resumo de matemÁtica para prova de 15

29
RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15-4-13 1. CONJUNTOS : a) IDEIA DE CONJUNTO A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas. Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos. Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que éconjunto, o que é elemento e o que é pertinência. b) REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir. A. Listagem dos Elementos Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais. Exemplos 1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então: A = {verde, amarelo, azul, branco} 2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {a, e, i, o, u} 3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B. Uma Propriedade de seus elementos A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos doconjunto e somente a estes elementos. A = {x / x possui uma determinada propriedade P} Exemplos 1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: B = {x / x é vogal do nosso alfabeto} 2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então: C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração} C. Diagrama de Euler-Ven A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado. Exemplo

Upload: maria-bia

Post on 18-Dec-2014

91 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15-4-13

1. CONJUNTOS:a) IDEIA DE CONJUNTO

A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou melhor, cada um de nós é um elemento que pertence ao conjunto de habitantes da cidade, mesmo que não tenhamos definido o que éconjunto, o que é elemento e o que é pertinência.

b) REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOSA notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.A. Listagem dos ElementosApresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.Exemplos1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:

A = {verde, amarelo, azul, branco}2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:

B = {a, e, i, o, u}

3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B. Uma Propriedade de seus elementosA apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos doconjunto e somente a estes elementos.A = {x / x possui uma determinada propriedade P}

Exemplos1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}

2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}

C. Diagrama de Euler-VenA apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem ao conjunto considerado.Exemplo

c) CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIOEmbora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.Exemplos1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}

Page 2: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio considerando umconjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.

Exemplos1º) Conjunto das raízes reais da equação:x2 + 1 = 0

2º) Conjunto: 

O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas:   ou { }  ( é uma letra de origem

norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por { },

pois estaríamos apresentando umconjunto unitário cujo elemento é o   .O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.DemonstraçãoVamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo, pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido no conjunto A, qualquer que seja A.

d) CONJUNTO FINITO E INFINITOQualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.• 6 é o sucessor de 5.• 7 é o sucessor de 6.• 19 é antecessor de 20.• 47 é o antecessor de 48.Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.• O conjunto dos alunos da classe.• O conjunto dos professores da escola.• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

e) PERTINÊNCIA:Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o elemento x pertence ao conjunto A e indicamos:

em que o símbolo   é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A, indicamos:

ExemploConsideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}O algarismo 2 pertence ao conjunto A:

O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:

Relação de pertinência acontece quando se estabelece uma relação entre um elemento e

um conjunto. 

f) SUBCONJUNTOS e SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO

Page 3: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:

g)Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:

h)O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:

i)

             

Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão, todo conjunto ésubconjunto dele mesmo.Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão refere-se, sempre, a dois conjuntos.

Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é o conjunto formado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas diferentes e como tal devem ser tratadas.Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:{1, 2} é um conjunto, porém no conjuntoA = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2}   A.Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.

j) CONJUNTOS IGUAISDois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}ObservaçãoSe o conjunto A está contido em B (A   B) e B está contido em A (B   A), podemos afirmar que A = B.

k) CONJUNTO UNIVERSOQuando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que for estabelecido.Exemplos1º) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:

l) UNIÃO DE CONJUNTOS:

Page 4: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

É quando dois ou mais conjuntos se unem, estabelecendo uma relação entre seus elementos. 

A união é representada pelo símbolo abaixo: 

Por exemplo: 

A união do conjunto D e E é o conjunto formado pelos elementos pertencentes à D e E. 

Exemplos: 

A= {a, b, c}   B= {c, d, j} = { a, b, c, d, j} 

A= {4, 5, 6}   B= {4, 5, 6, 7, 8} = B 

A= {8, 9}   B=   = {8, 9} 

m) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS:

Definição  

Quando os elementos de dois ou mais conjuntos relacionados são comuns eles são chamados de

conjunto interseção. 

A intersecção dos conjuntos F e G é o conjunto constituído de todos os elementos que pertencem

simultaneamente a F e G. 

Veja como é representado:

Simbolicamente, temos:

Page 5: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Por exemplo: 

{a, b, c, d, e} ∩ {b, c, d} = {b, c, d } 

{24, 25, 26, 27} ∩ {26, 27, 28, 29} = {26, 27} 

{5, 7} ∩ {4, 5, 6} = ∅ 

{2, 4, 8} ∩ {1, 4, 7} = {4} 

Quando A ∩ B = ∅, chamamos A e B de conjuntos disjuntos. 

n) DIFERENÇA DE CONJUNTOS:

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto

formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1:

A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1,2}

Exemplo 2:

A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1,2,3,4,5}

Exemplo 3:

A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é:

A – B = 

Exemplo 4:Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é:A – B = {1,2,3,4}. Como B   A podemos escrever em forma de complementar:

Page 6: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

A – B =  A B = {1,2,3,4}.

Conjunto complementarConjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.A = {2, 3, 5, 6, 8}B = {6,8}B A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.

o) PROBLEMAS DE CONJUNTOSV1) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis, e Iracema, de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Iracema, 10 leram os dois livros e 15 não leram nenhum deles.a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram somente Helena? c) Qual é o número de alunos nessa classe?

(25/ 10 / 50)

V2) Uma empresa, fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso, encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte:150 pessoas gostaram somente da embalagem A; 240 pessoas gostaram da embalagem B; 60 pessoas gostaram das duas embalagens.Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens? (12)

V3) Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as vacinas SABIN e TRÍPLICE. Os resultados obtidos foram:

NÚMERO DE CRIANÇAS VACINAS 5428 Sabin 4346 Tríplice 812 Sabin e tríplice 1644 Nenhuma

Determine: a) O número de crianças abrangidas pela pesquisa; (10606)

b) O número de crianças que receberam apenas a Sabin; (4616)

c) O número de crianças que receberam apenas a Tríplice; (3534)

d) O número de crianças que receberam apenas uma vacina; (8150)

e) O número de crianças que não receberam nenhuma das vacinas; (1644)

f) O número de crianças consultadas. (8962)

Page 7: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

V4) Em um conservatório com 80 alunos, 50 estudam piano, 35 estudam violão e 20 estudam os dois instrumentos. Considerando-se apenas estes dois instrumentos, quantos alunos estudam apenas piano? (30)

V5) Se A= { 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 2, 3, 6 } e C = { 1, 2, 4 }, encontrar: a) AB = {2,3}

b) A C = {1, 2, 3, 4, 5}

c) B – C = {3, 6}

d) ( A B ) – C = (3, 5, 6}

e) C A c = {3, 5}

V6) Dado o diagrama abaixo, represente ( pintando ) cada situação:

a) A – B b) B – A c) A B d) A B

:

V7) DESAFIO: Numa escola há n alunos, dos quais 56 lêem a revista A, 21 as revistas A e B, 106 apenas uma das revistas e 66 não lêem a revista B. Determine n. 158

V8) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20, de História. O número dealunos desta classe que gostam de Matemática e de História é:a) 16b) 10c) 6d) 18( c ) V9) Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 7, 8 }, B = { 2, 4, 6, 7 } e C = { 2, 3, 5, 7, 8 }, então o conjunto( A C) – B é:a) { 1, 3, 5, 8 }b) { 2, 3, 4, 6, 8 }c) { 3 }d) { 3, 8 }e) ( d )

V10) Dados A = { 1, 3, 5 }, B = { 0, 1, 2, 4 }, E = { 2, 4 } e F = { 3, 5 }, calcule:

a) ( A B ) F = {1,3,5}

b) ( F – A ) ( E – B ) = { }

V11) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-seo resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem aoutros canais distintos de A e B. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é:a) 30b) 150c) 180d) 200e) 210( c )

2. NÚMEROS NATURAIS :

a) A INVENÇÃO DOS ALGARISMOS:A invenção do número não aconteceu de repente nem foi uma única pessoa responsável por ela. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e animais.

Page 8: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Durante algum tempo, os homens da Pré-História utilizavam pedras, nós de corda e até os próprios dedos para contar, e com isso começou a se formar o conceito de números.

•Algarismos – São os símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; Os algarismos são usados para representar números; •Numeral – Chama-se a qualquer representação de um número; •Ordem – À posição que um algarismo ocupa num numeral; •Classes – as ordens agrupam-se em classes; Cada classe é formada por três ordens: - a das unidades -a das dezenas -a das centenas

b) CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA:É possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

c) IGUALDADE E DESIGUALDADE:

Propriedade Aditiva da Igualdade Para quaisquer números a, b  e  c, tem-se que 

se  a = b,    então   a + c = b + c

Propriedade Aditiva da Desigualdade Para quaisquer números a, b  e  c, tem-se que

se   a      b,    então   a + c     b + c

A igualdade e a desigualdade são expressas a partir dos símbolos <, > e =.

d) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL:

O sistema de numeração que usamos é um sistema decimal, pois contamos em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina decem, que significa 10. Ele foi inventado pelos hindus, aperfeiçoado e levado para a Europa pelos árabes. Daí o nome indo-arábico. Esse sistema de numeração apresenta algumas características: Utiliza apenas os algarismos indo-arábicos 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para representar qualquer quantidade. Cada 10 unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem seguinte. Observe.

Page 9: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

10 unidades = 1 dezena = 10 10 dezenas = 1 centena = 100 10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000 Outra característica é que ele segue o principio do valor posicional do algarismo, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo com a posição que ele ocupa na representação do numeral. Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou de ordens):

4º ordem 3º ordem 2º ordem 1º ordem

unidade de milhar centena de unidades dezena de unidades unidades

Observe: Neste número: 632 o algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1º ordem) ; o algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2º ordem); o algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3º ordem). Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois. Neste número: 7.156 o algarismo 6 representa 6 unidades e vale 6 (1º ordem). o algarismo 5 representa 5 dezenas e vale 50 (2º ordem). o algarismo 1 representa 1 centena e vale 100 (3º ordem). o algarismo 7 representa 7 unidades de milhar e vale 7000 (4º ordem). ATIVIDADES: 1) Leia as charadas, e descubra qual é o número. a) Este número tem 4 centena, 7 dezenas e 6 unidades. Qual é este número?

b) Este número tem 9 unidades de milhar, 1 centena, 3 dezenas e 8 unidades. Qual número é este?

c) Este número tem 3 unidades de milhar, 6 centenas, 9 dezenas e 4 unidades. Qual número é este?

d) Este número tem 1 dezena, e 3 unidades. Qual número é este?

e) Este número tem 4 centenas, 3 dezenas, e 7 unidades. Qual número é este?

Page 10: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

e) LEITURA E ESCRITA DOS NÚMEROS Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a esquerda.

O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos.Cada grupo de algarismos representa uma classe.

Da direita para a esquerda:

- A primeira classe é a das unidades.- A segunda classe é a dos milhares.- A terceira classe é a dos milhões.

centenas de

milhão

dezenas de

milhão

unidades de

milhão

centenas de milhar

dezenas de milhar

unidades. de milhar

centenas dezenas unidades

5 3 2 6 9 3 4 1 7classe dos milhões classe dos milhares classe das unidades

532 milhões, 693 milhares, 417 unidades

Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas.

Page 11: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades. As classes têm de ser formadas por três algarismos, exceto a última, a da esquerda, que pode ter só dois ou um algarismo.

f) VALOR ABSOLUTO E RELATIVO DE UM NÚMERO:Os números são formados por algarismos. Eles possuem valor absoluto e valor relativo.O valor absoluto de um número não depende da posição em que o número se encontra, representa um valor sozinho. Por exemplo:O valor absoluto do algarismo 9 no número 986 é 9.O valor relativo de um número depende da ordem em que o algarismo se encontra. Por exemplo, o algarismo 9 no número 986 ocupa a 3º ordem, isto é, a casa das centenas. Assim, seu valor relativo é 900. Observe alguns números e os valores relativos e absolutos de seus algarismos.526Valor absoluto5: 52: 26: 6Valor relativo5: 5002: 206: 6

253Valor absoluto2: 25: 53: 3Valor relativo2: 2005: 503: 3

1236Valor absoluto1: 12: 23: 36: 6Valor relativo1: 1 0002: 2003: 306: 6

3257Valor absoluto

Page 12: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

3: 32: 25: 57: 7Valor relativo3: 30002: 2005: 507: 7

Ao somar os valores relativos de um número obtemos o próprio número. 

210 = 200 + 10 + 0752 = 700 + 50 + 2964 = 900 + 60 + 4859 = 800 + 50 + 91 234 = 1 000 + 200 + 30 + 42 367 = 2 000 + 300 + 60 + 7453 = 400 + 50 + 3261 = 200 + 60 + 1 1556 = 1 000 + 500 + 50 + 6126 = 100 + 20 + 6

g) ALGARISMOS ROMANOS

Os números romanos foram durante muito tempo a principal forma de representação numérica na

Europa. Os números eram representados a partir de letras do próprio alfabeto dos romanos. Esse

sistema numérico associava uma letra a uma quantidade fixa, de acordo com a tabela a seguir: 

Os números romanos devem ser escritos de acordo com algumas regras: 

Na numeração romana, as letras são escritas uma ao lado da outra. Quando temos uma letra maior

seguida de uma menor somamos os valores, observe: 

VI = 5 + 1 = 6 

XII = 10 + 2 = 12 

LV = 50 + 5 

CCL = 100 + 100 + 50 = 250 

MCCXI = 1 000 + 100 + 100 + 10 + 1 = 1211 

DXX = 500 + 10 +10 = 520 

MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650 

Quando temos uma letra menor seguida de uma maior, subtraímos o valor da maior pelo valor da

menor, veja: 

IV = 5 – 1 = 4 

Page 13: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

IX = 10 – 1 = 9 

XL = 50 – 10 = 40 

XC = 100 – 10 = 90 

CM = 1 000 – 100 = 900 

Obs.: 

A letra I somente aparecerá antes do V e do X. 

A letra X somente aparecerá antes do L e do C 

A letra C somente aparecerá antes do D e do M. 

As letras I, X, C e M somente podem ser escritas seguidamente por três vezes. 

III = 1 + 1 +1 = 3 

XXX = 10 + 10 + 10 = 30 

LXX = 50 + 10 + 10 = 70 

MM = 1 000 + 1 000 = 2 000 

CCC = 100 + 100 + 100 = 300 

CCX = 100 + 100 + 10 = 210 

Algumas letras do algarismo romano são escritas com o sinal de um traço, eles representam que os

valores devem ser multiplicados por 1.000, 1.000.000 e assim respectivamente. Observe:

Os números romanos não são indicados nas questões relacionadas a cálculos matemáticos como

adição, subtração, multiplicação e divisão. Atualmente eles são utilizados em nomes de papas e

reis, representação de séculos, relógios, capítulos e páginas de livros entre outros. 

h) CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAISPertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.Representado assim:N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } 

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

i) REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADERepresentação pela propriedade de seus elementos. A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”. x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15. 

Exemplo 2 Condição: O conjunto dos números Naturais ímpares menores que vinte. 

Page 14: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Elementos A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 

Propriedade dos elementos A = {x Є N / x é impar e x < 20} x pertence aos naturais tal que x é impar menor que 20. 

j) NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM SUBCONJUNTO DE IN

Considere X como um conjunto com um número finito de elementos, representado por: 

E considere M e N como dois conjuntos com um número finito de elementos, logo temos:

k) PROBLEMAS DE ALGARISMOS:K1) Para numerar as páginas de um livro empregaram-se 816 algarismos. Determine quantas páginas tem o livro.Da página 1 à página 9 --> empregamos 9 alg.Da página 10 à 99 --> empregamos (99-10+1)x2 = 90x2 = 180 algarismosDa página 100 à n --> empregamos (n-100+1)x3 = (n-99)x3 algarismos ( OBS : n é um número com 3 algarismos )Pelo dado fornecido , podemos formar a equação :9 + 180 + (n-99)x3 = 816189 + 3n - 297 = 8163n = 816 - 189 + 2973n = 924 --> n = 924/3 --> n = 308Portanto , o livro tem 308 páginas VERIFICAÇÃO ---> Da pág 1 à 9 --> 9 algar.Da pág 10 à 99 --> 180 algar.Da pág 100 à 308 --> ( 308 - 100 + 1 )x3 = 209x3 = 627 algar.Total de algarismos usado no livro :9 + 180 + 627 = 816 algarismos

K2) A soma de dois numeros pares,cada um deles com dois algarismos, possui tres algarismos. Sabendo-se que um desses números é o triplo do outro, o menos valor que o menor número pode assumir é:A)20B)26C)28D)24E)30x = maior númeroy = menor númerox = 3yx + y > 993y + y > 994y > 99y > 99/4

Page 15: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

y > 24,75y => 25Como "x" e "y" devem ser pares,y => 26Logo, o menor valor que o menor dos dois números pode assumir é 26 ( b ).

K3) Se para numerar todas as páginas de um texto, forem usados 225 algarismos do sistema decimal de numeração, quantas vezes o algarismo 3 aparecerá na numeração dessas páginas?Da pg.1 a 9 = 9 num = 9 algarismosDa pg.10 a 99 = 90 num = 180 algAté a pg 99 então, temos 189 algarismosFaltam 225 – 189 = 36 algarismos36/3 = 12 algTotal de pgs = 99 + 12 = 111 pgs.

K4) Foram pintados 1.389 algarismos nas cadeiras de um teatro. Qual o número da última cadeira?1 ALGARISMO --> (1 ... 9) 9 NÚMEROS --> 9 ALGARISMOS 2 ALGARISMOS --> (10 ... 99) 90 NÚMEROS --> 90X2 = 180 ALGARISMOS

3 ALGARISMOS --> (100 ... X) (X - 100 + 1) NÚMEROS --> (X - 100 + 1) X 3 = 3X - 297 ALGARISMOS

LOGO, 9 + 180 + 3X - 297 = 1389 ; X = 499

K5) Para fazer a relação de todos os números de dois e três algarismos,e alguns de quatro,escreveram-se 3.068 algarismos.Qual o último algarismo escrito?Todos os de dois algarismos: 10...99 -> 90 x 2 = 180Todos os de tres algarismos: 100...999 -> 900 x 3 = 27003068-2700-180 = 188 188 ÷ 4 = 47foram escritos 47 números de 4 algarismos1000+46= 1046 o último número escrito.

K6) Do número.....,inclusive,até 2573,inclusive,há 348 números naturais sucessivos.Quando a contagem inclui as extremidades podemos pensar assim:ex: do numero 5 até 17 temos 5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 ( 13 números ) se fizermos 17 - 5 = 12 que é 1 a menos que o total real poderíamos escrever 17 - 5 = 13 – 1Seguindo a idéia podemos fazer:2573 - X = 348 – 12573 - 347 = X2226 = X

K7) Quantos números pares há entre 273 e 833?isso é uma P.A. e a fórmula do termo de uma P.A.é:an=a1+(n-1)r, mas vc quer números pares, então 43 passa a ser 44, e 535 passa a ser 534534=44+(n-1)2534-44=2(n-1)490=2(n-1)490/2=n-1245=n-1245+1=nn=246

K8) Na sucessão dos números naturais de 1 até 876, quantas vezes aparece o algarismo 3?

Na casa das unidades aparece uma vez por dezena,88 vezes, portanto.Na casa das dezenas aparece 10 vezes por centena (todas na dezena 30....39),90 vezes, portanto.Na casa das centenas aparece 100 vezez.Total: 87+80+1 que equivale a 278 vezes

k9) Calcule quantos números foram escritos sucessivamente, a partir de 1, se foram empregados 14.805 algarismos?3978

K10) Escreve-se de 1 até 537,inclusive.Quantas vezes figurou o algarismo 5?(do 1 ao 100 = 20)(do 100 ao 499 = 80)(do 500 ao 530 = 38 (algarismos das centenas))

Page 16: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

(do 1 ao 30 = 3)(do 1 ao 7 = 1)Somando => 20 + 80+ 38 + 3 + 1 = 142

K11) Determine o número de vezes que o algarismo 6 aparece,na série dos números naturais,de 1 até 10.000.4000

K12) QUAL E O MAIOR E O MENOR NUMERO DE 6 ALGARISMOS?

Se puder repetir algarismos pode ser :o maior é 999999e o menor 100000Mas se não puder repetir algarismos será:o maior 987654e o menor 102345

3. MEDIDAS :a) MEDIDAS DE COMPRIMENTO :

Sistema Métrico DecimalDesde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas

próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928. Múltiplos e Submúltiplos do Metro Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos UnidadeFundamental

Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetrokm hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 · 1012 km O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cmPolegada = 2,54 cmJarda = 91,44 cmMilha terrestre = 1.609 mMilha marítima = 1.852 m

Page 17: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Observe que:1 pé = 12 polegadas1 jarda = 3 pésLeitura das Medidas de Comprimento A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.Seqüência prática 1º) Escrever o quadro de unidades:

km hm dam m dm cm mm 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584hm em m.

km hm dam m dm cm mm Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10). 16,584 x 100 = 1.658,4 Ou seja: 16,584hm = 1.658,4m

Transforme 1,463 dam em cm.

km hm dam m dm cm mm Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10). 1,463 x 1.000 = 1,463 Ou seja: 1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.

km hm dam m dm cm mm Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10. 176,9 : 10 = 17,69

Page 18: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Ou seja: 176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.

km hm dam m dm cm mm Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000. 978 : 1.000 = 0,978 Ou seja: 978m = 0,978km.Observação: Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento h - altura ou largura Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares

Triângulo equilátero QuadradoP = l+ l + l

P = 3 · lP = l + l + l+ l

P = 4 · l

Pentágono HexágonoP = l + l + l + l + l

P = 5 ·P = l + l + l + l + l + l

P = 6 · l l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l Comprimento da CircunferênciaUm pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Page 19: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental. Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:

Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim: O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.

Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm

3,141592...

b) MEDIDAS DE ÁREA:

Introdução As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

Qual a área desta sala? Qual a área desse apartamento? Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? Qual a área dessa quadra de futebol de salão? Qual a área pintada dessa parede?

Superfície e área

Page 20: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetros quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. Exemplos: 1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

12, 56 Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área. 2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1 78, 30 Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados” 3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

0, 91 70 Lê-se 9.170 decímetros quadrados. Medidas Agrárias As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidadeagrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalênciade valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se:1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

Transformação de unidades No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Page 21: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Observe as seguintes transformações: transformar 2,36 m2 em mm2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

transformar 580,2 dam2 em km2.km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100). 580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2)

2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2)

3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2)

4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

c) MEDIDAS DE VOLUME:

Introdução Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

75, 840

Page 22: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

0, 006 400 Lê-se "6400 centímetros cúbicos".

Transformação de unidades Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

  Observe a seguinte transformação: transformar 2,45 m3 para dm3.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)

2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)

3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

Na transformação de m 3 para L temos:

1 km3 = 1.000.000.000.000 L1 hm3 = 1.000.000.000 L1 dam3 = 1.000.000 L1 m3 = 1.000 L1 dm3 = 1 L1 cm3 = 0,001 L1 mm3 = 0,0000001 L

ou

1 L = 0,000.000.000.001 km3

1 L = 0,000.000.001 hm3

1 L = 0,000.001 dam3

1 L = 0,001 m3

1 L = 1 dm3

1 L = 1.000 cm3

1 L = 1.000.000 mm3

Page 23: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

4. SISTEMAS NÃO-POSICIONAIS E SISTEMAS POSICIONAIS:

Page 24: RESUMO DE MATEMÁTICA PARA PROVA DE 15

Revisão:

Classe e Ordem dos Números:.Muitas vezes é dificil entender como é possivel escrever um número como por exemplo 210.000.000 (duzentos e dez milhões) com apenas dez números..Dez números? Sim é isto mesmo. Observe que no nosso sistema numérico só existem dez números (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e são estes dez números os responsáveis pela representação de todos os outros..Como isto é possivel? Na verdade é bem simples, tudo depende da ordem de cada um, ou seja suas posições em relação aos outros..Os números são organizados em Classes e Ordens de Números, veja a tabela abaixo representando o número 210.000.000:.

3a Classe 2a Classe 1a Classe

MILHÃO MILHAR

9a Ordem

8a Ordem

7a Ordem

6a Ordem

5a Ordem

4a Ordem

3a Ordem

2a Ordem

1a Ordem

C D U C D U C D U

2 1 0 0 0 0 0 0 0.

| C = Centena | D = Dezena | U = Unidade |