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O TEOREMA DE PITÁGORAS E ALGUMAS DE SUAS DEMONSTRAÇÕES
Aldair Pereira Guimarães1 Lucieli Maria Trivizoli2
RESUMO: O presente artigo apresenta o resultado das atividades desenvolvidas durante a realização do Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná (PDE/2012), que se configura como um importante mecanismo para a formação continuada de professores da Educação Básica, sendo uma parceria entre a Secretaria de Estado da Educação do Paraná e as Universidades Estaduais desse Estado. O trabalho desenvolvido teve por objetivo oferecer aos alunos da 1ª série do Ensino Médio condições de abordar o Teorema de Pitágoras, um conteúdo histórico e sempre presente nos programas curriculares, lançando mão de aspectos históricos do conteúdo, mídias digitais, além de outros recursos, buscando superar o ensino tradicional do tema. Desta forma, pretende-se, por meio desse artigo, apresentar reflexões e socializar os resultados obtidos na implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica do PDE, aplicado no Colégio Estadual “Olavo Bilac” – Ensino Fundamental e Médio, localizado no município de Itambé – PR. Os resultados despertaram nos professores que participaram do Grupo de trabalho em Rede – GTR atitudes positivas em relação à matemática, se tornando um subsídio para os Professores da Rede Estadual de Ensino possibilitando uma aprendizagem significativa, com a utilização de metodologias pautadas nas atuais tendências da Educação Matemática, como a História da Matemática associada com as aplicações práticas.
Palavras-chave: Pitágoras. Teorema. Aprendizagem. História da Matemática.
INTRODUÇÃO
O Teorema de Pitágoras é geralmente abordado nas escolas com a
apresentação da fórmula e sua aplicação em atividades de fixação e identificamos
uma grande dificuldade dos alunos para compreender o significado da relação
estabelecida por este teorema, bem como suas aplicações em outras áreas de
conhecimento.
Percebe-se que existe certa dificuldade dos alunos em conseguir acompanhar
e desenvolver abstrações feitas em aula, em especial, no caso do Teorema de
Pitágoras. Mesmo com construções de triângulos retângulos e explicações para
identificar os lados que são os catetos e o lado correspondente à hipotenusa,
1 Professora de rede pública do Paraná. Formada em Matemática (Faculdade Plínio Augusto do Amaral – SP), Pós Graduada em Didática de Ensino (UNOPAR) e Psicopedagogia (IESDE) 2 Orientadora. Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá-UEM.
percebe-se que qualquer mudança de posição do triângulo já faz com que os alunos
não saibam mais identificar os catetos e a hipotenusa.
O presente trabalho se propõe a apresentar reflexões sobre um conjunto de
atividades que abordaram o tema Teorema de Pitágoras: um conteúdo histórico e
sempre presente nos programas curriculares. Foram utilizados aspectos da história
da matemática com apoio de mídias digitais e outros recursos buscando superar o
ensino tradicional do tema com atividades desenvolvidas por meio do uso de
materiais concretos e interativos, a fim de que os alunos se sentissem motivados e
que conseguissem dar significado à construção e aplicação das relações do
teorema.
Com as atividades propostas, tivemos a pretensão de fornecer aos alunos do
Ensino Médio condições de compreender e aprofundar os saberes matemáticos
relativos ao Teorema de Pitágoras de maneira que fizessem sentido para os alunos,
mediante a construção e utilização de recursos didáticos diversificados, contando
com o apoio da história da matemática para compreender que muitos dos
conhecimentos que utilizamos hoje têm sua origem no passado.
Nesse sentido, foram trabalhados os conceitos relacionados ao Teorema de
Pitágoras e foram promovidas algumas demonstrações deste teorema construídas
ao longo da história. Trabalhamos com pesquisas na Internet sobre estas
demonstrações em busca de identificar os povos e as pessoas que trabalharam
nelas para fazer com que os alunos percebessem e valorizassem a História da
Matemática, seus personagens e suas contribuições.
Como afirmam Miranda e Laudares (2007), é preciso sair dos antigos moldes
de ensinar Matemática, nos quais a exposição oral e a resolução de exercícios eram
praticamente os únicos meios empregados e lograr espaço às tendências de ensino
da Educação Matemática, como jogos, investigações matemáticas, uso de materiais
manipuláveis, mídias tecnológicas e resolução de problemas, entre outras.
Rêgo e Rêgo (2000) também defendem mudanças na forma de ensinar a
Matemática, afirmando que não se têm obtido através do ensino tradicional, a
autonomia intelectual, a capacidade de reflexão crítica, o trabalho em equipe, a
criatividade para enfrentar novas situações e aplicar os conhecimentos adquiridos,
tornando-se então premente a introdução de novas metodologias de ensino nas
quais o aluno seja sujeito da aprendizagem.
Também se comprova, por diferentes experiências em todo país, que
somente ocorre uma aprendizagem significativa e dinâmica quando os recursos
didáticos exigem uma atividade mental do aluno, como nos casos em que são
utilizadas atividades práticas, jogos, mídias tecnológicas, entre outros, na medida
em que o aluno não é considerado um elemento passivo no processo, já que ele é
convidado a interagir com os colegas, descobrindo conceitos, formando-os,
construindo-os (GAERTNER, 2001).
Acrescente-se a isso, que os alunos da 1ª série de Ensino Médio, etapa a que
se destina a aplicação do material pedagógico elaborado no projeto e apresentado
neste trabalho, são mais críticos e questionadores devido ao nível de conhecimento
e desenvolvimento cognitivo mais elevado que se encontram (FÁVERO, 2005). Por
isso exigem maiores explicações de certas definições e algoritmos, e assim temos a
possibilidade de discutir com os alunos, os princípios e algoritmos matemáticos de
maneira a produzir sentido na prática matemática. Os professores devem conhecer
diferentes estratégias metodológicas que permitam trabalhar tais indagações e
conduzir os alunos a “aprimorar as habilidades adquiridas no Ensino Fundamental”,
conforme prescrito nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL,
2008, p. 78), lançando-os a novos desafios de pesquisa e descobertas.
No Ensino Médio, a etapa final da Educação Básica, os conteúdos exigem
maior abstração e alguns deles são difíceis de serem contextualizados. Mais um
motivo para possuirmos ferramentas diversificadas que auxiliem no processo de
ensino-aprendizagem. Conforme afirma Libâneo (1994), o professor ao utilizar
aspectos externos como os recursos didáticos visa desenvolver os aspectos
internos, ou seja, as funções mentais nos alunos como: a percepção, as
representações, o pensamento abstrato etc.
DESENVOLVIMENTO
No período de Março a Junho de 2013, foi realizada a implementação das
atividades da unidade didática produzida, no Colégio Estadual Olavo Bilac – EFM no
município de Itambé-PR, com uma turma de alunos da 1ª série do Ensino Médio.
A estratégia metodológica que orientou as atividades para o desenvolvimento
do conteúdo sobre o Teorema de Pitágoras foi a História da Matemática associada
com situações práticas. Com esta estratégia buscou-se uma aprendizagem
significativa que vai além de “passar” os conteúdos em sala de aula, mas que se
atente ao processo de investigação e contextualização com a realidade e com a
história do desenvolvimento da Matemática.
Essas atividades foram apresentadas na forma de oficinas que podem ser
utilizadas por professores de matemática em aulas sobre o Teorema de Pitágoras. A
ideia dessas oficinas foi a de familiarizar o aluno com esse tema através da
resolução de atividades diversificadas, além da resolução de problemas. Em todos
os problemas o seguinte aspecto geométrico do Teorema de Pitágoras foi explorado:
a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo
retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa deste triângulo.
Para dar início às atividades, foram feitos alguns questionamentos sobre a
História da Matemática tendo como foco a figura de Pitágoras e sua participação em
estudos matemáticos, principalmente no estudo das propriedades do triângulo
retângulo, para ver se os alunos tinham conhecimento do assunto a ser abordado.
Para fortalecer esta ideia matemática, foi apresentada no equipamento de
mídia fornecida pela SEED - TV Pen drive o vídeo “O Barato de Pitágoras”3,
produzido pela TV Escola - MEC, disponível em domínio público.
Durante a exibição do filme foram feitas pequenas pausas para realizar
discussões e questionamentos sobre questões do cotidiano dos alunos e
relacionadas com o vídeo. Ao analisar as respostas, ficou evidente que eles não
conheciam as possibilidades de demonstração do Teorema de Pitágoras. Também
podemos notar que, dos alunos que responderam as questões, somente alguns
associaram o Teorema de Pitágoras a uma relação matemática. As respostas
dadas pelos alunos, exigiram atenção, preparo e envolvimento para delas tirar o
máximo proveito.
Para dar sequência à atividade, contamos com a exibição de um vídeo4 sobre
o Teorema de Pitágoras, do Grupo Serrana, que traz, por meio de uma música, a
ideia de que aplicamos o Teorema de Pitágoras somente em triângulo retângulo e
também faz a demonstração da aplicação da fórmula com um triângulo de lados 3, 4
e 5.
3 Também disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=NQjxroaxY8o>. 4 Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=qjvy2jcbv8w>
A maior parte dos alunos construiu o triângulo retângulo de lados de medida
3, 4 e 5, conforme apresentação da música exibida no segundo vídeo.
Após assistirem aos dois vídeos propostos, os alunos foram instruídos a
realizar uma pesquisa sobre Pitágoras, para que pudessem conhecer um pouco da
história desse personagem histórico e começar a entender que conhecimento, poder
e ética estavam relacionados desde a Antiguidade. A pesquisa foi realizada em
livros e Internet, tendo como proposta principal fomentar no aluno a prática da
investigação, onde puderam buscar informações sobre geômetras gregos da
antiguidade, montando uma linha do tempo, onde estudaram principalmente
Pitágoras, suas contribuições e a demonstração do teorema que leva seu nome. Os
alunos foram levados ao Laboratório de Informática onde pesquisaram os seguintes
tópicos sobre Pitágoras:
a) Vida de Pitágoras
b) Escola Pitagórica
c) Principais descobertas dos Pitagóricos
d) Importância para a Matemática
e) Outros matemáticos gregos
f) Informações sobre a geometria Grega.
Após a pesquisa em grupo (com quatro integrantes) os alunos apresentaram
um seminário relatando as principais informações encontradas sobre Pitágoras.
Os alunos expuseram suas ideias de maneira concisa. Entendemos que a
interdisciplinaridade foi contemplada nesta atividade, pois além da localização das
cidades citadas, foram pesquisados assuntos históricos e geográficos.
Percebeu-se que alguns alunos se motivaram pelo assunto, buscando outras
fontes de pesquisa, principalmente curiosidades sobre os matemáticos. Nos
relatórios feitos pelos estudantes no final desta atividade, detectou-se o pouco
conhecimento dos alunos por essa face histórica da matemática.
A atividade seguinte teve a finalidade de levar o aluno que não conhece o
enunciado do teorema a conjecturá-lo, ou seja, a partir de recortes de triângulos, por
medição e cálculos, os alunos deveriam observar que a soma dos quadrados das
medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa sempre que o
triângulo é retângulo.
Para a realização dessa atividade formaram-se grupos (com quatro
integrantes) onde os alunos tiveram a oportunidade de se expressar, trocar
informações, interagir e chegar na interpretação geométrica do Teorema de
Pitágoras.
Em seguida, foram apresentados os chamados números amigos, números
perfeitos, números primos e sua relação com os números quadrados perfeitos, os
quais foram creditados aos pitagóricos. Estes exemplos ilustraram de forma clara a
importância que os números tinham para aquele grupo.
Entretanto, foi esclarecido aos alunos que, apesar de inúmeros estudos sobre
os mais variados números, Pitágoras e seus discípulos ficaram conhecidos pelo
“Teorema de Pitágoras”, propriedade já conhecida e utilizada por babilônios e
chineses e que pode ter recebido esse nome em virtude da provável formalização
que os pitagóricos teriam feito da demonstração.
Em seguida, foi proposta a realização de uma das várias maneiras de
demonstrar o Teorema, utilizando semicírculos de diâmetros iguais aos lados do
triângulo e o cálculo das respectivas áreas. Geometricamente, o teorema de
Pitágoras demonstra que a soma das áreas dos dois semicírculos menores (que
estão sobre os catetos) é equivalente à área do semicírculo maior (que está sobre a
hipotenusa). Alguns alunos desenvolveram esboços como forma de apresentação
do Teorema de Pitágoras.
Foram trabalhadas, também, atividades do Livro paradidático da coleção
Vivendo a Matemática – Descobrindo o Teorema de Pitágoras, de Luiz Marcio
Imenes (Editora Scipione, 1990). O livro apresenta uma síntese das várias etapas da
construção de uma casa e os conteúdos matemáticos envolvidos. Foram priorizadas
apenas algumas das atividades, entre as quais destacam-se: a demarcação da
planta baixa, com destaque ao nivelamento do terreno, à utilização de medidas de
ângulos, entre outros conteúdos matemáticos; a construção do alicerce e a utilização
de medidas de volume; a construção do telhado, com ênfase à montagem de suas
tesouras; a cobertura da casa e a área dos vários tipos de telhas.
O uso do teorema de Pitágoras pelo pedreiro desde o início da obra, em sua
demarcação inicial, até o acabamento final, foi uma maneira de demonstrar com
uma experiência da vida cotidiana como este Teorema é constantemente utilizado.
Muitos alunos têm pais que trabalham na construção civil, o que fez com que se
sentissem inseridos na atividade. Muitos relataram que os pais usam o Teorema
sem que tenham conhecimento desse fato e, principalmente por não conhecê-lo em
sua definição. Dessa forma, entenderam que é um conhecimento acessível a todos.
Os alunos apreciaram a atividade envolvendo a história da matemática e das
relações métricas do triângulo retângulo e constataram que há possibilidade de
aplicação desses cálculos em situações do seu cotidiano.
Em uma das atividades propostas, a ideia era formar grupos de quatro
integrantes onde os alunos seriam levados a atravessar a quadra de esportes do
colégio na diagonal para resolver alguns problemas, mas, durante a realização da
atividade nos deparamos com um problema. No horário em que a turma tinha aula
de Matemática seria possível conduzir os alunos à quadra de esportes, pois o
professor de Educação Física ministrava sua aula lá.
Procurando contornar esse obstáculo decorrente da própria dinâmica escolar
e, decidindo evitar conflitos, procuramos realizar a atividade em uma aula, no dia
seguinte ao que a atividade estava planejada. Os alunos ficaram alvoroçados, pois a
saída da sala convencional para uma atividade diferente acabou ocasionando uma
ansiedade natural.
Os alunos começaram a perguntar sobre como os fatos realmente
aconteceram e quais as pessoas responsáveis por eles. A constatação de que a
História possui facetas não muito claras proporcionou maior reflexão e até mesmo a
curiosidade e interesses pela leitura aumentaram.
A demonstração do teorema de Pitágoras pelas relações das semelhanças de
triângulos foi uma das maiores recreações dos matemáticos nos dois últimos
milênios. Entre os demonstradores do teorema destacam-se Euclides de Alexandria
(séc. III a.C.). A atividade que foi trabalhada para essa demonstração foi realizada
em duplas para que houvesse melhor aproveitamento, troca de informações e ajuda
mútua no momento de manipulação dos triângulos que foram recortados. Ao
introduzir esta atividade foram retomados alguns conceitos como: projeção
ortogonal, a classificação dos triângulos quanto aos ângulos, dando mais ênfase ao
triângulo retângulo; a classificação dos triângulos quanto aos lados; os elementos
dos triângulos (lados, ângulos internos e externos); os lados do triângulo retângulo
que possuem nomes especiais.
Os alunos observaram, por meio de seus desenhos e recortes, que,
independente dos triângulos, as razões entre os lados do triângulo se mantinham
constantes, se considerado o mesmo ângulo. As possíveis diferenças observadas
deviam-se a imprecisões nas medições e no arredondamento dos números obtidos.
Destacou-se então que as razões encontradas são tão importantes que os
matemáticos lhes atribuíram nomes especiais: seno, cosseno e tangente,
respectivamente.
Na última etapa da implementação do projeto os alunos realizaram uma
atividade avaliativa para verificar se assimilaram os conteúdos propostos, na qual se
constatou que a maioria conseguiu entender o que foi proposto, sendo feitas
intervenções pela professora sempre que necessárias.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o intuito de criar soluções que despertem o interesse dos alunos sobre o
conteúdo de geometria, foram utilizadas várias estratégias de ensino, com enfoques
diferenciados, visando motivar o aluno em sua busca pelo conhecimento. Um destes
enfoques é relacionar o Teorema de Pitágoras e suas demonstrações com a história,
para que os conhecimentos que foram acumulados pela humanidade e transmitidos
historicamente pudessem contribuir como recurso pedagógico.
Durante o trabalho de implementação, os alunos estiveram constantemente
em contato com a História da Matemática. Acreditamos que, utilizando a História da
Matemática, a história sobre Pitágoras e as diversas maneiras de demonstrar o seu
Teorema os alunos se sentiram mais motivados e interessados, o que pode ser
comprovado durante as aulas.
Os alunos mostraram maior interesse pela história e também pela aula,
melhorando assim seus conhecimentos em relação ao tema. A constatação de que a
Matemática possui várias facetas como a sua própria história, acabou por motivar a
curiosidade e interesses dos alunos pela leitura, sendo mais um instrumento de
incentivo às aulas de Matemática. Percebeu-se um maior interesse dos alunos pelo
conteúdo nos momentos em que fatos históricos lhes foram apresentados.
Além disso, a adoção de recursos didáticos diferenciados com mídias no
formato de vídeos, materiais manipuláveis, e outros, abordou diversas possibilidades
de demonstrações do Teorema de Pitágoras na busca de desenvolver uma
compreensão significativa deste conhecimento. Portanto, urge a necessidade de
uma ressignificação nos processos de ensinar e aprender Matemática, abrangendo
não apenas a inclusão ou exclusão de conteúdos, mas passando por uma análise
pedagógica de como são abordados.
O diferencial que trará benefícios à aprendizagem está nas estratégias
metodológicas que o professor adotará para que os conceitos e os conhecimentos
sejam elaborados, compreendidos, reelaborados e utilizados pelo aluno. Assim, é
essencial que sejam selecionados recursos didáticos que auxiliem o aluno a pensar
matematicamente, que sirvam de apoio ao professor na mediação da construção e
significação do conhecimento, visando o sucesso do processo de ensinar e aprender
matemática. Uma possibilidade é envolver os recursos didáticos a serem utilizados,
pois, na era tecnológica que estamos inseridos, as informações e os saberes estão
acessíveis a todos, sejam por meios eletrônicos ou impressos.
Entendemos que o ensino-aprendizagem de Matemática passa a ser mais
gratificante, uma vez que o aluno começa a aprender o que lhe desperta interesse,
tornando-se responsável pelo seu aprendizado.
O que se procurou abordar neste trabalho não foi relatar regras de ensino e
sim o relato de uma vivencia prática, das necessidades do meio em que estamos
inseridos, como professores e educadores, pois este meio está em constante
desenvolvimento, e somente o uso do quadro negro e do giz não consegue
acompanhar esta dinâmica. A despeito disso, as dificuldades encontradas e os
resultados positivos da implementação do projeto nos levam a acreditar e apostar
cada vez mais neste trabalho e nas formas diferenciadas de lecionar, que tem como
ponto central estimular a criatividade dos alunos.
O Teorema de Pitágoras é muito mais do que uma parte do conteúdo de
matemática. É também um recurso que serve de suporte nos cálculos mais variados
e em problemas geométricos, possibilitando relações com vários tipos de
experiências e desafios. Desta forma, buscamos criar condições que permitissem
que os alunos compreendessem e aprofundassem os saberes matemáticos relativos
ao Teorema de Pitágoras de maneira que fizesse sentido para eles.
Buscamos a construção e utilização de recursos didáticos diversificados, com
apoio na história da matemática, compreendendo que muitos dos conhecimentos
que utilizamos hoje têm sua origem no passado. Dessa maneira, acreditamos que,
ao participar de um trabalho no qual o conteúdo não é dissociado da realidade,
alunos e professores se tornam mais entusiasmados com a possibilidade de
transformar o ensino e a escola, ainda que de forma lenta e gradual, para que ela
venha a exercer o papel que lhe cabe na preparação do indivíduo para atuar na
sociedade em que vive.
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