Retas

Equação Vetorial

Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c)

Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R

Equação Vetorial

Daí, P-A= tv ou P = A + tv Ou em coordenadas (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada

de equação vetorial da reta r

Exemplo

Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta

Equações Paramétricas

Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é:

(x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)

Equações Paramétricas

Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas

ctzz

btyy

atxx

1

1

1

Exemplo 2

Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se:

A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v

B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente

Exemplo 2

C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4

D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r

E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r

Exemplo 2

F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r

G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r

H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y

Reta Definida por 2 Pontos

A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB

Exemplo 3

Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)

Equação Paramétrica de um Segmento de Reta Considere um segmento de reta cujos pontos

extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são

Para t є [0,1]

)(

)(

)(

333

222

111

xytxz

xytxy

xytxx

Nota

Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A

Quando t=1 (x,y,z)=B

Equações Simétricas

Das equações paramétricas tem-se

Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se

ctzz

btyy

atxx

1

1

1

a

xxt

1

b

yyt

1

c

zzt

1

Equações Simétricas

Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades

a

xx 1

b

yy 1

c

zz 1

Notas

As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)

Exemplo

Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)

Equações Reduzidas

Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são:

a

xx 1

b

yy 1

c

zz 1

Equações Reduzidas

A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x

Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta

)1(1 xxa

byy )1(1 xx

a

czz

Exemplo

Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor

Retas paralelas aos planos coordenados Uma reta é paralela a um dos planos x0y

ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula

Exemplo

Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0)

Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y

Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z

Retas paralelas aos eixos coordenados Uma reta é paralela a um dos eixos

coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1)

Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas

Exemplo

Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)

Ângulo de duas retas

Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente

Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores

Logo, sendo teta este ângulo tem-se:

cosθ = |(u . v)| /( | u | | v |)

Com 0<= θ<= pi/2

Exemplo

Calcule o ângulo entre as retas r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1

Exemplo

Verifique se as retas são ortogonais r1: y=-2x+1,z=4x r2: x=3-2t,y=4+t,z=t

Reta ortogonal a duas retas

Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente

Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2

Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0

Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2

Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos

Exemplo

Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas

r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) r2: x=5, y=t, z=1-t

Retas coplanares

Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0

Exemplo

Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares

R1:y=mx+2,z=3x-1 R2:x=t,y=1+2t,z=-2t

Posição Relativa de duas Retas

Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser:

Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia

Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares

Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia

Posição Relativa de duas Retas

Exemplo

Estudar a posição relativa das retas Primeiro caso

R1:y=2x-3,z=-xR2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t

Segundo casoR1:x/2=(y-1)/-1=zR2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1

Terceiro casoR1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t

Quarto casoR1:y=3,z=2xR2:x=y=z

Interseção de duas retas

Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes

Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas

Exemplo

Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção

Primeiro caso r1:y=-3x+2,z=3x-1r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t