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Professor Luís Juvandes  Aula 17/09/2002  Aula Teórica de 17 – 09 – 2002  Introdução Introdução à disciplina de Resistência de Materiais 1. Enquadramento no plano de estudos. Objectivos. Programa e conteúdo da disciplina. Método de ensino e de avaliação. Bibliografia.

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Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

Aula Teórica de 17 – 09 – 2002

Introdução

Introdução à disciplina de Resistência de Materiais 1. Enquadramento no plano de estudos.

Objectivos. Programa e conteúdo da disciplina. Método de ensino e de avaliação. Bibliografia.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Programa, Conteúdo e Métodos de Ensino das Matérias da Disciplina

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1

Curso de Engenharia Civil

2002 - 2003

LUIS FILIPE PEREIRA JUVANDES

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

11 – INTRODUÇÃO

Tabuleiro de uma Ponte

• Lajes, Vigas e Pilares

• Teoria das Peças Lineares

G

x

y

z

G G

linha do eixomédio (C.G.)

HOMOGÉNIO

MATERIALISOTRÓPICO

EST. DEFORMAÇÃO ( l∆ )

MODELOS DE CÁLCULO

RESISTÊNCIA

DEMATERIAIS EST. TENSÃO (

e )

VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA (dimensionamento, etc.)

Secção transversal do tabuleiro

Viga, pilar e sapata

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

22 – ENQUADRAMENTO NO PLANO DE ESTUDOS

(1º e 2º anos) (2º ano) (3º, 4º e 5º anos)

iência dos Materiais: Teoria de Estruturas 1 e 2

ecânica 1 Materiais de Cosntrução 1e 2

ecânica 2 Estruturas de Betão 1 e 2

ecânica dos Sólidos

RESISTÊNCIA

DE

MATERIAISCadeiras de Projecto (várias)

33 – OBJECTIVOS

• Conteúdo programático adequado às futuras implicações na análise de

problemas reais de engenharia civil;

• Introduzir o cálculo estático da determinação dos seis esforços instalados numasecção tranversal genérica de uma barra linear no espaço;

• Apresentar com detalhe a teoria das peças prismáticas em termos da teoria das

tensões , da teoria das extensões e a descrição constitutiva dos materiais;

• Apresentar as estruturas reticuladas isostáticas e uma vez hiperestáticas sujeitas a esforços de tracção-compressão e de flexão pura, simples, plana e

desviada;

• Introduzir as convenções gerais de sinais utilizadas na análise de estruturas;

• Apresentar problemas que dirijam a atenção do formando para as aplicações

práticas dos assuntos.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

44 – PROGRAMA E CONTEÚDO DA DISCIPLINA DE “RM 1”

• São propostos cinco capítulos previstos para 39 aulas teóricas

• A sequência e a programação das matérias é a seguinte:

• CAPÍTULO 1 – Introdução: consta de uma introdução em que são apresentados os

ojectivos, o conteúdo, o programa da disciplina e ainda o método de avaliação. Recorda-se,

igualmente, conceitos estáticos de equilíbrio de estruturas assimilados nas disciplinas de

Mecânica.

A E

B C D

F JG H I

30 kN/m

[m]1.04.01.0

3.0

B

E F

C

A D

G

VA VD

HA

50kN

CAPÍTULO 2 – Princípios fundamentais: apresenta os conceitos básicos acerca docomportamento dos materiais, lei constitutiva, bem como a teoria das peças lineares, na

formulação que é habitual em Resistência de Materiais.

F

F

N

A B

Oy

u

u

y

• CAPÍTULO 3 – Critérios gerais de segurança: introdução aos critérios de

verificação de segurança em termos de acções e de resistência dos materiais envolvidos.

Definição de coeficientes de segurança e simplificação dos mesmos no caso das situações a

estudar em Resistência de Materiais.

RdSd σ≤σ

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

• CAPÍTULO 4 – Tracção e compressão simples: aplicação da teoria das peças

prismaticas a barras deformáveis de estruturas reticuladas sujeitas somente a esforços axiais.

Desprezar o efeito de instabilidade elastica das barras em compressão.

P

VB

V

H

A

A

HB

P

VB

V

H

A

A

P

VB

V

H

A

A

V

Mola

C

ou

ESTRUTURAS

ISOSTÁTICAS

ESTRUTURAS

HIPERESTÁTICAS

• CAPÍTULO 5 – Flexão: aplicação da teoria das peças prismaticas a barras deformáveis

de estruturas reticuladas sujeitas principalmente a esforços de flexão. Os temas base são:Diagramas de esforços N, V e M; Tensões normais em flexão pura, simples, plana e

desviada; Vigas constituídas por dois materias.

G

GS

S

p

P1P2

z

y

x

secção transversal genérica

G

S

S

P1P2

z

x

N

T

M

yM

xV

xV

Análise da secção S-S

M

M

P

1 .5 0 m

H = 2 k N

[cm]3.0

3.0

15.0

b

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

• O período lectivo de Resistência de Materiais 1 distribui-se por catorzesemanas

55 – MÉTODO DE ENSINO E DE AVALIAÇÃO

• O ensino é realizado em trés aulas teóricas, de duração de 1 hora cada e em

duas aulas práticas, de duração de 2 horas cada , por semana.

• Aulas teóricas são de exposição oral da matéria, no quadro e com a projecção

de transparências ou de multimédia para uma melhor organização e ilustração

das matérias. No fim de cada assunto são formulados e resolvidos alguns

problemas-tipo. As transparências exibidas nas aulas teóricas são disponíveis

aos formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar

brevemente).

• Aulas práticas são, sobretudo, destinadas à resolução de fichas de trabalho com

problemas propostos para resolução, capítulo a capítulo, com apoio doAssistente das práticas. Nestas, evitar-se-ão as introduções teóricas das

matérias. Alguns textos de apoio teórico-práticos estão disponíveis aos

formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar brevemente).

• Método de Avaliação da disciplina - é efectuada com base nas regras descritas

na Ficha da Disciplina e as actuais Normas Gerais de Avaliação(consultar web-page da SiFEUP).

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002

66 – BIBLIOGRAFIA

Em virtude da grande abrangência da Resistência de Materiais 1 e 2, resultaimpossível indicar um livro único de texto que, de forma plenamente satisfatória,

dê cobertura a todas as matérias da disciplina. Contudo recomenda-se os livros

seguintes:

Principal

• Mecânica e Resistência dos Materiais - V. Dias da Silva, Ediliber Ed., Coimbra,

1995.

• Resistência de Materiais - William Nash, , Ed. McGraw-Hill de Portugal, Lda,

2001

Complementar

• Sebenta de Resistência de Materiais - J. Mota Freitas, FEUP, 1978.

• Résistance des Matériaux (1º volume) - Charles Massonnet, Dunod, Paris, 1968

• Vários textos de “suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos” paraapoio à disciplina de “Resistência de Materiais 1” – Luis F. P. Juvandes,

FEUP, 2001, publicado electronicamente no endereço:

http://www..fe.up.pt/~juvandes.

• Resistência dos Materiais (1º volume) - S. P.Timoshenko, Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1976.

• Tabelas Técnicas – J. S. Brazão Farinha e A. Correia dos Reis, Edição P.O.B,

Setúbal, 1993.

• Regulamento de Estruturas de Aço para Edifícios (REAE) - Imprensa

Nacional, 1986

• Regulamento de Segurança e Acções para Edifícios e Pontes - Imprensa

Nacional

• Mecânica dos Sólidos (volumes 1 e 2) - S. P.Timoshenko /Gere, Livros

Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro.

• Resistência dos Materiais - V. Féodosiev, Edições Lopes da Silva, Porto, 1997.

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RM1 02_03

Faculdade de Engenharia da Universidade do PortoDepartamento de Engenharia CivilRua Dr. Roberto Frias 4200-465 Porto PORTUGAL

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 - ANO LECTIVO 2002/2003

NORMAS DE AVALIAÇÃO1. Modo de avaliação de conhecimentos

A avaliação de conhecimentos será efectuada através de avaliação distribuída

com

exame final , nos termos

do parágrafo 3º do Artº 1º das Normas Gerais de Avaliação (NGA).

2. Frequência

2.1 – Condições para obtenção de frequência

Para obtenção de frequência o aluno não pode exceder o número limite de faltas às aulas práticas de acordo

com o parágrafo 1º do Art. 4º das NGA. No presente ano lectivo tal limite é fixado em 7 faltas.

2.2 – Componente distribuída da avaliação

A componente distribuída da avaliação consta da resolução de três fichas individuais em três aulas práticas,

em datas fixadas com uma antecedência mínima de 1 semana. Os alunos que por razões de força maior,

devidamente justificadas, não participem na resolução de alguma ficha, realizarão tal ficha em data a definir.

Estas fichas serão corrigidas e classificadas na escala de 0 a 20 valores.

Será atribuída uma classificação de frequência aos alunos que tenham satisfeito as condições referidas em

2.1. Tal classificação é a média aritmética das três classificações obtidas nas três fichas individuais.

3. Exame final

Só têm acesso a exame final os alunos que tenham obtido frequência (Artº 7º das NGA).

Os exames finais são escritos e sem consulta, tendo a cotação máxima de 20 (vinte) valores.

4. Classificação final

A classificação final será calculada através da média ponderada da classificação de frequência e da

classificação do exame final, arredondadas à décima, atribuindo-se peso 25% à primeira e peso 75% à

segunda.

A classificação final máxima, por via exclusiva de provas escritas, está limitada a 16 (dezasseis) valores; para

a obtenção de classificação superior é necessário realizar uma prova oral suplementar.

5. Alunos dispensados de frequência

A avaliação de conhecimentos para os alunos dispensados de frequência ao abrigo do parágrafo 3º do Artº

4º as NGA será efectuada por um de três critérios:

- Critério adoptado para os alunos ordinários descrito nos pontos 1 a 4;

- Realização de exame final com componente distribuída da avaliação;

- Realização de exame final sem componente distribuída da avaliação.

Os alunos devem declarar a sua opção antes da realização da primeira ficha individual.

Porto e FEUP, 16 de Setembro de 2002

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Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

Aula Teórica de 18 – 09 – 2002

Princípios Fundamentais de RM

Teoria da Peças Lineares ou Barras. Hipóteses fundamentais de RM em termos do material (hip. da

continuidade, hip. da homogeneidade, hip. da isotropia) e das deformações (hip. da

proporcionalidade, hip. das pequenas deformações). Princípio geral do equilíbrio. Conceitos de

Esforço e Tensão. Princípio do Corte, princípio de Saint-Vennant e hipótese de Navier-Bernouilli.

Identificação dos esforços internos em Peças Lineares.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”

FOTO 1 – Edifício com estrutura linear.

FOTO 2 – Vigas de cobertura com secção variável (forma contínua).

FOTO 3 – Viga de apoio das longarinas de secção variável(relação pequena da secção vs. vão).

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”

11 – TEORIA DA PEÇAS LINEARES ou BARRAS

G

x

y

z

GG

linha do eixomédio (C.G.)

Nocção de Peça linear;

• Sólido gerado por uma área plana “S” que se desloca ao longo de uma linha

GG´;

• O eixo médio da barra (linha GG´) é uma linha contínua, não apresenta pontos

singulares e a secção transversal é sempre prependicular a esta;

• A forma e a dimensão da secção transversal podem variar de modo lento e

contínuo;

• As dimensões da secção transversal são consideravelmente menores que o

comprimento do eixo da barra e que o raio de curvatura em qualquer ponto;

A E

B C D

F JG H I

30 kN/m

[m]1.04.01.0

3.0

B

E F

C

A D

G

VA VD

HA

50kN

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

22 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE “RM”

• MATERIAL

• Hip. Continuidade: os sólidos reais são constituídos

por meios contínuos.

• Hip. Homogeneidade: as propriedade mecânicas são

as mesmas em qualquer ponto dosólido.

• Hip. Isotropia: as propriedade mecânicas são iguais em

todas as direcções em torno de um ponto.

• DEFORMAÇÃO

• Hip. Proporcionalidade: num sólido contínuo as

deformações relacionam-se em

todos os seus pontos com as tensões,

em termos lineares e homogéneos.

• Hip. das Pequenas Deformações: os materiais apresentam deformações pequenas

quando comparadas com as

dimensões das estruturas.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

33 – PRINCÍPIO GERAL DO EQUILÍBRIO

Acções

Esforços

Deformações A E

B C D

F JG H I

Reacções

Equilíbrio

6 equações Estruturas no espaço

• Equações gerais da estática

3 equações Estruturas plana

Hipo-estáticas Sem equilíbrio

• Estruturas Isostáticas

Hiper-estáticasCom equilíbrio

• EXEMPLOS:

P

VB

V

H

A

A

P

VB

V

H

A

A

HB

P

VB

V

H

A

A

HIPO - ESTÁTICA ISOESTÁTICA HIPER - ESTÁTICA

44 – ESFORÇOS E TENSÕES

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

• Princípio do Corte – princípio da igualdade da acção e da reacção.

G

GS

S

p

P1P2

z

y

x

secção transversal genérica

Princípio de Saint-Vennant – Quando uma secção de uma peça está suficientementeafastada dos pontos de aplicação das forças exteriores, o estado de tensão nessa secção não

depende da forma como essas forças estão aplicadas, mas únicamente da resultante.

• Hipótese de Navier-Bernouilli – Uma secção plana de uma peça linear não deformada

mantem-se plana após a deformada.

i

j

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

• Identificação dos esforços internos nas Peças Lineares

G

GS

S

p

P1P2

z

y

x

secção transversal genérica

G

S

S

P1P2

z

x

N

T

M

yM

xV

xV

Análise da secção S-S

M

M

Admitindo-se:• TEORIA DAS PEÇAS

LINEARES

• HIPÓTESES FUNDAMENTAIS

DE RM.

• PRINCÍCIOS FUNDAMENTAIS

DE RM

S-SEQUILÍBRIO

Esforços:

Forças

Momento

N - Esforço Axial

Vx

Vy

Esforço Transverso

T - Momento Torçor

My

MxMomento Flector

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002

Esforços reduzidos nos E.P.C.I. (x, y)

y

x

M

M

N

( ) MyMx Ny,x σ+σ+σ=σ

T

yV

V

( ) TVyVxy,x τ+τ+τ=τ⇒

Tensões normais em flexão composta

Tensões de corte

RESISTÊNCIA DE

MATERIAIS - 1 S-S

(Estuda-se)

N - esforço axial

Vy - esforço transverso vertical

Mx - momento flector segundo XX

z

NxM

yVx

y eixo de solicitação (e. s.)

yV = V

xM = M

• Definição de tensão

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Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

Aula Teórica de 20 – 09 – 2002

Princípios Fundamentais de RM

Materiais de RM. Materiais Elásticos (perfeitamente ou parcealmente). Lei Constitutiva do material.

Regimes elástico e linearmente elástico. Lei de Hooke. Material dúctil e material frágil. Tabela com as

propriedades de alguns materias da construção civil. Ensaio de tracção simples. Determinação do esforço

axial, da tensão normal e da deformação axial instalados na barra. Princípio da Sobreposição dos Efeitos.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

MATERIAIS DE “R M”

11 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS

• Contínuos

• Homogéneos

• Isotrópicos

22 – PROPRIEDADE - Elasticidade

• Exemplos: acções em barras

Perfeitamente elástico –

[1]Recuperação da forma inicial após

a descarga das acções

δ = δ elástico • Material Elástico

Parcealmente elástico –

[2]Apresenta deformação residual

após a descarga das acções

δ

elástico + δ

plastica

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

33 – LEI CONSTITUTIVA

• Forma geral – Força = F (Deslocamento) ou Tensão = F (Deformação)

Fases de comportamento do material:

O – Origem

P – Limite de Proporcionalidade Regime Elástico

E – Limite de Elasticidade

R – Capacidade máxima (ruína)

C – Rutura (Colapso)

Leis constitutivas de alguns materiais:

Regime Linear Elástico

P = K δ

ou

σ = K ε

σ

σ

σ

Aço macio Aço duro Aço de alta

Ferro fundido

Borracha

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

• Conceitos:

Dúctil - Apresenta apreciável deformação antes de

atingir a roturaExemplo: Aço macio e o alumino

Frágil -Material

A rotura é precedida de uma deformação

reduzida

Exemplo: Ferro fundido, betão, aço duro,

vidro, pedra

• Lei de Hooke (Robert Hooke, 1678)

(Ensaio de tracção simples)

Regime linear elástico σ = E ε Lei de Hooke [3]

E – Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young

Hipóteses - Barra de secção constante e “P” aplicada normal à secção

- Válidos - Princípio do Corte Cálculo dos esforços (N)

- Princípio de Saint-Vennant Cálculo das tensões (σ)

- Princípio de Navier-Bernouilli Cálculo das deformações (δ)

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

Esforço Axial na secção (z) – N(z)

Tensão Normal na secção (z) - σ(z)

N(z) σ(z) = P/A (z) = N/A (z) [4]

Deformação de uma barra de comprimento “L” - ∆L ou ε

Alongamento ∆L (+) • Deformação (∆L)

Encurtamento ∆L (-)

∆L= Lfinal – Linicial [5]

• Extensão (ε adimensional

ε

= ∆L /L [6]

Relação Tensão vs. Deformação – Lei de Hook

σ = E ε

[4] + [5]+ [6]

Material em regime linear elástico (troço OP)

Barra de secção transversal constante (A = const.)Válida para:

Esforço axial constante na barra (N(z) = const.)

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

44 – TABELA

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002

55 – PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS

• Admitindo Hipótese das pequenas deformações

Material a trabalhar em regime linear elásticos

• Exemplos:

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Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002

Aula Teórica de 24 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Convenções gerais de Resistência de Materiais. Capítulo de Tracção – Compressão simples. Esforço axial e

tensão normal. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas simples. Exemplos de

aplicação.

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002

CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

11 – Barras: Esquerda / Direita

e d

e

d

e d

d e

22 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra

de+

V

N

M

V

N

M

33 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M)

N , V

Me

d++

++

T T

T

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002

TRACÇÃO - COMPRESSÃO

11 – ESFORÇO AXIAL / TENSÃO NORMAL

• Exemplo 1

A B 100 kN100 S

S

0x

5 m

0

A100 S

S

0x

( ) ( ) )tracção(kN100x NSS:SA =∴−→ )tracção(kN100x NSS:SA S - S

( ) ( )tracçãokN100x N

5x0:AB

=

<≤ e d

SECÇÃO S-S ( ) ( )∑=i

peçadaeixoao//Forçasx N

σ(z) = N(z) / Área

Diagrama de Esforços “N”

50 3

+

N(kN)

zz

z

N= 100

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• Exemplo 2

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002

22 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS

• Exemplo 1 – Barra simples

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• Exemplo 2 – Barra simples

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Professor Luís Juvandes Aula 25/09/2002

Aula Teórica de 25 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Capítulo de Tracção – Compressão simples. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de

estruturas formadas por associação de barras. Conceito de barra infinitamente rígida. Efeito da variação da

temperatura. Exemplos de aplicação. Conceito de Segurança de uma estrutura. Critérios de verificação de

segurança em serviço e em ruína.

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22 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS (continuação)

• Exemplo – Associação de barras

PP P

MMééttooddoo GGrrááf f iiccoo – – AAnnaallí í ttiiccoo

• Movimento de Corpo Rígido (Domínio das Pequenas Deformações)

BBaarrrraass DDeef f oorrmmáávveeiiss ((EE ≠≠ iinnf f iinniittoo))

BBaarrrraass IInnf f iinniittaammeennttee R R í í ggiiddaass ((EE == iinnf f iinniittoo))

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/09/2002

• Exemplo 3 – Associação de barras deformáveis

MMééttooddoo GGrrááf f iiccoo – – AAnnaallí í ttiiccoo

P

B A

C

NBC

NAC

1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”

K

K

=

⊕=⇒

BC

AB

y

x

N

N

0f

0f

Dados : A = 65 cm2E = 206 GPa

B A

C

B’

B

V

B

H

αcos

∆BC

l

∆ B C l

∆AB

l

2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS

N

N

BC CB

ABAB

l

l

∆→

⊕∆→⊕

3) DESLOCAMENTO DO NÓ

MÉTODO:2 BARRAS

CONCORRENTESE COM “ l∆ ”

⇒ PERMITR DETERMINAR O

DESLOCAMENTO DO NÓ DECONCORRÊNCIA

4.0 m

3.0 m

+ 400 kN

- 500 kN

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• Exemplo 4 – Associação de barras (deformáveis e infinitamente rígidas)

Barra infinitamente rígida ((EE == iinnf f iinniittoo)) ∆ll == 00

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33 – EFEITO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (∆T)

T1 – temperatura de fabrico da barra

T2 – temperatura aplicada à envolvente exterior da barra

∆T = Τ

2

Τ

1

temperatura diferencial (+ ou -)• Material

α

- coeficiente de dilatação térmica

0

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44 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA

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• Serviço (Estado Limite de Utilização)

Limitar deformações:

p

z

y

Eq. da Deformaçãoy (z) = ?ϕ (z) = ?

Válido:

Elástico (Lei de Hooke) (troço OA) Regime

Elástico – Plástico (troço OAB)

A B

O

y

u

u

y

Cálculos sem majorar as acções sobre a estrutura:

δ

P ≤ δ limiteϕP ≤ ϕ limite

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

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• Ruína (Estado Limite de Último)

Limitar Tensões (Esforços):

A E

B C D

F JG H I

Conceitos de VALORES DE CÁLCULO (índices Sd; Rd):

1 – Valor de Cálculo da Tensão Actuante ( σSd ; τSd)

2– Valor de Cálculo da Tensão Resistente ( σRd ; τRd)

σ

Sd ≤ σRdτSd ≤ τRd

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Professor Luís Juvandes Aula 27/09/2002

Aula Teórica de 27 – 09 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Capítulo de Tracção – Compressão simples. Dimensionamento de barras sujeitas a esforços axiais

(continuação). Exemplo de aplicação. Conceito de coeficiente de Poisson. Lei de Hooke generelizada

(deformação axial). Variação de secção transversal e de volume de uma barra.

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55 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA EM TRACÇÃO - COMPRESSÃO

• Exemplo

• Ver. Seg. em SERVIÇO (limitar a deformação)

Barra mais desfavorável

Ponto mais desfavorável

• Ver. Seg. à RUÍNA (limitar a tensão)

N máx

Barra mais desfavorável σ máx

Cálculo:

N máx σ máx

σRdx - Imposto pelo Regulamento do Material

Problemas possiveis:

DIMENSIONAMENTO (A = ?)

CAPACIDADE MÁXIMA (N máx = ?)

VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

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• Exemplo 3

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

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66 – DEFORMAÇÃO GENERALIZADA

EIXO LONGITUDINAL (ZZ) – deformação da aresta “dz”

dz • dz + ∆dz = dz (1 + εz)

• εz = ∆dz / dz

• ELEMENTO DE ÁREA (plano X Y) – variação da área da secção transversal

dx • dx + ∆dx = dx (1 + εx)

• εx = ∆dx / dx

dy• dy + ∆dy = dy (1 + εy)

• εy = ∆dy / dy

A0 = dxdy • A = A0 (1 + εx) (1 + εy)

= A0 (1 + εx + εy + εx εy )

= A0 (1 + εx + εy)

• εA = (A - A0) / A0 = (εx + εy)

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 27/09/2002

• ELEMENTO DE VOLUME – variação do volume do de um sólido

V0 = dxdydz • V = V0 (1 + εx) (1 + εy) (1 + εz)

= V0 (1 + εx + εy + εz + εx εy + εx εz + εy εz + εx εy εz)

= V0 (1 + εx + εy + εz)

• εV = (V - V0) / V0 = (εx + εy+ εz)

77 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA

• Válidos • Material Isotrópico

• Lei constitutiva do material = tipo linear

• Domínio das pequenas deformações

Tensões Normais (σ

σx •ε

1

x = σx / Εx

•ε

1

y = ε

1

z = - K 1 ε1

x

σy • ε

2

y = σy / Εy

• ε

2

x = ε

2

z = - K 2 ε

2

y

σz •ε

3

z = σz / Εz

•ε

3

x = ε

3

z = - K 3 ε

3

z

Mod. Elasticidade Longitudinal

Εx = Εy = Εz = Ε

Coeficiente de Poisson

K 1 = K

2 = K

3=

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• Princípio da Sobreposição dos Efeitos

σx + σy + σz • εx = ε

1

x + ε

2

x + ε

3

x= σx / Ε – ν [σy / Ε + σz / Ε]

•εy = ε

1

y + ε

2

y + ε

3

y= σy / Ε – ν [σx / Ε + σz / Ε]

•εz = ε

1

z + ε

2

z + ε

3

z= σz / Ε – ν [σx / Ε + σy / Ε]

Tensões Tangênciasi (τ

τ

x + τ

y + τ

z •γ

x = 1/ G τ

xy

•γy = 1/ G τxz

•γz = 1/ G τyz

Modulo de Distorção

• G = E / 2(1+ ν)

[ 1 ] e [ 2 ] - Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos

• Variações de Áreia e de Volume de um sólido

[ 1]

[2]

1 / K K = Módulo de CompressibilidadeVolumétrica

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• Algumas Conclusões:

• σx > σy > σz • εx > εy > εz

• E > 0

G > 0 • K > 0

• 1 + ν

> 0 ν

> -1

• 1 - 2ν

> 0ν

< 0,5

-1 > ν > 0,5

• ν = 0,5 • Material Incompressível

• K = infinito ε

V = 0

• ν = 0 • G = E / 2

• K = E / 3 εV = 3 εm

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Professor Luís Juvandes Aula 01/10/2002

Aula Teórica de 01 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Esforço e deformação axial em barras de secção varialvel. Efeito do peso próprio. Barras de igual

resistência. Exemplos. Trabalho de deformação. Módulos de resiliência e de tenacidade.

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88 – TEORIA DAS PEÇAS LINEARES (algumas aproximações)

• Barras não prismáticas – casos especiais

Barras de secção variável [ A (z)]

Barras sujeitas ao peso próprio [ q(z)]

Peças de eixo curvo (Tubos)

CASO GERAL (Secção transversal e Esforço axial variáveis)

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• Exemplo 1 –Barra prismática sujeita a carga concentrada e ao pesopróprio (secção transversal constante)

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• Exemplo 2 –Barra de igual resistência ( (z) = constante)

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• Exemplo 3 –Barra composta por tramos prismáticos de secçãoconstante (Ex:Pilares)

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• Dimensionamento de pilares

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99 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO (Regime Elástico)

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• Material Linear Elástico e Perfeitamente Plástico (ex: o Aço)

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Professor Luís Juvandes Aula 02/10/2002

Aula Teórica de 02 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples

Cargas aplicadas bruscamente segundo o eixo da barra (continuação). Exemplo de aplicação. Barras

constituidas por dois materiais. Conceito de homogeneização. Exemplos de aplicação.

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88 – CARGAS APLICADAS BRUSCAMENTE

• Exemplos – Cravação de estacas no solo; cabos de suporte de elevadores.

• Condições - Despresar o peso próprio da barra e da espera

- Material em Regime Elástico – Linear

• Equlíbrio Princípio da Conservação da Energia

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P

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• Exemplo 1

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99 – PEÇAS CONSTITUÍDAS POR MAIS DO QUE UM MATERIAL

• Problema:

• Secção não isotrópica.

• Distribuição de tensões normais não é uniforme.

• Problema hiperestático.

• Hipóteses:

• Barra constituida por dois materiais.

• Secção constante ao longo da barra.

• Materiais perfeitamente solidarizados entre si.

• Materiais em regime elástico – linear ( máx E)

• Válido:

• Hipótese de Navier - Bernouilli.

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• Conceito de Homogeneização da secção

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• Exemplo 2

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Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002

Aula Teórica de 04 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão. Equilibrio de forças e compatibilidade de deformações.

Problemas uma vez hiperestáticos. Exemplos de aplicação com estruturas formadas com barras

deformáveis, infinitamente rígidas e com molas elásticas e sujeitas a cargas aplicadas.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002

11 – INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

• Exemplos

P

RA

RB

V

P

1

P

VB

V

H

A

A

P

RA

RB

RC

V

P

1

2

A ; E1 1

A ; E2 2

HB

P

VB

V

H

A

A

P

VB

V

H

A

A

V

Mola

C

ou

ESTRUTURAS

ISOSTÁTICAS

ESTRUTURAS

HIPERESTÁTICAS

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002

• Exemplos

VARÃO ROSCADO [Aperto da porca]

2.0 m

1.8 m

5mm

varão

roscado

Apertoda

porca

p - Passo da rosca

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA [∆t ; ∆t ]

A

[m]4.0

Baço cobre

[ t ]∆

∆t

SOBREPOSIÇÃO DE EFEITOS [Forças; ∆δ; ∆t]

P

[m]2.0 3.0

3.0

A

BC

D

2.0

3.0

E

∆δ

∆ t

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

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• Acções sobre as estruturas a estudar em RM

A C Ç Õ E S N U M A

E S T R U T U R A

( e m R

M )

1 º - F O R Ç A S / M O

M E N T O S D I R E C T A M E N T E A P L I C A D O S ;

2 º - V A R I A Ç Õ E S D

E T E M P E R A T U R A (

) ;

d i m i n u i ç ã o (

∆ t

t

t

)

a u m e n t o (

)

3 º - A S S E N T A M E N

T O

D E A P O I O S / D E F E I T O S D E F A B R I C O :

t r a d u z i d o s p o

r u m d e s l o c a m e n t o d e

u m n

ó (

)

δ

-

+

A

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

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22 – PEÇAS SUJEITAS A CARGAS EXTERIORES

• Exemplo 1

E X E M P L O

1

2 . U

m a b a r r a A B d e s e c ç ã o

c i r c u l a r é

c o n s t i t u í d a

p o r d o i s

m a t e r i a i s , c

o n f o r m e

r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a , l i g a d o s d e m o d o a s e r i m p o s s í v e l q u a l q u e r m o

v i m e n t o

r e l a t i v o e n t r e o s d o i s m a

t e r i a i s .

a

) P a r a u m a c a r g a a x i a l P = 1 0 0 k N d e t e r m i n e a s

t e n s õ e s

n o r m a i s i n s t a l a d a s n o

m a t e r i a l 1 e n o m a t e r i a l 2 .

b

) P a r a a m e s m a c a r g a d

e t e r m i n e o d e s l o c a m e n t o d o p o n t o B .

D

a d o s :

M a t e r i a l 1

-

E

= 7 0 G P a

A

= 9 c m

M a t e r i a l 2

-

E

= 2 1 0 G P a

A

= 2 c m

1 2

2 2

3 . 5 m

2 1

2 1

P = 1 0 0 k N

N

= 6 0 k N

N

= 4 0 k N

2 1

1 2

- B a r r a s c o n

s t í t u i d a s p o r d o i s m a t e

r i a i s

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• Exemplo2

E X E M P L O

- 2

N

= N

= 3 1 . 6 2

A D

C D

N

= 4 9 . 4 0

B D

A

= A

= A

A D

B D

C D

E

= E

= E

A D

B D

C D

M A T E R I A L :

4 . 0 m

3 . 0 m

3 . 0 m

A

B

C

P = 1 0 0 k N

D

-

A p l i c a ç ã o d e f o r ç a s

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

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• Exemplo 3 – Comportamento de uma mola (elástico)

E X E M

L O

3

3 .

A f i g u r a r e p r e s e n t a u m a e s

t r u t u r a c o n s t i t u í d a p o r u m a b a r r a r í g i d a

e

p o r d o i s t i r a n t e s d e a ç o c o m a

s s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a

s :

E = 2 0 0 G P a

A = 1 0 c m

T e n s ã o d e c e d ê n c i a : 2 3 5 M

P a

a ) C a l c u l e o s e s f o r ç o s a x i a i s n o s t i r a n t e s e o d e s l o c a m

e n t o v e r t i c a l d o n ó

p a r a

P = 2 0 0 k N .

A B C

C

2

N

= 2 1 4 . 5

9 2 k N

B D

N

= 1 5 4 . 5

0 6 k N

C D

N

=

B D

R

=

m o l a

M O L A :

K = 4 X 1 0

k N / m

4

P

[ m ]

4 . 0

4 . 0

3 . 0

A

B

C

D

P

A

B

C

D

E

b ) O

m e s m o q u e

a ) a d m i t i n d o a n o v a e s t r u t u r a i n d i c a d a .

- A p l i c

a ç ã o d e f o r ç a s

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33 – CÁLCULO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS - METODOLOGIA

E S T R U T U R A S

H I P E R E S T Á T I C A S

(

)

G R A U 1

1 º - I M P Ô R U M A D E F

O R M A D A C O M P A T Í V E L C O M A

E S T R U T U R

A ;

2 º - I D E N T I F I C A R A S

I N C Ó G N I T A S E S F O R

Ç O S / R E A C Ç Õ E S

E O S S E U S S E N T

I D O S ;

3 º - E S C R E V E R A S E

Q U A Ç Õ E S :

3 . 1 - C O M P A T I B I L

I D A D E D E D E F O R M A

Ç Ã O

(

)

3 . 2 - E Q U I L Í B R I O

(

)

1 e q .

a t é a o m á x i m o d e 3 e q .

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Aula Teórica de 08 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Efeitos da variação de temperatura e de

deformações impostas a barras da estrutura (aperto de um varão roscado, defeito de fabrico e assentamento

de apoio). Exemplos de aplicação.

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44 – PEÇAS SUJEITAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA

• Exemplo 1

E X E M P L O

4

a ) A f i g u r a

r e p r e s e n t a u m v

e i o d e c o b r e

i n s e r i d o n o i n t e

r i o r d e u m

t u b o d e

a ç o . A m b o s

o s

m a t e r i a i s

e s t ã o

p e r f e i t a m e n t e s o l i d a r i z a d o s

n a s e x t r e m i d a d e s a t r a v é s d e

d u a s p l a c a s r í g i d a s

e

. S e o v e i o d e c o b r e s o f r e r

u m a d i m i n u i ç ã o d e t e m p e r a t u r a d e 2 0 º C , q u a l o v a l o r d o s

e s f o r ç o s n o s m a t e r i a i s ?

A ç o :

E

= 2 0 6 G P a

A

= 5 c m

= 1 . 2 5 x 1 0

/ º C

C o b r e :

α E

= 1 2 0 G P a

A

= 6 c m

= 1 . 5 x 1 0

/ º C

b ) C o n s i d e r e a e s t r u t u r a r e

p r e s e n t a d a n a f i g u r a , c o m a s

s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a s t a m

b é m i n d i c a d a s .

D e t e r m i n e o e s f o r ç o n a e s t r u t u r a s o b a c ç ã o d e u m a v a r i

a ç ã o d e t e m p e r a t u r a d e + 1 0 º C n a b a r r a

.

E

= 2 0 0 G P a

A

= 2 0 c m

= 1 . 0 x 1 0

/ º C

K = 4 x 1 0

k N / m

α α

B a r r a A B :

M o l a :

A

B

A B

S S

2

S

- 5

- 5

C C C

2

N

= - N

= 1 2 . 7 1 3 k N

C

S

A

[ m ]

4 . 0

B

a ç o

c o b r e

N

= + R

= - 1 3 . 3 3 k N

A B

m

C C C

- 5

2

∆ t = + 1 0 º C

A

B

C

[ m ]

5 . 0

R

= k ∆

m

m

4

- A p l i c a ç ã o d e u m a v a r i a ç ã

o d e t e m p e r a t u r a

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 08/10/2002

55 – PEÇAS SUJEITAS A DEFORMAÇÕES IMPOSTAS

• Exemplo – Aperto de um varão roscado ou um parafuso

PARAFUSO

cabeça

espigadn parte roscada

da espiga“b”

PORCA

dn

p = passo da rosca (=1 volta na porca)

Z o n a r o s c a d a

==

=

CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE PARAFUSOS

VÁSTAGO CABEZA

P A R A

F U S O

T I P O Diámetro de

la caña

d n

mm

Diámetrointerior

d 1

mm

Longitudroscada

b

mm

Longitud dela salida

x

mm

Longitud delchaflán

z

mm

Espesor

k

mm

Medida entrecaras

s

mm

Medida entrearistas

e

mm

Radio delacuerdo

r

mm

Diámetrodel

agujero

d

mm

4

d

A2

=

cm2

4

'd

'A2

π

=

cm2

M 10 10 8.160 17.5 2.5 1.7 7 17 19.6 0.5 11 0.785 0.580

M 12 12 9.853 19.5 2.5 2 8 19 21.9 1 13 1.131 0.843

M 16 16 13.546 23 3 2.5 10 24 27.7 1 17 2.011 1.57

M 20 20 16.933 25 4 3 13 30 34.6 1 21 3.142 2.45

(M 22) 22 18.933 28 4 3.3 14 32 36.9 1 23 3.801 3.03

M 24 24 20.319 29.5 4.5 4 15 36 41.6 1 25 4.524 3.53

(M 27) 27 23.319 32.5 4.5 4 17 41 47.3 1 28 5.726 4.56

M 30 30 25.706 35 5 5 19 46 53.1 1 31 7.069 5.61

(M 33) 33 28.706 38 5 5 21 50 57.7 1 34 8.553 6.94

M 36 36 31.093 40 6 6 23 55 63.5 1 37 10.179 8.17

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• Exemplo 2 – Aperto de um varão roscado

E X E M P L O

- 5

Q u e t e n s õ e s s e p r o d u z i r

ã o n u m p a r a f u s o d e a ç o e n u

m t u b o d e c o b r e ,

q u a n d o s e d e r ¼ d e v o l t a à p o r c a .

D a d o s :

A ç o :

p a s s a d a

r o s c a

= p = 3 m m

A

= 6 c m

; E

= 2 0 6 G P a

C o b r e : A

= 1 2 c m

; E

= 1 2 0 G P a

N

= - N

= 6 6 . 5 1 1 k N

A

C

S

S

2 2

C

C

= 7 5 c m

c s A

c s

B

- A p e r

t o d e u m V a r ã o r o s c a d o

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• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado

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• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico

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Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002

Aula Teórica de 09 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas

Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Comportamento de uma estrutura, formada

por barras de mateial elástico – perfeitamente plástico, até à ruína devido ao efeito de uma carga crescente.

Determinação da lei carga vs. deslocamento (comportamento elastico-plastico). Esforços e deformações

residuais nas barras após descarga da estrutura. Exemplo de aplicação.

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66 – COMPORTAMENTO ELASTO - PLÁSTICO

• Exemplo 1 - UMA BARRA DE AÇO

A B

O

y

u

u

y

Fe 360• AÇO Fe 430

Fe 510

F

F

N

• Material DÚCTIL ⇒ presença de patamar de cedência

• Em TERMOS DE CÁLCULO – diagrama da lei constitutiva do material

A B

ODC

C´D´

B´ A´

y

y-

+

COMPRESSÃO

TRACÇÃO+

Material Elástico Perfeitamente Plástico OAB - Carregamento (tracção)BC - Descarga

OA – comportamento linear elástico AB – comportamento plástico

(patamar de cedência)

'B'OA - Carregamento (compressão)'C'B - Descarga

Admite-se que σP = σE

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

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Comportamento:

TROÇO OA

PONTO “A”

- Regime elástico (R.E) [ σ ≤ σy ]

• válido Lei Hooke ∴⇒ EA

Nll =∆

- Início da plastificação da secção

• ⇒=σ=σA

N máxy A N ymáx σ=

tensão de cedência do material

TROÇO AB - Regime plástico (R.P.) Nmáx Nmáx = Aσy x

σ= const. = σy

E

M C

A R G A

Fim do carregamento• A barra sofre deformação a tensão constante, isto é,

a barra está em cedência sem poder absorver maisesforço (PLASTIFICOU)

Comportamento:

DOMÍNIO OA - Material sempre em Regime Elástico (R.E.)

A

O

y

• Na descarga as deformações são eliminadas totalmente porque o material nunca plastificou

σ = 0 σ =σy

ε = 0 ε = εy

σ = 0

ε= 0

carga desc.

DOMÍNIO AB

- Após o ponto “A” o material entrou em Regime Plástico(R.P.)

E M D

E S C A

R G A

A B’’

CO

r

B’B

• Uma vez em patamar de cedência, a descarga faz-se paralelamente ao troço OA do regime elástico

Descarga é feita sempre em R. Elástico

• εr = deformação residual (irreversível) após descargaa partir do ponto B (B’ ou B’’)

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• Exemplo 2 - ESTRUTURA FORMADA POR VÁRIAS BARRAS

A = const = 10 cm

2

E = const = 206 GPa 3 m 3 m

4 m

P

A

Ex:

B C

D

N1 N3N2

N = N = f (P) = 0.2514 P1 3

N = f (P) = 0.6983 P

2

(+ esforçada)

0 < P < P1

⇒ Regime Elástico (R.E.)

• Todas as barras estão em R.E., isto é1 2 3 y<, ,

• Válido: σ = N/A e σ = E ε

E s t . h i p e r e s t á t i c a

P = P1 ⇒

1.ª Barra plastifica →

a mais esforçada

• barra BD →2 y

=máx

=N = N = Ax2 máx y

E s t . I s o s t á t i c a

P1 < P < P2 ⇒ Regime Elasto-Plástico (R.E.P.)

• 1 barra plastificada e as restantes em R.Elástico

2 = y

1 3, y<

• Válido: σ = E ε (só para barras AD e CD) e σ = N/A

P = P2 ⇒ Ruína da estrutura

• todas as barras estão plastificadas (R.P.)

1 2= 3= y=

E s t . h i p o e s t á t i c a

RUÍNA DESENHAR CURVA DE COMPORTAMENTO P = f (δ)

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44 – Ruína da estrutura [ ]2PP = - todas as barras estão plastificadas

Nmáx

2

Nmáx

Nmáx

P = P

A B C

D

D

2

D

D

2

CD

ADCD

AD

=+α××⇔=Σ ====

P Nsen N20FkN235 N N N N

máxmáxy

máx321

[ ][ ]α+=

α+=

sen21235

sen21 NP máx2

( ) α

=δ==δ senPPCD2

D2D

l

kN517P2 = ; m1067.12 42D

−×=δ

55 – Diagrama de comportamento da estrutura -DP = f ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

100

200

300

400

500

600

O

P1

P2 RU NA

C a r g a

D e s c

a r g

a

desc.res

carg.

D

7.41

P

(kN)

(x 10 m)- 4

=res. carg. desc.-

= 7.41 - 5.42= 1.99 x 10 m-4

517

336.5

4.56 12.67

Análise: Qual o deslocamentode “D” após a aplicação àestrutura de P = 400 kN.

• Como P1< 400 < P2

• Regime elasto-plástico

• δD(P=4000)= [ 1]

= 7.41 mm

Análise: Qual o efeito naestruturas após a descarregadesta (P=0).

( )

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002

66 – Descarga da estrutura [ ]kN0P ⇒

• Exemplo: Aplicou-se à estrutura o seguinte,

1.ª Fase - Carga P = 0 kN 400 kN

2.ª Fase - Descarga P = 400 kN 0 kN

• Após a descarga pretende-se saber se existem deformações e esforços residuais nas barras da estrutura

Cálculo do Deslocamento residual do nó “D” (irreversível)

1.ª Fase - Carga ⇒ P = 400 kN

• Como 21 P400P << ⇒ expressões de 3 – Regime Elasto-Plástico

m10416.7senEA

N

ado)(PlastifickN235 N N

kN5.137

sen2

235P N N

CARGA

3

21.car

D

máx.car.

2

3.car

1

−×=α

==

=

α×

−==

l

2.ª Fase - Descarga ⇒ P = 0 kN

• É válido as expressões de 1 – Regime Elástico

m1042.54001P

kN279.32P 6983.0 N

kN100.56P 2514.0 N N

DESCARGA

kN400P

4desDdes

D1

D

.des2

.des3

.des1

−×=δ⇒δ

==

===→=

Deslocamento Residual → m10996.1 4desD

car D

resD

−×=δ−δ=δ

( )

( )

( )

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002

Cálculo dos Esforços residuais nas barras

• Após kN400P = ⇒

ElásticoR.CD,AD barras

u plastificoBD barra

• Barra BD → Responsável pela deformação residual do nó “D”

• Como o nó “D” não regressa à posição inicial, então

0 N finaisi ≠ quando 0P =

• Como o comportamento da estrutura pode ser interpretado como a somados efeitos seguintes:

1.ª Fase + 2.ª Fase

Válido o PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS (P.S.E.)

aargdesci

aargci

finaisi N N N −=

Isto é

kN32.4432.279235 N N N

kN94.3656.1005.137 N N N N aargDesc

.des2

.car 22

.des

1

.car

131

−=−=−=

+=−=−==

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Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

Aula Teórica de 11 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Peças de eixo curvo

Peças de eixo curvo. Cálculo do estado de tensão e de deformação de um tubo de parede delgada.

Aplicação da teoria das peças lineares. Tubos constituídos por dois materiais. Exemplo de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

11 – PEÇAS DE EIXO CURVO

• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (1 só material) • Interpretação do que se passa na secção transversal da peça curva

e

e = constante

b

pi

máx.σ

2

er 2 m

pi

máx.med.σ

2

er 2 m

e

⊕i p

r m

r i

r e

• TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS (lineares)

• Admitindo a “ .medσ ”

•0F

(OK)0F Equilíbrio .Eq

y

x

b e 2 b 2er 2 p .medmi σ=

−×

e

2

er p mi

.med

Tensão média na parede do tubo [1]

•se imedm

p2

11

r

e

α=σ⇒=α

[2]

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

• TEORIA DA ELASTICIDADE

α+α

=σ4

1 p 2

i.máx [3]

• ERRO COMETIDO quando se aplica a TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS em

substituição da TEORIA DA ELASTICIDADE

• se

21

4

12

.med

.máxα

+

α+

σ

(OK tubos)

mr /e=α 0.01 0.02 0.05 0.1 0,2

.med.máx /σσ 1.0051 1.0102 1.0263 1.0553 1.1222

erro 0.51% 1.02% 2.63% 5.53% 12.22%

Se se considerar o valor de 5% COMO O LIMITE MÁXIMO ADMISSÍVEL PARA O ERRO

e generalizando-se a outras peças de eixo curvo, conclui-se que A TEORIA DAS PEÇAS

LINEARES é aplicável a peças curvas enquanto a relação entre a espessura no plano de curvatura

e o raio médio de curvatura da peça ( mr ) for infaerior a 0.1.

⇒≤ 1.0r /e m é válida a equação [1]

• DEFORMAÇÃO DA SECÇÃO TRANSVERSAL

• Válida a Lei da Conservação das Secções Planas e a Lei de Hook

• ε p = ∆ perímetro/perímetro = 2 rm / 2 rm m

mt

r r ∆=ε

Ee2

er p

E

mi

.medt

=σ=ε

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

• EXPRESSÕES APROXIMADAS (válidas em termos práticos)

r m

⊕ip

⊕ep

⊕∆t

(raio médio)

⊕∆t

⊕ep

⊕ip

r m

TENSÃO E DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL

( )e

r p p mei.med

+=σ

m

mmedt

r

r t

E

∆=∆α+

σ=ε

∆ ⊕

t

p

p

ACÇÕES e

i

( )m

2mei

m r tEe

r p pr ∆α+

+=∆

• Convenção de sinais ⊕ - indicada na figura

• Expressões aproximadas porque mm r 2

er ≈

• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se

i

i

e

eeeiit

eeiimed

r

r

r

r t

eE

r pr p

e

r pr p

∆=

∆=∆α+

+=ε

+=σ

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (2 materiais diferentes)

ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

• Materiais perfeitamente solidarizados na peça

• Válidas todas as hipóteses referidas aqui e nas aulas de 02/10 e 04/10

IIe

Ie

Imr

IImr

I

II

II

IIe

Ie

Imr

x

I

x+

IImr

Ii p I

i p

• Substituição dos tubos pelos seus eixos médios

TUBO I I

I

A

E

TUBO II II

II

A

E

Imr

IImr

Imr

x

x+

IImr

Ii p

•Equação de. equilíbrio do tubo

I

I

Imi

I

e

r )X p( −=σ

• Equação de. equilíbrio do tubo II ⇒ II

IIm

IIe

r X=σ

• Equação de compatibilidade de deformação entre os tubos ⇒ IIm

Im r r ∆=∆

• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se

IIIII

I

eII

II

iIII

I

e

I

iiI ;

eXr

eXr ;

er Xr p ε=ε==σ−=σ

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002

• EXEMPLO 1

A figura representa o conjunto de dois tubos destinados ao transporte de um fluído dotado de uma pressãointerior p. Sabendo que o tubo 1 está inserido sem folga no interior do tubo 2 calcule:

a) As tensões instaladas no tubo 1 e no tubo 2

para uma pressão interior de 10 MPa.

b) O valor máximo da pressão p em condições

de segurança (garantia do estado limite de

último de resistência).

c) O valor de pressão p que conduz à primeira

cedência do material.

d) O valor de pressão p de ruína dos tubos em

serviço.

0.004

0.30

Tubo 1

Tubo 2

0.008

p = 10 MPa

[m]

Tubo 1: E = 200 GPa; e = 4 mm; σRd = 335 MPa; σy = 235 MPa

Tubo 2: E = 100 GPa; e = 8 mm; σRd = 160 MPa; σy = 133 MPa

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Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002

Aula Teórica de 15 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Revisões

Conclusão da aula anterior e resolução de exercícios de revisão.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002

• Exemplo 2

1. Dispõe-se uma estrutura formada por dois tubos para

fazer o transporte de um fluido com uma pressão interior

“p”. O tubo 1 está inserido com uma folga de 1mm no tubo

2. Determine:

a) O valor de “p” necessário para eliminar a folga

existente entre os dois tubos;

b) As tensões instaladas nos tubos se a pressão interior dofluido for de 10 MPa.

Tubo1: E = 10 GPa

Diâmetro int. = 200mm

Espessura = 10mm

Tubo 2: E = 20 GPa

Diâmetro int. = 222mm

Espessura = 10mm

SOLUÇÃO: a) p = 9070,3 kPab) 1 = 98929 kPa

2 = 6745,4 kPa

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002

• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002

• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico

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Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

Aula Teórica de 16 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas

Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas: o método analítico. Exemplo de

aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

DESLOCAMENTO DE NÓS DE ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)

11 – INTRODUÇÃO AO DESLOCAMENTO DE UM NÓ

PP P

• Exemplo 1 – – EEssttr r uuttuur r aa ccoomm 22 bbaarrrraass – – MMééttooddoo GGr r ááf f iiccoo -- AAnnaallííttiiccoo

P

B A

C

NBC

NAC

1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”

K

K

=

⊕=⇒

BC

AB

y

x

N

N

0f

0f

B A

C

B’

B

V

B

H

αcos

∆BC

l

∆ B C l

∆AB

l

2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS

N

N

BC CB

ABAB

l

l

∆→

⊕∆→⊕

3) TRIÂNGULO DE DEFORMAÇÃO

( )

( )

↓αα

×

α

∆+∆=δ

→∆=δ=δ

sen

cos

cos

BCAB

VB

ABHB

B ll

l

MÉTODO:

2 BARRAS

CONCORRENTESE COM “ l∆ ”⇒

PERMITR DETERMINAR

O DESLOCAMENTO DONÓ DE CONCORRÊNCIA

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

• Exemplo 2 – – EEssttr r uuttuur r aa ccoomm vváárriiaass bbaarrrraass

1)

B

A C

ED

F

2)

A E

B C D

F JG H I

• CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS NÓS DA ESTRUTURA:

• MÉTODO ANALÍTICO

• MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DECARGA (UFC)

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

22 – MÉTODO ANALÍTICO - Introdução

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

22 – MÉTODO ANALÍTICO – Metologia de Aplicação

1 – Numeração dos “nós” da estrutura:

i, j, ...

2 – Identificação das barras:

barra i-j; orientação ij

3 – Cálculo dos esforços nas barras:

⊕ - tracção

Equilíbrio de nós ⇒ Nij - compressão

4 – Construção da tabela auxiliar:

i-j Nij (kN)

t(ºC)

Aij (cm2)

ij (m)

(u j-ui) cos θij (v j-vi) sen θij ij

(m)

1-2 ... ... ... ... ... ... ...

2-3 ... ... ... ... ... ... ...

5 – Escrever para cada barra a equação de deformação, obtendo-se, no final um sistema de equações:

barra i-j⇒ (uj - ui) cos ij + (v j-vi) sen ij = ij ondeij

ij tEA

N

∆α+=∆ l

ll

6 – Introdução das condições fronteira:

(u, v) = valor conhecido

(u, v) = (0,0)

Ex: apoiosu = 0

(u,v) = (u, 0)

7 – Resolução do sistema de equações determinado em (5):

Tabelas de resultados

Nó u(m)

v(m)

⊕Resultados (u, v)

u

v

+

12.........

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Apresentação dasolução sob aforma de Tabela

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002

• Exemplo 3 – – CCaallccuullee ooss ddeessllooccaammeennttooss ddooss nnóóss ddaa eessttr r uuttuur r aa aar r ttiiccuullaaddaa r r ee p pr r eesseennttaaddaa nnaa f f iigguur r aa,, uuttiilliizzaannddoo oo mmééttooddoo aannaallííttiiccoo.. AA áár r eeaa ddee sseeccççããoo ttr r aannssvveer r ssaall éé ddee

2200 ccmm22 p paar r aa aass b baar r r r aass AABB ee BBDD éé ddee 1155 ccmm22 p paar r aa aass r r eessttaanntteess ee oo mmóódduulloo ddee YYoouunngg iigguuaall aa 220000 GGPPaa αα==11..2255xx1100--55// ººCC..

A B D

C

[m]3.0 6.0

2.0 t = + 1 0 º C

∆ 60kN

i) Cálculo de esforços [kN]:

⇒=Σ

=Σ)kN( N

0f

0f nós dos .Eq ij

y

x

A

C

BD

-180 -180

- 1 8 0

1 0 6 0 1 3

6 0[kN]

ii) Cálculo dos deslocamedntos dos Nós (u, v):

DADOS SISTEMA DE EQUAÇÕES

BARRA Nij (kN)

t (ºC)

Aij (m2)

ij (m)

(u j-ui) cos ij (v j-vi) sen ij ij (m)

A-B -180 - 20×10-4 3 (0-uA) 1 (0-0) 0 -1.35×10-

3

B-D -180 - 20×10-4 6 (uD –0) 1 (vD-0) 0 -1.35×10-

3

A-C 1360 +10 15×10-4 13 (uC –uA) 133 (vC-0) 132 3.0507×10-3

C-D 1060 - 15×10-4 102 (uD –uC) 1026 (vD- vC)

1022 4.0×10-3

B-C -180 - 15×10-4 2 (uC-0) 0 (vC-0) 1 1.2×10-3

CONDIÇÕES FRONTEIRA:→

RESULTADOS:

B

⇒ φ== BB vu Nó u (mm) v (mm)

A

⇒ φ=

A

A

v

0u u

v

+

A

B

C

D

1.35

0

5.816

-2.7

0

0

-1.2

-39.4

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Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

Aula Teórica de 18 – 10 – 2002

Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas

Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas (continuação): Método da Unidade

Fictícia de Carga ou Maxwell-Mohr. Exemplo de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

33 – MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC)

• Exemplo - Introdução

C A

B

?VB =δ

ED

P1

t∆ P2

A B C

D

P1

P2

?HD =δ

t∆

P3

?VD =δ

OBJECTIVOS VALOR DA COMPONENTE DO DESLOCAMENTO DE UM NÓ

NUMA DADA DIRECÇÃO (vertical, horizontal, ...) OUROTAÇÕES DE BARRAS

MÉTODOMAXWELL-MOHR ou UNIDADE FICTÍCIA DE

CARGA (UFC)

∑=

∆ ∆=δn

1i

ii p N l

∆ - direcção da componente do deslocamento

i = 1, n - estendido a todas as barras da estrutura

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

P R I N C Í P I O D

O S

T R A B A L H O S V I R T U A I S

É

C O N D I Ç Ã O

N E C E S S Á R I A

E

S U F I C I E N T E

P A R A

Q U E

U M

C O R P O

E S T E J A

E M

S O B

A

A C Ç Ã O

D E U

M

S I S T E M A

D E

F O R Ç A S

E X T E R I O R E S ,

Q U E N U M A D E F O R M A

Ç Ã O

V I R T U A L D O C

O R P O

O

I G U A L E

O

E Q U I L Í B R I O

E L Á S T I C O

T R A B A L H O

V I R T U A L

D A S

F O R Ç

A S

E X T E R I O R E S

T R A B A L H O

E L Á S T I C O D

E D E F O R

M A Ç Ã O D

O C

O R P O

T R A B A L H O D

A S

F O R Ç A S E X T E R I O R E S

. D i s s i p a ç ã o d

e e n e r g i a p o r a t r i t o e x t e r n

o

. D i s s i p a ç ã o d

e e n e r g i a p o r a t r i t o

i n t e r n

o

. E n e r g i a c i n é

t i c a

. E n e r g i a p o t e

n c i a l e l á s t i c a

e x t =

i n t

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

33 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Aplicação do PTV

EEssttrruuttuurraa R R eeaall EEssttrruuttuurraa f f iiccttí í cciiaa ccoomm aa UUFFCC

C A

B

?VB =δ

ED

P1

t∆ P2

C A B

ED

1

AH

CVAV

Ni Equilíbrio ⇒

∆⇒

t

P,P .Sol

21

Ni Equilíbrio

( ) barrai

i

j, " j" nó

tEA

N

Def.

VH

i

δδ⇒

∆α+=∆

⇒ ll

l

∆⇒

t

P,P .Sol

21

Deformação

Solicitação

j nó−

(sem unidades)

força UFC dodeslocamento

"" B

N i - esforços

R j - reacções de apoio

Solicitação

Equilíbrio

v

PRINCÍPIO DOS TRABALHOS

VIRTUAIS (P.T.V.) ⇒

ext = int

j

i

j

i

lrealDef.virtualDef.

R

NUFCSol.

Admitindo

δ

∆→=

→=

∆=∆×++∆×=

δ=×δ+×+×+×=

∑=

7

1i

ii7711int

V

B

V

BCAAext

l Nl Nl N

10V0H0V

K

i N

il∆

∑= ∆=δ

n

1iii

V

B N l

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

33 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Metologia de Aplicação

∑=

∆ ∆=δn

1i

ii p N l

v

pδ H

pδ BARRAS

(i) il iA i N il∆

i1 N ii1 N l∆× i2 N ii2 N l∆×

… … … … … … … … …… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

… … … … … … … … …

=δ v

p … =δH

p …

Cálculo do deslocamento de “P” - );(h

pv

p p δδδ

OOBBSS::

"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforço N

"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforço N

barrai

.comp

.trac; N; N; N

t

"i" barra cadatEA

N

H pi2

V pi1

i2i1i

i

i

δ−

δ−

⊕∆

∆α+=∆ l

ll

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

TTAABBEELLAA – – AAccççõõeess UUNNIIDDAADDEE FFIICCTTÍÍCCIIAA DDEE CCAAR R GGAA ddee ddeetteerrmmiinnaaddooss ddeessllooccaammeennttooss

Deslocamentos ( , θ) Forças U.F.C. (s/dimensões)

A, Bδ = δ − δ

B A

A

B

C, ABθ

A

B

C

a

b

ABθ

B

A

AB, BCθ

B

C A

1

1

1

1

1

1

a

b

b

1

a

b

/

a+b = a/

1

1/

1/

1

1

1/2

1

2

1/1

1/1

1/2

⇓ i N

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002

• Exemplo 3 – – CCaallccuullee ooss ddeessllooccaammeennttooss ddooss nnóóss ddaa eessttrruuttuurraa aarrttiiccuullaaddaa rreepprreesseennttaaddaa nnaa f f iigguurraa,, uuttiilliizzaannddoo oo mmééttooddoo aannaallí í ttiiccoo.. AA áárreeaa ddee sseeccççããoo ttrraannssvveerrssaall éé ddee 2200 ccmm22 ppaarraa aass bbaarrrraass AABB ee BBDD éé ddee 1155 ccmm22 ppaarraa aass rreessttaanntteess ee oo mmóódduulloo ddee YYoouunngg iigguuaall aa 220000 GGPPaa ==11..2255xx1100--55// ººCC..

A B D

C

[m]3.0 6.0

2.0 t = + 1 0 º C

∆ 60kN

= ?DV

i) Cálculo de esforços da Estrutura Real:

iy

x N

0F

0F "nó ⇒

(kN) A BD

C

-180 -180

- 1 8 0 1 0

6 0 1 3

6 0

[kN]

ii) Cálculo de esforços da Estrutura c/a U.F.C. do deslocamento “ VDδ ” pretendido:

A BD

C

[m]3.0 6.0

1

A BD

C

+3

+ 3 1 0

- 1 3 -

+3

Equilíbrio de nós

iN (s/unidades)

iii) Aplicação do Método UFC:

V

Dδ Barra

)m(

il

)m(

A

2

i

t i∆

)kN(

N i

3

i

10)m( −×

∆l

i N ii N l∆

A-B 3 41020 −× - -180 -1.35 3 31005.4 −×−

B-D 6 “ - -180 -2.70 3 3101.8 −×−

A-C 13 41015 −× +10 1360 3.057 13− 3109.10 −×−

C-D 102 “ - 1060 4.00 10− 31065.12 −×−

B-C 2 “ - -180 -1.20 3

3

106.3

×−

Como ⇒−=∆Σ=δ mm4.39l N iiVP

m104.39l N 3ii

−×−=∆Σ

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Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

Aula Teórica de 22 – 10 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Definição dos esforços gerais de uma secção transversal numa peça linear. Cálculo dos esforços axial (N),

transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas. Interpretação do equilíbrio de uma secção (Princípio

do Corte). Esforços instalados em peças lineares sujeitas à flexão plana. Critérios para convenções de

resistência de mateirias. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

ESFORÇOS NAS BARRAS DE PEÇAS PRISMÁTICAS

11 – IDENTIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS PEÇAS LINEARES

• Caso Geral

G

GS

S

p

P1P2

z

y

x

secção transversal genérica

G

S

S

P1 P2

z

x

N

T

M

yM

xV

xV

Análise da secção S-S

M

M

Hipóteses:

• PEÇAS PRISMÁTICAS

• LEI DA CONSERVAÇÃO

DAS SECÇÕES PLANAS

• MATERIAL HOMOGÉNIO

S-SEQUILÍBRIO

Esforços:

Forças

Momento

N - Esforço Axial

Vx

Vy

Esforço Transverso

T - Momento Torçor

My

MxMomento Flector

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

• Caso de Flexão Plana

RESISTÊNCIA DE

MATERIAIS - 1 S-S

(Estuda-se)

N - esforço axial

Vy - esforço transverso vertical

Mx - momento flector segundo XX

z

NxM

yVx

y eixo de solicitação (e. s.)

yV = V

xM = M

22 – MÉTODOS

DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM PEÇAS PRISMÁTICAS

1.º MÉTODO - Interpretação ESTÁTICA da estrutura;

2.º MÉTODO - RELAÇÕES MATEMÁTICAS entre os M, V, p.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Principio do Corte)

• Exemplo 1 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)

A B 100 kN100 S

S

0x

5 m

0

A100 S

S

0x

( ) ( ) )tracção(kN100x NSS:SA =∴−→ )tracção(kN100x NSS:SA S - S

( ) ( )tracçãokN100x N

5x0:AB

=

<≤ e d

SECÇÃO S-S ( ) ( )∑=i

peçadaeixoao//Forçasx N

• Exemplo 2 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)

A BS

S

x

5 m

50 kN.m

0

50 kN.m

10

10

0

10

10

0

50 kN.mS

S

( )m.kN50)(M

kN0)( N SS:SA

=

=∴−→

x

x

( (

e d

m.kN50)(M

kN0)( N

=

=

x

x

( (

50:AB <x≤

SECÇÃO S-S ( ) ( )∑ +×=

i

ii "osconcentrad Momentos"S""secçãoàdistânciaForçasxM

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

• Exemplo 3 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)

AB

S

S

x

5 m

0

10 kN

10 kN

10x5=50 kN.m

S

S50

x10 kN

( )

(

1 0 -50x)(M

kN0)( N SS:SA

=

=∴−→

x

x

(10 kN)(V =x

e d

(

)(

kN0)( N

=x (

10 - 50M =x x

10 kN)(V =x

50:AB <x≤

SECÇÃO S-S ( ) ( )i

i peçadaeixoao Força xV ⊥Σ=

• Resumo

( ) ( )∑=i

i peçadaeixoao//Forçasx N

ESFORÇOS GERAIS ( ) ( )i peçadaeixoao Força

ixV ⊥

Σ=

( ) [ ]∑ +×=

i

iosconcentradMomentos braçoForçasxM

z

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002

CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

11 – Barras: Esquerda / Direita

e d

e

d

e d

d e

22 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra

de+

V

N

M

V

N

M

33 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M)

, V

Me

d++

++

T T

T

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Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

Aula Teórica de 23 – 10 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Continuação da determinação dos esforços axial (N), transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas.

Secções de descontinuidade de um esforço. Variação da natureza do esforço com a mudança de direcção

das barras. Informações sobre os pontos criticos no esboço dos diagramas dos esforços N, T e M. Exemplos

de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)

• Problemas Propostos – vários casos Exemplo 4

[m]3.02.0

50 kN

2.0

50 kN

Exemplo 5

[m]3.02.0

50 kN

3.0

100 kN

30º

Exemplo 6

[m]3.0

50 kN

20 kN

2.0

3.0

ou

[m]4.0

20 kN

2.0

2.0

Exemplo 7

[m]5.0 2.0

50 kN

20 kN/m

Exemplo 8

[m]5.0

30 kN/m

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

• Exemplo 5

40

[m]3.02.0 3.0

A B CD

S1 S2

S3

90

z z z

30º

100 sen 30º = 50 kN

100 cos 30º = 50 3

50 kN

100 kN

z’

R R eeaaccççõõeess ddee aappooiioo::

↑→

↓→

←→

= kN90VC=Σ 0MA

= kN40VA=Σ 0Fy

= 350HA=Σ 0Fx

DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss

d e2z0:AB →<≤

V

N

M

−===

===−=

−=

=

kNm80M)2z(M

kN0M)0z(MZ40)z(M

kN40)z(V

kN350)z( N

esqB

A

d e3z0:BC →<≤

( )

−=

−=++−=

−=

=

kNm150M

kNm30M50z240)z(M

kN40)z(V

kN350)z( N

esqC

ditB

d e3z0:CD →<≤

e d3z´0:DC →<≤

V

N

M

knm150MkNm0Mz50)z’(M

kN50)z’(V

kN350)z’( N

kN0M

kNm150M

z50150z9050)z5(40)z(M

)z(V

kN350)z( N

ditC

D

D

ditC

==−=

=

=

=

−=

+−=

+++−=

=

=

(OK)= =

-40+90 = 50kN

50 3

-150 kN.m

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M

A50 kN.m

100 kN

30º

B

CD

40 90

50 3

50 3

+ N(kN)

V(kN)

+

-40

50V = 90C

M(kN.m)

-80

-30

M = 50B

-150

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

• Exemplo 6

[m]3.0

50 kN

20 kN

2.0

3.0

50 kN

50 kN

90 kN.m

A

B C

D

S3

z

S3

S1S1

S2

S2

z

z

d e2z0:DC →<≤

V

NM

===

=

=

m.kN100Mm.kN0M z50)z(M

kN50)z(V

kN0)z( N

C

D

e d3z0:CB →<≤

V

N

M

−=

−=

−=−×−=

=

−=

m.kN160M

m.kN100M

z20100z20250)z(M

kN20)z(V

kN50)z( N

B

C

e d5z0:BA →<≤

( )

=

−=−=×−−=

−=

−=

m.kN90M

m.kN160M

160z503202z50)z(M

kN50)z(V

kN20)z( N

A

B

-

20 kN

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M

-20

-50

N(kN)

V(kN)

M(kN.m)

-50

50

20

+

+

90

100

-160

+

+

-160

-100

a=1.8 m

160+905

90a

=

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002

ALGUMAS CONCLUSÕES

11)) DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss ppoorr ttrrooççooss – – DDeessccoonnttiinnuuiiddaaddeess – – sseemmpprree qquuee::

• Secção com forças concentradas

• Secção com momentos concentrados

• Secção com apoios

• Carregamento à esquerda e á direita de

uma secção

descontinuidade

e d

B

p1

p2

22)) GGrraauu ddaa f f uunnççããoo eessf f oorrççoo

( ) "n"grauzV → ⇒

( ) "1n"grauzM +→

33)) CCáállccuulloo ddoo ““MMmmááxx”” nnuummaa bbaarrrraa

Secção onde⇒ ( ) 0zV =

⇒ Z = Z´ ⇒ ( ) máxM´zzM ==

44)) FFuunnççõõeess ddee ggrraauu nn 22 ⇒ CCUUR R VVAATTUUR R AA

( )→≥

++=

als ind x

f d2n

c bza zzf

2

2

2

N, V

Z

N, V

Z

M

Z

M

Z

N , V M

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Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

Aula Teórica de 25 – 10 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Continuação da determinação dos esforços axial (N), transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas.

Barras com cargas uniformemente distribuidas. Determinação de curvaturas e máximos relativos nos

diagramas dos esforços transverso e momento flector. Relação entre os esforços transverso (V) e momento

flecto (M) numa barra. Informações sobre os pontos criticos no esboço dos diagramas dos esforços

(continuação). Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)

• Exemplo 7

30 kN

[m]5.0 2.0

AB

S1 S2

z z

50 kN

120 kN

C

20 kN/m

O

R R eeaaccççõõeess ddee aappooiioo::

= kN120VB=Σ 0MA

= kN30VA=Σ 0Fy

= 0HA=Σ 0Fx

DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss::

d e5z0:AB →<≤

30 kN

S1

z

20 kN/m

z/2

R(z)=20z

( )

( )

−=

=−=−=−=

−===

===−=−=

=

m.kN100M

0Mz10z30

2

z20z30

2

z)z(R z30)z(M

70V)5z(V

30V)0z(Vz2030)z(R 30)z(V

kN0)z( N

2grau

1grau

Esq

B

A22

Esq

B

A

e d2z0:CB →<≤

−=

=−=

=

=

→φ

kNm100M

0Mz50)z(M

kN50)z(V

kN0)z( N

)1grau(

)grau(

dit

B

C

se V (z) grau “n” ⇒ M (z) grau “n+1”

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M

30

+

N

(kN)

V(kN)

M

(kN.m)

+

-70

50

a

+

-100

2º grau

M = 22.5máx

a

• Observações

:AB

=×=×===

===→−==

→m.kN5.2252.1105.130M)az(M

am5.12

3zz20300)z(V

máx

quando V(z)=0 → z=a → M(a)=Mmáx

→−=d

sina10M

curvan = 2 graude função)z(M

2

2

→ − →

dz

M

Z

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

• Exemplo 8

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

• Exemplo 9

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002

ALGUMAS CONCLUSÕES

11)) DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss ppoorr ttrrooççooss – – DDeessccoonnttiinnuuiiddaaddeess – – sseemmpprree qquuee::

• Secção com forças concentradas

• Secção com momentos concentrados

• Secção com apoios

• Carregamento à esquerda e á direita de

uma secção

descontinuidade

e d

B

p1

p2

22)) GGrraauu ddaa f f uunnççããoo eessf f oorrççoo

( ) "n"grauzV → ⇒

( ) "1n"grauzM +→

33)) CCáállccuulloo ddoo ““MMmmááxx”” nnuummaa bbaarrrraa

Secção onde⇒ ( ) 0zV =

⇒ Z = Z´ ⇒ ( ) máxM´zzM ==

44)) FFuunnççõõeess ddee ggrraauu nn 22 ⇒ CCUUR R VVAATTUUR R AA

( )→≥

++=

als ind x

f d2n

c bza zzf

2

2

2

N, V

Z

N, V

Z

M

Z

M

Z

N , V M

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Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

Aula nº 19

Aula Teórica de 29 – 10 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Determinação dos esforços axial N, V e M em barras sob acção de cargas inclinadas em relação ao seu

eixo. Relação matemática entre o diagrama de esforço transverso (V), o diagrama de momento flecto (M) e

a carga distribuida (p) aplicada numa barra. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)

BARRAS INCLINADAS / CARGAS INCLINADAS

• Exemplo 1 – Carga concentrata [P]

• Exemplo 2 – Carga distribuida por metro de barra [p(z)]

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

• Exemplo 3 – Carga distribuida por metro horizontal [p(a)]

• Exemplo 4 – Carga distribuida por metro vertical [p(b)]

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

• Exemplo 5

• Determinação do ponto de V=0

(26+6) ----- 56 ----- Z => Z = 30 / 32 = 0,9375

• Determinação de Momento máximo

Mmax – 0 = 26 x ( 5 – 0,9375) => Mmax = 52,8125

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

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Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002

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Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002

Aula nº 20

Aula Teórica de 30 – 10 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Esboço do diagrama de esforços a partir das relações matemáticas entre carga aplicada (p), esforço

transverso (V) e momento flecto (M). Como obter informações sobre os pontos criticos no esboço dos

diagramas dos esforços. Diagramas presumíveis de estruturas simples. Exemplos de aplicação.

Page 133: Resistência dos Materiais - FEUP.pdf

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002

44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M

Válido se d e →

A

S pVV AS Ω−= ⇒

A

B pVV AB Ω−=−

VZ

M

pZ

V

=∂

−=∂

A

SMM VAS Ω+= ⇒

A

BMM VAB Ω=−

0M

0M:se

B

A

=

= ⇒ φ=Ω

A

BV

se 0VA= ⇒ máxA

MM =

2n grauM

1n grauV

n grau p

+=

+=

=

Z

⊕ p pCarga

Dit

A

Esq

A VtgVtg = ⇒ Dit

A

Esq

Az

V

z

V

∂=

Dit

A

Esq

A MtgMtg = ⇒ Dit

A

Esq

Az

M

z

M

∂=

Curvaturas:

•⊕

∂−=

z

p

z

V2

2

Z

⊕VV

−=∂

z

V

z

M2

2

−= p

Z

⊕M

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002

• Exemplo 1

Verificar que:

p = - dV / dz e que V= dM / dz

MB –MA = Área do diagrama de esforços transversos ( V ) entre A e B

Exemplo: Determinação do momento máximo positivo no 1º tramoEsforço transverso nulo ( z = 2,5m ) => Momento Máximo

MB – 0 = 37,5 x 2,5 / 2 = 46,875

V(z)(kN)

M(z)(kN.m)

N(z) = 0(kN)

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002

• Exemplo 2 – Diagrama presumível

A B C

D

p

QBM

IInntteerrpprreettaaççããoo ddaa eessttrruuttuurraa::

C

D

p

Q

A B C

QBM

Q

R

VC VDVC VD<

H =QA

VA VC=MA

3

1

DDiiaaggrraammaass::

Q

⊕N(kN)

V(kN)

V1

VD2º grau

a

D it

c

Esq

ctgtg =

(porque )D it

c

Esq

cpp = 0=

M(kN) ⊕

Mmáx

MA

MB

2º grau

D it

c

Esq

ctgtg = (porque )

D it

c

Esq

cVV =

A

B pVV

AB Ω−=−

A

BVMM

AB Ω=−

grauº3)z(M

grauº2)z(V

grauº1)z( p

z p

)z( p

:CD

=l

• 0z

pzV2

2

<∂∂−=

∂∂

VV

•C

D0MM VCD Ω==−

• 0 pz

V

z

M2

2

<−=∂

∂=

M

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Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002

Aula nº 21

Aula Teórica de 05 – 11 – 2002

Esforços nas Barras de Peças Prismáticas

Continuação na determinação dos esforços axial, transverso e momento flector de estruturas isostáticas.

Associação de corpos isostáticos. Cálculo do diagrama de esforços em barras dispostas segundo um núcleo

fechado na estrutura. Diagramas presumíveis de estruturas simples. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002

44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M (continuação)

Válido se

d e →

A

S pVV AS Ω−= ⇒

A

B pVV AB Ω−=−

VZ

M

pZ

V

=∂

−=∂

A

SMM VAS Ω+= ⇒

A

BMM VAB Ω=−

0M0M:se

B

A

== ⇒ φ=Ω

AB

V

se 0VA = ⇒ máxA MM =

2n grauM

1n grauV

n grau p

+=

+=

=

Z

⊕ p pCarga

Dit

A

Esq

A VtgVtg = ⇒ Dit

A

Esq

Az

V

z

V

∂=

DitA

EsqA MtgMtg = ⇒ Dit

AEsqA

zM

zM

∂∂=

∂∂

Curvaturas:

•⊕

∂−=

z

p

z

V2

2

Z

⊕VV

•⊕

∂−=

z

V

z

M2

2

−= p

Z

⊕M

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002

• Exemplo 3 – Diagramas de esforços presumíveisl

A B C

D

p

QBM

IInntteerrpprreettaaççããoo ddaa eessttrruuttuurraa::

CD

p

Q

A B C

QBM

Q

R

VC VDVC VD<

H =QA

VA VC=MA

3

1

DDiiaaggrraammaass::

Q

⊕N(kN)

V(kN)

V1

VD2º grau

a

D it

c

Esq

ctgtg =

(porque )D it

c

E sq

cpp = 0=

M(kN) ⊕

Mmáx

MA

MB

2º grau

D it

c

Esq

ctgtg = (porque )

D it

c

Esq

cVV =

A

B

pVV AB Ω−=−

A

BVMM

AB Ω=−

grauº3)z(M

grauº2)z(V

grauº1)z( p

z p

)z( p

:CD

=l

• 0z

pzV2

2

<∂∂−=

∂∂

VV

•C

D0MM

VCDΩ==−

• 0 pz

V

z

M2

2

<−=∂

∂=

M

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002

• Exemplo 4 – Associação de corpos com um núcleo fechado [BCEF]

30 kN/m

[m]1.04.01.0

3.0

B

E F

C

A D

G

VA VD

HA

50kN

11 – – CCáállccuulloo ddaass rreeaaccççõõeess ddee aappooiioo

↑→

↓→

←→

= kN112.5VD=Σ 0MA

= 37.5 kNVA=Σ 0Fy

= 50 kNHA=Σ 0Fx

22 – – TTrraaççaaddoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddoo NN,, VV,, MM

B

E F

C A

D

G

z

S

S

S

S

S

S

S S

z

z

?

NÚCLEO FECHADO ?

SEPARAR OS CORPOS(abrir o núcleo)

30 kN/m

B

E

F

C

G

VB

50kN

B C

A D

37.5 kN

VC

HC

50kN

112.5 kN

HC

↑→

↓→

←→

= kN18.75VB=Σ 0MC

= 131.25 kNVA=Σ 0Fy

= 50 kNHC=Σ 0Fx

CORPO I

CORPO II já está analisado

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002

30 kN/m

50kN

D

50

50kN 50

131.2518.75

37.5 112.5

N(kN)

V(kN)

37.5

50

-101.5

⊕⊕18.75

30

18.75

⊕⊕ V=0

-112.5

0,625m = 18.75 x 418.75+101.5

M(kN)

5.859... 150

-15

-165

2º grau

2º grau

112.537.5

165 15

d

d

e

M = ?FC

M = 150 kN.mFC

M = Me d

M = -15e

M = -165+Md FC

-165+M = -15FC

50

- 1 8 . 7

5 -50

-131.25

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Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

Aula nº 24

Aula Teórica de 13 – 11 – 2002

Flexão Plana

Estruturas sugeitas à flexão plana, pura e/ou simples. Análise da segurança da estrutura em termos

de Estado Limite de Resistência. Problemas base: verificação da segurança; dimensionamento;

capacidade máxima. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

FLEXÃO PLANA

11 – DEFINIÇÕES GERAIS

Flexão

Plana (e.s. = EPCI)

Desviada (e.s. = EPCI)

Pura (V = 0; M = constante)

Simples (V = 0; M = variável)

22 – FLEXÃO PLANA (pura ou simples)

2.1 – ESTADO DE TENSÃO Admitindo: e.s. ≡ y ≡

⊕ (tracção)

(compressão)

( ) xy,x Μ=σ

xΙy

⊕xΜ

⊕Μ

σ⊕σ

Μ σ⊕

σ

⊕ y

máx

máx

=σsecção + desfavorável

fibra + desfavorável

(M )

máx(y )

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

22..22 – ANÁLISE DA SEGURANÇA 1 – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)

2 – Estado Limite de Serviço ( S = 1,0)

• Exemplo - Em RM 1 só se estuda o Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)

A

M

B

máx (secção + desfavorável)Μ

A B

x

(comp.)

y

e.nmáx

máx

máx

M

σ

y

σmáxσ

(tracção)

máxy

máxy

i

máxy s=

=

⊕ (tracção)

(compressão)

( ) xy,x Μ=σ

xΙy

• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd

ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”

iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”

• i – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

Regulamentodo material

Sdσ = σmáx x 1.5

Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ

Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ

RdSd σ≤σ

Hipótese 1 -

Hipótese 2 -

máxσ = máx

y

I

M

x

x

Mmáx

máxσEstudo

“ “do

Secção mais desfavorável

Mmáx

Fibra mais desfavorável s (x, y) =

máxσ

y máx

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

• Exemplo 1 – Verificar a segurança se o material apresentar Rd,c = Rd,t

• Exemplo 2 – Verificar a segurança: Caso 1-o material apresenta Rd,c = Rd,t

Caso 2-o material apresenta Rd,c ≠ Rd,t

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

• ii – DIMENSIONAMENTO

• Caso Geral

Rdmáxx

máxx5.1y

I

M

eldesfavorávFibra

eldesfavorávSecção

σ≤×⇒

+

+

[A]

• Módulo de flexão

→→=

sx

smáx

ix

imáx

máx

xx

Wy

Wy para

y

IW

→→=

sx

smáx

ix

imáx

máx

xx

Wy

Wy para

y

IW

x

y

máxy s

máxy i

Exemplos:

máxys

máxyi

=

máxys

máxyi =

máxys

máxyi =

• Trabalhando com a equação [A] resulta que:

)tabelasver (

çãosecdaescolha5.1MW

Rd

máx,x

x

→σ

×≥

• iii – CAPACIDADE MÁXIMA

• Caso Geral

A

M

B

máx (secção + desfavorável)Μ

A B

5.1y

IM

max

xRdmáx,x

×

×σ≤

máx

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

• Exemplo 1

Pretende-se seleccionar entre dois perfis disponíveis, um “I” e um “T”, qual o indicado para

constituir a secção transversal da viga representada na Figura. Admite-se que as acções estão

aplicadas num plano vertical, instalando apenas flexão plana na viga, e que o material apresenta

valores de cálculo das resistências à tracção e à compressão iguais ( )c,Rdt,Rd σ=σ .

Nestas condições:

a) Qual a orientação desejável para as almas dos perfis? Justifique.

b) Admita que os perfis apresentam momentos principais de inércia máximos e alturas (h)

iguais. Qual é o perfil indicado para a secção transversal da viga? Justifique.

c) Indique como procederia para confirmar a estabilidade da secção transversal da viga com o

perfil escolhido? Justifique.

P P

4P

L

A

B

C

D

E

L1.5 L 1.5 L

h

h

h

h

Viga Secção Transversal da Viga(posições possíveis)

• Exemplo 2

Considere a viga com a secção representada na Figura. O material constituído apresenta os

seguintes valores resistentes de cálculo para as tensões normais de compressão e tracção,

respectivamente, 10 MPa e 1,8 MPa.

a) Verifique a segurança da viga sobre os apoios.

b) Verifique a segurança da viga a meio vão.

c) Que conclui sobre a segurança, global da viga?

[m]1.0 0.50.5 1.5 1.0

Secção transversal

[m]0.300.200.30

0.3

0.4

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

• Exemplo 2 (resolução)

• Secções mais desfavoráveis

1.0 0.50.5 1.5 1.0

Reacções:

R = 100x1 + 160 = 260 kN

Momentos:

Mmáx = -100x1x(0,5+0,5) + 260x0,5

+ 30 kN.m

Mmáx = -100x1x0,5 = - 50 kN.m

• Geometria de massas

0.300.200.30

0.3

0.4

xG

yG

Centro de Gravidade

m4625,0y7,0

m2375,0y

30,0270,020,0

2

30,030,02

2

70,020,0

y

G

G

2

22

G

=−

=

×+×

××+

×

=

Momento de Inércia

( ) ( )

42G

2G

24

2G

3

G

m10...02166,1Ix

y15,03,012

3,02y35,07,020,0

10

7,020,0Ix

−×=

−×++−××+

×=

+

-

RR

- 50

30

xG

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002

• Cálculo das Tensões

a) 1ª Hipótese kNm50Mmáx −=-

M

( ) )OK (MPa395,3kPa45,2263y7,0I

50

)OK (MPa74,1kPa3,1162yI

50

yI

M)y(

c,RdGi

t,RdSdGs

σ<=σ→−=−×−=σ

σ<=σ→=×=σ

Sd K

K

b) 2ª Hipótese kNm30M máx =− ⊕

⊕M

( ) )KO(MPa03,2kPa0,1358y7,0I

30

)OK (MPa046,1kPa4,697yI

30

yI

M)y(

t,RdSdGi

c,RdSdGs

σ≥=σ→=−×=σ

σ≤=σ→−=×=σ

K

K

c) Conclusões: não se verifica a segurança da barra porque para ⊕máxM a fibra inferior não

satisfaz RdSd σ≤σ .

x

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Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002

Aula nº 25

Aula Teórica de 15 – 11 – 2002

Flexão Plana

Estruturas sugeitas à flexão plana ( continuação). Trabalho de deformação. Deformação transversal

da secção da barra. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002

22 – FLEXÃO PLANA (continuação)

• ii – DIMENSIONAMENTO

• Análise incluindo o peso próprio do material

→ O dimensionamento nestas condições obriga à correcção do valor do “Mmáx”

→ Critério:

1º) Admite-se peso próprio = 0 → (p.p. = 0)

2º) Executa-se o pré-dimensionamento segundo os critérios do “Caso Geral”

( )Rd

máxxmáx

5.1MW. p. psemM

σ

×≥→

3º) Escolha do perfil

MMM corrigir )valor ( pp w w

perfil

Tabela ppmáx

'máx

x

'

x

∆+=→=

4º) Verificação da Segurança

Rd'x

'máx

Sdw

5.1Mσ≤

×=σ

Não

Sim OK

KO

5º) Escolha do perfil seguinte

'máxM (com pp) → V. S. → σSd ≤ σRd

voltar ao ponto 5º

Não

Sim OK

KO

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002

2.3 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO:

• Revisão de conceitos

FLEXÃO PLANA Hipótese: e.s. ≡ y ≡

• Trabalho de Deformação (W)

W =

W =

W =

ϕ

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002

2.4 – DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL:

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Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

Aula nº 26

Aula Teórica de 19 – 11 – 2002

Flexão Plana

Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogénias (dois

materias). Hipótese do eixo de solicitação ser eixo de simetria. Cálculo do estado de tensão na

secção. Princípio da homogeneização da secção. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

FLEXÃO PLANA (continuação)

2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (2 materiais)

• Exemplo – O caso do reforço à flexão de vigas e lajes

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

• ESTADO DE TENSÃO

• Hipótese: e.s. ≡ y y ≡

⊕xΜ

⊕Μ

σ⊕σ

Μ σ⊕

σ

Mx = constante

Materiais perfeitamente solidarizados

• Material – Comportamento linear (Lei de Hooke)

• Princípio da Conservação das Secções Planas

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

• Condições de Equilíbrio

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

• Cálculo do Estado de Tensão

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

• PRINCÍPIO DA HOMOGENEIZAÇÃO DA SECÇÃO

CASO GERAL – secções constituídas por 2 ou mais materiais

Exemplo: 2 materiais [ 1 e 2 ]

xM

A

B

x

y = e.s.

A

B2

C C

1

E2 ≥ E1 ⇒ SECÇÃO HOMOGENEIZADA

(só material 1 )

•Hipóteses de partida

x, y = EPCI

e.s. = y y → M = Mx

Materiais perfeitamente solidarizados na junta de ligação

E2 > E1

•Cálculo - homogeneização da secção

E2 > E1 ⇒ 2 → 1 ( transformar 2 em 1 )

1

2E

Em = (coeficiente de homogeneização ≥ 1)

211 AmAA += (área homogeneizada em material 1 )

1

2211g

A

yAmyAy

+= (centro de gravidade “G”)

2,x1,x1,x ImII += (inércia homogeneizada em material 1 )

σ

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002

•Tensões normais

( )

( ) ( )σ==σ1

1,x

X2 y,xmy

I

Mmy,x 2 material

( ) =σ1,x

X1 y

I

My,x1 material

y,x

[1]

Observações:

→ ( )A2 yσ = ( )A1 ym σ (ver figura anterior)

→ O diagrama das tensões normais σ para a secção transversal

apresenta uma descontinuidade na fibra de transição entre os

2 materiais 1 e 2

•Proposta alternativa – homogeneizar a secção em material 2

→ Se E1 > E2 ⇒ homogeneizar material 1 → 2

→ Nas expressões acima indicadas [5] deve trocar-se os índices 1 e 2

• ANÁLISE DA SEGURANÇA 1 – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)

2 – Estado Limite de Serviço ( S = 1,0)

• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd

ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”

iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”

[5]

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Professor Luís Juvandes Aula 20/11/2002

Aula nº 27

Aula Teórica de 20 – 11 – 2002

Flexão Plana

Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogéneas (dois

materias). Análise da segurança da estrutura em termos de Estado Limite de Resistência. Exemplos

de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula Aula 20/11/2002

2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (2 materiais)

xM

A

B

x

y = e.s.

A

B2

C C

1

E2 ≥ E1 ⇒ SECÇÃO HOMOGENEIZADA

(só material 1 )

ANÁLISE DA SEGURANÇA – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)

• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd

ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”

iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”

• i – Verificação da segurança

Regulamentodo material

Sdσ = σmáx x 1.5

Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ

Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ

RdSd σ≤σ

Hipótese 1 -

Hipótese 2 -

M máx

máxσ

Estudo

“ “do

Secção mais desfavorável

M máx

Fibra mais desfavorável s (x, y) =

máxσ

y máx

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/11/2002

σ

σ

≤σ

σ≤σ

σ≤σ

Rd

Rd

junta

Sd

Rd

erior inf

Sd

Rd1

erior sup

Sd

a segurança na junta verificar necessário ser pode:Atençãoσ≤σ RdSd

2

1

2

• ii – Dimensionamento

eldesfavorávFibra

eldesfavorávSecção

+

+

σ≤σ

σ≤σ

Rd

erior inf

Sd

Rd1

erior sup

Sd

2

• iii – Capacidade Máxima

A

M

B

máx (secção + desfavorável)Μ

A B

m5.1y

IM

5.1y

IM

max

1,x2,Rdmáx,x

2

max

1,x1,Rdmáx,x

1

××

×σ≤

×

×σ≤

⇒ Mmax= min (M1max; M

2max)

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula Aula 20/11/2002

• Exemplo 1

Considere a viga representada na Figura. Estando assegurado o funcionamento como

viga mista devido a uma conveniente ligação entre os dois materiais que a

constituem, e desprezando o peso próprio da viga, determine:

a) O diagrama de tensões na secção transversal do ponto C para a carga p=10kN/m.

b) Qual a carga máxima (pmáx.) que poderá actuar sobre a viga em condições de

segurança.

c) Diga como procederia caso se pretenda aumentar a resistência da viga de modo a

resistir com segurança para uma carga de p=20kN/m.

Características dos materiais:

Madeira: E = 104 MPa Aço: E = 2,06×105 MPa

MPa15RdcRdt =σ=σ MPa235RdcRdt =σ=σ

Secção transversal

4.0 m

2.0 m

2.0 m

A

B

C

p

madeira

aço

12 cm

1,2 cm

30 cm

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 20/11/2002

2

A BC

p

2 2

x

R A R B

madeira

aço

12 cm

1,2 cm

30 cm

a) p = 10 kN/m

•Estática

)(kN15R 016104xR 0M AAB ↑=→=××−→=Σ⊕

m.kN10

2

210215)2z(M)z(M

2

c =×

−×===

Válida a lei de Hooke – Flexão plana e simples

yI

M=σ

• Hipótese: Homogenização em madeira (Ea > Em)

6,2010

1006,2E

Em4

5

m

a =×

==

• Geometria de Massas

2amm cm64,656122,16,201230AmAA =××+×=+=

( )[ ] cm05,22A6,030122,16,20151230y mG ≈+×××+××=

( ) 4223

m cm622,6661355,82,11212

6,2005,7123012

3012I

1,212

3

=

××+

×+××+

×=

• Tensões

××=σ

××=σ

- Madeira

x2 - Aço

m

a

3310,1 kPa1066613,622

1022,0510

kPa0,2829610622,66613

1015,9106,0

máximasensões

8

2

8

2

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula Aula 20/11/2002

b) p = p max = ?

• Condições de segurança

eldesfavorávFibra

eldesfavorávSecção

+

+

σ≤σ

σ≤σ

Rd

erior inf

Sd

Rd1

erior sup

Sd

2

σ≤σ

σ≤σ

Rdmm

Sd

Rdaa

Sd

Como ambos os materiais apresentam Rd,t = Rd,c ⇒ verificar as tensões extremasdos dois materiais

• Capaxidade máxima

=××

××≤→≤×××

=

×××

××≤→≤××××

+−

+−

m.kN21,305,11005,22

I1015MMPa151005,225,1

I

M

m.kN37,55

m5,11015,9

I10235MMPa2351015,95,1

I

Mm

2m

3m2

m

m

2m

3a2

m

a

Condição limitativa → independentemente da natureza das tensões (comp. ou trac.)

Mmax= min (Ma; Mm) ⇒ m.kN21,30Mmáx =

Cálculo da secção mais solicitada⇒

Mmax= max (Mmax+; Mmax

-)

4.0

A

B

p

2.0

x

R A

1.5

D

Mmáx

M( )α

x

p6R 40M AA =→=Σ⊕ p2

3R A =

( ) 2 pxz p

23zM

2

AB - =

m5,12

3az0 pz

2

p3)z(V0

z

MAB

AB ===→=−=→=∂

∂ → ( ) p

8

9 p

8

9 p

4

95,1zMmax =−==+

p2MM Bmax ==−

=

←=

+

p8

9M

eldesfavorávmaissecção2pM

coscrítiMomentos

max

max

Mmax= max (Mmax+; Mmax

-) → kN/m15,1 p p221,30M =→==

c) Se p = 20 kN/m → Necessário reforçar a viga (estudo feito na aula teórica)

(z)

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Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002

Aula nº 28

Aula Teórica de 22 – 11 – 2002

Flexão Plana

Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogénias (continuação).

Vigas constituídas por aço e betão. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002

2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (continuação)

• Exemplo 2 Na secção crítica de uma peça, o valor de cálculo do momento flector actuante é de

+75kN.m. A peça, constituída por dois materiais perfeitamente solidarizados entre si,

tem uma secção transversal com a forma indicada na Figura.

Desenhe o diagrama de tensões normais na secção crítica e verifique a segurança da

mesma.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002

SECÇÕES MISTAS BETÃO/AÇO

→ Despreza-se a resistência à tracção do betão (σRd, t ≅ 0)

→ Problema: localização do eixo baricêntrico (≡ e.n.) ⇒ por tentativas

• Hipótese 1 yG

c (e.n fora da secção do betão)

• Cálculo:

Es > Ec ⇒ s → c

c

sE

Em =

scc AmAA +=

c

ssccG

A

dAmdAy

+=

sxcxcx ImII +=

• Toda a secção de betão é útil

( )

( )

y

I

Mmy,x

yI

My,x

tensões

cx

xs

cx

xc

• Hipótese 2 yG

c (e.n. dentro da secção de betão)

• Cálculo:

Es > Ec ⇒ s → c

c

sE

Em =

Área útil da secção de betão:Despreza-se o betão tracionado

Gc yaA ×=

..........ydAm2

yya Gss

GG =→=××

sxcxcx ImII +=

• Despreza-se a zona do betão tracionado

( )

( )

yIMmy,x

yI

My,x

tensões

cx

xs

cx

xc

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002

• Exemplo 3

Considere a viga de betão armado de secção T, esquematicamente indicada na figura,

sujeita a um momento flector M numa dada secção transversal.

a) Admitindo como desprezável a resistência do

betão à tracção, escreva a equação que lhe

possibilite avaliar a distância do eixo neutro

às fibras superiores, assumindo que o eixo

neutro se localiza ao nível do banzo da viga.

b) Escreva as expressões caracterizadoras da

tensão normal nas armaduras e da tensão

normal máxima no betão, e caracterize

esquematicamente os diagramas de extensões

e tensões ao longo da secção transversal.

w b

b

sA

e n

M

w b

b

sA

y

h

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Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002

Aula nº 29

Aula Teórica de 26 – 11 – 2002

Flexão Desviada

Estruturas sugeitas à flexão desviada, pura e/ou simples. Cálculo de tensões: 1º - método do princípio

da sobreposição de duas flexões planas. Localização das tensões máximas. Exemplos de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002

33 – FLEXÃO DESVIADA (pura ou simples)

3.1 – DEFINIÇÕES GERAIS

.I.C.P.Ey,x ≡ .I.C.P.Ey,x

2.s.e

Gx

12 VV

1.s.ey ≡

Flexão

Plana (e.s. = EPCI)

Desviada (e.s. = EPCI)

Pura (V = 0; M = constante)

Simples (V = 0; M = variável)

• Exemplos

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002

3.2 – GEOMETRIA DE MASSAS - revisão

• Rotação dos eixos (orientação “α”)

I I I I

I I I I

I I I I

x x y xy

y x y xy

x y x y xy

'

'

' '

cos sin sin( )

sin cos sin( )

sin cos sin cos (cos sin )

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2

2 2

2 2

2

2

α α α

α α α

α α α α α α

y

α

α

O

'

' y

• Eixos principais centrais de inércia (E.P.C.I.)

tan( )22

2

0

0

⋅ =

α

α

α

π

I

I I

xy

x y

• Momentos principais de inércia

I I I

I I I

I I I

I I I

x y

x y xy

x y

x y xy

12 2

22 2

2

1

2

4

2

1

24

=

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

( )

( )

x

y x

y

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002

3.3 – ESTADO DE TENSÃO

3.3.1 – Método da Sobreposição de duas Flexões Planas

+

α

M

º90G

a

+x

b

)y,x(s

θβα

,,

)y,x(s

+

α

º90G

+

b

)y,x(s Eixo de

Solicitação

Eixo Neutro

Nota: e tangentes paralelas ao eixo-neutroa b

Convenção de sentidos positivos:

θβα ,,e

( )final

y,xσ

A

B

+

xM

n

yI

M'

X

x ⋅=σ

xI

M''

y

y⋅−=σ

)y,x(s

e

s

My

+

θ+α=β

• Momento na secção → α=

α=

senMM

cosMM

y

x

• Estado de tensão (x, y) → xI

My

I

M)y,x(

y

y

x

x −=σ

• Eixo neutro (e.n) → 0xI

My

I

M)y,x(

y

y

x

x =−=σ ⇒ y

x

I

Itantan α=β ; β=θ+α

→ ""α da flexão desviada ≠ ""α geometria de massas

• Ponto mais afastado ⇒ )y,x(máxσ → β+β−= cosyxsen)y,x(s x

y

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Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002

Aula nº 30

Aula Teórica de 27 – 11 – 2002

Flexão Desviada

Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Análise da segurança da estrutura em termos de

Estado Limite de Resistência. Problemas base: verificação da segurança; dimensionamento;

capacidade máxima. Exemplo de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002

33 – FLEXÃO DESVIADA (continuação)

3.3.1 – Método da Sobreposição de duas Flexões Planas

ANÁLISE DA SEGURANÇA – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)

Madres da cobertura

• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd

ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”

iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002

• i – Verificação da segurança

• Secções de forma geral

A

M

B

máx (secção + desfavorável)Μ

A B

M

º90G

a

+x

b

)y,x(s

)y,x(s

º90G

+

b

)y,x(s Eixo de

Solicitação

Eixo

Neutro

Nota: ea

Convençã

e

( )finaly,xσ

A

B

+

xM

n

yI

M'

X

x ⋅=σ

xI

M''

y

y ⋅−=σ

)y,x(s

e

s

My

+

θ+α=β

Secção mais desfavorável ⇒ ⊕

máx

máx

M

M

• Estudo do σmax

Fibra mais desfavorável ⇒ ⊕

=

máx)y,x(s

σ

σ

máx

máx

α−

α=σ x

I

seny

I

cosM

yx

máxmáx

( ) ( )máxto y,xsy,x p ⇒

• Verificação da segurança:

Regulamentodo material

Sdσ = σmáx x 1.5

Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ

Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ

RdSd σ≤σ

Hipótese 1 -

Hipótese 2 -

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002

• i – Verificação da segurança

• Secções cuja envolvente exterior é um rectângulo

• Exemplo: perfis

• Pontos mais desfavoráveis ⇒ Diagonal AB ou CD

• Pode calcular-se as tensões em módulo:

α+

α=σ

yxmáxmáx

w

sen

w

cosM

σ+σ

σ+σ

=

⊕⊕

)M()M(

)M()M(

ymáxxmáx

ymáxxmáx

• RdmáxSd

5.1 σ≤σ×=σ y

x

M

A

M x

M y

α

γ = α

D

C

B

σ m á x

σ ’

σ ’ ’ σ m á x

e.s.

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Professor Luís Juvandes Aula 29/11/2002

Aula nº 31

Aula Teórica de 29 – 11 – 2002

Flexão Desviada

Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Dimensionamento e determinação da capacidade

máxima de uma secção. Exemplo de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 29/11/2002

• Exemplo 1

Dimensionar as madres de um pavilhão industrial de modo a resistirem a uma carga vertical

uniformemente distribuida p= 4kN/m (peso próprio já incluído) sobre um vão simples de 4m,

seleccionando de entre os perfis IPE e UNP o que for mais económico.

A cobertura apresenta uma inclinação para as águas de g = 15º e os perfis em aço Fe 360.

p = 4 kN/m

4.0 m

15º

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Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002

Aula nº 32

Aula Teórica de 03 – 12 – 2002

Flexão Desviada

Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Cálculo de tensões: 2º - método do equilíbrio em

relação aos eixo de solicitação e eixo neutro. Localização das tensões máximas. Exemplo de aplicação.

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002

3.3.2 – Método do Equilíbrio em relação aos Eixo de Solicitação e Eixo Neutro

Considerações Gerais

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002

Procedimentos para o cálculo da tensão normal na secção:

1º) Localização dos eixos principais centrais de

inércia (α1)

2º) Direcção do eixo de solicitação

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002

• Exemplo 1

Considere a secção em “⊥” representada na figura sob a acção de um momento flector

M = -100 kNm. Se o eixo de solicitação da respectiva acção fizer uma inclinação de 45º

com a alma do “⊥”, determine o diagrama das tensões normais instaladas na secção.

40.0

G

3.0

5.0

21.707

x

70.0

I = 230221.54 cmx4

4I = 26824.17 cmy

(cm)y

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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003

Professor Luís Juvandes Aula 04/12/2002

33 – FLEXÃO DESVIADA (pura ou simples)

3.4 – ESTADO DE DEFORMAÇÃO – Sobreposição de duas flexões planas

3.4.1 – Rotação relativa de duas secções (A-B)

• Flexão Pura (M = constante)

• Flexão Simples (M = variável)

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