robótica_cinemática_inversa

Prof. Rogrio Oliveirawww.ifce.edu.brROBROBTICA ITICA I

CINEMTICA INVERSA DE MANIPULADORES

Robtica I

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

CINEMTICA INVERSA A cinemtica inversa o conjunto de processos que

determinam as funes inversas do sistema das expresses da cinemtica direta.

A cinemtica inversa determina o conjunto de valores das juntas que se adquam a uma dada configurao do espao operacional ou cartesiano.

61 : anF

Espaodas juntas

Espaocartesiano

Cinemtica direta

Cinemtica inversa

( )qFr rr =

( )rFq rr 1=

( )qFr rr =

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

1 O PROBLEMA DA CINEMTICA INVERSA

A cinemtica inversa nem sempre um problema com soluo analtica, ou por vezes no tem mesmo soluo!

Mais complexo ainda o fato de no haver uma metodologia nica de aplicao direta.

Para as solues mais usadas j se tem estudos prontos.

S em casos especiais ser necessrio conceber novas solues.

61 : anF

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Cinemtica inversa para um manipulador 1 DOF Planar

x

z

M1

L1

x1

z1

)()cos(

111

111

MsenLzMLx

=

=

Invertendo para obter a cinemtica inversa:

=

1

11 arccos L

xM

=

1

11 L

zarcsenM

ou

Cinemtica direta

{0}

{1}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

1.1 Cinemtica inversa para um manipulador 2 DOF Planar

)()()cos()cos(

212112

212112

MMsenLMsenLzMMLMLx

++=

++=

Cinemtica direta

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Cinemtica inversa para um manipulador 2 DOF Planar

)()()cos()cos(

212112

212112

MMsenLMsenLzMMLMLx

++=

++=Cinemtica direta

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando M2

)()()cos()cos(

212112

212112

MMsenLMsenLzMMLMLx

++=

++=

Elevando ambos os membros ao quadrado

( )22121122 )cos()cos( MMLMLx ++=)cos()cos(2)(cos)(cos 2112121222122122 MMMLLMMLMLx ++++= ( ))()()cos()cos()cos(2)(cos)(cos 212112121222122122 MsenMsenMMMLLMMLMLx +++=

)()()cos(2)cos()(cos2)(cos)(cos 211212122121222122122 MsenMsenMLLMMLLMMLMLx +++=

( )22121122 )()( MMsenLMsenLz ++=)()(2)()( 2112121222122122 MMsenMsenLLMMsenLMsenLz ++++=

( ))cos()()cos()()(2)()( 122112121222122122 MMsenMMsenMsenLLMMsenLMsenLz ++++=)cos()()(2)cos()(2)()( 121212122121222122122 MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenLz ++++=

Cinemtica direta

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando M2Somando os dois termos

)cos()()(2)cos()(2)()()()()cos(2)cos()(cos2

)(cos)(cos

12121

212

212122

2122

1

21121212

21

2122

2122

122

22

MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenL

MsenMsenMLLMMLL

MMLMLzx

+

+++++

++

++=+

)cos()()(2)()()cos(2)cos()(2)cos()(cos2

)()(cos)()(cos

1212121121

212

21212

21

2122

22122

2

122

1122

122

22

MMsenMsenLLMsenMsenMLLMMsenLLMMLL

MMsenLMML

MsenLMLzx

+

+++

+++++

++=+

[ ][ ]

[ ] 0)()(cos)cos(2)()(cos

)()(cos

12

12

221

212

2122

2

12

122

122

22

+++

+++++

++=+

MsenMMLL

MMsenMML

MsenMLzx

)cos(2 22122212222 MLLLLzx ++=+

0

11

1

)()()cos(2)cos()(cos2)(cos)(cos 211212122121222122122 MsenMsenMLLMMLLMMLMLx +++=)cos()()(2)cos()(2)()( 121212122121222122122 MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenLz ++++=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando M2

)cos(2 2122212222 2MLLLLzx ++=+

+=

21

22

21

22

221

2 2cos

LLLLzx

M

uma soluo analtica em funo das dimenses do rob e da posioPelo sinal mostra que tem duas solues matemticas para M2.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando 1 O clculo de 1 mais trabalhoso Usaremos o recurso trigonomtrico de soma de tangentes.

Usaremos os ngulos auxiliares e

( )BABABA

MLLsenML

x

z

M

tantan1tantan

tan

costan

tan

221

22

2

2

1

+

=

+=

=

=

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando 1

( )BABABA

MLLsenML

x

z

M

tantan1tantan

tan

costan

tan

221

22

2

2

1

+

=

+=

=

=

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar Calculando 1

( )

2

2

221

22

tan

costan

tantan1tantan

tan

x

z

MLLsenML

BABABA

=

+=

+

=

( ) ( )

( )221

22

2

2

221

22

2

2

1

1

cos1

costan

tantan

MLLsenML

x

zMLL

senMLx

z

M

M

++

+

=

=

( )( )

( )( ) ( )

( )22122222212

2212

2222212

1

cos

cos

cos

cos

tan

MLLxsenMLzMLLx

MLLxsenMLxMLLz

M

+

+++

+

=

( ) ( )( ) ( )22222122222212

1cos

costan

senMLzMLLxsenMLxMLLz

M++

+=

( )( ) ( )

++

+=

2222212

222221211

cos

costan

senMLzMLLxsenMLxMLLzM

x

z

M1

L1

x2

z2

M2L2

{0}

{1}

{2}

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF Planar: Cinemtica inversa

+=

21

22

21

22

221

2 2cos

LLLLzx

M

( )( ) ( )

++

+=

2222212

222221211

cos

costan


M

Temos duas possveis solues:

x

z

x2

y2

1

M2L2

0"0'

2

2

MM L1

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


+=

21

22

21

22

221

2 2cos

LLLLzx

M

( )( ) ( )

++

+=

2222212

222221211

cos

costan


M


x

z

x2

y2

L2

M2

M1

0"0'

2

2

MM L1

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


+=

21

22

21

22

221

2 2cos

LLLLzx

M

( )( ) ( )

++

+=

2222212

222221211

cos

costan


M


x

z

L1

x2

y2

1

M2L2

M2

M1

0"0'

2

2

MM


1.2) 2 DOF no planar (Tridimensional)

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


=

+

=

100010000 12222

21212121

21212121

zzzz

yyyy

xxxx

HR

pasnpasnpasn

LSLCSCSLCSSCSCCLSSCCC

T

Equao cinemtica j estudada.Usaremos somente a posio

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


=

+

=

100010000 12222

21212121

21212121

zzzx

yyyy

xxxx

HR

pasnpasnpasn


T

O ngulo M1 obtido pela relao entre px e py.

11

1

212

212 tan MCS

CCLCSL

pp

x

y===

O ngulo M2 obtido pela posio de pz.

221 senMLLp z +=

=

2

112 L

LpsenM z

=

x

y

pp

M 11 tan

pz

px py

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

1.3 Mtodos e condies de existncia de solues A resoluo analtica apresentada para o caso RR planar ou o RR

no espao nem sempre pode ser facilmente estendida a mais graus de liberdade ou dimenses.

Existem vrios mtodos alternativos na literatura dos quais se destacam os seguintes: Transformaes inversas (Paul et al., 1981) Matrizes duais (Denavit, 1956) Quaternions duais (Young & Freudenstein, 1964) Mtodos iterativos (Vicker et al., 1964) Abordagens geomtricas (Lee & Ziegler, 1984)

Em qualquer dos mtodos h porm vrias condies e situaes para a existncia de solues, e das quais se destacam as seguintes: O ponto no espao operacional deve estar no espao de trabalho No se deve exceder os limites fsicos das juntas Para haver soluo analtica (num caso de 6 eixos) suficiente que 3 eixos

de juntas sucessivas se interceptem ou sejam paralelos (Soluo de Pieper)

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

1.4 A redundncia cinemtica1. Redundncia -> Quando um manipulador

pode atingir uma dada posio no espao com mais de que uma configurao das juntas.

2.2.2.2. RedundnciaRedundnciaRedundnciaRedundncia uma posio alternativa devido a uma junta, e se for N o nmero de redundncias ento o nmero de solues dado por 2N.

3. Se o nmero de solues for maior que o nmero de juntas ento a resoluo da cinemtica inversa do manipulador pode trazer dificuldades adicionais, como a impossibilidade impossibilidade impossibilidade impossibilidade de obter uma solude obter uma solude obter uma solude obter uma soluoooo.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

A redundncia cinemtica3. Matematicamente a existncia de

redundncia detecta-se normalmente pelo aparecimento da funo cos-1(x) ou de radiciao (x).

4. A situao de redundncia pode ocorrer quando h mais graus de mobilidade do que os necessrios.

5. Manipuladores com mais de seis graus de liberdade so ditos infinitamente redundantes.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

As quatro solues de um manipulador antropomrfico usando s as juntas primrias

Cotovelo em baixoOmbro direita

Cotovelo em baixoOmbro esquerda

Cotovelo em cimaOmbro direita

Cotovelo em cimaOmbro esquerda

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Manipulador com um nmero infinito de configuraes

Quando o manipulador tem um nmero infinito de configuraes para uma dada posio da garra diz-se que se atingiu uma situao de degenerao.

H um nmero infinito de combinaes de (4,6) para o end-effector nas configuraes indicadas.


rea de trabalho RWS e DWS

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Espao de trabalho RWS Reachable workspace

O espao que pode ser encontrado pelo end-effector, pelo menos uma vez.

DWS Desterous workspace O espao formado pelos pontos que o end-

effector pode mais de uma orientao. uma subconjunto do RWS.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

RWS - 2 DOF planar

-20 -10 0 10 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

X

Z

RWS

L1 = 10L2 = 5

0 < M1 < 180-90 < M2 < 120

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

RWS e DWS - 2 DOF planar

-20 -10 0 10 20-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

X

Z

RWSDWS

L1 = 10L2 = 5

0 < M1 < 180-90 < M2 < 120

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

RWS e DWS RR no planar

L1 = 10L2 = 5

0 < M1 < 1800 < M2 < 150

=

21

211

211

SLCSL

CCLR

HT

x

y

z

M1 M2

L1{R}

H

RHy

RHx

RHz

-20-10

010

20

-20

-10

0

10

20-20

-10

0

10

20

XY

Z

RWS

-20-10

010

20

-20

-10

0

10

20-20

-10

0

10

20

XY

Z

DWS

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

RWS - RRR no planar

L1 = 10L2 = 5-45 < M1 < 45

0 < M2 < 90-180 < M3 < 180

x

y

z

M1 M2

L1{R}

H

RHy

RHx

RHz

M3L2

( )( )

+

+

+

=

23221

232211

232211

SLSLCLCLS

CLCLCR H

-20-10

010

20

-20

-10

0

10

20-20

-10

0

10

20

XY

Z

RWS

-20-10

010

20

-20

-10

0

10

20-20

-10

0

10

20

XY

Z

DWS

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Fanuc ARC Mate 0iA rea de trabalho

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Kuka KR 16 L6-2 rea de trabalho

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

rea de trabalho e diagrama de cargaIRB 660-180/3.15


Algoritmo

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 ALGORITMO PARA UMA HEURSTICA DE CINEMTICA INVERSA

Dadas as dificuldades para a obteno da cinemtica inversa para um caso geral, o que se prope usualmente o de seguir um conjunto de regras de forma a obter uma dada heurstica (descoberta) em que os pontos principais so os seguintes:

1- Equacionar a matriz de transformao geral e a matriz de transformao do manipulador.2- Procurar em ambas as matrizes:

Elementos que envolvam um s varivel de junta Pares de elementos que, quando divididos, produzem uma sexpresso numa varivel de junta (e que se possa usar a funo atan de preferncia) Elementos ou suas combinaes simplificveis trigonometricamente.

3- Equacionar elementos nas duas expresses.4- Repetir o processo para todos os termos identificados em 2.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Algoritmo para uma heurstica de cinemtica inversa

Compara a expresso de transformao geomtrica do manipulador (A1A2...An) com a expresso de transformao geral

Procurar elementosa) que envolvam uma s varivelb)pares de elementos divisveis que resultem numa expresso a uma varivel (que possa usar a funo atan() de preferncia)c) elementos ou combinaes de elementos simplificveis trigonometricamente.

Incio

Resolver todas as equaes identificadas no passo anterior

Tentar usar as componentes do vetor de translao (p) mesmo que no tenha variveis isoladas

Falta determinarvariveis

?

S

NF

B

Alguma soluo sofre de risco de impreciso numrica ou mesmo

indefinies?

IS

N

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Pr-multiplicar a equao matricial pela inversa de A1ou

Ps-multiplicar a equao matricial pela inversa de Ane repetir esse processo para as restantes Ai at se esgotarem

B

Falta soluo paraAlguma das variveis de

Junta?

FIM

F

S

N

Recorrer s solues Imprecisas rejeitadas

anteriormente E definir as zonas

de funcionamento semrisco.

Se ainda houver variveis de junta por resolver, provvel que seja

fisicamente impossvel chegar soluo para o manipulador em causa

I

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

3 RECURSO A TRANSFORMAES INVERSAS E COMPARAO DOS ELEMENTOS MATRICIAIS

Alm do algoritmo heurstico da cinemtica inversa, pode-se recorrer s transformaes inversas.

A transformao inversas pode obter expresses mais solveis.

nHR AAA K21=T

Reorganizando:

22111

1121

1

..

.

=

=

nnnHR

nnHR

AAAAATAAAATK

K

E assim sucessivamente enquanto possvel ou favorvel, ou respectivamente por pr-multiplicao.

A partir da expresso matricial cinemtica do manipulador:

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Exemplo: Processo de pr-multiplicao pelas inversas com manipulador RR 3D

Usando o rob de 2 elos j estudado:

+

=

==

10000

10000100

00

1000010

0000

12222

21212121

21212121

2222

2222

1

11

11

2120


SLCSCLSC

LCS

SC

AAT

Recorrendo a pr multiplicao 211 ATA = HR

=

=

10000100

00

10001000

0100000

2222

22221

1

11

11

2201

1SLCSCLSC

pasnL

CSSC

rrrr

ATA

...

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

...continuando

=

++++

10000100

00

1000

2222

2222

11111111

1

11111111

SLCSCLSC

CpSpCaSaSsSsCnSnLpasn

SpCpSaCaSsCsSnCn

yxyxyxyx

zzzz

yxyxyxyx

Usando apenas os termos referentes a posio, pois mais vantajoso;

=

=+

221

2211

SLLpCLSpCp

z

yx

=

=+

221

2211 coscos

senMLLpMLsenMpMp

z

yx

...

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

...continuando

=

=+

221

2211 coscos

senMLLpMLsenMpMp

z

yx

De onde obtemos M2:

+

=

11

112

costan

senMpMpLp

Myx

z

Este expresso que usa a funo arco tangente uma alternativa a equao obtida anteriormente, que usa uma funo arco seno.

=

2

112 L

LpsenM z

Esta tcnica de matrizes inversas uma alternativa e muitas vezes a nica soluo.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

=

++++

10000100

00

1000

2222

2222

11111111

1

11111111

SLCSCLSC


SpCpSaCaSsCsSnCn

yxyxyxyx

zzzz

yxyxyxyx

4 SOLUO DE UMA EQUAO USUAL NO PROBLEMA DA CINEMTICA INVERSA

Existe um tipo de equao trigonomtrica que surge com relativa freqncia na determinao de cinemtica inversa.Veja uma equao j desenvolvida:

Tem uma forma genrica:

321 sencos kkk =+

Continua ...

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Calculando co-seno

321 sencos kkk =+

Seja2

tan

=m e sabendo que: 2cos1

2sen2

=

2cos1

2cos2

+=e

ento:22

cos1cos1

2tan m=

+

=

ento: 22

11

cosm

m

+

=

Prova:

cos2

cos2cos1cos1cos1cos1

cos1cos11cos1cos11

11

2

2

==

++

++=

+

+

+

=

+

m

m

Continua ...

Calculando o seno,

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Calculando o seno...

Similarmente: 21

2sen

m

m

+=

prova:

( )

( ) ( ) ( )( )

sen

m

m

==+=+

+=

=

+++

+=

+

+

+

=

+

+=

+

22

2

cos1cos1cos1cos1

cos1cos1

cos1cos1cos1cos1

cos12

cos1cos11

cos1cos12

cos1cos11

2tan2

12

...Substituindo estes termos na equao original:

Logo: 212

tanm

m

=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

substituindo

Substituindo estes termos na equao original:321 sencos kkk =+ 2

2

11

cosm

m

+

= 212

senm

m

+=

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )31

1331222

1322

31

3122

31

2332

211

232

21

3222

2

1

2442

0202

02121

12

11

kkkkkkkk

m

kkmkmkkkkmkmkk

mkkmkmkkmkmkmk

km

mkm

mk

+

+=

=++

=++

=+

+=+

=

+

+

+

( ) ( )

31

23

22

212

31

1331222

kkkkkk

m

kkkkkkkk

m

+

+=

+

+=

+

+=

31

23

22

2121tan2

kkkkkk

...

2tan

=m

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Exemplo: Usando o mtodo da eq. Trigonomtrica comum

+

+=

31

23

22

2121tan2

kkkkkk

321 sencos kkk =+

Extraindo os parmetros de kn:

x

yx

nkCSnCn

=

=+

1

211

+

+=

2

2222

11

cos1cos

tan2

yxy

nnn

Substituindo:

0

0

3

2

1

11

=

=

=

=+

kakak

SaCa

y

x

yx

+=

x

yxy

a

aaa 2211 tan2

23

2

cos==

knk y

=

++++

10000100

00

1000

2222

2222

11111111

1

11111111

SLCSCLSC


SpCpSaCaSsCsSnCn

yxyxyxyx

zzzz

yxyxyxyx

Exemplo 2

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

5 ALGUMAS SOLUES ANALTICAS PADRO

A maioria dos manipuladores industriais tem sua cinemtica conhecida, e a este grupo tem suas solues descritas na literatura.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

5.1 Rob planar de 3 elos - RRRA cinemtica inversa de um rob planar de trs eixos determina as expresses de [1, 2, 3] dado [x, y, ]. Se a orientao no fosse dada ento haveria redundncia, e o brao teria um nmero infinito de solues. Note-se para jque a orientao dada por:

Soluo:O ponto Pw tem sua cinemtica conhecida

=

=

SLyPCLxP

y

x

W

W

3

3

Continua ...

+=

+=

12211

12211

SLSLPCLCLP

y

x

W

W

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Rob planar de 3 elos - RRR

=

=

SLyPCLxP

y

x

W

W

3

3

Continua ...

De resultados anteriores

+=

+=

12211

12211

SLSLPCLCLP

y

x

W

W

++=

+=

21221211

21221211

CSLSCLSLPSSLCCLCLP

y

x

W

W

++=

+=

21221211

21221211

coscos

coscoscos

senLsenLSLPsensenLLLP

y

x

W

W

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Rob planar de 3 elos RRRobteno de 2

...

++=

+=

21221211

21221211

cossensencos

sensencoscoscos

LLSLPLLLP

y

x

W

W

Esta soluo conhecida:

22122

21

20

20 cos2 LLLLyx ++=+

+

= 21

22

21

221

2 2cos

LLLLPP WyWx

22122

21

22 cos2 LLLLPP WyWx ++=+

O sinal de mostra a redundncia

Podemos obter 1 atravs da tangente como j foi mostrado, ou por outro mtodo alternativo, apesar de ser mais extenso.

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


Usando a expresso

++=

+=

21221211

21221211

cossensencos

sensencoscoscos

LLSLPLLLP

y

x

W

W

Extraindo C1 e S1

221

2121

cos

sensencos

LL

LPxW

+

+=

221

2121

cos

sencossen

LL

LPyW

+

=

Substituindo sen1 na expresso de cos1

221

221

21222

1cos

cos

sencossen

cos

LLLL

LPLP y

x

WW

+

+

+

=

( )( )2221

22

12222221

cos

sencossencos

LL

LLPLLPyx WW

+

++=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( )( )2221

22

12222221

1cos

sencossencoscos

LL

LLPLLPyx WW

+

++=

( )( ) 22221

22

1222212

222

211

sencos

sencoscos2coscos

LPLLPLLLLL

yx WW++=

+++

( )221

22

21

222211

cos2sencos

cos

LLLL

LPLLPyx WW

++

++=

Substituindo com a expresso conhecida: 221222122 cos2 LLLLPP WyWx ++=+( )

2222221

1

sencoscos

WyW

WW

PP

LPLLP

x

yx

+

++=

De forma similar:( )

2222221

1

cos

WyW

WWy

PP

senLPLLPsen

x

y

+

+=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( )

( )22

22221

2222221

1

11 sencos

sencos

cos

sentan

WyW

WW

WyW

WW

PPLPLLP

PPLPLLP

x

yx

x

yx

+

++

+

++

==

( )( )

++

+=

22221

2222111

cos

costan

senLPLLP

senLPLLP

yx

yx

WW

WW

3 pode ser obtido por:

213 =

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Rob planar de 3 elos RRRResumo

( )( )

++

+=

22221

2222111

cos

costan

senLPLLP

senLPLLP

yx

yx

WW

WW

213 =

+

= 21

22

21

221

2 2cos

LLLLPP WyWx

=

=

SLyPCLxP

y

x

W

W

3

3

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

5.2 Soluo do brao antropomrfico 3 DOF

O brao antropomrfico com 3 graus de liberdade consta de trs juntas rotacionais numa configurao srie.

A expresso da cinemtica direta do manipulador RRR antropomrfico pode ser obtida da soluo do manipulador de 5 DOF, bastando considerar as 3 primeiras juntas.

( )( )( )

++

+

+

=

10000 2323232323232

213213211321321321321

213213211321321321321

ABC

BC

BC

HR

LSLSCCSLCCSSSCCSCSLSSSCCSLCCSSSCSSSSCCSCCLSSCCCCLSCSCSCCSSCCCC

T

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Soluo do brao antropomrfico 3 DOF

( )( )( )

++

+

+

=

10000 2323232323232

213213211321321321321

213213211321321321321

ABC

BC

BC

HR

LSLSCCSLCCSSSCCSCSLSSSCCSLCCSSSCSSSSCCSCCLSSCCCCLSCSCSCCSSCCCC

T

( )( )

++

+

+

=

10000 2232323

22311231231

22311231231

ABC

BC

BC

HR

LSLSLCSCLCLSCSSCSCLCLCSSCCC

T

Multiplicando as matrizes,

As coordenadas de Pw a mesma de OT3 , e usando somente a posio:

( )( )

++

+

+

=

=

ABC

BC

BC

Wz

Wy

Wx

W

LSLSLCLCLSCLCLC

PPP

P

223

2231

2231

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Soluo do brao antropomrfico 3 DOF

Ento obtemos 1:( )( )

=

+

+==

Wx

Wy

BC

BC

Wx

Wy

PP

CLCLCCLCLS

PP

11

2231

22311

tan

tan

Nesta expresso, LCC23 +LBC2 pode ser positivo ou negativo, o que resulta em:

pi

=

=

Wx

Wy

Wx

Wy

PP

PP 11

1 tantan

Implica isto que nesse caso 2 passa a ter o valor (2) e que 3passa a ter o valor (3).Esta redundncia no implica alteraes nas componentes pWx e pWy,

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Brao antropomrfico 3 DOF Clculo de 3

Tambm a posio Pwz no alterada. Os valores das juntas 2 e 3 no interferem em S23 e S2 , e torna C23 e C2 simtricos

ABCWz LSLSLP ++= 223( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 233232

22

23323232

22

coscos

cos

CC

SsensensenSsen

=+=

=

=+=+=

=

pipipi

pipipi

Para determinar a expresso para as variveis 2 e 3 . Para isso, tomam-se os elementos da matriz de posio (no sem antes ter rearranjado PWz e migrar o termo LA para o outro membro da equao), e elevam-se ao quadrado e adicionam-se conforme a seqncia seguinte:

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( ) ( ) ( ) ( )22322121223222222 SLSLSCCLCLLPPP CBBAWWW yyx ++++=++( ) 232223222223222322222222 22 SSLLSLSLCCLLCLCLLPPP CBCBCBCBAWWW yyx +++++=++( ) ( )232232222222 2 SSCCLLLLLPPP CBCBAWWW yyx +++=++( ) ( ) ( )( )3232232322222222 2 SCCSSSSCCCLLLLLPPP CBCBAWWW yyx ++++=++( ) ( )322322222222 2 CSCCLLLLLPPP CBCBAWWW yyx +++=++( ) 3222222 2 CLLLLLPPP CBCBAWWW yyx ++=++

( )

++

= CB

CBAWWW

LL

LLLPPPCOS yyx

2

2222221

3

...

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( )( )

++

+

+

=

=

ABC

BC

BC

Wz

Wy

Wx

W

LSLSLCLCLSCLCLC

PPP

P

223

2231

2231

Partindo da equao:

Obtemos,

++=

+=+=+

23232

3232223222

SLSCLCSLLPSSLCCLCLCLCLPP

BCCAWz

CCBCBWW yx

( )323222 CLLCSSLPP CBCWW yx +=++

3

3222

2 CLL

SSLPPC

CB

CWW yx

+

++=

(1)

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

+

++++=

3

3222

3322' CLL

SSLPPSLCSLSLP

CB

CWWCCBWz

yx

Substituindo C2


23232' SLSCLCSLLPP BCCAWzWz ++==

Colocando em evidncia

( )

+

++++=

3

3222

332' CLL

SSLPPSLCLLSP

CB

CWWCCBWz

yx

3

3

CLLCLL

CB

CB

+

+

( ) ( ) ( )322232323 ' SSLPPSLCLLSPCLL CWWCCBWzCB yx ++++=+

A segunda expresso:

rPPyx WW

=+ 22Fazendo

( ) ( ) ( )3232323 ' SSLrSLCLLSPCLL CCCBWzCB +++=+( ) ( ) ( )32332323 ' SSLSLSrLCLLSPCLL CCCCBWzCB +++=+

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( ) ( ) ( )32332323 ' SSLSLSrLCLLSPCLL CCCCBWzCB +++=+( ) ( ) 232223233 ' SSLCLLSSrLPCLL CCBCWzCB ++=+( ) ( )[ ]23223233 ' SLCLLSSrLPCLL CCBCWzCB ++=+

( )( ) 23223

332

'

SLCLLSrLPCLLS

CCB

CWzCB

++

+=

( )23

23

23

22

322

3

2

'

SLCLLCLL

SLPPPCLL

CCBCB

CWWWzCB yx

+++

++=

( )3

22

322

32 2

'

CLLLLSLPPPCLL

SCBCB

CWWWzCB yx

++

++=

(2)

Aps manipulaes: 22122

21

22 cos2 LLLLPP WyWx ++=+AWzWz LPP ='

( )( )22

2233

2WyW

WWCAWzCB

PP

PPSLLPCLLS

x

yx

+

++=

( ) 3222222 2 CLLLLLPPP CBCBAWWW yyx ++=++

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( )3

22

322

3

3

3

3

22

2 2

'

CLLLL

SLPPPCLL

CLLSL

CLL

PPC

CBCB

CWWWzCB

CB

C

CB

WW yxyx

++

++

++

+

+=

322

3

322

3

3

22

2 2

'

CLLLLCLL

SLPPPSL

CLL

PPC

CBCB

CB

CWWWzC

CB

WW

yx

yx

++

+

+

++

+=

Partindo da expresso 1 e 2 e substituindo S2:3

3222

2 CLL

SSLPPC

CB

CWW yx

+

++=

( )3

22

322

3

3

3

3

22

2 2

'

CLLLL

SLPPPCLL

CLLSL

CLL

PPC

CBCB

CWWWzCB

CB

C

CB

WW yxyx

++

++

++

+

+=

( )( ) ( )( )( )3223

322

3332222

2 2

'2

CLLLLCLLSLPPCLLPSLCLLLLPP

CCBCBCB

CWWCBWzCCBCBWW yxyx

+++

++++++=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


Conseqentemente:

2

212 tan C

S

=

( )( )( ) ( )

+++

++=

AWzCWWCB

WWCAWzCB

LPSLPPCLL

PPSLLPCLL

yx

yx

322

3

22331

2 tan

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Brao antropomrfico 3 DOF Resumo

( )

++

= CB

CBAWWW

LL

LLLPPPCOS yyx

2

2222221

3

pi

=

=

Wx

Wy

Wx

Wy

PP

PP 11

1 tantan

Devido a redundncia em 1 e 3 temos 22 = 4 solues.

( )( )( ) ( )

+++

++=

AWzCWWCB

WWCAWzCB

LPSLPPCLL

PPSLLPCLL

yx

yx

322

3

22331

2 tan

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

5.3 Soluo do punho esfrico

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

5.4 Manipuladores com um punho esfrico


Cinemtica inversa Pndulo duplo invertido

Rob bpede Uma perna

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Exemplo: 2 DOF -Pndulo duploRob bpede Uma perna

x

Z

M1 L1

x2

z2

)cos()cos()()(

21211212

212112

MMLMLLLzMMsenLMsenLx

++=

++=

M2

L2

K0 zKZxX

==

02

2

Z

X

210 LLK +=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF -Pndulo duplo Calculando M2

)cos()cos()()(

21211

2211

MMLMLzMsenLMsenLx

++=+=

Elevando ambos os membros ao quadrado

( )2212112 )()( MMsenLMsenLx ++=)()(2)()( 211212122212212 MMsenMsenLLMMsenLMsenLx ++++=

( ))cos()()cos()()(2)()( 12211212122212212 MMsenMMsenMsenLLMMsenLMsenLx ++++=)cos()()(2)cos()(2)()( 12121212212122212212 MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenLx ++++=

( )2212112 )cos()cos( MMLMLz ++=)cos()cos(2)(cos)(cos 211212122212212 MMMLLMMLMLz ++++=

( ))()()cos()cos()cos(2)(cos)(cos 21211212122212212 MsenMsenMMMLLMMLMLz +++=)()()cos(2)cos()(cos2)(cos)(cos 21121212212122212212 MsenMsenMLLMMLLMMLMLz +++=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF -Pndulo duplo Calculando M2Somando os dois termos

)cos()()(2)cos()(2)()()()()cos(2)cos()(cos2

)(cos)(cos

12121

212

212122

2122

1

21121212

21

2122

2122

122

MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenL

MsenMsenMLLMMLL

MMLMLzx

+

+++++

++

++=+

)cos()()(2)()()cos(2)cos()(2)cos()(cos2

)()(cos)()(cos

1212121121

212

21212

21

2122

22122

2

122

1122

122

MMsenMsenLLMsenMsenMLLMMsenLLMMLL

MMsenLMML

MsenLMLzx

+

+++

+++++

++=+

[ ][ ]

[ ] 0)()(cos)cos(2)()(cos

)()(cos

12

12

221

212

2122

2

12

122

122

+++

+++++

++=+

MsenMMLL

MMsenMML

MsenMLzx

)cos(2 221222122 MLLLLzx ++=+

0

11

1

)()()cos(2)cos()(cos2)(cos)(cos 21121212212122212212 MsenMsenMLLMMLLMMLMLx +++=)cos()()(2)cos()(2)()( 12121212212122212212 MMsenMsenLLMMsenLLMMsenLMsenLz ++++=

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


)cos(2 21222122 2MLLLLzx ++=+

+

= 21

22

21

221

2 2cos

LLLLzx

M

uma soluo analtica em funo das dimenses do rob e da posioPelo sinal mostra que tem duas solues matemticas para M2.

+

= 21

22

21

220

221

2 2)(

cosLL

LLzzxM

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


O clculo de M1 mais trabalhoso Usaremos o recurso trigonomtrico de soma de tangentes. Usaremos os ngulos auxiliares e

( )BABABA

MLLsenML

ZX

M

tantan1tantan

tan

costan

tan

221

22

1

+

=

+=

=

=

Z

M1 L1

x2

z0

M2

L2

z2

x

Z

X

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r


( )

z

x

MLLsenML

BABABA

=

+=

+

=

tan

costan

tantan1tantan

tan

221

22

( ) ( )

( )221

22

221

22

1

1

cos1

costan

tantan

MLLsenML

z

x

MLLsenML

z

x

M

M

+

+

+

=

=

( )( )

( )( ) ( )

( )22122221

221

22221

1

cos

cos

cos

cos

tan

MLLzsenMLxMLLz

MLLzsenMzLMLLx

M

+++

++

=

( ) ( )( ) ( )2222122221

1cos

costan

senMLxMLLzsenMzLMLLx

M+++

=

( )( ) ( )

+++

=

22221

2222111

cos

costan


M

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

2 DOF -Pndulo duplo Cinemtica inversa

+=

21

22

21

221

2 2cos

LLLLzx

M

( )( ) ( )

+++

=

22221

2222111

cos

costan


M

0"0'

2

2

MM

x

Z

M1 L1

x2

z2 M2

L2

K0

Z

X

221

2

ZLLzXx

+==

onde


Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Simulao% % Cinemtica inversa de um pendulo duplo invertido% Simulando uma perna% (c) Rogrio Oliveira 2008

clear all;close all;L1=10;L2=10;x0 = 0; %Largura da passadaz0 = L1+L2-2; %Altura da perna

p=-5:1:5; %Pontos k=1;while k

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Simulaofigure(1);subplot(221); plot(x2,z2,'k:',x2,z2,'ko'); title('Pontos');axis([-10 10 0 L1+L2]);grid on;subplot(223); plot(p,Teta1,'b-',p,Teta1,'ko'); title('\Theta 1'); grid on;subplot(224); plot(p,Teta2,'r-',p,Teta2,'ko'); title('\Theta 2'); grid on;

for k = 1:length(p),subplot(222);plot(x2(k),z2(k),'ko');line([x0 x1(k)]', [z0 z1(k)]', 'LineWidth',4,'Color','b');line([x1(k) x2(k)]', [z1(k) z2(k)]', 'LineWidth',4,'Color','r');axis([-10 10 0 L1+L2]);grid on;Quadro(k) = getframe;Quadro(2*length(p)-k) = Quadro(k);

end;title('Rob bpede');hold off;

movie(Quadro,10,6);

R o b t i c a I

r o g e r i o @ i f c e . e d u . b r

Simulao

-

resultado

Ro

b

t

i

c

a

I

r

o

g

e

r

i

o

@

i

f

c

e

.

e

d

u

.

b

r

Simulao de um bpede

Desafio! Faa voc mesmo um programa em matlab para reproduzir este bpede baseado no programa de uma perna.


Fim

robótica_cinemática_inversa

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