PITÁGORAS E SEU TEOREMA

INFORMÁTICA EDUCATIVA I – UFF – Suelen Sant’ Ana

No Egito, os antigos egípcios utilizavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados que era dividida em 12 partes iguais para marcação das áreas dos territórios na agricultura, mas com a cheia anual do Rio Nilo, estas marcações eram desfeitas e eles novamente remarcavam. Os egípcios já sabiam que um triângulo de unidades (3, 4 e 5) tem ângulo reto, porém foi Pitágoras que conquistou o domínio da geometria referente às relações do triangulo retângulo.

QUEM FOI PITÁGORAS?

Pitágoras (580-497 a.C.) foi matemático grego. Autor do Teorema de Pitágoras: "num triangulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos". Desenvolveu trabalhos na área da filosofia, música, moral, geografia e medicina.

Um dos conteúdos mais utilizados na Matemática é o Teorema de Pitágoras, que pode ser representado através da geometria e da álgebra. São conhecidas cerca de mais de 300 demonstrações distintas. Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração geométrica, baseada na comparação de áreas.

Com auxílio da informática utilizando o software educativo GeoGebra, segue a demonstração do Teorema de Pitágoras a partir das ferramentas deste recurso tecnológico:

PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO:Apresentação da interface I - do Geogebra:

II- Construção de dois segmentos de retas quaisquer. Que serão os catetos do triângulo retângulo.

III- Construir uma reta dado dois pontos.

IV- Construir uma reta perpendicular a reta “c” no ponto “E”. V- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “a”. VI- Marcar a interseção entre a circunferência e a reta “c”.

VII- Utilizar a Ferramenta (exibir e esconder eixo) para ocultar as construções que não são úteis, a partir deste momento esse passo é necessário para melhor visualização da construção desejada.

VIII- Construir um segmento entre o Ponto “E” e o ponto “H” fazendo uma observação que este segmento possui o mesmo comprimento do segmento “a”. Caso necessário utilizar a ferramenta (Distância ou Comprimento) para melhor visualização.

IX- Construir uma circunferência com centro no ponto “E” e raio “b”. X- Marcar a intercessão entre a circunferência e a reta “d”.

XI- Construir um segmento entre o ponto “E” e o ponto “J”, fazer a mesma observação do item VIII. Em seguida construir um segmento entre o Ponto “J” e o ponto “H”. Obtendo assim um triângulo. Utilizando a ferramenta é (Ângulo) para medir o ângulo e verificar sese é retângulo.

XII- O próximo passo é a construção de quadrados em cada lado do triângulo, utilizando a ferramenta (Polígono regular). Em seguida utilizar a ferramenta (Área), para medirmedir a área de cada polígono.

Então, temos a comprovação do Teorema de Pitágoras.

Para refletir sobre a comprovação do Teorema de Pitágoras a partir da comparação das áreas dos quadrados construídas sobre os lados do triângulo retângulo:

* Com o movimentação dos pontos E e F com auxílio da ferramenta mover ponto verifique o que acontece com as áreas dos quadrados?

* Com o auxilio de uma calculadora, some as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor encontrado?

* Movimente novamente os pontos E e F com o auxílio da ferramenta mover ponto e some as áreas dos quadrados menores, qual foi o valor encontrado?

* Podemos afirmar que a soma das áreas dos quadrados menores, é igual a área do quadrado maior?

* Utilizando um triângulo qualquer, movimente os pontos A e C com a ferramenta mover ponto, verifique se é possível supor a mesma coisa para todos os tipos triângulos?

* Baseados nas observações acima, é possível afirmar que “o quadrado da hipotenusaé igual a soma dos quadrados dos catetos se e somente se o triângulo forretângulo”?

Outra demonstração, Relação Métrica e o Teorema de Pitágoras:

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:Passo 2: No menu “Exibir”, desmarque a opção “Eixos”;

Passo 3: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em dois pontos na área de trabalho e teremos os pontos A e B.

Passo 4: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e B. Observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora um segmento “a” e o valor de sua medida em centímetros. Peça aos alunos que selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do segmento “a”.

Passo 5: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “a” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “b” que é perpendicular ao segmento “a” e passa pelo ponto A.

Passo 6: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em um ponto sobre a reta “b”. Será criado um ponto C sobre a reta “b”.

Passo 7: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e C, e depois nos pontos B e C.

Passo 8: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “d” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “e” que é perpendicular ao segmento “d” e passa pelo ponto A. Com isto temos um triângulo retângulo.

Passo 9: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Interseção de Dois Objetos” e clique sobre a reta “e” e o segmento “d”. Será criado um ponto “D”.

Passo 10: No último botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Exibir/Esconder objetos” clique nas retas “b” e “e”. Teremos uma figura com menos poluição visual.

Com estes descritos até o momento, temos um triângulo ABC, retângulo em A.

Passo 11: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e D. Será criado o segmento “f”, correspondente à altura referente ao lado BC do triângulo.

Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do segmento “a”. Faça o mesmo com os pontos B e C.

Passo 12: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Segmento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos B e D; e nos pontos C e D. Serão criados, respectivamente, os segmentos “g” e “h”.

Criar uma variável “i” que terá como conteúdo o valor (medida do cateto)2, e outra variável “j” que terá como conteúdo o valor do produto (medida da sua projeção) X (medida da hipotenusa). Proceda da seguinte forma:

Passo 13: Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas,

Digite:• i = a ^ 2• j = g * d

Observe os valores de “i” e de “j” em “Objetos dependentes”. São iguais? O que significa isto? Selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; clique no ponto A e mova-o; e observe os valores das medidas dos “Objetos dependentes.” Faça o mesmo procedimento com as outras relações métricas.

Estas atividades auxiliam a compreensão de conceitos geométricos que são analisados e lembrados esclarecendo eventuais dúvidas quanto a ângulos, retas, semi-retas, entre outros.

Para atividades com o Teorema de Pitágoras, o jogo online é um excelente recurso visando o entusiasmo e proporcionando divertimento durante a aprendizagem. No jogo o Teorema de Pitágoras, contém questões com graus de dificuldade diferentes com no máximo quatro questões para cada grau, com o objetivo de responder a dez questões e obter o maior número de pontos possíveis. Para desempate, teremos o tempo. Essas questões envolvem a biografia de Pitágoras e exercícios usando sua fórmula.

OUTROS RECURSOS EDUCATIVOS

JOGO

VÍDEO

- Apresentação do vídeo “O Teorema de Pitágoras”: Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=Pxs0pnWLJu8

- Apresentação do vídeo “Triangular é Preciso” Disponível em:http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1185

O vídeo é utilizado em diversas escolas, como recurso didático e auxílio na aprendizagem. Estes em destaque, abordam o tema relatado.

VIEIRA, Josilei Passos; ANTONOW, Liliane Martinez. Trabalhando as Relações do Teorema de Pitágoras no Software GeoGebra. Disponível em: < http://sbem.esquiro.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf > Acesso em 20 set. 2014.

2000, Programa Prof. Disponível em: < http://www.prof2000.pt.users/hjco/pitagora > Acesso em 20 set. 2014.

REFERÊNCIAS:

http://conhecendopitagoras.blogspot.com.br/2010/04/atividade-teorema-de-pitagoras-no.html > Acesso em 21 set. 2014.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=4374 > Acesso em 21 set. 2014.