sistema de numeraÇÃo

Sistema de Numerao

Conceito:

uma maneira de representar graficamente informaes quantitativas, ou seja, um conjunto de regras para representao dos nmeros;

Evoluo:

Povos primitivos usavam as mos para fazer contagens;

Como foi: Dedos;

Cinco em cinco;

Dez em dez;

Mo em mo;

...

Sistema de Numerao - Decimal

Smbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;

Representao:

Combinao dos dez smbolos, associado com sua posio.

Expresso Polinomial:

BASE DECIMAL 10

Onde: a representa os dgitos do nmero e b a base dos sistema;

Os coeficientes de a1 e at an so menores do que a base b.


Representao Visual: Nmero = 2.534;

2 5 3 4

Multiplica por: 103 102 101 100

Ou seja: 1000 100 10 1

Resultado: 2 x 1000 5 x 100 3 x 10 4 x 1

Igual a: 2000 500 30 4

Somando tudo: 2000 + 500 + 30 + 4

Igual a: 2534


Exemplo:

Represente o nmero decimal 10648.

1 0 6 4 8

Multiplica por: 104 103 102 101 100

Ou seja: 10000 1000 100 10 1

Resultado: 1 x 10000 0 x 1000 6 x 100 4 x 10 8 x 1

Igual a: 10000 0 600 40 8

Somando tudo: 10000 + 0 + 600 + 40 + 8

Igual a: 10648

01234 108104106100101 Nmero

Sistema de Numerao - Decimal - Exerccios

Represente os seguintes nmeros decimais na forma polinomial:

a. 10;

b. 5236;

c. 10001;

d. 123.456;

e. 45;

f. 12;

g. 4.568.456.123;

Sistema de Numerao - Binrio

Para equipamentos eletrnicos, existem dois estados: ligado e desligado;

Computadores so dotados de componentes eletrnicos;

Representar a informao atravs da combinao de 10 tipos de voltagens bastante complicado;

Sistema de numerao binrio. A representao baseada em dois valores: 0 e 1.


Smbolos:

0 e 1;

Representao:

Combinao dos dois smbolos, associado com sua posio.


BASE BINRIA 2



Sistema de Numerao - Binrio Representao Visual: Nmero = 1011;

1 0 1 1


Ou seja: 8 4 2 1

Resultado: 1 x 8 0 x 4 1 x 2 1 x 1

Igual a: 8 0 2 1

Somando tudo: 8 + 0 + 2 + 1

Igual a: 11


Exemplo:


1 1 0 0 1

Multiplica por: 24 23 22 21 20

Ou seja: 16 8 4 2 1

Resultado: 1 x 16 1 x 8 0 x 4 0 x 2 1 x 1

Igual a: 16 8 0 0 1

Somando tudo: 16 + 8 + 0 + 0 + 1

Igual a: 25

01234 2120202121 Nmero

Sistema de Numerao - Binrio - Exerccios

Represente os seguintes nmeros binrios na forma polinomial e diga seu valor correspondente no

sistema de numerao decimal:

a. 10;

b. 100111000;

c. 10001;

d. 1101001;

e. 1;

f. 0;

g. 111;

h. 01;

Sistema de Numerao - Octal

Smbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7;

Representao:

Combinao dos oito smbolos, associado com sua posio.


BASE OCTAL 8




Representao Visual: Nmero = 2534;

2 5 3 4


Ou seja: 512 64 8 1

Resultado: 2 x 512 5 x 64 3 x 8 4 x 1

Igual a: 1024 320 24 4

Somando tudo: 1024 + 320 + 24 + 4

Igual a: 1372


Exemplo:


4 2 5 3 6

Multiplica por: 84 83 82 81 80

Ou seja: 4096 512 64 8 1

Resultado: 4 x 4096 2 x 512 5 x 64 3 x 8 6 x 1

Igual a: 16384 1024 320 24 6

Somando tudo: 16384 + 1024 + 320 + 24 + 6

Igual a: 17758

01234 8683858284 Nmero

Sistema de Numerao - Hexadecimal

Smbolos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, B, C, D, E e F;

Representao:

Combinao dos dezesseis smbolos, associado com sua posio.


BASE HEXA 16




Representao dos nmeros:

Hexadecimal Decimal

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

Hexadecimal Decimal

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15


Representao Visual: Nmero = 7D40;

7 D 4 0


Ou seja: 4096 256 16 1

Resultado: 7 x 4096 13 x 256 4 x 16 0 x 1

Igual a: 28672 3328 64 0

Somando tudo: 28672 + 3328 + 64 + 0

Igual a: 32064

Tabela de Equivalncia

Decimal Binrio Octal Hexadecimal

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Converses entre os Sistemas de Numerao

Converso de Bases

Decimal para Qualquer Base

Base 10 para Base n

Processo:

Atravs de divises sucessivas por n, at obter quociente 0, tomando-se os restos em ordem inversa que foram obtidos.

Exemplos:

Decimal binrio: Divises sucessivas por dois;

Decimal octal: Divises sucessivas por oito;

Decimal hexadecimal: Divises sucessivas por dezesseis.

Converso: Decimal Binrio

Divises sucessivas por dois (binrio);

Exemplo: converter o nmero 2510 para binrio.

Converso: Decimal Binrio

Exerccios

Converta os nmeros decimais, abaixo, para binrio:

a. 45;

b. 2;

c. 15;

d. 128;

e. 56;

f. 12;

g. 7;

h. 32.

Converso: Decimal Octal

Divises sucessivas por 8 (octal);

Exemplo: converter o nmero 2010 para octal.

Converso: Decimal Octal

Exerccios

Converta os nmeros decimais, abaixo, para octal:

a. 45;

b. 2;

c. 15;

d. 128;

e. 56;

f. 12;

g. 7;

h. 32.

Converso: Decimal Hexadecimal

Divises sucessivas por 16 (hexa);

Exemplo: converter o nmero 30110 para hexadecimal.

Converso: Decimal Hexadecimal

Exerccios

Converta os nmeros decimais, abaixo, para hexa:

a. 45;

b. 2;

c. 15;

d. 128;

e. 56;

f. 12;

g. 7;

h. 32.

Qualquer Base para Decimal

Base n para Base 10

Processo:

Atravs da multiplicao dos algarismos, da direta para esquerda, pelas sucessivas potncias de n (peso), e soma-se essas parcelas.

Exemplos:

Binrio Decimal: Multiplicaes sucessivas por dois;

Octal Decimal: Multiplicaes sucessivas por oito;

Hexadecimal Decimal: Multiplicaes sucessivas por dezesseis.

Qualquer Base para Decimal

0

0

1

1

1

1 ... babababaNmeron

n

n

n

Converso: Base n Decimal

Exerccios

Converta os nmeros, abaixo, para base decimal:

a. 1101112;

b. 10101112;

c. 11112;

d. 4616;

e. 25616;

f. 2568;

g. 468;

h. 1016;

Binrio para Octal ou Hexadecimal

Base 2 para Base 8 ou 16

Processo: Binrio Octal.

Agrupa-se os dgitos binrios trs a trs da direita para esquerda e substitui-se cada grupo por seu equivalente octal. Se o ltimo grupo da esquerda ficar com menos de trs dgitos, completa-se o restante com zeros.

Processo: Binrio Hexa.

O processo semelhante ao da converso para octal, sendo que agrupa-se os dgitos binrios de quatro em quatro.


Base 2 para base 8:

(11001)2 = 011 001 = (31)8

Base 2 para base 16:

(10111101)2 = 1011 1101 = (BD)16


Exerccios

Converta os nmeros binrios, abaixo, para base octal e hexadecimal:

a. 100000;

b. 110111;

c. 1111000;

d. 1010111;

e. 01100110;

f. 10101010;

g. 01010101;

Octal ou Hexadecimal para Binrio

Base 8 ou 16 para Base 2

Processo: Octal Binrio.

Substitui-se cada dgito octal pelo equivalente binrio de trs (bits).

Processo: Hexa Binrio.

Substitui-se cada dgito hexadecimal pelo equivalente binrio de quatro (bits).


Base 8 para Base 2:

(31)8 = 011 001 = (11001)2

Base 16 para Base 2:

(BD)16 = 1011 1101 = (10111101)2


Exerccios

Converta os nmeros, abaixo, para base binria:

a. 4616;

b. 25616;

c. 2568;

d. 468;

e. 1016;

f. 648;

g. 6416;

Resumo

Nmeros Fracionrios

Qualquer base para binrio:

Multiplica a parte fracionria pelo valor da base, descartando os nmeros que vo para antes da vrgula, at chegar ao valor zero;

Nmeros Fracionrios

Qualquer base para Decimal:

Multiplicando os elementos depois da vrgula pelo respectivo peso negativo.

(8,375)10 = ( ? )2

As operaes aritmticas nos sistemas binrio, octal, e hexadecimal obedecem a regras similares quelas do sistema decimal.

A seguir procedimentos para as quatro operaes aritmticas para nmeros binrios:

Adio Subtrao Multiplicao Diviso

Operaes Aritmticas - Sistema Binrio

H apenas dois algarismos disponveis (0 e 1).

Tabela de Possibilidades:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 , vai 1 ou 102

Adio - Sistema Binrio

Adio: deslocamento direita na srie, cada deslocamento correspondendo a adio de uma unidade.

Adio entre dois nmeros de um algarismo pode-se obter resultados com um ou dois dgitos.

Estouro (maior algarismo ultrapassado): Carry (transporte) ou vai-um.

Adio - Sistema Binrio

4510 + 4710

Decimal Binrio

1 1 1111 45 101101 47 101111 92 1011100

3710 + 8710

Decimal Binrio 11 111 37 0100101 87 1010111 124 1111100

Adio- Sistema Binrio

Regra:

Adio- Sistema Binrio

Da mesma forma que o sistema decimal (minuendo subtraendo = diferena) mais complicada

Inversa adio deslocamento esquerda do minuendo de tantas unidades quantas forem o subtraendo.

Se o minuendo menor que o subtraendo, isto , 0 1 necessita de emprstimo de um valor igual a base (que 2), obtido do primeiro algarismo diferente de 0 (zero), existente esquerda. No sistema decimal, o emprstimo igual a 10 (dez).

Estouro quando subtrai uma unidade do minuendo ou somar uma unidade ao subtraendo da casa seguinte.

Estouro borrow (emprstimo) ou vem-um.

Subtrao- Sistema Binrio

Subtrao- Sistema Binrio

Regras:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Multiplicao - Sistema Binrio

Procedimentos iguais aos do sistema decimal

21 x 13 = ?

21 10101 (multiplicando)

x 13 x 1101 (multiplicador)

63 10101

21 00000

273 10101

10101

100010001 (resultado)


Multiplicao pela base

Deslocar os algarismos de um nmero para a esquerda (shift left) equivalente multiplicao do nmero pela sua base

Ex. 01: 09 X 2 = ?

1001

x 10

0000

1001

10010

09 x 2 x 2 = ?

1001 10010

x 10 x 10

0000 00000

1001 10010

10010 100100

.


Procedimentos iguais aos do sistema decimal.

1) Diviso binria pelo mtodo conhecido*, ou

2) fazer sucessivas subtraes (processo mais simples de implementar em circuitos digitais)

Regras

0 /1 = 0

1 / 1 = 1

1 / 0 (ERRO)

* dividendo divisor

(resto) quociente

Diviso - Sistema Binrio

Algoritmo:

1) A partir da esquerda, avanam-se tantos algarismos quantos sejam necessrios

para se obter um valor maior ou igual ao divisor;

2) encontrado esse valor, registra-se 1 no quociente;

3) subtrai-se do valor selecionado no dividendo o valor do divisor (na diviso binria, como o quociente somente pode ser de valor igual a 1, a subtrao sempre com o prprio valor do divisor);

4) ao resultado, acrescentam-se mais algarismos do dividendo (se ainda houver algum), at se obter um valor igual ou maior que o divisor (como no item 1). Se o(s) algarismo(s) for(em) zero, acrescenta(m)-se zero(s) ao quociente, e

5) repete-se todo o processo a partir do item b, at que se esgotem os algarismos do dividendo.


Diviso pela base

Deslocar os algarismos de um nmero para a direita (shift right) equivalente diviso do nmero pela sua base

Ex.1: 9/2

1001 10

-10 100

0001

Ex.1: 9/2/2

100 10

-10 10

000

1001 (9)10

100 (9 / 2)10

10 (9 / 2 / 2)10


Operaes Aritmticas - Binrio - Exerccios

Faa as seguintes operaes em Binrio:

1.Faa as seguintes operaes em binrio:

a) 101101+ 100111= 101101-100111 =

b) 1011x101= 10010/11 =

Representao Interna de Dados

Codificao Alfanumrica

Comunicao

Computador s trabalha com bits (0 ou 1);

Utiliza conjunto de bits para representar nmeros e letras;

Conjunto de bits instruo ou dado.

C C

Padronizao

Antigamente cada fabricante tinha um cdigo diferente e todos foram originados no binrio puro;

Exemplos:

Binrio Puro: a representao do sistema binrio, ou seja, um conjunto de 0 e

1, associados com os pesos dos algarismos, elevados a potncia de 2;

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code): utilizado em plataformas de grande porte, principalmente pela IBM,

tendo a configurao de 8 bits para representao do byte.

ASCII (American Nacional Standard Code for Information Interchage): o cdigo mais utilizado em todas as plataformas PC, a ABNT e a

ABICOMP.

Tabela ASCII

Quantificao

Bit (binary digit):

a menor unidade de memria do computador, representa 0 ou 1.

Byte:

7 anos mais velho que o bit, nasceu em 1956, pela IBM.

uma unidade de informao constituda pelo agrupamento de oito bits;

A capacidade de processamento e armazenamento dos computadores crescem, por isso, as medidas tambm

aumentam.

Quantificao - Tabela de Equivalncia

Byte B 8 bits

Kilobyte) KB 1.024 bytes 210=1.024

Megabyte MB 1.024 KB 220=1.048.576

Gigabyte GB 1.024 MB 230=1.073.741.824

Terabyte TB 1.024 GB 240=1.099.511.627.776

MegaHertz MHz 1 milho de ciclos por segundo.

sistema de numeraÇÃo

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