Pitágoras e o Teorema de Pitágoras

Quem foi Pitágoras

• foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 497 a.C. ou 496 a.C.

• Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Teve como sua principal mestra, a filósofa e matemática Temstocléia.

Vida de Pitágoras

• Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais.

• Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

• Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

• Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

• Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

• Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo

• Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas.

• Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central.

• Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo.

• O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“ Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. ”

• Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

• O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemático babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

• O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Aplicação do teorema de pitagoras

• Exemplo 1:Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são rectângulos:a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8.

Resolução:

"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.

• b)

logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:

a) b)

• a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

Qual era a altura do poste?

Resolução:

• Altura do poste é 4 (poste em pé) + 5 (poste partido)

Resposta: A altura do poste era de 9 m.

O Pedro e o João estão a «andar» de baloiço, como indica a figura:

• A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento do baloiço? • Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo

de 90 graus com a "linha" do chão• Então vem:

1,8 m = 180 cm

• Resposta: O comprimento do baloiço é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.