ROBÓTICA

Lucélio de Oliveira Lemos

Cinemática DiretaParâmetros D-H

Sistemas de Referência e

Transformação de Coordenadas

Transformação Homogênea

w

z

y

x

V

Um ponto V no espaço pode ser representado em coordenadas homogêneas por,

onde

321 , , vw

zv

w

yv

w

x

e w é o fator de escala real e não nulo.

Translação

É Possível transladar um ponto u nas direções X, Y, e Z ou em uma direção arbitrária, a partir da aplicação da relação

1000

z100

y010

x001

)z,y,trans(xT0

0

0

000

com a relação

v = T . u

Considere a transformação homogênea

Exemplo 1

1000

0100

0010

1001

T e o ponto

1

0

0

1

u

A transformação homogênea T, transforma o ponto u em um ponto v,

v = T. u =

1

0

0

2

1

0

0

1

1000

0100

0010

1001

Transladar o ponto u(1,0,0) de 1 unidade na direção X, 2 na direção Y e 3 na direção Z.

Exemplo 2

1

0

0

1

1000

3100

2010

1001

(1,2,3) transv

RotaçãoConsidere os pontos u e v , representados na figura.

Suas representações no plano são u(xu, yu) e v(xv,yv) respectivamente. Considere ainda que o ponto u foi transformado no ponto v, através de uma rotação, em torno da origem, de um ângulo , no sentido anti-horário.

2v

2v

2u

2u

1v

1v

1u

1u

yxyxr

senry

cosrx

e

senry

cosrx

1

2

3

4

rotação em z

Desenvolvendo as equações 1 e 2 e usando as equações 3 e 4, tem-se

sen.senrcos.cosrx 11v sen.ycos.xx uuv

sen.cosrcos.senry 11v sen.ycos.yy uuv

5

6

As equações 5 e 6 podem ser escritas, então:

uuv ysenxcosx

uuv ycosxseny

ou na forma vetorial

u

u

v

v

y

x

cossen

sencos

y

x7

Para o espaço tridimensional a equação 7 pode ser reescrita na forma vetorial:

u

u

u

v

v

v

z

yx

.

100

0cossen

0sencos

z

yx

ou ainda em Coordenadas Homogêneas,

1

z

yx

.

1000

0100

00cossen

00sencos

1

z

yx

u

u

u

v

v

v

Resumindo, as matrizes transformação homogênea de rotação em torno dos três eixos são:

1000

0100

00cossen

00sencos

Z,Rot

1000

0cossen0

0sencos0

0001

X,Rot

1000

0cos0sen

0010

0sen0cos

Y,Rot

Cinemática Direta

Cinemática Direta

Manipulador RR em movimento planoAs equações da cinemática direta são obtidas pela aplicação de trigonometria aos triângulos formados pelas juntas e elos

Notação de Denavit-Hartemberg

Notação de Denavit-Hartemberg

Algoritmo• Escolher um sistema de coordenadas fixo

(X0, Y0, Z0) associada com a base de robô

• Localizar o eixo Z de cada conjunto:

• Se a junta for ROTATIVA, o eixo é o eixo de rotação em si.

• Se a junta for PRISMÁTICA o eixo será na direção de deslizamento.

Denavit-Hartemberg www.youtube.com.br

Algoritmo

A posição relativa entre dois sistemas de coordenadas consecutivos, sistemasOi−1-xi−1yi−1zi−1 e Oi-xiyizi, é completamente determinada pelas posições relativas entre os eixos xi−1 e xi, e entre os eixos zi e zi−1, que são definidas pelos quatro parâmetros seguintes:• ai: é a distância (em módulo) entre zi−1 e zi, medida ao longo do eixo xi, que é anormal comum entre zi−1 e zi, ou seja, é a distância HiOi;• αi: é o ângulo (com sinal) entre o eixo zi−1 e o eixo zi, medido em torno do eixo xi,segundo a regra da mão direita, ou seja, é o ângulo de rotação em torno do eixo xi,que o eixo zi−1 deve girar para que fique paralelo ao eixo zi;• di: é a distância (com sinal) entre os eixos xi−1 e xi, medida sobre o eixo zi−1 (que é anormal comum entre xi−1 e xi), partindo-se de Oi−1 e indo em direção à Hi. O sinalde di é positivo, se para ir de Oi−1 até Hi, caminha-se no sentido positivo de zi−1, enegativo, se caminha-se no sentido oposto de zi−1;• θi: é o ângulo (com sinal) entre o eixo xi−1 e o eixo xi, medido em torno do eixo zi−1,segundo a regra da mão direita, ou seja, é o ângulo de rotação em torno do eixo zi−1,que o eixo xi−1 deve girar para que fique paralelo ao eixo xi.

Notação de Denavit-Hartemberg

Com estes quatro parâmetros, a posição e orientação do sistema de coordenadas i emrelação ao sistema i−1 pode ser definida como uma sequência de quatro transformações:• A primeira transformação, consiste em uma rotação em torno de zi−1, de um ângulo θi , medido segundo a regra da mão direita, de forma a alinhar xi−1 com xi:• A segunda transformação, é uma translação ao longo do eixo zi−1, de uma distânciadi, medida a partir do ponto Oi−1, até encontrar a intercessão da normal comumentre zi−1 e zi (ponto Hi);• A terceira transformação, consiste em uma translação ao longo do eixo xi, de umadistância ai, partindo-se do ponto Hi até encontrar o eixo zi (ponto Oi); e• A quarta transformação consiste em uma rotação em torno do eixo xi, de um ângulo αi, medido segundo a regra da mão direita, de forma a alinhar o eixo zi−1 com o eixo zi.

Notação de Denavit-Hartemberg

Notação de Denavit-Hartemberg

Assim, tem-se, em resumo, as seguintes transformações:

onde os símbolos Rot e Trans significam respectivamente transformação de rotação e detranslação. Em termos de transformações homogêneas, tem-se o seguinte:

Os parâmetros ai e αi são constantes e são determinados pela geometria do ligamento i. Um dos outros dois parâmetros, di ou θi, varia a medida que a articulação se move.

Notação de Denavit-Hartemberg

Existem algumas exceções à notação de Denavit-Hartenberg, sendo estas as seguintes:• Para estabelecer o sistema de coordenadas da base, a origem do sistema pode serescolhida em qualquer ponto do eixo z0. Os eixos x0 e y0, podem ser escolhidosarbitrariamente, desde que satisfaçam a regra da mão direita;• Para estabelecer o sistema de coordenadas do efetuador, a origem do sistema podeser escolhida em qualquer ponto conveniente do efetuador. A orientação dos eixosdeve ser tal que xn seja perpendicular a zn−1;• Se os eixos das duas articulações de um ligamento são paralelos, a normal comumentre eles não é única. Neste caso, a direção de xi−1 deve ser perpendicular a ambosos eixos e a origem Oi é arbitrária;• Se os eixos das duas articulações de um ligamento se interceptam, ou seja, se zi−1intercepta zi, a origem Oi deve ser localizada na interseção dos dois eixos e xi deveser perpendicular a ambos os eixos.

Parâmetros de Denavit-Hartenberg do robô de Stanford