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  • RESISTNCIA DOS MATERIAIS II

    Prof. Dr. Daniel Caetano

    2012 - 2

    TORO PARTE III

  • Objetivos

    Conceituar e capacitar paa a resoluo de problemas estaticamente indeterminados na toro

    Compreender as limitaes da teoria para o caso de barras macias de seo no circular

  • Material de Estudo

    Material Acesso ao Material

    Apresentao http://www.caetano.eng.br/ (Aula 7)

    Material Didtico Resistncia dos Materiais (Hibbeler) Parte 1 / 2 Pginas 166 a 174.

    http://www.caetano.eng.br/
  • RELEMBRANDO:

    TORO E TORQUE

  • Pelo que vimos at agora...

    =.

    .

    =

    .

    = .

    Frmulas para Toro

    T:

    0 10kN.m

    +

    0

    -

    10kN.m

  • PROBLEMAS DE TORO ESTATICAMENTE

    INDETERMINADOS

  • Similar queles com as tenses axiais...

    Equilbrio esttico?

    = 0

    . + + = 0

    Prob. Estat. Indeterminados

    A

    C

    P

    B

    D

    x

    TA

    TB

    1 equao 2 incgnitas

  • Esforos axiais: compatib. Dos alongamentos

    =.

    .

    Tores: compatibilidade das rotaes

    =.

    .

    Compatibilidade de Deslocamentos

  • Redesenhemos a barra em 2D

    Prob. Estat. Indeterminados

    A

    C

    P

    B

    D

    x

    TA

    TB

    T = P.LCD A TA TB B

    C

  • Vamos dividir nos diagramas de corpo livre

    Pela esttica: = .

    Compatibilidade?

    Ponto C o mesmo em duas barras... Logo...

    C,A = C,B

    Prob. Estat. Indeterminados

    T = P.LCD A TA TB B

    C

    A

    TA

    C

    TA

    C

    TB

    B

    TB

  • Calculando as rotaes

    C,A = C,B

    , =. . = . . = ,

    Logo...

    = .

    Prob. Estat. Indeterminados

    A

    TA

    C

    TA

    C

    TB

    B

    TB

  • Considere o eixo macio abaixo

    Calcule as reaes, sabendo que: o dimetro D=20mm, G=75GPa

    Exemplo

    A

    B

    x

    0,3m

    0,2m

    1,5m

    500 N.m

    800 N.m

  • D=20mm G=75GPa

    Equilbrio esttico

    = 0

    = 0

    =

    Exemplo

    C

    x 0,3m 0,2m 1,5m

    A TA TB B 500 N.m 800 N.m D

  • D=20mm G=75GPa

    Qual a compatibilidade?

    Rotao de B em relao a A = 0: B,A = 0

    Mas... , = , + , + , = 0

    Exemplo

    C

    x 0,3m 0,2m 1,5m

    A TA TB B 500 N.m 800 N.m D

  • D=20mm G=75GPa

    Exemplo Corpo Livre

    C

    0,3m

    A TA

    x 0,3m 0,2m 1,5m

    A TA TB B 500 N.m 800 N.m

    TA

    B

    0,2m

    D TB TB

    C D

    D

    1,5m

    C TA +TC TA +TC

  • D=20mm G=75GPa

    , =.

    .

    , =. .

    Exemplo Rotao

    C

    0,3m

    A TA TA

  • D=20mm G=75GPa

    , =.

    .

    , =( + ). .

    Exemplo Rotao

    D

    1,5m

    C TA +TC TA +TC

  • D=20mm G=75GPa

    , =.

    .

    , = . .

    Exemplo Rotao

    B

    0,2m

    D TB TB

  • D=20mm G=75GPa

    Assim, se... , = , + , + , = 0

    Ento . .

    +( + ). .

    +. . = 0

    . = ( + ). + .

    =. ( + ) + .

    Exemplo

  • D=20mm G=75GPa

    Juntando... =

    =. ( + ) + .

    . ( + ) + .

    =

    Exemplo

  • D=20mm G=75GPa

    Reorganizando... . ( + ) + .

    =

    . + + . = . . .

    . + +. = . . .

    Exemplo

  • D=20mm G=75GPa

    Reorganizando... . + +. = . . .

    . + + = . . ( + )

    =. . ( + )

    + +

    Exemplo

  • D=20mm G=75GPa

    Calculando...

    =. . ( + )

    + +

    =800000.0,2 500000. (0,2 + 1,5)

    1,5 + 0,3 + 0,2

    =800000.0,2 500000.1,7

    2= 345

    Exemplo

  • D=20mm G=75GPa

    Calculando... =

    Mas... =

    = 800000 500000 345000

    = 300000 + 345000 = 645000

    =

    Exemplo

  • EIXOS MACIOS DE SEO NO CIRCULAR

  • Conforme j estudado...

    Toro Pura em Barras Circulares

    Sees permanecem

    planas e paralelas

    entre si

  • Conforme j estudado...

    Toro Pura em Barras Circulares

    Sees permanecem

    planas e paralelas

    entre si

    Infelizmente, no vale para sees genricas!

  • Observe a distoro nas bordas

    Toro Pura em Barras Quadradas

  • Razo: distrib. das tenses de cisalhamento

    Toro Pura em Barras Quadradas

  • Nos cantos, o cisalhamento tem de ser zero!

    Toro Pura em Barras Quadradas

    Cisalhamento na superfcie sempre ZERO!

  • Como calcular?

    Teoria da Elasticidade

    Clculo complexo!

    Compare os resultados

    =2.

    . 3

    =2. .

    . . 4

    Toro Pura em Barras Genricas

  • O eixo abaixo tem uma seo em forma de tringulo equiltero. Determine o maior torque para o adm = 56MPa e para um ngulo de extremidade restrito a adm = 0,02 rad. Considere G = 26GPa.

    Exemplo

    1,2m

    40mm

    60o

  • adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

    Usando as equaes...

    =20.

    3

    56. 106 =20.

    (4. 102)3

    Exemplo

    1,2m

    40mm

    60o

  • adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

    Usando as equaes...

    56. 106 =20.

    (4. 102)3

    =56. 106. 64. 106

    20= 179,2 .

    Exemplo

    1,2m

    40mm

    60o

  • adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

    Usando as equaes...

    =46. .

    . 4

    2. 102 =46. . 1,2

    2,6. 1010. (4. 102)4

    Exemplo

    1,2m

    40mm

    60o

  • adm = 56MPa adm = 0,02 rad G = 26GPa

    Usando as equaes...

    2. 102 =46. . 1,2

    2,6. 1010. (4. 102)4

    =2. 102. 2,6. 1010. 256. 108

    46.1,2= 241,2 .

    Exemplo

    1,2m

    40mm

    60o

  • EXERCCIO

  • Exerccio (Em Dupla)

    A barra abaixo, que possui G = 20GPa no trecho de 3m e G = 60GPa no trecho de 1m, tem R = 10 cm. Calcule as reaes de apoio.

    200kN.m

    3m 1m

  • PARA TREINAR

  • Para Treinar em Casa

    Hibbeler (Bib. Virtual), Pg. 166 a 171

    Mnimos:

    Exerccios 5.75, 5.77, 5.84

    Extras:

    Exerccios 5.76, 5.79, 5.80

    Adote essas converses:

    1 ksi = 7MPa 1hp = 1000W

    1 pol = 25mm 1lb.pol = 0,125 N.m

    1lb.p = 1,5 N.m

  • Para Treinar em Casa

  • CONCLUSES

  • Resumo possvel calcular estruturas estaticamente

    indeterminadas sujeitas toro

    Eixos de seo no circular tm a distribuio da tenso de cisalhamento complexa

    Eixos de seo circular so os mais eficientes na resistncia toro

    Exercitar

    Exerccios Hibbeler

  • Prxima Aula

    Como calcular a resistncia a toro em perfis de paredes finas fechados?

    H concentrao de tenso?

  • PERGUNTAS?

  • BOM DESCANSO A TODOS!