simulao do resfriamento de chapas em laminao a quente · matéria, 9, 1 (2004) sanderson l. g. de...

Matéria, Vol 9, Nº 1 (2004) 43 - 54 http://www.materia.coppe.ufrj.br/sarra/artigos/artigo10306

Simulação do Resfriamento de Chapas

de Aço em Laminação Controlada

Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto

Instituto Politécnico, UERJ, Caixa Postal 97282, CEP 28601-970, Nova Friburgo RJ Brasil.

RESUMO

Neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica do resfriamento forçado de uma chapa de aço a diferentes velocidades de laminação. A solução da equação diferencial governante da transferência de calor foi obtida usando o método da variação dos parâmetros, adaptada às condições de contorno de laminação controlada. A solução numérica foi desenvolvida por diferenças finitas, com diferenças centradas para a derivada segunda e diferenças atrasadas para a derivada primeira para a situação de regime permanente. Os resultados obtidos dos dois procedimentos foram comparados entre si, com ótima concordância. Esta formulação pode, em princípio, ser empregado no monitoramento de temperatura durante o processamento de laminação controlada de aços.

Palavras-Chaves: simulação de resfriamento, laminação controlada, solução analítica, solução numérica.

ABSTRACT

In this work an analytical solution of forced cooling of a steel plate at different rolling speeds was obtained. A solution of the governing differential equations of heat transfer employed the method of parameter variations, adapted to control rolling boundary conditions. The numerical solution was obtained by finite differences, with centered differences for the second derivative and backward differences for the first derivative for steady state situation. The results obtained from both procedures were compared, and good agreement was attained. This procedure may be, at first, be employed in the monitoring of temperature during the controlled rolling process of steels.

Key Words: cooling simulation, controlled rolling, analytical solution, numerical solution.

1 INTRODUÇÃO

Durante a fabricação e o processamento dos aços, o controle estrito da temperatura exerce um papel fundamental na garantia das propriedades destes materiais. Os desempenhos mecânico, elétrico, magnético, de resistência à corrosão, dentre outras propriedades, são afetados por este controle, pois a microestrutura depende fortemente das condições termocinéticas existentes durante o processamento. Em geral os resfriamentos forçados de aço objetivam a formação de martensita [1], a precipitação ou não de fases [2], e assegurar propriedades mecânicas satisfatórias. Em aços submetidos à laminação controlada a predição local da temperatura a cada região da placa, torna-se primordial na obtenção da microestrutura desejada [3,4,5].

A solução das equações de transferência de calor governantes envolve a resolução de equações diferenciais [6, 8] adaptada ao caso real. Atualmente, pela facilidade de se empregar soluções numéricas, poucos pesquisadores são motivados a desenvolver a Solução Analítica (SA), que em geral requer um conhecimento mais aprofundado de métodos matemáticos e conseqüentemente demandam mais esforço. Ainda assim, quando é possível encontrá-la, deve-se buscá-la, pois, a solução analítica geralmente descreve melhor o problema. O resultado final pode até mesmo ser simples, o que a torna ainda mais atraente e utilizável. Desta forma, neste trabalho é desenvolvida uma solução analítica da equação diferencial ordinária de transferência de calor por condução e convecção. O resultado analítico para as condições semelhantes à de laminação controlada é comparada com uma Solução Numérica (SN).

Os métodos foram aplicados para obtenção das temperaturas para o problema de condução de calor, em regime permanente, em uma placa unidimensional sem geração de energia e com condições de contorno de 1º (Dirichlet) e 2º (Neumann) tipos [6]

Matéria, 9, 1 (2004) Sanderson L. G. de Oliveira, Jorge C. Araújo, Ivan N. Bastos, João Flávio V. de Vasconcellos e Antônio J. Silva Neto

44

Lxdx

xdTuTxTkth

dxxTd

<<=−− ∞ 0,)(])([2)(2

2

α (1)

00|)( TxT x == (2)

Lxdx

xdT== ,0)(

(3)

Os símbolos empregados nas Eqs. 1-3 são descritos na Tabela 1. Na Fig. 1 pode-se observar uma representação

esquemática do problema que está sendo resolvido neste trabalho.

2 MATERIAIS E MÉTODOS

A resolução proposta considerou as condições de contorno existentes para uma placa de aço-carbono sob laminação sujeita à troca térmica pelos mecanismos de convecção e condução, quando submetido a um resfriamento forçado de uma cortina d’água com comprimento de 0,7 m. Embora uma chapa real seja contínua, considerou-se aqui que ao final de 6m a temperatura alvo para qualquer velocidade de laminação deveria ser obtida. Na Tabela 1 estão apresentados os parâmetros adotados nas soluções numérica e analítica.

Tabela 1 – Valores dos Parâmetros Empregados na Simulação

Parâmetros do Processo Valores Comprimento da

chapa, L 6 m

Temperatura ambiente, ∞T

35oC, 308 K

Temperatura em

0,0 Tx = 1100oC, 1373 K

Condutividade térmica, k

63,9 W/mK

Espessura da chapa, t 0,01 m Difusividade térmica,

α 18,8.10-6 m2/s

Coeficiente de troca térmica, h1

100 W/m2K


2500 W/m2K


25 W/m2K

Velocidade de laminação, u

0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,50; 1,0; 3,6; 5,0m/s

Posição dos resfriadores, l1 e l2

0,3 e 1,0 m

Os teoremas matemáticos utilizados na a obtenção da solução analítica da equação diferencial governante do

problema estão referenciados ao longo do desenvolvimento. A solução numérica foi implementada na linguagem de programação C++, empregando o método de diferenças finitas.


45

3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E SOLUÇÕES ANALÍTICA E NUMÉRICA

3.1 Desenvolvimento Analítico da Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem Não-Homogênea

As Eqs. 1 a 3 formam um problema de valor inicial [7]. A Eq. 1 pode ser escrita conforme a Eq. 4

∞−=− Tkthy

kthy 22'u - 'y'

α, onde y = T(x) (4)

Sendo a Eq. 4 uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes, pode-se escrever uma equação característica para encontrar as raízes linearmente independentes associadas à Eq. 5

0''' =++ cybyay (5)

Onde

,1=a αub −= , h

kthc 13,32

−=−= , conforme Tabela 1. (6a, b, c)

As raízes da equação homogênea são dadas por

2

2*4)( 2

1

hkt

uu

r++

= αα e 2

2*4)( 2

2

hkt

uu

r+−

= αα (7a, b)

A Eq. 1 pode ser transformada em uma equação homogênea empregando

∴−= ∞TTθ 2

2

2

2

dxd

dxTd θ= e

dxd

dxdT θ

= (8a, b, c)

No entanto, a solução analítica foi desenvolvida diretamente, conforme demonstração a seguir. Desta forma, obtém-se

xrecxy 111 )( = (9a)

xrecxy 222 )( = (9b)

)()( 2121 xyececxy p

xrxr ++= (10)

Onde é a solução geral da Eq. 1. )(xyPelo teorema a seguir, encontra-se : Seja uma solução particular de uma equação diferencial

ordinária não homogênea (EDONH) e sejam e soluções linearmente independentes da equação homogênea

associada, então toda solução de uma EDONH é da forma

)(xy p )(xy p

)(1 xy )(2 xy)()()()( 2211 xyxycxycxy p++= [7]. De fato,

é solução da equação diferencial ordinária homogênea e y(x) é solução da EDONH. )()()()( 2211 xycxycxyxy p +=−

Para encontrar foi utilizado o método da variação dos parâmetros [)(xy p 7]


46

∫∫ += dxyyWxdx

yyWx

),()(b(x)y(x)y

),()(b(x)y(x)y- (x)y

21

12

21

21p (11)

Onde, é o Wronskiano de e e ),( 21 yyW 1y 2y

hkt

hTxb 546,1092)( −== ∞ (12)

Devido à solução geral de uma equação diferencial ordinária ser feita da combinação linear das suas soluções, o será sempre diferente de 0 (zero) [),( 21 yyW 7]

)(),( 12)(

21)(

121)(

22121212121 rreccerccerccyyW xrrxrrxrr −=−= +++ (13)

Substituindo as Eqs. 12 e 13 na Eq. 11,tem-se:

)11(h

kt2T

)ee(h

kt2T

(x)y12122

r

1

r

12p

2211

rrrrre

re

rr

xrxxrx

−−

=+−−

=

∞−−

∞

(14)

Substituindo a Eq. 14 na Eq. 10, obtemos a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea

κ++= xrxr ececxy 2121)( (15)

Onde:

)11(h

kt2T

1212 rrrr−

−=

∞

κ (16)

A Eq. 15 fornece uma família de soluções para a equação original, porém o que interessa é a solução particular, dada pelas condições de contorno dadas pelas Eqs. 2 e 3 que constituem uma função escada (vide Eq. 17). Assim, não é possível resolvê-las aplicando as condições de contorno dada pela Eq. 15.

{ 100 W/m2K para 0 < x ≤ l1h(x) = { 2500 W/m2K para l1 < x < l2 (17) { 25 W/m2K para l2 ≤ x ≤ L Portanto, devem-se encontrar as constantes e 1c 2c para cada uma das três regiões. Então, têm-se 6 constantes a

serem determinadas, que serão as incógnitas de um sistema linear determinado. Para simplificar a notação, chama-se a função da região anterior à zona de resfriamento como TI(x), para a zona de

resfriamento como TII(x) e a região após a zona de resfriamento como TIII(x)

Iκ ec ec (x)T xrIxrI1I

I2

2

I1 ++= (18a)

IIκ ec ec (x)T xrIIxrII1II

II2

2

II1 ++= (18b)


47

IIIκ ec ec (x)T xrIIIxrIII1III

III2

2

III1 ++= (18c)

Os parâmetrosκ (Eq. 16), (Eq. 7a) e (Eq. 7b) dependem de h, e este assume um valor diferente em cada uma

das três regiões. Para a generalização do problema tem-se então que se referem à região anterior à zona de

resfriamento; referentes à zona de resfriamento; e referentes à região após à zona de resfriamento.

1r 2rII

I rr 21 ,,κIIII

II rr 21 ,,κ IIIIIIIII rr 21 ,,κ

Logo, as incógnitas são . IIIIIIIIIIII cccccc 212121 ,,,,,A primeira equação é obtida usando a Eq.(18 a) com a condição de contorno da Eq. 2.

III Tcc κ−=+ 021 (19)

Onde a constante κi é dada pela Eq.16 trocando-se h por hi. A segunda equação é dada pela continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l1 da região anterior à

zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l1 da zona de resfriamento. Das Eqs. 18a-b, tem-se

Ill κ++= 1

I21

I1 rI

2rI

11I ecec )(lT (20)

IIll κ++= 1

II21

II1 rII

2rII

11II ecec )(lT (21)

Igualando as Eqs. 20 e 21, obtém-se

IIIllll κκ −=++ 1

II21

II11

I21

I1 rII

2rII

1rI

2rI

1 ecec-ecec (22)

A terceira equação também é dada pela condição de continuidade de temperaturas, isto é, a temperatura no nó l2 da zona de resfriamento (vide Fig. 1) deve ser igual à temperatura no nó l2 da região após a zona de resfriamento. Da Eq. 18c, tem-se

IIIll κ++= 2

III22

III1 rIII

2rIII

12III ecec )(lT (23)

Igualando as Eqs. 21 e 23, tem-se

IIIIIllll κκ −=−+ ecec- ecec 2

III22

III11

II21

II1 rIII

2rIII

1rII

2rII

1 (24)

A quarta equação é dada pela condição de contorno fornecida pela Eq. 3. Empregando a Eq. 18c,

0)(=

dxLdTIII , ou 0ercerc

III2

III1 rIII

2III2

rIII1

III1 =+ LL

(25)

A quinta equação é dada pela continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], aplicada no nó l1

dxldTk

dxldTk III )()( 11 −=− (26)

A constante k da Eq. 26 é a constante de proporcionalidade [6], isto é, a condutividade térmica. Derivando as Eqs. 20e 21 em função de e substituindo-se na Eq. 26, obtém-se x

0ercercercerc 1II21

II11

I21

I1 rII

2II2

rII1

II1

rI2

I2

rI1

I1 =−−+ llll

(27)


48

A sexta e última equação também é dada pela condição de continuidade do fluxo de calor, fornecida pela lei de Fourier [6], agora aplicada no nó l2

0ercercercerc 2III22

III12

II22

II1 rIII

2III2

rIII1

III1

rII2

II2

rII1

II1 =−−+ llll

(28)

O conjunto das Eqs. 19, 22, 24, 25, 27 e 28 formam um sistema linear determinado, com seis equações e seis incógnitas, pois o conjunto das linhas da matriz desse sistema é linearmente independente [7].

Levando as Eqs. 7a-b na Eq. 16, obtém-se após algumas manipulações algébricas

∞∞ =

++

= Tktb

ktbT648

)8(82

2

κ (29)

Desse modo foram encontradas as três soluções dadas pelas Eqs. (18a-c), cada uma representando uma das seguintes regiões: zona de resfriamento e as regiões anterior e posterior.

3.2 Condição de Convergência

Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas [6]. Existem diversas aproximações das derivadas por diferenças finitas, como, por exemplo, pode-se escolher diferenças centradas, com ordem de erro de aproximação O(∆x)2, ainda diferenças atrasadas e diferenças avançadas, com ordem de erro de aproximação O(∆x) (∆x é a distância entre dois nós da malha computacional empregada na discretização do domínio físico). Optou-se inicialmente por escolher diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, quanto para a derivada segunda. Isto faz com que resulte no seguinte conjunto de equações:

11,11 −≤≤=++ −+ LiDCTBTAT iii (30a)

Onde L é o número de nós da malha computacional, é a temperatura nestes nós, e iT

kthTD

xu

xC

kth

xB

xxuA ∞=

∆−

∆−=+

∆=

∆−

∆=

2,2)(

1,2)(

2,)(

12 222 αα

(30b, c, d, e)

Onde B é o elemento da diagonal principal e A e são os elementos fora da diagonal principal, na mesma linha de

CB . Utilizando-se a condição de contorno fornecida pela Eq. 2, obtém-se

DBTTCA LL =++ +1)( (30f)

Obtendo-se um sistema linear tridiagonal L x L . Para que o sistema linear tenha uma solução iterativa, ou seja, ao se obter uma matriz de coeficientes de um sistema linear determinado do tipo tridiagonal [6], para que o sistema convirja, deve-se usar o critério de Scarborough, que estipula a seguinte condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Seidel [8]

∑ ≤ 1||||

p

nb

AA

e ∑ < 1||||

p

nb

AA

(31a-b)

Onde a Eq. 31a deve ser atendida para todas as linhas e a Eq. 31b para pelo menos uma linha da matriz dos coeficientes.

Isto equivale a afirmar que a matriz do sistema deve ser diagonal dominante. Pode-se provar que o sistema tem uma solução iterativa se:

xh

ukt∆≤

α2 (32a)


49

Ou ainda,

kth

xu 2

≤∆α

(32b)

Para a Eq. 30a, pode-se escrever:

xu

xxxu

xu

xxxuCA

∆+

∆+

∆−+

∆=

∆−

∆−+

∆−

∆=+

αααα 2)(1

)(1)1(

22)(1

)(1

2 2222 (33a)

Devido à propriedade da desigualdade triangular

22222 )(2

2)(1

)(1

22)(1

)(1)1(

2 xxu

xu

xxxu

xu

xxxu

∆+

∆=

∆+

∆+

∆+

∆≤

∆+

∆+

∆−+

∆ ααααα (33b)

Das desigualdades 32b e 33b resulta:

Bxkt

hxx

uCA =∆

+≤∆

+∆

=+ 22 )(22

)(2

α (33c)

Portanto tem-se:

1≤+

BCA

(33d)

Para a Eq. 30f

Bkth

xxxCA =+

∆<

∆=

∆=+

2)(

2)(

2)(

2222 (33e)

Da Eq. 33e resulta

1<+

BCA

(33f)

Logo, o método das diferenças centradas, tanto para a derivada primeira, quanto para a derivada segunda é condicionalmente estável e a solução numérica depende do espaçamento ∆x, ou seja, torna-se necessário condicioná-la ao número de Peclet

.2<∆

=∆ αxuP xe (34)

Devido a estas condições, foi implementada a aproximação por diferenças atrasadas na derivada primeira e das diferenças centradas na derivada segunda por ser incondicionalmente estável [6].

3.3 Desenvolvimento Numérico

Utilizando diferenças centradas para a derivada segunda e diferenças atrasadas para a derivada primeira [6], são obtidas as seguintes aproximações em diferenças finitas.


50

22

112

2

)()(

2)( xOx

TTiTdx

xTd ii ∆+∆

+−= −+ (35)

)(1 xOxTT

dxdT ii ∆+

∆−

= − (36)

Substituindo as Eqs. 35 e 36 na Eq. 1 , obtém-se

21,11 −≤≤=++ +− LiDCTBTAT iii (37)

Onde os coeficientes A, B e C são dados por

kthTD

xC

xu

xkthB

xu

xA ∞=

∆−=

∆+

∆+=

∆−

∆−=

2,)(

1,)(

22,)(

1222 αα

(38)

Na Eq. 37, i = 1 => 021 ATDCTBT −=+ (primeira linha ) (39) As condições de contorno são fornecidas pelas Eqs. 2 e 3. A aproximação em diferenças finitas, usando diferenças

atrasadas para a derivada primeira da Eq. 1 é dada por

0|)( 1 =∆−

= −= x

TTdx

xdT LLLx (40)

Usando a Eq. 37 para o nó i = L-1, obtém-se

DCTBTAT LLL =++ −− 12 (41)

Combinando a Eq.40 com a Eq.41 resulta

DTCBAT LL =++ −− 12 )( (42)

Das Eqs. 37 e 42 , obtém-se um sistema linear (L-1)x(L-1). A matriz dos coeficientes deste sistema linear é tridiagonal, portanto, o algoritmo TDMA [6] pode ser utilizado.

Como para os nós interiores (pela própria definição destes números) e na linha L-1, |B+C| > |A|. Logo, o sistema linear é determinado e incondicionalmente estável (convergente) pelo critério de Scarborough [

∑> |||| nbp AA8].

3.4 Resultados

As soluções implementadas consideram uma chapa submetida a um resfriamento forçado como apresentado na Fig. 1 para oito velocidades de laminação 0,0; 0,036; 0,1; 0,36; 0,5; 1,0; 3,6 e 5,0 (m/s). Para cada velocidade de laminação, é apresentada a comparação dos resultados da solução analítica com a numérica. Na Fig. 2, observa-se que as menores velocidades de laminação apresentam maior decaimento da temperatura (u = 0,0; 0,036 m/s) e assim por diante. As soluções representando o decaimento das temperaturas para as soluções analítica e numérica, para uma mesma velocidade, estão, ou muito próximas, ou superpostas quando a diferença entre ambas é muito pequena.


51

Figura 1 – Esquema da chapa num processo de laminação submetido a um resfriamento forçado

As soluções foram testadas e comparadas com uma discretização de 70 nós na malha computacional, sendo 40 nós

na região anterior à zona de resfriamento, 20 nós na zona de resfriamento e 10 nós na região posterior à zona de resfriamento. Como esperado, com uma discretização maior, obtém-se aproximações melhores. Por exemplo, com discretização de 1000 nós para cada uma das três regiões, o erro absoluto ficou muito próximo a 0 (zero), isto é, 10-8. Testes para h (coeficiente de troca térmica) constante deram erro absoluto também próximo a 0 (zero), mesmo com a discretização grosseira de 70 nós. Testes com diferentes temperaturas ambientes (T∞=25oC, 20oC, 5oC) apresentaram os mesmos desempenhos. Isto pode ser mais bem observado para a velocidade de laminação (u=0,0 m/s), pois as temperaturas decaem para T∞.

Observa-se na Fig. 2 que quanto maior a velocidade de laminação mais próximas são as temperaturas obtidas com a solução analítica e com o método numérico. Quando a velocidade de laminação é lenta, a região após a Zona de Resfriamento é a que apresenta maior diferença de temperaturas entre a solução analítica com o método numérico. Mesmo assim, as diferenças não ultrapassam 19o C, o que pode ser considerado desprezível para aplicações de controle em laminação.

Os resultados da Fig. 2 encontram apoio nas seguintes propriedades matemáticas. Se multiplicarmos a Equação por α obteremos (após troca de notação da Eq. 4)

αy’’ – 2hα (y – t) = uy’ (48)

Fazendo α = 18,8 x 10 –6 m2K ≈ 0 , obteremos uma simplificação da equação acima

uy’ = 0 (49)

Cuja solução, considerando–se as condições de contorno dadas pelas Eqs. 1 e 2 resultam em

y(x) = T0 (ºC) (50)

Esta solução matemática limite parece se ajustar parcialmente ao problema físico com as considerações anteriormente feitas, pois um material com valor de difusibilidade térmica igual a zero, significa que a capacidade de armazenamento térmico é elevada enquanto a condutividade térmica é baixa. Deste modo, as temperaturas da chapa no domínio físico em questão, responderiam de forma lenta (ao equilíbrio de temperatura) às mudanças nas condições térmicas que o problema impõe. Este fato parece sugerir a temperatura constante de T0 como uma solução adequada para o problema proposto quando a velocidade é elevada (por exemplo, u >5,0 m/s).

Embora a velocidade de resfriamento (dT/dt) nó a nó da chapa não tenha sido apresentada ela pode ser facilmente obtida de ambas as soluções apresentadas. Esta velocidade tem grande interesse, pois permite avaliar as reações metalúrgicas no estado sólido decorrentes do resfriamento, que determinam a microestrutura final do aço. Além disto, tendo


52

sido validada a consistência física da solução, a adaptação para valores de parâmetros operacionais torna-se uma tarefa corriqueira.

0 1 2 3 4 5 60

200

400

600

800

1000

1200

0,36 m/s

0,00 m/s0,036 m/s

0,10 m/s

0,5 m/s1,0 m/s

3,6 m/s5,0 m/s

Tem

pera

tura

(o C)

Espaçamento (m), - analítica, - numérica

Figura 2 – Soluções analítica (SA – curva contínua) e numérica (SN – curva tracejada) com diferentes velocidades (em m/s) de laminação

3.4.1 Discussão sobre o efeito das velocidades de laminação

Para a velocidade de laminação u=0,0 m/s, pode-se visualizar que as soluções analítica e numérica, a partir da zona de resfriamento, tiveram respostas iguais para as temperaturas nos nós da malha computacional. Esse fato pode ser justificado pelo efeito elíptico da difusão, isto é, as temperaturas nos extremos do domínio físico do problema contribuíram igualmente para o perfil das temperaturas na malha computacional. Para a velocidade limite de u=0,0, as temperaturas caem para T∞=35oC já ao final da região anterior à zona de resfriamento.

A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença não ultrapassa 16oC, para u=0,036 m/s, 22oC para u=0,1 m/s, 10oC para u=0,36 m/s, 4oC para u =1,0 m/s, 1,1oC para u=3,6 m/s.

Na velocidade de laminação u=0,5 m/s, observa-se que as temperaturas dominantes (T0) refletem a condução de calor da temperatura fixa da região após a zona de resfriamento. Mesmo a velocidade u=0,5 m/s pode ser considerada elevada para o problema em questão, pois os 6 metros da chapa são percorridos em menos de 10 segundos. Neste caso, o efeito difusivo da temperatura na lâmina no nó extremo x=6,0m não é transmitido de forma intensa no sentido oposto à velocidade u. A Tabela 2 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a maior diferença para a velocidade u=0,5 m/s fica em 7,14oC.

As observações da seção 3.4.5 estão de acordo com os resultados obtidos para os testes da velocidade de laminação u=5,0 m/s. Para esta velocidade, as soluções analítica e numérica tiveram resultados com uma diferença máxima menor que 1ºC na região após a zona de resfriamento. Na Fig. 2 é possível notar que com o aumento da velocidade de laminação, o efeito térmico do resfriamento (mesmo com um coeficiente de troca térmica elevado h2) na lâmina foi reduzido. Isto é, os valores de temperaturas caem menos. A Tabela 8 mostra que, mesmo com a discretização grosseira de 10 nós na região posterior à zona de resfriamento, a diferença é de 0,74oC.


53

Tabela 2: Comparação entre soluções analítica e numérica para oito velocidades de laminação

(m/s) nó extremo da região so

lução analítica

solução

numérica

diferença analítica - numérica

anterior à zona de resfriamento (0,3m) 40,3oC

36,3oC

4oC

final da zona de resfriamento (1,0m) 35oC

35oC

0oC ,0

final da região posterior à zona de resfriamento (6,0m)

35oC

35oC

0oC

anterior à zona de resfriamento (0,3m) 1049oC

1049,8oC

-0,8oC

final da zona de resfriamento (1,0m) 102,23oC

113,2oC

-10,97oC ,036


83,59oC

98,9oC

-15,31oC


1080,1oC

1,3oC


434,9oC

-6,49oC ,1


384,81oC

406,6oC

-21,79oC


1094,7 oC

0,1oC


842,5oC

0,11oC ,36


816,64oC

826,2oC

-9,56oC


1085,4 oC

10,84oC


907,2oC

0,46oC ,5


887,36oC

894,5oC

-7,14oC


1098,1 oC

0,0oC


998,6oC

0,44oC ,0


987,76oC

991,5oC

-3,74oC


1099,5 oC

0,0oC


1070,7oC

0,23oC ,6


1067,56oC

1068,6oC

1,04oC


1099,6 oC

0,0oC


1078,9oC

0,08oC ,0


1076,56oC

1077,3oC

-0,74oC

4 CONCLUSÕES

Foi desenvolvida uma solução analítica da transferência de calor sob condições de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica sob regime permanente. A solução analítica para o problema proposto foi resolvida pelo método


54

da variação dos parâmetros. Uma solução numérica foi desenvolvida para permitir o tratamento de problemas mais gerais, e esta solução foi validada comparando-a com a solução analítica. O método numérico escolhido foi por diferenças finitas.

No caso da velocidade de laminação u=0,0 m/s, as soluções analítica e numérica tiveram resultados praticamente idênticos em toda a malha computacional. Entretanto, com a velocidade u=0,36 m/s os algoritmos descreveram temperaturas com uma diferença inferior a 10oC (temperaturas desta ordem de grandeza podem ser consideradas negligenciáveis para o processo de laminação). Mesmo para uma discretização grosseira com 70 nós e com L=6 m, isto com relação às temperaturas da solução analítica no nó central da chapa, mostrando ser uma solução robusta para tratar o problema. Desde modo, estes resultados podem ser empregados no monitoramento da temperatura do processo de laminação controlada de aços de alta resistência mecânica permitindo inferir as transformações de fases dependentes do ciclo térmico.

5 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao CNPq e à FAPERJ pelo apoio financeiro.

6 REFERÊNCIAS

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[2] FAULKNER, R. G. Combined Grain Boundary Equilibrium and Non-Equilibrium Segregation in Ferritic/Martensitic Steels, Acta Metall., 12, pp. 2905-2914, 1987.

[3] RICHARDSON, A D.; DORMAND, J. R., The Simulated Cooling of the Hot-Rolled Structural Steel Sections, Computers Math. Applic., 31, N.8, pp. 37-47, 1996.

[4] CUNHA, J. P.; MENEZES, W. M.; SILVA, O M.; NETO, C. M. Análise de Variáveis Termocinéticas na Formação de Martensita em Aços Multifásicos Tipo ARBL, In: 58º CONGRESSO DA ABM, São Paulo, pp. 3297-3306, 2003.

[5] TENSI, H. M.; TOTTEN, G. E.; CANALE, L. C.; The Quench Process: An Overview of the Fundamental Physical Properties of Liquid Quenching, In: 58º CONGRESSO DA ABM, São Paulo, pp. 3334-3347, 2003.

[6] SILVA NETO, A. J.; VASCONCELLOS, J. F. V. Uma Introdução aos Métodos de Diferenças Finitas e Volumes Finitos com Aplicações em Transferência de Calor e Massa, LEMA, IPRJ, Nova Friburgo, RJ, 2002.

[7] EDWARDS Jr., C.H.; PENNEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno. 3a. Edição. Rio de Janeiro: Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1995.

[8] MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Coordenadas Generalizadas. 1a Edição. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1995.

simulao do resfriamento de chapas em laminao a quente · matéria, 9, 1 (2004) sanderson l. g. de...

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