resistência dos materiais - uniasselvi

Indaial – 2009

Resistência Dos MateRiais

Prof. Felipe Ratajenski

1a Edição

Copyright © UNIASSELVI 2009

Elaboração:

Prof. Felipe Ratajenski

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

Impresso por:

R433r

Ratajenski, Felipe .

Caderno de estudos : Resistência dos Materiais I / Felipe Ratajenski, Centro Universitário Leonardo Da Vinci. – Indaial : ASSELVI, 2009.

133 p. : il.

ISBN 978-85-7830-173-6

1. Resistência de Materiais – Engenharia 2. Torção I. Ratajenski, Felipe II Centro Universitário Leonardo Da

Vinci. Núcleo de Ensino a Distância. II. Título. CDD 620.112

III

apResentaçãoPrezados(as) acadêmicos(as)!

A resistência dos materiais é o ramo da Mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Esse assunto abrange também o cálculo de deformação do corpo e o estudo de sua estabilidade, quando ele está sujeito a forças externas.

Estudamos, na Física e na Mecânica, equações da estática baseadas nas leis de Newton, que nos permitem calcular o equilíbrio de corpos rígidos, porém não levamos em consideração as propriedades dos materiais que compõem estes corpos, assim como não consideramos as suas características geométricas. Em resistência dos materiais, utilizaremos este conhecimento da estática que possuímos para determinar forças e reações a elas, que atuam sobre elementos mecânicos e estruturais, mas estaremos focados nas deformações provocadas por elas, e o limite em que estas deformações são admissíveis, sem comprometer a estabilidade e segurança das estruturas e mecanismos. Para que esta análise seja possível, estudaremos as características mecânicas dos materiais, quando submetidos a esforços diversos e as equações que regem o efeito de cada um desses esforços de maneira a relacioná-las com aplicações práticas da Engenharia.

Nosso estudo estará baseado então nas forças externas que agem sobre um corpo, nas características do material que o compõe, nas características geométricas do mesmo, no ambiente em que se encontra e nos critérios de segurança a serem respeitados. Observe que muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definidos nas normas de engenharia e usados na prática, baseiam-se nos fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, compreender os princípios dessa matéria é muito importante.

Portanto, mãos à obra!

Professor Felipe Ratajenski

IV

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UNI

VII

UNIDADE 1 - ESTUDO DAS TENSÕES .......................................................................................... 1

TÓPICO 1 - INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS ........................................................... 31 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 32 CASO GERAL DA LEI DE HOOKE................................................................................................ 33 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) ................................................................................................ 94 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA ............................................................................... 105 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADE ....................................... 12RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 13AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 14

TÓPICO 2 - TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL ............................................................................................... 151 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 152 TIPOS DE ESFORÇOS .................................................................................................................... 153 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS .................................................................................... 174 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO SIMPLES ........................... 18RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 22AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 23

TÓPICO 3 - VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS ..................................... 251 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 252 TIPOS DE CARGAS ......................................................................................................................... 25

2.1 CARGA ESTÁTICA ..................................................................................................................... 252.2 CARGA INTERMITENTE .......................................................................................................... 262.3 CARGA ALTERNADA ............................................................................................................... 26

3 TENSÃO ADMISSÍVEL .................................................................................................................. 27RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 29AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 30

TÓPICO 4 - ESTADO DE CISALHAMENTO PURO ................................................................... 311 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 312 TENSÃO DE CISALHAMENTO ................................................................................................... 313 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLES .............................................................................. 324 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO ................................................................................. 335 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO .......................................... 33RESUMO DO TÓPICO 4.................................................................................................................... 35AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 36

TÓPICO 5 - TORÇÃO E CISALHAMENTO .................................................................................. 391 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 392 DEFINIÇÕES ..................................................................................................................................... 39

suMáRio

VIII

3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULAR ............................................ 414 A FÓRMULA DE TORÇÃO ............................................................................................................ 46LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 50RESUMO DO TÓPICO 5.................................................................................................................... 51AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 52

UNIDADE 2 - ESTUDO DA FLEXÃO ............................................................................................. 53

TÓPICO 1 - FLEXÃO ........................................................................................................................... 551 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 552 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO ................................................................................................. 563 FORÇA CORTANTE Q .................................................................................................................... 56

3.1 VIGAS HORIZONTAIS ............................................................................................................... 573.2 VIGAS VERTICAIS ...................................................................................................................... 57

4 MOMENTO FLETOR M.................................................................................................................. 574.1 MOMENTO POSITIVO............................................................................................................... 574.2 MOMENTO NEGATIVO ............................................................................................................ 58

5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO .......................................................................................... 58RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................... 66AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 67

TÓPICO 2 - EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 692 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ............................................................. 693 CONDIÇÕES DE CONTORNO .................................................................................................... 704 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO ........... 71RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................... 82AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 83

TÓPICO 3 - ESTUDO DA FLAMBAGEM ...................................................................................... 871 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 872 FLAMBAGEM ................................................................................................................................... 873 CARGA CRÍTICA ............................................................................................................................. 884 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEM ............................................................................. 895 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ ) ............................................................................................................ 896 TENSÃO CRÍTICA ........................................................................................................................... 897 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS ..................................................................................................................... 90LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 93RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................... 95AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 96

UNIDADE 3 - COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS ........................................................................ 99

TÓPICO 1 - ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES ............................... 1011 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1012 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES ................................................ 1013 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO NUM PONTO ................................................... 1024 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PARA O ESTADO PLANO ............................................................................................................................ 1055 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO ...... 1076 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS.................................................................................. 110

IX

RESUMO DO TÓPICO 1.................................................................................................................. 118AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 119

TÓPICO 2 - CÍRCULO DE MOHR ................................................................................................. 1211 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1212 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR ...................................................................................... 1213 TENSÕES PRINCIPAIS ................................................................................................................. 1224 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO ...................................................... 1235 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER ...................................................................................... 124RESUMO DO TÓPICO 2.................................................................................................................. 125AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 126

TÓPICO 3 - ESFORÇOS COMBINADOS .................................................................................... 1271 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1272 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES ..................................................................................... 1273 MÉTODO DE ANÁLISE ............................................................................................................... 129RESUMO DO TÓPICO 3.................................................................................................................. 131AUTOATIVIDADE ........................................................................................................................... 132REFERÊNCIAS ................................................................................................................................... 133

1

UNIDADE 1

ESTUDO DAS TENSÕES

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

Após o estudo desta unidade, o acadêmico estará apto a:

• classificar e interpretar as propriedades mecânicas de materiais elásticos, inelásticos e plásticos, que definem suas características de resistência;

• entender o conceito de Tensão. Identificar os tipos de esforços e suas respectivas tensões;

• dimensionar uma peça estrutural ou elemento mecânico, adequando a tensão de operação para a tensão admissível, levando em consideração todos os fatores que podem comprometer a resistência de um elemento mecânico.

Esta unidade está dividida em cinco tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades que contribuirão para sua reflexão e análise dos estudos já realizados.

TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS

TÓPICO 2 – TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL

TÓPICO 3 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS

TÓPICO 4 – ESTADO DE CISALHAMENTO PURO

TÓPICO 5 – TORÇÃO E CISALHAMENTO

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO

MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS,

INELÁSTICOS E PLÁSTICOS

1 INTRODUÇÃOQuando falamos em propriedades mecânicas de um material, estamos

nos referindo ao comportamento deste uma vez sujeito a um esforço mecânico, ou seja, como se comporta determinado material em termos de deformação quando sofre um impacto ou quando uma força o comprime ou traciona. São muitos os tipos de esforços mecânicos a que um elemento mecânico pode estar sujeito e estes podem agir isoladamente ou combinados. Sabemos, pela prática do dia a dia, que materiais distintos reagem de forma distinta a um mesmo tipo de esforço mecânico. Por exemplo, se compararmos o material “vidro” com “borracha”, podemos perceber que o primeiro é menos resistente ao impacto do que o segundo. Porém, se o critério for resistência ao desgaste devido a uma força de atrito, a situação se inverte e o vidro se demonstra mais resistente do que a borracha.

No estudo da resistência dos materiais, os grandes norteadores dessas propriedades são as características elásticas de cada tipo de material, obtidas empiricamente por ensaios em laboratórios. Estas características serão apresentadas neste primeiro capítulo e um bom entendimento deste assunto é de fundamental importância para o andamento das atividades que seguem no estudo dessa disciplina.

IMPORTANTE

2 CASO GERAL DA LEI DE HOOKEVamos voltar um pouco no tempo e relembrar o que aprendemos no estudo

da Física lá no ensino médio, quando estudamos o comportamento das molas, estando estas sujeitas à ação de uma força, seja ela de tração ou compressão. Três variáveis estavam envolvidas nos cálculos: “F” força que comprime ou traciona a mola; “K“ constante elástica da mola e “x“ deformação linear da mola. Estas estão relacionadas matematicamente na seguinte equação:

F=-K.x

UNIDADE 1 | ESTUDO DAS TENSÕES

4

Onde: F – Newton (N) K – Newtons por metro (N/m) x – metros (m) A variável “K” representa a característica elástica da mola, ou seja, quanto

ela se deforma linearmente, sujeita à ação de determinada força.

A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação da mola, sendo estas diretamente proporcionais, quando atuam dentro do limite de proporcionalidade da mola, ou seja, sem que haja deformação plástica. Quando retirada a ação da força, a mola retornaria à sua condição inicial. Veja o gráfico a seguir, neste aparecem alguns termos que serão estudados mais adiante. A lei de Hooke abrange este gráfico somente até o ponto A, dentro do limite de proporcionalidade.

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001, p. 98.

FIGURA 1 – ENSAIO DE TRAÇÃO

TÓPICO 1 | INTRODUÇÃO AO COMPORTAMENTO MECÂNICO DE MATERIAIS ELÁSTICOS, INELÁSTICOS E PLÁSTICOS

5

Sendo: ponto O - Início de ensaio carga nula; ponto A - Limite de proporcionalidade; ponto B - Limite superior de escoamento; ponto C - Limite inferior de escoamento; ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material; ponto E - Limite máximo de resistência; ponto F - Limite de ruptura do material.

Conversar com o aluno: no estudo da resistência dos materiais, analisamos não mais o comportamento de uma mola, mas o de um elemento mecânico estático ou dinâmico, em que uma força é aplicada em uma secção deste provocando uma tensão, razão de uma força por uma área, e que provocará determinada deformação, de acordo com as características elásticas do material que o compõe. Estas características estarão determinadas não mais por um coeficiente de mola “k” como doravante citado e sim pelo módulo de elasticidade “E”. Temos, então, a mesma lei de Hooke, agora aplicada sob um novo foco e cujas variáveis passam a ser Tensão, Módulo de Elasticidade e Deformação unitária.

UNI

Após uma série de experiências, o cientista inglês Robert Hooke, no ano de 1678, constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, constatando que:

• quanto maior a carga normal aplicada e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material médio, através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação:


6

Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......); σ - Tensão normal (Pa;.......); F - Carga normal aplicada (N;.......); A - Área da secção transversal (m2;.........); E - Módulo de elasticidade do material (Pa;........); l - Comprimento inicial da peça (m;.........).

O alongamento será positivo quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo quando a carga aplicada comprimir a peça.

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais Curitiba, 2001

FIGURA 2 – DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL

Onde: ∆l - Alongamento da peça (m;.......); L - Comprimento inicial da peça (m;........); lƒ - Comprimento final da peça (m;.......).

Deformação longitudinal (ε) : Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento

(µ.c) de uma peça submetida à ação de carga axial.


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FIGURA 3 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO LONGITUDINAL (ε)

Deformação transversal (εt)

Determina-se através do produto entre a deformação unitária (ε) e o coeficiente de Poisson (ν).


FIGURA 4 – FÓRMULA E EXEMPLO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)


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Razão ou coeficiente de Poisson

Sabemos que, além da deformação dos materiais na direção da tensão normal aplicada, outra propriedade marcante pode ser observada em todos os materiais sólidos, a saber, a expansão ou contração lateral (transversal) que ocorre perpendicularmente a direção da tensão aplicada. Esse fenômeno está ilustrado na figura (5a), cujas deformações aparecem exageradas.

Conversar com o aluno: para maior clareza pode-se reescrever assim o fenômeno: se um corpo sólido for submetido à tensão axial, ele se contrai lateralmente. Por outro lado, se ele for comprimido, o material se expande para os lados. Com isso em mente, as direções das deformações laterais são facilmente determinadas, dependendo do sentido da tensão normal aplicada.

UNI


FIGURA 5 – ILUSTRAÇÃO DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (εt)

A relação entre o valor absoluto da deformação na direção lateral e a deformação na direção axial, é a razão ou coeficiente de Poisson, isto é:

Pela experiência, sabe-se que o valor ν flutua para diferentes materiais, numa faixa relativamente estreita. Geralmente, está na vizinhança de 0,25 a 0,35.


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Em casos extremos, ocorrem valores baixos, como 0,1 (alguns concretos) e elevados, como 0,5 (borracha). O último valor é o maior possível para materiais isotrópicos, e é normalmente alcançado durante o escoamento plástico significando constância de volume.

3 MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)Um fio metálico submetido a um esforço de tração sofre uma deformação

que consiste no aumento de comprimento e em uma contração de sua secção. Suponhamos que o aumento de comprimento é o efeito dominante, sobretudo no fio grande e de pequena secção. Estudaremos o comportamento elástico dos fios, aquele em que existe uma relação de proporcionalidade entre a força F aplicada ao fio e o incremento ∆L de seu comprimento, ou então entre o esforço F/S e a deformação unitária ∆L/L0.


FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DE ELASTICIDADE (E)

Onde S é a secção do fio S=Pi r2, e Y é uma constante de proporcionalidade, característica de cada material que é denominado módulo de elasticidade ou módulo de Young. O quadro a seguir apresenta valores de E para alguns materiais:


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FONTE: Autor

QUADRO 1 – VALORES DE ELASTICIDADE PARA ALGUNS MATERIAIS (E)

4 ENERGIA DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICAJá foi visto que a ação de qualquer força sobre um corpo altera sua forma,

isto é, provoca uma deformação.


FIGURA 7 – GRÁFICO ILUSTRANDO O LIMITE DE ELASTICIDADE


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Por este gráfico, nota-se que a carga aplicada cresce uniformemente de zero até um certo P. Este esforço despendido realiza um trabalho que é armazenado sob forma de energia potencial de deformação e desenvolvido quando o corpo de prova readquire a forma primitiva.

Se a carga for aplicada lenta e gradualmente até o valor P inferior ao limite de elasticidade, o trabalho armazenado é medido pela área do triângulo hachurado em figura. Logo:

Quando a carga P atinge o limite de elasticidade, a energia armazenada pela peça sem sofrer deformações permanentes é a máxima. Conclui-se que uma carga aplicada repentinamente produz um esforço interno duas vezes maior do que aplicado lenta e gradualmente. Nestes casos, o fator de segurança deverá ser o dobro.


FIGURA 8 – EXEMPLO DE LIMITE DE ELASTICIDADE E FATOR DE SEGURANÇA

Evidenciar um erro comum:1° - Não confundir resiliência com rigidez ou resistência. Resistência é a capacidade de um corpo de resistir à ação de forças, rigidez é a capacidade de um corpo de resistir às deformações e a resiliência é a resistência aos choques.2° - Os materiais de pequena resiliência são chamados frágeis enquanto os de grande resiliência são chamados tenazes.

ATENCAO


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5 RESILIÊNCIA, TENACIDADE, DUCTILIDADE, FRAGILIDADENeste item, veremos que, conforme as características elásticas de cada

material, o mesmo será classificado como dúctil ou frágil.

Palavras como ductilidade e fragilidade serão muito utilizadas no decorrer do nosso estudo. Portanto, é de suma importância o entendimento desses termos.

IMPORTANTE

Aproveitamos este momento também para definir em que consiste a resiliência e a tenacidade. Portanto:

Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto, porque são capazes de absorver choques ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar.

Materiais Frágeis: São materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa, ou seja, após a fase elástica, vem o rompimento sem que haja nenhuma ou muito pouca deformação plástica. Exemplo: Concreto.

Resiliência: É a resistência aos choques, ou seja, a capacidade de absorver energia mecânica durante um choque. Quanto maior o índice de resiliência de um material, maior é a capacidade do material de resistir a um impacto.

Tenacidade: A tenacidade está diretamente relacionada à resiliência e indica a medida da quantidade de energia que um material pode absorver antes de fraturar.

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Neste tópico, vimos que:

• As propriedades mecânicas dos materiais serão os grandes balizadores do nosso estudo por definir as características de resistência de cada material.

• A lei de Hooke descreve a relação linear entre a força e a deformação de um corpo, sendo elas diretamente proporcionais quando atuam dentro do limite de proporcionalidade.

• Esforços de tração e compressão provocam deformações longitudinais e transversais e a relação entre as duas é equacionada pelo coeficiente de Poisson.

• O módulo de elasticidade consiste em uma aplicação da lei de Hooke à resistência dos materiais, relacionando tensão x deformação.

• A resiliência é uma característica que define a capacidade de um determinado material absorver energia de impacto.

• Qualquer material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil.

• Materiais Frágeis são materiais que se rompem antes de se deformarem de forma significativa.

RESUMO DO TÓPICO 1

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Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões que seguem.

1 O corpo de prova de alumínio, mostrado na figura a seguir, tem um diâmetro do=25 mm e um comprimento nominal Lo=250 mm. Se uma força de 165 KN alonga o comprimento em 1,2 mm, determine o módulo de elasticidade do material.

AUTOATIVIDADE

FIGURA 9 – ILUSTRAÇÃO - CORPO DE PROVA - PARA O EXERCÍCIO


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TÓPICO 2

TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS

SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO

NORMAL

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONo estudo da Física, vimos o efeito de uma força que age sobre um

corpo sem que ocorram deformações e sem levar em consideração as suas características geométricas. Em resistência dos materiais, precisamos saber o efeito desta força quando atua em uma secção do corpo, que pode ser quadrada, circular, maciça ou vazada etc. Para isto, utilizamos o conceito de tensão que representa a intensidade de força aplicada por unidade de área. Os tipos de esforços que geram estas tensões e a sua classificação serão o objeto de estudo deste tópico.

2 TIPOS DE ESFORÇOSA resistência dos materiais é, na verdade, um conjunto de capítulos,

divididos em função do tipo de esforço que possa vir a comprometer a peça ou estrutura em questão. Para nós, é importante, então, o conhecimento de todos os esforços existentes e as respectivas tensões a serem consideradas em cada caso. A princípio, será feito um comentário geral sobre cada tipo de esforço, ficando sua análise detalhada nos capítulos seguintes.

Esforço de TRAÇÃO - esforço que tende a esticar ou alongar o corpo/estrutura em questão. Trata-se de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal.


FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TRAÇÃO

Esforço de COMPRESSÃO - esforço que tende a “empurrar” ou encurtar o corpo/estrutura em questão. Trata-se também de um esforço axial (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal.


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FIGURA 11 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE COMPRESSÃO

Esforço de CISALHAMENTO - esforço que tende a cortar ou cisalhar o corpo/estrutura em questão. Trata-se de um esforço transversal (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial.


FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE CISALHAMENTO

Esforço de FLEXÃO - esforço que tende a flexionar ou encurvar uma viga/eixo em questão. Trata-se de um esforço normal (ao longo do eixo) e a tensão correspondente é a tensão normal (trata-se, na verdade, de uma combinação dos esforços de tração e compressão, conforme se verá mais adiante).


FIGURA 13 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE FLEXÃO

Esforço de TORÇÃO - esforço que tende a girar uma secção transversal em relação a outra adjacente de um eixo de transmissão. Trata-se de um esforço tangencial (perpendicular ao eixo) e a tensão correspondente é a tensão tangencial.

TÓPICO 2 | TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM CORPOS SÓLIDOS SUBMETIDOS A ESFORÇO NORMAL

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FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO DE UM ESFORÇO DE TORÇÃO

3 TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS


FIGURA 15 – REPRESENTAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS E TANGENCIAIS

Onde: p = tensão total resultante, atuante sobre a secção transversal considerada

σ = componente de “p”, normal ao plano – TENSÃO NORMAL τ = componente de “p”, tangente ao plano – TENSÃO TANGENCIAL

Genericamente, pode-se definir “tensão” como a resistência interna de um corpo a uma força externa aplicada sobre ele, por unidade de área.


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4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA TRAÇÃO/COMPRESSÃO SIMPLES

Agora que já vimos os tipos de esforços e a classificação das tensões, em normais e tangenciais, estamos prontos para estudar cada uma destas separadamente, focando em suas peculiaridades e métodos analíticos para cálculo dos efeitos produzidos por cada uma.

Iniciamos este estudo com as tensões normais de tração e compressão. Quanto às deformações causadas por este tipo de tensão, já tivemos uma introdução quando vimos a lei de Hooke.

Tensão Normal σ

A carga normal F, que atua na peça, origina nesta uma tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da secção transversal da peça.

Onde: σ- tensão normal (Pa) F - força normal ou axial (N) A - área da secção transversal da peça (m2)

Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional)

A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2.

FONTE: Autor

FIGURA 16 – REPRESENTAÇÃO DA UNIDADE DE TENSÃO NO SI


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Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com freqüência os seus múltiplos: MPa (mega pascal) = 106 Pa, kPa (quilo pascal) = 103 Pa

IMPORTANTE

A unidade MPa (mega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um milhão de newtons) na superfície de um metro quadrado (m2). Como m2 = 106 mm2, conclui-se que:

MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de 1mm2.

Podemos verificar então que esforços de tração e compressão geram tensões normais, porém seus efeitos são contrários, como veremos a seguir:

• Tração: devido a um esforço de traça, o elemento tracionado deverá sofrer um alongamento no sentido tracionado (longitudinal) e uma diminuição da secção transversal. O quanto este corpo deforma vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da intensidade da tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.

• Compressão: devido a um esforço de compressão, o elemento deve ter diminuição de sua dimensão longitudinal com aumento da secção transversal. O quanto este corpo deforma vai depender de suas características elásticas (módulo de elasticidade) e da intensidade da tensão. A relação entre a deformação longitudinal e transversal será dada pelo coeficiente de Poisson, doravante citado quando estudamos a lei de Hooke.

Em termos analíticos, utilizamos as seguintes equações para fins de determinar deformações e/ou dimensionar um elemento:

σ = E. ε


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Veremos agora alguns exemplos de aplicação destas equações:

Exemplo 1

Um fio de comprimento 30 cm e diâmetro 1 mm foi submetido ao ensaio de tração e com uma carga de 40 Kg e se obteve um alongamento total de 0,08 cm. Calcular o alongamento unitário, alongamento porcentual, tensão e módulo de elasticidade.

a. Alongamento unitário e percentual:

b. Tensão:

c. Módulo de elasticidade:


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Exemplo 2:

Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 t. Material: aço ABNT 1040.

Exemplo 3:

Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030, destinado a manter suspenso um peso de 200 Kg.

22

RESUMO DO TÓPICO 2Neste tópico, vimos que:

• Diversos tipos de esforços serão objeto de nosso estudo ao longo da disciplina. São eles: tração, compressão, torção, flexão e cisalhamento.

• Estes esforços provocarão uma tensão considerada na secção transversal. A tensão provocada é dada pela relação entre a força e a área da secção e sua unidade no S.I é o Pascal.

• De acordo com a direção de atuação dos esforços, as tensões são classificadas em Normal e Tangencial.

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Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:

1 No dispositivo em figura, a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. Calcular os diâmetros do, e D quando a porca exerce uma força axial de 2t e d=20mm.

AUTOATIVIDADE

FIGURA 17 – EXEMPLO DEMONSTRATIVO PARA O EXERCÍCIO


25

TÓPICO 3

VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO

SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃOPara fins de projeto de uma peça estrutural ou elemento mecânico,

temos como obter em tabelas a tensão de resistência do material que o compõe, determinada por ensaios em laboratório, com corpos de prova devidamente normatizados. Porém, na prática, algumas condições de fabricação, funcionamento e ambiente em que estão inseridos diferem das condições ensaiadas em laboratórios. Portanto, devemos adequar a tensão de operação para uma tensão que chamamos de tensão admissível, para cada caso em particular, de forma a garantir que fatores particulares a cada situação não comprometam a resistência do elemento em questão. Para isto, utilizamos o coeficiente de segurança representado pela letra “K”.

Na definição do coeficiente de segurança a ser aplicado, levamos em consideração os processos de fabricação das peças, a forma com que a carga é aplicada, o ambiente de operação, dentre outros fatores. Estes fatores são sobrepostos através do produto de valores que representa o quanto cada um desses afeta a resistência do material. Para um bom entendimento, faremos agora uma breve distinção entre as formas que um carregamento pode se apresentar, tornando- se mais ou menos crítica para cada situação em particular.

2 TIPOS DE CARGASAgora você estudará os tipos de cargas, as quais podem ser: carga estática,

carga intermitente e carga alternada.

2.1 CARGA ESTÁTICA

A carga é aplicada na peça e permanece constante.

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FIGURA 18 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA ESTÁTICA

2.2 CARGA INTERMITENTE

Neste caso, a carga é aplicada gradativamente na peça, fazendo com que o seu esforço atinja o máximo, utilizando, para isso, um determinado intervalo de tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no mesmo intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. Ex.: o dente de uma engrenagem.


FIGURA 19 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA INTERMITENTE

2.3 CARGA ALTERNADA

Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se uma situação muito crítica para o material.

TÓPICO 3 | VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA E DIMENSIONAMENTO SEGUNDO CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS

27


FIGURA 20 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA CARGA ALTERNADA

3 TENSÃO ADMISSÍVELPara determinar o coeficiente de segurança em função das circunstâncias

apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir:

Valores para x (fator de tipo de material)

x = 2 para materiais comuns.x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.

Valores para y (fator do tipo de solicitação)

y = 1 para carga constante.y = 1 para carga intermitente.y = 3 para carga alternada.

Valores para z (fator do tipo de carga)

z = 1 para carga gradual.z = 1,5 para choques leves.z = 2 para choques bruscos.

Valores para w (fator que prevê possíveis falhas de fabricação)

w = 1 a 1,5 para aços e outros materiais.w = 1,5 a 2 para fofo.

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Para carga estática, normalmente, utiliza-se 2≤ k ≤3 aplicado a σe (tensão de escoamento do material), para o material dúctil e ou aplicado a σ (tensão de ruptura do material) para o material frágil. Para o caso de cargas intermitentes ou alternadas, o valor de k cresce como nos mostra a equação para sua obtenção.

IMPORTANTE

A tensão admissível é determinada através da relação entre (tensão de escoamento) e coeficiente de segurança para os materiais dúcteis, σr (tensão de ruptura) e coeficiente de segurança para os materiais frágeis.

Exemplo 1

Um determinado tipo de aço que compõe um elemento de uma máquina possui tensão de escoamento de 480 Mpa. Como o mesmo opera com carga intermitente na definição do K, temos:

x = 1,5 para aços de qualidade e aço liga.y = 1 para carga intermitente.

Portanto: K= x.y = 1,5 . 1,0= 1,5.

A tensão admissível é, então, 480/1,5 = 320 MPa.

29

RESUMO DO TÓPICO 3


• Um mesmo tipo de esforço pode ser provocado por cargas atuando de formas diferentes, provocando efeitos com maior ou menor impacto sobre a resistência do corpo solicitado. Estas são classificadas como estáticas, intermitentes e alternadas.

• As condições de trabalho normalmente diferem das ensaiadas em laboratório. Portanto, utilizamos a tensão chamada de tensão admissível para fins de cálculo da resistência de um elemento mecânico.

• A tensão admissível é resultado da divisão da tensão de resistência ao escoamento ou à ruptura, obtida em ensaios normatizados pelo coeficiente de segurança K.

• O coeficiente de segurança K é obtido a partir do produto de valores que representam a influência de fatores como: processo de fabricação, tipo de carga, ambiente de trabalho, dentre outros que podem comprometer a resistência de um elemento mecânico.

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Exercite seus conhecimentos, resolvendo as questões a seguir:

1 Determine o diâmetro da barra de aço 1 indicada na figura a seguir. A barra está presa ao solo no ponto C e sujeita as forças mostradas. Admita que o material possui as seguintes características: σ(adm)=220 Mpa; fator falha de fabricação = 1; material comum; carga constante e gradual.

2 A barra rígida AB mostrada na figura a seguir é suportada pela barra de alumínio AC, que está acoplada por meio de pinos. Determine o diâmetro da barra de alumínio e dos pinos, sujeitos a cisalhamento duplo, sabendo que σ(adm) alumínio = 10,6 x 10³ Ksi e σ (adm) aço = 29 x 10³ Ksi. Utilize um fator de segurança K = 2 para oalumínio e um fator K = 2,5 para o aço.

AUTOATIVIDADE


FIGURA 21 – REPRESENTAÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA DE AÇO PARA O EXERCÍCIO

FIGURA 22 – REPRESENTAÇÃO ILUSTRATIVA DE UMA BARRA RÍGIDA AB, SUPORTADA POR OUTRA BARRA DE ALUMÍNIO AC.


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TÓPICO 4

ESTADO DE CISALHAMENTO PURO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONos Tópicos 1, 2, 3 desta unidade, vimos que a tensão pode ser classificada

como Normal ou Tangencial. Neste tópico, teremos um primeiro contato com as tensões do tipo tangencial que, como o próprio nome diz, age tangencialmente na secção transversal, tendendo a cisalhar o elemento solicitado. Devemos, neste estudo, observar com atenção qual a área de secção transversal que está sendo solicitada bem como se um mesmo elemento está sujeito a esforços que tendem a cisalhar em mais de uma secção, situação em que temos que distribuir a carga entre as áreas.

2 TENSÃO DE CISALHAMENTOA tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma

secção. Esta age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.

Tensão de Cisalhamento: Age tangencialmente à superfície do material

FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

FIGURA 23 – CONEXÃO PARAFUSADA EM QUE O PARAFUSO É CARREGADO POR CISALHAMENTO DUPLO.

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Sob a ação de forças de tração P, a barra e a junta irão exercer uma pressão cortante contra o parafuso, e as tensões de contato, chamadas de tensões cortan-tes, serão criadas. A barra e a junta tendem a cisalhar o parafuso (cortá-lo). Essa tendência é resistida por tensões de cisalhamento no parafuso.

Tensão Cortante Média

3 TENSÕES DE CISALHAMENTO SIMPLESO cisalhamento é provocado pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre

frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material de solda etc.

FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

Em casos como este, aplica-se direto a equação:

FIGURA 24 – EXEMPLO DE CHAPAS COM ACOPLAMENTOS SIMPLES, USANDO PARAFUSOS, PINOS MATERIAL DE SOLDA.

TÓPICO 4 | ESTADO DE CISALHAMENTO PURO

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4 TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLONeste caso, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo elemento.

Ainda é válida a mesma equação, porém temos que ficar atentos para observar que a carga está distribuída em duas secções transversais. Portanto, ao aplicar a equação da tensão, devemos duplicar a área ou dividir a carga por dois.


Escrevemos, então, a equação da seguinte forma:

Onde “n” representa o número de áreas sujeitas a esforço de cisalhamento.

FIGURA 25 – REPRESENTAÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO DUPLO.

5 DIMENSIONAMENTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTOPara o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento,

utilizamos a mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o coeficiente de segurança sempre que necessário.

Vejamos um exemplo:

Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN, aplicada conforme a figura a seguir. A junta deverá contar com 5 rebites. τ= 105 MPa; tch = 8mm (espessura das chapas).

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FIGURA 26 – ILUSTRAÇÃO DA PROJEÇÃO DE UMA JUNTA REBITADA PARA SUPORTE DE CARGA

Solução:

a. Cisalhamento nos rebites: Observa- se na figura que a junta é simplesmente cisalhada, ou seja, cada rebite sofre cisalhamento na sua respectiva secção AA. Tem- se, então, que:

Como os rebites possuem secção transversal circular, a área do circulo é dada por:

A fórmula da tensão do cisalhamento, então, passa a ser:

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• A tensão de cisalhamento decorre de uma força que tende a cisalhar uma secção. Esta age tangencialmente ao plano. Portanto, trata-se de tensão tangencial.

• A tensão de cisalhamento simples é provocada pela ação direta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente em vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos, pinos, material de solda etc.

• No caso de cisalhamento duplo, temos duas secções sendo cisalhadas em um mesmo elemento.

• Para o cálculo da tensão de cisalhamento, utilizamos a equação:

• Para o dimensionamento de um elemento pela tensão de cisalhamento, utilizamos a mesma equação citada e utilizamos a tensão de ruptura do material, lembrando de aplicar o coeficiente de segurança sempre que necessário.

36

AUTOATIVIDADE

Ao final deste tópico, resolva os exercícios a seguir, visando à fixação do conhecimento adquirido:

1 Uma prensa usada para fazer furos em placas de aço é mostrada na Figura 27a. Assuma que uma prensa com diâmetro de 0,75 in. é usada para fazer um furo em uma placa de ¼ in., como mostrado na vista transversal (Figura 27b). Se uma força P=28000 lb é necessária para criar o furo, qual é a tensão de cisalhamento média na placa e a tensão de compressão média na prensa?


FIGURA 27 – ILUSTRAÇÃO PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 1

2 O elo do tirante mostrado na figura 28 suporta uma força de 600 Lb, aplicada pelo cabo. Se o pino tem um diâmetro de 0,25in, determine a tensão cisalhante média no pino.

FONTE: Autor

FIGURA 28 – ILUSTRAÇÃO DE UM ELO TIRANTE PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 2

37

3 A alavanca mostrada na figura é mantida fixa ao eixo através de um pino localizado em AB, cujo diâmetro é de 6 mm. Se um homem aplica as forças mostradas na figura ao girar a alavanca, determine a tensão cisalhante média no pino na seção entre este e a alavanca.


FIGURA 29 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXA AO UM EIXO POR PINOS PARA SUPORTE DO EXERCÍCIO 3

4 A luminária mostrada na figura a seguir, é suportada pelo pino A, cujo diâmetro é de 1/8” in. Se a luminária pesa 4 Lb e o braço AB do suporte pesa 0,5 Lb/ft, determine a tensão cisalhante média no pino necessária para suportar a luminária.


FIGURA 30 – ILUSTRAÇÃO DE UMA LUMINÁRIA FIXA NO PONTO “A”.

5 A junta mostrada na figura utiliza dois parafusos para unir as placas. Determine o diâmetro necessário aos parafusos, considerando que a tensão cisalhante admissível τ(adm)=110 MPa. Admita que a carga seja igualmente distribuída entre os parafusos.

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FIGURA 31 – ILUSTRAÇÃO DE PLACAS UNIDAS POR DOIS PARAFUSOS.

6 A alavanca mostrada na figura é fixada ao eixo A por uma chaveta de largura d e comprimento de 25 mm. Se o eixo está fixo e uma força de 200 N é aplicada perpendicularmente à alavanca, determine a dimensão d considerando que a tensão cisalhante admissível para o material da chaveta é τ(adm)=35 MPa.


FIGURA 32 – ILUSTRAÇÃO DE UMA ALAVANCA FIXADA A UM EIXO “A”.

Obs:1ksi = 6,867 MPa1Ksi = 1000 Psi

Atividades complementares: Observações: Resolver os exercícios da seção de tensão cisalhamento e tensão admissível do livro Resistência dos Materiais, do autor, Hibbeler, 2000.

NOTA

Psi = Lb/in.in1in = 2,54 cm1ft = 12 in

39

TÓPICO 5

TORÇÃO E CISALHAMENTO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONeste item, utilizaremos uma linguagem um pouco mais complexa

e faremos uso de equações diferenciais para justificar alguns conceitos. Vocês serão apresentados também a duas características geométricas importantes no que tange a elementos sujeitos a esforços que tendem a provocar rotação. São eles o raio de giração e o momento polar de inércia.

2 DEFINIÇÕESA torção se refere ao giro de uma barra retilínea, quando carregada por

momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. Veja a Figura 33.


FIGURA 33 – TORÇÃO DE UMA CHAVE DE FENDA DEVIDO A UM TORQUE T APLICADO NO CABO.

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Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de direção e brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção:


Os momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da Figura 34, são chamados de torques ou momentos torçores.

Os membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de rotação são chamados de eixos.

Ex.: O virabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de um navio. A maioria dos eixos tem seções transversais circulares, sólidas ou tubulares.

FIGURA 34 – BARRA SUBMETIDA À TORÇÃO PELO TORQUE T1 E T2.

TÓPICO 5 | TORÇÃO E CISALHAMENTO

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3 DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO DE UMA BARRA CIRCULARConsidere uma barra prismática de seção transversal circular girada por

torques T agindo nas extremidades como na Figura 35.


FIGURA 35 – DEFORMAÇÕES DE UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO PURA.

Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T.

Considerações

Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos. Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra seja pequeno, nem o comprimento da barra e nem seu raio irão variar.

Variáveis: f, φ - Ângulo de torção.

O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ

Se toda a seção transversal da barra tem o mesmo raio e está submetida ao mesmo torque (torção pura). O ângulo φ (x) irá variar linearmente. Considere a Figura 36:

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FIGURA 36 – DEFORMAÇÃO DE UM ELEMENTO DE COMPRIMENTO DX EXTRAÍDO DE UMA BARRA EM TORÇÃO.

Os ângulos no canto do elemento, na Figura 36b não são mais iguais a 90º. O elemento está em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformação de cisalhamento γ max é igual à diminuição no ângulo no ponto a, isto é, a diminuição no ângulo bad. Da figura, vemos que a diminuição nesse ângulo é:

Onde γ max é medido em radianos, bb’ é a distância através da qual o ponto b se move e ab é o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra, podemos expressar a distância bb’ como rdφ, em que dφ também é medido em radianos. Dessa maneira, a equação anterior fica:

Essa equação relaciona a deformação de cisalhamento na superfície externa da barra com o ângulo de torção. A relação dφ/ dx é a razão da variação do ângulo de torção φ em relação à distância x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dφ/ dx pelo ângulo θ e nos referimos a ele como razão de torção ou ângulo de torção por unidade de comprimento.


43

Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa

Torção Pura

• Razão de torção

• Deformação de cisalhamento

As deformações por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo método usado para encontrar a deformação de cisalhamento γ max na superfície externa. Como os raios nas seções transversais permanecem retos e não distorcidos durante o giro, vemos que a discussão anterior para um elemento abcd na superfície externa (Figura 36 b) também se aplica para um elemento similar situado na superfície de um cilindro interno de raio ρ , como na Figura 36c. Dessa forma, elementos internos também estão em cisalhamento puro com as deformações de cisalhamento correspondentes dadas pela equação:

A Figura 37 apresenta a variação linear na deformação de cisalhamento entre a deformação máxima na superfície externa e a deformação mínima na superfície interna. As equações para essas deformações são as seguintes:

44


Considere-se que r1 e r2 são raios interno e externo, respectivamente, do tubo.

Essas equações são válidas para qualquer material, tanto para comporta-mento elástico ou inelástico, linear ou não linear. As equações são limitadas para barras tendo pequenos ângulos de rotação e pequenas deformações.


FIGURA 37 – DEFORMAÇÕES DE CISALHAMENTO EM UM TUBO CIRCULAR.


FIGURA 38 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM UMA BARRA CIRCULAR EM TORÇÃO.

Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares

As direções das tensões são determinadas por inspeção como indica a Figura 38.


45

Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos de tensão em duas dimensões, como na Figura 38b, mas devemos lembrar que os elementos de tensão na realidade são objetos tridimensionais com uma espessura perpendicular ao plano da figura. Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento.

Em que G é o módulo de elasticidade de cisalhamento e γ é a deformação de cisalhamento em radianos.

Em que τ max é a tensão de cisalhamento na superfície externa da barra (raio r), τ é a tensão de cisalhamento em um ponto interior (raio ρ ) e θ é a razão de torção. (Nessas equações, θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento). As equações acima mostram que as tensões de cisalhamento variam linearmente com a distância com o centro da barra, como ilustrado pelo diagrama de tensão triangular na Figura 38c. Essa variação linear de tensão é uma consequência da Lei de Hooke. As tensões de cisalhamento, agindo num plano transversal, são acompanhadas pelas tensões de cisalhamentos de mesma magnitude agindo em planos longitudinais como na Figura 39.


FIGURA 39 – TENSÕES DE CISALHAMENTO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL EM UMA BARRA CIRCULAR SUBMETIDA À TORÇÃO.

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O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais de compressão e tração agindo num elemento orientado num ângulo de 45º. Verifique a Figura 40.


FIGURA 40 – TENSÕES DE COMPRESSÃO E TRAÇÃO AGINDO EM UM ELEMENTO DE TENSÃO ORIENTADO A 45º DO EIXO LONGITUDINAL.

Se uma barra é feita de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, a falha irá ocorrer em tração ao longo de uma hélice a 45º do eixo.

4 A FÓRMULA DE TORÇÃOA distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção

transversal foi ilustrada anteriormente. Como essas tensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm uma resultante na forma de um momento – um momento igual ao torque agindo na barra. Analise a Figura 41.


FIGURA 41 – DETERMINAÇÃO DA RESULTANTE DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO AGINDO EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL.


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Conversar com o aluno: Objetivo: Determinar a relação entre as tensões de cisalhamento e o torque T.

UNI

Força de cisalhamento agindo no elemento da Figura 41.

τdA

Onde τ é a tensão de cisalhamento no raio ρ. O momento elementar dessa força sobre o eixo da barra é:

O momento resultante (igual ao torque) é a soma de todos os momentos elementares sobre a área da seção transversal.

Em que

é o momento de inércia polar da seção transversal circular. Para um círculo de raio r, e diâmetro do momento de inércia polar é:

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Portanto, tem–se a seguinte expressão para a tensão de cisalhamento máxima:

τ= Tr Ip

Esta expressão é conhecida como a fórmula de torção. A tensão de cisalhamento máxima é diretamente proporcional ao torque aplicado, T, e inversamente proporcional ao momento de inércia polar, I P.

A fórmula aplica-se para barras sólidas e tubos circulares. A tensão de cisalhamento à distância ρ do centro da barra é:

Ângulo de Torção

Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:

Em que θ tem unidades de radianos por unidade de comprimento. Essa equação mostra que a razão de torção θ é diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional ao produto GIP, conhecido como rigidez de torção da barra.

O ângulo de torção total para uma barra em torção pura φ = θL.

Tubos circulares

Conversar com o aluno: Tubos circulares são mais eficientes do que barras sólidas. Por quê? (Pense e responda).

UNI


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As mesmas expressões básicas para as tensões de cisalhamento podem ser usadas. Logicamente, a distância radial ρ está limitada ao intervalo r1 até r2 , onde r1 é o raio interno e r2 é o raio externo da barra, como na Figura 42.


FIGURA 42 – MOMENTO DE INÉRCIA POLAR DA ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DO TUBO

Momento de Inércia Polar da área de Seção Transversal do Tubo:

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LEITURA COMPLEMENTAR

MEDIDA DO MÓDULO DE ELASTICIDADE (E)


FIGURA 43 – ILUSTRAÇÃO DE UM DISPOSITIVO EXPERIMENTAL

Na figura 43, é mostrado o dispositivo experimental. É empregado um fio de um metro de comprimento, disposto horizontalmente fiado por um extremo, enquanto que no outro passa por uma polia. Do extremo livre, pendem pesos de 100 g, 250 g ou 500 g.

Ao colocar pesos sobre o extremo livre do fio, este é esticado e a polia gira um ângulo igual a ∆L/r. Sendo r o raio da polia.

Como o alongamento ∆L é pequeno, pode ser medido mediante uma agulha indicadora que marca sobre um setor circular cujo raio é R=10·r vezes o raio da polia.

Exemplo:

• Raio da secção do fio, 0.25 mm

• Material, Alumínio

• Se colocamos 6 pesos de 250 g no extremo livre do fio

A força aplicada é F=mg=6·0.25·9.8 N

A leitura na escala graduada semicircular é s=1.19 cm, que corresponde a uma deformação de ∆L=1.19 mm.

O quociente entre o esforço e a deformação é o módulo de Young ( E ) Y=6.29·1010 N/m2.

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001, p. 98

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• A torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.

• A tensão gerada por um esforço de torção varia de um valor mínimo no centro da secção transversal em que o raio de giração é zero até uma tensão máxima na extremidade da secção em que o raio de giração é máximo.

• O ângulo de torção varia ao longo do eixo da barra: 0 ≤φ (x)≤φ

• Para obter o ângulo de torção, utilizamos a seguinte expressão:

• A chamada fórmula da torção máxima para uma secção circular é dada por:

τ= T.r/Ip

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Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:

1 Calcular a tensão de cisalhamento máxima de um eixo de 25 mm de diâmetro, submetido a 5000 kgf.cm de torque.

2 Calcular a tensão máxima e mínima para um eixo vazado de diâmetro externo 25 mm e interno 12 mm, quando um momento torçor de 5000 kgf.cm atua sobre o mesmo.

3 Um momento de torção de 3 KN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) a tensão de cisalhamento no ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio; c) a parcela do momento (%) resistida pelo cilindro interior (imaginário) de 15 mm de raio.

AUTOATIVIDADE


FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO

4 Sabe-se que as tensões admissíveis das barras circulares AB e BC são respectivamente 83 MPa e 48 MPa. O momento torçor aplicado em A é de 7,5 KN.m. Determinar o diâmetro necessário: a) da barra AB; b) da barra BC.


FIGURA 45 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO

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UNIDADE 2

ESTUDO DA FLEXÃO


PLANO DE ESTUDOS

Após o estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:

• dimensionar peças submetidas a esforço de flexão, utilizando a tensão admissível;

• determinar analiticamente a deflexão e a inclinação em pontos específicos de eixos e vigas, levando em consideração como os vários tipos de apoio implicam a limitação da inclinação ou o deslocamento;

• entender em que consiste uma peça esbelta e sua influência sobre a resistência de uma estrutura sujeita à compressão.

Esta unidade está dividida em três tópicos, sendo que em cada um deles você encontrará atividades que o auxiliarão na apropriação do conteúdo apresentado.

TÓPICO 1 – FLEXÃO

TÓPICO 2 – EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA

TÓPICO 3 – ESTUDO DA FLAMBAGEM

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TÓPICO 1

FLEXÃO

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONesta segunda unidade, estudaremos esforços que tendem a provocar

efeitos de flexão. Este tipo de efeito pode ser proveniente de cargas concentradas ou cargas distribuídas e, ainda, combinações destas. Muitos fatores devem ser considerados durante este estudo, tais como: tipos de engastes, geometria do corpo, posição relativa entre esforços e secção transversal, assim como as características elásticas dos materiais. Precisamos então estabelecer algumas convenções quanto a sinais e metodologias de cálculo, para padronizar análises gráficas que servirão para perceber como se distribuem estes efeitos ao longo da estrutura de um corpo em estudo.

O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, que venham a originar momento fletor significativo.


FIGURA 46 – REPRESENTAÇÃO DO ESFORÇO DE FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA

UNIDADE 2 | ESTUDO DA FLEXÃO

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Onde tensão máxima nas fibras comprimidas, também como se convenciona o momento fletor nas fibras comprimidas negativo, será sempre < 0 (negativo). Tensão máxima nas fibras tracionadas. Como, por convenção, o momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, será sempre > 0 (positivo).

A flexão é denominada simples quando as secções transversais da peça estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor simultaneamente. Exemplos: intervalos AC e DB da figura anterior. Neste caso, atuam tensão normal e tensão tangencial.

2 TENSÃO NORMAL NA FLEXÃOSuponha-se que a figura representada a seguir seja uma peça com secção

transversal de qualquer comprimento, que encontra-se submetida à flexão pela ação das cargas cortantes representadas.


FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO SOBRE UMA PEÇA

A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia baricêntrico da secção.

3 FORÇA CORTANTE QA força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor

positivo.

TÓPICO 1 | FLEXÃO

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FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO DA FORÇA CORTANTE POSITIVA

3.1 VIGAS HORIZONTAIS

Convenciona-se a cortante como positiva aquela que atua à esquerda da secção transversal estudada, de baixo para cima.

3.2 VIGAS VERTICAIS

Convenciona-se cortante positiva aquela que atua à esquerda da secção estudada, com o sentido dirigido da esquerda para a direita.

4 MOMENTO FLETOR MO momento fletor pode ser positivo ou negativo.

4.1 MOMENTO POSITIVO

O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores.


FIGURA 49 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR POSITIVO


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4.2 MOMENTO NEGATIVO

O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça comprimirem as suas fibras inferiores.


FIGURA 50 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO FLETOR NEGATIVO

Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à esquerda da secção transversal estudada, como positivo.

ATENCAO


FIGURA 51 – REPRESENTAÇÃO MOMENTO HORÁRIO À ESQUERDA - POSITIVO

5 DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃOPara o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-

se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.

TÓPICO 1 | FLEXÃO

59


Onde: σx e σy - tensão normal atuante na fibra mais afastada (PA;.......); δ - tensão admissível (PA;N/mm2.......) M - momento fletor (Nm; N.mm;.......)

Wx e Wy - módulo de resistência da secção transversal (m3; mm3;.....) Xmax e Ymax - distância máxima entre LN (linha neutra) e extremidade

da secção (m; mm;.....)

Exemplos:

Força Cortante Q

Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça, através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.

FIGURA 52 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA SUBMETIDA A UM ESFORÇO DE FLEXÃO


60


Momento Fletor M

O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção estudada.

FIGURA 53 – REPRESENTAÇÃO DE FORÇA CORTANTE ATUANDO SOBRE SECÇÃO TRANSVERSAL DA PEÇA


Exemplos de exercícios resolvidos.

1 Determinar as expressões de força cortante (Q) e Momento fletor (M) e construir os respectivos diagramas na viga em balanço solicitada pela carga concentrada P atuante na extremidade livre, conforme mostra a figura.

FIGURA 54 – REPRESENTAÇÃO DE UM MOMENTO FLETOR ATUANTE SOBRE UMA SECÇÃO TRANVERSAL DA PEÇA

TÓPICO 1 | FLEXÃO

61

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001

FIGURA 55 – REPRESENTAÇÃO PARA AUXÍLIO NO ENTENDIMENTO DO EXERCÍCIO

Solução:

a) Através da variável x, estudam-se todas as secções transversais da viga, da extremidade livre ao engastamento. O momento fletor máximo ocorrerá no engastamento, ou seja, para o maior valor de x.

b) Expressões de Q e M

Q = - P M = - P . x

Obs:

c) Construção dos diagramas

A equação da Q é uma constante negativa; portanto, o diagrama será um segmento de reta paralela à linha zero da Q. A distância entre a linha zero da Q e a linha limite inferior do diagrama representa a intensidade da carga P.

A equação do M é do 1° grau com a < 0; portanto, a sua representação será uma reta decrescente que parte da linha zero do M até o valor que representa Mmáx.

2- Determinar as reações nos apoios nas vigas solicitadas pela ação das cargas distribuídas, conforme as figuras dadas.


62

TÓPICO 1 | FLEXÃO

63

Na solução deste exercício, vimos dividir o trapézio em um triângulo e um retângulo, obtendo desta forma as concentradas a seguir.

d)


64

3- Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos diagramas da viga AB da construção representada na figura.

Para determinar Q e M na viga AB é necessário conhecer a intensidade da carga axial atuante na barra (1).

a) Carga Axial na barra (1)Como a concentrada da carga distribuída é simétrica ao apoio C e a barra 1, conclui-se que:

b) Expressões de Q e M na viga AB Reações nos apoios A e B

TÓPICO 1 | FLEXÃO

65

a) Diagramas de Q e M

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001

O intervalo 2 < x < 3 pode ser calculado através da variável x ’, partindo do apoio B até a extensão total da carga distribuída. Tem-se então o intervalo 0 < x ’ < 1. A utilização deste artifício implica a inversão da convenção de sinais.

66


• O esforço de flexão configura-se na peça quando esta sofre a ação de cargas cortantes, que venham a originar momento fletor significativo.

• A tensão normal atuante máxima, também denominada tensão de flexão, é determinada em relação à fibra, aos distantes da secção transversal através da relação entre o produto do momento fletor atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia baricêntrico da secção.

• A força cortante será positiva quando provocar na peça momento fletor positivo.

• O momento fletor é considerado positivo quando as cargas cortantes atuantes na peça tracionam as suas fibras inferiores.

• O momento fletor é considerado negativo quando as forças cortantes atuantes na peça comprimirem as suas fibras inferiores.

• Para o dimensionamento das peças submetidas a esforço de flexão utiliza-se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada, não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida.

• Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção transversal da peça através da resultante das forças cortantes atuantes à esquerda da secção transversal estudada.

• O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal da peça obtém-se através da resultante dos momentos atuantes à esquerda da secção estudada.

67

AUTOATIVIDADE

Ao final deste tópico, para aprofundar seus conhecimentos, resolva as questões que seguem.

1 Uma viga simples AB com um vão de comprimento L=22 ft suporta um carregamento uniforme de intensidade q=1,5 k/ft e uma carga concentrada P=12 k. O carregamento uniforme inclui uma margem para o peso da viga. A carga concentrada age em um ponto 9,0 ft da extremidade esquerda da viga, como apresenta a Figura 56. A viga é feita de madeira laminada colada e tem uma seção transversal de largura b=8,75 in. e altura h=27 in. Determine as tensões de flexão máximas.


FIGURA 56 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - AB

2 A viga ABC ilustrada na Figura 57 tem apoios simples A e B e uma extremidade suspensa de B até C. O comprimento do vão é 3,0 m e o comprimento da extremidade suspensa é de 1,5 m. Um carregamento uniforme de intensidade q=3,2 kN/m atua ao longo de todo o comprimento da viga (4,5 m). A viga tem uma seção transversal na forma de canal com largura b=300 mm e altura h=80 mm, como mostra a Figura. A espessura da alma é t = 12 mm, e a espessura média nos flanges é a mesma. Com o propósito de calcular as propriedades da seção transversal, assuma que a seção transversal consiste de três retângulos, conforme ilustrado na Figura.

Obtenha os gráficos de esforços cortantes e o de momentos fletores.


FIGURA 57 – ILUSTRAÇÃO DE UMA VIGA - ABC

69

TÓPICO 2

EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOFrequentemente é preciso estabelecer limites para o valor da deflexão

que uma viga ou um eixo podem suportar quando submetidos a cargas; por conta disso, neste capítulo discutiremos métodos para determinar a deflexão e a inclinação em pontos específicos de vigas e eixos. Ao diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centróide de cada área de secção transversal da viga denominamos Linha elástica. Ao fazer o diagrama, entretanto, é necessário saber como os vários tipos de apoio limitam a inclinação ou o deslocamento. Em geral, os apoios que resistem a forças, como um pino, limitam o deslocamento e os que resistem a momento, como uma parede, limitam a rotação ou a inclinação, bem como o deslocamento. Veremos na figura 58 dois exemplos de linhas elásticas com carga, traçadas em escala exagerada.


FIGURA 58 – EXEMPLOS DE LINHAS ELÁSTICAS COM CARGA

2 VARIÁVEIS DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICAA equação será regida pela lei de Hooke e a fórmula da flexão; teremos

como variáveis, então, o módulo de elasticidade E, o momento de inércia da secção transversal I, o raio de curvatura de um ponto específico da curva elástica


70

ρ, e o momento fletor interno da viga no ponto em que ρ deve ser determinado.

1/ρ= M/E.I

3 CONDIÇÕES DE CONTORNOPara determinarmos analiticamente a equação da linha elástica utilizamos

condições de contorno, de forma a facilitar a eliminação de incógnitas, tornando sistemas de equações inicialmente indeterminados, com maior número de incógnitas do que equações, em determinados, ou seja, com número de incógnitas compatíveis com o número de equações disponíveis. Estas condições serão apresentadas na figura a seguir.

FONTE: BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.

FIGURA 59 – INCÓGNITAS COMPATÍVEIS

TÓPICO 2 | EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA

71

4 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO

Caro(a) Acadêmico(a)! Agora iremos estudar a determinação da deflexão de vigas prismáticas submetidas a um dado carregamento. O interesse da determinação da máxima deflexão, em uma viga sujeita a um determinado carregamento, está no fato de que as especificações do projeto de uma viga incluem um valor máximo admissível para esta deflexão.

UNI

Sabemos que uma viga prismática, sujeita à flexão pura, se encurva tomando a forma de um arco de circunferência e que, dentro do regime elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser expressa por:

1/ρ= M/E.I (Equação 1)

Quando uma viga está sujeita a um carregamento transversal, a Equação 1 ainda permanece válida para qualquer secção transversal, dentro das condições de aplicação do princípio de Saint-Venant. No entanto, o momento fletor e a curvatura superfície neutra variam de seção para seção. Denotando por x a distância da extremidade esquerda da viga até a seção considerada, escrevemos:

1/ρ= M(x)/ E.I (Equação 2)

Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado ponto deduzimos a equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou linha elástica, que caracteriza a forma da viga deformada.

d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 3)

Se o momento fletor pode ser representado, para todos os valores de x, por uma simples função M(x), como nos casos das vigas com os carregamentos mostrados na figura a seguir, a declividade θ = dy/dx e a deflexão y, em qualquer ponto da viga, podem ser obtidas através de duas integrações sucessivas. As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno indicadas na figura 60.


72


FIGURA 60 – ILUSTRAÇÃO DE VIGA EM BALANÇO E VIGA APOIADA

Como são necessárias funções analíticas diferentes para representar o momento fletor nas várias porções da viga, então diferentes equações diferenciais também serão necessárias, definindo a linha elástica nas várias porções da viga. No caso da viga e carregamento da figura 61, duas equações diferenciais são necessárias, uma para a porção AD da viga e outra para a porção DB. A primeira equação produz as funções θ1 e y1, e a segunda as funções θ2 e y2. No total, as quatro constantes de integração devem ser determinadas; duas serão obtidas escrevendo-se que a deflexão é zero em A e B, e as outras duas, expressando que as porções da viga AD e DB têm a mesma declividade e a mesma deflexão em D.


FIGURA 61 – ILUSTRAÇÃO DA VIGA AD – DB


73

No caso de uma viga suportar uma carga distribuída w(x), a linha elástica pode ser obtida diretamente de w(x), através de quatro integrações sucessivas. As constantes serão determinadas a partir dos valores de contorno de V, M, q e y.

Lembramos do cálculo elementar, a expressão que fornece a curvatura de uma curva plana em um ponto Q(x, y):

Nessa equação, dy/dx e d2y/dx2 são a primeira e a segunda derivadas da função y(x) que a curva representa. Para a linha elástica de uma viga, a declividade dy/dx é muito pequena, de modo que o seu quadrado pode ser desprezado em face da unidade. Podemos escrever, então:

1/ρ = d2y/dx2 (Equação 4)

Substituindo o valor de 1/ρ dado da (Equação 4) na equação (2), teremos:

d2y/dx2 = M(x)/EI (Equação 5)

A equação (5) é uma equação diferencial linear de segunda ordem; é a equação diferencial que rege o comportamento da linha elástica.

O produto E.I é chamado de rigidez flexional. Se a rigidez flexional varia ao longo da viga, como é o caso de vigas de seção variável, devemos exprimi-la como uma função de x antes de proceder à integração da Equação (5). No caso de vigas prismáticas, que é o caso considerado aqui, a rigidez flexional é constante. Podemos então multiplicar os dois membros da por E.I e integrar na variável x. Vamos ter:

EIdy/dx= € M(x)dx + C1 (Equação 6)

Onde C1 é uma constante de integração. Chamando de q(x) o ângulo, medido em radianos, que a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a horizontal (Fig. 62). Lembrando que este ângulo nas vigas é muito pequeno, podemos escrever:

dy/dx = tg θ(x)= θ(x)


74


FIGURA 62 – ILUSTRAÇÃO DE VIGA EM ÂNGULO

Podemos escrever a Eq.(6) na forma:

EI θ(x)= € M(x)dx + C1 Fazendo a integração de ambos os membros da Eq.(6), temos:

EIy = € [€ M(x)dx + C1]dx + C2

EIy = € dx € M(x)dx + C1x + C2 (Equação 7)

Onde C2 é uma constante de integração, e onde o primeiro termo do segundo membro representa a função de x obtida ao se integrar duas vezes a equação M(x) do momento fletor. Se as constantes de integração C1 e C2 ainda sejam indeterminadas, a Eq.(7) define a flecha da viga em qualquer ponto Q, e a Eq. (5) define a declividade da viga em Q.


FIGURA 63 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS.

As constantes C1 e C2 são determinadas a partir de condições de contorno, ou seja, de condições impostas à viga pelos seus apoios. Se limitarmos nossa análise apenas às vigas estaticamente determinadas, serão consideradas as vigas simplesmente apoiadas, as vigas com balanços e as vigas em balanço (Fig. 63). Nos dois primeiros casos, os apoios são articulados. Em A, um pino fornece um apoio articulado fixo e em B um rolete fornece um apoio articulado móvel. Nos dois


75

pontos, os apoios impedem o afundamento da viga, e a flecha é nula. Fazendo x = xA, y = yA = 0 e também x = xB, y = yB = 0 na Eq. (7), obtemos duas equações que levam aos valores de C1 e C2. No caso da viga em balanço (Fig. 64c), vemos que tanto a flecha como a declividade devem ser nulas no ponto A. Fazendo x = xA, y = yA = 0 na Equação (7) e x = xA, θ= θA = 0 na Eq.(6), vamos obter também duas equações que levam aos valores de C1 e C2.

Exemplo 1

A viga em balanço AB tem seção transversal uniforme e suporta a força P na sua extremidade livre A (Fig.64). Determinar a equação da linha elástica, a flecha e a declividade no ponto A.


FIGURA 64 – VIGA EM BALANÇO AB, COM FORÇA P NA EXTREMIDADE A

No diagrama de corpo livre de porção AC da viga, de comprimento x (Fig.64), temos:

M = -Px (Equação 8)

Substituindo o valor de M na Eq. (5) e multiplicando os dois membros da equação pela constante EI, obtemos:

EI(d2y/dx2) = -Px

Integrando, obtemos:

EI(dy/dx) = -1/2(Px2) + C1 (Equação 9)

Observamos então que na extremidade fixa B temos x=L e θ = dy/dx=0. Substituindo esses valores na Equação (9), calculamos o valor de C1:

C1 = 1/2(PL2)

Que colocado novamente à Eq.(9), apresenta:

EI(dy/dx) = -1/2(Px2) + 1/2(PL2) (Equação 10)


76

Integrando os dois membros da Eq. (10), temos:

EI y = -1/6(Px3) + 1/2(PL2x) + C2 (Equação 11)

Mas, em B, temos x=L e y=0. Levando esses valores à Eq.(11), encontramos:

0 = -1/6(PL3) + 1/2(PL3) + C2

C2 = -1/3(PL3)

O valor calculado de C2 é levado novamente à Eq. (11), para completar a equação da linha elástica, que é:

EI y = -1/6(Px3) + 1/2(PL2x) -1/3(PL3)

y = P(-x3 +3L2x-2L3)/ (6EI) (Equação 12)


FIGURA 65 – VIGA COM DECLIVIDADE NO PONTO A

A flecha e a declividade no ponto A são obtidas fazendo-se x=0 nas Equações (12) e (10). Temos:

yA = (-PL3)/3EI e θA = (dy/dx)A = (PL2)/2EI

Exemplo 2

A viga prismática simplesmente apoiada AB suporta uma carga uniformemente distribuída w por unidade de comprimento (Fig.66). Determinar a equação da linha elástica e a flecha máxima da viga.


77


FIGURA 66 – VIGA PRISMÁTICA AB

Desenhamos o diagrama de corpo livre da parte AD da viga (Fig.66) e calculamos os momentos das forças em relação ao ponto D, encontrando:

M = (1/2)wLx - (1/2)wx2 (Equação 13)

Substituindo M na Equação (5) e multiplicando os dois membros da equação pela constante EI, escrevemos:

EI(d2y/dx2) = -(1/2)wx2 + (1/2)wLx (Equação 14)

Integrando duas vezes a expressão, encontramos:

EI(dy/dx) = -(1/6)wx3 + (1/4)wLx2 + C1 (Equação 15)

EI y = -(1/24)wx4 + (1/12)wLx3 + C1x + C2 (Equação 16)

Como y=0 nos dois apoios da viga (Fig. 68), fazemos x=0 e y=0 na Equação (16), encontrando C2=0. Fazendo então x=L e y=0 na mesma equação, vamos ter:

0 = -(1/24)wL4 + (1/12)wL4 + C1L

C1 = -(1/24)wL3


FIGURA 67 – VIGA AB


78

Levamos os valores de C1 e C2 mais uma vez na Equação (16), obtendo a equação da linha elástica.

EI y = -(1/24)wx4 + (1/12)wLx3 - (1/24)wL3x

y = w(-x4 + 2Lx3 -L3x)/24EI (Equação 17)

Substituindo o valor obtido para C1 na Equação (15), obtemos a declividade da viga igual a zero para x=L/2 e que a linha elástica tem um ponto de mínimo no ponto médio C da viga. Fazendo x=L/2 na Eq.(17), temos:

yc = w[(-L4/16) + 2L(L3/8) - L3(L/2)]/24EI = -5wL4/384EI



A flecha máxima, ou o maior valor absoluto da deformação, é, desse modo:

|y|máx = (5wL4)/384EI

Caro(a) Acadêmico(a)! Nos exemplos vistos até agora foi necessário apenas um diagrama de corpo livre para determinarmos a expressão do momento fletor da viga. Consequentemente, o momento fletor M, ao longo de toda a viga, foi representado por uma única função de x. Porém, não é o caso comum. A ocorrência de cargas concentradas, cargas distribuídas descontínuas e reações de apoios exigem que a viga seja dividida em várias partes para que se represente o momento fletor como uma função M(x) diferente para cada parte da viga. Cada uma das funções M(x) vai levar a expressões diferentes para a declividade θ(x) e para a flecha y(x). Cada expressão obtida para o cálculo da deformação vai ter duas constantes, de modo que um grande número de constantes de integração terá de ser determinado.

UNI


79

Exemplo 3

Determinar, para a viga prismática com o carregamento (Fig. 69), a flecha e a declividade no ponto D.


FIGURA 69 – VIGA PRISMÁTICA AB

Dividindo a viga em duas partes, AD e DB, e determinar as funções y(x) que definem a linha elástica em cada uma dessas partes.

1. Trecho de A a D (x <L/4)

Desenhando o diagrama de corpo livre da porção AE, de comprimento x (Fig. 70). Calculando momentos das forças em relação ao ponto E, vamos obter:

Ml = 3Px/4 (Equação 18)

ou, pela Equação (05),

EId2y1/dx2 = 3Px/4 (Equação 19)

Onde y1(x) é a função que descreve a linha elástica da parte AD da viga. Integrando, encontramos:

EIq1 = EIdy1/dx = 3Px2/8 + Cl (Equação 20)

EIy1 = 1Px3/8 + C1x + C2 (Equação 21)


FIGURA 70 – DIAGRAMA AE


80

2. Trecho de D e B (x>L/4)

Fazendo o diagrama de corpo livre da parte AE da viga, de comprimento (x>L/4) (Fig. 71), calculando:

M2 = 3Px/4 - P(x - L/4) (Equação 22)

ou, pela Eq. (05), reagrupando os termos,

EId2y2/dx2 = -Px/4 + PL/4 (Equação 23)

Onde y2(x) é a função que descreve a curva elástica da parte DB da viga. Integrando, encontramos:

EIq2 = EIdy2/dx = -Px2/8 + PLx/4 + C3 (Equação 24)

EIy2 = -Px3/24 + PLx2/8 + C3x + C4 (Equação 25)

Determinação das constantes de integração

As condições que devem ser satisfeitas pelas constantes de integração estão resumidas na Fig. 72. No apoio A, onde a flecha é definida pela Eq. 21, devemos ter x=0 e yl=0.



No apoio B, onde a flecha é definida pela Eq. (25), devemos ter x=L e y2=0. Além disso, pelo fato de não poder ocorrer nenhuma mudança brusca na flecha e na declividade, no ponto D teremos θ1=θ2 e y1=y2 para x=L/4. Encontramos então:


81

[x=0, y1=0], Eq. (21): 0=C2 (Equação 26)

[x=L, y2 =0], Eq. (25): 0=(1/12)PL3 + C3L + C4 (Equação 27)

[x=L/4, θ1=θ2], Eqs. (20) e (24):

(3PL2)/128 + C1 = (7PL2)/128 + C3 (Equação 28)

[x=L/4,y1=y2], Eqs. (21) e (25):

(PL3)/512 + C1L/4 = (11PL3)/1536 + C3L/4 + C4 (Equação 29)

Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos:

C1 = -(7PL2)/128, C2 = 0, C3 = -(11PL2)/128,

C4 = PL3/384

Levando os valores de C1 e C2 nas Equações (21) e (22), escrevemos que, para x<L/4,

EIq1 = (3Px2)/8 -(7PL2)/128 (Equação 30)

EI y1 = Px3/8 -(7PL2)x/128 (Equação 31)

Fazendo x=L/4 em cada uma dessas equações, encontramos para a flecha e a declividade da viga em D as expressões:

θD=-PL2/(32EI) e yd=-(3PL3)/256EI Uma vez que Dθ = 0, a flecha no ponto D não é a máxima deformação da viga.

82

RESUMO DO TÓPICO 2Neste tópico vimos que:

• Ao diagrama de deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área de secção transversal da viga denomina-se Linha elástica.

• Para determinarmos analiticamente a equação da linha elástica utilizamos condições de contorno de forma a facilitar a eliminação de incógnitas.

• Para estabelecer a declividade e a deflexão de vigas em um determinado ponto deduzimos a equação diferencial da linha elástica, a qual rege a curva ou linha elástica, que caracteriza a forma da viga deformada.

• No caso de uma viga suportar uma carga distribuída w(x), a linha elástica pode ser obtida diretamente de w(x), através de quatro integrações sucessivas. As constantes serão determinadas partir dos valores de contorno de V, M, q e y.

83

AUTOATIVIDADE

Ao final deste tópico, para aprofundar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões que seguem.

1 Determinar, para o carregamento indicado: a) a equação da linha elástica da viga em balanço AB; b) a flecha e a declividade na extremidade livre.

2 Determinar, para a viga a seguir: a) a equação da linha elástica; b) a flecha e a declividade na extremidade livre.

3 Determinar, para a viga em balanço com o carregamento indicado: a) a equação da linha elástica para o trecho AB; b) a flecha e declividade no ponto B.

84

4 A barra rígida DEF é soldada ao perfil laminado AB no ponto D. Determinar, para o carregamento indicado: a) a declividade para a viga no apoio A; b) A flecha no ponto médio C. Adotar, para o perfil W 410 x 60, E = 207 GPa e I = 210x10

6 mm

4 .

5 Determinar, para a viga e o carregamento indicados: a) a declividade no ponto A; b) a flecha no ponto D. Adotar E = 200 GPa e I = 13,33x10

6 mm

4.

6 Determinar para a viga em balanço indicada, a declividade e a flecha no ponto B. Adotar E = 200 GPa.

85

7 Determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas x1 e x2 . Considerar EI constante.

8 Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e x2. Considerar EI constante. Especificar a inclinação em A e a deflexão máxima.

9 Determinar as equações da linha elástica da viga usando as coordenadas x1 e x2. Considerar EI constante. Especificar a deflexão máxima.

86

10 O eixo apoia-se em A por um mancal que exerce apenas ações verticais sobre ele, e em C por um mancal de encosto que exerce reações horizontal e vertical sobre tal eixo. Determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas x

1 e x

2. Considerar EI constante.

87

TÓPICO 3

ESTUDO DA FLAMBAGEM

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONeste item estudaremos o fenômeno da flambagem, que consiste em

uma deformação semelhante à de flexão, mas que ocorre devido à atuação de cargas axiais de compressão sendo aplicadas em elementos esbeltos. Durante este estudo iremos entender em que consiste uma peça esbelta, quando estudaremos o índice de esbeltez e sua influência sobre a resistência de uma estrutura sujeita a compressão.

Ao sofrer a ação de uma carga axial de compressão, a peça pode perder a sua estabilidade, sem que o material tenha atingido o seu limite de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua secção transversal.

2 FLAMBAGEM


FIGURA 72 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA RECEBENDO CARGA AXIAL DE COMPRESSÃO

88


3 CARGA CRÍTICADenomina-se carga crítica a carga axial que faz com que a peça venha a

perder a sua estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na direção do eixo longitudinal.


Onde: Pcr - carga crítica [ N; kN;...]

E - módulo de elasticidade do material [M pa; G Pa;...] J - momento de inércia da secção transversal [m4; cm4 ; ...] lf - comprimento livre de flambagem [m; m m ; ...]

FIGURA 73 – REPRESENTAÇÃO DE UMA PEÇA RECEBENDO CARGA CRÍTICA

TÓPICO 3 | ESTUDO DA FLAMBAGEM

89

4 COMPRIMENTO LIVRE DE FLAMBAGEMEm função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta

diferentes comprimentos livres de flambagem. Representados nas figuras por Le.


FIGURA 74 – PEÇAS COM DIVERSOS COMPRIMENTOS DE FLAMBAGEM

5 ÍNDICE DE ESBELTEZ ( λ )É definido através da relação entre o comprimento de flambagem Lf e o

raio de giração mínimo da secção transversal da peça i.

λ - Índice de esbeltez (adimensional)ℓf - Comprimento de flambagem (m; mm; .....)imin - Raio de giração mínimo (m; ......)

6 TENSÃO CRÍTICAA tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade

do material. Desta forma, observa-se que o material deverá estar sempre na região de formação elástica, pois o limite de proporcionalidade constituiu-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.

90


Onde: σc r - tensão crítica (MPa; .....) E - módulo de elasticidade do material (MPa; GPa; .....) λ - índice de esbeltez (adimensional) π - constante trigonométrica 3, 1415....

7 FLAMBAGEM NAS BARRAS NO CAMPO DAS DEFORMAÇÕES ELASTO-PLÁSTICAS

Evidenciar um erro comum: Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do material, a fórmula de Euler perde a sua validade. Para estes casos utiliza-se o estudo Tetmajer, que indica:

ATENCAO

QUADRO 2 – ESTUDO DE TETMAJER


Exemplo 1

A figura 75 representa uma barra de aço ABNT 1020 que possui d = 50 mm. Determinar o comprimento mínimo para que possa ser aplicada a equação de Euler.


91


FIGURA 76 – REPRESENTAÇÃO DE UMA BARRA DE AÇO

Solução:

Para que possa ser aplicada a equação de Euler, > 105 (aço doce). Tem-se, então, que:

Como a peça está duplamente engastada, conclui-se então que

Exemplo 2

Determinar a carga axial de compressão máxima que poderá ser aplicada na barra, admitindo-se um coeficiente de segurança k= 2 dados: L= 1,2m ; d= 34mm; E= 210 Gpa.

Solução:

92


Obs: A barra sendo biarticulada, o seu comprimento de flambagem é o comprimento da própria barra.

a) Índice de Esbeltez

O raio de giração da secção transversal circular é, portanto:

Portanto maior que 105. Conclui-se que a barra encontra-se no domínio da equação de Euler.

b) Carga Crítica

O momento de inércia de secção circular é:

Então;

Como o coeficiente de segurança é k = 2, a carga máxima admitida que seja aplicada na barra é:


93

LEITURA COMPLEMENTAR

EQUIPAMENTO TESTA RESISTÊNCIA DE MATERIAIS EM NANOESCALA

O projeto, o desenvolvimento e a fabricação de produtos como automó-veis, aviões e computadores devem grande parte de seu sucesso aos sistemas de testes de materiais em larga escala - os MTS (“Material Testing Systems”). Eles permitiram que os engenheiros entendessem os fundamentos do comportamento mecânico de vários materiais e estruturas.

No mundo da nanotecnologia, entretanto, onde a caracterização de materiais e estruturas acontece na escala de átomos e moléculas, os sistemas atuais de testes de materiais não têm qualquer utilidade. Mas o problema com que se deparam os nanotecnologistas é o mesmo dos primeiros engenheiros mecânicos e de materiais.

É por isto que o desenvolvimento de um sistema de testes de materiais universal em nanoescala, que possa ser colocado em um microscópio de força atômica - instrumento capaz de ampliar imagens aproximadamente um milhão de vezes - e possua a resolução e precisão necessárias para testar mecanicamente objetos em nanoescala tem sido um dos grandes desafios da comunidade científica que trabalha com nanotecnologia.

Agora, pesquisadores da Universidade Northwestern, Estados Unidos, construíram a primeira micromáquina completa que é capaz de testar e analisar fenômenos de nanomecânica em tempo real. O equipamento, minúsculo o suficiente para ser inserido em um microscópio eletrônico, já demonstrou suas capacidades ao caracterizar as propriedades mecânicas de nanofios e nanotubos de carbono.

94


O n-MTS (“nano-Material Testing System”), desenvolvido pela equipe do Dr. Horacio D. Espinosa, consiste de um atuador e um sensor de carga, fabricados por meio da microtecnologia utilizada na fabricação de chips de computador. O sensor de carga é baseado no sensoriamento de diferencial capacitivo, o que lhe dá uma resolução de cerca de 10 nano-Newtons.

Este é o primeiro sistema de testes de materiais em nanoescala que oferece capacidade de observação contínua da deformação e falha de amostras, com resolução subnanométrica, ao mesmo tempo em que mede eletronicamente as forças aplicadas com resolução de nano-Newtons. Sua construção foi possível graças à integração de componentes eletromecânicos e termomecânicos em escala microscópica.

Um dos desafios resolvidos pelos pesquisadores foi a integração dos sistemas microeletromecânicos (MEMS) com os circuitos para a medição de sinais eletrônicos. Eles resolveram o problema utilizando uma arquitetura de duplo chip, consistindo de um chip MEMS e de outro chip contendo os sensores microeletrônicos.

Outro desafio foi a montagem das nanoestruturas individuais sobre o dispositivo de testes. Utilizando um nanomanipulador no interior de um microscópio de rastreamento eletrônico de duplo feixe e de um aparato de foco de feixe iônico - uma nova ferramenta agora à disposição dos nanocientistas -, os pesquisadores pegaram as nanoestruturas, cortaram-nas no comprimento adequado e as soldaram sobre o n-MTS utilizando uma técnica que consiste na deposição de platina, induzida por meio de um feixe de elétrons.

FONTE: Extraído de: Inovação Tecnológica. Equipamento testa resistência de materiais em nanoescala, Disponível em: <http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=010165050928>. Acesso em: 06 abr. 2009.

95

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico vimos que:

• Denomina-se carga crítica a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na direção do eixo longitudinal.

• Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem. Representados nas figuras por Le.

• O índice de esbeltez é definido através da relação entre o comprimento de flambagem Lf e o raio de giração mínimo da secção transversal da peça i.

• A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de proporcionalidade do material. Desta forma, observa-se que o material deverá estar sempre na região de formação elástica, pois o limite de proporcionalidade constituiu-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.

96

Para exercitar seus conhecimentos adquiridos, resolva as questões que seguem.

1 Determinar o índice de esbeltez de uma barra de madeira de 8 m de comprimento e secção retangular 20 x 25 cm. Considerar engastada em ambas as extremidades.

2 Uma barra quadrada de 25 cm de lado e 800 cm de comprimento apresenta módulo de elasticidade 2E4 Kgf/mm2. Calcular a carga crítica de Euler para a barra engastada em uma extremidade e livre na outra.

3 É dada uma barra prismática de aço com extremidade engastada e outra articulada com 5 x 7cm de secção. Sendo a tensão de proporcionalidade do material 23Kgf/mm2, determinar o comprimento para a aplicação da equação de Euler.

4 Qual a carga crítica de flambagem no problema anterior, se as extremidades forem engastadas e o comprimento da coluna for de 2,5 m? Determine a carga útil utilizando um coeficiente de segurança de 2.

5 Calcular o diâmetro de uma biela para suportar uma carga de flambagem de 8tf, sendo E= 2,1. 106 Kgf/cm2, seu comprimento de 80 cm, limite de proporcionalidade do material 22Kgf/mm2 e o coeficiente de segurança adotado 2.

6 Uma barra bi-rotulada de 500 cm de comprimento e secção transversal retangular de 30 x 15cm é solicitada por uma força de compressão P = 14 tf. Verificar as condições de segurança da barra, considerando o fenômeno da flambagem.

Dados:

• E = 15.104 Kgf/cm2• tensão prop. = 100 Kgf/cm2• tensão escoamento = 120 Kgf/cm2• H = 1,64 Kgf/cm2• K = 300 Kgf/cm2• n = 2 (sobre a tensão de escoamento).

7 Uma barra de aço doce possui secção transversal circular e encontra-se articulada nas extremidades, devendo ser submetida a uma carga axial de 1600 Kgf. Sabendo-se que o seu comprimento é de 1,2m, determinar por Euler o seu diâmetro, considerando um coeficiente de segurança de 8. (Eaço = 210 GPa).

AUTOATIVIDADE

97

8 Uma barra de aço de 7 x 5 cm de secção é duplamente articulada e seu comprimento é de 2,5 m. Usando um c.s. de 2,0 e E = 21000 Kgf/m2, determine a carga máxima admissível na barra.

9 Uma barra de aço doce tem secção retangular; de 10 x 5cm com um furo central de 3 cm de diâmetro. Sabendo-se que seu comprimento é de 200cm e é duplamente articulada, determine a carga crítica.

Dados: E = 2,1 E 6 Kgf/cm2 .

99

UNIDADE 3

COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS


PLANO DE ESTUDOS

Após o estudo desta unidade o(a), acadêmico estará apto a:

• determinar analiticamente e graficamente os valores das tensões máximas e mínimas atuantes num plano;

• utilizar-se graficamente do Círculo de Mohr para determinação de tensões e direções principais, por exemplo;

• analisar um elemento de construção mecânica submetido as mais diversas solicitações combinadas, utilizando as equações de transformação ou o Círculo de Mohr.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades que o auxiliarão a fixar os conteúdos.

TÓPICO 1 – ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES

TÓPICO 2 – CÍRCULO DE MOHR

TÓPICO 3 – ESFORÇOS COMBINADOS

101

TÓPICO 1

ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE

TENSÕES

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃONeste tópico, mostraremos como transformar os componentes de

tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente. Uma vez estabelecidas as equações de transformação necessárias, poderemos obter a tensão normal máxima em um ponto e determinar a orientação dos elementos sobre os quais atua. A transformação em um estado plano de tensões será discutida na primeira parte do capítulo, uma vez que essa condição é a mais comum na prática da engenharia. No final, discutiremos um método para determinar a tensão de cisalhamento máxima absoluta em um ponto quando o material esta sujeito a estados de tensão tanto planos como tridimensionais.

2 TRANSFORMAÇÃO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES

FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

FIGURA 76 – ESTADO GERAL DE TENSÃO (a), ESTADO PLANO DE TENSÕES (b,c)

O estado de tensão da Figura 76a não é encontrado com frequência na prática da Engenharia. Aproximações ou simplificações das cargas sobre o corpo são efetuadas a fim de que a tensão produzida em um sistema estrutural ou mecânico seja analisada em um plano simples.

Observações gerais:

UNIDADE 3 | COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS

102

1. Em torno de um ponto, um elemento de superfície, podendo assumir uma infinidade de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posições.

2. O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto.

Observações sobre o paralelepípedo de tensões:

1. Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no ponto considerado.

2. Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri- retângulo, situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõem-se as tensões conhecidas.

3. Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as arestas a ele concorrentes.

4. Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos.

5. O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar.

3 OS DIFERENTES ESTADOS DE TENSÃO NUM PONTOOs diferentes estados de tensão num ponto são:

• Estado Triplo ou Triaxial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo

elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas.

• Estado Plano, Duplo, ou Biaxial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes paralelas a apenas dois eixos.

• Estado Simples ou Uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma única aresta.

• Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões tangenciais. O simples valor τ xy =τ yx é suficiente para definir o estado de tensão no ponto.

TÓPICO 1 | ANÁLISE DE TENSÕES, ESTADO GERAL DE TENSÕES

103

Análise das tensões no Estado Plano

O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.

Estado Geral Plano de tensões em um ponto:

Dois componentes de tensão normal, σx, σy, e um componente de tensão de cisalhamento, τ xy, que atuam sobre as quatro faces do elemento.

Convenção: Estado de tensão no plano x-y.

FIGURA 77 – ESTADO DE TENSÃO NO PLANO X-Y



104

Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes σ x, σ y, τ xy orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 76a, mostraremos como obter os quatro componentes σ x’ , σ y’ e τ x’ y’, orientados ao longo dos eixos x’, y’, Figura 76b, de modo que representem o mesmo estado de tensão no ponto.

Procedimento para determinar os componentes σ x’, τ x’ y’ que atuam sobre a face x’ do elemento.

1 Secionar o elemento da Figura 78a (Figura 78c). Área secionada (ΔA).

2 Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a qual atuam.

3 Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’ e y’ para obter os componentes de tensão desconhecidos σ x’, τ x’ y’.

4 Se σ y’, que atua sobre a face +y’ do elemento da Figura 78b, tiver de ser determinado, considere um elemento como na Figura 79d. Depois é só seguir o procedimento já descrito. Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido calculada, visto que ela atende à propriedade complementar de cisalhamento.

FIGURA 78 – REPRESENTAÇÃO DE ESTADOS DE TENSÃO



105

4 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PARA O ESTADO PLANO

Convenção de Sinal:

FIGURA 79 – CONVENÇÃO DE SINAIS


O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da coordenada da face negativa do elemento como na Figura 79a.

Para lembrar a convenção de sinais: a tensão normal é positiva quando atua para fora de todas as faces, e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento.

Ângulo θ: Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento (positivo no sentido anti-horário), Figura 79b.

Componentes das tensões normal e de cisalhamento.


106


FIGURA 80 – ELEMENTO NO ESTADO PLANO DE TENSÕES (a, b, c)

Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, σ x’, τ x’ y’.


FIGURA 80d – ELEMENTO NO ESTADO PLANO DE TENSÃO

Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano.


107

Para determinar σ y’ , basta substituir θ por (θ + 90) , em (1) e assim tem-se:

5 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO

Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.

Observações

1. Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais.

Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3Tensões Principais - σ 1 −σ 2 −σ 3Planos Principais - Planos 1-2-3

Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2Tensões Principais - σ 1 −σ 2Planos Principais - Planos 1-2

Tensões Principais no Plano

Determinação da tensão normal máxima e mínima.

(Equação 4)

(Equação 5)


108

(Equação 6)

(Equação 7)

Lembrando que:

Então:

Nos planos em que agem os valores máximo e mínimo das tensões normais, a tensão de cisalhamento é nula.

Importante:1 - Tensões Principais - Tensões normais máxima e mínima.

2 - Planos Principais – Planos de atuação das tensões principais.3 - Direções Principais – Definem os planos principais.

IMPORTANTE

Posição dos Planos Principais

Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientação θ =θ p dos planos de tensões normais máxima e mínima.

(Equação 8)


109

(Equação 9)

(Equação 10)

θ p - ângulo que define o plano de tensão normal extrema.

Solução de (8)

(Equação 11)

(Equação 12)

Duas menores determinações:

Os eixos principais são definidos por θ p1 e θ p2 através dos quais os planos principais ficam determinados. Os planos principais são ortogonais entre si, como apresenta a Figura 81.


110


FIGURA 81 – PLANOS PRINCIPAIS.

6 CÁLCULO DAS TENSÕES PRINCIPAIS


FIGURA 82 – ORIENTAÇÃO DOS PLANOS DE TENSÕES NORMAIS MÁXIMA E MÍNIMA.

Solução: Duas raízes θ p1 e θ p2. Os valores de 2θ p1 e 2θ p2 estão defasados de 180º. θ p1 e θ p2 estarão defasados de 90º.

Para calcularmos as tensões principais devemos substituir os valores de sen2θ p1 e cos 2θ p1, nas equações (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e cosseno a partir dos triângulos apresentados na Figura 7. A montagem dos triângulos da Figura 7 baseia-se na equação (8).


111

Supondo-se que τ xy e σ x-σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:

Para θ p1

(Equação 13)

(Equação 14)

(Equação 15)

(Equação 16)

Para θ p2

Substituindo-se um dos conjuntos de equações (13) e (14) ou (15) e (16) nas equações (1) e (3), teremos:


112

(Equação 17)

Caro(a) Acadêmico(a)! A equação (17) nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a qual atua sobre um ponto em que σ 1 ≥σ 2. As trincas na viga de concreto da Figura 84 foram provocadas por tensões de tração, apesar de ela estar submetida tanto ao momento interno como a cisalhamento. As equações de transformação de tensão são usadas para prever a direção das trincas, bem como as tensões normais principais que as provocaram.

UNI

FIGURA 83: TESTE DE TENSÃO EM VIGA DE CONCRETO

FONTE: Autor

Tensões Tangenciais Extremas e seus Planos

Planos de Tensões Tangenciais Extremas

Deriva-se a expressão (6) em relação a θ e iguala-se esta derivada a zero. θ c - Ângulo que define aqueles planos.

Dessa forma tem-se:


113

(Equação 18)

(Equação 19)

(Equação 20)

(Equação 21)

(Equação 22)

A Solução da equação (18) é da seguinte forma:

Para as menores determinações:

Planos Principais x Planos de Tensões Tangenciais Extremas


114

As conclusões obtidas a partir das expressões (22) são as seguintes:

1 tg (2θp)= - 1/ tg (2θc).2 Os ângulos 2θc e 2 θp diferem de 90o (2θc - 2θp= 900).3 Os ângulos θc e θp diferem de 450 (θc- θp= 450).4 O par de eixos ortogonais relativos às tensões de cisalhamento máximas, no

plano xy, é obtido pela rotação de 450 nos eixos principais.

Tensões Tangenciais Extremas

Para calcularmos as tensões de cisalhamento máximas, devemos substituir os valores de sen2θ c ecos 2θ c, na equação (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e cosseno a partir dos triângulos apresentados na Figura 84. A montagem dos triângulos da Figura 9 se baseia na equação (18).

FONTE: HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos, 2000.

FIGURA 84 – TRIÂNGULOS FORMADOS A PARTIR DA EXPRESSÃO 18.

Supondo-se que τ xy e σ x-σ y são quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:

Para θ c1

(Equação 23)


115

(Equação 24)

Substituindo-se as expressões (23) e (24) na equação (2) teremos:

τ max é chamada de tensão máxima no plano, porque atua sobre o elemento no plano x-y. Substituindo-se os valores de sen2θ c e cos 2θ c , na equação (1), verificamos que há uma tensão normal nos planos da tensão de cisalhamento máximo dada por:

(Equação 25)

(Equação 26)

Caro(a) Acadêmico(a)! Como no caso das equações de transformação de tensão, é conveniente programar as equações anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso.

UNI

Conclusões:

1 - As tensões tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos são iguais. Isto, aliás, está de acordo com a lei da reciprocidade das tensões, visto que τ max e τ min agem em planos perpendiculares conforme


116

demonstrado anteriormente. O sinal indicará o sentido da tensão tangencial, conforme convenções estabelecidas anteriormente.

2 - Tensões Principais:

3 - Tensões tangenciais extremas:

(Equação 27)

De onde

Então:

4 - É constante a soma das tensões normais que agem em dois planos ortogonais quaisquer, passando no ponto.

(Equação 28)


117

(Equação 29)

(Equação 30)

(Equação 31)

Somando as expressões (28) e (29), chega-se a:

5 - Cada ponto admitirá, pois um invariante característico de seu estado de tensões, dado por:

118

RESUMO DO TÓPICO 1


• Em torno de um ponto, um elemento de superfície, podendo assumir uma infinidade de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a cada uma dessas posições.

• O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os planos passando pelo ponto.

• Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-retângulo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas.

• O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais, passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.

• Dois componentes de tensão normal, σx, σy e um componente de tensão de cisalhamento, τ xy, atuam sobre as quatro faces do elemento.

• As chamadas Tensões Principais são as tensões normais máxima e mínima.

• Os Planos Principais são os planos de atuação das tensões principais.

• As Direções Principais definem os planos principais.

119

Para exercitar seus conhecimentos, resolva as questões a seguir:

1 Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tensões planas, há tensões sobre os planos horizontal e vertical através do ponto, como apresenta a figura a seguir.

(a) Determine as tensões principais e as tensões tangenciais extremas no ponto.

(b) Localize os planos sobre os quais estas tensões atuam e mostre as tensões num esboço completo.

AUTOATIVIDADE

FIGURA 85 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 1


2 Quando a carga de torção é aplicada à barra da figura a seguir, produz um estado de tensão de cisalhamento puro no material. Determinar:

a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média;

b) A tensão principal.

120


FIGURA 86 – REPRESENTAÇÃO PARA O EXERCÍCIO 2

Resolver exercícios do livro do Hibbler, citado nas referências (capítulo 9).

ATENCAO

121

TÓPICO 2

CÍRCULO DE MOHR

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOO Circulo de Mohr consiste em um método gráfico para determinar o

estado de tensões de um elemento solicitado, utilizando ferramentas matemáticas que aprendemos no estudo da geometria analítica. O estudo do estado de tensão num ponto segundo direções arbitrárias, a determinação das tensões e direções principais, entre outras possibilidades, pode ser efetuada graficamente recorrendo-se ao Círculo de Mohr. Portanto, trata-se de uma importante ferramenta a ser adotada em análises de resistência dos materiais, e como tal merece grande atenção em seu estudo.

2 TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHRO traçado do Círculo de MOHR:

1 - Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo. Figura 87.


FIGURA 87 – TRAÇADO DO CÍRCULO DE MOHR

122


2 - Usando a convenção de sinal positiva para σ x, σ y e τ xy, como mostra a figura 88, marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância da origem dada por:


FIGURA 88 – REPRESENTAÇÃO DO ESTADO DE TENSÃO

3 - Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A (σ x ,τ xy ). Esse ponto representa os componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ=0.

4 - Unir o ponto A ao centro C e determinar CA, usando trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo.

5 - Traçar o círculo.

3 TENSÕES PRINCIPAIS1 - Pontos B e D da Figura 87 - Definem as tensões normais extremas, σ 1 e σ 2 (σ

1 ≥σ 2). Observe as tensões de cisalhamento que são nulas nesses pontos.

2 - Essas tensões atuam sobre os planos definidos pelos ângulos θ p1 e θ p2, como na Figura 89. Eles sã representados no círculo pelos ângulos 2θ p1 (mostrado) e 2θ p2 e medidos da linha de referência radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente.

TÓPICO 2 | CÍRCULO DE MOHR

123


FIGURA 89 – TENSÕES ATUAM SOBRE OS PLANOS

1 - Apenas um desses ângulos precisa ser calculado pelo círculo, usando-se trigonometria, uma vez que θ p1 e θ p2 estão 90º afastados. A direção de rotação no círculo 2θ p (nesse caso, no sentido anti-horário) representa a mesma direção de rotação θ p a partir do eixo de referência (+x) para o plano principal (+x’) como apresenta a Figura 89.

4 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO1 - Coordenadas do Ponto E e F (Figura 88).

2 - Os ângulos θ c1 e θ c2 dão a orientação dos planos que contêm os componentes, Figura 90. O ângulo 2θ c1 é determinado por trigonometria a partir da Figura 87.

FIGURA 90 – TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO


124


3 - Nesse caso, a rotação ocorre no sentido horário e, desse modo, θ c1 deve estar no sentido horário no elemento.

5 TENSÕES NUM PLANO QUALQUER1 - Os componentes das tensões normal e de cisalhamento ‘σ x e τ x’ y’ que atuam

sobre um plano especificado definido pelo ângulo θ, como na Figura 91 são obtidos no círculo usando-se trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 87.


FIGURA 91 – REPRESENTAÇÃO DE UM PLANO ESPECIFICADO DEFINIDO PELO ÂNGULO θ

1 - Para localizar P, o ângulo conhecido para o plano θ (nesse caso, no sentido anti-horário), Figura 91 deve ser medido no círculo na mesma direção de 2θ (sentido anti-horário), da linha de referência CA para a linha radial CP, Figura 87.

125

RESUMO DO TÓPICO 2


• Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo.

• Usando a convenção de sinal positiva para σx, σy, τxy, marcamos o centro do círculo, localizado no eixo σ a uma distância σmédia= (σx + σy) /2 da origem.

• Marcar o ponto de referência A de coordenadas A (σx, σxy). Esse ponto representa os componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e, como o eixo x´ coincide com o eixo x, isso significa que θ = 0º.

• Unir o ponto A ao centro C e determinar CA por trigonometria. Essa distância representa o raio R do círculo.

• Uma vez determinado R, traçar o círculo.

126

AUTOATIVIDADE

Para melhor compreender o conteúdo estudado, resolva as questões que seguem.

1 Devido à carga aplicada, o elemento no ponto A do cilindro maciço da figura a seguir, está sujeito ao estado de tensão mostrado. Determinar as tensões principais que atuam nesse ponto.

Resolver exercícios do livro do Hibbler citado nas referências (capítulo 9).

ATENCAO

127

TÓPICO 3

ESFORÇOS COMBINADOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOUm elemento de construção mecânica pode, com frequência, ser

submetido às mais diversas solicitações, ao mesmo tempo. As solicitações podem ser divididas de acordo com as tensões às quais estão submetidas. Vimos, nos dois primeiros itens deste caderno, métodos para determinar os diferentes estados de tensão num ponto, bem como determinar graficamente e analiticamente os valores das tensões máximas e mínimas atuantes num plano. Neste item, buscamos apresentar de forma mais simples e objetiva os efeitos das combinações das cargas e apresentar um método de análise para seus efeitos, utilizando os conceitos e as equações doravante apresentadas neste caderno.

2 COMBINAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES

A combinação das solicitações pode ser da seguinte forma:

• Tensão Normal: tração, compressão, flexão.

• Tensão Tangencial: cisalhamento e torção.

• Tensão Ideal: Normal + Tangencial.

FONTE: SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.

FIGURA 92 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO NORMAL


128




FIGURA 93 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL

FIGURA 94 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (TRAÇÃO + TORÇÃO)

FIGURA 95 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (FLEXÃO + TORÇÃO)

TÓPICO 3 | ESFORÇOS COMBINADOS

129


FIGURA 96 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO IDEAL (TRAÇÃO + CISALHAMENTO)


FIGURA 97 – REPRESENTAÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL (FLEXÃO + CISALHAMENTO)

3 MÉTODO DE ANÁLISEComo método de análise, você deve:

1 – Selecione um ponto da estrutura em que as tensões e as deformações devem ser determinadas. (O ponto é geralmente selecionado em uma seção transversal em que as tensões são grandes, como uma seção transversal cujo momento fletor apresenta seu valor máximo).

2 – Para cada carregamento na estrutura, determine as resultantes de tensão na seção transversal, contendo o ponto selecionado. (As resultantes de tensão possíveis são uma força axial, um momento de torção, um momento fletor e uma força de cisalhamento).


130

3 – Calcule as tensões normais e de cisalhamento no ponto selecionado devido a cada uma das resultantes de tensão. Se a estrutura é um vaso de pressão, determine as tensões devido à pressão interna. (As tensões são encontradas a partir das fórmulas deduzidas. Por exemplo:

4 – Obtenha as tensões σ x, σ y e τ xy agindo em um elemento de tensão no ponto.

5 – Determine as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas no ponto selecionado, usando as equações de transformação de tensão ou o círculo de Mohr.

6 – Determine as deformações no ponto a partir da Lei de Hooke para tensão plana.

7 – Escolha pontos adicionais e repita o processo.

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RESUMO DO TÓPICO 3


• Um elemento de construção mecânica pode, com frequência, ser submetido às mais diversas solicitações, ao mesmo tempo.

• A combinação das solicitações resulta em:

• Tensão Normal: tração, compressão, flexão.

• Tensão Tangencial: cisalhamento e torção.

• Tensão Ideal: normal + tangencial.

• Para análise destas tensões, utilizamos as equações que aprendemos ao longo de todo o nosso estudo para determinação da intensidade de cada uma das solicitações separadamente e então a combinamos utilizando as equações de transformação ou o círculo de Mohr apresentados no Tópico 1.

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AUTOATIVIDADE

Para melhor entendimento do conteúdo estudado, resolva as questões a seguir:

1 Um eixo do rotor de um helicóptero gira as pás do rotor que fornecem a força de sustentação para manter o helicóptero no ar, conforme figura a seguir. Como consequência, o eixo é submetido a uma combinação de torção e carregamento axial (figura a seguir). Para um eixo de 50 mm de diâmetro transmitindo um torque T=2,4 kN.m e uma força de tração P=125 kN, determine a tensão de tração máxima, tensão de compressão máxima e a tensão de cisalhamento máxima do eixo.

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REFERÊNCIAS

BEER, F. P. ; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Makron Books, 1995.

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Editora Thomson Learning, 2003.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 3º Ed., Editora Livros Técnicos eCientíficos, 2000.

MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência de Materiais. São Paulo: Érica, 1999.

NASH, William A. Resistência de Materiais. São Paulo: MacGraw Hill, 1993.

SENAI - PR. DET Resistência dos Materiais. Curitiba, 2001.

PROVENZA, Francesco. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pro Tec, 1995.

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