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Aula Teórica de 17 – 09 – 2002
Introdução
Introdução à disciplina de Resistência de Materiais 1. Enquadramento no plano de estudos.
Objectivos. Programa e conteúdo da disciplina. Método de ensino e de avaliação. Bibliografia.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 17/09/2002
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Programa, Conteúdo e Métodos de Ensino das Matérias da Disciplina
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Curso de Engenharia Civil
2002 - 2003
LUIS FILIPE PEREIRA JUVANDES
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11 – INTRODUÇÃO
•
Tabuleiro de uma Ponte
• Lajes, Vigas e Pilares
• Teoria das Peças Lineares
G
x
y
z
G G
linha do eixomédio (C.G.)
HOMOGÉNIO
MATERIALISOTRÓPICO
EST. DEFORMAÇÃO ( l∆ )
MODELOS DE CÁLCULO
RESISTÊNCIA
DEMATERIAIS EST. TENSÃO (
e )
VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA (dimensionamento, etc.)
Secção transversal do tabuleiro
Viga, pilar e sapata
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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22 – ENQUADRAMENTO NO PLANO DE ESTUDOS
(1º e 2º anos) (2º ano) (3º, 4º e 5º anos)
iência dos Materiais: Teoria de Estruturas 1 e 2
ecânica 1 Materiais de Cosntrução 1e 2
ecânica 2 Estruturas de Betão 1 e 2
ecânica dos Sólidos
RESISTÊNCIA
DE
MATERIAISCadeiras de Projecto (várias)
33 – OBJECTIVOS
• Conteúdo programático adequado às futuras implicações na análise de
problemas reais de engenharia civil;
• Introduzir o cálculo estático da determinação dos seis esforços instalados numasecção tranversal genérica de uma barra linear no espaço;
• Apresentar com detalhe a teoria das peças prismáticas em termos da teoria das
tensões , da teoria das extensões e a descrição constitutiva dos materiais;
• Apresentar as estruturas reticuladas isostáticas e uma vez hiperestáticas sujeitas a esforços de tracção-compressão e de flexão pura, simples, plana e
desviada;
• Introduzir as convenções gerais de sinais utilizadas na análise de estruturas;
• Apresentar problemas que dirijam a atenção do formando para as aplicações
práticas dos assuntos.
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44 – PROGRAMA E CONTEÚDO DA DISCIPLINA DE “RM 1”
• São propostos cinco capítulos previstos para 39 aulas teóricas
• A sequência e a programação das matérias é a seguinte:
• CAPÍTULO 1 – Introdução: consta de uma introdução em que são apresentados os
ojectivos, o conteúdo, o programa da disciplina e ainda o método de avaliação. Recorda-se,
igualmente, conceitos estáticos de equilíbrio de estruturas assimilados nas disciplinas de
Mecânica.
A E
B C D
F JG H I
30 kN/m
[m]1.04.01.0
3.0
B
E F
C
A D
G
VA VD
HA
50kN
•
CAPÍTULO 2 – Princípios fundamentais: apresenta os conceitos básicos acerca docomportamento dos materiais, lei constitutiva, bem como a teoria das peças lineares, na
formulação que é habitual em Resistência de Materiais.
F
F
N
A B
Oy
u
u
y
• CAPÍTULO 3 – Critérios gerais de segurança: introdução aos critérios de
verificação de segurança em termos de acções e de resistência dos materiais envolvidos.
Definição de coeficientes de segurança e simplificação dos mesmos no caso das situações a
estudar em Resistência de Materiais.
RdSd σ≤σ
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• CAPÍTULO 4 – Tracção e compressão simples: aplicação da teoria das peças
prismaticas a barras deformáveis de estruturas reticuladas sujeitas somente a esforços axiais.
Desprezar o efeito de instabilidade elastica das barras em compressão.
P
VB
V
H
A
A
HB
P
VB
V
H
A
A
P
VB
V
H
A
A
V
Mola
C
ou
ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS
ESTRUTURAS
HIPERESTÁTICAS
• CAPÍTULO 5 – Flexão: aplicação da teoria das peças prismaticas a barras deformáveis
de estruturas reticuladas sujeitas principalmente a esforços de flexão. Os temas base são:Diagramas de esforços N, V e M; Tensões normais em flexão pura, simples, plana e
desviada; Vigas constituídas por dois materias.
G
GS
S
p
P1P2
z
y
x
secção transversal genérica
G
S
S
P1P2
z
x
N
T
M
yM
xV
xV
Análise da secção S-S
M
M
P
1 .5 0 m
H = 2 k N
[cm]3.0
3.0
15.0
b
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• O período lectivo de Resistência de Materiais 1 distribui-se por catorzesemanas
55 – MÉTODO DE ENSINO E DE AVALIAÇÃO
• O ensino é realizado em trés aulas teóricas, de duração de 1 hora cada e em
duas aulas práticas, de duração de 2 horas cada , por semana.
• Aulas teóricas são de exposição oral da matéria, no quadro e com a projecção
de transparências ou de multimédia para uma melhor organização e ilustração
das matérias. No fim de cada assunto são formulados e resolvidos alguns
problemas-tipo. As transparências exibidas nas aulas teóricas são disponíveis
aos formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar
brevemente).
• Aulas práticas são, sobretudo, destinadas à resolução de fichas de trabalho com
problemas propostos para resolução, capítulo a capítulo, com apoio doAssistente das práticas. Nestas, evitar-se-ão as introduções teóricas das
matérias. Alguns textos de apoio teórico-práticos estão disponíveis aos
formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar brevemente).
• Método de Avaliação da disciplina - é efectuada com base nas regras descritas
na Ficha da Disciplina e as actuais Normas Gerais de Avaliação(consultar web-page da SiFEUP).
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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66 – BIBLIOGRAFIA
Em virtude da grande abrangência da Resistência de Materiais 1 e 2, resultaimpossível indicar um livro único de texto que, de forma plenamente satisfatória,
dê cobertura a todas as matérias da disciplina. Contudo recomenda-se os livros
seguintes:
Principal
• Mecânica e Resistência dos Materiais - V. Dias da Silva, Ediliber Ed., Coimbra,
1995.
• Resistência de Materiais - William Nash, , Ed. McGraw-Hill de Portugal, Lda,
2001
Complementar
• Sebenta de Resistência de Materiais - J. Mota Freitas, FEUP, 1978.
• Résistance des Matériaux (1º volume) - Charles Massonnet, Dunod, Paris, 1968
• Vários textos de “suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos” paraapoio à disciplina de “Resistência de Materiais 1” – Luis F. P. Juvandes,
FEUP, 2001, publicado electronicamente no endereço:
http://www..fe.up.pt/~juvandes.
• Resistência dos Materiais (1º volume) - S. P.Timoshenko, Livros Técnicos e
Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1976.
• Tabelas Técnicas – J. S. Brazão Farinha e A. Correia dos Reis, Edição P.O.B,
Setúbal, 1993.
• Regulamento de Estruturas de Aço para Edifícios (REAE) - Imprensa
Nacional, 1986
• Regulamento de Segurança e Acções para Edifícios e Pontes - Imprensa
Nacional
• Mecânica dos Sólidos (volumes 1 e 2) - S. P.Timoshenko /Gere, Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro.
• Resistência dos Materiais - V. Féodosiev, Edições Lopes da Silva, Porto, 1997.
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RM1 02_03
Faculdade de Engenharia da Universidade do PortoDepartamento de Engenharia CivilRua Dr. Roberto Frias 4200-465 Porto PORTUGAL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 - ANO LECTIVO 2002/2003
NORMAS DE AVALIAÇÃO1. Modo de avaliação de conhecimentos
A avaliação de conhecimentos será efectuada através de avaliação distribuída
com
exame final , nos termos
do parágrafo 3º do Artº 1º das Normas Gerais de Avaliação (NGA).
2. Frequência
2.1 – Condições para obtenção de frequência
Para obtenção de frequência o aluno não pode exceder o número limite de faltas às aulas práticas de acordo
com o parágrafo 1º do Art. 4º das NGA. No presente ano lectivo tal limite é fixado em 7 faltas.
2.2 – Componente distribuída da avaliação
A componente distribuída da avaliação consta da resolução de três fichas individuais em três aulas práticas,
em datas fixadas com uma antecedência mínima de 1 semana. Os alunos que por razões de força maior,
devidamente justificadas, não participem na resolução de alguma ficha, realizarão tal ficha em data a definir.
Estas fichas serão corrigidas e classificadas na escala de 0 a 20 valores.
Será atribuída uma classificação de frequência aos alunos que tenham satisfeito as condições referidas em
2.1. Tal classificação é a média aritmética das três classificações obtidas nas três fichas individuais.
3. Exame final
Só têm acesso a exame final os alunos que tenham obtido frequência (Artº 7º das NGA).
Os exames finais são escritos e sem consulta, tendo a cotação máxima de 20 (vinte) valores.
4. Classificação final
A classificação final será calculada através da média ponderada da classificação de frequência e da
classificação do exame final, arredondadas à décima, atribuindo-se peso 25% à primeira e peso 75% à
segunda.
A classificação final máxima, por via exclusiva de provas escritas, está limitada a 16 (dezasseis) valores; para
a obtenção de classificação superior é necessário realizar uma prova oral suplementar.
5. Alunos dispensados de frequência
A avaliação de conhecimentos para os alunos dispensados de frequência ao abrigo do parágrafo 3º do Artº
4º as NGA será efectuada por um de três critérios:
- Critério adoptado para os alunos ordinários descrito nos pontos 1 a 4;
- Realização de exame final com componente distribuída da avaliação;
- Realização de exame final sem componente distribuída da avaliação.
Os alunos devem declarar a sua opção antes da realização da primeira ficha individual.
Porto e FEUP, 16 de Setembro de 2002
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Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002
Aula Teórica de 18 – 09 – 2002
Princípios Fundamentais de RM
Teoria da Peças Lineares ou Barras. Hipóteses fundamentais de RM em termos do material (hip. da
continuidade, hip. da homogeneidade, hip. da isotropia) e das deformações (hip. da
proporcionalidade, hip. das pequenas deformações). Princípio geral do equilíbrio. Conceitos de
Esforço e Tensão. Princípio do Corte, princípio de Saint-Vennant e hipótese de Navier-Bernouilli.
Identificação dos esforços internos em Peças Lineares.
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”
FOTO 1 – Edifício com estrutura linear.
FOTO 2 – Vigas de cobertura com secção variável (forma contínua).
FOTO 3 – Viga de apoio das longarinas de secção variável(relação pequena da secção vs. vão).
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PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”
11 – TEORIA DA PEÇAS LINEARES ou BARRAS
G
x
y
z
GG
linha do eixomédio (C.G.)
Nocção de Peça linear;
• Sólido gerado por uma área plana “S” que se desloca ao longo de uma linha
GG´;
• O eixo médio da barra (linha GG´) é uma linha contínua, não apresenta pontos
singulares e a secção transversal é sempre prependicular a esta;
• A forma e a dimensão da secção transversal podem variar de modo lento e
contínuo;
• As dimensões da secção transversal são consideravelmente menores que o
comprimento do eixo da barra e que o raio de curvatura em qualquer ponto;
A E
B C D
F JG H I
30 kN/m
[m]1.04.01.0
3.0
B
E F
C
A D
G
VA VD
HA
50kN
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22 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE “RM”
• MATERIAL
• Hip. Continuidade: os sólidos reais são constituídos
por meios contínuos.
• Hip. Homogeneidade: as propriedade mecânicas são
as mesmas em qualquer ponto dosólido.
• Hip. Isotropia: as propriedade mecânicas são iguais em
todas as direcções em torno de um ponto.
• DEFORMAÇÃO
• Hip. Proporcionalidade: num sólido contínuo as
deformações relacionam-se em
todos os seus pontos com as tensões,
em termos lineares e homogéneos.
• Hip. das Pequenas Deformações: os materiais apresentam deformações pequenas
quando comparadas com as
dimensões das estruturas.
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33 – PRINCÍPIO GERAL DO EQUILÍBRIO
Acções
Esforços
Deformações A E
B C D
F JG H I
Reacções
Equilíbrio
6 equações Estruturas no espaço
• Equações gerais da estática
3 equações Estruturas plana
Hipo-estáticas Sem equilíbrio
• Estruturas Isostáticas
Hiper-estáticasCom equilíbrio
• EXEMPLOS:
P
VB
V
H
A
A
P
VB
V
H
A
A
HB
P
VB
V
H
A
A
HIPO - ESTÁTICA ISOESTÁTICA HIPER - ESTÁTICA
44 – ESFORÇOS E TENSÕES
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• Princípio do Corte – princípio da igualdade da acção e da reacção.
G
GS
S
p
P1P2
z
y
x
secção transversal genérica
•
Princípio de Saint-Vennant – Quando uma secção de uma peça está suficientementeafastada dos pontos de aplicação das forças exteriores, o estado de tensão nessa secção não
depende da forma como essas forças estão aplicadas, mas únicamente da resultante.
• Hipótese de Navier-Bernouilli – Uma secção plana de uma peça linear não deformada
mantem-se plana após a deformada.
i
j
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• Identificação dos esforços internos nas Peças Lineares
G
GS
S
p
P1P2
z
y
x
secção transversal genérica
G
S
S
P1P2
z
x
N
T
M
yM
xV
xV
Análise da secção S-S
M
M
Admitindo-se:• TEORIA DAS PEÇAS
LINEARES
• HIPÓTESES FUNDAMENTAIS
DE RM.
• PRINCÍCIOS FUNDAMENTAIS
DE RM
S-SEQUILÍBRIO
Esforços:
Forças
Momento
N - Esforço Axial
Vx
Vy
Esforço Transverso
T - Momento Torçor
My
MxMomento Flector
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Professor Luís Juvandes Aula 18/09/2002
Esforços reduzidos nos E.P.C.I. (x, y)
y
x
M
M
N
⇒
( ) MyMx Ny,x σ+σ+σ=σ
T
yV
V
( ) TVyVxy,x τ+τ+τ=τ⇒
⇒
⇒
Tensões normais em flexão composta
Tensões de corte
RESISTÊNCIA DE
MATERIAIS - 1 S-S
(Estuda-se)
N - esforço axial
Vy - esforço transverso vertical
Mx - momento flector segundo XX
z
NxM
yVx
y eixo de solicitação (e. s.)
yV = V
xM = M
• Definição de tensão
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Aula Teórica de 20 – 09 – 2002
Princípios Fundamentais de RM
Materiais de RM. Materiais Elásticos (perfeitamente ou parcealmente). Lei Constitutiva do material.
Regimes elástico e linearmente elástico. Lei de Hooke. Material dúctil e material frágil. Tabela com as
propriedades de alguns materias da construção civil. Ensaio de tracção simples. Determinação do esforço
axial, da tensão normal e da deformação axial instalados na barra. Princípio da Sobreposição dos Efeitos.
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MATERIAIS DE “R M”
11 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS
• Contínuos
• Homogéneos
• Isotrópicos
22 – PROPRIEDADE - Elasticidade
• Exemplos: acções em barras
Perfeitamente elástico –
[1]Recuperação da forma inicial após
a descarga das acções
δ = δ elástico • Material Elástico
Parcealmente elástico –
[2]Apresenta deformação residual
após a descarga das acções
δ
=δ
elástico + δ
plastica
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Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002
33 – LEI CONSTITUTIVA
• Forma geral – Força = F (Deslocamento) ou Tensão = F (Deformação)
Fases de comportamento do material:
O – Origem
P – Limite de Proporcionalidade Regime Elástico
E – Limite de Elasticidade
R – Capacidade máxima (ruína)
C – Rutura (Colapso)
•
Leis constitutivas de alguns materiais:
Regime Linear Elástico
P = K δ
ou
σ = K ε
σ
σ
σ
Aço macio Aço duro Aço de alta
Ferro fundido
Borracha
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• Conceitos:
Dúctil - Apresenta apreciável deformação antes de
atingir a roturaExemplo: Aço macio e o alumino
Frágil -Material
A rotura é precedida de uma deformação
reduzida
Exemplo: Ferro fundido, betão, aço duro,
vidro, pedra
• Lei de Hooke (Robert Hooke, 1678)
(Ensaio de tracção simples)
Regime linear elástico σ = E ε Lei de Hooke [3]
E – Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young
Hipóteses - Barra de secção constante e “P” aplicada normal à secção
- Válidos - Princípio do Corte Cálculo dos esforços (N)
- Princípio de Saint-Vennant Cálculo das tensões (σ)
- Princípio de Navier-Bernouilli Cálculo das deformações (δ)
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Esforço Axial na secção (z) – N(z)
Tensão Normal na secção (z) - σ(z)
N(z) σ(z) = P/A (z) = N/A (z) [4]
Deformação de uma barra de comprimento “L” - ∆L ou ε
Alongamento ∆L (+) • Deformação (∆L)
Encurtamento ∆L (-)
∆L= Lfinal – Linicial [5]
• Extensão (ε adimensional
ε
= ∆L /L [6]
Relação Tensão vs. Deformação – Lei de Hook
σ = E ε
[4] + [5]+ [6]
Material em regime linear elástico (troço OP)
Barra de secção transversal constante (A = const.)Válida para:
Esforço axial constante na barra (N(z) = const.)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002
44 – TABELA
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 20/09/2002
55 – PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS
• Admitindo Hipótese das pequenas deformações
Material a trabalhar em regime linear elásticos
• Exemplos:
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Aula Teórica de 24 – 09 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples
Convenções gerais de Resistência de Materiais. Capítulo de Tracção – Compressão simples. Esforço axial e
tensão normal. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas simples. Exemplos de
aplicação.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002
CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
11 – Barras: Esquerda / Direita
e d
e
d
e d
d e
22 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra
de+
V
N
M
V
N
M
33 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M)
N , V
Me
d++
++
T T
T
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 24/09/2002
TRACÇÃO - COMPRESSÃO
11 – ESFORÇO AXIAL / TENSÃO NORMAL
• Exemplo 1
A B 100 kN100 S
S
0x
5 m
0
A100 S
S
0x
( ) ( ) )tracção(kN100x NSS:SA =∴−→ )tracção(kN100x NSS:SA S - S
( ) ( )tracçãokN100x N
5x0:AB
=
<≤ e d
SECÇÃO S-S ( ) ( )∑=i
peçadaeixoao//Forçasx N
σ(z) = N(z) / Área
Diagrama de Esforços “N”
50 3
+
N(kN)
zz
z
N= 100
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• Exemplo 2
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22 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS
• Exemplo 1 – Barra simples
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• Exemplo 2 – Barra simples
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Aula Teórica de 25 – 09 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples
Capítulo de Tracção – Compressão simples. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de
estruturas formadas por associação de barras. Conceito de barra infinitamente rígida. Efeito da variação da
temperatura. Exemplos de aplicação. Conceito de Segurança de uma estrutura. Critérios de verificação de
segurança em serviço e em ruína.
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22 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS (continuação)
• Exemplo – Associação de barras
PP P
MMééttooddoo GGrrááf f iiccoo – – AAnnaallí í ttiiccoo
• Movimento de Corpo Rígido (Domínio das Pequenas Deformações)
BBaarrrraass DDeef f oorrmmáávveeiiss ((EE ≠≠ iinnf f iinniittoo))
BBaarrrraass IInnf f iinniittaammeennttee R R í í ggiiddaass ((EE == iinnf f iinniittoo))
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• Exemplo 3 – Associação de barras deformáveis
MMééttooddoo GGrrááf f iiccoo – – AAnnaallí í ttiiccoo
P
B A
C
NBC
NAC
1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”
K
K
=
⊕=⇒
=Σ
=Σ
BC
AB
y
x
N
N
0f
0f
Dados : A = 65 cm2E = 206 GPa
B A
C
B’
B
V
B
H
αcos
∆BC
l
∆ B C l
∆AB
l
2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS
N
N
BC CB
ABAB
l
l
∆→
⊕∆→⊕
3) DESLOCAMENTO DO NÓ
MÉTODO:2 BARRAS
CONCORRENTESE COM “ l∆ ”
⇒ PERMITR DETERMINAR O
DESLOCAMENTO DO NÓ DECONCORRÊNCIA
4.0 m
3.0 m
+ 400 kN
- 500 kN
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• Exemplo 4 – Associação de barras (deformáveis e infinitamente rígidas)
Barra infinitamente rígida ((EE == iinnf f iinniittoo)) ∆ll == 00
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33 – EFEITO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (∆T)
T1 – temperatura de fabrico da barra
T2 – temperatura aplicada à envolvente exterior da barra
∆T = Τ
2
Τ
1
temperatura diferencial (+ ou -)• Material
α
- coeficiente de dilatação térmica
0
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44 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA
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• Serviço (Estado Limite de Utilização)
Limitar deformações:
p
z
y
Eq. da Deformaçãoy (z) = ?ϕ (z) = ?
Válido:
Elástico (Lei de Hooke) (troço OA) Regime
Elástico – Plástico (troço OAB)
A B
O
y
u
u
y
Cálculos sem majorar as acções sobre a estrutura:
δ
P ≤ δ limiteϕP ≤ ϕ limite
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• Ruína (Estado Limite de Último)
Limitar Tensões (Esforços):
A E
B C D
F JG H I
Conceitos de VALORES DE CÁLCULO (índices Sd; Rd):
1 – Valor de Cálculo da Tensão Actuante ( σSd ; τSd)
2– Valor de Cálculo da Tensão Resistente ( σRd ; τRd)
σ
Sd ≤ σRdτSd ≤ τRd
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Professor Luís Juvandes Aula 27/09/2002
Aula Teórica de 27 – 09 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples
Capítulo de Tracção – Compressão simples. Dimensionamento de barras sujeitas a esforços axiais
(continuação). Exemplo de aplicação. Conceito de coeficiente de Poisson. Lei de Hooke generelizada
(deformação axial). Variação de secção transversal e de volume de uma barra.
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55 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA EM TRACÇÃO - COMPRESSÃO
• Exemplo
• Ver. Seg. em SERVIÇO (limitar a deformação)
Barra mais desfavorável
Ponto mais desfavorável
• Ver. Seg. à RUÍNA (limitar a tensão)
N máx
Barra mais desfavorável σ máx
Cálculo:
N máx σ máx
σRdx - Imposto pelo Regulamento do Material
Problemas possiveis:
DIMENSIONAMENTO (A = ?)
CAPACIDADE MÁXIMA (N máx = ?)
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
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• Exemplo 3
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66 – DEFORMAÇÃO GENERALIZADA
•
EIXO LONGITUDINAL (ZZ) – deformação da aresta “dz”
dz • dz + ∆dz = dz (1 + εz)
• εz = ∆dz / dz
• ELEMENTO DE ÁREA (plano X Y) – variação da área da secção transversal
dx • dx + ∆dx = dx (1 + εx)
• εx = ∆dx / dx
dy• dy + ∆dy = dy (1 + εy)
• εy = ∆dy / dy
A0 = dxdy • A = A0 (1 + εx) (1 + εy)
= A0 (1 + εx + εy + εx εy )
= A0 (1 + εx + εy)
• εA = (A - A0) / A0 = (εx + εy)
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• ELEMENTO DE VOLUME – variação do volume do de um sólido
V0 = dxdydz • V = V0 (1 + εx) (1 + εy) (1 + εz)
= V0 (1 + εx + εy + εz + εx εy + εx εz + εy εz + εx εy εz)
= V0 (1 + εx + εy + εz)
• εV = (V - V0) / V0 = (εx + εy+ εz)
77 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA
• Válidos • Material Isotrópico
• Lei constitutiva do material = tipo linear
• Domínio das pequenas deformações
Tensões Normais (σ
σx •ε
1
x = σx / Εx
•ε
1
y = ε
1
z = - K 1 ε1
x
σy • ε
2
y = σy / Εy
• ε
2
x = ε
2
z = - K 2 ε
2
y
σz •ε
3
z = σz / Εz
•ε
3
x = ε
3
z = - K 3 ε
3
z
Mod. Elasticidade Longitudinal
Εx = Εy = Εz = Ε
Coeficiente de Poisson
K 1 = K
2 = K
3=
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• Princípio da Sobreposição dos Efeitos
σx + σy + σz • εx = ε
1
x + ε
2
x + ε
3
x= σx / Ε – ν [σy / Ε + σz / Ε]
•εy = ε
1
y + ε
2
y + ε
3
y= σy / Ε – ν [σx / Ε + σz / Ε]
•εz = ε
1
z + ε
2
z + ε
3
z= σz / Ε – ν [σx / Ε + σy / Ε]
Tensões Tangênciasi (τ
τ
x + τ
y + τ
z •γ
x = 1/ G τ
xy
•γy = 1/ G τxz
•γz = 1/ G τyz
Modulo de Distorção
• G = E / 2(1+ ν)
[ 1 ] e [ 2 ] - Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos
• Variações de Áreia e de Volume de um sólido
[ 1]
[2]
1 / K K = Módulo de CompressibilidadeVolumétrica
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• Algumas Conclusões:
• σx > σy > σz • εx > εy > εz
• E > 0
•
G > 0 • K > 0
• 1 + ν
> 0 ν
> -1
• 1 - 2ν
> 0ν
< 0,5
-1 > ν > 0,5
• ν = 0,5 • Material Incompressível
• K = infinito ε
V = 0
• ν = 0 • G = E / 2
• K = E / 3 εV = 3 εm
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Aula Teórica de 01 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples
Esforço e deformação axial em barras de secção varialvel. Efeito do peso próprio. Barras de igual
resistência. Exemplos. Trabalho de deformação. Módulos de resiliência e de tenacidade.
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88 – TEORIA DAS PEÇAS LINEARES (algumas aproximações)
• Barras não prismáticas – casos especiais
Barras de secção variável [ A (z)]
Barras sujeitas ao peso próprio [ q(z)]
Peças de eixo curvo (Tubos)
•
CASO GERAL (Secção transversal e Esforço axial variáveis)
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• Exemplo 1 –Barra prismática sujeita a carga concentrada e ao pesopróprio (secção transversal constante)
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• Exemplo 2 –Barra de igual resistência ( (z) = constante)
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• Exemplo 3 –Barra composta por tramos prismáticos de secçãoconstante (Ex:Pilares)
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• Dimensionamento de pilares
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99 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO (Regime Elástico)
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• Material Linear Elástico e Perfeitamente Plástico (ex: o Aço)
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Aula Teórica de 02 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples
Cargas aplicadas bruscamente segundo o eixo da barra (continuação). Exemplo de aplicação. Barras
constituidas por dois materiais. Conceito de homogeneização. Exemplos de aplicação.
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88 – CARGAS APLICADAS BRUSCAMENTE
• Exemplos – Cravação de estacas no solo; cabos de suporte de elevadores.
• Condições - Despresar o peso próprio da barra e da espera
- Material em Regime Elástico – Linear
• Equlíbrio Princípio da Conservação da Energia
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P
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• Exemplo 1
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99 – PEÇAS CONSTITUÍDAS POR MAIS DO QUE UM MATERIAL
• Problema:
• Secção não isotrópica.
• Distribuição de tensões normais não é uniforme.
• Problema hiperestático.
• Hipóteses:
• Barra constituida por dois materiais.
• Secção constante ao longo da barra.
• Materiais perfeitamente solidarizados entre si.
• Materiais em regime elástico – linear ( máx E)
• Válido:
• Hipótese de Navier - Bernouilli.
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• Conceito de Homogeneização da secção
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• Exemplo 2
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Aula Teórica de 04 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas
Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão. Equilibrio de forças e compatibilidade de deformações.
Problemas uma vez hiperestáticos. Exemplos de aplicação com estruturas formadas com barras
deformáveis, infinitamente rígidas e com molas elásticas e sujeitas a cargas aplicadas.
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11 – INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
• Exemplos
P
RA
RB
V
P
1
P
VB
V
H
A
A
P
RA
RB
RC
V
P
1
2
A ; E1 1
A ; E2 2
HB
P
VB
V
H
A
A
P
VB
V
H
A
A
V
Mola
C
ou
ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS
ESTRUTURAS
HIPERESTÁTICAS
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• Exemplos
VARÃO ROSCADO [Aperto da porca]
2.0 m
1.8 m
5mm
varão
roscado
Apertoda
porca
p - Passo da rosca
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA [∆t ; ∆t ]
A
[m]4.0
Baço cobre
[ t ]∆
∆t
SOBREPOSIÇÃO DE EFEITOS [Forças; ∆δ; ∆t]
P
[m]2.0 3.0
3.0
A
BC
D
2.0
3.0
E
∆δ
∆ t
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• Acções sobre as estruturas a estudar em RM
A C Ç Õ E S N U M A
E S T R U T U R A
( e m R
M )
1 º - F O R Ç A S / M O
M E N T O S D I R E C T A M E N T E A P L I C A D O S ;
2 º - V A R I A Ç Õ E S D
E T E M P E R A T U R A (
) ;
d i m i n u i ç ã o (
∆ t
∆
∆
t
t
)
a u m e n t o (
)
3 º - A S S E N T A M E N
T O
D E A P O I O S / D E F E I T O S D E F A B R I C O :
t r a d u z i d o s p o
r u m d e s l o c a m e n t o d e
u m n
ó (
)
δ
-
+
A
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22 – PEÇAS SUJEITAS A CARGAS EXTERIORES
• Exemplo 1
E X E M P L O
1
2 . U
m a b a r r a A B d e s e c ç ã o
c i r c u l a r é
c o n s t i t u í d a
p o r d o i s
m a t e r i a i s , c
o n f o r m e
r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a , l i g a d o s d e m o d o a s e r i m p o s s í v e l q u a l q u e r m o
v i m e n t o
r e l a t i v o e n t r e o s d o i s m a
t e r i a i s .
a
) P a r a u m a c a r g a a x i a l P = 1 0 0 k N d e t e r m i n e a s
t e n s õ e s
n o r m a i s i n s t a l a d a s n o
m a t e r i a l 1 e n o m a t e r i a l 2 .
b
) P a r a a m e s m a c a r g a d
e t e r m i n e o d e s l o c a m e n t o d o p o n t o B .
D
a d o s :
M a t e r i a l 1
-
E
= 7 0 G P a
A
= 9 c m
M a t e r i a l 2
-
E
= 2 1 0 G P a
A
= 2 c m
1 2
2 2
3 . 5 m
2 1
2 1
P = 1 0 0 k N
N
= 6 0 k N
N
= 4 0 k N
2 1
1 2
- B a r r a s c o n
s t í t u i d a s p o r d o i s m a t e
r i a i s
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002
• Exemplo2
E X E M P L O
- 2
N
= N
= 3 1 . 6 2
A D
C D
N
= 4 9 . 4 0
B D
A
= A
= A
A D
B D
C D
E
= E
= E
A D
B D
C D
M A T E R I A L :
4 . 0 m
3 . 0 m
3 . 0 m
A
B
C
P = 1 0 0 k N
D
-
A p l i c a ç ã o d e f o r ç a s
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002
• Exemplo 3 – Comportamento de uma mola (elástico)
E X E M
L O
3
3 .
A f i g u r a r e p r e s e n t a u m a e s
t r u t u r a c o n s t i t u í d a p o r u m a b a r r a r í g i d a
e
p o r d o i s t i r a n t e s d e a ç o c o m a
s s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a
s :
E = 2 0 0 G P a
A = 1 0 c m
T e n s ã o d e c e d ê n c i a : 2 3 5 M
P a
a ) C a l c u l e o s e s f o r ç o s a x i a i s n o s t i r a n t e s e o d e s l o c a m
e n t o v e r t i c a l d o n ó
p a r a
P = 2 0 0 k N .
A B C
C
2
N
= 2 1 4 . 5
9 2 k N
B D
N
= 1 5 4 . 5
0 6 k N
C D
N
=
B D
R
=
m o l a
M O L A :
K = 4 X 1 0
k N / m
4
P
[ m ]
4 . 0
4 . 0
3 . 0
A
B
C
D
P
A
B
C
D
E
b ) O
m e s m o q u e
a ) a d m i t i n d o a n o v a e s t r u t u r a i n d i c a d a .
- A p l i c
a ç ã o d e f o r ç a s
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 04/10/2002
33 – CÁLCULO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS - METODOLOGIA
E S T R U T U R A S
H I P E R E S T Á T I C A S
(
)
G R A U 1
1 º - I M P Ô R U M A D E F
O R M A D A C O M P A T Í V E L C O M A
E S T R U T U R
A ;
2 º - I D E N T I F I C A R A S
I N C Ó G N I T A S E S F O R
Ç O S / R E A C Ç Õ E S
E O S S E U S S E N T
I D O S ;
3 º - E S C R E V E R A S E
Q U A Ç Õ E S :
3 . 1 - C O M P A T I B I L
I D A D E D E D E F O R M A
Ç Ã O
(
)
3 . 2 - E Q U I L Í B R I O
(
)
1 e q .
a t é a o m á x i m o d e 3 e q .
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Professor Luís Juvandes Aula 08/10/2002
Aula Teórica de 08 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas
Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Efeitos da variação de temperatura e de
deformações impostas a barras da estrutura (aperto de um varão roscado, defeito de fabrico e assentamento
de apoio). Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 08/10/2002
44 – PEÇAS SUJEITAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
• Exemplo 1
E X E M P L O
4
a ) A f i g u r a
r e p r e s e n t a u m v
e i o d e c o b r e
i n s e r i d o n o i n t e
r i o r d e u m
t u b o d e
a ç o . A m b o s
o s
m a t e r i a i s
e s t ã o
p e r f e i t a m e n t e s o l i d a r i z a d o s
n a s e x t r e m i d a d e s a t r a v é s d e
d u a s p l a c a s r í g i d a s
e
. S e o v e i o d e c o b r e s o f r e r
u m a d i m i n u i ç ã o d e t e m p e r a t u r a d e 2 0 º C , q u a l o v a l o r d o s
e s f o r ç o s n o s m a t e r i a i s ?
A ç o :
E
= 2 0 6 G P a
A
= 5 c m
= 1 . 2 5 x 1 0
/ º C
C o b r e :
α E
= 1 2 0 G P a
A
= 6 c m
= 1 . 5 x 1 0
/ º C
b ) C o n s i d e r e a e s t r u t u r a r e
p r e s e n t a d a n a f i g u r a , c o m a s
s e g u i n t e s c a r a c t e r í s t i c a s t a m
b é m i n d i c a d a s .
D e t e r m i n e o e s f o r ç o n a e s t r u t u r a s o b a c ç ã o d e u m a v a r i
a ç ã o d e t e m p e r a t u r a d e + 1 0 º C n a b a r r a
.
E
= 2 0 0 G P a
A
= 2 0 c m
= 1 . 0 x 1 0
/ º C
K = 4 x 1 0
k N / m
α α
B a r r a A B :
M o l a :
A
B
A B
S S
2
S
- 5
- 5
C C C
2
N
= - N
= 1 2 . 7 1 3 k N
C
S
A
[ m ]
4 . 0
B
a ç o
c o b r e
N
= + R
= - 1 3 . 3 3 k N
A B
m
C C C
- 5
2
∆ t = + 1 0 º C
A
B
C
[ m ]
5 . 0
R
= k ∆
m
m
4
- A p l i c a ç ã o d e u m a v a r i a ç ã
o d e t e m p e r a t u r a
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 08/10/2002
55 – PEÇAS SUJEITAS A DEFORMAÇÕES IMPOSTAS
• Exemplo – Aperto de um varão roscado ou um parafuso
PARAFUSO
cabeça
espigadn parte roscada
da espiga“b”
PORCA
dn
p = passo da rosca (=1 volta na porca)
Z o n a r o s c a d a
==
=
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE PARAFUSOS
VÁSTAGO CABEZA
P A R A
F U S O
T I P O Diámetro de
la caña
d n
mm
Diámetrointerior
d 1
mm
Longitudroscada
b
mm
Longitud dela salida
x
mm
Longitud delchaflán
z
mm
Espesor
k
mm
Medida entrecaras
s
mm
Medida entrearistas
e
mm
Radio delacuerdo
r
mm
Diámetrodel
agujero
d
mm
4
d
A2
nπ
=
cm2
4
'd
'A2
π
=
cm2
M 10 10 8.160 17.5 2.5 1.7 7 17 19.6 0.5 11 0.785 0.580
M 12 12 9.853 19.5 2.5 2 8 19 21.9 1 13 1.131 0.843
M 16 16 13.546 23 3 2.5 10 24 27.7 1 17 2.011 1.57
M 20 20 16.933 25 4 3 13 30 34.6 1 21 3.142 2.45
(M 22) 22 18.933 28 4 3.3 14 32 36.9 1 23 3.801 3.03
M 24 24 20.319 29.5 4.5 4 15 36 41.6 1 25 4.524 3.53
(M 27) 27 23.319 32.5 4.5 4 17 41 47.3 1 28 5.726 4.56
M 30 30 25.706 35 5 5 19 46 53.1 1 31 7.069 5.61
(M 33) 33 28.706 38 5 5 21 50 57.7 1 34 8.553 6.94
M 36 36 31.093 40 6 6 23 55 63.5 1 37 10.179 8.17
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 08/10/2002
• Exemplo 2 – Aperto de um varão roscado
E X E M P L O
- 5
Q u e t e n s õ e s s e p r o d u z i r
ã o n u m p a r a f u s o d e a ç o e n u
m t u b o d e c o b r e ,
q u a n d o s e d e r ¼ d e v o l t a à p o r c a .
D a d o s :
A ç o :
p a s s a d a
r o s c a
= p = 3 m m
A
= 6 c m
; E
= 2 0 6 G P a
C o b r e : A
= 1 2 c m
; E
= 1 2 0 G P a
N
= - N
= 6 6 . 5 1 1 k N
A
C
S
S
2 2
C
C
= 7 5 c m
c s A
c s
B
- A p e r
t o d e u m V a r ã o r o s c a d o
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico
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Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
Aula Teórica de 09 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas
Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Comportamento de uma estrutura, formada
por barras de mateial elástico – perfeitamente plástico, até à ruína devido ao efeito de uma carga crescente.
Determinação da lei carga vs. deslocamento (comportamento elastico-plastico). Esforços e deformações
residuais nas barras após descarga da estrutura. Exemplo de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
66 – COMPORTAMENTO ELASTO - PLÁSTICO
• Exemplo 1 - UMA BARRA DE AÇO
A B
O
y
u
u
y
Fe 360• AÇO Fe 430
Fe 510
F
F
N
• Material DÚCTIL ⇒ presença de patamar de cedência
• Em TERMOS DE CÁLCULO – diagrama da lei constitutiva do material
A B
ODC
C´D´
B´ A´
y
y-
+
COMPRESSÃO
TRACÇÃO+
Material Elástico Perfeitamente Plástico OAB - Carregamento (tracção)BC - Descarga
OA – comportamento linear elástico AB – comportamento plástico
(patamar de cedência)
'B'OA - Carregamento (compressão)'C'B - Descarga
Admite-se que σP = σE
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
Comportamento:
TROÇO OA
PONTO “A”
- Regime elástico (R.E) [ σ ≤ σy ]
• válido Lei Hooke ∴⇒ EA
Nll =∆
- Início da plastificação da secção
• ⇒=σ=σA
N máxy A N ymáx σ=
tensão de cedência do material
TROÇO AB - Regime plástico (R.P.) Nmáx Nmáx = Aσy x
σ= const. = σy
E
M C
A R G A
Fim do carregamento• A barra sofre deformação a tensão constante, isto é,
a barra está em cedência sem poder absorver maisesforço (PLASTIFICOU)
Comportamento:
DOMÍNIO OA - Material sempre em Regime Elástico (R.E.)
A
O
y
• Na descarga as deformações são eliminadas totalmente porque o material nunca plastificou
σ = 0 σ =σy
ε = 0 ε = εy
σ = 0
ε= 0
carga desc.
DOMÍNIO AB
- Após o ponto “A” o material entrou em Regime Plástico(R.P.)
E M D
E S C A
R G A
A B’’
CO
r
B’B
• Uma vez em patamar de cedência, a descarga faz-se paralelamente ao troço OA do regime elástico
Descarga é feita sempre em R. Elástico
• εr = deformação residual (irreversível) após descargaa partir do ponto B (B’ ou B’’)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
• Exemplo 2 - ESTRUTURA FORMADA POR VÁRIAS BARRAS
A = const = 10 cm
2
E = const = 206 GPa 3 m 3 m
4 m
P
A
Ex:
B C
D
N1 N3N2
N = N = f (P) = 0.2514 P1 3
N = f (P) = 0.6983 P
2
(+ esforçada)
0 < P < P1
⇒ Regime Elástico (R.E.)
• Todas as barras estão em R.E., isto é1 2 3 y<, ,
• Válido: σ = N/A e σ = E ε
E s t . h i p e r e s t á t i c a
P = P1 ⇒
1.ª Barra plastifica →
a mais esforçada
• barra BD →2 y
=máx
=N = N = Ax2 máx y
E s t . I s o s t á t i c a
P1 < P < P2 ⇒ Regime Elasto-Plástico (R.E.P.)
• 1 barra plastificada e as restantes em R.Elástico
2 = y
1 3, y<
• Válido: σ = E ε (só para barras AD e CD) e σ = N/A
P = P2 ⇒ Ruína da estrutura
• todas as barras estão plastificadas (R.P.)
1 2= 3= y=
E s t . h i p o e s t á t i c a
RUÍNA DESENHAR CURVA DE COMPORTAMENTO P = f (δ)
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
44 – Ruína da estrutura [ ]2PP = - todas as barras estão plastificadas
Nmáx
2
Nmáx
Nmáx
P = P
A B C
D
D
2
D
D
2
CD
ADCD
AD
=+α××⇔=Σ ====
P Nsen N20FkN235 N N N N
máxmáxy
máx321
[ ][ ]α+=
α+=
sen21235
sen21 NP máx2
( ) α
∆
=δ==δ senPPCD2
D2D
l
kN517P2 = ; m1067.12 42D
−×=δ
55 – Diagrama de comportamento da estrutura -DP = f ( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
100
200
300
400
500
600
O
P1
P2 RU NA
C a r g a
D e s c
a r g
a
desc.res
carg.
D
7.41
P
(kN)
(x 10 m)- 4
=res. carg. desc.-
= 7.41 - 5.42= 1.99 x 10 m-4
517
336.5
4.56 12.67
Análise: Qual o deslocamentode “D” após a aplicação àestrutura de P = 400 kN.
• Como P1< 400 < P2
• Regime elasto-plástico
• δD(P=4000)= [ 1]
= 7.41 mm
Análise: Qual o efeito naestruturas após a descarregadesta (P=0).
( )
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
66 – Descarga da estrutura [ ]kN0P ⇒
• Exemplo: Aplicou-se à estrutura o seguinte,
1.ª Fase - Carga P = 0 kN 400 kN
2.ª Fase - Descarga P = 400 kN 0 kN
• Após a descarga pretende-se saber se existem deformações e esforços residuais nas barras da estrutura
Cálculo do Deslocamento residual do nó “D” (irreversível)
1.ª Fase - Carga ⇒ P = 400 kN
• Como 21 P400P << ⇒ expressões de 3 – Regime Elasto-Plástico
m10416.7senEA
N
ado)(PlastifickN235 N N
kN5.137
sen2
235P N N
CARGA
3
21.car
D
máx.car.
2
3.car
1
−×=α
=δ
==
=
α×
−==
l
2.ª Fase - Descarga ⇒ P = 0 kN
• É válido as expressões de 1 – Regime Elástico
m1042.54001P
kN279.32P 6983.0 N
kN100.56P 2514.0 N N
DESCARGA
kN400P
4desDdes
D1
D
.des2
.des3
.des1
−×=δ⇒δ
=δ
==
===→=
Deslocamento Residual → m10996.1 4desD
car D
resD
−×=δ−δ=δ
( )
( )
( )
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 09/10/2002
Cálculo dos Esforços residuais nas barras
• Após kN400P = ⇒
→
→
ElásticoR.CD,AD barras
u plastificoBD barra
• Barra BD → Responsável pela deformação residual do nó “D”
• Como o nó “D” não regressa à posição inicial, então
0 N finaisi ≠ quando 0P =
• Como o comportamento da estrutura pode ser interpretado como a somados efeitos seguintes:
1.ª Fase + 2.ª Fase
Válido o PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS (P.S.E.)
aargdesci
aargci
finaisi N N N −=
Isto é
kN32.4432.279235 N N N
kN94.3656.1005.137 N N N N aargDesc
.des2
.car 22
.des
1
.car
131
−=−=−=
+=−=−==
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Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002
Aula Teórica de 11 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Peças de eixo curvo
Peças de eixo curvo. Cálculo do estado de tensão e de deformação de um tubo de parede delgada.
Aplicação da teoria das peças lineares. Tubos constituídos por dois materiais. Exemplo de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 11/10/2002
11 – PEÇAS DE EIXO CURVO
• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (1 só material) • Interpretação do que se passa na secção transversal da peça curva
e
e = constante
b
pi
máx.σ
−
2
er 2 m
pi
máx.med.σ
−
2
er 2 m
e
⊕i p
r m
r i
r e
• TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS (lineares)
• Admitindo a “ .medσ ”
•0F
(OK)0F Equilíbrio .Eq
y
x
=Σ
=Σ
b e 2 b 2er 2 p .medmi σ=
−×
e
2
er p mi
.med
−
=σ
Tensão média na parede do tubo [1]
•se imedm
p2
11
r
e
−
α=σ⇒=α
[2]
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• TEORIA DA ELASTICIDADE
•
α+α
=σ4
1 p 2
i.máx [3]
• ERRO COMETIDO quando se aplica a TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS em
substituição da TEORIA DA ELASTICIDADE
• se
21
4
12
.med
.máxα
+
α+
=σ
σ
(OK tubos)
mr /e=α 0.01 0.02 0.05 0.1 0,2
.med.máx /σσ 1.0051 1.0102 1.0263 1.0553 1.1222
erro 0.51% 1.02% 2.63% 5.53% 12.22%
Se se considerar o valor de 5% COMO O LIMITE MÁXIMO ADMISSÍVEL PARA O ERRO
e generalizando-se a outras peças de eixo curvo, conclui-se que A TEORIA DAS PEÇAS
LINEARES é aplicável a peças curvas enquanto a relação entre a espessura no plano de curvatura
e o raio médio de curvatura da peça ( mr ) for infaerior a 0.1.
⇒≤ 1.0r /e m é válida a equação [1]
• DEFORMAÇÃO DA SECÇÃO TRANSVERSAL
• Válida a Lei da Conservação das Secções Planas e a Lei de Hook
• ε p = ∆ perímetro/perímetro = 2 rm / 2 rm m
mt
r r ∆=ε
Ee2
er p
E
mi
.medt
−
=σ=ε
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• EXPRESSÕES APROXIMADAS (válidas em termos práticos)
r m
⊕ip
⊕ep
⊕∆t
(raio médio)
⊕∆t
⊕ep
⊕ip
r m
TENSÃO E DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL
( )e
r p p mei.med
+=σ
m
mmedt
r
r t
E
∆=∆α+
σ=ε
•
⇒
∆ ⊕
⊕
⊕
t
p
p
ACÇÕES e
i
( )m
2mei
m r tEe
r p pr ∆α+
+=∆
• Convenção de sinais ⊕ - indicada na figura
• Expressões aproximadas porque mm r 2
er ≈
−
• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se
i
i
e
eeeiit
eeiimed
r
r
r
r t
eE
r pr p
e
r pr p
∆=
∆=∆α+
+=ε
+=σ
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• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (2 materiais diferentes)
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
• Materiais perfeitamente solidarizados na peça
• Válidas todas as hipóteses referidas aqui e nas aulas de 02/10 e 04/10
IIe
Ie
Imr
IImr
I
II
II
IIe
Ie
Imr
x
I
x+
IImr
Ii p I
i p
• Substituição dos tubos pelos seus eixos médios
TUBO I I
I
A
E
TUBO II II
II
A
E
Imr
IImr
Imr
x
x+
IImr
Ii p
•Equação de. equilíbrio do tubo
I
⇒
I
Imi
I
e
r )X p( −=σ
• Equação de. equilíbrio do tubo II ⇒ II
IIm
IIe
r X=σ
• Equação de compatibilidade de deformação entre os tubos ⇒ IIm
Im r r ∆=∆
• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se
IIIII
I
eII
II
iIII
I
e
I
iiI ;
eXr
eXr ;
er Xr p ε=ε==σ−=σ
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• EXEMPLO 1
A figura representa o conjunto de dois tubos destinados ao transporte de um fluído dotado de uma pressãointerior p. Sabendo que o tubo 1 está inserido sem folga no interior do tubo 2 calcule:
a) As tensões instaladas no tubo 1 e no tubo 2
para uma pressão interior de 10 MPa.
b) O valor máximo da pressão p em condições
de segurança (garantia do estado limite de
último de resistência).
c) O valor de pressão p que conduz à primeira
cedência do material.
d) O valor de pressão p de ruína dos tubos em
serviço.
0.004
0.30
Tubo 1
Tubo 2
0.008
p = 10 MPa
[m]
Tubo 1: E = 200 GPa; e = 4 mm; σRd = 335 MPa; σy = 235 MPa
Tubo 2: E = 100 GPa; e = 8 mm; σRd = 160 MPa; σy = 133 MPa
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Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002
Aula Teórica de 15 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Revisões
Conclusão da aula anterior e resolução de exercícios de revisão.
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• Exemplo 2
1. Dispõe-se uma estrutura formada por dois tubos para
fazer o transporte de um fluido com uma pressão interior
“p”. O tubo 1 está inserido com uma folga de 1mm no tubo
2. Determine:
a) O valor de “p” necessário para eliminar a folga
existente entre os dois tubos;
b) As tensões instaladas nos tubos se a pressão interior dofluido for de 10 MPa.
Tubo1: E = 10 GPa
Diâmetro int. = 200mm
Espessura = 10mm
Tubo 2: E = 20 GPa
Diâmetro int. = 222mm
Espessura = 10mm
SOLUÇÃO: a) p = 9070,3 kPab) 1 = 98929 kPa
2 = 6745,4 kPa
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 15/10/2002
• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado
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• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico
•
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Professor Luís Juvandes Aula 16/10/2002
Aula Teórica de 16 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas
Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas: o método analítico. Exemplo de
aplicação.
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DESLOCAMENTO DE NÓS DE ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)
11 – INTRODUÇÃO AO DESLOCAMENTO DE UM NÓ
PP P
• Exemplo 1 – – EEssttr r uuttuur r aa ccoomm 22 bbaarrrraass – – MMééttooddoo GGr r ááf f iiccoo -- AAnnaallííttiiccoo
P
B A
C
NBC
NAC
1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”
K
K
=
⊕=⇒
=Σ
=Σ
BC
AB
y
x
N
N
0f
0f
B A
C
B’
B
V
B
H
αcos
∆BC
l
∆ B C l
∆AB
l
2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS
N
N
BC CB
ABAB
l
l
∆→
⊕∆→⊕
3) TRIÂNGULO DE DEFORMAÇÃO
( )
( )
↓αα
×
α
∆+∆=δ
→∆=δ=δ
sen
cos
cos
BCAB
VB
ABHB
B ll
l
MÉTODO:
2 BARRAS
CONCORRENTESE COM “ l∆ ”⇒
PERMITR DETERMINAR
O DESLOCAMENTO DONÓ DE CONCORRÊNCIA
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• Exemplo 2 – – EEssttr r uuttuur r aa ccoomm vváárriiaass bbaarrrraass
1)
B
A C
ED
F
2)
A E
B C D
F JG H I
• CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS NÓS DA ESTRUTURA:
• MÉTODO ANALÍTICO
• MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DECARGA (UFC)
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22 – MÉTODO ANALÍTICO - Introdução
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22 – MÉTODO ANALÍTICO – Metologia de Aplicação
1 – Numeração dos “nós” da estrutura:
i, j, ...
2 – Identificação das barras:
barra i-j; orientação ij
3 – Cálculo dos esforços nas barras:
⊕ - tracção
Equilíbrio de nós ⇒ Nij - compressão
4 – Construção da tabela auxiliar:
i-j Nij (kN)
t(ºC)
Aij (cm2)
ij (m)
(u j-ui) cos θij (v j-vi) sen θij ij
(m)
1-2 ... ... ... ... ... ... ...
2-3 ... ... ... ... ... ... ...
5 – Escrever para cada barra a equação de deformação, obtendo-se, no final um sistema de equações:
barra i-j⇒ (uj - ui) cos ij + (v j-vi) sen ij = ij ondeij
ij tEA
N
∆α+=∆ l
ll
6 – Introdução das condições fronteira:
(u, v) = valor conhecido
(u, v) = (0,0)
Ex: apoiosu = 0
(u,v) = (u, 0)
7 – Resolução do sistema de equações determinado em (5):
Tabelas de resultados
Nó u(m)
v(m)
⊕Resultados (u, v)
u
v
+
12.........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Apresentação dasolução sob aforma de Tabela
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• Exemplo 3 – – CCaallccuullee ooss ddeessllooccaammeennttooss ddooss nnóóss ddaa eessttr r uuttuur r aa aar r ttiiccuullaaddaa r r ee p pr r eesseennttaaddaa nnaa f f iigguur r aa,, uuttiilliizzaannddoo oo mmééttooddoo aannaallííttiiccoo.. AA áár r eeaa ddee sseeccççããoo ttr r aannssvveer r ssaall éé ddee
2200 ccmm22 p paar r aa aass b baar r r r aass AABB ee BBDD éé ddee 1155 ccmm22 p paar r aa aass r r eessttaanntteess ee oo mmóódduulloo ddee YYoouunngg iigguuaall aa 220000 GGPPaa αα==11..2255xx1100--55// ººCC..
A B D
C
[m]3.0 6.0
2.0 t = + 1 0 º C
∆ 60kN
i) Cálculo de esforços [kN]:
⇒=Σ
=Σ)kN( N
0f
0f nós dos .Eq ij
y
x
A
C
BD
-180 -180
- 1 8 0
1 0 6 0 1 3
6 0[kN]
ii) Cálculo dos deslocamedntos dos Nós (u, v):
DADOS SISTEMA DE EQUAÇÕES
BARRA Nij (kN)
t (ºC)
Aij (m2)
ij (m)
(u j-ui) cos ij (v j-vi) sen ij ij (m)
A-B -180 - 20×10-4 3 (0-uA) 1 (0-0) 0 -1.35×10-
3
B-D -180 - 20×10-4 6 (uD –0) 1 (vD-0) 0 -1.35×10-
3
A-C 1360 +10 15×10-4 13 (uC –uA) 133 (vC-0) 132 3.0507×10-3
C-D 1060 - 15×10-4 102 (uD –uC) 1026 (vD- vC)
−
1022 4.0×10-3
B-C -180 - 15×10-4 2 (uC-0) 0 (vC-0) 1 1.2×10-3
→
CONDIÇÕES FRONTEIRA:→
RESULTADOS:
B
⇒ φ== BB vu Nó u (mm) v (mm)
A
⇒ φ=
≠
A
A
v
0u u
v
+
A
B
C
D
1.35
0
5.816
-2.7
0
0
-1.2
-39.4
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Aula Teórica de 18 – 10 – 2002
Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas
Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas (continuação): Método da Unidade
Fictícia de Carga ou Maxwell-Mohr. Exemplo de aplicação.
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33 – MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC)
• Exemplo - Introdução
C A
B
?VB =δ
ED
P1
t∆ P2
A B C
D
P1
P2
?HD =δ
t∆
P3
?VD =δ
OBJECTIVOS VALOR DA COMPONENTE DO DESLOCAMENTO DE UM NÓ
NUMA DADA DIRECÇÃO (vertical, horizontal, ...) OUROTAÇÕES DE BARRAS
MÉTODOMAXWELL-MOHR ou UNIDADE FICTÍCIA DE
CARGA (UFC)
∑=
∆ ∆=δn
1i
ii p N l
∆ - direcção da componente do deslocamento
i = 1, n - estendido a todas as barras da estrutura
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P R I N C Í P I O D
O S
T R A B A L H O S V I R T U A I S
É
C O N D I Ç Ã O
N E C E S S Á R I A
E
S U F I C I E N T E
P A R A
Q U E
U M
C O R P O
E S T E J A
E M
S O B
A
A C Ç Ã O
D E U
M
S I S T E M A
D E
F O R Ç A S
E X T E R I O R E S ,
Q U E N U M A D E F O R M A
Ç Ã O
V I R T U A L D O C
O R P O
O
I G U A L E
O
E Q U I L Í B R I O
E L Á S T I C O
T R A B A L H O
V I R T U A L
D A S
F O R Ç
A S
E X T E R I O R E S
T R A B A L H O
E L Á S T I C O D
E D E F O R
M A Ç Ã O D
O C
O R P O
T R A B A L H O D
A S
F O R Ç A S E X T E R I O R E S
⇒
. D i s s i p a ç ã o d
e e n e r g i a p o r a t r i t o e x t e r n
o
. D i s s i p a ç ã o d
e e n e r g i a p o r a t r i t o
i n t e r n
o
. E n e r g i a c i n é
t i c a
. E n e r g i a p o t e
n c i a l e l á s t i c a
e x t =
i n t
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33 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Aplicação do PTV
EEssttrruuttuurraa R R eeaall EEssttrruuttuurraa f f iiccttí í cciiaa ccoomm aa UUFFCC
C A
B
?VB =δ
ED
P1
t∆ P2
C A B
ED
1
AH
CVAV
Ni Equilíbrio ⇒
∆⇒
t
P,P .Sol
21
Ni Equilíbrio
( ) barrai
i
j, " j" nó
tEA
N
Def.
VH
i
−
δδ⇒
∆α+=∆
⇒ ll
l
∆⇒
t
P,P .Sol
21
Deformação
Solicitação
j nó−
(sem unidades)
⇒
⇒
força UFC dodeslocamento
"" B
N i - esforços
R j - reacções de apoio
Solicitação
Equilíbrio
v
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS
VIRTUAIS (P.T.V.) ⇒
ext = int
j
i
j
i
lrealDef.virtualDef.
R
NUFCSol.
Admitindo
δ
∆→=
→=
∆=∆×++∆×=
δ=×δ+×+×+×=
∑=
7
1i
ii7711int
V
B
V
BCAAext
l Nl Nl N
10V0H0V
K
i N
il∆
∑= ∆=δ
n
1iii
V
B N l
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33 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Metologia de Aplicação
∑=
∆ ∆=δn
1i
ii p N l
v
pδ H
pδ BARRAS
(i) il iA i N il∆
i1 N ii1 N l∆× i2 N ii2 N l∆×
… … … … … … … … …… … … … … … … … …
… … … … … … … … …
… … … … … … … … …
=δ v
p … =δH
p …
Cálculo do deslocamento de “P” - );(h
pv
p p δδδ
OOBBSS::
"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforço N
"" componente da "UFC" estrutura da "i" barra na esforço N
barrai
.comp
.trac; N; N; N
t
"i" barra cadatEA
N
H pi2
V pi1
i2i1i
i
i
δ−
δ−
−
⊕
⊕∆
−
∆α+=∆ l
ll
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TTAABBEELLAA – – AAccççõõeess UUNNIIDDAADDEE FFIICCTTÍÍCCIIAA DDEE CCAAR R GGAA ddee ddeetteerrmmiinnaaddooss ddeessllooccaammeennttooss
Deslocamentos ( , θ) Forças U.F.C. (s/dimensões)
Hδ
Vδ
Bδ
Aδ
A, Bδ = δ − δ
B A
A
B
C, ABθ
A
B
C
a
b
ABθ
B
A
AB, BCθ
B
C A
1
1
1
1
1
1
a
b
b
1
a
b
/
a+b = a/
1
1/
1/
1
1
1/2
1
2
1/1
1/1
1/2
⇓ i N
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 18/10/2002
• Exemplo 3 – – CCaallccuullee ooss ddeessllooccaammeennttooss ddooss nnóóss ddaa eessttrruuttuurraa aarrttiiccuullaaddaa rreepprreesseennttaaddaa nnaa f f iigguurraa,, uuttiilliizzaannddoo oo mmééttooddoo aannaallí í ttiiccoo.. AA áárreeaa ddee sseeccççããoo ttrraannssvveerrssaall éé ddee 2200 ccmm22 ppaarraa aass bbaarrrraass AABB ee BBDD éé ddee 1155 ccmm22 ppaarraa aass rreessttaanntteess ee oo mmóódduulloo ddee YYoouunngg iigguuaall aa 220000 GGPPaa ==11..2255xx1100--55// ººCC..
A B D
C
[m]3.0 6.0
2.0 t = + 1 0 º C
∆ 60kN
= ?DV
i) Cálculo de esforços da Estrutura Real:
iy
x N
0F
0F "nó ⇒
=Σ
=Σ
(kN) A BD
C
-180 -180
- 1 8 0 1 0
6 0 1 3
6 0
[kN]
ii) Cálculo de esforços da Estrutura c/a U.F.C. do deslocamento “ VDδ ” pretendido:
A BD
C
[m]3.0 6.0
1
A BD
C
+3
+ 3 1 0
- 1 3 -
+3
Equilíbrio de nós
iN (s/unidades)
iii) Aplicação do Método UFC:
V
Dδ Barra
)m(
il
)m(
A
2
i
Cº
t i∆
)kN(
N i
3
i
10)m( −×
∆l
i N ii N l∆
A-B 3 41020 −× - -180 -1.35 3 31005.4 −×−
B-D 6 “ - -180 -2.70 3 3101.8 −×−
A-C 13 41015 −× +10 1360 3.057 13− 3109.10 −×−
C-D 102 “ - 1060 4.00 10− 31065.12 −×−
B-C 2 “ - -180 -1.20 3
3
106.3
−
×−
Como ⇒−=∆Σ=δ mm4.39l N iiVP
m104.39l N 3ii
−×−=∆Σ
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Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002
Aula Teórica de 22 – 10 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Definição dos esforços gerais de uma secção transversal numa peça linear. Cálculo dos esforços axial (N),
transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas. Interpretação do equilíbrio de uma secção (Princípio
do Corte). Esforços instalados em peças lineares sujeitas à flexão plana. Critérios para convenções de
resistência de mateirias. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002
ESFORÇOS NAS BARRAS DE PEÇAS PRISMÁTICAS
11 – IDENTIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS PEÇAS LINEARES
• Caso Geral
G
GS
S
p
P1P2
z
y
x
secção transversal genérica
G
S
S
P1 P2
z
x
N
T
M
yM
xV
xV
Análise da secção S-S
M
M
Hipóteses:
• PEÇAS PRISMÁTICAS
• LEI DA CONSERVAÇÃO
DAS SECÇÕES PLANAS
• MATERIAL HOMOGÉNIO
S-SEQUILÍBRIO
Esforços:
Forças
Momento
N - Esforço Axial
Vx
Vy
Esforço Transverso
T - Momento Torçor
My
MxMomento Flector
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002
• Caso de Flexão Plana
RESISTÊNCIA DE
MATERIAIS - 1 S-S
(Estuda-se)
N - esforço axial
Vy - esforço transverso vertical
Mx - momento flector segundo XX
z
NxM
yVx
y eixo de solicitação (e. s.)
yV = V
xM = M
22 – MÉTODOS
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM PEÇAS PRISMÁTICAS
1.º MÉTODO - Interpretação ESTÁTICA da estrutura;
2.º MÉTODO - RELAÇÕES MATEMÁTICAS entre os M, V, p.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Principio do Corte)
• Exemplo 1 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)
A B 100 kN100 S
S
0x
5 m
0
A100 S
S
0x
( ) ( ) )tracção(kN100x NSS:SA =∴−→ )tracção(kN100x NSS:SA S - S
( ) ( )tracçãokN100x N
5x0:AB
=
<≤ e d
SECÇÃO S-S ( ) ( )∑=i
peçadaeixoao//Forçasx N
• Exemplo 2 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)
A BS
S
x
5 m
50 kN.m
0
50 kN.m
10
10
0
10
10
0
50 kN.mS
S
( )m.kN50)(M
kN0)( N SS:SA
=
=∴−→
x
x
( (
e d
m.kN50)(M
kN0)( N
=
=
x
x
( (
50:AB <x≤
SECÇÃO S-S ( ) ( )∑ +×=
i
ii "osconcentrad Momentos"S""secçãoàdistânciaForçasxM
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/10/2002
• Exemplo 3 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)
AB
S
S
x
5 m
0
10 kN
10 kN
10x5=50 kN.m
S
S50
x10 kN
( )
(
1 0 -50x)(M
kN0)( N SS:SA
=
=∴−→
x
x
(10 kN)(V =x
e d
(
)(
kN0)( N
=x (
10 - 50M =x x
10 kN)(V =x
50:AB <x≤
SECÇÃO S-S ( ) ( )i
i peçadaeixoao Força xV ⊥Σ=
• Resumo
( ) ( )∑=i
i peçadaeixoao//Forçasx N
ESFORÇOS GERAIS ( ) ( )i peçadaeixoao Força
ixV ⊥
Σ=
( ) [ ]∑ +×=
i
iosconcentradMomentos braçoForçasxM
z
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
11 – Barras: Esquerda / Direita
e d
e
d
e d
d e
22 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra
de+
V
N
M
V
N
M
33 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M)
, V
Me
d++
++
T T
T
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Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002
Aula Teórica de 23 – 10 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Continuação da determinação dos esforços axial (N), transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas.
Secções de descontinuidade de um esforço. Variação da natureza do esforço com a mudança de direcção
das barras. Informações sobre os pontos criticos no esboço dos diagramas dos esforços N, T e M. Exemplos
de aplicação.
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33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)
• Problemas Propostos – vários casos Exemplo 4
[m]3.02.0
50 kN
2.0
50 kN
Exemplo 5
[m]3.02.0
50 kN
3.0
100 kN
30º
Exemplo 6
[m]3.0
50 kN
20 kN
2.0
3.0
ou
[m]4.0
20 kN
2.0
2.0
Exemplo 7
[m]5.0 2.0
50 kN
20 kN/m
Exemplo 8
[m]5.0
30 kN/m
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• Exemplo 5
40
[m]3.02.0 3.0
A B CD
S1 S2
S3
90
z z z
30º
100 sen 30º = 50 kN
100 cos 30º = 50 3
50 kN
100 kN
z’
R R eeaaccççõõeess ddee aappooiioo::
↑→
↓→
←→
= kN90VC=Σ 0MA
= kN40VA=Σ 0Fy
= 350HA=Σ 0Fx
DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss
d e2z0:AB →<≤
V
N
M
−===
===−=
−=
=
kNm80M)2z(M
kN0M)0z(MZ40)z(M
kN40)z(V
kN350)z( N
esqB
A
d e3z0:BC →<≤
( )
−=
−=++−=
−=
=
kNm150M
kNm30M50z240)z(M
kN40)z(V
kN350)z( N
esqC
ditB
d e3z0:CD →<≤
e d3z´0:DC →<≤
V
N
M
knm150MkNm0Mz50)z’(M
kN50)z’(V
kN350)z’( N
kN0M
kNm150M
z50150z9050)z5(40)z(M
)z(V
kN350)z( N
ditC
D
D
ditC
==−=
=
=
=
−=
+−=
+++−=
=
=
(OK)= =
-40+90 = 50kN
50 3
-150 kN.m
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DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M
A50 kN.m
100 kN
30º
B
CD
40 90
50 3
50 3
+ N(kN)
V(kN)
+
-40
50V = 90C
M(kN.m)
-80
-30
M = 50B
-150
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• Exemplo 6
[m]3.0
50 kN
20 kN
2.0
3.0
50 kN
50 kN
90 kN.m
A
B C
D
S3
z
S3
S1S1
S2
S2
z
z
d e2z0:DC →<≤
V
NM
===
=
=
m.kN100Mm.kN0M z50)z(M
kN50)z(V
kN0)z( N
C
D
e d3z0:CB →<≤
V
N
M
−=
−=
−=−×−=
=
−=
m.kN160M
m.kN100M
z20100z20250)z(M
kN20)z(V
kN50)z( N
B
C
e d5z0:BA →<≤
( )
=
−=−=×−−=
−=
−=
m.kN90M
m.kN160M
160z503202z50)z(M
kN50)z(V
kN20)z( N
A
B
-
20 kN
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Professor Luís Juvandes Aula 23/10/2002
DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M
-20
-50
N(kN)
V(kN)
M(kN.m)
-50
50
20
+
+
90
100
-160
+
+
-160
-100
a=1.8 m
160+905
90a
=
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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ALGUMAS CONCLUSÕES
11)) DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss ppoorr ttrrooççooss – – DDeessccoonnttiinnuuiiddaaddeess – – sseemmpprree qquuee::
• Secção com forças concentradas
• Secção com momentos concentrados
• Secção com apoios
• Carregamento à esquerda e á direita de
uma secção
descontinuidade
e d
B
p1
p2
22)) GGrraauu ddaa f f uunnççããoo eessf f oorrççoo
( ) "n"grauzV → ⇒
( ) "1n"grauzM +→
33)) CCáállccuulloo ddoo ““MMmmááxx”” nnuummaa bbaarrrraa
Secção onde⇒ ( ) 0zV =
⇒ Z = Z´ ⇒ ( ) máxM´zzM ==
44)) FFuunnççõõeess ddee ggrraauu nn 22 ⇒ CCUUR R VVAATTUUR R AA
( )→≥
++=
als ind x
f d2n
c bza zzf
2
2
2
⊕
→
→
N, V
Z
⊕
N, V
Z
M
Z
⊕
M
Z
N , V M
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Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002
Aula Teórica de 25 – 10 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Continuação da determinação dos esforços axial (N), transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas.
Barras com cargas uniformemente distribuidas. Determinação de curvaturas e máximos relativos nos
diagramas dos esforços transverso e momento flector. Relação entre os esforços transverso (V) e momento
flecto (M) numa barra. Informações sobre os pontos criticos no esboço dos diagramas dos esforços
(continuação). Exemplos de aplicação.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)
• Exemplo 7
30 kN
[m]5.0 2.0
AB
S1 S2
z z
50 kN
120 kN
C
20 kN/m
O
R R eeaaccççõõeess ddee aappooiioo::
→
→
→
= kN120VB=Σ 0MA
= kN30VA=Σ 0Fy
= 0HA=Σ 0Fx
DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss::
d e5z0:AB →<≤
30 kN
S1
z
20 kN/m
z/2
R(z)=20z
( )
( )
−=
=−=−=−=
−===
===−=−=
=
→
→
m.kN100M
0Mz10z30
2
z20z30
2
z)z(R z30)z(M
70V)5z(V
30V)0z(Vz2030)z(R 30)z(V
kN0)z( N
2grau
1grau
Esq
B
A22
Esq
B
A
e d2z0:CB →<≤
−=
=−=
=
=
→
→φ
kNm100M
0Mz50)z(M
kN50)z(V
kN0)z( N
)1grau(
)grau(
dit
B
C
se V (z) grau “n” ⇒ M (z) grau “n+1”
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002
DIAGRAMA DE ESFORÇOS N, V, M
30
+
N
(kN)
V(kN)
M
(kN.m)
+
-70
50
a
+
-100
2º grau
M = 22.5máx
a
• Observações
:AB
=×=×===
===→−==
→m.kN5.2252.1105.130M)az(M
am5.12
3zz20300)z(V
máx
quando V(z)=0 → z=a → M(a)=Mmáx
→−=d
sina10M
curvan = 2 graude função)z(M
2
2
→ − →
dz
M
Z
⊕
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
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• Exemplo 8
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002
• Exemplo 9
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 25/10/2002
ALGUMAS CONCLUSÕES
11)) DDiiaaggrraammaa ddee eessf f oorrççooss ppoorr ttrrooççooss – – DDeessccoonnttiinnuuiiddaaddeess – – sseemmpprree qquuee::
• Secção com forças concentradas
• Secção com momentos concentrados
• Secção com apoios
• Carregamento à esquerda e á direita de
uma secção
descontinuidade
e d
B
p1
p2
22)) GGrraauu ddaa f f uunnççããoo eessf f oorrççoo
( ) "n"grauzV → ⇒
( ) "1n"grauzM +→
33)) CCáállccuulloo ddoo ““MMmmááxx”” nnuummaa bbaarrrraa
Secção onde⇒ ( ) 0zV =
⇒ Z = Z´ ⇒ ( ) máxM´zzM ==
44)) FFuunnççõõeess ddee ggrraauu nn 22 ⇒ CCUUR R VVAATTUUR R AA
( )→≥
++=
als ind x
f d2n
c bza zzf
2
2
2
⊕
→
→
N, V
Z
⊕
N, V
Z
M
Z
⊕
M
Z
N , V M
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Aula nº 19
Aula Teórica de 29 – 10 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Determinação dos esforços axial N, V e M em barras sob acção de cargas inclinadas em relação ao seu
eixo. Relação matemática entre o diagrama de esforço transverso (V), o diagrama de momento flecto (M) e
a carga distribuida (p) aplicada numa barra. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002
33 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Continuação)
•
BARRAS INCLINADAS / CARGAS INCLINADAS
• Exemplo 1 – Carga concentrata [P]
• Exemplo 2 – Carga distribuida por metro de barra [p(z)]
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002
• Exemplo 3 – Carga distribuida por metro horizontal [p(a)]
• Exemplo 4 – Carga distribuida por metro vertical [p(b)]
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002
• Exemplo 5
• Determinação do ponto de V=0
(26+6) ----- 56 ----- Z => Z = 30 / 32 = 0,9375
• Determinação de Momento máximo
Mmax – 0 = 26 x ( 5 – 0,9375) => Mmax = 52,8125
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002
44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/10/2002
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Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002
Aula nº 20
Aula Teórica de 30 – 10 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Esboço do diagrama de esforços a partir das relações matemáticas entre carga aplicada (p), esforço
transverso (V) e momento flecto (M). Como obter informações sobre os pontos criticos no esboço dos
diagramas dos esforços. Diagramas presumíveis de estruturas simples. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002
44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M
Válido se d e →
A
S pVV AS Ω−= ⇒
A
B pVV AB Ω−=−
VZ
M
pZ
V
=∂
∂
−=∂
∂
A
SMM VAS Ω+= ⇒
A
BMM VAB Ω=−
0M
0M:se
B
A
=
= ⇒ φ=Ω
A
BV
se 0VA= ⇒ máxA
MM =
2n grauM
1n grauV
n grau p
+=
+=
=
Z
⊕ p pCarga
Dit
A
Esq
A VtgVtg = ⇒ Dit
A
Esq
Az
V
z
V
∂
∂=
∂
∂
Dit
A
Esq
A MtgMtg = ⇒ Dit
A
Esq
Az
M
z
M
∂
∂=
∂
∂
Curvaturas:
•⊕
∂
∂−=
∂
∂
z
p
z
V2
2
Z
⊕VV
•
⊕
∂
∂
−=∂
∂
z
V
z
M2
2
−= p
Z
⊕M
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002
• Exemplo 1
Verificar que:
p = - dV / dz e que V= dM / dz
MB –MA = Área do diagrama de esforços transversos ( V ) entre A e B
Exemplo: Determinação do momento máximo positivo no 1º tramoEsforço transverso nulo ( z = 2,5m ) => Momento Máximo
MB – 0 = 37,5 x 2,5 / 2 = 46,875
V(z)(kN)
M(z)(kN.m)
N(z) = 0(kN)
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 30/10/2002
• Exemplo 2 – Diagrama presumível
A B C
D
p
QBM
IInntteerrpprreettaaççããoo ddaa eessttrruuttuurraa::
C
D
p
Q
A B C
QBM
Q
R
VC VDVC VD<
H =QA
VA VC=MA
3
1
DDiiaaggrraammaass::
Q
⊕N(kN)
V(kN)
⊕
V1
⊕
VD2º grau
a
D it
c
Esq
ctgtg =
(porque )D it
c
Esq
cpp = 0=
M(kN) ⊕
Mmáx
MA
MB
2º grau
D it
c
Esq
ctgtg = (porque )
D it
c
Esq
cVV =
A
B pVV
AB Ω−=−
A
BVMM
AB Ω=−
grauº3)z(M
grauº2)z(V
grauº1)z( p
z p
)z( p
:CD
−
−
−
=l
• 0z
pzV2
2
<∂∂−=
∂∂
VV
•C
D0MM VCD Ω==−
• 0 pz
V
z
M2
2
<−=∂
∂=
∂
∂
M
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Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002
Aula nº 21
Aula Teórica de 05 – 11 – 2002
Esforços nas Barras de Peças Prismáticas
Continuação na determinação dos esforços axial, transverso e momento flector de estruturas isostáticas.
Associação de corpos isostáticos. Cálculo do diagrama de esforços em barras dispostas segundo um núcleo
fechado na estrutura. Diagramas presumíveis de estruturas simples. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002
44 – 2.º MÉTODO – RELAÇÕES MATEMÁTICAS EMTRE p, V e M (continuação)
Válido se
d e →
A
S pVV AS Ω−= ⇒
A
B pVV AB Ω−=−
VZ
M
pZ
V
=∂
∂
−=∂
∂
A
SMM VAS Ω+= ⇒
A
BMM VAB Ω=−
0M0M:se
B
A
== ⇒ φ=Ω
AB
V
se 0VA = ⇒ máxA MM =
2n grauM
1n grauV
n grau p
+=
+=
=
Z
⊕ p pCarga
Dit
A
Esq
A VtgVtg = ⇒ Dit
A
Esq
Az
V
z
V
∂
∂=
∂
∂
DitA
EsqA MtgMtg = ⇒ Dit
AEsqA
zM
zM
∂∂=
∂∂
Curvaturas:
•⊕
∂
∂−=
∂
∂
z
p
z
V2
2
Z
⊕VV
•⊕
∂
∂−=
∂
∂
z
V
z
M2
2
−= p
Z
⊕M
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002
• Exemplo 3 – Diagramas de esforços presumíveisl
A B C
D
p
QBM
IInntteerrpprreettaaççããoo ddaa eessttrruuttuurraa::
CD
p
Q
A B C
QBM
Q
R
VC VDVC VD<
H =QA
VA VC=MA
3
1
DDiiaaggrraammaass::
Q
⊕N(kN)
V(kN)
⊕
V1
⊕
VD2º grau
a
D it
c
Esq
ctgtg =
(porque )D it
c
E sq
cpp = 0=
M(kN) ⊕
Mmáx
MA
MB
2º grau
D it
c
Esq
ctgtg = (porque )
D it
c
Esq
cVV =
A
B
pVV AB Ω−=−
A
BVMM
AB Ω=−
grauº3)z(M
grauº2)z(V
grauº1)z( p
z p
)z( p
:CD
−
−
−
=l
• 0z
pzV2
2
<∂∂−=
∂∂
VV
•C
D0MM
VCDΩ==−
• 0 pz
V
z
M2
2
<−=∂
∂=
∂
∂
M
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002
• Exemplo 4 – Associação de corpos com um núcleo fechado [BCEF]
30 kN/m
[m]1.04.01.0
3.0
B
E F
C
A D
G
VA VD
HA
50kN
11 – – CCáállccuulloo ddaass rreeaaccççõõeess ddee aappooiioo
↑→
↓→
←→
= kN112.5VD=Σ 0MA
= 37.5 kNVA=Σ 0Fy
= 50 kNHA=Σ 0Fx
22 – – TTrraaççaaddoo ddoo ddiiaaggrraammaa ddoo NN,, VV,, MM
B
E F
C A
D
G
z
S
S
S
S
S
S
S S
z
z
?
NÚCLEO FECHADO ?
SEPARAR OS CORPOS(abrir o núcleo)
⇓
30 kN/m
B
E
F
C
G
VB
50kN
B C
A D
37.5 kN
VC
HC
50kN
112.5 kN
HC
↑→
↓→
←→
= kN18.75VB=Σ 0MC
= 131.25 kNVA=Σ 0Fy
= 50 kNHC=Σ 0Fx
CORPO I
CORPO II já está analisado
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 05/11/2002
30 kN/m
50kN
D
50
50kN 50
131.2518.75
37.5 112.5
N(kN)
V(kN)
37.5
50
-101.5
⊕⊕18.75
30
18.75
⊕
⊕⊕ V=0
-112.5
0,625m = 18.75 x 418.75+101.5
M(kN)
5.859... 150
-15
-165
2º grau
2º grau
⊕
⊕
112.537.5
⊕
165 15
d
d
e
M = ?FC
M = 150 kN.mFC
M = Me d
M = -15e
M = -165+Md FC
-165+M = -15FC
50
- 1 8 . 7
5 -50
-131.25
⊕
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Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
Aula nº 24
Aula Teórica de 13 – 11 – 2002
Flexão Plana
Estruturas sugeitas à flexão plana, pura e/ou simples. Análise da segurança da estrutura em termos
de Estado Limite de Resistência. Problemas base: verificação da segurança; dimensionamento;
capacidade máxima. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
FLEXÃO PLANA
11 – DEFINIÇÕES GERAIS
Flexão
Plana (e.s. = EPCI)
Desviada (e.s. = EPCI)
Pura (V = 0; M = constante)
Simples (V = 0; M = variável)
22 – FLEXÃO PLANA (pura ou simples)
2.1 – ESTADO DE TENSÃO Admitindo: e.s. ≡ y ≡
⊕ (tracção)
(compressão)
( ) xy,x Μ=σ
xΙy
⊕xΜ
⊕Μ
σ⊕σ
Μ σ⊕
σ
⊕ y
máx
máx
=σsecção + desfavorável
fibra + desfavorável
(M )
máx(y )
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
22..22 – ANÁLISE DA SEGURANÇA 1 – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)
2 – Estado Limite de Serviço ( S = 1,0)
• Exemplo - Em RM 1 só se estuda o Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)
A
M
B
máx (secção + desfavorável)Μ
A B
x
(comp.)
y
e.nmáx
máx
máx
M
σ
y
σmáxσ
(tracção)
máxy
máxy
i
máxy s=
=
⊕ (tracção)
(compressão)
( ) xy,x Μ=σ
xΙy
• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd
ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”
iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”
• i – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
•
Regulamentodo material
Sdσ = σmáx x 1.5
Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ
Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ
RdSd σ≤σ
Hipótese 1 -
Hipótese 2 -
•
máxσ = máx
y
I
M
x
x
•
Mmáx
máxσEstudo
“ “do
Secção mais desfavorável
Mmáx
Fibra mais desfavorável s (x, y) =
máxσ
y máx
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
• Exemplo 1 – Verificar a segurança se o material apresentar Rd,c = Rd,t
• Exemplo 2 – Verificar a segurança: Caso 1-o material apresenta Rd,c = Rd,t
Caso 2-o material apresenta Rd,c ≠ Rd,t
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
• ii – DIMENSIONAMENTO
• Caso Geral
Rdmáxx
máxx5.1y
I
M
eldesfavorávFibra
eldesfavorávSecção
σ≤×⇒
+
+
[A]
• Módulo de flexão
→
→→=
sx
smáx
ix
imáx
máx
xx
Wy
Wy para
y
IW
→
→→=
sx
smáx
ix
imáx
máx
xx
Wy
Wy para
y
IW
x
y
máxy s
máxy i
Exemplos:
máxys
máxyi
=
máxys
máxyi =
máxys
máxyi =
• Trabalhando com a equação [A] resulta que:
)tabelasver (
çãosecdaescolha5.1MW
Rd
máx,x
x
→σ
×≥
• iii – CAPACIDADE MÁXIMA
• Caso Geral
A
M
B
máx (secção + desfavorável)Μ
A B
5.1y
IM
max
xRdmáx,x
×
×σ≤
máx
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
• Exemplo 1
Pretende-se seleccionar entre dois perfis disponíveis, um “I” e um “T”, qual o indicado para
constituir a secção transversal da viga representada na Figura. Admite-se que as acções estão
aplicadas num plano vertical, instalando apenas flexão plana na viga, e que o material apresenta
valores de cálculo das resistências à tracção e à compressão iguais ( )c,Rdt,Rd σ=σ .
Nestas condições:
a) Qual a orientação desejável para as almas dos perfis? Justifique.
b) Admita que os perfis apresentam momentos principais de inércia máximos e alturas (h)
iguais. Qual é o perfil indicado para a secção transversal da viga? Justifique.
c) Indique como procederia para confirmar a estabilidade da secção transversal da viga com o
perfil escolhido? Justifique.
P P
4P
L
A
B
C
D
E
L1.5 L 1.5 L
h
h
h
h
Viga Secção Transversal da Viga(posições possíveis)
• Exemplo 2
Considere a viga com a secção representada na Figura. O material constituído apresenta os
seguintes valores resistentes de cálculo para as tensões normais de compressão e tracção,
respectivamente, 10 MPa e 1,8 MPa.
a) Verifique a segurança da viga sobre os apoios.
b) Verifique a segurança da viga a meio vão.
c) Que conclui sobre a segurança, global da viga?
[m]1.0 0.50.5 1.5 1.0
Secção transversal
[m]0.300.200.30
0.3
0.4
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
• Exemplo 2 (resolução)
• Secções mais desfavoráveis
1.0 0.50.5 1.5 1.0
Reacções:
R = 100x1 + 160 = 260 kN
Momentos:
Mmáx = -100x1x(0,5+0,5) + 260x0,5
+ 30 kN.m
Mmáx = -100x1x0,5 = - 50 kN.m
• Geometria de massas
0.300.200.30
0.3
0.4
xG
yG
Centro de Gravidade
m4625,0y7,0
m2375,0y
30,0270,020,0
2
30,030,02
2
70,020,0
y
G
G
2
22
G
=−
=
×+×
××+
×
=
Momento de Inércia
( ) ( )
42G
2G
24
2G
3
G
m10...02166,1Ix
y15,03,012
3,02y35,07,020,0
10
7,020,0Ix
−×=
−×++−××+
×=
+
-
RR
- 50
30
xG
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 13/11/2002
• Cálculo das Tensões
a) 1ª Hipótese kNm50Mmáx −=-
⊕
M
( ) )OK (MPa395,3kPa45,2263y7,0I
50
)OK (MPa74,1kPa3,1162yI
50
yI
M)y(
c,RdGi
t,RdSdGs
σ<=σ→−=−×−=σ
σ<=σ→=×=σ
=σ
Sd K
K
b) 2ª Hipótese kNm30M máx =− ⊕
⊕
⊕M
( ) )KO(MPa03,2kPa0,1358y7,0I
30
)OK (MPa046,1kPa4,697yI
30
yI
M)y(
t,RdSdGi
c,RdSdGs
σ≥=σ→=−×=σ
σ≤=σ→−=×=σ
=σ
K
K
c) Conclusões: não se verifica a segurança da barra porque para ⊕máxM a fibra inferior não
satisfaz RdSd σ≤σ .
x
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Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002
Aula nº 25
Aula Teórica de 15 – 11 – 2002
Flexão Plana
Estruturas sugeitas à flexão plana ( continuação). Trabalho de deformação. Deformação transversal
da secção da barra. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 15/11/2002
22 – FLEXÃO PLANA (continuação)
• ii – DIMENSIONAMENTO
• Análise incluindo o peso próprio do material
→ O dimensionamento nestas condições obriga à correcção do valor do “Mmáx”
→ Critério:
1º) Admite-se peso próprio = 0 → (p.p. = 0)
2º) Executa-se o pré-dimensionamento segundo os critérios do “Caso Geral”
( )Rd
máxxmáx
5.1MW. p. psemM
σ
×≥→
3º) Escolha do perfil
MMM corrigir )valor ( pp w w
perfil
Tabela ppmáx
'máx
x
'
x
∆+=→=
≥
4º) Verificação da Segurança
Rd'x
'máx
Sdw
5.1Mσ≤
×=σ
Não
Sim OK
KO
5º) Escolha do perfil seguinte
'máxM (com pp) → V. S. → σSd ≤ σRd
voltar ao ponto 5º
Não
Sim OK
KO
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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2.3 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO:
• Revisão de conceitos
FLEXÃO PLANA Hipótese: e.s. ≡ y ≡
• Trabalho de Deformação (W)
W =
W =
W =
ϕ
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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2.4 – DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL:
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Aula nº 26
Aula Teórica de 19 – 11 – 2002
Flexão Plana
Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogénias (dois
materias). Hipótese do eixo de solicitação ser eixo de simetria. Cálculo do estado de tensão na
secção. Princípio da homogeneização da secção. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002
FLEXÃO PLANA (continuação)
2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (2 materiais)
• Exemplo – O caso do reforço à flexão de vigas e lajes
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002
• ESTADO DE TENSÃO
• Hipótese: e.s. ≡ y y ≡
⊕xΜ
⊕Μ
σ⊕σ
Μ σ⊕
σ
Mx = constante
Materiais perfeitamente solidarizados
• Material – Comportamento linear (Lei de Hooke)
• Princípio da Conservação das Secções Planas
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002
• Condições de Equilíbrio
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• Cálculo do Estado de Tensão
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002
• PRINCÍPIO DA HOMOGENEIZAÇÃO DA SECÇÃO
CASO GERAL – secções constituídas por 2 ou mais materiais
Exemplo: 2 materiais [ 1 e 2 ]
xM
A
B
x
y = e.s.
A
B2
C C
1
⇔
E2 ≥ E1 ⇒ SECÇÃO HOMOGENEIZADA
(só material 1 )
•Hipóteses de partida
x, y = EPCI
e.s. = y y → M = Mx
Materiais perfeitamente solidarizados na junta de ligação
E2 > E1
•Cálculo - homogeneização da secção
E2 > E1 ⇒ 2 → 1 ( transformar 2 em 1 )
1
2E
Em = (coeficiente de homogeneização ≥ 1)
211 AmAA += (área homogeneizada em material 1 )
1
2211g
A
yAmyAy
+= (centro de gravidade “G”)
2,x1,x1,x ImII += (inércia homogeneizada em material 1 )
σ
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 19/11/2002
•Tensões normais
( )
−
−
=σ
( ) ( )σ==σ1
1,x
X2 y,xmy
I
Mmy,x 2 material
( ) =σ1,x
X1 y
I
My,x1 material
y,x
[1]
Observações:
→ ( )A2 yσ = ( )A1 ym σ (ver figura anterior)
→ O diagrama das tensões normais σ para a secção transversal
apresenta uma descontinuidade na fibra de transição entre os
2 materiais 1 e 2
•Proposta alternativa – homogeneizar a secção em material 2
→ Se E1 > E2 ⇒ homogeneizar material 1 → 2
→ Nas expressões acima indicadas [5] deve trocar-se os índices 1 e 2
• ANÁLISE DA SEGURANÇA 1 – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)
2 – Estado Limite de Serviço ( S = 1,0)
• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd
ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”
iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”
[5]
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Professor Luís Juvandes Aula 20/11/2002
Aula nº 27
Aula Teórica de 20 – 11 – 2002
Flexão Plana
Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogéneas (dois
materias). Análise da segurança da estrutura em termos de Estado Limite de Resistência. Exemplos
de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula Aula 20/11/2002
2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (2 materiais)
xM
A
B
x
y = e.s.
A
B2
C C
1
⇔
E2 ≥ E1 ⇒ SECÇÃO HOMOGENEIZADA
(só material 1 )
ANÁLISE DA SEGURANÇA – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)
• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd
ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”
iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”
• i – Verificação da segurança
•
Regulamentodo material
Sdσ = σmáx x 1.5
Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ
Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ
RdSd σ≤σ
Hipótese 1 -
Hipótese 2 -
•
M máx
máxσ
Estudo
“ “do
Secção mais desfavorável
M máx
Fibra mais desfavorável s (x, y) =
máxσ
y máx
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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σ
σ
≤σ
σ≤σ
σ≤σ
⇒
Rd
Rd
junta
Sd
Rd
erior inf
Sd
Rd1
erior sup
Sd
a segurança na junta verificar necessário ser pode:Atençãoσ≤σ RdSd
2
1
2
• ii – Dimensionamento
eldesfavorávFibra
eldesfavorávSecção
⇒
+
+
σ≤σ
σ≤σ
Rd
erior inf
Sd
Rd1
erior sup
Sd
2
• iii – Capacidade Máxima
A
M
B
máx (secção + desfavorável)Μ
A B
m5.1y
IM
5.1y
IM
max
1,x2,Rdmáx,x
2
max
1,x1,Rdmáx,x
1
××
×σ≤
×
×σ≤
⇒ Mmax= min (M1max; M
2max)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
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• Exemplo 1
Considere a viga representada na Figura. Estando assegurado o funcionamento como
viga mista devido a uma conveniente ligação entre os dois materiais que a
constituem, e desprezando o peso próprio da viga, determine:
a) O diagrama de tensões na secção transversal do ponto C para a carga p=10kN/m.
b) Qual a carga máxima (pmáx.) que poderá actuar sobre a viga em condições de
segurança.
c) Diga como procederia caso se pretenda aumentar a resistência da viga de modo a
resistir com segurança para uma carga de p=20kN/m.
Características dos materiais:
Madeira: E = 104 MPa Aço: E = 2,06×105 MPa
MPa15RdcRdt =σ=σ MPa235RdcRdt =σ=σ
Secção transversal
4.0 m
2.0 m
2.0 m
A
B
C
p
madeira
aço
12 cm
1,2 cm
30 cm
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 20/11/2002
2
A BC
p
2 2
x
R A R B
madeira
aço
12 cm
1,2 cm
30 cm
a) p = 10 kN/m
•Estática
)(kN15R 016104xR 0M AAB ↑=→=××−→=Σ⊕
m.kN10
2
210215)2z(M)z(M
2
c =×
−×===
Válida a lei de Hooke – Flexão plana e simples
yI
M=σ
• Hipótese: Homogenização em madeira (Ea > Em)
6,2010
1006,2E
Em4
5
m
a =×
==
• Geometria de Massas
2amm cm64,656122,16,201230AmAA =××+×=+=
( )[ ] cm05,22A6,030122,16,20151230y mG ≈+×××+××=
( ) 4223
m cm622,6661355,82,11212
6,2005,7123012
3012I
1,212
3
=
××+
×+××+
×=
• Tensões
=×
××=σ
=×
××=σ
−
−
−
−
- Madeira
x2 - Aço
m
a
3310,1 kPa1066613,622
1022,0510
kPa0,2829610622,66613
1015,9106,0
máximasensões
8
2
8
2
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula Aula 20/11/2002
b) p = p max = ?
• Condições de segurança
eldesfavorávFibra
eldesfavorávSecção
⇒
+
+
σ≤σ
σ≤σ
Rd
erior inf
Sd
Rd1
erior sup
Sd
2
⇒
σ≤σ
σ≤σ
Rdmm
Sd
Rdaa
Sd
Como ambos os materiais apresentam Rd,t = Rd,c ⇒ verificar as tensões extremasdos dois materiais
• Capaxidade máxima
=××
××≤→≤×××
=
×××
××≤→≤××××
−
+−
−
+−
m.kN21,305,11005,22
I1015MMPa151005,225,1
I
M
m.kN37,55
m5,11015,9
I10235MMPa2351015,95,1
I
Mm
2m
3m2
m
m
2m
3a2
m
a
Condição limitativa → independentemente da natureza das tensões (comp. ou trac.)
Mmax= min (Ma; Mm) ⇒ m.kN21,30Mmáx =
Cálculo da secção mais solicitada⇒
Mmax= max (Mmax+; Mmax
-)
4.0
A
B
p
2.0
x
R A
1.5
D
Mmáx
M( )α
x
p6R 40M AA =→=Σ⊕ p2
3R A =
( ) 2 pxz p
23zM
2
AB - =
m5,12
3az0 pz
2
p3)z(V0
z
MAB
AB ===→=−=→=∂
∂ → ( ) p
8
9 p
8
9 p
4
95,1zMmax =−==+
p2MM Bmax ==−
=
←=
+
−
p8
9M
eldesfavorávmaissecção2pM
coscrítiMomentos
max
max
Mmax= max (Mmax+; Mmax
-) → kN/m15,1 p p221,30M =→==
c) Se p = 20 kN/m → Necessário reforçar a viga (estudo feito na aula teórica)
(z)
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Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002
Aula nº 28
Aula Teórica de 22 – 11 – 2002
Flexão Plana
Estruturas sugeitas à flexão plana e constituidas por secções prismáticas heterogénias (continuação).
Vigas constituídas por aço e betão. Exemplos de aplicação.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002
2.5 – SECÇÕES HETEROGÉNEAS (continuação)
• Exemplo 2 Na secção crítica de uma peça, o valor de cálculo do momento flector actuante é de
+75kN.m. A peça, constituída por dois materiais perfeitamente solidarizados entre si,
tem uma secção transversal com a forma indicada na Figura.
Desenhe o diagrama de tensões normais na secção crítica e verifique a segurança da
mesma.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002
SECÇÕES MISTAS BETÃO/AÇO
→ Despreza-se a resistência à tracção do betão (σRd, t ≅ 0)
→ Problema: localização do eixo baricêntrico (≡ e.n.) ⇒ por tentativas
• Hipótese 1 yG
c (e.n fora da secção do betão)
• Cálculo:
Es > Ec ⇒ s → c
c
sE
Em =
scc AmAA +=
c
ssccG
A
dAmdAy
+=
sxcxcx ImII +=
• Toda a secção de betão é útil
( )
( )
=σ
=σ
y
I
Mmy,x
yI
My,x
tensões
cx
xs
cx
xc
• Hipótese 2 yG
c (e.n. dentro da secção de betão)
• Cálculo:
Es > Ec ⇒ s → c
c
sE
Em =
Área útil da secção de betão:Despreza-se o betão tracionado
Gc yaA ×=
..........ydAm2
yya Gss
GG =→=××
sxcxcx ImII +=
• Despreza-se a zona do betão tracionado
( )
( )
=σ
=σ
yIMmy,x
yI
My,x
tensões
cx
xs
cx
xc
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 22/11/2002
• Exemplo 3
Considere a viga de betão armado de secção T, esquematicamente indicada na figura,
sujeita a um momento flector M numa dada secção transversal.
a) Admitindo como desprezável a resistência do
betão à tracção, escreva a equação que lhe
possibilite avaliar a distância do eixo neutro
às fibras superiores, assumindo que o eixo
neutro se localiza ao nível do banzo da viga.
b) Escreva as expressões caracterizadoras da
tensão normal nas armaduras e da tensão
normal máxima no betão, e caracterize
esquematicamente os diagramas de extensões
e tensões ao longo da secção transversal.
w b
b
sA
e n
M
w b
b
sA
y
h
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Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002
Aula nº 29
Aula Teórica de 26 – 11 – 2002
Flexão Desviada
Estruturas sugeitas à flexão desviada, pura e/ou simples. Cálculo de tensões: 1º - método do princípio
da sobreposição de duas flexões planas. Localização das tensões máximas. Exemplos de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002
33 – FLEXÃO DESVIADA (pura ou simples)
3.1 – DEFINIÇÕES GERAIS
.I.C.P.Ey,x ≡ .I.C.P.Ey,x
2.s.e
Gx
12 VV
+α
1.s.ey ≡
Flexão
Plana (e.s. = EPCI)
Desviada (e.s. = EPCI)
Pura (V = 0; M = constante)
Simples (V = 0; M = variável)
• Exemplos
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002
3.2 – GEOMETRIA DE MASSAS - revisão
• Rotação dos eixos (orientação “α”)
I I I I
I I I I
I I I I
x x y xy
y x y xy
x y x y xy
'
'
' '
cos sin sin( )
sin cos sin( )
sin cos sin cos (cos sin )
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 2
2 2
2 2
2
2
α α α
α α α
α α α α α α
y
α
α
O
'
' y
• Eixos principais centrais de inércia (E.P.C.I.)
tan( )22
2
0
0
⋅ =
⋅
→
α
α
α
π
I
I I
xy
x y
• Momentos principais de inércia
I I I
I I I
I I I
I I I
x y
x y xy
x y
x y xy
12 2
22 2
2
1
2
4
2
1
24
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
( )
( )
≡
x
y x
y
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 26/11/2002
3.3 – ESTADO DE TENSÃO
3.3.1 – Método da Sobreposição de duas Flexões Planas
+α
+
α
+θ
M
º90G
a
+x
b
)y,x(s
θβα
⊕
,,
)y,x(s
+β
+α
+
α
+θ
º90G
+
b
)y,x(s Eixo de
Solicitação
Eixo Neutro
Nota: e tangentes paralelas ao eixo-neutroa b
Convenção de sentidos positivos:
θβα ,,e
( )final
y,xσ
⊕
⊕
⊕
A
B
+
xM
n
yI
M'
X
x ⋅=σ
xI
M''
y
y⋅−=σ
)y,x(s
e
s
My
+
θ+α=β
• Momento na secção → α=
α=
senMM
cosMM
y
x
• Estado de tensão (x, y) → xI
My
I
M)y,x(
y
y
x
x −=σ
• Eixo neutro (e.n) → 0xI
My
I
M)y,x(
y
y
x
x =−=σ ⇒ y
x
I
Itantan α=β ; β=θ+α
→ ""α da flexão desviada ≠ ""α geometria de massas
• Ponto mais afastado ⇒ )y,x(máxσ → β+β−= cosyxsen)y,x(s x
y
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Aula nº 30
Aula Teórica de 27 – 11 – 2002
Flexão Desviada
Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Análise da segurança da estrutura em termos de
Estado Limite de Resistência. Problemas base: verificação da segurança; dimensionamento;
capacidade máxima. Exemplo de aplicação.
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002
33 – FLEXÃO DESVIADA (continuação)
3.3.1 – Método da Sobreposição de duas Flexões Planas
ANÁLISE DA SEGURANÇA – Estado Limite de Resistência ( S = 1,5)
Madres da cobertura
• Problemas Base: i – Verificação da segurança → verificação Sd ≤ Rd
ii – Dimensionamento → incógnita a “geometria”
iii – Capacidade máxima → incógnita “Mmáx”
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002
• i – Verificação da segurança
• Secções de forma geral
A
M
B
máx (secção + desfavorável)Μ
A B
+α
+α
+θ
M
º90G
a
+x
b
)y,x(s
)y,x(s
+β
+α
+α
+θ
º90G
+
b
)y,x(s Eixo de
Solicitação
Eixo
Neutro
Nota: ea
Convençã
e
( )finaly,xσ
⊕
⊕
⊕
A
B
+
xM
n
yI
M'
X
x ⋅=σ
xI
M''
y
y ⋅−=σ
)y,x(s
e
s
My
+
θ+α=β
Secção mais desfavorável ⇒ ⊕
máx
máx
M
M
• Estudo do σmax
Fibra mais desfavorável ⇒ ⊕
=
máx)y,x(s
⊕
σ
σ
⇒
máx
máx
•
⊕
α−
α=σ x
I
seny
I
cosM
yx
máxmáx
( ) ( )máxto y,xsy,x p ⇒
• Verificação da segurança:
Regulamentodo material
Sdσ = σmáx x 1.5
Rd, cσ Rd, tσ= = Rdσ
Rd, cσ Rd, tσ=Rdσ
RdSd σ≤σ
Hipótese 1 -
Hipótese 2 -
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 27/11/2002
• i – Verificação da segurança
• Secções cuja envolvente exterior é um rectângulo
• Exemplo: perfis
• Pontos mais desfavoráveis ⇒ Diagonal AB ou CD
• Pode calcular-se as tensões em módulo:
α+
α=σ
yxmáxmáx
w
sen
w
cosM
σ+σ
σ+σ
=
⊕⊕
)M()M(
)M()M(
ymáxxmáx
ymáxxmáx
• RdmáxSd
5.1 σ≤σ×=σ y
x
M
A
M x
M y
−
α
γ = α
D
C
B
⊕
σ m á x
σ ’
σ ’ ’ σ m á x
e.s.
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Professor Luís Juvandes Aula 29/11/2002
Aula nº 31
Aula Teórica de 29 – 11 – 2002
Flexão Desviada
Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Dimensionamento e determinação da capacidade
máxima de uma secção. Exemplo de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 29/11/2002
• Exemplo 1
Dimensionar as madres de um pavilhão industrial de modo a resistirem a uma carga vertical
uniformemente distribuida p= 4kN/m (peso próprio já incluído) sobre um vão simples de 4m,
seleccionando de entre os perfis IPE e UNP o que for mais económico.
A cobertura apresenta uma inclinação para as águas de g = 15º e os perfis em aço Fe 360.
p = 4 kN/m
4.0 m
15º
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Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002
Aula nº 32
Aula Teórica de 03 – 12 – 2002
Flexão Desviada
Estruturas sugeitas à flexão desviada (continuação). Cálculo de tensões: 2º - método do equilíbrio em
relação aos eixo de solicitação e eixo neutro. Localização das tensões máximas. Exemplo de aplicação.
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002
3.3.2 – Método do Equilíbrio em relação aos Eixo de Solicitação e Eixo Neutro
Considerações Gerais
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002
Procedimentos para o cálculo da tensão normal na secção:
1º) Localização dos eixos principais centrais de
inércia (α1)
2º) Direcção do eixo de solicitação
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 03/12/2002
• Exemplo 1
Considere a secção em “⊥” representada na figura sob a acção de um momento flector
M = -100 kNm. Se o eixo de solicitação da respectiva acção fizer uma inclinação de 45º
com a alma do “⊥”, determine o diagrama das tensões normais instaladas na secção.
40.0
G
3.0
5.0
21.707
x
70.0
I = 230221.54 cmx4
4I = 26824.17 cmy
(cm)y
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FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2002/2003
Professor Luís Juvandes Aula 04/12/2002
33 – FLEXÃO DESVIADA (pura ou simples)
3.4 – ESTADO DE DEFORMAÇÃO – Sobreposição de duas flexões planas
3.4.1 – Rotação relativa de duas secções (A-B)
• Flexão Pura (M = constante)
• Flexão Simples (M = variável)
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