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Imersão Matemática – PA e PG

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1. (Unifesp) Em um experimento, uma população

inicial de 100 bactérias dobra a cada 3 horas. Sendo

y o número de bactérias após x horas, segue que

x

3y 100 2 .

a) Depois de um certo número de horas a partir do

início do experimento, a população de bactérias

atingiu 1.677.721.600. Calcule esse número de

horas. (dado: 316.777.216 256 )

b) Sabendo-se que da 45ª para a 48ª hora o número

de bactérias aumentou de k100 2 , calcule o valor

de k. 2. (Unicamp) Sabendo que a e b são números reais,

considere o polinômio cúbico 3 2p(x) x ax bx 1.

a) Mostre que, se r é uma raiz de p(x), então 1

r é

uma raiz do polinômio 3 2q(x) x bx ax 1.

b) Determine os valores de a e b para os quais a

sequência (p( 1), p(0), p(1)) é uma progressão

aritmética (PA), cuja razão é igual a p(2).

3. (Fuvest) Dadas as sequências 2na n 4n 4,

2nnb 2 , n n 1 nc a a e n 1

nn

bd ,

b

definidas para

valores inteiros positivos de n, considere as seguintes

afirmações:

I. na é uma progressão geométrica;

II. nb é uma progressão geométrica;

III. nc é uma progressão aritmética;

IV. nd é uma progressão geométrica.

São verdadeiras apenas a) I, II e III. b) I, II e IV. c) I e III. d) II e IV. e) III e IV. 4. (Fuvest) Os números a1, a2, a3 formam uma

progressão aritmética de razão r, de tal modo que 1α +

3, 2α - 3, 3α – 3 estejam em progressão geométrica.

Dado ainda que 1α > 0 e 2α = 2, conclui-se que r é

igual a

a) 3 + 3

b) 3

32

c) 3 +3

4

d) 3 -3

2

e) 3 - 3

5. (Fuvest) Sabe-se sobre a progressão geométrica

a1, a2, a3, ... que a1 > 0 e a6 = - 9 3 . Além disso, a

progressão geométrica a1, a5, a9, ... tem razão igual a

9.

Nessas condições, o produto a2a7 vale

a) - 27 3

b) - 3 3

c) - 3

d) 3 3

e) 27 3

6. (Fuvest) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números

estritamente positivos tais que log2 a1, log2 a2, log2 a3,

log2 a4, log2 a5 formam, nesta ordem, uma progressão

aritmética de razão 1

2. Se a1 = 4, então o valor da

soma a1 + a2 + a3 + a4 + a5 é igual a

a) 24 + 2

b) 24 + 2 2

c) 24 + 12 2

d) 28 + 12 2

e) 28 + 18 2 7. (Fuvest) Três números positivos, cuja soma é 30,

estão em progressão aritmética. Somando-se,

respectivamente, 4, - 4 e - 9 aos primeiro, segundo e

terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos

três números em progressão geométrica. Então, um

dos termos da progressão aritmética é

a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 8. (Fuvest) Sejam a e b nתmeros reais tais que:

(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;

(ii) 2a, 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.

Entדo o valor de a י:

a) 2/3 b) 4/3 c) 5/3 d) 7/3 e) 8/3 9. (Fuvest) Um número racional r tem representação

decimal da forma r = a1a2,a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤



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9, 0 ≤ a3 ≤ 9.

Supondo-se que:

- a parte inteira de r é o quádruplo de a3,

- a1,a2,a3 estão em progressão aritmética,

- a2 é divisível por 3,

então a3 vale:

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 10. (Fuvest) No plano cartesiano, os comprimentos de

segmentos consecutivos da poligonal, que começa na

origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma

progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1.

Dois segmentos consecutivos são sempre

perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do

ponto B = (x,y) vale:

a)

12

4

1 p

1 p

b)

12

2

1 p

1 p

c)

16

2

1 p

1 p

d)

16

2

1 p

1 p

e)

20

4

1 p

1 p

11. (Fuvest) Uma progressão aritmética e uma

progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo

igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são

estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que

o segundo termo da progressão aritmética excede o

segundo termo da progressão geométrica em 2.

Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12

c) 14 d) 16 e) 18 12. (Fuvest) Sejam a, b, c três números estritamente

positivos em progressão aritmética. Se a área do

triângulo ABC, cujos vértices são A=(-a,0), B=(0,b) e

C=(c,0), é igual a b, então o valor de b é:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 13. (Unicamp) Seja x um número real, 0 x 2,π

tal que a sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão

aritmética (PA). Então, a razão dessa PA é igual a a) 1. b) 5 4.

c) 4 3.

d) 1 3.

14. (Unicamp) Considere o triângulo exibido na figura

abaixo, com lados de comprimentos a, b e c e

ângulos ,α β e .γ

a) Suponha que a sequência ( , , )α β γ é uma

progressão aritmética (PA). Determine a medida do

ângulo .β

b) Suponha que a sequência (a, b, c) é uma

progressão geométrica (PG) de razão q 2.

Determine o valor de tan .β

15. (Mackenzie) Se log2, xlog(2 1) e xlog(2 3),

nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor de x é a) 2 b) 2log 3

c) 2log 5

d) 32

e) 52 16. (Unicamp) Se 1 2 13( , ,..., )α α α é uma progressão

aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então 7α

é igual a a) 6.



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b) 7. c) 8. d) 9. 17. (Enem) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de

funcionamento, uma indústria fabricou 8.000

unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas

máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-

se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de

50%. Considere P a quantidade anual de produtos

fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que

determina o número de unidades produzidas P em

função de t, para t 1?

a) 1P(t) 0,5 t 8.000

b) 1P(t) 50 t 8.000

c) 1P(t) 4.000 t 8.000

d) t 1P(t) 8.000 (0,5)

e) t 1P(t) 8.000 (1,5)

18. (Unicamp) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m2. b) 2,0 m2. c) 1,5 m2. d) 3,5 m2. 19. (Unifesp) A sequência (12,a,b), denominada S1, e

a sequência (c,d,e), denominada S2, são progressões aritméticas formadas por números reais. a) Somando 1 ao segundo termo e 5 ao terceiro termo

de S1, a nova sequência de três números reais passa a ser uma progressão geométrica crescente. Calcule a razão dessa PG.

b) Aplicando a função trigonométrica seno aos três termos de S2, a nova sequência que se forma tem soma dos três termos igual a zero, e termo do meio diferente de zero. Determine a razão r de S2, para o

caso em que r .2

ππ

20. (Fgv) Um anfiteatro tem 12 fileiras de cadeiras. Na

1ª fileira há 10 lugares, na 2ª há 12, na 3ª há 14 e assim por diante (isto é, cada fileira, a partir da segunda, tem duas cadeiras a mais que a da frente). O número total de cadeiras é a) 250 b) 252 c) 254 d) 256 e) 258

21. (Enem) As projeções para a produção de arroz no período de 2012–2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção.

Ano Projeção da produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. b) 500,85. c) 502,87. d) 558,75. e) 563,25. 22. (Unesp) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n2 – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente, a) 7 e 1. b) 1 e 6. c) 6 e 1. d) 1 e 7. e) 6 e 7. 23. (Unesp) Uma partícula em movimento descreve

sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a

partir de um ponto 0P , localizado em uma reta

horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o

ponto 3P , em r. Na figura, 1O, O e 2O são os centros

das três primeiras semicircunferências traçadas e R,

R

2,

R

4seus respectivos raios.

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima

semicircunferência dados por nO e n n

RR ,

2

respectivamente, até o ponto nP , também em r.

Nessas condições, o comprimento da trajetória



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descrita pela partícula, em função do raio R, quando

n tender ao infinito, será igual a

a) 22 R.π

b) 32 R.π

c) n2 R.π

d) 7

R.4

π

e) 2 R.π 24. (Fgv) Uma mercadoria é vendida com entrada de

R$500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a) 1.380,00. b) 1.390,00. c) 1.420,00. d) 1.440,00. e) 1.460,00. 25. (Pucsp) O fio de um rolo de arame tem X metros

de comprimento. Sabe-se que, usando todo o fio desse rolo, pode-se construir uma sucessão de 21 circunferências tais que, a partir da segunda, a medida do raio de cada uma tem 2,5 cm a mais do que a medida do raio da circunferência anterior. Se a área da região limitada pela terceira circunferência da sucessão é igual a 192 cm2, então, considerando a aproximação π= 3, é correto afirmar que

a) X 25 b) 25 X 30 c) 30 X 35 d) 35 X 40 e) X 40 26. (Mackenzie) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n2 + 2, com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é a) 36 b) 39 c) 41 d) 43 e) 45 27. (Fuvest) Um “alfabeto minimalista” é constituído

por apenas dois símbolos, representados por * e #.

Uma palavra de comprimento n, n 1, é formada por

n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos.

Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e

#* *# é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6

podem ser formadas?

b) qual é o menor valor de N para o qual é possível

formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor

ou igual a N? 28. (Unesp) Para cada n natural, seja o número

n

n vezes n vezes

K 3 3 3 ... 3 2 2 2 ... 2 .

Se n , para que valor se aproxima nK ?

29. (Unicamp) Seja (a,b,c,d) uma progressão

geométrica (PG) de números reais, com razão q 0

e a 0.

a) Mostre que 1

xq

é uma raiz do polinômio cúbico

2 3p(x) a bx cx dx .

b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere

o sistema linear nas variáveis x e y,

a c x e.

d b y f

Determine para que valores da

razão q esse tem solução única.

30. (Unicamp) Dizemos que uma sequência de

números reais não nulos 1 2 3 4(a , a , a , a ,...) é uma

progressão harmônica se a sequência dos inversos

1 2 3 4

1 1 1 1, , , , ...

a a a a

é uma progressão aritmética

(PA).

a) Dada a progressão harmônica 2 4 1

, , ,... ,5 9 2

encontre o seu sexto termo. b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma

progressão harmônica. Verifique que 2ac

b .a c

31. (Fuvest) Considere o triângulo equilátero

0 0A OBΔ de lado 7cm.

a) Sendo 1A o ponto médio do segmento 0 0A B , e B1

o ponto simétrico de 1A em relação à reta

determinada por O e 0B , determine o comprimento

de 1OB .

b) Repetindo a construção do item a), tomando agora

como ponto de partida o triângulo 1 1A OB ,Δ pode‐se

obter o triângulo 2 2A OBΔ tal que 2A é o ponto

médio do segmento 1 1A B , e 2B o ponto simétrico

de 2A em relação à reta determinada por O e 1B .

Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém‐se

o triângulo 3 3A OB .Δ Assim, sucessivamente,

pode‐se construir uma sequência de triângulos

n nA OBΔ tais que, para todo nn 1, A é o ponto

médio de n 1 n 1A B , e nB , o ponto simétrico de nA

em relação à reta determinada por O e n 1B ,

conforme figura abaixo.



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Denotando por na , para n 1, o comprimento do

segmento n 1 nA A , verifique que 1 2 3a ,a ,a , ... é uma

progressão geométrica. Determine sua razão. c) Determine, em função de n, uma expressão para o

comprimento da linha poligonal 0 1 2 nA A A ...A ,n 1.

O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à

reta r se o segmento PP' é perpendicular à reta r

e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.

32. (Unesp) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.

(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)

Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que

em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de a) 0,5. b) 5 10–1/2.

c) 5. d) 5 101/2.

e) 50. 33. (Unicamp) Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.

Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a

a) 6!

cm4!3!

b) 5!

cm4!3!

c)

54

cm3

d)

64

cm3

34. (Unicamp) No centro de um mosaico formado

apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém



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a) 76 ladrilhos. b) 156 ladrilhos. c) 112 ladrilhos. d) 148 ladrilhos. 35. (Unifesp) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an)

de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.

b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (–224, –220, –216, ...) seja positiva?

36. (Unesp) Divide-se, inicialmente, um quadrado de

lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões:

Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente? 37. (Unesp) Considere um triângulo isósceles de

lados medindo L, L

2e L centímetros. Seja h a medida

da altura relativa ao lado de medida L

2. Se L, h e a

área desse triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, determine a medida do lado L do triângulo.

38. (Unesp) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1

milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação

financeira, que rende 1% de juros ao mês, já

descontados o imposto de renda e as taxas bancárias

recorrentes.

Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações

mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o

valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar

mensalmente é:

Dado: 1,01361 ≈ 36

a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. 39. (Unifesp) Uma pessoa resolveu fazer sua

caminhada matinal passando a percorrer, a cada dia,

100 metros mais do que no dia anterior. Ao completar

o 210. dia de caminhada, observou ter percorrido,

nesse dia, 6 000 metros. A distância total percorrida

nos 21 dias foi de:

a) 125 500 m. b) 105 000 m. c) 90 000 m. d) 87 500 m. e) 80 000 m. 40. (Unifesp) Se os primeiros quatro termos de uma

progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o

quociente d/b é igual a

a) 1/4. b) 1/3. c) 2. d) 7/3. e) 5. 41. (Unesp) No início de janeiro de 2004, Fábio

montou uma página na internet sobre questões de

vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à

página. Supondo que o número de visitas à página,

durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de

visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004



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foi

a) 36. b) 24. c) 18. d) 16. e) 12.



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Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Tem-se que x x

3 3

x33

x243

100 2 1677721600 2 16777216

2 256

2 2

x 72.

Portanto, a resposta é 72 horas. b) O aumento no número de bactérias é tal que

48 45k k 15 153 3

k 15

100 2 100 2 100 2 2 2 2 2

2 2

k 15.

Em consequência, temos k 15.

Resposta da questão 2:

a) Se r é uma raiz de p(x), então 3 2r ar br 1 0.

Daí, temos 3 2

3 2

3

1 1 1 1p b a 1

r r r r

1(r ar br 1)

r

0.

Portanto, segue o resultado.

b) Sendo p( 1) a b, p(0) 1, p(1) a b 2 e

p(2) 4a 2b 9, temos

a b 4a 2b 9 1 5a b 8

1 4a 2b 9 a b 2 3a b 8

a 0.

b 8

Resposta da questão 3: [E]

[I] Falsa. Tem-se que 2n 1a (n 2) . Logo, como a

razão

22n 1

2n

a (n 3) 11

a n 2(n 2)

não é constante, segue que na não é uma

progressão geométrica. [II] Falsa. De fato, a razão

22 2

2

(n 1)n 2n 1 n 2n 1n 1

nn

b 22 2

b 2

não é constante. Daí, podemos concluir que nb não

é uma progressão geométrica. [III] Verdadeira. A diferença entre quaisquer dois

termos consecutivos da sequência nc é

2 2

n 1 n

2 2

a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)

n 2n 1 4n 4 4 n 4n 4

2n 5.

Desse modo, nc é uma progressão aritmética de

primeiro termo 7 e razão igual a 2.

[IV] Verdadeira. De (II), temos 2n 1nd 2 , que é uma

progressão geométrica de primeiro termo 8 e razão

igual a 4. Resposta da questão 4:

[E]

P.A.(2 – r, 2, 2 + r) 2 – r > 0 r < 2

P.G.(5 – r, -1 , -1 + r )

Aplicando a propriedade da P.G. Temos:

(-1)2 = (5 – r).(r – 1) r2 – 6r + 6 = 0

3 3 r (não convém, maior que 2) ou 3 3 r

(convém) Resposta da questão 5:

[A] Resposta da questão 6:

[D] Resposta da questão 7:

[C] Resposta da questão 8:

[E] Resposta da questão 9:

[E] Resposta da questão 10:



[E]



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Resposta da questão 13: [D] Calculando:

1 2 3 2 1 3

2

2 2 2 2

PA a , a , a 2a a a

1 senx2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cosx 2 sen x 2 2cosx

cos x cosx

sen x 1 cos x

1 cos x 2 2cos x 1 cos x 4 8cos x 4cos x 5cos x 8cos x 3 0

3cos x ou cosx 1 (não convém)

5

5 4sec x ; tgx

3 3

5 4 1PA r r

3 3 3


a) Se ( , , )α β γ é uma PA, então a soma de seus

termos será 180, pois a soma dos ângulos internos

de um triângulo é sempre 180 . Assim, pode-se

escrever:

PA ( , , ) ( r, , r)

r r 3S 180 180 3 60

2

α β γ β β β

β ββ β

b) Se (a, b, c) é uma PG de raiz q 2, então pode-

se escrever:

PG (a, b, c) (a, a 2, 2a)

Pela lei dos cossenos, tem-se:

2 22 2 2 2 3

a 2 a 2a 2 a 2a cos 2a 5a 4a cos cos4

β β β

Pela relação fundamental:

2 2 2 29 7 7sen cos 1 sen 1 sen sen

16 16 4β β β β β

Por fim, calculando a tangente:

7sen 7 4 74tg tg

3cos 4 3 3

4

ββ β

β

Resposta da questão 15: [C] Sabendo que o termo central é média aritmética dos

extremos, temos

x x x 2 x

x 2 x

x 2

x

2

2 log(2 1) log2 log(2 3) log(2 1) log2 (2 3)

(2 1) 2 (2 1) 8

(2 2) 9

2 5

x log 5.


[A]

Como 7α é o termo médio da progressão aritmética,

segue-se que 778 13α e, portanto, temos 7 6.α

Resposta da questão 17: [E] O número de unidades produzidas cresce segundo

uma progressão geométrica de razão q 1 0,5 1,5

e primeiro termo igual a 8.000.

Portanto, a equação que determina o número de

unidades produzidas P em função de t, para t 1, é t 1P(t) 8.000 (1,5) .


[C]

Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos

lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos

x 3r. Logo, os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m,

vem

13r 4r 5r 6 r .

2

Portanto, a área do triângulo é igual a

223r 4r 1

6 1,5 m .2 2


a) Como (12, a,b) é uma progressão aritmética,

segue que

b 12

a b 2a 12.2

Além disso, sabendo que (12, a 1,b 5) é uma

progressão geométrica crescente, vem

2 2

2

(a 1) 12 (b 5) a 2a 1 12 (2a 7)

a 22a 85 0

a 17.

Portanto, a razão pedida é dada por

a 1 17 1

12 12

3.

2



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b) Como (c, d, e) é uma progressão aritmética, segue

que e 2d c e r d c. Daí, sabendo que

senc send sene 0 e send 0, vem

sen(2d c) senc send 0

2d c c 2d c c2 sen cos send 0

2 2

2 send cos(d c) send 0 send (2 cosr 1) 0

1cosr

2

2r ,

3

π

pois r .2

ππ


[B] O número de lugares cresce segundo uma progressão

aritmética de primeiro termo igual a 10 e razão 2.

Logo, o número total de cadeiras é

2 10 11 212 252.

2


[D] Como

51,50 50,25 52,75 51,50 54 52,75 1,25,

podemos concluir que a sequência

50,25; 51,50; 52,75; 54,00; é uma progressão

aritmética de primeiro termo 1a 50,25 e razão

r 1,25. Portanto, queremos calcular a soma dos 10

primeiros termos dessa progressão aritmética, ou seja,

110

2a 9rS 10

2

2 50,25 9 1,2510

2

558,75.


[B] P.A.( a1, a2, a3, a4,...)

21 1

21 2 2 2 2

a S 3.1 2.1 1

a a S 3.2 2.2 8 1 a 8 a 7

Razão r = 7 – 1 = 6, portanto a1 = 1 e razão r = 6. Resposta da questão 23: [E]

Seja nC o comprimento da trajetória.

Temos

n n

R R RC R ,

2 4 2π π π π

que corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. Portanto,

nn

Rlim C 2 R.

11

2

ππ


[A] O preço à vista da mercadoria é igual a

2

576 576500 500 480 400

1,2 (1,2)

R$ 1.380,00.

Resposta da questão 25: [D] Se r é o raio da menor circunferência, então o raio da

terceira é r 5. Logo,

2 2(r 5) 192 3 (r 5) 192

r 5 64

r 3cm.

π

Então, como x é a soma dos comprimentos das circunferências, vem que

20 2,5x 2 3 21

2

2 3 28 21

3528cm

35,28 m

π

Portanto, 35 x 40.

Resposta da questão 26: [E]

2 28 8 7a S S 3.8 2 (3.7 2) 45


a) palavras com uma letra: 2 palavras com duas letras: 22 palavras com três letras: 23

E assim sucessivamente.



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Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por:

2 4 9 16 32 62.

b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:

N

6

N 1 6

N 1 6

N 1

2 2 110

2 1

2 2 10

2 10 2

2 1000002

20

19

2 1024 1024 1000002

2 512 1024 1000002

Logo, N 1 20 N 19.


Tem-se que

n n

n n

n n

1 11 1 1 1

2 4 2 2 4 2n

1 11 1

1 12 21 12 2

1 12 2

1 11 1

2 2

K 3 3 3 2 2 2

3 2

3 2 .

Se n , então n

10

2

e, portanto, segue que

nK 3 2 1.


a) Tem-se que 2b aq, c aq e 3d aq . Logo, vem

2 3

2 31 1 1 1p a aq aq aq

q q q q

a a a a

0.

Por conseguinte, 1

xq

é uma raiz do polinômio

p(x).

b) De (a), obtemos

2

3

a c x e a aq x e.

d b y f y faq aq

Sabendo que a 0, q 0 e q , o sistema terá

solução única se, e somente se,

2

2 2 5

3

2 2 2

a aq0 a q a q 0

aq aq

a q(1 q )(1 q ) 0.

Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1.


a) Se a progressão 2 4 1

, , ,5 9 2

é harmônica,

então a sequência 5 9

, , 2,2 4

é uma progressão

aritmética de razão 9 5 1

.4 2 4 Daí, seu sexto

termo é dado por

65 1 5

a 5 .2 4 4

Em consequência, o resultado pedido é 4

.5

b) Sabendo que em toda progressão aritmética cada

termo é igual à média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor (exceto o primeiro e o último), tem-se

1 11 2 a ca c

b 2 b ac

2acb .

a c


a) Como 0 1 1OB A B , 1 2 2 1A A A B e 2OA é

comum aos triângulos 1 2OA A e 1 2OB A , segue-se

que os triângulos 1 2OA A e 1 2OB A são

congruentes por LAL. Além disso,

1 0 1 2OA B OA A 90 e 1 0 2A B A 60 implicam

em 1 1OA B 60 . Portanto, o triângulo 1 1OA B é

equilátero. Desse modo, o resultado pedido

corresponde à altura do triângulo 0 0A OB , ou seja,

7 3cm.

2

b) Raciocinando de forma inteiramente análoga ao item (a), concluímos que

n 1n

OA 3OA ,

2

com n 1.



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Daí, como n 1n n 1 n

OAa A A ,

2

temos

n

n 1

n n 1

OAa 32 ,a 2OA

2

para todo n 1 e, portanto, 1 2 3a , a , a , é uma

progressão geométrica de primeiro termo 17

a cm2

e razão 3

.2

c) O comprimento da poligonal 0 1 2 nA A A A , com

n 1, corresponde à soma dos n primeiros termos

da progressão geométrica 1 2 3a , a , a , , ou seja,

n

n3

127 3

7(2 3) 1 cm.2 23

12


[C] 2009 : 1 dm 2010: 2011: 2,5 cm = 25 dm Temos então uma P.G. de três termos, determinando sua razão, temos: 25 = 1 q3-1 25 = q2

q = 5 q = 5. Portanto, a razão de crescimento anual no período de 2 anos foi 5. Resposta da questão 33: [C]

Os comprimentos das figuras formam uma P.G. de razão 4/3. Logo, o comprimento da sexta figura será

dado por:

5 5

64 4

a 1.3 3

.

Resposta da questão 34: [D] O número de ladrilhos em cada “lado” das camadas

cinza constitui a progressão aritmética (2, 6,10, ).

Desse modo, o “lado” da 10ª camada terá

10 1a a (n 1)r

2 (10 1) 4

2 36

38 ladrilhos.

Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém

4 (38 2) 4 148 ladrilhos.


a) Seja S a soma pedida.

2 4 6 n

1 1 1 1

1 1

1

1

S a a a a

(a r) (a 3r) (a 5r) [a (n 1)r]

[a r a (n 1)r] n

2 2

(2a r nr r)n

4

(2a nr)n.

4

b) A soma dos n primeiros termos da PA é dada por

1n

[2a (n 1)r]nS .

2

Queremos calcular o valor mínimo de n tal que

nS 0.

[2 ( 224) (n 1) 4] n

0 [ 112 (n 1)] n 0 n (n 113) 0.2

Portanto, como n 0, devemos ter n 114.


Na primeira divisão é retirado 1 quadrado, restando

8. Na segunda divisão são retirados 8 quadrados,

restando 29 8 8 64 8 quadrados. Na terceira

divisão são retirados 64 quadrados, restando 39 64 64 512 8 quadrados, e assim por diante.

Logo, após n divisões sucessivas do quadrado inicial,

restarão n8 quadrados.

Na primeira divisão, a área do quadrado removido é 2

1 1.

3 9

Na segunda divisão, a área do oito

quadrados retirados é

21 8

8 .9 81

Na terceira

divisão, a área dos sessenta e quatro quadrados



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retirados é 2

1 6464 ,

27 729

e assim

sucessivamente. Portanto, a soma pedida é

11 8 64 9 1.

89 81 7291

9


22 2

22

2

L L 15h L h

4 4

1 L 1 L LTemos a P.G. L, h, . .h onde h L. . .h h

2 2 2 2 4

L L 15L 15

4 4


[B] 30 anos = 360 meses

1.01x + 1,012x + 1,013x + 1,014x + . . . +1,01360x = 1

000 000 (Soma dos termos de uma P.G)

00,286$10000)01,136(100000001,0

)01,101,1(1000000

101,1

)101.1(01,1 361360

Rxxxx


[B] Resposta da questão 40:


[E]


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