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Sistemas de Numeração

Engenharia da Computação– 3° Período

Alex Vidigal Bastos

1

Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração

Agenda

� Objetivos

� Introdução

� Sistema Binário

� Sistema Octal

� Sistema Hexadecimal

� Aritméticas no Sistema Binário

2


Objetivos

� Fundamentar os principais Sistemas de Numeração utilizados no

ambiente computacional e de eletrônica

� Fornecer e exercitar, de forma consistente, as técnicas de conversão

entre sistemas de numeração

3


Introdução

Ao longo dos tempos foram desenvolvidos, pelo homem, inúmeros sistemas de

numeração, em função da sua necessidade de quantificar. Dentre os quais, nesta

disciplina, estudaremos os principais até então desenvolvidos:

� Sistema Decimal

� Sistema Binário

� Sistema Octal

� Sistema Hexadecimal

4


Sistema Binário de Numeração - Conceito

Trata do sistema de numeração no qual existem apenas 2 algarismo:

� o algarismo 0 (zero)

� o algarismo 1 (um)

Como exemplo, a tabela abaixo exibe a sequência de numeração do sistema

binário até a quantidade nove:

5


Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário x Decimal

Este tipo de conversão é necessária, pois é complicado percebermos, de prontidão, a

quantidade que um número binário representa. Principalmente se o mesmo possuir vários

bits. Para explicar a conversão, utilizaremos, como exemplo, o número decimal 594.

594 = 5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1

centena dezena unidade

5 x 10² + 9 x 10¹ + 4 x 10

Ou seja, de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no

somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (neste caso a base 10)

elevada por um índice conforme posicionamento do algarismo no número (...+ X . BaseY +....) .

6


Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário x Decimal

Considerando o conceito de formação básico de um número, podemos, para um

número binário, obter a mesma equivalência. Convertendo assim o número binário

para o sistema decimal. Tomemos como exemplo o número binário – 101:

0

0

Nota: a partir de agora, para melhor identificação do

número, colocaremos como índice a base do sistema

ao qual o número pertence. Ex: 510 = 1012

7


Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal x Binário

Tal como a conversão do sistema binário para o sistema decimal, é necessário

que façamos a conversão inversa, ou seja, sistema decimal para o sistema binário.

Neste caso, utilizaremos o método conhecido como: Divisões Sucessivas – que

consiste em:

� efetuar-se sucessivas divisões pela base a ser convertida (no caso o 2)

até o último quociente possível;

� compor o número, convertido, a partir do último quociente e todos os

restos encontrados, considerando a ordem inversa às divisões;

8


Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal x Binário

Para exemplificarmos esta conversão, vamos utilizar o número 47.

O último quociente será o algarismo mais

significativo e ficará colocado à esquerda. O

demais algarismos seguem na ordem até o 1º

resto (algarismo menos significativo)

1011112 = 4729


Sistema Binário de Numeração – Conversão Binário Fracionário x Decimal

E se aparece um número binário fracinonário????

Para exemplificar esta questão, tomemos como exemplo o número 10,510 e

apliquemos o conceito de formação básico de um número:

Para números binários agimos da mesma

forma, tomemos como exemplo o número

101,1012:

101,1012 = 5,62510

10

-10

0 -1

0 -1 -2 -3

0 -1 -2 -3


Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal Fracionário x Binário

Agora, façamos a conversão inversa, ou seja, decimal fracionário para binário.

Como exemplo, vamos transformar o número 8,375 ( 8 + 0,375). O método para

realizar esta conversão consiste em:

� Converter a parte inteira, de acordo com o método de divisões sucessivas;

� Converter a parte fraciónária, através da regra que consiste na

multiplicação sucessiva das partes fracionárias resultantes pela base, a ser

convertida (neste caso 2), até atingir zero;

� Compor o número fracionário convertido pelos algarismos inteiros

resultantes, de acordo com a ordem da multiplicação; 11


Sistema Binário de Numeração – Conversão Decimal Fracionário x Binário

� Passo 1 (conversão da parte inteira)

810 = 10002

� Passo 3 (composição do número)

8,37510 = 1000,0112

� Passo 2 (conversão da parte fracionária)

Quando atingirmos o número 1, e a parte do número

após a virgula não for nula, separamos esta última e

reiniciamos o processo.

0,37510 = 0,0112

12


Exercícios

13


Sistema Octal de Numeração – Conceito

Trata-se do sistema de base 8 no qual existem 8 algarismos, assim enumerados:

� 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Atualmente, o sistema Octal praticamente não é utilizado no campo da

eletrônica digital. Abaixo é exiba a sequência de numeração do sistema

octal até a quantidade nove:

14


Sistema Octal de Numeração – Conversão Octal x Decimal

Para realizar esta operação também é utilzado o conceito básico de formação de

um número. Tomemos como exemplo o número 144:

15

1448 = 10010

0

0


Sistema Octal de Numeração – Conversão Decimal x Octal

O processo é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, somente

que neste caso utilizamos a divisão por 8 (base do sistema octal).

16

9210 = 1348

Tomemos como exemplo o número 9210:


Sistema Octal de Numeração – Conversão Octal x Binário

Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra:

� Converter cada algarismo, do número a ser convertido, no seu

correspondente em binário (respeitar o número de bits do sistema);

� Compor o número em octal, de acordo com as conversões realizadas;


17

278 = 101112


Sistema Octal de Numeração – Conversão Binário x Octal

Para realizar esta conversão é utilizada a seguinte regra:

� Separar o número a ser convertido em grupos de 3 bits a partir da direita;

� Efetuar a conversão de cada grupo diretamente para o sistema decimal;

� Compor o número com a junção dos algarismos encontrados


18

Grupo1: 110 Grupo2: 010

1100102 = 628

Nota: no caso do último grupo se

formar incompleto, adiciona-se 0

à esquerda, até completar 3 bits.

0

0

0

0


Exercícios

19


Sistema Hexadecimal de Numeração – Conceito

Trata-se do sistema de base 16 no qual existem 16 algarismos, assim enumerados:

� 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Este sistema de numeração é muito utilizado na área de microprocessadores

e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Sendo

este aplicado em sistemas de software e hardware.

20

A seguir é exiba a sequência de

numeração do sistema hexadecimal até a

quantidade 20:


Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Hexadecimal x Decimal

Este tipo de conversão é análoga à de outros sistemas, porém utilizando a base

16. Tomemos como exemplo o número 3F16

21

Sendo F16 = 1510 substituindo temos:

3F16 = 6310

0

0


Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Decimalx hexadecimal

Conforme nos casos anteriores, esta conversão se faz através de divisões

sucessivas pela base do sistema a ser convertido. Tomemos como exemplo o número

100010:

22

Sendo 1410 = E16 substituindo temos:

100010 = 3E816


Sistema Hexadecimal de Numeração – Conversão Hexadecimal x Binário

Esta conversão é análoga à conversão do sistema octal para o sistema binário,

porém com a particularidade de ser necessário 4 bits para representar cada algarismo

hexadecimal.

Tomemos como exemplo o número C1316:

23

C16 � 1210 , portanto; 116 � 110 � 00012 (considerando 4 bits)

316 � 310 � 00112 (considerando 4 bits)

C16 = 11002

C1316 = 1100000100112


Sistema Octal de Numeração – Conversão Binário x Hexadecimal

Esta conversão é análoga à conversão binário x octal, porém, neste caso os

agrupamentos consideram 4 bits :


24

Grupo1: 1001

100110002 = 9816

Nota: no caso do último grupo se formar

incompleto, adiciona-se 0 à esquerda, até

completar 3 bits.

Grupo2: 1000

9 8


Exercícios

25


Operações Aritméticas no Sistema Binário

A partir deste ponto serão estudadas a principais operações aritméticas no

sistema binário de numeração. Tais operações são de suma importância nas áreas da

eletrônica digital e dos microprocessadores (ex: ao estudarmos os circuitos

combinacionais aritméticos).

Serão estudas as seguintes operações:

� Adição

� Subtração

� Multiplicação

� Divisão ?????26


Operações Aritméticas no Sistema Binário - Adição

A adição no sistema binário, comporta-se conforme adição convencional, porém,

considerando somente os 2 algarismos existentes (0 e 1).

Tomemos como exemplos as adições 112 + 102 e 1102 + 1112

27

112 + 102 = 1012 1102 + 1112 = 11012

1

1 + 1 = 0 e transporta 1 (carry)

11

1

Nota: o transporte acumulado para a sequência 1 + 1 + 1 + 1 = 10

1


Operações Aritméticas no Sistema Binário - Subtração

A subtração no sistema binário é análoga à subtração no sistema decimal.

Tomemos como exemplos as adições 112 + 102 e 1102 + 1112

2810002 - 1112 = 00012

carry

1

Nota: nesta operação temos uma particularidade: no caso 0 – 1, o

resultado será igual a 1, porém havendo um transporte (carry) para a

coluna seguinte, que deverá ser acumulado no subtraendo e, obviamente,

subtraído do minuendo. Tomemos como exemplo a subtração: 10002 - 1112

carry

1

1carry

1 1


Operações Aritméticas no Sistema Binário - Multiplicação

A multiplicação no sistema binário procede como multiplicação no sistema

decimal.

Desta maneira temos:

29

1102 + 1112 = 11012

1

Tomemos como exemplo a multiplicação: 110102 x 102

Tabela Verdade da Porta And


Operações Aritméticas no Sistema Binário - Divisão

A divisão de números binários é a mais complexa das operações aritméticas

binárias, pois abrange operações de multiplicação e subtração. A mesma não será

abordada neste curso, pois não a utilizaremos no estudo dos circuitos digitais.

30


Exercícios

31


Notação dos Números Binários Positivos e Negativos

Vejamos, agora, como representar os números binários positivos e negativos

� Representação através do sinais “+” ou “-”

� Na prática tais sinais não podem ser utilizados, uma vez que os hardwares dos sistemas

digitais que processam operações aritméticas e microcomputadores, por exemplo, estes

sinais não são reconhecidos, visto que tudo deve ser codificado em 0 ou 1;

� Representação através do Sinal-módulo

� Representação através de um bit de sinal colocado à esquerda, na posição de algarismo

mais significativo. Se o número for positivo, o bit de sina será 0, se o número for negativo

este será 1

323510 = 1000112 � 01000112 / 7310 = 10010012 � 110010012



� Representação através do complemento de 2 (binários negativos)

� Obter o complemento de 1 do número � se dá pela troca de cada bit do número pelo

seu inverso ou complemento;

� Somar 1 ao complemento de 1 do número binário inicial;

33



A título de exemplo, a seguir é exibida uma tabela com a sequência de números binários positivos e

negativos (-910 a +1010), em 4 bits, utilizando a notação do complemento de 2:

34

Nota 1: através desta tabela é possível notar que os números positivos na notação do

complemento de 2 recebem representação normal. Desta maneira nos sistemas digitais, para

se efetuar uma diferenciação, utiliza-se um bit de sinal a mais, que colocado à esquerda do

número indica se este é positivo.

Nota 2: a conversão inversa, ou seja, complemento de 2 para binário normal é bem simples,

basta determinar novamente o complemento de 2 do resultado


Notação dos Números Binários Positivos e Negativos - Complemento de 2 em Operações Aritméticas

A notação do complemento de 2 pode ser utilizada para efetuar operações diversas que

envolvam soma ou subtração, ou seja, operações que envolvem números positivos e negativos.

A solução é simples, basta determinar o complemento de 2 do número negativo, com o

mesmo número de bits do outro membro da operação e realizar a soma, desconsiderando, se

houver, o estouro do número de bits no resultado.

Tomemos como exemplo a operação: 110101112 + 1001012 (N1 + (-N2))

35

X

Estouro do nº de bits


Exercícios

36

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