matemÁtica fundamental - teorema de pitÁgoras

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MATEMÁTICA FUNDAMENTAL

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TEOREMA DE PITÁGORAS AULA 1 Página 1 de 7

Definição e aplicação.

IMPORTANTE Esse material de apoio complementa a aula:

TEOREMA DE PITÁGORAS – AULA 1 Disponível em www.alexmayer.com.br

Teorema de Pitágoras: No Egito antigo utilizava-se uma curiosa ferramenta nas construções e também na divisão das terras. Era uma corda com treze nós igualmente espaçados. Essa corda quando esticada nas proporções 3, 4 e 5 formava um triângulo retângulo.

Mais tarde um grego chamado Pitágoras, contemplando esse triângulo tão especial percebeu uma relação entre os lados desse triângulo. Pitágoras desenhou um quadrado em cada um dos lados desse triângulo e dividiu esses quadrados em quadrados menores de tamanho exatamente igual.

O quadrado de lado 3 foi redesenhado com 9 quadradinhos. O quadrado de lado 4 foi

redesenhado com 16 quadradinhos, e o quadrado com lado 5 com 25 quadradinhos. Pitágoras observou que a soma dos quadradinhos dos lados menores era igual à quantidade de quadradinhos do lado maior pois:

Pitágoras percebeu que essa relação entre os lados era válida para qualquer triângulo retângulo. Por exemplo, o triângulo que temo como lados 6, 8 e 10.

O maior lado de um triângulo retângulo é chamado de hipotenusa, e sempre será oposto ao ângulo de 90º. Os outros dois lados formarão o ângulo de 90º e são chamados de catetos.

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Assim para um triângulo retângulo qualquer chamaremos a hipotenusa de a os dois catetos de b e c. Assim pela ideia de Pitágoras teremos:

Em um triângulo retângulo, sempre que tivermos o valor de dois dos três lados, conseguimos calcular o terceiro lado pelo teorema de Pitágoras. Exemplos:

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EXERCÍCIOS:

1. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine a medida x indicada em cada um dos triângulos: 2. No quadro estão indicadas as medidas dos lados de alguns triângulos. Utilizando o Teorema de Pitágoras, verifique quais deles são triângulos retângulos. Triângulo Medida do lado (cm)

a b c I 6 4 3 II 12,5 12 3,5 III 15 12 8 IV 37 35 12

3. Na figura tem-se que e F é o ponto

médio do lado do retângulo BCDE.

( significa congruentes; mesma medida)

Determine:

a) A medida x indicada na figura.

b) A área do retângulo BCDE.

4. Considerando a figura, determine:

a) a medida a;

b) a medida b;

c) a medida c;

d) o perímetro do trapézio MNPQ.

5. Um Para ir de sua casa até o ponto de ônibus,

uma pessoa anda 120 m em linha reta até uma

esquina, dobra a esquerda numa rua perpendicular

e anda mais 160m. Mas, se trocar de caminho, ela

pode seguir por um terreno baldio que separa sua

casa do ponto de ônibus e fazer esse trajeto em

linha reta. Quantos metros ela andará da sua casa

até o ponto de ônibus, se for terreno baldio?

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6. Um terreno triangular tem frentes de 12 m

e 16 m em duas ruas que formam um

ângulo de 90º. Quanto mede o terceiro lado

desse terreno?

7. O portão da entrada de uma casa tem 4m

de comprimento e 3 m de altura. Qual a

medida da trava de madeira que se estende

do ponto A ao ponto C, conforme figura?

8. Durante um incêndio em um edifício de

apartamentos, os bombeiros utilizaram uma

escada Magirus de 10m para atingir a

janela do apartamento incendiado. A

escada estava colocada a 1m do chão,

sobre um caminhão que se encontrava 6m

do edifício. Qual é altura desse apartamento

em relação ao chão?

9. Quantos metros de fio são necessários para

ligar os fios de um poste de 6 m de altura

até a caixa de luz que está ao lado da casa

e a 8m da base do poste?

10. Na figura, a área do quadrado Q1 é 900

unidades e a área do quadrado Q3 é 324

unidades. Qual a área do quadrado Q2?

11. O triângulo BCD ao lado é eqüilátero.

Determine o perímetro do:

a) Triângulo BCD.

b) Quadrilátero ABCD.

12. Na figura ao lado tem-se que .

Nessas condições, determine a medida dos

segmentos e .

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13. Determine as medidas x e y indicadas na

figura ao lado.

14. Considere a figura e determine o perímetro

do:

a) Quadrado ABGF;

b) Quadrado BCDE;

c) Polígono ABCDEF

15. Determine as medidas x e h indicadas na

figura ao lado.

16. No triângulo isósceles ABC, os lados e

medem 40 cm e a base mede 48 cm.

Determine a medida h da altura relativa à

base.

17. Em um losango, as diagonais cortam-se

mutuamente ao meio, ou seja, o ponto de

encontro das diagonais é o ponto médio de

cada diagonal. No losango PQRS, a diagonal

maior mede 80 cm, e a diagonal menor

mede 18cm. Nessas condições calcule:

a) a medida x do lado do losango.

b) O perímetro do losango.

18. A figura ao lado é um trapézio retângulo. Nela,

as medidas estão indicadas em centímetros.

Determine a medida:

a) x do lado ;

b) y da diagonal .

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19. Três cidades, A, B, e C, são interligadas por

estradas conforme o esquema. As estradas AB

e BC são asfaltadas e AC deverá ser asfaltada

em breve. Sabendo que AB tem 30 km e BC

310 km, e supondo as três estradas são

retas, quantos quilômetros terá a estrada AC?

20. Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD

da figura ao lado. Uma medição feita nesse

terreno mostra, em metros, as medidas

encontradas. Qual o perímetro desse terreno?

21. Dois navios partem de um mesmo ponto, no

mesmo instante, e viajam com velocidade

constante em direções que formam um ângulo

reto entre si. Depois de uma hora de viagem a

distância entre os navios é de 13 milhas. Se

um deles é 7 milhas por hora mais rápido que o

outro, determine a velocidade de cada navio.

22. Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte

do tronco que restou em pé forma um ângulo

reto com o solo. Se a altura da árvore antes de

se quebrar era de 9m, e sabendo que a ponta

da parte quebrada está a 3m da base da

árvore, qual a altura do tronco da árvore que

restou em pé?

GABARITO 1. a) 35 b) 7 c) 64 d) 52 e) 2 f) 40 2. I) Não é triângulo retângulo. II) É triângulo retângulo. III) Não é triângulo retângulo IV) É triângulo retângulo

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3. a) x = 6 b) P = 36 4. a) a = 20 b) b = 80 c) c = 10 d) P = 28 5. 200 m 6. 20 m 7. 5 m 8. 9 m 9. 10 m 10. 576 unidades 11. a) P = 45 b) P = 51 12.

512

20

AD

AB

13. x = 5 e y = 13

14.

a) P = 32 b) P = 56 c) P = 68

15. x = 7 e h = 24 16. h = 32 17.

a) x = 41 b) P = 164

18. x = 10 e y = 293

19. 320 km

20. 220CB m e 16AD m e P = 22048 21. 12 milhas por hora e 5 milhas por hora 22. 4m

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