DIFERENTES DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

Alunos:

Fernando Bertho Moura

Sarah Dias da Costa

Débora Rodrigues

Camila Vale

José Carlos Almeida

Vera Lúcia Dias

João Mário Fortunato

Jeovana Souza

A definição de um triangulo retângulo dá se quando o mesmo tem um ângulo reto.

O ângulo reto corresponde a medida de 90°.

Num triângulo ao lado oposto ao ângulo reto chamamos de hipotenusa e aos outros dois lado catetos.

Cateto

Cateto

Hipotenusa

90°

SEGUNDO O TEOREMA DE PITÁGORAS... “EM QUALQUER TRIÂNGULO RETÂNGULO O QUADRADO DA HIPOTENUSA É IGUAL À SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS”, TEM DESPERTADO A CURIOSIDADE DE MUITOS MATEMÁTICOS AO LONGO DOS SÉCULOS FORAM APRESENTADAS VÁRIAS DEMONSTRAÇÕES DIFERENTES DO TEOREMA DE PITÁGORAS.

UM PROFESSOR DE MATEMÁTICA AMERICANO CHAMADO ELISHA SCOOT

LOOMIS COLECIONOU , DURANTE MUITOS ANOS , DEMONSTRAÇÕES DO

TEOREMA DE PITÁGORAS, CONTAM-SE 370 DIFERENTES DEMOSTRAÇÕES.

DEMONSTRAÇÃO 1

COMECEMOS POR CONSIDERAR QUATRO TRIÂNGULOS IGUAIS DE ÁREA AB/2

Rodando três dos triângulos obtém-se a figura

O quadrado central tem de lado (a-b).

Somando a sua área (a-b)2 com 2ab

(área dos quatro triângulos) vem:

c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2

DEMONSTRAÇÃO 2

CONSIDERANDO NOVAMENTE OS TRIÂNGULOS ANTERIORES

Dando-lhes a disposição.

Facilmente vem que:

(a+b)2=4·ab / 2+c2

Ou seja,

a2 +b2=c2

DEMONSTRAÇÃO 3

Área= abc 22 Dando um novo arranjo à figura

Área= 22 2 baba

Igualando as áreas sai o resultado

Demonstração 4

Até mesmo Bhaskara elaborou uma demonstração do Teorema de Pitágoras.

Bhaskara, com quatro triângulos retângulos de lados a, b e c constrói um quadrado de lado c, no centro se forma outro quadrado de lado

(a – b).

Redistribuindo os quatros triângulos e o quadrado de lado (a – b), construímos uma figura cuja superfície resulta ser a soma dos quadrados: de lado a e o outro de lado b.

Assim Bhaskara demonstrou graficamente que c2 = a2 + b2

ALGEBRICAMENTE: A ÁREA DO QUADRADO DE LADO C É CORRESPONDENTE A DOS QUATROS TRIÂNGULOS, MAIS A ÁREA DO QUADRADO CENTRAL DE LADO ( A – B), LOGO TEMOS:

ESTÁ EXPRESSÃO DESENVOLVIDA NOS DA A SIMPLIFICAÇÃO DO RESULTADO C2 = A2 + B2, E O TEOREMA DEMONSTRADO.

Bibliografia

IMENES, Luiz Márcio .Descobrindo o Teorema de Pitágoras . Editora Scipione . Ed. 9 ª , p.32-38,1993 .

ANEXO

Método dedutivoqualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.Com uma cartolina ou eva , como na nossa explicação, comece desenhando e recortando um triângulo retângulo qualquer. Não importam as medidas de seus lados . Vamos representá-las por letras : a é a medida da hipotenusa ; b e c são as medidas dos catetos . Em seguida , recorte outros três triângulos iguais ao primeiro.

a

c

b

Agora desenhe e recorte um quadrado , cujo lado seja igual à hipotenusa a dos triângulos retângulos. Enfeite com a letras A .

A A A

A

A A

A A A A

a

a

Finalmente , desenhe e recorte mais dois quadrados: um de lado b e outro c. Enfeite – os com letras B e C , respectivamente.

B B BB B

C c C C C C C CC C

C C C C

b

b

c

Com o quadrado de lado a e os quatros triângulos, você pode formar um quadradão:

Note que o quadradão tem lado b+c . Usando agora os mesmo quatro triângulos e os dois

quadrados de lados b e c , você pode construir a seguinte figura:

Temos outra vez um quadradão de lado b +c . Portanto os dois quadradões são iguais.

Se do primeiro quadradão você eliminar os quatros triângulos sobrará o quadrado de lado a, cuja área é igual a a².

Se do segundo quadradão, que é igual ao primeiro, você eliminar os mesmos quatros triângulos, sobrarão dois quadrados de lados b e c que, juntos , têm área igual a

b² + c² .

Logo, o que sobrou do primeiro quadradão é igual ao que sobrou do segundo quadradão :

a ²= b² + c²

Provamos, assim , aquilo que nos havíamos proposto:

Em qualquer triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.