resistência dos materiais ii - unidade 01

Unidade 01 – Flexão OblíquaResistência dos Materiais II

Elson ToledoFlávia Bastos

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.05

Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34

Flexão Oblíqua

Programa

1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3


Flexão Oblíqua Introdução

Programa




Flexão Oblíqua

Introdução

O estudo da teoria de flexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-seao caso denominado flexão reta

y

z

Mz

LN

σx



Flexão Oblíqua

Introdução

Carregamento situado no plano desolicitação (PS)o PS é um plano que intercepta aseção segundo seu eixos principaisde inércia – dois para o retânguloO eixo de solicitação (ES ou ss) éa interseção entre o PS e o planoda seçãoO momento fletor é perpendicularao eixo de solicitaçãoO plano de ocorre a flexão é oplano de solicitação (PS)A linha neutra (LN ou nn) édefinida como o lugar geométricodas tensões normais nulas

y

z

PS

ES, ssMz

LN, ss



Flexão Oblíqua

Introdução

Para seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)

z

y

Mz

PS



Flexão Oblíqua

Introdução


z

y

My

PS



Flexão Oblíqua

Introdução


z

y

Mz z

y

My



Flexão Oblíqua

Introdução

Como último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos desolicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inércia

y z

Mz

y z

My



Flexão Oblíqua

Introdução

Os casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-tação as seções estarão submetidas a um tipo de flexão diferente

y

z

M



Flexão Oblíqua

Introdução

Isso ocorre mesmo em casos deseções com dois eixos de simetria,como as seções retangularesEstá é denominada a flexão nãosimétrica, oblíqua ou desviadaNestes casos, o ES (ss) não é ⊥ aLNÉ necessário determinar aposição da LN, a partir do con-hecimento da posição do eixo desolicitação (ss)

y

z

M


Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíqua

Programa




Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Vamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema deeixos em seu centroide C

y

z

M

M

y

z

Mz

My

ES, ss

π2

C



Flexão Oblíqua

Caracterização da flexão oblíqua

Casos de ocorrência

1

1http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdfElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 34

http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdf

Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíqua

Programa




Flexão Oblíqua

Tensões normais na flexão oblíqua

Situação na flexão oblíqua

n

ns

s

M

PS

dAdF

z

y



Flexão Oblíqua


Na flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutroou Linha Neutra (LN)O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão reta

n n

s

s

M

u

v

u

δdx

dϕ

dϕ

ES

LN

dx

ρ

G0 G

f

f

P



Flexão Oblíqua


Seja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LNdx a distância entre duas seções transversais adjacentesdϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dxρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformaçãoδdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e v

n n

s

s

M

u

v

u

δdx

dϕ

dϕ

ES

LN

dx

ρ

G0 G

f

f

P



Flexão Oblíqua


Temos que

εx =δdxdx=

u tan dϕdx

=udϕdx=

udϕρdϕ

=uρ

Pela lei de Hookeσx = Eεx =

Euρ

⇒Eρ=σx

u

n n

s

s

M

u

v

u

δdx

dϕ

dϕ

ES

LN

dx

ρ

G0 G

f

f

P



Flexão Oblíqua


Outra maneira de chegarmos as mes-mas expressões:

O plano de solicitação PS não con-tém um dos eixos principais de inér-ciaA interseção do PS com o plano daseção define o eixo de solicitação(ES)O momento interno M é ⊥ ao ES e édecomposto segundo a LN

Mn = M cos θ

onde θ é o ângulo entre o ES e a LNAs seções giram em torno de umeixo denominado eixo neutro oulinha neutra (LN, nn)

y

z C

ES

M

α

βθMn

B

LN, nn

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


Seja P um ponto genérico da seçãou a distância de P à LNdx a distância entre duas seçõestransversais adjacentesρ o raio de curvatura sofrido pelafibra após a deformaçãodX o comprimento de uma fibra adistância u da LNdϕ o giro relativo entre as duasseções separadas por dx

ρ

dx

dϕ

LN

dX

u

y

z

C

ES

M

αβ

θMn

P

u

LN

y

z C

ES

M

α

βθMn

B

LN

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


Temos que

εx =dX − dx

dx=

(ρ + u)dϕ − ρdϕρdϕ

=uρ

Pela Lei de Hooke,

σx = Eεx =Euρ

⇒Eρ=σx

u

ρ

dx

dϕ

LN

dX

u



Flexão Oblíqua


Sabemos que o esforço normal naseção é nulo (N = 0)

N =∫

AσxdA =

∫A

Euρ

dA =Eρ

∫A

udA = 0

O que permite escrever

u =∫

AudA = 0

Conclusões:u é a distância da LN ao centroideda seçãoA LN é baricêntrica (passa pelocentroide da seção)

y

z C

ES

M

α

βθMn

B

LN, nn

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


O momento Mn com relação a LN édado por

Mn =

∫A

uσxdA =∫

A

Eu2

ρdA =

EIn

ρ

onde In =∫

A u2dA

Daí temos que

Mn

In=

Eρ=σx

u⇒ σx =

MnuIn

Conclusões:σx é um plano nas coordenadas u ev (ou quaisquer coordenadas comrelação a quaisquer pares de eixos)Comportamento similar ao da flexãoreta

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


O momento Ms com relação ao ES énulo pois M ⊥ ES

Ms =

∫A

vσxdA =Eρ

∫A

uvdA = 0

Daí temos que

Ins =

∫A

uvdA = 0

onde Ins é o produto de inércia emrelação aos eixos oblíquos ES e LNConclusões:

ES e LN fazem parte da elipse cen-tral de inércia da seção

y

z C

ES

M

α

βθMn

B

LN, nn

P

u

β

v


Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Programa




Flexão Oblíqua

Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra

Seja P um ponto genérico distante uda LNIn o momento de inércia com relaçãoa LN α indica a posição do eixo desolicitação (ES) em relação ao eixo z

β indica a posição da linha neutra(LN) em relação ao eixo z

Temos que Ins = 0Vamos mostrar que se y e z são eixosprincipais de inércia, então

tanα tan β = −Iz

Iy

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


Para a determinação de In, sejamα a posição relativa do ES ao eixo zβ a posição relativa da LN ao eixo zdA um elemento de área com coor-denadas y e z com relação a xCyAs coordenadas dA são u com re-lação a LN e v com relação ao ES

A tranformação de coordenadas fica

v = y cosα − z sinαu = z sin β − y cos β

E então

Ins =∫

A uvdA = 0In =

∫A u2dA

Is =∫

A v2dA

z

y

α

β

α

α

β

β

α

β

u

v

ES

LN

dA

C

Mn

n

s

s



Flexão Oblíqua


Sabemos que

Ins =∫

A uvdA=

∫A(z sin β − y cos β)(y cosα − z sinα)dA

=∫

A yz sin β cosα − z2 sin β sinα − cosα cos βy2 + yz cosα cos β= Iyz sin β cosα − Iy sin β sinα − Iz cosα cos β + Iyz cosα cos β= (Iyz − Iy) sin β cosα + (Iyz − Iz) cosα cos β= 0

Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz = 0

Ins = −Iy sin β sinα − Iz cosα cos β

o que nos permite escrever (já que Ins = 0)

sinαcosα

sin βcos β

= −Iz

Iy⇒ tanα tan β = −

Iz

Iy



Flexão Oblíqua


Temos também que In =∫

A u2dA, ou

In =∫

A(z sin β − y cos β)2dA= Iy sin2 β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2 β

Se y e z forem os eixos principais deinércia, Iyz = 0

In = Iy sin2 β + Iz cos2 β

E por fim, com Mn = M cos θ, pode-mos calcular

σn =Mn

Inu

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

P

u

β

v



Flexão Oblíqua


A flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = Mz, então o eixo y é o eixo de solicitação

Cy ≡ ESα = π

2β = 0Cz ≡ LNu = yMn = Mz

In = Iz

Como resultado

σx =Mn

Inu =

Mz

Izy

y ≡ ES

z ≡ LN

C

M

αβ = 0

P

u = yM =Mz



Flexão Oblíqua


A flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = My, então o eixo z é o eixo de solicitação

Cz ≡ ESα = 0β = π

2Cy ≡ LNu = zMn = My

In = Iy

Como resultado

σx =Mn

Inu =

My

Iyz

y ≡ LN

z ≡ ES

C

M

α = 0

β

Pu = z

M =My


Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Programa




Flexão Oblíqua

Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer

Hipóteses básicasO momento M é decomposto em duas componentes My e Mz

O esforço normal é nulo (N = 0)Regime de pequenas deformaçõesMaterial elástico linear⇒ σx = Eεx

y

z CMz

My

+ –

+–



Flexão Oblíqua


Hipóteses básicasPostulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barraantes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação 2

z y

C

u(y, z) = Ay +Bz

2Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora LouisNavier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões emvigas.



Flexão Oblíqua


Se a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano quepassa pela origem, pode ser escrito

u = Ay + Bz

onde A = A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seção

z y

C

u(y, z) = Ay +Bz



Flexão Oblíqua


A deformação longitudinal fica

εx =dudx=

ddx

(Ay + Bz) =dAdx

y +dBdx

z = c1y + c2z

Considerando o regime elástico linear, temos que

σx = Eεx = E(c1y + c2z) = (Ec1)y + (Ec2)z) = ay + bz

A representação das tensões normais resulta em um plano que passa pela origem



Flexão Oblíqua


E do equilíbrio das forças internas

Mz =∫

A σxydA = a∫

A y2dA + b∫

A yzdA = aIz + bIyz

My = −∫

A σxzdA = −a∫

A yzdA − b∫

A z2dA = −aIyz − bIy

y

z

σx

τxz

τxydA



Flexão Oblíqua


Rearranjando os termos{Mz = aIz + bIyz

My = −aIyz − bIy→

[Iz Iyz

−Iyz −Iy

] [ab

]=

[Mz

My

]Daí [

ab

]=

1IzIy − I2

yz

[−Iy −Iyz

Iyz Iz

] [Mz

My

]e os coeficientes ficam

a =MzIy + MyIyz

IzIy − I2yz

b = −MyIz + MzIyz

IzIy − I2yz



Flexão Oblíqua


Retornando emσx = ay + bz

Temos para o caso de y ou z serem eixos quaisquer

σx =

MzIy + MyIyz

IzIy − I2yz

y − MyIz + MzIyz

IzIy − I2yz

z

ou

σx =(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z

IzIy − I2yz

O método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,Iyz e Iz podem ser determinados.



Flexão Oblíqua


Agora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inérciaSe tal condição é válida temos Iyz = 0 e a expressão acima se reescreve como

σx =

(Mz

Iz

)y −

(My

Iy

)z


Flexão Oblíqua Verificação da estabilidade

Programa




Flexão Oblíqua

Verificação da estabilidade

A verificação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveisσc é a tensão máxima de compressão e σt é a tensão máxima de traçãoVamos definir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uA euB as respectivas distâncias

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

Pu



Flexão Oblíqua

Verificação da estabilidade

As seguintes têm que ser satisfeitas

σA =MnuA

In≤ σc

σB =MnuB

In≤ σt

Nas expressões acima não usamos nenhum sinalOs sinais dependem da identificação prévia dos pontos onde ocorre tração oucompressão


Flexão Oblíqua Momento fletor máximo

Programa



Flexão Oblíqua Momento fletor máximo

Flexão Oblíqua

Momento fletor máximo

A partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadaspodemos calcular a capacidade portanteSupondo Mmax o momento máximo que a seção pode estar submetida, temos

Mmax =σtIn

uPara o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitados

Mmax ≤ min{σtIn

uB,

σcIn

uA

}

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

Pu


Flexão Oblíqua Resumo

Flexão Oblíqua

Resumo

My = M cosα; Mz = M sinα; tanα = My

Mz

σx =

MzIy + MyIyz

IzIy − I2yz

y − MyIz + MzIyz

IzIy − I2yz

z

tanα tan β = −IzIy

(Eixos principais de inércia)

σx =

(Mz

Iz

)y −

(My

Iy

)z (Eixos principais de inércia)

σn =Mn

Inu, In = Iy sin2 β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2 β

σA =MnuA

In≤ σc, σB =

MnuB

In≤ σt

Mmax ≤ min{σtIn

uB,

σcIn

uA

}

M

y

z

Mz

My

ES, ss

π2

C

y

z C

ES

M

α

βθMn

A

B

σA

σB

–

+

uA

uB

LN, nn

Pu


Flexão Oblíqua Resumo

Flexão Oblíqua

Resumo

Se mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-ores se alteram

σx =

MzIy − MyIyz

IzIy − I2yz

y − MyIz − MzIyz

IzIy − I2yz

z

tanα tan β = +IzIy

(Eixos principais de inércia)

M

y

z

Mz

My

ES, ss

π2

C


Flexão Oblíqua Exemplo 1

Programa




Flexão Oblíqua

Exemplo 1

Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular astensões nos vértices do retângulo, determinar a linhaneutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensõesreferenciado à LN.Dados: M = 150 kNm; α = 70o

ES

y

z 60 cm

20 cm

C

M

70o



Programa




Flexão Oblíqua

Exemplo 2

Para o perfil L (dimensõesem mm), pede-se determinara posição de nn e as tensõesmáximas. Dados: M = 50 kNm.

ES

C

M

600

50

50

400



Programa




Flexão Oblíqua

Exemplo 3

um momento M age na viga engastada de acordo com a figura. Determine a tensãonormal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M = 1, 5(106) Nmm.

y

z

12

12

12

100

80

CM

A

M

A


resistência dos materiais ii - unidade 01

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