Sistema Monetrio Nacional

O primeiro dinheiro do Brasil foi moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comrcio

foi feito por meio da troca de mercadorias, mesmo aps a introduo da moeda de metal. As primeiras moedas metlicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o incio da

colonizao portuguesa. A unidade monetria de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o perodo colonial. Assim, tudo se contava em ris (plural popular de real) com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou at 07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei n 59, de 08 de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Ris (Rs), mltiplo do real, como unidade monetria, adotada at 31 de outubro de 1942.

No sculo XX, o Brasil adotou nove sistemas monetrios ou nove moedas diferentes (mil-ris, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real).

Por meio do Decreto-Lei n 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade monetria, o cruzeiro Cr$ veio substituir o mil-ris, na base de Cr$ 1,00 por mil-ris.

A denominao cruzeiro origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao ttulo de 900 milsimos de metal e 100 milsimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto n 5.108, de 18 de dezembro de 1926, no regime do ouro como padro monetrio.

O Decreto-Lei n 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro Cr$ em cruzeiro novo NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e at 27 de fevereiro de 1986, a unidade monetria foi novamente o cruzeiro (Cr$).

Em 27 de fevereiro de 1986, Dlson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei n 2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro Cr$ se transformou em cruzado Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilizao da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos Brsser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brsser: um Plano Cruzado requentado avaliou Mrio Henrique Simonsen.

Em 15 de janeiro de 1989, Malson da Nbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Vero (Medida Provisria n 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado Cz$ se transformou em cruzado novo NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de 16 de janeiro de 1989 a 15 de maro de 1990).

Em 15 de maro de 1990, Zlia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida Provisria n 168, de 15 de maro de 1990): o cruzado novo NCz$ se transformou em cruzeiro Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de maro de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a inflao j passava de 20% ao ms, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilizao da moeda.

A Medida Provisria n 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro Cr$ em cruzeiro real CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho de 1994).

Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cruzeiro real CR$ se transformou em real R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00 (Medida Provisria n 542, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei n 9.069, de 29 de junho de 1995).

O artigo 10, I, da Lei n 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competncia para emitir papel-moeda e moeda metlica, competncia exclusiva consagrada pelo artigo 164 da Constituio Federal de 1988.

Antes da criao do BCB, a Superintendncia da Moeda e do Crdito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetria.

A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o controle monetrio. A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatrias dos bancos comerciais, as taxas do redesconto e da assistncia financeira de liquidez, bem como os juros. Alm disso, supervisionava a atuao dos bancos comerciais, orientava a poltica cambial e representava o Pas junto a organismos internacionais.

O Banco do Brasil executava as funes de banco do governo, e o Tesouro Nacional era o rgo emissor de papel-moeda.

Cruzeiro 1000 ris = Cr$1(com centavos) 01.11.1942 O Decreto-Lei n 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de 06 de outubro de 1942),

instituiu o Cruzeiro como unidade monetria brasileira, com equivalncia a um mil ris. Foi criado o centavo, correspondente centsima parte do cruzeiro.

Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta mil e quatrocentos ris)

passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos)

Cruzeiro

(sem centavos) 02.12.1964 A Lei n 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de dezembro de 1964),

extinguiu a frao do cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros).

Cruzeiro Novo

Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967 O Decreto-Lei n 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 de novembro de 1965),

regulamentado pelo Decreto n 60.190, de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967), instituiu o Cruzeiro Novo como unidade monetria transitria, equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Conselho Monetrio Nacional, pela Resoluo n 47, de 08 de fevereiro de 1967, estabeleceu a data de 13.02.67 para incio de vigncia do novo padro.

Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a

expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos). Cruzeiro De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970 A Resoluo n 144, de 31 de maro de 1970 (D.O.U. de 06 de abril de 1970), do

Conselho Monetrio Nacional, restabeleceu a denominao Cruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo o centavo.

Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a

expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).

Cruzeiros (sem centavos) 16.08.1984 A Lei n 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu a frao do

Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importncia do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vrgula e os algarismos que a sucediam.

Cruzado Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986 O Decreto-Lei n 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 28 de fevereiro de

1986), posteriormente substitudo pelo Decreto-Lei n 2.284, de 10 de maro de 1986 (D.O.U. de 11 de maro de 1986), instituiu o Cruzado como nova unidade monetria, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudana de padro foi disciplinada pela Resoluo n 1.100, de 28 de fevereiro de 1986, do Conselho Monetrio Nacional.

Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milho, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a

expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos). Cruzado Novo

Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989 A Medida Provisria n 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 16 de janeiro de 1989),

convertida na Lei n 7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado Novo como unidade do sistema monetrio, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resoluo n 1.565, de 16 de janeiro de 1989, do Conselho Monetrio Nacional, disciplinou a implantao do novo padro.

Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a

expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e trinta centavos). Cruzeiro

De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990 A Medida Provisria n 168, de 15 de maro de 1990 (D.O.U. de 16 de maro de 1990),

convertida na Lei n 8.024, de 12 de abril de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denominao Cruzeiro para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudana de padro foi regulamentada pela Resoluo n 1.689, de 18 de maro de 1990, do Conselho Monetrio Nacional.

Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-

se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros). Cruzeiro Real Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993 A Medida Provisria n 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U. de 29 de julho de 1993),

convertida na Lei n 8.697, de 27 de agosto de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993),

instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agosto de 1993, em substituio ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manuteno do centavo. A Resoluo n 2.010, de 28 de julho de 1993, do Conselho Monetrio Nacional, disciplinou a mudana na unidade do sistema monetrio.

Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milho, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou

a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos). Real CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994 A Medida Provisria n 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 30 de junho de 1994),

instituiu o Real como unidade do sistema monetrio, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalncia de CR$ 2.750,00 (dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de junho de 1994. Foi mantido o centavo.

Como medida preparatria implantao do Real, foi criada a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Medida Provisria n 434, publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de 1994, reeditada com os nmeros 457 (D.O.U. de 30 de maro de 1994) e 482 (D.O.U. de 29 de abril de 1994) e convertida na Lei n 8.880, de 27 de maio de 1994 (D.O.U. de 28 de maio de 1994).

Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhes de cruzeiros reais) passou a expressar-se

R$ 4.000,00 (quatro mil reais). Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetria do Pas responsvel pela

execuo da poltica financeira do governo. Cuida ainda da emisso de moedas, fiscaliza e controla a atividade de todos os bancos no Pas.

Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - rgo internacional que visa

ajudar pases subdesenvolvidos e em desenvolvimento na Amrica Latina. A organizao foi criada em 1959 e est sediada em Washington, nos Estados Unidos.

Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstruo e

Desenvolvimento (BIRD) conhecido. rgo internacional ligado a ONU, a instituio foi criada para ajudar pases subdesenvolvidos e em desenvolvimento.

Banco Nacional de Desenvolvimento Econmico e Social (BNDES) - Empresa

pblica federal vinculada ao Ministrio do Desenvolvimento, Indstria e Comrcio Exterior que tem como objetivo financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil.

Problemas Matemticos

Os problemas matemticos so resolvidos utilizando inmeros recursos matemticos,

destacando, entre todos, os princpios algbricos, os quais so divididos de acordo com o nvel de dificuldade e abordagem dos contedos.

Primeiramente os clculos envolvem adies e subtraes, posteriormente as multiplicaes e divises. Depois os problemas so resolvidos com a utilizao dos fundamentos algbricos, isto , criamos equaes matemticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situaes que podem ser descritas com utilizao da lgebra.

- O dobro de um nmero adicionado com 4: 2x + 4; - A soma de dois nmeros consecutivos: x + (x + 1); - O quadrado de um nmero mais 10: x2 + 10; - O triplo de um nmero adicionado ao dobro do nmero: 3x + 2x;

- A metade da soma de um nmero mais 15:

+ 15;

- A quarta parte de um nmero:

.

Exemplo 1 A soma de trs nmeros pares consecutivos igual a 96. Determine-os. 1 nmero: x 2 nmero: x + 2 3 nmero: x + 4 (x) + (x + 2) + (x + 4) = 96 Resoluo: x + x + 2 + x + 4 = 96 3x = 96 4 2 3x = 96 6 3x = 90

x =

x = 30 1 nmero: x = 30 2 nmero: x + 2 = 30 + 2 = 32 3 nmero: x + 4 = 30 + 4 = 34 Os nmeros so 30, 32 e 34. Exemplo 2 O triplo de um nmero natural somado a 4 igual ao quadrado de 5. Calcule-o: Resoluo: 3x + 4 = 52

3x = 25 4 3x = 21

x =

x = 7 O nmero procurado igual a 7. Exemplo 3 A idade de um pai o qudruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do

pai ser o triplo da idade do filho. Qual a idade atual de cada um? Resoluo: Atualmente Filho: x Pai: 4x Futuramente Filho: x + 5 Pai: 4x + 5 4x + 5 = 3 . (x + 5) 4x + 5 = 3x + 15 4x 3x = 15 5 X = 10 Pai: 4x = 4 . 10 = 40 O filho tem 10 anos e o pai tem 40. Exemplo 4 O dobro de um nmero adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual o nmero? Resoluo 2x + 3x = 20 5x = 20

x =

x = 4 O nmero corresponde a 4. Exemplo 5 Em uma chcara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam

juntos 100 ps. Determine o nmero de galinhas e coelhos existentes nessa chcara.

Galinhas: G Coelhos: C G + C = 35 Cada galinha possui 2 ps e cada coelho 4, ento: 2G + 4C = 100 Sistema de equaes Isolando C na 1 equao: G + C = 35 C = 35 G Substituindo C na 2 equao: 2G + 4C = 100 2G + 4 . (35 G) = 100 2G + 140 4G = 100 2G 4G = 100 140 - 2G = - 40

G =

G = 20 Calculando C C = 35 G C = 35 20 C = 15

Exerccios 1. A soma das idades de Arthur e Baltazar de 42 anos. Qual a idade de cada um,

se a idade de Arthur 5

2 da idade de Baltazar?

2. A diferena entre as idades de Jos e Maria de 20 anos. Qual a idade de cada

um, sabendo-se que a idade de Jos 5

9 da idade de Maria?

3. Verificou-se que numa feira 9

5 dos feirantes so de origem japonesa e

5

2 do

resto so de origem portuguesa. O total de feirantes japoneses e portugueses de 99. Qual o total de feirantes dessa feira?

4. Certa quantidade de cards repartida entre trs meninos. O primeiro menino

recebe 7

3 da quantidade e o segundo, metade do resto. Dessa maneira, os dois

receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro menino?

5. Num dia, uma pessoa l os 5

3 de um livro. No dia seguinte, l os

4

3 do resto e

no terceiro dia, l as 20 pginas finais. Quantas pginas tm o livro? 6. Uma caixa contm medalhas de ouro, de prata e de bronze. As medalhas de

ouro totalizam 5

3 das medalhas da caixa. O nmero de medalhas de prata 30. O

total de medalhas de bronze 4

1 do total de medalhas. Quantas so as medalhas de

ouro e de bronze contidas na caixa?

7. Uma viagem feita em quatro etapas. Na primeira etapa, percorrem-se os 7

2 da

distncia total. Na segunda, os 5

3 do resto. Na terceira, a metade do novo resto.

Dessa maneira foram percorridos 60 quilmetros. Qual a distncia total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa? 8. A soma das idades de Lcia e Gabriela de 49 anos. Qual a idade de cada

uma, sabendo-se que a idade de Lcia 4

3 da idade de Gabriela?

9. Num dia, um pintor pinta 5

2 de um muro. No dia seguinte, pinta mais 51 metros

do muro. Desse modo, pintou 9

7do muro todo. Quantos metros tm o muro?

10. Um aluno escreve 8

3 do total de pginas de seu caderno com tinta azul e 58

pginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa maneira, 9

7 do total de pginas do

caderno. Quantas pginas possuem o caderno?

Respostas

1) Resposta Arthur 30; Baltazar 12. Soluo: A + B = 42 anos

A =

(substituindo a letra A pelo valor

)

+ B = 42 (mmc: 5)

2B + 5B = 210 7B = 210

B =

B = 30 A = 12

2) Resposta Maria 25; Jos 45. Soluo:

J M = 20 (substituindo a letra J por

)

J =

M = 20 (mmc:1;5)

9M 5M = 100 4M = 100

M =

M = 25 e J = 45 3) Resposta 135. Soluo: F = feirantes (substituindo a letra J por 5/9.F)

J = 5/9.F

P =

J + P = 99

(mmc:9;45)

33F = 4455

F =

F = 135 4) Resposta 350 cards; 3 menino recebeu 100. Soluo: X = cards (substituindo o 1 e 2 pelos valores respectivos)

1 =

(mmc: 1;7)

2 =

3x + 2x = 1750

1 + 2 = 250 5x = 1750

X =

X = 350 cards. -------------------------------------------------------------------------------------------

1 =

. 350 = 150

2 =

. 350 = 100

3 = 350 250 = 100 5) Resposta 200. Soluo: X = livro

1 dia =

1 dia + 2 dia + 3 dia = x

2 dia = (x

)

+ (x

) + 20 = x

3 dia = 20 pginas

+

+ 20 = x

+ .

+ 20 = x

+

+ 20 = x (mmc:5;20)

12x + 6x + 400 = 20x 20x 18x = 400 2x = 400

X =

= 200 pginas

6) Resposta Ouro = 120; Bronze = 50. Soluo: O + P + B = T

T = total

+ 30 +

= T (mmc:5;4)

O =

+

+

=

P = 30 17T + 600 = 20T

B =

20T 17T = 600

3T = 600

T =

= 200 medalhas

----------------------------------------------------------------------

O =

=

. 200 = 120

B =

= . 200 = 50

7) Resposta Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km. Soluo: T = total

1 =

2 =

3 =

1 + 2 + 3 = 60

+

+

= 60 (mmc:7;14)

4T + 6T + 2T = 840 12T = 840

T =

T = 70 4 = 70 60 = 10 8) Resposta Gabriela: 28 anos; Lcia: 21 anos. Soluo:

L + G = 49 anos (substitui a letra L por

)

L =

+ G = 49 (mmc:1;4)

3G + 4G = 196 7G = 196

G =

= 28 anos

L = 49 28 = 21 anos 9) Resposta 135 metros. Soluo:

M = muro

1 dia =

2 dia = 51 metros

+ 51 =

(mmc:5;9)

+

=

18M + 2295 = 35M 35M 18M = 2295 17M = 2295

M =

M = 135 metros. 10) Resposta 144 pginas. Soluo:

P = total

+ 58 =

(mmc:8;9)

Azul =

27P + 4176 = 56P

Vermelha = 58 56P 27P = 4176 29P = 4176

P =

= 144 pginas

Nmeros Naturais O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra maiscula N e estes

nmeros so construdos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que tambm so conhecidos como algarismos indo-arbicos. No sculo VII, os rabes invadiram a ndia, difundindo o seu sistema numrico.

Embora o zero no seja um nmero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos consider-lo como um nmero natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algbricas que os nmeros naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numerao para suprir a deficincia de algo nulo.

Na sequncia consideraremos que os naturais tm incio com o nmero zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos nmeros naturais com a letra N. As reticncias (trs pontos) indicam que este conjunto no tem fim. N um conjunto com infinitos nmeros.

Excluindo o zero do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto ser representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construo dos Nmeros Naturais

- Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vem depois do nmero

dado), considerando tambm o zero. Exemplos: Seja m um nmero natural. a) O sucessor de m m+1. b) O sucessor de 0 1. c) O sucessor de 1 2. d) O sucessor de 19 20. - Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so

chamados nmeros consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 so nmeros consecutivos. b) 5 e 6 so nmeros consecutivos. c) 50 e 51 so nmeros consecutivos. - Vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo

sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos. b) 5, 6 e 7 so consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos. - Todo nmero natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem

antes do nmero dado). Exemplos: Se m um nmero natural finito diferente de zero. a) O antecessor do nmero m m-1. b) O antecessor de 2 1. c) O antecessor de 56 55. d) O antecessor de 10 9.

O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais pares. Embora

uma sequncia real seja outro objeto matemtico denominado funo, algumas vezes utilizaremos a denominao sequncia dos nmeros naturais pares para representar o conjunto dos nmeros naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo conhecido como o conjunto dos nmeros naturais mpares, s vezes tambm chamados, a sequncia dos nmeros mpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A

est contido no conjunto B e o conjunto B est contido no conjunto A. Quando a condio acima for satisfeita, escreveremos A = B (l-se: A igual a B) e quando no for satisfeita denotaremos tal fato por: A B (l-se: A diferente de B). Na definio de igualdade de conjuntos, vemos que no importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do

conjunto A so os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.

Consideraremos agora uma situao em que os elementos dos conjuntos A e B sero

distintos. Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A esto no

conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B esto no conjunto A. Tambm no podemos afirmar que um conjunto maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A diferente do conjunto B.

Operaes com Nmeros Naturais

Na sequncia, estudaremos as duas principais operaes possveis no conjunto dos

nmeros naturais. Praticamente, toda a Matemtica construda a partir dessas duas operaes: adio e multiplicao.

A adio de nmeros naturais

A primeira operao fundamental da Aritmtica tem por finalidade reunir em um s

nmero, todas as unidades de dois ou mais nmeros. Antes de surgir os algarismos indo-arbicos, as adies podiam ser realizadas por meio de tbuas de calcular, com o auxlio de pedras ou por meio de bacos.

Propriedades da Adio

- Fechamento: A adio no conjunto dos nmeros naturais fechada, pois a soma de dois nmeros naturais ainda um nmero natural. O fato que a operao de adio fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A adio uma lei de composio interna no conjunto N.

- Associativa: A adio no conjunto dos nmeros naturais associativa, pois na adio de trs ou mais parcelas de nmeros naturais quaisquer possvel associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com trs nmeros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que igual soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)

- Elemento neutro: No conjunto dos nmeros naturais, existe o elemento neutro que o zero, pois tomando um nmero natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado ser o prprio nmero natural.

- Comutativa: No conjunto dos nmeros naturais, a adio comutativa, pois a ordem das parcelas no altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicao de Nmeros Naturais

a operao que tem por finalidade adicionar o primeiro nmero denominado

multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas so as unidades do segundo nmero denominadas multiplicador.

Exemplo 4 vezes 9 somar o nmero 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 O resultado da multiplicao denominado produto e os nmeros dados que geraram

o produto, so chamados fatores. Usamos o sinal ou ou x, para representar a multiplicao.

Propriedades da multiplicao

- Fechamento: A multiplicao fechada no conjunto N dos nmeros naturais, pois

realizando o produto de dois ou mais nmeros naturais, o resultado estar em N. O fato que a operao de multiplicao fechada em N conhecido na literatura do assunto como: A multiplicao uma lei de composio interna no conjunto N.

- Associativa: Na multiplicao, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro nmero natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60

- Elemento Neutro: No conjunto dos nmeros naturais existe um elemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que seja o nmero natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n 1 . 7 = 7 . 1 = 7

- Comutativa: Quando multiplicamos dois nmeros naturais quaisquer, a ordem dos fatores no altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m 3 . 4 = 4 . 3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um nmero natural pela soma de dois nmeros naturais, o mesmo que

multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Diviso de Nmeros Naturais

Dados dois nmeros naturais, s vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo

est contido no primeiro. O primeiro nmero que o maior denominado dividendo e o outro nmero que menor o divisor. O resultado da diviso chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos nmeros naturais, a diviso no fechada, pois nem sempre possvel dividir um nmero natural por outro nmero natural e na ocorrncia disto a diviso no exata.

Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturais - Em uma diviso exata de nmeros naturais, o divisor deve ser menor do que o

dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma diviso exata de nmeros naturais, o dividendo o produto do divisor pelo

quociente. 35 = 5 x 7 - A diviso de um nmero natural n por zero no possvel pois, se admitssemos que

o quociente fosse q, ento poderamos escrever: n 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que no correto! Assim, a diviso de n por 0 no tem sentido ou ainda dita impossvel.

Potenciao de Nmeros Naturais

Para dois nmeros naturais m e n, a expresso mn um produto de n fatores iguais ao

nmero m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m m aparece n vezes O nmero que se repete como fator denominado base que neste caso m. O nmero

de vezes que a base se repete denominado expoente que neste caso n. O resultado denominado potncia.

Esta operao no passa de uma multiplicao com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 2 2 = 8 43 = 4 4 4 = 64

Propriedades da Potenciao

- Uma potncia cuja base igual a 1 e o expoente natural n, denotada por 1n, ser

sempre igual a 1. Exemplos: a- 1n = 11...1 (n vezes) = 1 b- 13 = 111 = 1 c- 17 = 1111111 = 1

- Se n um nmero natural no nulo, ento temos que no=1. Por exemplo:

- (a) n = 1 - (b) 5 = 1 - (c) 49 = 1 - A potncia zero elevado a zero, denotada por 0o, carente de sentido no contexto do

Ensino Fundamental. - Qualquer que seja a potncia em que a base o nmero natural n e o expoente

igual a 1, denotada por n1, igual ao prprio n. Por exemplo:

- (a) n = n - (b) 5 = 5 - (c) 64 = 64 - Toda potncia 10n o nmero formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a- 103 = 1000 b- 108 = 100.000.000 c- 10o = 1

Exerccios

1. O consecutivo e o antecedente de um nmero natural n sero respectivamente: 2. Se n par, o consecutivo par de n ser? Se n mpar, o consecutivo mpar de

n ser? 3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos

de 1cm cabem no quadrado? 3cm 4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3? 5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto , um centmetro cbico,

precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

6. Faa a potenciao dos seguintes nmeros: a) 2 b) 5 c) 2 d) 64 7. Qual o valor do nmero natural b, tal que 64 = b b b? 8. Qual o elemento do conjunto dos nmeros naturais que divisor de todos os

nmeros? 9. Realize a diviso nos seguintes nmeros naturais: a) 125 : 5 b) 36 : 6 c) 49 : 7 10. Calcule: a) -8 + 5 b) -5 7 c) (-10) (-8) + (-12) (-17)

d) (-5) + (-10) - 14

Respostas

1) Soluo: O antecedente de um nmero n ser n 1, pois aquele que antecede o n. J o consecutivo n + 1. 2) Soluo: Sendo n par, o seu consecutivo ser n + 2, e sendo impar o consecutivo

sendo impar o n ser n + 1. 3) Resposta 9 quadradinhos. Soluo: Temos 9 quadradinhos, ento basta apenas fazermos: 9 x 1 = 9 quadradinhos 4) Resposta 9. Soluo: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes: 3 x 3 = 9. 5) Resposta 27. Soluo: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados: 3 x 3 x 3 = 27 cubinhos. 6) Soluo: a) 2 x 2 x 2 = = 8 b) 5 x 5 x 5 = = 125 c) 2 x 2 = = 4 d) 6 x 6 x 6 x 6 = = 1296 7) Resposta 4. Soluo: R[64] = 4, pois 64 = b b b, ou seja, 64 = b. Esta uma propriedade de

potenciao. A base b e o expoente 3. O nmero que elevado ao cubo fornece o resultado 64 o nmero b = 4.

8) Resposta 1. Soluo: O nmero 1, pois se dividirmos um nmero natural n por 1 obteremos o

prprio n. Por exemplo, 2 mas para 1 garoto, 3 balas para 1 criana, 5 lpis para 1 estudante.

9) Soluo: a) 125 : 5 = = 25

b) 36 : 6 = = 6 c) 49 : 7 = = 7 10) Soluo: a) -8 + 5 = = -3 b) -5 7 = = -12 c) (-10) (-8) + (-12) (-17) = = 10 + 8 12 + 17 = = 25 12 = = 13 d) (-5) + (-10) 14 = = 5 10 14 = = 5 24 = = -19

Conjunto dos Nmeros Inteiros Z Definimos o conjunto dos nmeros inteiros como a reunio do conjunto dos nmeros

naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto denotado pela letra Z (Zahlen=nmero em alemo). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos nmeros inteiros possui alguns subconjuntos notveis: - O conjunto dos nmeros inteiros no nulos:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z {0} - O conjunto dos nmeros inteiros no negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ o prprio conjunto dos nmeros naturais: Z+ = N - O conjunto dos nmeros inteiros positivos:

Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos nmeros inteiros negativos:

Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Mdulo: chama-se mdulo de um nmero inteiro a distncia ou afastamento desse

nmero at o zero, na reta numrica inteira. Representa-se o mdulo por | |. O mdulo de 0 0 e indica-se |0| = 0 O mdulo de +7 7 e indica-se |+7| = 7 O mdulo de 9 9 e indica-se |9| = 9 O mdulo de qualquer nmero inteiro, diferente de zero, sempre positivo. Nmeros Opostos: Dois nmeros inteiros so ditos opostos um do outro quando

apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do nmero 2 -2, e o oposto de -2 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simtrico, de a a, e vice-versa; particularmente

o oposto de zero o prprio zero. Adio de Nmeros Inteiros

Para melhor entendimento desta operao, associaremos aos nmeros inteiros positivos a idia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a idia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) O sinal (+) antes do nmero positivo pode ser dispensado, mas o sinal () antes do

nmero negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adio de nmeros inteiros: O conjunto Z fechado para a adio,

isto , a soma de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3 Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o prprio

z, isto : z + 0 = z 7 + 0 = 7 Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que z + (z) = 0 9 + (9) = 0 Subtrao de Nmeros Inteiros

A subtrao empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a

outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a

outra. A subtrao a operao inversa da adio. Observe que: 9 5 = 4 4 + 5 = 9 diferena subtraendo minuendo Considere as seguintes situaes: 1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sio passou de +3 graus para +6 graus.

Qual foi a variao da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtrao: (+6) (+3) = +3 2- Na tera-feira, a temperatura de Monte Sio, durante o dia, era de +6 graus. Noite,

a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de tera-feira? Esse fato pode ser representado pela adio: (+6) + (3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) (+3) o mesmo que (+5) + (3).

Temos: (+6) (+3) = (+6) + (3) = +3 (+3) (+6) = (+3) + (6) = 3 (6) (3) = (6) + (+3) = 3 Da podemos afirmar: Subtrair dois nmeros inteiros o mesmo que adicionar o

primeiro com o oposto do segundo. Multiplicao de Nmeros Inteiros

A multiplicao funciona como uma forma simplificada de uma adio quando os nmeros so repetidos. Poderamos analisar tal situao como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (2) + (2) + ... + (2) = 30 x (-2) = 60

Observamos que a multiplicao um caso particular da adio onde os valores so repetidos.

Na multiplicao o produto dos nmeros a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou

ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicao de nmeros inteiros, devemos obedecer seguinte regra

de sinais: (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos nmeros Resultado do produto

Iguais Positivo

Diferentes Negativo

Propriedades da multiplicao de nmeros inteiros: O conjunto Z fechado para a

multiplicao, isto , a multiplicao de dois nmeros inteiros ainda um nmero inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z: a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 Comutativa: Para todos a,b em Z: a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o

prprio z, isto : z x 1 = z 7 x 1 = 7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z1=1/z em

Z, tal que z x z1 = z x (1/z) = 1 9 x 91 = 9 x (1/9) = 1 Distributiva: Para todos a,b,c em Z: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5) Diviso de Nmeros Inteiros

Dividendo divisor dividendo: Divisor = quociente 0 Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na diviso exata dos nmeros naturais: 40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36 Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a diviso exata de nmeros inteiros.

Veja o clculo: (20) : (+5) = q (+5) . q = (20) q = (4) Logo: (20) : (+5) = +4 Considerando os exemplos dados, conclumos que, para efetuar a diviso exata de um

nmero inteiro por outro nmero inteiro, diferente de zero, dividimos o mdulo do dividendo pelo mdulo do divisor. Da:

- Quando o dividendo e o divisor tm o mesmo sinal, o quociente um nmero inteiro

positivo. - Quando o dividendo e o divisor tm sinais diferentes, o quociente um nmero inteiro

negativo. - A diviso nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (2) ou

(19) : (5) so divises que no podem ser realizadas em Z, pois o resultado no um nmero inteiro.

- No conjunto Z, a diviso no comutativa, no associativa e no tem a propriedade da existncia do elemento neutro.

1- No existe diviso por zero.

Exemplo: (15) : 0 no tem significado, pois no existe um nmero inteiro cujo produto por zero seja igual a 15.

2- Zero dividido por qualquer nmero inteiro, diferente de zero, zero, pois o produto de qualquer nmero inteiro por zero igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (1) = 0 Potenciao de Nmeros Inteiros

A potncia an do nmero inteiro a, definida como um produto de n fatores iguais. O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente.

an = a x a x a x a x ... x a a multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7) = (-7) x (-7) = 49 (+9) = (+9) x (+9) = 81 - Toda potncia de base positiva um nmero inteiro positivo.

Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potncia de base negativa e expoente par um nmero inteiro positivo. Exemplo: ( 8)2 = (8) . (8) = +64 - Toda potncia de base negativa e expoente mpar um nmero inteiro negativo.

Exemplo: (5)3 = (5) . (5) . (5) = 125 Propriedades da Potenciao: Produtos de Potncias com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os

expoentes. (7)3 . (7)6 = (7)3+6 = (7)9 Quocientes de Potncias com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os

expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 6 = (+13)2 Potncia de Potncia: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 =

(+4)5 . 2 = (+4)10 Potncia de expoente 1: sempre igual base. (+9)1 = +9 (13)1 = 13 Potncia de expoente zero e base diferente de zero: igual a 1. Exemplo: (+14)0 =

1 (35)0 = 1 Radiao de Nmeros Inteiros

A raiz n-sima (de ordem n) de um nmero inteiro a a operao que resulta em outro nmero inteiro no negativo b que elevado potncia n fornece o nmero a. O nmero n o ndice da raiz enquanto que o nmero a o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um nmero inteiro a a operao que resulta em outro nmero inteiro no negativo que elevado ao quadrado coincide com o nmero a.

Observao: No existe a raiz quadrada de um nmero inteiro negativo no conjunto

dos nmeros inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didticos e at mesmo ocorre em

algumas aulas aparecimento de:

9 = 3

mas isto est errado. O certo :

9 = +3

Observamos que no existe um nmero inteiro no negativo que multiplicado por ele

mesmo resulte em um nmero negativo. A raiz cbica (de ordem 3) de um nmero inteiro a a operao que resulta em outro

nmero inteiro que elevado ao cubo seja igual ao nmero a. Aqui no restringimos os nossos clculos somente aos nmeros no negativos.

Exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2 = 8.

(b) 3 8 = 2, pois (2) = -8.

(c) 3 27 = 3, pois 3 = 27.

(d) 3 27 = 3, pois (3) = -27.

Observao: Ao obedecer regra dos sinais para o produto de nmeros inteiros,

conclumos que: (a) Se o ndice da raiz for par, no existe raiz de nmero inteiro negativo. (b) Se o ndice da raiz for mpar, possvel extrair a raiz de qualquer nmero inteiro.

Exerccios 1. Qual o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos? 2. Um nmero inteiro expresso por (53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 101. Qual

esse nmero inteiro? 3. Calcule: a) (+12) + (40) b) (+12) (40) c) (+5) + (16) (+9) (20) d) (3) (6) (+4) + (2) + (15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenas verdadeiras: a) x + (12) = 5 b) x + (+9) = 0 c) x (2) = 6 d) x + (9) = 12 e) 32 + x = 50 f) 0 x = 8 5. Qual a diferena prevista entre as temperaturas no Piau e no Rio Grande do

Sul, num determinado dia, segundo as informaes? Tempo no Brasil: Instvel a ensolarado no Sul. Mnima prevista -3 no Rio Grande do Sul. Mxima prevista 37 no Piau. 6. Qual o produto de trs nmeros inteiros consecutivos em que o maior deles

10? 7. Trs nmeros inteiros so consecutivos e o menor deles +99. Determine o

produto desses trs nmeros. 8. Copie as igualdades substituindo o x por nmeros inteiros de modo que elas

se mantenham: a) (140) : x = 20 b) 144 : x = 4 c) (147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (93) = +45 f) x : (12) = 36 9. Adicionando 846 a um nmero inteiro e multiplicando a soma por 3, obtm-

se +324. Que nmero esse? 10. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e

subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrer com o total?

Respostas

1) Resposta 9. Soluo: Basta identificar os quadrados perfeitos. Os nmeros quadrados perfeitos so: 1 = 1 (menor que dois algarismos) 2 = 4 3 = 9 4 = 16 (dois algarismos) 5 = 25 6 = 36 7 = 49 8 = 64 9 = 81

10 = 100 (mais que dois algarismos) Logo, o maior quadrado perfeito o 9 = 81 2) Resposta 270. Soluo: (53 38 + 40) 51 + (90 7 + 82) + 101 55 51 + 165 + 101 = 270 Portanto, o nmero inteiro 270. 3) Soluo: a) (+12) + (40) = 12 40 = -28 b) (+12) (40) = 12 + 40 = 52 c) (+5) + (16) (+9) (20) = +5 -16 9 + 20 = 25 25 = 0 d) (3) (6) (+4) + (2) + (15) = -3 + 6 4 2 15 = 6 24 = -18 4) Soluo: a) x + (12) = 5 x = -5 + 12 x = 7 b) x + (+9) = 0 x = -9 c) x (2) = 6 x = 6 2 x = 4 d) x + (9) = 12 x = -12 + 9 x = -3 e) 32 + x = 50 x = -50 + 32 x = -18 f) 0 x = 8 x = -8 5) Resposta 40. Soluo: A diferena est entre -3 e +37. Se formos ver... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7... ser +40. 6) Resposta -1320. Soluo: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x+2 = -10 x= -10 -2 x = -12 (-12) . (-12+1) . (-12+2) = -12 . -11 . -10 = - 1320 7) Resposta 999900. Soluo: (x) . (x+1) . (x+2) = ? x= 99 (99) . (99+1) . (99+2) = 99 . 100 . 101 = 999900

8) Soluo: a) (140) : x = 20 x = -20 . -140 x = 2800 b) 144 : x = 4 x = -4 . 144 x = -576 c) (147) : x = +21 x = 21 . -147 x = -3087 d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185 f) x : (12) = 36 x = -36 . -12 x = 432 9) Resposta 738. Soluo: x + (-846) . -3 = 324 x 846 . -3 = 324 -3 (x 846) = 324 -3x + 2538 = 324 3x = 2538 324 3x = 2214

x =

x = 738 10) Resposta 3. Soluo: Seja t o total da adio inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades: t + 8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total reduzido de 5 unidades: Temos: t + 8 - 5 = t + 3 Portanto o total ficar acrescido de 3 unidades.

Conjunto dos Nmeros Racionais Q

Um nmero racional o que pode ser escrito na forma n

m, onde m e n so nmeros

inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a diviso de m por n.

Como podemos observar, nmeros racionais podem ser obtidos atravs da razo entre dois nmeros inteiros, razo pela qual, o conjunto de todos os nmeros racionais denotado por Q. Assim, comum encontrarmos na literatura a notao:

Q = {n

m: m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais no nulos; - Q+ = conjunto dos racionais no negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais no positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representao Decimal das Fraes

Tomemos um nmero racional q

p, tal que p no seja mltiplo de q. Para escrev-lo na

forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo denominador. Nessa diviso podem ocorrer dois casos: 1) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, um nmero finito de algarismos.

Decimais Exatos:

5

2= 0,4

4

1= 0,25

4

35= 8,75

50

153= 3,06

2) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos

nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Peridicos ou Dzimas Peridicas:

3

1= 0,333...

22

1= 0,04545...

66

167= 2,53030...

Representao Fracionria dos Nmeros Decimais Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal,

procuremos escrev-lo na forma de frao. Temos dois casos: 1) Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem

a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero decimal dado:

0,9 = 10

9

5,7 = 10

57

0,76 = 100

76

3,48 = 100

348

0,005 = 1000

5=

200

1

2) Devemos achar a frao geratriz da dzima dada; para tanto, vamos apresentar o

procedimento atravs de alguns exemplos: Exemplo 1 Seja a dzima 0, 333... . Faamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x x = 3,333... 0,333... 9x = 3 x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... a frao9

3.

Exemplo 2 Seja a dzima 5, 1717... . Faamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... a frao 99

512.

Exemplo 3

Seja a dzima 1, 23434... Faamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... . Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... 12,34... 990x = 1222 x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 495

611, a frao geratriz da dzima 1, 23434...

Mdulo ou valor absoluto: a distncia do ponto que representa esse nmero ao

ponto de abscissa zero.

Exemplo: Mdulo de 2

3

2

3. Indica-se

2

3 =

2

3

Mdulo de + 2

3

2

3. Indica-se

2

3 =

2

3

Nmeros Opostos: Dizemos que 2

3 e

2

3 so nmeros racionais opostos ou

simtricos e cada um deles o oposto do outro. As distncias dos pontos 2

3 e

2

3 ao

ponto zero da reta so iguais. Soma (Adio) de Nmeros Racionais Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao,

definimos a adio entre os nmeros racionais b

ae

d

c, da mesma forma que a soma de

fraes, atravs de:

b

a +

d

c =

bd

bcad

Propriedades da Adio de Nmeros Racionais

O conjunto Q fechado para a operao de adio, isto , a soma de dois nmeros racionais ainda um nmero racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o prprio

q, isto : q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (q) = 0 Subtrao de Nmeros Racionais

A subtrao de dois nmeros racionais p e q a prpria operao de adio do nmero p com o oposto de q, isto : p q = p + (q)

Multiplicao (Produto) de Nmeros Racionais Como todo nmero racional uma frao ou pode ser escrito na forma de uma frao,

definimos o produto de dois nmeros racionais b

ae

d

c, da mesma forma que o produto de

fraes, atravs de:

b

a x

d

c =

bd

ac

O produto dos nmeros racionais a e b tambm pode ser indicado por a b, axb, a.b

ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicao de nmeros racionais, devemos obedecer mesma regra

de sinais que vale em toda a Matemtica: (+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois nmeros com o mesmo sinal positivo,

mas o produto de dois nmeros com sinais diferentes negativo. Propriedades da Multiplicao de Nmeros Racionais O conjunto Q fechado para a multiplicao, isto , o produto de dois nmeros

racionais ainda um nmero racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a ( b c ) = ( a b ) c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a b = b a - Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o

prprio q, isto : q 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = b

a em Q, q diferente de zero, existe q-1 =

a

bem Q: q

q-1 = 1 b

ax

a

b = 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a ( b + c ) = ( a b ) + ( a c ) Diviso de Nmeros Racionais

A diviso de dois nmeros racionais p e q a prpria operao de multiplicao do nmero p pelo inverso de q, isto : p q = p q-1

Potenciao de Nmeros Racionais A potncia qn do nmero racional q um produto de n fatores iguais. O nmero q

denominado a base e o nmero n o expoente. qn = q q q q ... q, (q aparece n vezes) Exemplos:

a)

3

5

2

=

5

2 .

5

2 .

5

2 =

125

8

b)

3

2

1

=

2

1 .

2

1 .

2

1=

8

1

c) (5) = (5) . ( 5) = 25 d) (+5) = (+5) . (+5) = 25 Propriedades da Potenciao: Toda potncia com expoente 0 igual a 1.

0

5

2

= 1

- Toda potncia com expoente 1 igual prpria base.

1

4

9

=

4

9

- Toda potncia com expoente negativo de um nmero racional diferente de zero

igual a outra potncia que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

2

5

3

=

2

3

5

=

9

25

- Toda potncia com expoente mpar tem o mesmo sinal da base.

3

3

2

=

3

2 .

3

2 .

3

2 =

27

8

- Toda potncia com expoente par um nmero positivo.

2

5

1

=

5

1 .

5

1 =

25

1

- Produto de potncias de mesma base. Para reduzir um produto de potncias de

mesma base a uma s potncia, conservamos a base e somamos os expoentes. 2

5

2

.

3

5

2

=

532

5

2

5

2

5

2.

5

2.

5

2.

5

2.

5

2

- Quociente de potncias de mesma base. Para reduzir um quociente de potncias de mesma base a uma s potncia, conservamos a base e subtramos os expoentes.

32525

2

3

2

3

2

3.

2

32

3.

2

3.

2

3.

2

3.

2

3

2

3:

2

3

- Potncia de Potncia. Para reduzir uma potncia de potncia a uma potncia de um

s expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 623222222

32

2

1

2

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1

2

1

Radiciao de Nmeros Racionais Se um nmero representa um produto de dois ou mais fatores iguais, ento cada fator

chamado raiz do nmero. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2.

Exemplo 2

9

1 Representa o produto

3

1.3

1ou

2

3

1

.Logo,

3

1 a raiz quadrada de

9

1.Indica-se

9

1=

3

1

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 a raiz cbica de 0,216.

Indica-se 3 216,0 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama: Um nmero racional, quando elevado ao quadrado, d o nmero zero ou um nmero

racional positivo. Logo, os nmeros racionais negativos no tm raiz quadrada em Q.

O nmero 9

100 no tem raiz quadrada em Q, pois tanto

3

10 como

3

10 , quando

elevados ao quadrado, do 9

100.

N

Z Q

Um nmero racional positivo s tem raiz quadrada no conjunto dos nmeros racionais se ele for um quadrado perfeito.

O nmero 3

2 no tem raiz quadrada em Q, pois no existe nmero racional que

elevado ao quadrado d 3

2.

Exerccios

1. Calcule o valor das expresses numricas:

a) 24

7

4

3

6

7

8

1

12

5

b)

2

5

12

1:

16

3

2

7

4

9

2. Escreva o produto

73

3

2.

3

2

como uma s potncia.

3. Escreva o quociente

412

25

16:

25

16

como uma s potncia.

4. Qual o valor da expresso

4

3:

2

1

24

133

?

5. Para encher um lbum de figurinhas, Karina contribuiu com

das figurinhas,

enquanto Cristina contribuiu com

das figurinhas. Com que frao das figurinhas

as duas juntas contriburam?

6. Ana est lendo um livro. Em um dia ela leu

do livro e no dia seguinte leu

do

livro. Ento calcule: a) A frao do livro que ela j leu. b) A frao do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote h

de 1 Kg de acar. Em outro pacote h

. Quantos quilos de

acar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cludia mora est sendo asfaltada. Os

da rua j foram asfaltados.

Que frao da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lanamento de um prdio de apartamentos,

desses apartamentos

foi vendido e

foi reservado. Assim:

a) Qual a frao dos apartamentos que foi vendida e reservada?

b) Qual a frao que corresponde aos apartamentos que no foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em frao: a) 2,08 b) 1,4 c) 0,017 d) 32,17

Respostas

1) Soluo:

a) 24

7

4

3

6

7

8

1

12

5

b)

2

5

12

1:

16

3

2

7

4

9

mmc:(4;2)=4 2) Soluo:

10

3

2

3) Soluo:

8

25

16

4) Soluo:

4

3:

2

1

24

133

5) Resposta

Soluo:

6) Soluo:

a)

b)

7) Respostas

Soluo:

8) Resposta

Soluo:

9) Soluo:

a)

b)

10) Soluo:

a) 2,08

b) 1,4

c) 0,017

d) 32,17

Nmeros irracionais Os nmeros racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma

frao a/b onde a e b so dois nmeros inteiros, com a condio de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemtica da diviso por zero.

Vimos tambm, que todo nmero racional pode ser escrito na forma de um nmero decimal peridico, tambm conhecido como dzima peridica.

Vejam os exemplos de nmeros racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... - 2 / 3 = - 0, 666666... 1 / 3 = 0, 333333... 2 / 1 = 2 = 2, 0000... 4 / 3 = 1, 333333... - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 0 = 0, 000... Existe, entretanto, outra classe de nmeros que no podem ser escritos na forma de

frao a/b, conhecidos como nmeros irracionais.

Exemplo O nmero real abaixo um nmero irracional, embora parea uma dzima peridica: x

= 0,10100100010000100000... Observe que o nmero de zeros aps o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem

infinitos nmeros reais que no so dzimas peridicas e dois nmeros irracionais muito importantes, so:

e = 2,718281828459045...,

Pi ( ) = 3,141592653589793238462643... Que so utilizados nas mais diversas aplicaes prticas como: clculos de reas,

volumes, centros de gravidade, previso populacional, etc. Classificao dos Nmeros Irracionais

Existem dois tipos de nmeros irracionais: - Nmeros reais algbricos irracionais: so razes de polinmios com coeficientes

inteiros. Todo nmero real que pode ser representado atravs de uma quantidade finita de somas, subtraes, multiplicaes, divises e razes de grau inteiro a partir dos nmeros

inteiros um nmero algbrico, por exemplo, . A recproca no verdadeira: existem nmeros algbricos que no podem ser

expressos atravs de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. - Nmeros reais transcendentes: no so razes de polinmios com coeficientes

inteiros. Vrias constantes matemticas so transcendentes, como pi ( ) e o nmero de

Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais nmeros transcendentes do que nmeros algbricos (a comparao entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definio mais genrica de nmeros algbricos e transcendentes feita usando-se nmeros complexos.

Identificao de nmeros irracionais

Fundamentado nas explanaes anteriores, podemos afirmar que: - Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais. - Todos os nmeros inteiros so racionais. - Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais. - Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais. - Todas as razes inexatas so nmeros irracionais. - A soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero

irracional. - A diferena de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: - = 0 e 0 um nmero racional. - O quociente de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: : = = 2 e 2 um nmero racional. - O produto de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: . = = 5 e 5 um nmero racional. - A unio do conjunto dos nmeros irracionais com o conjunto dos nmeros racionais,

resulta num conjunto denominado conjunto R dos nmeros reais.

- A interseo do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais, no possui elementos comuns e, portanto, igual ao conjunto vazio ( ).

Simbolicamente, teremos: Q I = R Q I =

Nmeros Fracionrios

Adio e Subtrao Fraes com denominadores iguais:

Exemplo

Jorge comeu 8

3 de um tablete de chocolate e Miguel

8

2desse mesmo tablete. Qual a

frao do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos? A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela tambm esto representadas

as fraes do tablete que Jorge e Miguel comeram:

3/8 2/8 5/8

Observe que 8

3+

8

2 =

8

5

Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos 8

5 do tablete de chocolate.

Na adio e subtrao de duas ou mais fraes que tm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtramos os numeradores.

Outro Exemplo:

2

1

2

753

2

7

2

5

2

3

Fraes com denominadores diferentes:

Calcular o valor de 6

5

8

3 . Inicialmente, devemos reduzir as fraes ao mesmo

denominador comum:

mmc (8,6) = 24 6

5

8

3 =

24

20

24

9

24 : 8 . 3 = 9 24 : 6 . 5 = 20 Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, simplificando o resultado, quando

possvel:

24

20

24

9 =

24

29

24

209

Portanto: 6

5

8

3 =

24

20

24

9 =

24

29

24

209

Na adio e subtrao de duas ou mais fraes que tm os denominadores diferentes,

reduzimos inicialmente as fraes ao menor denominador comum, aps o que procedemos como no primeiro caso.

Multiplicao

Exemplo

De uma caixa de frutas, 5

4 so bananas. Do total de bananas,

3

2 esto estragadas.

Qual a frao de frutas da caixa que esto estragadas?

Representa 4/5 do contedo da caixa

Representa 2/3 de 4/5 do contedo da caixa.

Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de 3

2de

5

4que, de

acordo com a figura, equivale a 15

8 do total de frutas. De acordo com a tabela acima,

3

2de

5

4equivale a

3

2.

5

4. Assim sendo:

3

2.

5

4=

15

8

Ou seja:

3

2de

5

4=

3

2.

5

4=

5.3

4.2=

15

8

O produto de duas ou mais fraes uma frao cujo numerador o produto dos

numeradores e cujo denominador o produto dos denominadores das fraes dadas.

Outro exemplo: 3

2.

5

4.

135

56

9.5.3

7.4.2

9

7

Observao: Sempre que possvel, antes de efetuar a multiplicao, podemos simplificar as fraes entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificao recebe o nome de cancelamento.

1

1

3

2.

5

4.

25

12

10

95

3

Diviso

Duas fraes so inversas ou recprocas quando o numerador de uma o

denominador da outra e vice-versa. Exemplo

3

2 a frao inversa de

2

3

5 ou 1

5 a frao inversa de

5

1

Considere a seguinte situao:

Lcia recebeu de seu pai os 5

4dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de

chocolates recebidos, Lcia deu a tera parte para o seu namorado. Que frao dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lcia?

A soluo do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lcia recebeu de

seu pai por 3, ou seja, 5

4: 3.

Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular 3

1desse algo.

Portanto: 5

4: 3 =

3

1de

5

4

Como 3

1 de

5

4=

3

1.

5

4=

5

4.

3

1, resulta que

5

4: 3 =

5

4:

1

3=

5

4.

3

1

So fraes inversas

Observando que as fraes 1

3 e

3

1 so fraes inversas, podemos afirmar que:

Para dividir uma frao por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.

Portanto 5

4: 3 =

5

4:

1

3 =

5

4.

3

1=

15

4

Ou seja, o namorado de Lcia recebeu 15

4do total de chocolates contidos na caixa.

Outro exemplo: 6

5

8

5.

3

4

5

8:

3

42

1

Observao:

Note a expresso:

5

12

3

. Ela equivalente expresso 5

1:

2

3.

Portanto

5

12

3

= 5

1:

2

3 =

1

5.

2

3=

2

15

Nmeros Decimais

Adio e Subtrao

Vamos calcular o valor da seguinte soma: 5,32 + 12,5 + 0, 034 Transformaremos, inicialmente, os nmeros decimais em fraes decimais:

5,32 + 12,5 + 0, 034 = 1000

34

10

125

100

352

1000

17854

1000

34

1000

12500

1000

5320 = 17, 854

Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854 Na prtica, a adio e a subtrao de nmeros decimais so obtidas de acordo com a

seguinte regra: - Igualamos o nmero de casas decimais, acrescentando zeros. - Colocamos os nmeros um abaixo do outro, deixando vrgula embaixo de vrgula. - Somamos ou subtramos os nmeros decimais como se eles fossem nmeros

naturais. - Na resposta colocamos a vrgula alinhada com a vrgula dos nmeros dados. Exemplo 2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5 Disposio prtica:

2,3500 14,3000 0,0075 5,0000 21,6575 Multiplicao Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4. Transformaremos, inicialmente, os nmeros decimais em fraes decimais:

2,58 x 3,4 = 772,81000

8772

10

34.

100

258

Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772 Na prtica, a multiplicao de nmeros decimais obtida de acordo com as seguintes

regras: - Multiplicamos os nmeros decimais como se eles fossem nmeros naturais. - No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator

somadas s do segundo fator. Exemplo: 652,2 x 2,03 Disposio prtica: 652,2 1 casa decimal X 2,03 2 casas decimais 19 566 1 304 4 1 323,966 1 + 2 = 3 casas decimais DIVISO

Numa diviso em que: D o dividendo d o divisor temos: D d q o quociente r q r o resto Numa diviso, o resto sempre menor que o divisor

Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte diviso: 24 : 0,5. Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da diviso dada por 10.

D = q . d + r

24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5 A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em nmero natural o nmero

decimal que aparecia na diviso. Com isso, a diviso entre nmeros decimais se transforma numa equivalente com nmeros naturais.

Portanto: 24 : 0,5 = 240 : 5 = 48 Na prtica, a diviso entre nmeros decimais obtida de acordo com as seguintes

regras: - Igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor. - Cortamos as vrgulas e efetuamos a diviso como se os nmeros fossem naturais. Exemplo 1 24 : 0,5 Disposio prtica: 24,0 0,5

40 48 0 Nesse caso, o resto da diviso igual zero. Assim sendo, a diviso chamada de

diviso exata e o quociente exato. Exemplo 2

9,775 : 4,25 Disposio prtica: 9,775 4,250 1 275 2 Nesse caso, o resto da diviso diferente de zero. Assim sendo, a diviso chamada

de diviso aproximada e o quociente aproximado. Se quisermos continuar uma diviso aproximada, devemos acrescentar zeros aos

restos e prosseguir dividindo cada nmero obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vrgula no quociente.

9,775 4,250 9,775 4,250 1 2750 2, 1 2750 2,3

0000 Acrescentamos um zero ao primeiro resto. Colocamos uma vrgula no

quociente. . Exemplo 3

0,14 : 28 0,14000 28,00 0000 0,005 Exemplo 4

2 : 16 20 16 40 0,125 80

0

Exerccios 1. Indique as divises em forma de frao: a) 14 : 7 b) 18 : 8 c) 5 : 1 d) 15 : 5 e) 18 : 9 f) 64 : 8

2. Efetue as adies: a) 3/6 + 2/6 b) 13/7 + 1/7 c) 2/7+ 1/7 + 5/7 d) 4/10 + 1/10 + 3/10 3. Efetue as subtraes: a) 7/9 5/9 b) 9/5 2/5 c) 2/3 1/3 d) 8/3 2/3

Respostas

1) Soluo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2) Soluo:

a)

b)

c)

d)

3) Soluo

a)

b)

c)

d)

Nmeros Primos

Um nmero natural um nmero primo quando ele tem exatamente dois divisores: o

nmero um e ele mesmo.

Nos inteiros, um primo se ele tem exatamente quatro divisores: e . Uma definio um pouco mais tcnica, que permite generalizar este conceito para outros conjuntos, dizer que o conjunto dos divisores de p que no so inversveis no vazio, e todos seus elementos so produtos de p por inteiros inversveis.

Por definio, 0, 1 e 1 no so nmeros primos. Existem infinitos nmeros primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300

a.C.. A propriedade de ser um primo chamada "primalidade", e a palavra "primo" tambm

so utilizadas como substantivo ou adjetivo. Como "dois" o nico nmero primo par, o termo "primo mpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Se um nmero inteiro tem mdulo maior que um e no primo, diz-se que composto. Por conveno, os nmeros 0, 1 e -1 no so considerados primos nem compostos.

O conceito de nmero primo muito importante na teoria dos nmeros. Um dos resultados da teoria dos nmeros o Teorema Fundamental da Aritmtica, que afirma que qualquer nmero natural diferente de 1 pode ser escrito de forma nica (desconsiderando a ordem) como um produto de nmeros primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposio em fatores primos (fatorao).

Os 100 primeiros nmeros primos positivos so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541

Exemplos

1 no primo pois D(1)={1} 2 primo pois D(2)={1,2} 3 primo pois D(3)={1,3} 5 primo pois D(5)={1,5} 7 primo pois D(7)={1,7} 14 no primo pois D(14)={1,2,7,14} Observao: 1 no primo pois tem apenas 1 divisor e todo nmero natural pode ser

escrito como o produto de nmeros primos, de forma nica. Mltiplos e Divisores

Diz-se que um nmero natural a mltiplo de outro natural b, se existe um nmero

natural k tal que: a = k . b Exemplo 1

15 mltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5.

Quando a = k x b, segue que a mltiplo de b, mas tambm, a mltiplo de k, como

o caso do nmero 35 que mltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5. Quando a = k x b, ento a mltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos

os seus mltiplos, basta fazer k assumir todos os nmeros naturais possveis. Por exemplo, para obter os mltiplos de 2, isto , os nmeros da forma a = k x 2, k

seria substitudo por todos os nmeros naturais possveis. Observao: Um nmero b sempre mltiplo dele mesmo. a = 1 x b a = b. Exemplo 2

Basta tomar o mesmo nmero multiplicado por 1 para obter um mltiplo dele prprio: 3

= 1 x 3 A definio de divisor est relacionada com a de mltiplo. Um nmero natural b divisor do nmero natural a, se a mltiplo de b. Exemplo 3 3 divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 mltiplo de 3 e tambm mltiplo de 5. Um nmero natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o nmero 6 poder ter no mximo 6 divisores, pois trabalhando no

conjunto dos nmeros naturais no podemos dividir 6 por um nmero maior do que ele. Os divisores naturais de 6 so os nmeros 1, 2, 3, 6, o que significa que o nmero 6 tem 4 divisores.

Exerccios

1. Para encontrar os divisores de um nmero natural a, basta saber quais os

elementos que, multiplicados entre si, tm por resultado o nmero a. Com base nessa afirmao, encontre o conjunto de divisores de cada um dos seguintes nmeros: 25, 32, 13, 18 e 60.

2. Joo tinha 20 bolinhas de gude e queria distribu-las entre ele e 3 amigos de

modo que cada um ficasse com um nmero par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo nmero que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

3. Seja b um nmero natural. Sabendo-se que 64 = b b b obtenha o valor de b. 4. Escreva trs nmeros diferentes cujos nicos fatores primos so os nmeros

2 e 3. 5. Quantos elementos possuem e como escrito o conjunto dos mltiplos do

elemento o?

6. De que forma explcita podemos escrever o conjunto de todos os mltiplos de um nmero natural n?

7. Maria possui 3 tias. No aniversrio de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada

tia. Quantos presentes Maria ganhou no total? 8. Qual o elemento do conjunto dos nmeros naturais que divisor de todos os

nmeros? 9. O nmero 5 divisor do nmero 16? Justifique a sua resposta. 10. Qual o menor nmero primo com dois algarismos?

Respostas

1) Soluo: D(25) = {1, 5, 25} D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} D(13) = {1, 13} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} Encontramos apenas alguns nmeros naturais que, multiplicados entre si, tm por

resultado 32: 1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 32 8 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32 2) Soluo: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobraro 18 bolinhas para os outros 3

meninos. Se o segundo receber 4, sobraro 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receber 6 bolinhas e o quarto receber 8 bolinhas.

3) Resposta b = 4. Soluo: R3[64] = 4. Temos que 64 = b b b, ou seja, 64 = b3. Esta uma propriedade de potenciao. A

base b e o expoente 3. O nmero que elevado ao cubo fornece o resultado 64 o nmero b = 4.

4) Resposta 12, 18, 108. Soluo: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos esto na justificativa

abaixo. Para chegarmos a alguns nmeros que possuem por fatores apenas os nmeros 2 e 3

no precisamos escolher um nmero e fator-lo. O meio mais rpido de encontrar um nmero que possui por nicos fatores os nmeros 2 e 3 "cri-lo" multiplicando 2 e 3 quantas vezes quisermos.

Exemplos: 2 x 2 x 3 = 12 3 x 3 x 2 = 18

2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108. 5) Soluo: Possui apenas um elemento e o conjunto de mltiplos de o escrito da forma: M(o) =

{o} O conjunto de mltiplos de o chamado de conjunto unitrio, por que: M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...} M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o} 6) Soluo: M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...} Seja N o conjunto dos nmeros naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...} Se n um nmero do qual queremos obter os mltiplos, ento a multiplicao de n por

cada elemento de N da forma: M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...} 7) Resposta 6 presentes. Soluo: 2 x 3 = 6. Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes. 8) Resposta nmero 1. Soluo: O nmero 1. Se dividirmos um nmero natural n por 1 obteremos o prprio n. Por exemplo, 2 mas para 1 garoto, 3 balas para 1 criana, 5 lpis para 1 estudante. 9) Resposta Errado. Soluo: No, porque no existe qualquer nmero natural que multiplicado por 5 seja igual a 16. 10) Resposta nmero 11.

MDC e MMC de Nmeros MDC O mximo divisor comum de dois ou mais nmeros o maior nmero que

divisor comum de todos os nmeros dados. Consideremos: - o nmero 18 e os seus divisores naturais: D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. - o nmero 24 e os seus divisores naturais: D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24: D+ (18) D+ (24) = {1, 2, 3, 6}. Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos

nmeros 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6. Outra tcnica para o clculo do MDC: Decomposio em fatores primos

Para obtermos o mdc de dois ou mais nmeros por esse processo, procedemos da seguinte maneira:

- Decompomos cada nmero dado em fatores primos. - O mdc o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor

expoente. Exemplo

Achar o mdc entre 300 e 504. 300 2 504 2 300 = 22 . 3 . 52 150 2 252 2 504 = 23 . 32 . 7 75 3 126 2 25 5 63 3 mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12 5 5 21 3 1 7 7 1

MMC O mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros o menor nmero positivo que

mltiplo comum de todos os nmeros dados. Consideremos: - O nmero 6 e os seus mltiplos positivos: M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} - O nmero 8 e os seus mltiplos positivos:

M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...} Podemos descrever, agora, os mltiplos positivos comuns: M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...} Observando os mltiplos comuns, podemos identificar o mnimo mltiplo comum dos

nmeros 6 e 8, ou seja: MMC (6,8) = 24 Outra tcnica para o clculo do MMC: Decomposio isolada em fatores primos

Para obter o mmc de dois ou mais nmeros por esse processo, procedemos da

seguinte maneira: - Decompomos cada nmero dado em fatores primos. - O mmc o produto dos fatores comuns e no-comuns, cada um deles elevado ao seu

maior expoente. Exemplo Achar o mmc entre 18 e 120. 18 2 120 2 18 = 2 . 32 9 3 60 2 120 = 23 . 3 . 5 3 3 30 2 1 15 3 mmc (18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 . 9 . 5 = 360 5 5 1

Fatorao

Fatorar uma expresso algbrica modificar sua forma de soma algbrica para

produto; fatorar uma expresso obter outra expresso que: - Seja equivalente expresso dada; - Esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatorao um

produto notvel. H diversas tcnicas de fatorao, supondo a, b, x e y expresses no fatorveis. Fator Comum

Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numrico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidncia esse fator comum, simplificamos a expresso deixando em parnteses a soma algbrica. Observe os exemplos abaixo:

ax + ay = a (x + y) 12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2)

Agrupamento

Devemos dispor os termos do polinmio de modo que formem dois ou mais grupos

entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidncia. Observe:

ax + ay + bx + by =

= a (x + y) +b (x + y) = = (a + b) (x + y) = Diferena de Quadrados

Utilizamos a fatorao pelo mtodo de diferena de quadrados sempre que

dispusermos da diferena entre dois monmios cujas literais tenham expoentes pares. A fatorao algbrica de tais expresses obtida com os seguintes passos:

- Extramos as razes quadradas dos fatores numricos de cada monmio; - Dividimos por dois os expoentes das literais; - Escrevemos a expresso como produto da soma pela diferena dos novos monmios

assim obtidos. Por exemplo, a expresso a2 b2 seria fatorada da seguinte forma: a2 b2 = (a = b) (a b) Trinmio Quadrado Perfeito

Uma expresso algbrica pode ser identificada como trinmio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferena entre dois monmios.

Por exemplo, o trinmio x4 + 4x2 + 4 quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2.

So, portanto, trinmios quadrados perfeitos todas as expresses da forma a2 2ab + b2, fatorveis nas formas seguintes:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Trinmio Quadrado da Forma ax2 + bx + c

Supondo sejam x1 e x2 as razes reais do trinmio, ax

2 + bx + c (a 0), dizemos que: ax2 + bx + c = a (x x1)(x x2)

Lembre-se de que as razes de uma equao de segundo grau podem ser calculadas

atravs da frmula de Bhaskara: (

, onde = b2 4ac)

Soma e Diferena de Cubos Se efetuarmos o produto do binmio a + b pelo trinmio a ab + b, obtemos o

seguinte desenvolvimento: (a + b) (a2 ab + b2) = a3 a2b + ab2 + a2b ab2 + b3 (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 Analogamente, se calcularmos o produto de a b por a2 + ab + b2, obtemos a3 b3. O que acabamos de desenvolver foram produtos notveis que nos permitem concluir

que, para fatorarmos uma soma ou diferena de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Exerccios 1. Fatore o seguinte polinmio: 10ax + 15bx 2. Fatore o polinmio y5 2y4 + y 3. Qual a forma fatorada do polinmio 8a4b - 20ab5? 4. Fatorar o polinmio x(m + n) y(m + n) 5. Resolva a equao x 6x = 0, no conjunto R. 6. Verifique se o trinmio 9x 12xy + 4y quadrado perfeito. 7. Verifique se 16b 24b + 25 quadrado perfeito. 8. Qual a forma fatorada do polinmio a4b + ab4? 9. Fatorar x3 4x + 4x

10. Considere o polinmio a3 ax. Procure fator-lo de maneira completa, ou seja, efetuando todas as fatoraes possveis.

Respostas

1) Soluo: Podemos notar que o fator comum 5x. 10ax + 15bx = = 5x(2a + 3b) (10ax : 5x) (15bx : 5x) Logo, a forma fatorada do polinmio dado 5x(2a + 3b). 2) Soluo: Podemos notar que o fator comum y3. y5 2y4 + y = = y3(y 2y + 1) (y3 : y3) (y5 : y3) (2y4 : y3) Logo, a forma fatorada do polinmio dado y3(y 2y + 1). 3) Soluo: O fator comum : 4a3b. 8a4b - 20ab5 = = 4a3b (2a 5b3) (20ab5 : 4a3b) (8a4b : 4a3b) Logo, a forma do polinmio dado 4a3b(2a 5b). 4) Soluo: O fator comum : (m + n). x(m + n) y(m + n) = = (m + n)(x y) [y(m + n)] : (m + n) [x (m + n)] : (m + n) Logo, a forma fatorada do polinmio dado (m + n)(x y). 5) Soluo: x 6x = 0 x(x 6) = 0 colocando o fator x em evidncia Lembre-se: se a . b = 0, ento a = 0 e b = 0. Portanto, na forma fatorada temos: x = 0 (1 raiz) ou x 6 = 0 x = 6 (2 raiz) Logo, S = {0, 6}.

6) Soluo: Existem dois termos quadrados 9x e 4y

e

2 . 3x . 2y = 12xy termo restante do trinmio dado. Logo, 9x 12xy + 4y quadrado perfeito. Fatorando o polinmio temos: 9x 12xy + 4y = (3x 2y)(3x 2y) = (3x 2y) 7) Soluo: Existem dois termos quadrados: 16b e 25.

e

2 . 4b . 5 = 40b No corresponde ao termo restante do trinmio. Logo, 16b 24b + 25 no um trinmio de quadrado perfeito. 8) Soluo: a4b + ab4 = = ab(a3 + b3) = = ab(a + b)(a ab + b). 9) Soluo: x3 4x + 4x = = x(x 4x + 4) = = x(x 2). 10) Soluo: Primeiro, como existe um fator comum, colocamos em evidncia: a3 ax = a(a x) Porm, a fatorao no est completa, pois o fator (a x) representa uma diferena

de dois quadrados e, portanto, pode ser fatorado novamente: a3 ax = a(a x) = a(a + x)(a x).

Juros Simples

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que

deve ser paga por um devedor, pela utilizao de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

- Os juros so representados pela letra j. - O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e representado

pela letra C. - O tempo de depsito ou de emprstimo representado pela letra t. - A taxa de juros a razo centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo.

representado pela letra i e utilizada para calcular juros. Chamamos de simples os juros que so somados ao capital inicial no final da

aplicao. Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade: Taxa anual --------------------- tempo em anos Taxa mensal-------------------- tempo em meses Taxa diria---------------------- tempo em dias Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:

Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo

de 4 meses, taxa de 2% ao ms. Quanto dever ser pago de juros? Resoluo:

- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00 - Tempo de aplicao (t): 4 meses - Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao ms)

Fazendo o clculo, ms a ms: - No final do 1 perodo (1 ms), os juros sero: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00 - No final do 2 perodo (2 meses), os juros sero: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00 - No final do 3 perodo (3 meses), os juros sero: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00 - No final do 4 perodo (4 meses), os juros sero: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00 Desse modo, no final da aplicao, devero ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o clculo, perodo a perodo: - No final do 1 perodo, os juros sero: i.C - No final do 2 perodo, os juros sero: i.C + i.C - No final do 3 perodo, os juros sero: i.C + i.C + i.C ------------------------------------------------------------------------------ - No final do perodo t, os juros sero: i.C + i.C + i.C + ... + i.C Portanto, temos:

J = C . i . t Observaes:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa frmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na frmula

J= C . i . t, temos quatro variveis. Se trs delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4 valor.

M=C+ j

Exemplo

A que taxa esteve empregado