O Teorema de Pitágoras

Definição e aplicação do Teorema de

Pitágoras com exercícios de fixação.

Desenvolvido: Prof. Hermes R. Júnior

Abril, 2011

O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do homem. A área de transportes é considerada muito importante para o desenvolvimento de um país, o teorema de Pitágoras está presente nela contribuindo na sua logística e no desen- volvimento cotidiano, no intuito de dinamizar cada vez mais o setor.

O teorema no cotidiano

Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos retângulos:

A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).

Teorema de Pitágoras

Este teorema tem despertado a curiosidade de muitos matemáticos. Ao longo dos séculos foram apresentadas várias demonstrações do teorema de Pitágoras (no livro de Loomis contam-se 370 demonstrações diferentes).

Podes ter razão Pitágoras, mas todo o mundo se vai rir

se chamares a isso “Hipotenusa”.

História

O teorema de PitágorasO Teorema de Pitágoras estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos

quadrados dos catetos.

a

b

c 222 cba

Em um triângulo retângulo temos os catetos de medidas a e b , e a medida da hipotenusa igual a c , se

estabelece que:

EXEMPLO

Encontrar o valor do cateto b da figura:

c = 40

a = 5

b = ?

Aplicando o Teorema de Pitágoras:222 cba

222 405 b222 540 b

2516002 b

15752 b

1575b

739,b

EXERCICIO 1

.

Qual é o valor da hipotenusa do seguinte triângulo retângulo:

a = 7 cm

b = 12 cm

c = ?

EXERCICIO 2

Qual é o valor do cateto da figura abaixo?

a = 36,2 cm

c = 65,3 cm

b = ?

EJERCICIO 3

Qual é altura de um triângulo isósceles cujos lados medem c = 5 cm e a = b = 4 cm?

c = 5 cm.

b = 4 cm. a

= 4

cm

.h

Exercício 1: Qual era a altura do poste?

Resolução do Exercício 1:

                    

•h = 4 + 5 = 9•Resposta: A altura do poste era de 9

m.

Exercício 2: Qual é a distância percorrida pelo berlinde?

Resolução do Exercício 2:

• Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de:                             265 cm = 2,65 m.

Exercício 3: A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.Qual o comprimento do balancé?

Resolução do Exercício 3:

•Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.

Exercício 4: Determine, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.

Resolução do Exercício 4:

Aplicações do Teorema de Pitágoras

A diagonal de um quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e d a diagonal, segue que:

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

Aplicações do Teorema de Pitágoras

A altura de um triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo l o lado e h a altura, segue que:

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrado como:

Exercícios de fixação

1. O lado de um quadrado é dado pela raiz positiva da equação 5x2 – 20 = 0. Qual o valor de sua diagonal?

2. A área de um triângulo pode ser calculada multiplicando-se a medida de um lado pela medida da altura relativa a esse lado e dividindo-se o resultado por 2. Nessas condições e fazendo , determine a área de uma triângulo equilátero cujo perímetro mede 12 cm

3. Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade

de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias

unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado

(m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as

medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu

múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras

unidades de medida de área são o acre, o alqueire e o arpent. A área de

um quadrado pode ser calculada fazendo-se l2. Se um quadrado tem

225 cm2 de área, qual é o valor, em decimal, da diagonal desse

quadrado?

Exercícios de fixação