UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas

EM423A – Resistência dos Materiais

Projeto – Tração-Deformação via Medidas de Resistência Professor: Roberto de Toledo Assumpção Alunos: Daniel Robson Pinto RA: 070545 Gustavo de Oliveira Luiz RA: 071086 Rafael Antonio Baron RA: 089962

Resumo: Apresentamos neste relatório uma proposta de sensor dedicado a medição de tensão mecânica a partir de resistência elétrica. É apresentado tanto um modelo teórico que descreve quais os parâmetros que influenciam na variação da resistência, bem como resultados experimentais que relacionam as duas grandezas.

Campinas, 07 de junho de 2010

I) Introdução e Objetivos

A proposta deste projeto é aplicar conceitos de resistência dos materiais visando aplicações práticas de sensoriamento e instrumentação eletrônica.

O projeto está relacionado à medição de resistência elétrica para avaliar qual a tensão mecânica aplicada a uma carga. Utilizamos um fio de cobre como sensor, e baseados no fato de que deformações longitudinais promovam alterações na resistência do fio, podemos avaliar qual a tensão aplicada ao fio.

II) Dependência da resistência com a deformação – Sensores “Strain gage”

Sensores “Strain Gage” são sensores de medição de deformação mecânica. Vários métodos são aplicados industrialmente, mas focamos nosso projeto nos sensores baseados na dependência da resistência elétrica com a deformação mecânica do cobre. Em geral o cobre não é utilizado comercialmente para este fim pois apresenta alta condutividade e pequena região de deformação elástica (tal como mostra a figura 1), no entanto é um material de fácil e barata aquisição, com o qual podemos realizar vários testes e comprovar o efeito em questão.

Figura 1: Curva que mostra ensaio de tensão-deformação para o cobre. Verificamos que a região elástica é válida somente para pequenas deformações, não favorecendo seu uso em aplicações industriais. Fonte: [1].

Para determinarmos uma expressão matemática de como ocorre a variação da resistência com a tensão mecânica aplicada longitudinalmente ao fio de cobre, utilizamos o esquema da figura 2 abaixo e a definição de resistência elétrica:

Figura 2: a) Fio de cobre mostrando as deformações radiais e longitudinais no fio de cobre. b) Área da seção transversal do fio de cobre antes e após uma deformação específica rε .

Da definição de resistência elétrica temos que:

A

lR ρ= (1-a)

Convencionando para nossa situação, sem tensão aplicada:

0

00

A

lR zρ= (1-b)

Onde ρ é a resistividade do material, l é o comprimento do material na

direção longitudinal e A é a área da seção transversal do fio. Para o cobre,

mmmcobre /0172,0 2Ω=ρ

Quando o fio experimenta uma força longitudinal aplicada (logo uma

tensão), a sua seção transversal altera, de modo que para o cobre ela diminui para

rε > 0 (tração) e aumenta para rε < 0 (compressão). Assim, podemos expressar a resistência após uma tensão aplicada:

'

)1()(

A

lR zoz

z

ερε

+= (2)

Onde A’ pode ser escrito como:

AAA ∆+= 0'

Consideramos que a resistividade do cobre se mantém constante, pois a estrutura cristalina do material não é alterada (ou pouco alterada, de modo que os efeitos térmico são muito mais significativos), logo microscopicamente, a mobilidade eletrônica não é afetada. Porém, o comprimento do fio aumenta por um fator zε , e a sua área altera por um fator A∆ .

Para determinarmos a variação na área em função da deformação longitudinal, consideramos a aproximação onde a deformação radial é associada à longitudinal pelo módulo de Poisson.

No primeiro caso consideramos

zr vεε −= (3) Assim, A’, a área da seção transversal após a deformação pode ser escrita

como:

20 )]1([' rrA επ += (4-a)

Relacionando (4-a) com (3), obtemos a área da seção transversal em função

da deformação específica longitudinal:

20 )]1([' zvrA επ −= (4-b)

Substituindo esta nova área da seção transversal na expressão da resistência

dada em (2), obtemos:

20 )]1([

)1()(

z

zoz

zvr

lR

επ

ερε

−

+= , (5-a)

Ou em termos da resistência sem deformação, R0:

20 )1(

)1()(

z

zz

vRR

ε

εε

−

+= , (5-b)

No entanto as eq. 5-a e 5-b podem ser relacionada com a tensão longitudinal

aplicada ao invés da deformação longitudinal específica, tão logo a deformação está associada com a tensão através do módulo de Young:

zz Eεσ = (6) Assim, reescrevemos 5-b como:

20

)1(

)/1()(

z

z

z

E

v

ERR

σ

σε

−

+= (7)

Podemos obter um parâmetro prático muito útil para caracterização de

sensores, onde obtemos uma expressão de R

R∆, onde a variação percentual de

resistência é explicitada, de modo que podemos analisar quais parâmetros mais fortemente influenciam nestas variações.

)(

)( 0

z

z

R

RR

R

R

ε

ε −=

∆ (8-a)

z

vv

R

R

ε/11

21 2

+

−+=

∆ (8-b)

Pela expressão acima, verificamos a correlação entre as propriedades

mecânicas do material (módulo de Poisson e a deformação específica) com as propriedades elétricas (variação de resistência). Portanto, de acordo com a expressão 8-b, devemos escolher os materiais (do ponto de vista construtivo) para sensores Strain Gage a partir de suas características mecânicas, de modo a melhor satisfazer a relação 8-b.

Experimentalmente a eq.5-b será utilizada, pois dispomos de métodos mais

simples de determinar zε do que zσ . Uma curva teórica para a expressão 5-b é traçada abaixo:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.0172

0.0173

0.0174

0.0175

0.0176

0.0177

0.0178

Deformação específica

Resis

tência

elé

tric

a (O

hm

s)

Curva de Resistência em função da Deformação específica para o Cobre. A=1mm2 e L=1m.

Figura 3: Curva da resistência contra a deformação específica longitudinal do cobre considerando a aproximação onde zr vεε −= . Esta curva é a região de uma parábola, e pode ser visto pela equação 5-b. Do gráfico observamos as pequenas variações na resistência elétrica para uma deformação específica grande de 10%. A variação na resistência por este método é de 0,0005 Ohms. Ou seja, inviável praticamente, pois a eletrônica necessária para detectar estas variações é muito cara, e não justifica a utilização do cobre como elemento sensor.

Tais variações na resistência são muito pequenas devido à estrutura cristalina do cobre. O livre caminho médio percorrido pelos elétrons no cobre não é alterado substancialmente quando submetido à deformação, de modo a resultar em pequenas variações de resistência. Os materiais mais indicados para sensores “Strain Gage” são materiais de estrutura amorfa, onde deformações na região elástica alteram de maneira significativa o livre caminho médio percorrido pelos elétrons, e assim variações de resistência podem ser medidas com uma eletrônica mais simples.

Ilustramos abaixo como ocorre qualitativamente o caminho de um elétron em um material de estrutura amorfa e em um material cuja estrutura é cristalina.

Figura 4) Método clássico de análise de condução em materiais sólidos.

Verificamos que as variações de resistência serão muito mais significativas em materiais amorfos, tão logo o livre caminho médio do elétron será muito mais afetado.

A quantidade de choques entre elétron-molécula em materiais amorfos é

muito maior do que em materiais cristalinos, de modo que a velocidade dos portadores de carga (elétrons) é muito maior nos materiais cristalinos. Assim, qualitativamente verificamos que a resistência por unidade de comprimento é significativamente maior nos materiais amorfos, e justificam sua maior utilização nos sensores Strain Gage [7].

Materiais utilizados em sensores comerciais são materiais baseados em ligas de aço-carbono, níquel ou manganês, tal como o Constantan. A composição Constantan é de 55% de Cu (cobre), 44% de Ni (Níquel) e 1% de Mn (Manganês) [5].

III) Resultados experimentais

Tomamos medidas experimentais para um fio de cobre de diâmetro 0,1426mm, ou então fio 35 na escala AWG. Este fio apresenta características abaixo:

- Resistência 1120 Ohm/km - Area da seção transversal A = 0,0154mm2 - Corrente máxima 46mA O aparato experimental está mostrado abaixo:

Figura 5: Arranjo experimental para medir a variação de resistência em função da deformação do material. Utilizamos o fio de cobre preso em um dos extremos a uma referência e no outro extremo uma força aplicada. A força origina uma deformação no fio, e uma roldana é utilizada para proporcionar um fio maior, e assim conseguirmos medir maiores variações de resistência.

Utilizamos um fio com comprimento inicial lo=10,48m. A tabela abaixo mostra os poucos resultados experimentais obtidos.

)(cmδ R( Ω )

0,0 23,0 2,0 23,1 - Elástica 4,0 23,4 - Plástica

Tabela 1: Resultados experimentais para medição de resistência em função da deformação.

O arranjo dos instrumentos está na figura abaixo. Procuramos mostrar as

medidas tomadas:

Figura 6: Fotos da disposição dos instrumentos e das medidas tomadas.

Como previsto na descrição do experimento, a variação da resistência do cobre na

região elástica é muito pequena. Foi possível medir pequenas variações, e as maiores na

deformação plástica. Experimentalmente obtivemos uma razão de variação percentual elástica da ordem de

%13,0≅∆

R

R

As medidas de resistência em função da deformação foram muito poucas devido

à dificuldade na tomada de medidas e na pequena precisão do instrumento utilizado. Como observamos da tabela acima e do gráfico da figura 1, a região elástica é muito pequena, e a tomada de medidas dificultada, pois somente deformações pequenas podem ser medidas. Concluímos através do experimento a ineficácia de materiais cuja estrutura é cristalina para o sensoriamento de deformação em função da variação de resistência do material. Como sugestão para novos testes e desenvolvimento, temos materiais com

região elástica maior, e cuja razão R

R∆ também é maior. Assim materiais como o

constantan, já sugerido, pode ser viável para este tipo de aplicação.

IV) Panorama sobre sensores industriais atuais Strain Gage

Sensores de medição de deformação e tração baseados na variação da resistência elétrica são amplamente empregados em projetos de instrumentação eletrônica. Várias indústrias produzem este tipo de sensores, denominados “Strain Gage”, e alguns links estão disponíveis nas referências bibliográficas. Algumas aplicações são feitas na indústria aeroespacial, indústria de trens, e onde mais seja necessário determinar a deformação do material.

O princípio de funcionamento é o mesmo que apresentado anteriormente, ou seja, a resistividade é constante, porém a dimensão longitudinal é alterada, bem como a área da seção transversal, alterando a resistência. No entanto, a técnica construtiva é diferente, de modo a possibilitar uma produção em grande escala. Abaixo apresentamos os modelos mais convencionais de sensores empregados comercialmente, visto que há uma grande variedades de geometrias:

a) b) c)

Figura 6: Modelos mais comuns de Strain Gages produzidos industrialmente.

Percebemos que a técnica consiste em aumentar a densidade de linhas que sofem a mesma deformação, de modo que a resistência seja mais significativamente alterada, e possibilite medições mais precisas. Ainda, os sensores podem ser dispostos em mais de um eixo, tal como mostrada na figura 3-a. O material geralmente empregado na construção dos sensores é o constantan, uma liga de aço carbono, cuja resistividade é bem maior que a do cobre, permitindo um controle mais acurado das medições e uma maior sensibilidade às variações geométricas da resistência.

Efeitos de variação de temperatura também devem ser considerados, tão logo a dilatação linear de sólidos favorece a alteração na geometria do dispositivo, e logo, na sua resistência. Encontramos alguns dispositivos que possuem uma compensação ao efeito térmico [3].

A ilustração de como as deformações mecânicas comprimem e expandem o sensor, alterando a razão entre o comprimento e a área está abaixo:

Figura 7: a) Ilustra o Strain Gage quando não está submetido a nenhuma tensão. b) Ilustra a situação onde o sensor está submetido a uma expansão (deformação positiva), aumentando a resistência, e c) ilustra a compressão, situação onde a resistência diminui.

Algumas ilustrações de aplicações reais podem ser vistas abaixo:

Figura 8: Sensor de deformação aplicado a um metal.

Figura 9: Sensor aplicado a uma tubulação metálica.

Figura 10: Aplicação na indústria aeroespacial.

Figura 11: Aplicação para medição de deformação em um trem urbano.

V) Referências Biliográficas

[1] - http://www.if.ufrgs.br/~lang/Textos/Elast_plast.pdf - Acesso em 01/06/2010. Curvas experimentais de Tensão-deformação para Cobre e Aço. [2] - http://www.hbm.com/pt/menu/produtos/strain-gages-acessorios/strain-gages/ - Acesso em 01/06/2010 – Empresa portuguesa especializada na fabricação de sensores tipo “Strain Gage”. [3] - http://en.wikipedia.org/wiki/Strain_gauge - Acesso em 01/06/2010. Artigo relacionado a sensores Strain Gage. [4] - http://www.kyowa-ei.co.jp/english/products/gages/index.htm - Acesso em 01/06/2010. – Empresa japonesa especializada na fabricação de sensores tipo “Strain Gage”. [5] - http://www.kyowa-ei.co.jp/english/products/gages/pdf/howsgw.pdf - Acesso em 01/06/2010. Artigo sobre funcionamento dos sensores Strain Gage. [6] - http://www.efunda.com/designstandards/sensors/strain_gages/ - Acesso em 01/06/2010. Outros modelos matemáticos para os sensores Strain Gage. [7] – Cheng, David K. Field and Wave Electromagnetics. Addison-Wesley, 1989. [8] – Eisberg, R., Resnick, J., Física Quântica – Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas. John Wiley & Sons, 1974 - 16ª Tiragem.