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5.1 MISTICISMO SOBRE OS NÚMEROS.................................................................... 20

5.2 A DESCOBERTA DOS IRRACIONAIS.................................................................. 22

5.3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES SOBRE O TOREMA DE PITÁGORAS.......... 23

6 APLICAÇÕES ............................................................................................................. 28

CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 33

REFERÊNCIAS.............................................................................................................. 35

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1 INTRODUÇÃO

Estudar a História da Matemática é de extrema importância tanto para nós futuros

professores, quanto para os alunos, pois é através dela que podemos estimular os estudantes,

fazendo com que realmente compreendam o conteúdo trabalhado e desenvolvam o espírito

crítico.

Acredita-se que se o professor tem um bom conhecimento sobre a história da matemática,

terá melhores condições de entender as dificuldades enfrentadas pelos alunos.

Através dela também percebemos que muitas das teorias que conhecemos hoje, resultaram

de um longo processo de transformações e quase sempre numa ordem diferente daquela

descoberta. Tudo, inclusive o que já nos parece trivial, custou esforço, erros, tentativas, até

que um resultado fosse construído. Através da história, desses esforços permanente que se

procura retratar.

A matemática é um aspecto único do pensamento humano, e sua história difere na

essência de todas as outras histórias. Sendo assim, o presente trabalho será um resgate da

história, com o objetivo de verificar quais as descobertas de Pitágoras que estão presentes

ainda hoje no ensino da Matemática.

Na revisão de literatura deste estudo, primeiramente faz-se uma breve contextualização

sobre a importância de estudar a história da matemática dentro do processo ensino-

aprendizagem.

Em um segundo momento é feito uma abordagem sobre a história da vida de Pitágoras, a

trajetória de sua vida desde o nascimento até a sua morte. Ainda nesta seção é feito um

levantamento de alguns pensamentos ou ditos que Pitágoras e seus discípulos pregavam por

toda a Grécia.

Logo após comenta-se sobre a Escola Pitagórica, fazendo-se um breve relato sobre as

regras que deveriam ser seguidas e seus objetivos.

Em seguida são apresentadas algumas contribuições e descobertas que Pitágoras fez em

relação à Matemática, como por exemplo, os números irracionais e o Teorema de Pitágoras.

E por último é feita uma relação destas descobertas e onde elas são aplicadas no nosso dia

a dia.

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2 IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

É muito comum em uma sala de aula, que o professor ao transmitir um determinado

conteúdo, seja questionado pelos alunos em relação à origem daquele tópico da matéria. As

perguntas mais frequentes que costumam surgir são: ”quem inventou isso?”; “como e quando

surgiu esta idéia?”; “como eles conseguiram chegar a este resultado?”; “quem foi este

matemático?”. Diante de perguntas como estas o docente nem sempre tem conhecimento

suficiente para responder, ou seja, explicar que ao longo de um grande período passou por

inúmeras transformações até chegar ao que conhecemos hoje. Diante de tudo isso, é preciso

que o professor tenha domínio do conteúdo e, além disso, tenha conhecimentos sobre a

história para não ensinar apenas o “para quê”, mas responder aos “porquês” dentro do

processo de ensino.

Nobre (1996) ressalta que é através da história que buscamos fundamentação aos

conteúdos abordados:

À busca das contradições das ciências [...] é que proponho um tratamento diferenciado à transmissão dos conhecimentos, ou seja, que se tente acompanhar o conceito a ser trabalhado a partir de seu desenvolvimento histórico. Desta forma, a educação assume um caminho diferente. Em vez de se ensinar à praticidade dos conteúdos escolares, investe-se na fundamentação deles. Em vez de se ensinar o para quê , ensina-se o porquê das coisas. (NOBRE,1996, p.31).

A História da Matemática é de extrema importância, pois é através dela que se pode

estimular o espírito crítico dos estudantes, fazendo com que compreendam o conteúdo

apresentado.

É muito importante lembrar que a História da Matemática, não é apenas uma narração de

fatos já acontecidos, ela é muito mais que isso. Para D’Ambrósio (1996), ela não serve apenas

para professores e alunos, mas para o público em geral, e a sua importância se revela nos mais

diferentes aspectos, tais como:

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a. Para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução; b. Para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de matemática desenvolvidas pela humanidade; c. Para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio; d. E desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento científico, tecnológico e econômico. (D’AMDRÓSIO, 1996, p.10).

As abordagens históricas feitas em sala de aula com os alunos podem servir como

motivação para os estudantes. D’Ambrósio afirma que “torna-se cada vez mais difícil motivar

os alunos para uma ciência cristalizada. Não é sem razão que a história vem aparecendo como

um elemento motivador de grande importância.” (D’AMBRÓSIO, 1996, p. 31).

Além disso, muitos pesquisadores acreditam que se o professor tem um bom

conhecimento sobre a História da Matemática, ele terá condições de entender as dificuldades

encontradas pelos estudantes e através disso desenvolver estratégias para que o aluno possa

superar estas dificuldades.

Portanto, na busca pela compreensão da matemática desde o seu início e de uma

justificativa para o ensino desta é que se propõe o estudo mais detalhado da sua história, não

apenas na tentativa de explicar suas origens, sua evolução ou suas aplicações no cotidiano de

nossos alunos, mas a fim de ampliar as concepções de mundo dos alunos, de romper com o

que é estático, e assim, possibilitar uma maior interação, ou seja, uma intervenção na sua

realidade.

Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje aparecem

acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram e que

foram desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre numa ordem diferente daquela em

que são apresentadas após todo o processo de descoberta.

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3 HISTÓRIA DA VIDA DE PITÁGORAS

Místico, filósofo, físico e matemático, Pitágoras de Samos viveu em torno de 530 a.C. e

morreu no início do século V a.C. Não há uma história completa da sua vida, obra e

pensamentos, pois embora se tenha escrito muito de suas teorias, não há, em nenhuma obra,

um relato satisfatório de sua vida. Mas acredita-se que tenha nascido na ilha de Samos.

(PEREIRA, 2002).

No século anterior ao nascimento de Pitágoras, Samos tornou-se a ilha mais rica do Egeu.

Assim Pitágoras teria nascido no começo da idade de ouro da cultura grega antiga. Foi nesta

época que começaram a surgir também os primeiros filósofos em Mileto, um deles

Anaximandro, que viria a ser professor de Pitágoras. Mas este não foi o único professor que

ele teve, Pitágoras primeiro trabalhou com a matemática e a aritmética e, depois, aderiu às

práticas milagreiras do filósofo e fabulista Ferécidas. Enquanto Anaximandro era um filósofo-

cientista, Ferécidas era um filósofo-feiticero, nenhum dos dois era matemático.

(STRATHERN, 1998).

Pitágoras era um dos maiores filósofos da Europa antiga, pouco se sabe sobre a sua

juventude, a não ser que conquistou vários prêmios nos Jogos Olímpicos e era filho de um

rico comerciante de Samos, Mnesarco. (PROF2000, 2010).

Quando chegou a sua idade adulta, não estava satisfeito com os conhecimentos adquiridos

em sua cidade natal, então deixou a ilha onde vivia e passou um longo período viajando a

procura de novos conhecimentos. Sua peregrinação se estendeu ao Egito, Inostão, Pérsia,

Creta e Palestina, em cada um destes lugares citados adquiriu nova sabedoria. (PROF2000,

2010).

Quanto à matemática, Pitágoras parece ter aprendido mais nas viagens que fizera ao Egito.

Ele aprendeu muito sobre os números e as figuras com as civilizações que estavam a ponto de

declinar no Oriente próximo. Strathern em seu livro fala um pouco mais sobre isso:

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Naquela época, as viagens ao Oriente eram consideradas uma forma de ampliar a mente, não de detoná-la. O Egito era considerado mais culto que a Grécia, e provavelmente devia ser ainda (embora não por muito mais tempo). Diz Aristóteles: “No Egito tiveram início as ciências matemáticas, pois lá a nação dos sacerdotes gozava de tempo livre”. Antes os gregos estiveram ocupados demais lutando uns com os outros para se importarem com as sutilezas do cálculo abstrato. (STRATHERN, 1998, p. 17).

Mas em suas viagens não adquiriu apenas conhecimentos matemáticos, foi também uma

busca religiosa. Pitágoras era sem dúvida uma grande cabeça que queria absorver tudo.

(STRATHERN, 1998, p. 23).

Finalmente com quarenta anos, Pitágoras regressa a Samos depois de suas viagens, lá ele

encontrou uma recepção hostil da população. Percebendo isso ele concluiu que só seria

ouvido se possuísse um grande aparato mitológico e em conseqüência disso partiu novamente

para Delos e Creta, a fim de aprender sobre mistérios secretos. (PEREIRA, 2002).

Em sua volta Pitágoras ganhou muito respeito e manteve uma áurea de admiração muito

grande. Ele afirmava que era através de Apolo que mantinha o domínio sobre a matemática,

ou seja, ele poderia transmitir seus conhecimentos através de poderes mágicos, isso fazia com

que os jovens despertassem um interesse muito grande em segui-lo. Os pais preocupados com

os seus filhos foram se queixar ao tirano de Samos, e este percebendo que Pitágoras poderia

ser uma ameaça, resolveu bani-lo da ilha para sempre. Dirigiu-se então, juntamente com sua

mãe e um discípulo para Crotona, na Magna Grécia, atual Itália. (PEREIRA, 2002).

Segundo Strathern (1998), em Crotona Pitágoras definia-se como filósofo e após tornou-

se professor de matemática atraindo um grupo muito grande de seguidores que de início

reconheceram suas qualidades.

Pereira (2002) em seu livro também nos fala um pouco mais sobre a sua chegada em

Crotona:

Crotona estava “madura” para receber Pitágoras, pois havia sido derrotada pelos lócrios e o seu povo possuía o desejo de dominar Síbaris. Em virtude de sua situação após derrotas em brigas internas, estava em situação de completa miséria, buscando, então, nas coisas do espírito e no atletismo esperanças de dias melhores. A cidade estava frágil e vulnerável as idéias como as defendidas por Pitágoras, que pudessem iluminar os crotoniatas com seu evangelho de luz. Crotona já havia ouvido falar sobre a vida austera e os poderes mágicos atribuídos a Pitágoras, que, então, passou a ser olhado como aquele que poderia unir as facções da aristocracia dirigente a fim de ser empreendida a destruição da vizinha cidade de Síbaris. (PEREIRA, 2002, p. 49).

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Posteriormente Pitágoras teria se casado com Teano, com a qual teve dois filhos e uma

filha. Sua esposa teria sido a primeira a escrever a biografia do filósofo. Foi ele o primeiro a

usar a palavra filosofia no sentido de expressar aquele que é amigo da sabedoria, também foi

ele quem criou a palavra matemática. (STRATHERN, 1998).

Foi em Crotona que ele começou a expressar em fórmulas matemáticas as leis da

natureza; para ele a matemática era vista de uma forma diferente, conforme afirma Strathern

(1998), em seu livro:

[...] a matemática era mais que uma busca intelectual; parecia explicar o mundo. A harmonia, a proporção, as propriedades dos números, a beleza da simplicidade e de certas formas ─ tudo isso parecia falar de uma natureza numérica profunda que governava todas as coisas. O que ficou ainda mais evidente nos seus estudos de astronomia. (STRATHERN, 1998, p. 35).

A astronomia que aplicamos hoje foi iniciada pelos babilônicos, que conheciam sete

planetas, incluindo o sol e a lua e os consideravam de origem divina. Através das descobertas

de Anaximandro, Pitágoras concluiu que os planetas produziam uma harmonia celestial,

conforme afirma Strathern (1998):

O movimento periódico dos corpos celestes reforçou a crença de Pitágoras na matemática. Desde o início, supôs-se naturalmente que a Terra fosse o centro do universo. Anaximandro foi o primeiro a perceber que os planetas estão mais perto da terra que as estrelas, e as observações que fez de seus movimentos convenceram-no de que cada um estava a uma distância diferente da Terra. O que levou Pitágoras a uma importante conclusão. Era como se os planetas e a Terra fossem de certa forma análogos a uma oitava musical. Os planetas (ou esferas, como eram chamados) eram com as sete cordas da lira e produziam uma harmonia celestial que Pitágoras chamou de “música das esferas”. (STRATHERN, 1998, p. 36).

Ele acreditava que estes planetas tinham uma velocidade diferente uns dos outros, por isso

os mais rápidos teriam uma nota mais alta e os mais lentos a nota mais baixa, estes estariam

mais próximos da terra. A música é uma relação numérica se ela soa sem harmonia, é porque

a relação entre os números não se encontra numa proporção justa. Concluiu que o movimento

dos corpos celestes era cíclico, isso quer dizer que cada um dos corpos retornava ao mesmo

lugar que havia saído, assim tudo o que ocorrera uma vez no mundo iria ocorrer novamente.

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Também acreditava que a esfera era o mais belo dos sólidos e o círculo a forma mais bela. Foi

ele quem sugeriu pela primeira vez que a Terra é globo giratório e através das suas

observações Pitágoras calculou a ordem dos planetas em distância crescente da Terra: Lua,

Mercúrio, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno. Com isso ele chegou à conclusão de que tudo

pode ser reduzido a formas geométricas, ou seja, tudo funciona de acordo com o número.

(STRATHERN, 1998).

Como resultado das suas crenças Pitágoras chegou a criar uma religião baseada em

números, a qual ele mesmo era o líder, isso ocorreu logo depois dele se tornar professor. Esta

religião era baseada em uma crença de que todas as almas haviam ocupado corpos diferentes

em vidas passadas, onde cada membro deveria seguir inúmeras regras, como por exemplo,

não comer carne de animais, pois acreditava-se que as almas dos mortos poderiam ter se

reencarnado nos corpos destes animais. (PEREIRA, 2002).

Strathern (1998), em seu livro cita mais algumas das proibições estabelecidas por

Pitágoras:

Entre as proibições constavam: comer feijão, dar a primeira mordida em pedaço de pão, deixar andorinhas fazerem ninho no próprio telhado, olhar num espelho à luz de vela e, especialmente, comer o próprio cachorro. Ao levantar-se da cama de manhã, o fiel devia desfazer a marca do corpo nos lençóis, e ao tirar a panela do fogo, devia revolver as cinzas para também remover a marca deixada. E muito, muito mais. (STRATHERN, 1998, p. 46).

A religião pitagórica seguia muitas regras, mas todas eram de natureza religiosa e não

civil, ou seja, fatos ligados a assuntos políticos só podiam ser tratados como um modo

religioso de vida. Apesar disso, o pitagorismo passou a ser visto pelos governantes

aristocráticos como uma espécie de revolucionários. Depois de trinta anos em Crotona

Pitágoras e seus discípulos foram expulsos, isso ocorreu por volta de 500 a.C. Nesta época já

tinha cerca de trezentos discípulos que diziam ser seus seguidores. Pitágoras juntamente com

seus discípulos seguiram então para Metaponto que era outra cidade-colônia grega. Não muito

depois da sua chegada a Metaponto Pitágoras faleceu. Segundo fontes ele teria morrido

queimado em um incêndio na casa comunitária onde morava, o mesmo teria sido provocado

por manifestantes antipitagóricos, nesta época Pitágoras devia ter em torno de sessenta anos.

(STRATHERN, 1998).

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Segundo texto encontrado no site da wikipédia (2010), Pitágoras tinha alguns

pensamentos ou ditos que eram bem conhecidos pelas pessoas que conviviam com ele ou que

por algum motivo tiveram contato. Os ditos mais conhecidos da época eram os seguintes:

1. Educai as crianças e não será possível punir os homens.

2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si.

3. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar é aproximar-se de Deus.

4. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

5. A evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.

6. Tudo é número.

7. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.

8. Ajude teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

9. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.

10. O que fala semeia; o que escuta recolhe.

Através destes pensamentos pode-se ter uma idéia geral de como era o dia-a-dia de

Pitágoras, quais eram as crenças ou mitos que acima de tudo ele fazia questão de priorizar.

Podemos dizer que Pitágoras representava muito para o povo daquela época, ele era

filósofo, astrônomo, matemático, santo, profeta, milagreiro e mágico. Seus seguidores

cultivaram suas crenças por quase todo o mundo grego. Em nenhuma outra época a

matemática teve um papel tão importante na vida e na religião como tinha entre os

pitagóricos. (BOYER, 1996).

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4 A ESCOLA PITAGÓRICA

Fundada em Crotona a escola pitagórica era politicamente conservadora e mantinha um

código de conduta muito rígido, ou seja, era uma irmandade estreitamente unida por ritos

secretos e cerimônias, nenhum dos seus discípulos jamais violou a regra até mesmo depois da

morte de Pitágoras e do fim da escola. Além disso, a escola era totalmente vegetariana,

aceitando assim a doutrina da metempsicose, ou seja, transmigração das almas. Todas as

proibições estabelecidas por Pitágoras em sua religião na escola eram seguidas com muito

rigor. Era uma espécie de escola com caráter duplo, pois dedicava-se a questões espirituais e

além disso aos estudos de Matemática, Astronomia e Música. (BOYER, 1996).

Os pitagóricos tinham por costume atribuir todas as descobertas ao fundador, por isso hoje

é tão difícil saber se foi realmente Pitágoras que fez estas descobertas ou se foram outros

membros que na época eram chamados de seus seguidores. (EVES, 1997).

Eves (1997), afirma que os pitagóricos em seus estudos, chegaram à conclusão de que

“tudo é número”. Eles acreditavam que toda uma série de realidades e fenômenos naturais são

traduzíveis por relações numéricas, como por exemplo, os fenômenos musicais, a

periodicidade do movimento celeste e os fenômenos da vida, deduzia-se que os elementos dos

números eram os elementos da realidade:

A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse grupo de matérias tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada. (EVES, 1997, p. 97).

Para entrar na escola o candidato era submetido a rudes provas, tanto psicológicas como

físicas e se fosse aprovado nestes testes era chamado de “acusmático”, ou seja, era

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obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio.

O site citado abaixo, nos fala um pouco mais sobre isso:

O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que “autos efa”- ele disse- constituía uma destacada feição da Escola; por isso a sua afirmação “Um amigo meu é o meu outro eu” tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instruções certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos. (PROF2000, 2010).

Pereira (2002) nos diz que em sua escola ele lutava a favor da aceitação do diferente, as

mulheres que eram excluídas das escolas na época, tinham a mesma chance de conseguir uma

vaga e, além disso, para conseguir entrar era preciso ter um certo nível de inteligência:

[...] somente os que se mostravam capazes de se impor severas privações físicas e de alimentar seu pensamento eram considerados verdadeiros membros da confraria pitagórica. Ter descendência nobre ou exercer funções influentes não fazia com que alguém fosse admirado para as conferências de Pitágoras, pois os candidatos que não apresentassem um mínimo de inteligência, ou condições éticas mínimas, eram excluídos inapelavelmente. Quanto às mulheres, eram admitidas nas mesmas condições que o homem [...]. (PEREIRA, 2002, p. 50-51).

O pentagrama, conforme figura 1, era o símbolo da Escola Pitagórica, que segundo

Pitágoras possui muitas propriedades interessantes.

Figura 1: Símbolo da Escola Pitágoras. Fonte: Wikipedia (2010)

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Boyer (1996), diz que este pentagrama é obtido traçando as diagonais de um pentágono

regular. Através das intersecções dos segmentos da diagonal se obtém um novo pentágono

regular, que é proporcional ao original pela razão áurea ou secção áurea:

Se começarmos com um polígono regular ABCDE (Fig. 2) e traçarmos as cinco diagonais, essas diagonais se cortam em pontos A’B’C’D’E’, que formam outro pentágono regular. Observando o triângulo BCD’, por exemplo, é semelhante ao triângulo isósceles BCE e observando também os muitos pares de triângulos congruentes no diagrama, não é difícil ver que os pontos A’B’C’D’E’ dividem as diagonais de um modo notável. Cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, tais que a razão da diagonal toda para o maior é igual à deste para o menor. Essa subdivisão das diagonais é a bem conhecida “secção áurea” de um segmento [...]. (BOYER, 1996, p. 34).

Figura 2: Subdivisão das diagonais de um pentágono. Fonte: Boyer (1996) Eves (1997), nos diz sobre o fim da escola: “[...]com o tempo, a influência e as tendências

aristocráticas da irmandade tornaram-se tão grandes que forças democráticas do sul da Itália

destruíram os prédios da escola fazendo com que a confraria se dispersasse. [...]” , foi neste

período que Pitágoras então foi expulso de Crotona e fugiu para Metaponto.

Vários nomes que fizeram parte da escola pitagórica, entre eles alguns foram destaque:

Filolaus de Tarento que nasceu por volta de c. 470 a.C. e morreu c. 390 a.C.; Arquitas de

Tarento, nasceu em 428 a.C. e Hipasus de Metapontum que viveu por volta de 400 a.C..

Alguns séculos mais tarde, a Escola Pitagórica voltou a reviver e seus membros passaram a

ser chamados então de neo-pitagóricos, um destes membros que mais se destacou foi

Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100. A existência da Escola Pitagórica se

prolongou por cerca de mil anos desde a sua fundação. (DM.UFSCAR, 2010)

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Uma das grandes contribuições da escola pitagórica à matemática foi organizar algumas

partes da geometria das paralelas, por meio do método demonstrativo, ou seja, por meio de

teoremas. Mas apesar de sua importância, nenhum escrito sobre a escola pitagórica

sobreviveu, as informações que conhecemos vieram de fontes indiretas muito posteriores.

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5 DESCOBERTAS E CONTRIBUIÇÕES DE PITÁGORAS PARA MATEMÁTICA

5.1 MISTICISMO SOBRE OS NÚMEROS

Para Pitágoras o mundo era formado por números, para mostrar isso eles reduziram tudo o

que existe a figuras geométricas simples. O número 1 era representado como um ponto, o 2

uma linha, o 3 como uma superfície e o 4 como um sólido. (BOYER, 1996). Em resumo seria

o seguinte:

Figura 3: Representação dos números pitagóricos. Fonte: Strathern (1998)

O mundo se traduz nesses números e em seus múltiplos, ele considerava o 10 como um

número sagrado, ou seja, o mais adorado de todos, por ser a soma destes quatro números

(1+2+3+4). (BOYER, 1996).

Era considerado também como o primeiro exemplo de número perfeito (chamado de

tetractis) e podia ser representado por uma pirâmide.

Figura 4: Representação da pirâmide pitagórica. Fonte: Strathern (1998)

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A pirâmide continha todos os números que faziam parte da harmonia fundamental da

música, 2:1, 3:2, 4:3, portanto, segundo Strathern (1998), estava ligada à harmonia das

esferas.

Um outro exemplo de número perfeito, consiste nos números iguais à soma de seus

divisores, incluindo o 1, mas excluindo o próprio número (STHATHERN,1998). Por

exemplo:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Os outros números perfeitos conhecidos pelos pitagóricos eram o 496 e o 8128. Através

dos números perfeitos, Pitágoras descobriu os números amigos que nada mais são do que

pares numéricos em que cada número é igual a soma dos fatores de outro. Por exemplo:

220 pode ser dividido por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. A soma destes números dá

284, que por sua vez pode ser dividido por 1, 2, 4, 71 e 142, cuja soma dá 220.

(STHATHERN, 1998).

Sthathern (1998), afirma que além dos números perfeitos e dos números amigos, os

pitagóricos também conheciam o número triangular, que consistia no seguinte:

Figura 5: Representação dos números triangulares. Fonte: Stathern (1998)

Cada número tinha um significado diferente, por exemplo, o número 1 é o gerador dos

números e representava a razão, 2 a opinião, o três era o número da harmonia, sendo

composto de unidade e diversidade, 4 a justiça ou o ajuste de contas, 5 era associado ao

casamento e também a natureza, porque quando multiplicado por si mesmo dá um resultado

que termina em si mesmo, o 6 é o número da criação. (BOYER, 1996).

Os números eram divididos em machos e fêmeas, e segundo Strathern (1998), para

Pitágoras o primeiro número da numeração a ser considerado era o 3:

1 = 1² 1 + 2 + 1 = 2² 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3² 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4² 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =5² E assim sucessivamente

22

Os números dividem-se em machos (ímpares) e fêmeas (pares). Essa premissa básica trouxe-lhe, porém, certas dificuldades. O número 1 não poderia ser o primeiro porque realmente não era um número de fato ─ era todo indivisível e, nesse estado indivisível, avesso inteiramente à noção divisional dos números da matemática. Por outro lado, 2 certamente não podia ser o primeiro número, pois era fêmea. O céu proibia. Então Pitágoras decidiu que 3 era o primeiro número real ─ pela engenhosa razão de que era o primeiro número complexo, porque tinha começo, meio e fim. (STRATHERN, 1998, p. 42).

Além dos pitagóricos, muitas outras civilizações primitivas também tinham como

referência este tipo de numerologia, mas foram os pitagóricos que adotaram com mais

seriedade a adoração dos números, chegando até mesmo a mudar seus modos de vida.

(BOYER, 1996).

5.2 A DESCOBERTA DOS IRRACIONAIS

A descoberta dos números irracionais foi um grande segredo que os pitagóricos da época

fizeram questão de manter, pois até o momento eram conhecidos somente os números

racionais e acreditava-se que estes eram capazes de explicar tudo, isso é o que Strathern

(1998), afirma em seu livro:

Outro grande segredo que os pitagóricos fizeram o máximo para preservar foi a descoberta dos números irracionais, como a raiz quadrada de 2, que não podem ser calculados. Significava que toda a estrutura da matemática, baseada em números racionais, simplesmente não podia explicar tudo. A teoria pitagórica nunca conseguiu superar essa devastadora descoberta, o que talvez explique por que os pitagóricos se esforçaram tanto para mantê-la em segredo. (STRATHERN, 1998, p. 54).

Segundo a lenda, o pitagórico Hipaso teria sido lançado ao mar por ter revelado a pessoas

estranhas o segredo dos irracionais ou segundo outra versão teria sido expulso da comunidade

pitagórica e teria sido erguido um túmulo como se ele estivesse morto. (EVES, 1997).

Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras, pois se um

triângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo:

23

x² = 1² + 1² → x² = 2, portanto a razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração

entre dois inteiros e sim um número irracional, raiz quadrada de 2. Essa descoberta era

inconciliável com a teoria dos números pitagóricos. A matemática da época era sobretudo

geometria. Os pitagóricos não podiam imaginar um número, cujo a representação era em

forma de uma figura em uma dimensão sem fim.

Na época os gregos ainda não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam

simplesmente “o número que multiplicado por si mesmo é 2”. Após algum tempo muitos

outros números irracionais foram descobertos por Teodoro da Cirene como por exemplo √3,

√5, √6, √7, √8, √10, √11, √12, √13, √14, √15 e √17. (EVES, 1997).

5.3 ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES SOBRE O TOREMA DE PITÁGOAS

Já é tradição atribuir a Pitágoras a descoberta de seu teorema que diz: Num triângulo

retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos

quadrados construídos sobre os dois catetos. Mas pesquisas realizadas no campo da História

da Matemática indicam que muito antes dos pitagóricos, na Babilônia, no tempo de

Hamuradi, já se tinha conhecimento sobre este teorema. (EVES, 1997).

Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, de modo a determinar um ângulo

reto, com os nós todos com a mesma distância em relação uns com dos outros e o primeiro nó

com o décimo terceiro sobreposto. No entanto de acordo com Boyer (1996), acredita-se que a

primeira demonstração desta relação foi dada por Pitágoras, no século VI a.C.

Figura 6: Modelo da corda de 13 nós. Fonte: Boyer (1996)

24

A importância do Teorema de Pitágoras pode ser sentida nas mais diversas áreas, como

por exemplo, em Arquitetura, em Agronomia, em Engenharia, em modelos matemáticos da

física e outros. Abaixo são citadas algumas das demonstrações deste teorema.

Demonstração 1: (Quadrado Chinês)

Esta é considerada uma das demonstrações mais elegantes do Teorema de Pitágoras

Figura 7: Demonstração do Teorema de Pitágoras através do Quadrado Chinês. Fonte: Furuya (1998)

O primeiro é composto por seis figuras: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e

quatro triângulos retângulos de catetos a e b. Se chamarmos de S a área de um desses

triângulos e sendo a área total da figura (a + b)², temos:

(a + b)² = a² + b² + 4S

O segundo quadrado também é composto por quatro triângulos retângulos iguais e de um

quadrado de lado c, equivalente à hipotenusa dos triângulos. Logo, neste quadrado temos:

(a + b)² = c² + 4S

Igualando os segundos membros das duas equações temos:

c² + 4S = a² + b² + 4S

Cancelando 4S dos dois lados da equação acima resulta:

c² = a² + b²

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Demonstração 2: (Bhaskhara)

Esta é uma outra demonstração obtida através da decomposição de um quadrado. Quem

fez esta demonstração foi o matemático Bhaskara do século XII. Segundo fontes ele teria

apenas desenhado a figura e escrito “Veja!”.

Figura 8: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Bhaskara. Fonte: Furuya (1998)

O quadrado maior de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo e mais um

pequeno quadrado de lado a – b.

Demonstração 3: (Semelhança de Triângulos)

Figura 9: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes. Fonte: Oliveira (2008)

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Vamos considerar o triângulo acima de catetos b e c e hipotenusa a. A altura AH, relativa

a base BC, divide este triângulo em dois outros: BHA e CHA. Como os ângulos agudos de

um triângulo retângulo somam 90°, os triângulos retângulos ABC, HBA e HAC, possuem os

mesmos ângulos, logo são semelhantes.

Figura 10: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de Triângulos Semelhantes. Fonte: Oliveira (2008) Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes obtemos:

BC/BA = BA/BH

a/c = c/m

c² = ma

Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes obtemos:

BC/AC = AC/HC

a/b = b/n

b² = na

Logo temos:

b² + c²= na + ma

b² + c²= (n + m) a

b² + c²= a. a

b² + c²= a²

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Demonstração 4: (Semicircunferências)

Figura 11: Demonstração do Teorema de Pitágoras através de semicircunferências. Fonte: Autor (2010)

Seja A1 a área da semicircunferência formada sobre a hipotenusa “a” do triângulo; A2 a

área sobre o cateto “b” e A3 sobre o cateto “c”.

Aplicando a fórmula da área da circunferência que é: A = π r² e dividindo por dois, pois

temos a metade de uma circunferência ficamos com:

A1 = ( π a²/4 )/2 A2 = ( π b²/4 )/2 A3 = ( π c²/4 )/2

A1 = π a²/8 A2 = π b²/8 A3 = π c²/8

Para provar a teorema temos que mostrar que A1 = A2 + A3, logo:

π a²/8 = π b²/8 + π c²/8

Cancelando π /8 de ambos os lados da igualdade ficamos com:

a² = b² + c²

Existem inúmeras demonstrações do Teorema de Pitágoras. Em 1940 o americano

matemático Elisha Scott Loomis, em seu livro “The Pythagorean Proposition”, publicou cerca

de 367 demonstrações.

28

6 APLICAÇÕES

Exemplo 1

O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do

homem. Por exemplo, a área de transportes que é considerado muito importante para o

desenvolvimento do país e o Teorema de Pitágoras está presente no intuito de dinamizar cada

vez mais o setor.

Vamos considerar a seguinte situação abaixo:

Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para

o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade

constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?

Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:

D = 30.6 = 180 km

Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:

D = 40.6 = 240 km

Veja o esquema, aplicando a Teorema de Pitágoras:

Figura 12: Esquema da aplicação do Teorema de Pitágoras. Fonte: Mundoeducacao (2010)

Logo a distância entre eles será de 300 km

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Exemplo 2

Como determinar o raio de uma circunferência circunscrita em um triângulo isósceles de

base 8 e altura 10?

Na figura a seguir temos o triângulo isósceles ABC de base BC = 8 e altura AM = 10,

inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.

Figura 13: Triângulo inscrito em uma circunferência. Fonte: Oliveira (2008)

Como OB = OC = R, o ponto O está na mediatriz de BC, que é a altura AM. Os pontos A,

O e M estão alinhados e OM = AM – AO = 10 – R

Logo aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OBM, temos:

R² = 4² + (10 – R)²

R² = 16 + 100 – 20R + R²

20R = 116

R = 116/20

R = 5,8

Portanto o raio será de 5,8

Exemplo 3:

Lunúlias de Hipócrates:

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Seja dado um triângulo retângulo e três semicircunferências tendo os lados desse triângulo

como diâmetro. Conforme a Figura a seguir:

Figura 14: Imagem formada por um triângulo e três semicircunferências. Fonte: Mat.ufg (2010)

Neste caso, a soma das áreas das duas lúnulas hachuradas na figura é igual à área do

triângulo.

Seja T a área do triângulo.

Sejam P e Q as áreas das lúnulas hachuradas.

Sejam U e V as áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos do triângulo, conforme

a figura a seguir:

Figura 15: áreas compreendidas entre as lúnulias e os catetos do triângulo. Fonte: Mat.ufg (2010)

Através da aplicação do Teorema de Pitágoras conclui-se que: a área do semicírculo

construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos semicírculos construídos sobre os

catetos, então temos:

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T + U + V = (P + U) + (Q + V), ou seja,

T = P + Q

A partir de então conclui-se que: a soma das áreas das duas lúnulias é igual à área do

triângulo.

Exemplo 4:

O Teorema de Pitágoras é um dos conteúdos que mais costuma ser mencionado em

vestibulares, concursos ou algo deste gênero, por exemplo, problema a seguir foi cobrado na

prova do ENEM (Exame Nacional de Ensino Médio) em 2006, que consistia no seguinte:

A figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura,

o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m

Figura 16: Modelo de uma escada, onde é aplicado o Teorema de Pitágoras. Fonte: Enem (2006)

Se cada degrau tem 24 cm, o comprimento total em “linha reta” da base do triângulo

formado mede:

24 . 5 = 120 cm

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Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado, para obter a medida da hipotenusa,

temos:

x² = 90² + 120²

x² = 8100 + 14400

x² = 22500

extraindo a raiz quadrada de ambos os lados:

x = 150 cm

Logo a medida do corrimão é:

150 cm + 30 cm + 30cm = 210 cm

Transformando para metros, resulta em 2,1 m

Exemplo 5:

Uma escada com 6 metros de comprimento, está encostada a um muro com 4,47 metros de

altura, de modo que uma das extremidades da escada esta encostada à parte de cima do muro,

conforme a figura abaixo. Qual a distância da escada ao muro, medida sobre o chão?

Figura 17: Esquema da distância de uma escada em relação ao muro. Fonte: Educ.fc.ul (2010)

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

6² = (4,47)² + p², logo:

p² = 16,0191

Aplicando a raiz quadrada p, vem:

p = 4,0024

Portanto a distância da escada ao muro é de 4,0024m

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Pitágoras além de ter sido místico, filósofo e matemático, fez descobertas as quais muitas

delas ainda hoje estão presentes no ensino da matemática, como por exemplo os números

irracionais e o Teorema de Pitágoras. Mas para chegar a certas conclusões muitos estudos e

viagens em busca de novos saberes foram realizados.

A dificuldade apresentada pelo número irracional deve-se ao fato de que a Matemática, na

época, era sobretudo geometria. Utilizando-se sempre de recursos geométricos, os pitagóricos

não podiam compreender um número cuja representação em uma figura apresentasse uma

dimensão sem fim.

Diante desses impasses, o pitagorismo apresentou uma grande flexibilidade de

pensamento. Nisto também ele é uma seita diferente das outras, que tendem mais a se fechar

em seus dogmas e evitar os problemas não previstos. Desenvolvendo constantemente suas

investigações os pitagóricos difundiram suas idéias por toda a Grécia, influenciando todo o

pensamento científico e filosófico posterior, que encontraria na Matemática um dos seus

modelos preferidos de raciocínio.

As idéias de Pitágoras estão muito além do pensamento racional que havia surgido na

Jônia. Por outro lado, porém o pitagorismo representa um marco decisivo no desenvolvimento

do pensamento racional e científico por ter elevado à condição divina uma das realizações

mais racionais do homem: a Matemática. Com os pitagóricos, a Matemática libertou-se da

condição de mera técnica que atendia às necessidades práticas de agrimensura, para constituir-

se em uma ciência pura, ainda que revestida de uma religiosidade.

O Teorema de Pitágoras, como podemos analisar é de grande importância na resolução de

problemas do dia a dia e, além disso, serve de base para as mais diversas demonstrações de

conceitos matemáticos, como Trigonometria e Geometria Analítica. Porém este conteúdo ao

longo do tempo tem sido abordado pelos profissionais como simples memorização de

fórmulas e aplicações mecânicas, sem promover ao aluno uma aprendizagem significativa,

tornando o assunto desmotivado, sem expressar o valor e a relevância que tivera na

construção da Matemática.

34

Ao concluir este trabalho pode-se dizer que contextualizar o período histórico de sua

construção, conhecer o seu criador, suas idéias, suas demais produções é um fator motivador

ao estudo por parte dos alunos. Não basta apenas ensinar ao aluno um determinado conteúdo

de uma maneira acabada é preciso mostrar a ele como e quando surgiu esta idéia, para que

assim possamos responder os “porquês” dentro do processo ensino aprendizagem.

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REFERÊNCIAS

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D’AMBRÓSIO, U. História da Matemática e Educação. Cadernos CEDES – História e Educação Matemática, São Paulo: Papirus, 1996.

DM.UFSCAR. Pequena Bibliografia. Disponível em: < www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html>. Acesso em: 18 jan. 2010.

EDUC.FC.UL - Aplicações do Teorema - Disponível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm14/aplicacoes.htm> Acessado em: 18 jan. 2010.

ETAPA-ENEM 2006- Disponível em: <www.etapa.com.br/gabaritos/resolucao_pdf/enem/.../enem2006.pdf > Acessado em: 18 jan. 2010.

EVES, H. Introdução à História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 1997.

FURUYA, Y. K. S. Programa de geração da Árvore de Pitágoras bidimensional. 1998, UFSCar.

MAT.UFG. Disponível em: <http://www.mat.ufg.br/docentes/jhcruz/ensino/Pitagoras.htm> Acessado em: 18 jan. 2010.

MUNDOEDUCAÇÃO - O Teorema de Pitágoras no Cotidiano. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-teorema-pitagoras-no-cotidiano.htm> Acessado em: 18 jan. 2010.

NOBRE, S. Alguns “porquês” na História da Matemática e suas contribuições para a educação matemática. Cadernos CEDES – História e Educação Matemática. São Paulo: Papirus, 1996.

OLIVEIRA, J. A. Teorema de Pitágoras. 2008. Disponível em: < http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Juliane.pdf> Acessado em: 18 jan.2010.

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PEREIRA, L. H. F. Teorema de Pitágoras: lembranças e desencontros da matemática. Passo Fundo: UPF, 2002.

PROF2000. Quem foi Pitágoras? Disponível em: <www.prof2000.pt/users/paulap/pitagoras.html> Acesso em 18 jan. 2010.

STRATHERN, P. Pitágoras e o seu Teorema em 90 minutos. 1. Ed. Rio de Janeiro: J. Z. E, 1998.

WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. 2010. Disponível em: < http://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>. Acesso em: 18 jan. 2010.