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SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL E AS OPERAÇÕES ELEMENTARES:
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS EM SALA DE AULA POR MEIO DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Profa. Nair Kiyomi Nishimura1
Profa. Dra. Simone Luccas2
RESUMO
O artigo relata uma experiência na qual foram utilizadas as metodologias da Resolução de Problemas e Investigação Matemática. O trabalho foi realizado em uma turma do 6º ano em um Colégio Estadual, com o objetivo de enfocar o Sistema de Numeração Decimal de forma contextualizada em situações que fossem significativas para os alunos. Para isso, alternativas de trabalho foram utilizadas, como jogos, desafios matemáticos, textos e problemas, com a intenção de construir os significados de número e suas múltiplas representações e utilidades presentes no cotidiano. O relato da experiência foi a partir das observações feitas no desenvolvimento do trabalho dos alunos em pequenos grupos, refletindo-se e discutindo-se sobre as resoluções dos problemas apresentadas por eles. As situações apresentadas aos alunos foram no sentido de mediar a apropriação de conceitos desse assunto para ajudá-los por meio da matemática, a compreender, explicar ou organizar a sua realidade. Utilizando-se as avaliações: diagnóstica, somativa e formativa, observou-se toda a trajetória percorrida pelos alunos no processo ensino e aprendizagem, analisando até que ponto eles se apropriaram do conhecimento. Palavras-chave: Resolução de Problemas; Sistema de Numeração Decimal; Operações; Ensino; Aprendizagem.
1 INTRODUÇÃO
Muitos avanços ocorreram em pesquisas relacionadas ao ensino e a
aprendizagem da Matemática, porém, no cotidiano escolar, ainda se observa uma
sequência de regras prontas e acabadas, exigindo do aluno apenas uma grande
1 Professora da rede Estadual de Educação, formada em Matemática pela Fundação Faculdade
Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de Cornélio Procópio e Especialização em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Londrina - UEL. Participante do Programa de Desenvolvimento Educacional-PDE-SEED-PR, turma 2010. 2 Professora doutora do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade Estadual do Norte do
Paraná – UENP, Campus de Cornélio Procópio.
capacidade de memorização para armazenar dados, regras e definições, em
detrimento da compreensão de conceitos e dos procedimentos utilizados.
Ao chegar ao 6º ano da Educação Básica, nota-se que os alunos apresentam
inúmeras dificuldades, especialmente com relação ao sistema de numeração
decimal e às operações elementares de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Assim, se faz necessário mediar a apropriação de conceitos desses conhecimentos
para ajudá-los a compreender, explicar ou organizar a sua realidade, seguindo as
orientações curriculares atuais do ensino de Matemática, apresentadas nas
Diretrizes Curriculares da Educação Básica da Secretaria de Estado da Educação
do Paraná.
Portanto, é necessário minimizar as lacunas e dificuldades de aprendizagem
referentes ao sistema de numeração decimal (SDN) e às operações elementares
que o aluno apresenta ao chegar no 6ºano.
A intenção, em princípio, visou o enfoque do sistema de numeração decimal e
as operações elementares de forma contextualizada em situações reais do
cotidiano, que sejam relevantes para os alunos. Para isso foram realizadas várias
atividades envolvendo o uso de jogos e desafios matemáticos, entre outros, com o
objetivo de construir a compreensão de número, suas múltiplas representações,
desenvolvendo o sentido numérico e o sentido das operações.
A estratégia metodológica da Resolução de Problemas e Investigação
Matemática se fizeram presentes no decorrer de toda a ação.
Para a Resolução de Problemas será utilizada, sempre que possível, a
classificação de problemas de acordo com Thomas Butts(1980) e as fases de
resolução propostas por Allevato e Onuchic(2008), para ensinar o conhecimento do
sistema de numeração decimal.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
É comum, no ambiente escolar, os profissionais da educação afirmarem que o
ensino da matemática objetiva desenvolver a atividade intelectual, ou seja, é por
meio da matemática que se desenvolve o raciocínio. No entanto, é sabido que a
Matemática também tem a função de contribuir com o desenvolvimento de atitudes e
valores necessários à vida de todo ser humano.
Portanto, o professor tem como objetivo desenvolver nos alunos o gosto pela
Matemática, propiciando a autonomia, cooperação, confiança, persistência. Para
atingir metas como essas há necessidade de proporcionar aos alunos experiências
diversas, baseadas em tarefas estimulantes. Assim, é possível ter expectativas
positivas em relação ao rendimento dos alunos, proporcionando habilidades para
enfrentar os problemas do cotidiano e desenvolvendo assim, a capacidade humana
de transformar, com ética, a sociedade em que vivem, ou seja, como propõem as
Diretrizes Curriculares para a Educação Básica da Secretaria de Estado da
Educação do Paraná
[...]almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de ideias. Aprende-se Matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade. (PARANÁ, 2008, p. 48)
No ensino da Matemática deve-se enfatizar a apropriação do conhecimento
matemático, o que significa considerar a participação do aluno na descoberta e
assimilação de ideias matemáticas, usando a sua curiosidade natural e sua
capacidade de explicar o que se observa, a capacidade de análise e síntese,
privilegiando o esforço, a intuição e a manifestação de raciocínio diante das
situações.
As tendências em Educação Matemática, que permitem ao professor observar
se o aluno apropriou dos conceitos matemáticos por meio de situações que
estimulem a sua curiosidade matemática, é a Resolução de Problemas e a
Investigação Matemática.
2.1 Tendência Metodológica de Ensino: Resolução de Problemas
O professor pode usar essa tendência como estratégia de ensino em diversas
situações nas quais o aluno é estimulado à investigação e à exploração de novos
conceitos. O fundamental é que o aluno adquira conhecimento matemático baseado
em problemas, cujos procedimentos de resolução podem ser como o proposto no
quadro abaixo, baseado no esquema de Polya.
Compreender o problema
a) O que se pede no problema?
b) Quais são os dados e as condições do problema?
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama?
d) É possível estimar a resposta?
Elaborar um plano
a) Qual é o seu plano para resolver o problema?
b) Que estratégia você tentará desenvolver?
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a
resolver este?
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.
e) Tente resolver o problema por partes.
Executar o plano
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo.
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano.
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de
resolver o mesmo problema.
Fazer o retrospecto ou verificação
a) Examine se a solução obtida está correta.
b) Existe outra maneira de resolver o problema?
c) É possível usar o método empregado para resolver problemas
semelhantes?
Quadro 1: Resolução de problemas segundo Polya
Fonte: DANTE, 2005, p.29
O aluno deve ser encorajado a exprimir as suas ideias a respeito das
situações estudadas, mesmo que elas, pela lógica, sejam erradas, pois a
coordenação necessária do pensamento ocorre gradativamente ao longo do
desenvolvimento de cada indivíduo e durante toda a sua vida (PARANÁ, 1990, p.
19).
Nesse processo é importante compreender a classificação de problemas
segundo Thomas Butts.
TIPOS DE
PROBLEMAS
CARACTERÍSTICA
SUGESTÃO
Exercícios de reconhecimento
Reconhecimento de um fato específico, uma definição ou o enunciado de um teorema
Colocar os exercícios de reconhecimento na forma de “dar um exemplo de”, pois existem múltiplas possibilidades de solução.
Exercícios de algoritmos
Uso de um algoritmo passo a passo
Dar uma sequência de exercícios algorítmicos com um propósito. Dar o reverso de um problema familiar.
Problemas de aplicação
Necessidade do uso de linguagem matemática
Colocar problemas reais.
Problemas em aberto
Não contém estratégias para resolução
Estimular o chute, argumentar e verificar.
Situações problemas
Identificação de um problema numa situação
Propor situações problemas.
Quadro 2: Tipos de problemas Fonte: BURIASCO (1995, p.01)
Por meio de experiências com problemas de natureza diferentes, o aluno
interpreta o fenômeno matemático e assim é possível explicar a concepção
matemática envolvida nesses problemas. O aluno cria hipóteses e conjecturas
permitindo a ele adquirir habilidades e atitudes por meio de atividades relevantes
relacionadas ao seu cotidiano.
Para ensinar o conhecimento matemático por meio da resolução de
problemas, é preciso estabelecer uma sequência, ou seja, seguir etapas. Assim, é
interessante observar as fases, apresentadas a seguir, por Allevato e Onuchic
(2008):
Formar grupos e entregar a atividade. O professor apresenta o problema para os
alunos, que, divididos em pequenos grupos, lê e tenta interpretar e entender o
problema. Deve-se enfatizar o conteúdo matemático necessário, ou mais
apropriado, para resolver o problema que ainda não foi apresentado na aula. O
problema proposto para os alunos, a que chamamos problema gerativo, é o que
levará ao conteúdo que o professor planeja construir na lição.
Observar e incentivar. O professor não tem mais o papel de transmissor de
conhecimento. Enquanto os estudantes tentam resolver o problema, o professor
observa, analisa o comportamento dos estudantes e estimula o trabalho
colaborativo. O professor é o mediador no sentido de orientar os alunos, dando-lhes
tempo para pensar e estimular a troca de ideias.
Ajudar com problemas secundários. O professor incentiva os alunos a utilizar os
seus conhecimentos anteriores ou técnicas que eles já sabem, para resolver o
problema, e estimulando-os a escolher diferentes métodos com base nos recursos
que têm disponíveis. No entanto, é necessário auxiliar os alunos com suas
dificuldades, intervindo, questionando, seguindo as suas explorações e ajudando-os
a resolver problemas secundários, quando necessário. Referem-se a dúvidas
apresentadas pelos alunos no contexto do atual vocabulário na comunicação de
problema, no contexto da leitura e interpretação, bem como aqueles que possam
surgir durante a resolução de problemas, por exemplo, notação, a passagem da
língua portuguesa para a linguagem matemática, os conceitos relacionados e
técnicas operatórias para permitir a continuação do trabalho.
Registro das soluções na lousa. Representantes dos grupos são convidados a
registrar as soluções na lousa. Todas as soluções, corretas ou incorretas, aqueles
feitos por diferentes processos, devem ser apresentados para todos os alunos para
analise e discussão.
Sessão plenária. O professor convida os alunos para discutir soluções com os
seus colegas, para defender seus pontos de vista e esclarecer dúvidas. O professor
atua como orientador e mediador nas discussões, fomentando a participação ativa e
efetiva de todos, pois este é o mais rico momento de aprendizagem.
Buscar consenso. Depois de enfrentar as dúvidas e analisar as resoluções e
soluções obtidas para o problema, o professor tenta chegar a um consenso com
toda a turma sobre o resultado correto.
Formalizar o conteúdo. Neste momento, chamado de "formalização", o professor
faz uma formal apresentação dos novos conceitos e conteúdos construídos,
destacando diferentes técnicas e características adequadas para o assunto. Deve
ser reiterado que, nesta metodologia, o problema é proposto aos alunos antes dos
conteúdos matemáticos necessários ou mais adequados para resolvê-lo (previsto
pelo professor de acordo com o programa para esse nível de ensino) que tenham
sido formalmente apresentados. Assim, o ensino-aprendizagem de um tópico
matemático começa com um problema que expressa aspectos-chave deste tópico e
técnicas matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas razoáveis
para o determinado problema.
Quadro 3: Fases para organização de atividades. Fonte: ALLEVATO; ONUCHIC (2008)
Nessa perspectiva, a abordagem do sistema de numeração decimal e das
operações elementares por meio dessa proposta metodológica se mostra bastante
promissora, permitindo uma ampliação de conhecimentos, pois
Fomentar um sentido numérico requer que seja executado um plano de ação escolar baseado num constante processo matematizador produtivo. Com isso, contribui-se para um conjunto de aspectos da formação dos estudantes. (LINS; GIMENEZ, 1997, p 74)
2.2.Tendência Metodológica de Ensino: Investigação Matemática
Uma das perspectivas metodológicas interessante para descobrir relações
entre o que se conhece de conteúdo matemático e o desconhecimento dele é a
Investigação Matemática, pois possibilita a resolução de problemas matemáticos
abertos de forma criativa e com autonomia para se apropriarem do conteúdo
presente nas situações problema, possibilitando assim uma aprendizagem concreta
na escola, resultando em uma base sólida para a sua vivência fora dela.
As Diretrizes Curriculares para a Educação Básica da Secretaria de Estado
da Educação do Paraná registram que
Uma investigação é um problema em aberto e, por isso as coisas acontecem de forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar. Assim, uma mesma situação apresentada poderá ter objetos de investigação distintos por diferentes grupos de alunos. E mais, se os grupos partirem de pontos de investigação diferentes, com certeza obterão resultados também diferentes (PARANÁ, 2008, p. 67).
Segundo Ponte (2006) a realização de uma investigação matemática envolve
quatro momentos principais:
Exploração e formulação de questões
Reconhecer uma situação problemática
Explorar a situação problemática
Formular questões
Conjecturas Organizar dados
Formular conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura)
Testes e reformulação Realizar testes
Refinar uma conjectura
Justificação e avaliação Justificar uma conjectura
Avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio
Quadro 4: Quatro momentos principais da investigação matemática Fonte: PONTE (2006, p. 20 -21)
Ao trabalhar por meio da investigação matemática, é preciso que o aluno seja
organizado, curioso, criativo, imaginativo e, fundamentalmente, que ele tenha tempo
necessário para desenvolver todas as suas capacidades de elaborar estratégias e
procedimentos para resolver um problema.
2.3. Abordagem Pedagógica de Ensino: Jogos Matemáticos
Em situações do cotidiano, o jogo tem envolvimento com o que é prazeroso e
não tem relação com questões formais da aprendizagem. Porém, no ambiente
escolar, o jogo tem uma conotação diferenciada: ainda que ele tenha a intenção de
envolver o prazer, é uma atividade cognitiva que tem a intenção de ensino e
aprendizagem de forma lúdica e estimulante, e por meio dele desenvolver o
pensamento matemático, a estimativa e o cálculo mental.
O jogo é uma situação de aprendizagem que proporciona o envolvimento do
aluno de forma lúdica, desenvolvendo a imaginação, a criatividade, o raciocínio
lógico, a iniciativa e as atitudes, como coloca Spinelli e Souza (2006, p. 6), no
Manual Pedagógico.
Os jogos auxiliam na construção de conhecimentos matemáticos. Ao participar de um jogo pedagógico bem elaborado, o aluno retoma o que já sabe e tem a oportunidade de confrontar o que fez com o que seu colega fez. Essa troca de informações leva o aluno a conjecturar e formular hipóteses, a criar estratégias pessoais, retificar, elaborar e reelaborar conceitos, a compreender e realizar, além de estimular atitudes éticas adequadas em relação à atividade proposta.
2.4 Sistema de Numeração Decimal e Operações Elementares
O conhecimento do sistema de numeração decimal é ponto inicial para que se
tenha o domínio das questões mais elementares presentes na matemática. Assim, é
necessária a compreensão de suas características:
Símbolos
0,9,8,7,6,5,4,3,2,1
Base
10
Sistema posicional
O valor de um símbolo varia de acordo com a posição ocupada.
Zero
Representação de “posição vazia”.
Sistema Multiplicativo
51021006100033625 xxx
Sistema Aditivo
52060030003625
Quadro 5: Características do SDN Fonte: CENTURIÓN (1994. p.36)
A compreensão das ideias presentes em cada operação matemática leva o
aluno a perceber os significados das operações elementares de forma concreta.
Quadro 6: Características das operações elementares Fonte: DANTE (2005. p.31 a 45)
A exploração das ideias presentes em cada operação elementar (adição,
subtração, multiplicação, divisão) é fundamental para que o aluno saiba aplicá-la
com propósito.
Operações
elementares
Ideias
Adição
Juntar ou acrescentar.
Subtração
Comparar, completar ou tirar.
Multiplicação
Adicionar parcelas iguais, disposição retangular, combinações e possibilidades ou proporcionalidade.
Divisão
Repartir igualmente ou quantas vezes uma quantidade cabe na outra.
É importante que o aluno tenha conhecimento em relação aos números e às
operações elementares por meio de resolução de problemas e da investigação
matemática em diversas situações matemáticas, buscando um trabalho autônomo,
sendo possível a ele:
1) Desenvolver uma capacidade mínima de interpretar o que há de aritmético em determinadas situações reais; isso implica usar de forma ágil linguagens diferentes; 2) Integrar e dominar alguns processos gerais aritméticos que permitam a resolução de situações mediante métodos diversos (planificação, uso de referenciais externos à situação, cálculo de diversos tipos, técnicas esquemáticas.); 3) Dominar algumas bases conceituais importantes, reconhecendo sua aplicação em situações concretas; 4) Adquirir um sentido numérico, o mais geral possível, que permita flexibilizar as técnicas e os conteúdos que se conhecem e reconhecer quando cada uma é mais útil e adequada; 5) Ser capaz de produzir hipóteses diante de problemas vinculando as justificações necessárias a diversos raciocínios (aditivo, multiplicativo, proporcional etc.); 6) Adotar as mudanças de atitudes necessárias para levar tudo a cabo. (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 86)
É preciso fazer com que o aluno compreenda o significado do Sistema de
Numeração Decimal e consequentemente das operações elementares (adição,
subtração, multiplicação e divisão) de forma clara e objetiva, por meio de ações
estimulantes, construído de forma gradativa, fazendo com que ele se torne
independente na resolução de problemas.
3 METODOLOGIA
Utilizando Jogos e as perspectivas metodológicas da Resolução de
Problemas e Investigação Matemática foram desenvolvidas algumas atividades
referentes ao sistema de numeração decimal e às operações elementares, pois
essas metodologias possibilitam uma diversidade de estratégias e procedimentos
matemáticos desenvolvidos pelos alunos, de forma a desenvolver as habilidades de
pensar, imaginar, criar, acentuando a satisfação e o prazer de aprender.
Durante o 1º e 2º semestres do PDE foram feitas pesquisas, leituras e
seleção de atividades a serem aplicadas na Implementação Pedagógica de acordo
com a Resolução de Problemas, Investigações Matemática e Jogos.
Essas atividades foram aplicadas em uma turma de um Colégio Estadual,
localizado na cidade de Cornélio Procópio, norte do Estado do Paraná.
O objetivo dessas atividades era o de minimizar as lacunas e dificuldades de
aprendizagem referentes ao sistema de numeração decimal (SDN) e às operações
elementares que o aluno apresenta ao chegar no 6º ano da Educação Fundamental.
A ideia era levar o aluno a compreender as características do Sistema de
Numeração Decimal, explorar a escrita simplificada dos números, verificar a
aplicação dos números em situações do cotidiano, ampliar o conhecimento das
operações elementares por meio da resolução de problemas e da investigação
matemática.
Na execução da aplicação houve oportunidade dos alunos trabalharem em
grupos de três componentes, levando-os à reflexão, investigação e descoberta, por
meio de discussões de problemas simples, incentivando-os a encontrar soluções de
forma mais autônoma, e assim à aprendizagem.
Houve uma preocupação com o atendimento aos alunos de acordo com as
lacunas de aprendizagem apresentadas por eles, previamente diagnosticada por
meio de atividades em sala de aula, portando deu-se ênfase às diferenças de
conhecimentos e nível de avanço dos alunos. Assim estabeleceu-se como critério
trabalhar a turma que apresentou dificuldade de aprendizagem que, talvez por
coincidência ou não, é uma turma formada por alunos de idades cronológicas
diferenciadas. Portanto, o desenvolvimento das atividades foi feito pela turma de
alunos com a faixa etária entre 11 e 16 anos.
4 DESENVOLVIMENTO
As atividades apresentadas a seguir foram trabalhadas em sala, com os
alunos, na implementação da unidade temática. Os relatos apresentados foram
desenvolvidos pelos alunos por meio da Resolução de Problemas, Atividades de
Investigação e Jogos Matemáticos, que provocaram reflexões sobre as noções
matemáticas, discussão de ideias, conjecturas e descobertas pelos alunos, evitando
assim a exploração de conteúdos matemáticos voltados para a memorização.
Atividade 1
Foi pedido que formassem grupos de três alunos, sem interferência na
escolha por parte da professora. Um grupo ficou com quatro alunos, porque o
número de alunos da sala não é múltiplo de três. Assim, os alunos foram orientados
para que se desenvolvessem a atividade abaixo:
Distribuir uma folha de papel sulfite para cada aluno e fazer com que os
alunos sigam as seguintes etapas:
Desenhar o maior “quadrado” possível na folha.
Dividir o “quadrado” em 25 “quadradinhos” de mesma dimensão.
Em cada linha coloque os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 (ou qualquer outro
que achar conveniente).
Recorte os “quadradinhos”.
Refaça o quadriculado de 5x5, não repetindo nenhum algarismo em
cada linha, em cada coluna e em cada diagonal do quadriculado.
Agora responda:
Quais os números formados nas linhas, colunas e diagonais?
Coloque-os em ordem crescente.
Quantas classes têm esses números?
Todos têm o mesmo número de ordens?
Quantas ordens têm o menor e o maior número?
Quais números são menores que 10000?
Em qual(is) número(s) o 3 está na ordem da unidade de milhar?
Decomponha dois números encontrados no 1º item de diversas formas.
Divida por dois cada número encontrado nas linhas, colunas e
diagonais.
Escreva em ordem crescente todos os números pares.
Escreva em ordem decrescente todos os números ímpares.
Dê a soma do número da 1ª linha com o número da 3ª coluna.
Calcule a soma de todos os números de ordem par nas linhas.
Exemplo: 2ª linha + 4ª linha.
Determine a soma de todos os números pares.
Determine a soma de todos os números ímpares.
Dê a diferença entre as somas dos números pares e ímpares.
Calcule a soma de todos os números da ordem ímpar nas colunas.
Calcule a diferença do maior e do menor número encontrado.
Qual a diferença dos números que estão nas diagonais?
Multiplique os números que estão em cada linha, em cada coluna, em
cada diagonal. O que você descobriu?
Faça o arredondamento na ordem da unidade de milhar de todos os
números encontrados nas diagonais.
Escreva esses números na forma simplificada.
Quadro 7: Exercício adaptado da atividade Pensando Fonte: PEREIRA, Maria das Graças Barbosa, GRACINHA, Ângela Franco e ALFREDO. Matemática
Brincando & Construindo. Quarto volume. Belo Horizonte: Editora Lê, 1994. p.115.
Aproveitando a situação para relembrar as aulas de geometria, retomaram-se:
figuras tridimensionais (espacial) e figuras bidimensionais (plano).
Tirar a maior peça quadrada da folha retangular gerou muita discussão entre
os elementos do grupo.
Demorou um pouco, mas todos os grupos conseguiram, apesar de se ter
notado que o grupo que mais dificuldade teve, conseguiu ajuda de um grupo vizinho.
Mesmo assim, não houve interferência por parte da professora.
Para desenhar os 25 quadradinhos iguais na peça quadrada, os alunos
começaram vincando a folha, esse foi um processo bastante demorado. Todos os
grupos começaram dobrando ao meio e assim por diante.
Perceberam que não deu certo. Depois de algum tempo um grupo resolveu,
como estratégia, desenhar o quadriculado no caderno e contar quantas dobras
deveriam fazer. Tiveram sucesso na estratégia escolhida. Outros grupos levaram
mais tempo para chegar ao resultado. Nesse caso, foi necessário ir fazendo
perguntas e a partir das respostas os grupos foram deduzindo o que deveriam fazer.
Foram tantas as tentativas sem resultado que foi necessário a troca de papel e os
alunos recomeçaram o trabalho várias vezes. Mas deu resultado.
Nessa etapa do problema, pôde-se discutir paralelismo, fracionamento,
noções de área e perímetro, etc. e outros assuntos não relacionadas a conteúdos,
mas em atitudes, no sentido de colaboração com elementos do grupo e de grupos
vizinhos, respeito a opiniões dos colegas, saber ouvir, saber falar na hora certa,
saber posicionar-se perante as discussões, sem alterar a voz.
Colocados os algarismos em cada “quadradinho” e feito o recorte, as regras
referentes à atividade foram explicadas e os grupos começaram a procurar a
solução.
Apenas dois grupos terminaram ao final de 2 horas/aula. Pediu-se que
copiassem o resultado no caderno para que fosse possível discutir na aula seguinte.
Os outros grupos ficaram de terminar em casa.
Na aula seguinte, alguns grupos ainda tiveram que ter um tempo para refazer
a tarefa, pois ainda havia algarismos repetidos em linhas ou colunas ou ainda nas
diagonais.
Combinando com os alunos que não se preocupassem com o tempo
necessário para a resolução das tarefas seguintes, foi entregue uma folha com
questões para cada aluno resolver, a partir das discussões do grupo e fazendo
questionamento com a professora, quando sentissem alguma dificuldade, para as
devidas orientações.
Os alunos tiveram algumas dificuldades com relação às ordens e classes,
portanto, foi necessário retomar essas questões. Houve necessidade que
procurassem, no dicionário, o significado dessas palavras. Foi interessante, pois não
houve necessidade de interferência para que eles tirassem a dúvida.
Várias discussões foram feitas entre os elementos de cada grupo sobre o que
eles encontraram como sinônimo e em que situação se encaixava as ordens e
classes. Mas, mesmo assim, foi feito uso do Material Dourado para que eles
pudessem abstrair, e consequentemente concretizar as ideias presentes no assunto.
Nesse momento discutiu-se a ideia do arredondamento e da escrita simplificada.
Na questão relativa à divisão por dois, a intenção era que eles percebessem
as ideias dos números par e ímpar. Em relação à divisão, novamente fez-se uso do
Material Dourado, aproveitando esse momento para trabalhar as ideias presentes na
divisão: repartir igualmente e de medida.
Não houve nenhuma dificuldade na ideia e no algoritmo da soma, mas a
subtração estava muito vaga na cabeça da maioria dos alunos, sobretudo com a
troca de unidades de diferentes ordens. Com o Material Dourado, as ordens e
classes foram retomadas e a partir daí foi possível preencher mais essa lacuna de
aprendizagem.
As dúvidas referentes à multiplicação também constituíram algumas lacunas
de aprendizagem com relação às ordens e classes. Como isso foi retomado
anteriormente, foi muito fácil a compreensão, pois os alunos tiveram oportunidade de
verificar isso na prática, sem se esquecer da discussão das ideias da multiplicação.
Essa atividade envolve a metodologia da Investigação Matemática, na
modalidade de Exploração.
Atividade 2
Essa atividade foi desenvolvida com a sala toda, não houve a preocupação da
formação de grupos, ou seja, todos fizeram juntos. As carteiras foram colocadas em
forma de círculo para que fosse mais fácil a comunicação entre os alunos e para que
a professora pudesse ter uma ideia geral da participação de cada um dos alunos.
Decifrar Código
Descubra a frase abaixo:
5 8 1 2 6 11 3 3 10 4 5 1 7 1
4 0 4 9 3 2 5 7 3 10 13 2 3 11 5 12 5 1
7 3 8 0 2 5 15 3 10 3 8 3 4 4 5 11 0 5
6 5 11 5 5 11 3 4 1 15 13 12 5 1 7 3
14 13 3 4 9 1 3 4 14 13 3 3 10 16 1 15 16 3 2
5 4 1 6 3 11 5 12 1 3 4 2 5 9 3 2 5 9 0 8 5 4
Quadro 8: Decifrar código
Fonte: O Autor (2011)
Num primeiro momento, os alunos não conseguiram estabelecer nenhuma
estratégia para a resolução da questão, pois a atividade não dá nenhuma pista. Mas
mesmo assim, foram surgindo alguns questionamentos por parte dos alunos:
A1: É uma frase ligada a matemática?
A1: Mas como saber o que fazer? É preciso dividir?
A2: Precisa usar alguma operação matemática?
A3: Será que cada número representa uma letra? Eu acho que é isso porque
é uma frase.
Nesse momento a Professora interveio, dizendo que eles haviam descoberto
uma pista importante, pois cada número representava uma letra. E os alunos
continuaram questionando:
A4: Mas então o número 1 é a letra A e as outras letras estão na ordem dos
números?
A5: Será que dá certo?
Os alunos tentaram resolver dessa forma e perceberam que não era essa a
solução.
Um dos alunos (A6) pensou assim: como o número 5 representa apenas uma
letra e é o início da frase, então esse número deveria ser “A”, “É” e o “O”. A partir
desse pensamento e de discussões, não tiveram muito sucesso na resolução do
desafio.
Após inúmeras tentativas, alguns alunos resolveram pesquisar em caderno e
livros de matemática, palavras que tivessem exatamente o número de letras das
palavras da frase proposta no exercício, chegou-se à palavra “numeração”.
Substituíram os mesmos números pelas letras que já haviam descoberto. As demais
letras foram por dedução ou lógica.
Apesar da dificuldade inicial, os alunos demonstraram o gosto pelas atividades
que os desafiam.
Os criptogramas são desafios matemáticos que estimulam os alunos a
tentarem descobrir os valores das letras. Eles são desafiados a buscar estratégias
necessárias para a resolução.
ATIVIDADE 3
Inicialmente, a Professora e os alunos discutiram as diferenças entre um jogo
na escola e o jogo no cotidiano, fora do ambiente escolar, como na rua. Na escola
há menos competição, o objetivo não é só ganhar, mas também aprender. Assim,
um aluno ajuda o outro, exaltando a importância do aprendizado coletivo.
Jogo
Formar grupos acima de três jogadores.
Cada integrante do grupo usará 3 jogos de 10 fichas numeradas com algarismos de 0 a 9 e um dado. Esse dado contém faces com as regras do jogo (como o sugerido na planificação do cubo, abaixo).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Maior número
Menor algarismo na ordem das dezenas de
milhar
Menor número
Maior algarismo na ordem das
centenas de milhar
Zero na ordem das unidades
Maior
algarismo na ordem das centenas
Para formar o seu número, cada integrante do grupo lança o dado sete vezes pegando em cada uma delas uma ficha (ou a quantidade de algarismos que a Professora achar conveniente para a situação). Em seguida, as coloca sobre a mesa em sequência, de maneira a formar um número de sete algarismos.
Observação: No caso de empate na rodada, ganha o ponto quem retirar a maior ficha na mesma rodada
Quadro 9: Jogo matemático
Fonte: O autor (2011)
Nesse jogo foi possível explorar questões ligadas à geometria dando ênfase
na montagem dos cubos planificados e a seus elementos.
Durante o jogo foi possível verificar que muitos grupos não sentiram
dificuldades nas questões relacionadas ao SND (Sistema de Numeração Decimal),
pois já haviam sido exploradas em umas das atividades aplicadas anteriormente.
Concluiu-se que por meio do jogo houve a possibilidade de abordar o
conteúdo de forma lúdica e também contribuir para que o aluno tenha a capacidade
de organização, de atitudes de respeito, de socialização.
ATIVIDADE 4
O objetivo dessa atividade era explorar o arredondamento e a escrita
simplificada dos números, pelo fato desse tipo de escrita estar presente nas notícias
das mídias impressas.
Essa atividade foi desenvolvida por duplas, escolhidas pelos próprios alunos.
ESCRITA SIMPLIFICADA
Leia os seguintes fragmentos de um texto retirado do livro de Ciências:
“Mercúrio. É o planeta mais próximo do Sol – está a uma distância média de 58 milhões de quilômetros.”
“Vênus. É o segundo planeta mais próximo do Sol – está a cerca de 108 milhões de quilômetros.”
“Terra. É o terceiro planeta mais próximo do Sol – está a cerca de 150 milhões de quilômetros.”
“Marte. É o quarto planeta mais próximo do Sol – está a uma distância média de 228 milhões de quilômetros.”
“Júpiter. É o quinto planeta em ordem de distância do Sol e o maior do Sistema Solar. Está, em média, a 778 milhões de quilômetros de distância do Sol.”
“Saturno. Sexto planeta em ordem de distância do Sol, situa-se, em média, a 1,4 bilhão de quilômetros do Sol.”
“Urano. É o sétimo planeta em ordem de distância do Sol – está a uma distância média de 2,9 bilhões de quilômetros.”
“Netuno. É o último planeta em ordem de distância do Sol. Sua distância média do Sol é de 4,5 bilhões de quilômetros.”
Fonte: BARROS, Carlos e PAULINO, Wilson Roberto. Ciências. 4ªEd. São Paulo: Ática, 2009. p. 244-245 Dê o que se pede:
Grife os numerais.
De que forma estão representados esses numerais?
Escreva-os usando todos os seus algarismos.
Quadro 10: Atividade sobre a escrita simplificada dos números Fonte: O autor (2011)
Houve necessidade da utilização do quadro de classes e ordens para a
realização da atividade. Foi um momento bastante rico para retomar o conteúdo. A
leitura e escrita de reportagens em que encontravam esse tipo de escrita foram
feitas de forma bastante natural.
Nesse caso, foi utilizada a metodologia de Investigação Matemática, pois para
os alunos foi uma descoberta de algo, para eles totalmente desconhecido e por meio
de investigações oportunizou-se o conhecimento de questões que ainda que façam
parte da disciplina de Ciências, se faz presente na Matemática.
ATIVIDADE 5
A Professora formou grupos com três elementos para a realização da
atividade, a partir da ordem presente no Livro Registro, para que houvesse a
oportunidade de diversificar os elementos dos grupos e distribuiu para cada um
deles o seguinte problema.
ESTIMATIVA
Quantas canetas enfileiradas pelas extremidades são necessárias para se chegar até a Lua?
Quadro 11: Atividade de estimativa Fonte: O autor (2011)
Essa atividade permitiu a exploração de algumas questões ligadas a medidas
de comprimento.
Muitas dúvidas foram levantadas:
A1: Como posso fazer isso?
A2: É muito distante,...Não tem como?
A3: Nossa! Quantos milhões de canetas será preciso?
Após as discussões, os grupos chegaram à conclusão que estimar é como se
fosse imaginar, não precisa ser a medida exata, mas aquela que não fosse absurda,
ou seja, o mais próximo da realidade. Fizeram várias estimativas, longe da distância
real.
Por iniciativa dos próprios alunos, foram até o Laboratório de Informática e
fizeram uma investigação da distância da Terra até a Lua pela Internet. Depois
usaram a régua para medir o comprimento da caneta.
Os alunos observaram que há necessidade de se fazer estimativas, pois isso
faz parte de situações vivenciadas por eles, como por exemplo, nas operações
usadas como estratégias para resoluções de problemas presentes no cotidiano.
Nesse caso, os alunos trabalharam com a estimativa que faz parte da
Resolução de Problemas.
ATIVIDADE 6
Foi pedida a formação de grupos de três alunos, escolhidos por eles e
entregue a atividade CRIPTOGRAMA.
CRIPTOGRAMA
Reconstituir as operações para que letras iguais correspondam a algarismos
iguais.
a) ABMC : C = MDC
b) LBMX : AM = SDC
c) AMB x C = ZAFZ
Quadro 12: Atividade sobre criptograma Fonte: O autor (2011)
É um exercício para a compreensão dos algoritmos, nesse caso das
operações de multiplicação e divisão. Foi possível, durante a atividade, observar a
integração dos grupos demonstrando interesse na busca das soluções.
A maior dificuldade encontrada por alguns grupos era a falta da memorização
da tabuada o que demorou um pouco a descoberta da solução.
A comunicação entre os alunos para a resolução das atividades mostra a
importância da liberdade de opinar.
Por mais difícil que, pela lógica do aluno, possa parecer a atividade, nenhum
deles se recusou a fazer, apesar de alguns não conseguirem concluir.
Essa atividade envolve o criptograma, que é um exercício algorítmico que
possibilita a verificação e a compreensão dos algoritmos das operações.
Atividade 7
Formaram-se grupos de três alunos, sem a interferência da Professora, para
o desenvolvimento da atividade:
Números insistentes
Imagine um número que insiste em aparecer depois de fazermos algumas contas, não importando qual o ponto de partida dessas contas. Pois esse parece ser o caso do número 1089. Siga esses passos e complete o quadro:
Pense em um número de três algarismos, sendo que o algarismo das unidades é diferente do algarismo das centenas.
Inverta a ordem dos algarismos do número pensado e subtraia o número menor do número maior.
Adicione o resultado com o número que se obtém invertendo a ordem de seus algarismos.
Número pensado
Primeira inversão
Resultado da subtração
Segunda inversão
Resultado da adição
a) E se o “número de partida” tiver dois algarismos diferentes, o que
acontecerá? Será que vai existir algum número insistente? Qual será esse número?
b) O que acontecerá se eu partir de um número de quatro algarismos
diferentes?
Pesquise e responda essas questões.
Quadro 13: Números insistentes
Fonte: BIGODE (2009, p. 157-158)
Além do Sistema de Numeração Decimal, foi feito a exploração dos algoritmos
da adição e da subtração. Nesse caso, como os alunos seguiram uma sequência de
passos, não houve nenhuma dificuldade na resolução do problema. Percebeu-se que
os alunos resolveram com bastante entusiasmo, vibrando com a descoberta do
resultado.
Observou-se que, quando os alunos, por meio de investigações, conseguem
por si próprios chegar à resolução de um problema, a aprendizagem se torna
concreta.
5 AVALIAÇÃO
A ênfase na avaliação foi dada na participação dos alunos com relação à
iniciativa, autonomia e criatividade na resolução dos problemas e das atividades,
sem desvincular da apropriação do conhecimento.
A avaliação recaiu sobre o processo ensino e aprendizagem, observando toda
a trajetória percorrida pelo aluno, verificando até que ponto ele se apropriou do
conhecimento.
Foram utilizadas as avaliações: diagnóstica, somativa e formativa.
Na avaliação diagnóstica foram empregadas ações para verificação das
habilidades e das possíveis lacunas dos alunos em relação ao SND e suas
operações elementares, por meio da observação e investigação de como o aluno
compreende o conteúdo.
Na avaliação somativa, avaliou-se o desempenho do aluno ao final de cada
atividade desenvolvida com o objetivo de classificação, sendo cumulativa e
aproveitando-se os resultados parciais. A nota representou uma ideia daquilo que se
observou, portanto a avaliação somativa teve sentido em função dos critérios
estabelecidos em relação a cada atividade desenvolvida pelo aluno, culminando com
a nota final.
Para a avaliação formativa, a intenção foi analisar o desempenho, tanto do
aluno como da professora. Assim, o resultado dessa avaliação deu subsídios para
redirecionar as ações no sentido de buscar algo mais para ajudar a melhorar o
desenvolvimento do processo ensino e aprendizagem e para adequação das
necessidades dos alunos.
Como referência para a avaliação foi utilizado as funções da avaliação
propostos no quadro abaixo (BIGODE; GIMENEZ apud HAGJI, 2009, p. 187):
Antes da ação de
formação
Durante a ação de
formação
Depois da ação de
formação
Avaliação
Diagnóstica Formativa Somativa
Função
Orientar e adaptar
a sequência de
formação mais
adequada
Pedagógica
Regular e facilitar a
aprendizagem
Verificar e certificar
a aprendizagem
Centrada
No aluno, como
forma de identificar
as suas
características.
Nos processos e
nas atividades de
produção
Nos produtos
apresentados pelos
alunos
Quadro 14: Funções da avaliação na sequência da ação de formação Fonte: HADJI (1994, p, 63)
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Utilizando Jogos Matemáticos, as Tendências Metodológicas da Resolução
de Problemas e Atividades de Investigação, pôde observar, a princípio, alunos com
certa insegurança e dificuldade na resolução das questões que eram propostas.
Observou-se que alguns alunos (felizmente poucos) resistiam em aceitar os desafios
matemáticos.
Para problemas apresentados com grau de maior dificuldade, os alunos se
preocupavam em relacionar algum conteúdo estudado com a situação a ser
explorada. Quando supostamente encontravam, não verificavam os resultados e
nem reconheciam quando a resposta não era adequada à situação, possivelmente
devido à dificuldade que muitos ainda apresentavam em relação ao Sistema de
Numeração Decimal.
Pôde observar também que, nem todos tinham habilidade para solucionar os
problemas, outros tinham, porém, mostravam insegurança com a seleção das
estratégias e dos procedimentos.
Assim, fez-se um trabalho no qual os alunos foram motivados a colocar seus
pensamentos a respeito das coisas, partindo de questões simples, algumas ligadas
ao dia a dia. Esses pensamentos, muitas vezes que pela lógica, não eram corretos,
mas conseguiu-se fazer com que adquirissem confiança e autonomia, o que facilitou
o trabalho em sala de aula.
Como os alunos trazem conhecimento adquirido fora do ambiente escolar,
houve possibilidade de diálogo, considerando que a formação do conhecimento
acontece não só de forma individual, mas também coletivamente, em que cada
aluno tem compreensão das coisas de forma diferente.
Analisando cada passo dado pelo aluno na resolução das atividades
propostas e fazendo inúmeras perguntas no sentido de não dar dicas para a
resolução das mesmas, os alunos demonstraram uma atitude de curiosidade e
investigação, como havia sido previsto.
Trabalhar Jogos Matemáticos, as tendências de ensino de Resolução de
Problemas e Investigação Matemática exigiram tempo e paciência, mas valeu a
pena, pela naturalidade que os alunos passaram a apresentar na resolução dos
desafios apresentados.
REFERÊNCIAS ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Teaching Mathematics in the Classroom Through Problem Solving. In: ICME11 International Congress on Mathematical Education, 11., 2008. Monterrey, México: Universidad Autónoma de Nuevo León. Disponível em http://tsg.icme11.org/document/get/453. Acesso em: 12 jan. 2012.
BIGODE, Antônio José Lopes e GIMENEZ, Joaquim. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. 1ª edição. São Paulo: FTD, 2009.
BURIASCO, Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.
BURIASCO, Regina L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (II). NOSSO FAZER, Ano 1, n.º6. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. p. 1.
BUTTS, Thomas. Colocando Problemas Adequadamente. Problem Solving in School Mathematics. NCTM, 1980, tradução de Regina Luzia Corio de Buriasco.
CENTURIÓN, Marília. Números e Operações. São Paulo: Scipione, 1994.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2005.
HADJI, C. A avaliação regras do jogo. Das intenções aos instrumentos.
Lisboa: Porto Editora, 1994.
IMENES, Luiz Márcio e LELLIS, Marcelo. Matemática: Imenes & Lellis. - 1.ed. -Manual do Professor, 6º ano, São Paulo: Moderna, 2009.
KRULIK, S.; REYS, R.E. A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997.
LINS, Romulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o Século XXI. 6ª edição. Campinas: Papirus, 1997.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná. Curitiba, 1990.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, 2008.
PEREIRA, Maria das Graças Barbosa, GRACINHA, Ângela Franco e ALFREDO. Matemática Brincando & Construindo. Quarto volume. Belo Horizonte: Editora Lê, 1994.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2006.
PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula.1ª edição. 2ª reimpressão. – Belo Horizonte: Autêntica, 2006 SPINELLI, Walter e SOUZA, Maria Helena Soares de. Matemática Série Brasil.
São Paulo: Editora Ática, 2004.
SUTHERLAND, Rosamund. Ensino eficaz de matemática. Tradução Adriano Moraes Migliavaca. Porto Alegre: Artmed, 2009.
VILA, Antonio e CALLEJO, Maria Luz. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Tradução Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2006.