Unidade I

MATEMÁTICA APLICADA

Prof. Luiz Felix

Conjuntos

Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos:

Representação ordinária

A = 0, 1, 2, 3, 4A 0, 1, 2, 3, 4

Representação abstrata

A = x Z 0 x 4

Representação por diagramas de Venn

0 12

3 4

A

Operações entre conjuntos

Interseção – Elementos comuns

Dados os conjuntos A = 0,4,9 eB = 4,8

A B = 4

União Composição de todos os União – Composição de todos os elementos.

Dados os conjuntos A = 1,4,8 eB = 7,8

A B = 1,4,7,8

Diferença

Dados os conjuntos A = 2,3,5 eB = 2,4

A – B = 3,5

Conjuntos numéricos

Números naturais

N = 0, 1, 2, 3, ...

Números inteiros

Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Números racionais

Q = x / x = a/b com a e b Z com

b ≠ de 0

Exemplos: 2/10 = 0,2

47/99 0 474747/99 = 0,4747

Conjuntos numéricos

Números irracionais – Formados por dízimas infinitas não periódicas.

Exemplo: 3 = 1,73205...

Números reais – Formados porNúmeros reais Formados por todos os números racionais e irracionais.

Produto cartesiano

A x B = (x,y) / x A e y B

Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5

A x B = (1,1), (1,2), (1,5), (2,1), (2,2), (2,5),(3,1), (3,2), (3,5)

Plano cartesiano

Funções

Uma relação f: A B é chamada de funçãose:

I. Não há elemento x em A sem correspondente y em B. (Não podem “sobrar” elementos de A.)

II. Qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B. (Não pode haver elemento de A “associado” a mais de um elemento de B.)

Funções - exemplo

Sendo A = -2, -1, 0, 1

B = 2, 3, 4, 5, 7

Verifique se a relação f: A B é uma

função.

A B32

47

5

- 2- 1

01

Função constante

É toda a função y = k em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.

k

Função linear

Sendo A e B conjuntos de números reais e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma função f: A B, com f (x) = m . x, é uma função linear.

Interatividade

Observando o 2º. quadrante do plano cartesiano, podemos afirmar que:

a) x > 0 e y > 0.

b) x < 0 e y < 0.

c) x > 0 e y < 0c) x > 0 e y < 0.

d) x < 0 e y > 0.

e) x = 0 e y = 0.

Resposta

A alternativa correta é:

d) x < 0 e y > 0.

Função do 1º. grau (ou função afim)

Sua sentença é dada por y = m . x + n, sendo m e n constantes reais com m diferente de 0.

n n

m > 0 m < 0

Observações importantes da função do 1º. grau

1. A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y.

2. A constante m é chamada de coeficiente angular. Quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente.

Observações importantes da função do 1º. grau

3. Conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1) e B (x2 , y2 ), o coeficiente angular m é dado por:

m = y2 – y1

x2 – x1

4. Conhecendo-se um ponto P (x0 , y0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada pory – y0 = m (x – x0)

Ou seja:Ou seja:A equação da reta é: y = m (x – x0) + y0

Função do 1º. grau - exemplo

Obtenha o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos.

A (1, 2) e B (2, 7)

Resolução: A (x1, y1) B (x2, y2)

Sendo m = y ySendo m = y2 – y1

x2 – x1

m = 7 – 2 m = 5 m = 52 – 1 1

Função do 1º. grau - exemplo

Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e tem coeficiente angular m = 2.

Resolução: y = m (x – x0) + y0 e P(1,3)P(x0, y0)

y = 2 (x – 1) + 3

y = 2x – 2 + 3

y = 2x + 1

Função do 1º. grau - exemplo

Qual a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B (2,3)?

Resolução: A (x1, y1) B (x2, y2)

Sendo m = y2 – y1

x2 – x1x2 x1

m = 3 – 2 m = 1 m = 12 – 1 1

Sendo y = m (x – x0) + y0 e A(1,2)

y = 1 (x – 1) + 2

y = x – 1 + 2

y = x + 1

Função demanda e oferta de mercado

A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir.

A oferta de um bem é a quantidade que os vendedores desejam oferecer no mercado.

x é a quantidade demandada ou ofertada e y o preço unitário do produto.

Na demanda y = – m . x + n, esta é umaNa demanda y m . x n, esta é uma função decrescente, pois m < 0.

Na oferta y = m . x + n, esta é uma função crescente, pois m > 0.

Preço e quantidade de equilíbrio

É o ponto de intersecção entre a demanda e a oferta.

Seja a função demanda D(p) = 25 – 4p e a função oferta S(p) = – 5 + 6p Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?

Resolução: D(p) = S(p)

25 – 4p = – 5 + 6p

25 + 5 = 6p + 4p

30 = 10p

30/10 = p

p = 3

Interatividade

Dada a função demanda D(p) = 45 – 18p e a função oferta S(p) = – 35 + 2p. Qual é o preço de equilíbrio de mercado para essas funções?

a) p = 1.

b) p = 2.

c) p = 3.

d) p = 4.

e) p = 5.

Resposta

A alternativa correta é:

d) p = 4.

Resolução:

D(p) = 45 – 18p e S(p) = – 35 + 2p

D(p) = S(p)

45 – 18p = – 35 + 2p

45 + 35 = 2p + 18p

80 = 20p

80/2080/20 = p

p = 4

Receita total

Seja x a quantidade vendida de um produto.

Chamamos de função receita o produto do preço de venda por x e indicamos por R.

R(x) = P.x

Receita total - exemplo

Uma livraria vende uma revista porR$ 5,00 a unidade.

a) Qual a função receita?

Sendo R(x) = P.x então:

R(x) = 5 xR(x) = 5.x

b) Qual a receita da livraria se forem vendidas 10 revistas?

Sendo a função receita

R(x) = 5.x então: ( )

R(x) = 5.10

R(x) = 50 reais

Receita total - exemplo

c) Qual a quantidade que deve ser vendida para se obter uma receita de R$700,00?

Neste caso, temos:

Função receita: R(x) = 5.x

Receita desejada R(x) = 700Receita desejada R(x) = 700

então:

700 = 5.x

x = 700 = 140 5

Custo total

Seja x a quantidade produzida de um produto.

O custo total de produção, ou simplesmente custo, depende de x, e a relação entre eles chamamos de funçãocusto total, ou simplesmente funçãocusto, e indicamos por C.

Custo total

Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos chamamos de custo fixo e indicamos por CF.

A parcela do custo que depende de x, chamamos de custo variável e indicamos por CV.

C(x) = CF + CV

Para x variando dentro de certos valores,Para x variando dentro de certos valores, normalmente não muito grandes, o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x.

Custo total - exemplo

O custo fixo mensal de fabricação de um produto é de R$ 5.000,00, e o custo variável por unidade é de R$ 10,00.Qual a função custo total?

Sendo C(x) = CF + CV, temos:

CF = 5000 e CV = 10, então:

C(x) = 5000 + 10.x

Interatividade

O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é de R$ 30,00 e o preço de venda é de R$ 40,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, a função receita e a função custoreceita e a função custo.

a) R(x) = 30.x e C(x) = 5000 + 40.x.

b) R(x) = 30.x e C(x) = 40 + 5000.x.

c) R(x) = 40.x e C(x) = 30 + 5000.x.

d) R(x) = 40 x e C(x) = 5000 + 30 xd) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 30.x.

e) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 40.x.

Resposta

A alternativa correta é:

d) R(x) = 40.x e C(x) = 5000 + 30.x

Resolução:

Preço de venda é R$ 40,00, então: R(x) = 40 xR(x) = 40.x

C(x) = CF + CV

Custo fixo é de R$ 5.000,00

Custo variável é de R$ 30,00, então: C(x) = 5000 + 30.x( )

Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento

O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x).

Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento - exemplo

Uma editora vende certo livro porR$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é de R$ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é de R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?

Neste caso, temos:

Função receita: R(x) = 60.x

Função custo: C(x) = 10000 + 40.x

Sendo R(x) = C(x) temos:

60.x = 10000 + 40.x

60.x – 40.x = 10000

20.x = 10000

x = 500

Função lucro

A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C.

Indicando a função lucro por L, teremos:

L(x) = R(x) – C(x)L(x) R(x) C(x)

Função lucro - exemplo

O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é de R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00.

a) Qual a função lucro?

R(x) = P.x = 8.x

C(x) = CF + CV = 30000 + 6.x

L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = 8.x – (30000 + 6.x) =

L(x) = 8.x – 30000 – 6.x

L(x) = 2.x – 30000

Função lucro - exemplo

b) Qual o lucro se 40.000 unidades forem vendidas?

Sendo a função lucro

L(x) = 2.x – 30000 então:

L(x) = 2 40000 30000L(x) = 2 . 40000 – 30000

L(x) = 80000 – 30000

L(x) = 50000

Função lucro - exemplo

c) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter um lucro de R$ 60.000,00?

Sendo a função lucro

L(x) = 2.x – 30000 então:

60000 = 2 x 3000060000 = 2.x – 30000

60000 + 30000 = 2.x

2.x = 90000

x = 900002

x = 45000

Interatividade

O custo fixo de fabricação de um produto é de R$ 1.000,00 por mês, o custo variável por unidade é de R$ 5,00 e cada unidade é vendida por R$ 7,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, o ponto crítico e a função lucrocrítico e a função lucro.

a) Ponto crítico = 300 e L(x) = 12.x + 100.

b) Ponto crítico = 500 e L(x) = 12.x – 1000.

c) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x – 1000.

d) Ponto crítico = 300 e L(x) = 2 x 1000d) Ponto crítico = 300 e L(x) = 2.x – 1000.

e) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x + 1000.

Resposta

A alternativa correta é:

c) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x – 1000

Resolução:

R(x) = 7.x C(x) = 1000 + 5.x

Ponto crítico:

R(x) = C(x) 7.x = 1000 + 5.x

7.x - 5.x = 1000 2.x = 1000 x = 500

Função lucro:

L( ) R( ) C( )L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = 7.x – (1000 + 5.x)

L(x) = 7.x – 1000 – 5.x = 2.x – 1000

ATÉ A PRÓXIMA!