resistÊncia dos materiais ii
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2018 - 2
FLEXÃO PARTE II
Objetivos
• Conhecer hipóteses simplificadoras na flexão
• Conceituar a linha neutra
• Capacitar para a localização da linha neutra e a determinar a distribuição de tensões na flexão pura reta
• Conceituar flexão inelástica, momento elástico máximo e momento plástico último
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Apresentação http://www.caetano.eng.br/ (Resistência dos Materiais II – Aula 10)
Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler), págs 201 a 216.
Biblioteca Virtual “Resistência dos Materiais”
RETOMANDO...
ESFORÇOS CORTANTES E MOMENTOS FLETORES
• Momento Fletor: esforço que “enverga” barra
– Causado por forças cortantes
Momento Fletor
P
• Momento Fletor: esforço que “enverga” barra
– Causado por forças cortantes
Momento Fletor
P
• Força Cortante Distribuída
Diagrama de Momento Fletor
2 kN/m
x 2m
M:
4kN.m
+ V:
0 4kN
0
• Carga cortante desta maneira...
Esforços Internos
P
• Carga cortante desta maneira...
– Causa esforços internos: tensões normais!
Esforços Internos
P
• Carga cortante desta maneira...
– Causa esforços internos: tensões normais!
Esforços Internos
P
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
• Como chegamos nesse cara?
• Bem, pela lei de Hooke:
• Então...
• Mas como determinar εmáx ?
Esforços Internos
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
= E.ε
máx = E.εmáx
COMPREENDENDO A DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
• Material Homogêneo e Alta Deformabilidade
• Seção transversal simétrica a um eixo
• Momento aplicado em torno de linha central perpendicular a esse eixo
Deformação na Flexão
y
z
x
• Elemento prismático reto
Deformação na Flexão
retas
retas
retas
• Elemento prismático reto
Deformação na Flexão
Inchamento por compressão
Esticamento por tração
- +
retas
• Elemento prismático reto
Deformação na Flexão
Inchamento por compressão
Esticamento por tração
- +
• Elemento prismático reto
Deformação na Flexão
- + retas
• Eixo fica na superfície neutra
– Não sofre variação no comprimento
– Curva-se no plano x-y
Deformação na Flexão
• Eixo fica na superfície neutra
– Não sofre variação no comprimento
– Curva-se no plano x-y
Deformação na Flexão
• Eixo fica na superfície neutra
– Não sofre variação no comprimento
– Curva-se no plano x-y
– Seções transversais permanecem planas
• E perpendiculares ao eixo transversal
– Deformações da seção transversal: desprezadas
>
Deformação na Flexão
• Vamos analisar um elemento Δx
Deformação na Flexão
Eixo Longitudinal
Δx
Δx
y
Δs = Δx
Elemento Não Deformado
Sem Flexão Δs(y) = cte
• Vamos analisar um elemento Δx
Deformação na Flexão
Com Flexão Δs’(y) ≠ cte
Eixo Longitudinal
Δx
Δx
y
Δs = Δx
Δx
y
Δs’ ≠ Δx
Elemento Deformado
Elemento Não Deformado
• Vamos analisar um elemento Δx de perto
Deformação na Flexão
Δx
Δs
y
Δs’
ε = ?
δ = Δs’- Δs 𝜺 =∆𝒔′ − ∆𝒔
∆𝒔
• A deformação depende:
– Altura na seção transversal y
– Raio de curvatura da flexão ρ
• Deform. normal longitudinal:
– Varia linearmente com y
Deformação na Flexão
Δs
ρ
y
Δs’
Δθ
𝜀 𝑦 = lim∆𝑠→0
∆𝑠′ 𝑦 − ∆𝑠
∆𝑠
𝜀 𝑦 = lim∆𝜃→0
𝜌 − 𝑦 . ∆𝜃 − 𝜌. ∆𝜃
𝜌. ∆𝜃
𝜀 𝑦 = −𝒚
𝝆
𝜺 =∆𝒔′ − ∆𝒔
∆𝒔
lim∆𝑠→0?
Como nos livramos do ?
• Identificando a proporção...
Deformação na Flexão
Δx
y c
𝜺 𝒚 = −𝒚
𝝆
𝜺𝒎á𝒙 =𝒄
𝝆
𝜺 𝒚
𝜺𝒎á𝒙= 𝜺 𝒚 .
1
𝜺𝒎á𝒙= −𝒚
𝝆.𝝆
𝒄
𝜺 𝒚
𝜺𝒎á𝒙= −𝒚
𝒄 →
𝜺 𝒚 = −𝒚
𝒄. 𝜺𝒎á𝒙
• Lembre das premissas!
• Há apenas tensões normais longitudinais
Deformação na Flexão
𝜺 𝒚 = −𝒚
𝒄. 𝜺𝒎á𝒙
ONDE FICA A LINHA NEUTRA?
Onde Fica a Linha Neutra?
Qual o valor das tensões?
• Voltando na lei de Hooke: = E.ε
• Então, podemos transformar....
• Como é ε linear com y, também!
Onde Fica a Linha Neutra?
𝝈 = −𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙
𝜺 𝒚 = −𝒚
𝒄. 𝜺𝒎á𝒙
𝜺 𝒚 . 𝑬 = −𝒚
𝒄. 𝜺𝒎á𝒙. 𝑬
• O que significa ε e serem lineares com y?
Onde Fica a Linha Neutra?
𝜺 𝒚 = −𝒚
𝒄. 𝜺𝒎á𝒙 𝝈 = −
𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙
• Sabemos que, por equilíbrio estático
Onde Fica a Linha Neutra?
RC
RT
𝑭𝑹 = 𝑭𝒙 = 𝟎
𝑹𝑻 − 𝑹𝑪 = 𝟎
• Outra forma de enxergar:
Onde Fica a Linha Neutra?
𝑭𝑹 = 𝟎 = 𝒅𝑭𝑨
= 𝝈.𝒅𝑨𝑨
𝝈 = −𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙
𝑭𝑹 = −𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙. 𝒅𝑨
𝑨
= 𝟎
𝒅𝑭 = 𝝈. 𝒅𝑨
• Em outras palavras,
• Para equilíbrio: linha neutra no centroide
Onde Fica a Linha Neutra?
−𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙. 𝒅𝑨
𝑨
Tem que valer ZERO!
−𝝈𝒎á𝒙𝒄. 𝒚. 𝒅𝑨𝑨
= 𝟎 Isso não
tem como valer 0!
A superfície neutra é aquela que passa pelo eixo do centroide de cada seção transversal!
FÓRMULA DA FLEXÃO
• Queremos relacionar 𝝈 com M!
• Vejamos...
Fórmula da Flexão
𝒅𝑭 = 𝝈. 𝒅𝑨 𝑴𝒛 = −𝒚.𝒅𝑭𝑨
𝑴𝒛 = −𝒚. 𝝈. 𝒅𝑨 𝑨
• Queremos relacionar 𝝈 com M!
• No entanto...
• Então...
Fórmula da Flexão 𝑴𝒛 = −𝒚. 𝝈. 𝒅𝑨 𝑨
𝝈 = −𝒚
𝒄. 𝝈𝒎á𝒙
𝑴𝒛 = 𝒚.𝒚
𝒄𝝈𝒎á𝒙. 𝒅𝑨
𝑨
=𝝈𝒎á𝒙𝒄 𝒚𝟐. 𝒅𝑨𝑨
𝑴𝒛 =𝝈𝒎á𝒙𝒄. 𝑰𝒛 Ou... 𝑴𝒛 = 𝝈𝒎á𝒙.
𝑰𝒛𝒄
• Módulo resistente:
• Isolando o 𝝈𝒎á𝒙 ...
• Tensão em qualquer altura da seção:
Fórmula da Flexão
Fórmula da Flexão
𝑴𝒛 = 𝝈𝒎á𝒙.𝑰𝒛𝒄
Ou... 𝑴𝒛 = 𝝈𝒎á𝒙. 𝒘
𝒘 =𝑰𝒛𝒄
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰 Ou... 𝝈𝒎á𝒙 =
𝑴
𝒘
𝝈 = −𝑴.𝒚
𝑰
• Compare:
Analogia com Fórmula da Torção
𝝉𝒎á𝒙 =𝑻.𝑹
𝑱 𝝈𝒎á𝒙 =
𝑴. 𝒄
𝑰
Flexão Torção
• Calcule o Módulo Resistente
Exemplo
1m
0,6m
0,06m
𝑰𝑪 =𝒃. 𝒉𝟑
𝟏𝟐 =𝟎, 𝟔. 𝟏𝟑
𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟓
𝑰𝑽 =𝒃. 𝒉𝟑
𝟏𝟐 =𝟎, 𝟒𝟖. 𝟎, 𝟖𝟖𝟑
𝟏𝟐 ≅ 𝟎, 𝟎𝟐𝟕
𝑰 = 𝑰𝑪 − 𝑰𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝒎𝟒
𝒘 =𝑰
𝒄 =𝟎, 𝟎𝟐𝟑
𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝒎𝟑
• Calcule o Momento Fletor
• Mas...
Exemplo
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄. 𝟏𝟐
𝒃.𝒉𝟑
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
𝑰 =𝒃. 𝒉𝟑
𝟏𝟐
• Calcule o Momento Fletor
Exemplo
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄. 𝟏𝟐
𝒃. 𝒉𝟑
𝑴 =𝝈𝒎á𝒙. 𝒃. 𝒉
𝟑
𝒄. 𝟏𝟐
𝑴 =𝟐𝟎. 𝟏𝟎𝟔. 𝟎, 𝟎𝟔. 𝟎, 𝟏𝟐𝟑
𝟎, 𝟎𝟔. 𝟏𝟐
𝑴 ≅ 𝟐, 𝟗𝒌𝑵.𝒎
EXERCÍCIO PRÉ-INTERVALO
• Calcule 𝝈𝒎á𝒙 para r = 20cm e M = 200kN.m
Exercício
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
𝑰 =𝝅.𝑹𝟒
𝟒
• Calcule 𝝈𝒎á𝒙 para r = 20cm e M = 200kN.m
Exercício
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
𝑰 =𝝅.𝑹𝟒
𝟒
𝑰 =𝝅. 𝟎, 𝟐𝟒
𝟒= 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝝅
𝝈𝒎á𝒙 =𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎. 𝟎, 𝟐
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝝅≅ 𝟑𝟏, 𝟖𝑴𝑷𝒂
PAUSA PARA O CAFÉ
EXEMPLO MAIS COMPLETO
• Calcule a 𝝈𝒎á𝒙
Exemplo: Flexão
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
• Calcule a 𝝈𝒎á𝒙
Exemplo: Flexão – Diagrama de M
𝑀𝑚á𝑥 =𝑝. 𝐿2
8
𝑀𝑚á𝑥 = ?
V: 15 kN 0
15 kN
+ -
M:
𝑀𝑚á𝑥 = 𝟐𝟐, 𝟓𝒌𝑵.𝒎
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
• Calcule a 𝝈𝒎á𝒙
Exemplo: Flexão – Cálculo de I
𝐼 = 𝐼1 − 2. 𝐼2
𝐼1 =𝑏. ℎ3
12= 0,25. 0,343
12≅ 8,2. 10−4𝑚4
𝐼2 =𝑏. ℎ3
12= 0,115. 0,33
12≅ 2,6. 10−4𝑚4
𝐼 = 8,2. 10−4 − 2.2,6. 10−4
𝐼 = 3,0. 10−4𝑚4
𝑀 = 22,5 𝑘𝑁.𝑚
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
• Calcule a 𝝈𝒎á𝒙
Exemplo: Flexão – Cálculo de 𝝈𝒎á𝒙
𝐼 = 3,0. 10−4𝑚4
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
𝝈𝒎á𝒙 =𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎. 𝟎, 𝟏𝟕
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑
𝝈𝒎á𝒙 ≅ 𝟏𝟐, 𝟕𝑴𝑷𝒂
𝝈 =𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎. 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑
𝝈 = 𝟏𝟏, 𝟐𝑴𝑷𝒂
𝑀 = 22,5 𝑘𝑁.𝑚
• Calcule a 𝝈𝒎á𝒙
Exemplo: Flexão – Cálculo de 𝝈𝒎á𝒙
𝐼 = 3,0. 10−4𝑚4
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰
𝝈𝒎á𝒙 =𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎. 𝟎, 𝟏𝟕
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑
𝝈𝒎á𝒙 ≅ 𝟏𝟐, 𝟕𝑴𝑷𝒂
𝝈 =𝟐𝟐𝟓𝟎𝟎. 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟑
𝝈 = 𝟏𝟏, 𝟐𝑴𝑷𝒂
𝑀 = 22,5 𝑘𝑁.𝑚
FLEXÃO INELÁSTICA
• Momento Elástico Máximo
– Fibra superior e inferior escoando
– Seção transversal também simétrica ao eixo de M
Flexão Inelástica
• Momento Elástico Máximo
– Pela lei de Hooke...
Flexão Inelástica
• Cálculo do Momento Elástico Máximo
– Retangular, em 3D...
Flexão Inelástica
• Cálculo pelo volume
Me = C.d + T.d
• Ou...
𝑴𝒆 = 𝝈𝒆.𝑰
𝒄
𝑴𝒆 = 𝝈𝒆.𝒃. 𝒉𝟐
𝟔
Maior momento resistente “sem estragar”
• Momento Plástico Máximo
– Toda a seção escoando
Flexão Inelástica
• Momento Plástico Máximo
Flexão Inelástica
• Cálculo do Momento Plástico Máximo
Flexão Inelástica
• Cálculo pelo volume
Mp = C.d + T.d
𝑴𝒑 =𝒃. 𝒉𝟐. 𝝈𝒆𝟒
• Fator de Forma: Relação entre Mp e Me
– Para seção retangular:
• No limite, viga retangular aguenta 50% a mais
• Manuais trazem K para cada seção
Flexão Inelástica
𝑴𝒑 =𝒃. 𝒉𝟐. 𝝈𝒆𝟒
𝑴𝒆 =𝒃. 𝒉𝟐. 𝝈𝒆𝟔
𝑲 =𝑴𝒑
𝑴𝒆
𝑲 = 𝟏, 𝟓
CONCLUSÕES
Resumo • Flexão Pura causa uma deformação
– Linear com a distância do eixo
– Provoca tensões lineares com distância do eixo
• A fórmula da flexão permite calcular as tensões normais pelo momento fletor
• Elasto-plásticos: resistência última majorada
• Exercitar: Exercícios Hibbeler
• E em pilares, com mais de um momento?
• Compressão e flexão simultâneas?
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
• Mínimos:
– Exercícios 6.45, 6.50, 6.73, 6.74
• Extras:
– Exercícios 6.51, 6.53, 6.90, 6.94
EXERCÍCIO NO SAVA
Exercício – Entrega Individual
• Calcule a máx na viga abaixo:
1kN/m
5m 5m
10kN
PERGUNTAS?
EXERCÍCIO EM SALA
Exercício – Individual, para Agora! • Trace o diagrama de momento fletor da barra
abaixo e calcule a tensão de tração máxima da barra, com seção quadrada maciça de lado 30cm
5m 100kN 2m
𝝈𝒎á𝒙 ≅ 𝟒𝟒, 𝟒 𝑴𝑷𝒂
140kN
200kN.m
M:
𝝈𝒎á𝒙 =𝑴. 𝒄
𝑰