resistência dos materiais ii

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

AULA 12 – Capítulo 6 – Flexão

1

Flexão

Fibras longitudinais típicas

2

Superfície Neutra

Linha Elástica

Plano Longitudinal de Simetria

Superfície Neutra

Flexão - Viga Deformada

Seções planas

A linha elástica forma um arco circular

Centro de Curvatura

3

Seções planas permanecem planas (Bernoulli)

Linha Elástica

( )

( ) curvatura de raiox

x

y

=

−=

ρ

ρε x

Compressão

Equação Deformação- Deslocamento

4

( )curvatura

1

curvatura de raiox

==

=

ρκ

ρ

Tração

Deformação e Curvatura

ρ decresce, curvatura e deformação crescem

5

Distribuição de deformação

Compressão

Compressão(εx negativa)

Tração(εx positiva)

6

Tração

Hipóteses relativas a tensão atuante1. Comportamento do Material: linearmente elástico2. Material é isotrópico3. Material segue a lei de Hooke4. As tensões transversais podem ser desprezadas em relação as

tensões de flexão (longitudinais).

Distribuição de tensão

Superfície

Compressão

Tração

M Positivo

Compressão

TraçãoM negativo

7ρσ

ρεεσ

y

y

E

E

x

xxx

−=

−==

Tensão de ãodistribuiç para Fórmulas

Superfície Neutra plano (xz)

Tração Compressão

Distribuição de tensão

8

( )

( ) ∫

∫

−=

=

A

x

A

x

dAyσxM

dAσxF

Tensão de sResultante

( )

( ) ∫

∫

=

=−=

A

A

dAE

M

dAE

F

2yx

0yx

ρ

ρρ

σ yEx −=

Determinação da Superfície Neutra (ou Eixo Neutro)

Centróide da

Compressão acima do EN

9

( )0y

yy

0yx=⇒

=

=−=

∫

∫

AdA

dAE

F

A

Aρ

A superfície neutra passa através do centróide da seção transversal da viga

indeformada.

Centróide da seção transversal

Tração abaixo do EN

Eixo Neutro da seção transversal (eixo z’)

Superfície Neutra (plano xz)

Relação Momento Curvatura



Eixo Neutro da

10

seção transversal




( )

∫

∫

=

=

A

2z

A

2

dAyI

dAyρ

ExM

κEIρ

EIM z

z ==z

x I

Myσ −=






Propriedades de Seções Transversais11

Centróide Posição do eixo neutro

Momento de Inércia Determinação da tensão normal atuante

REVISÃO SOBRE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS

•Centróide de uma área•Momento estático •Momento de inércia (momentos de inércia, polar e misto)misto)•Teorema dos eixos paralelos•Variação dos Momentos de inércia com orientação dos eixos

12

Centróide de uma área

y

∫= AdAy

y

Coordenadas do centróide

∫= AdAz

z

13

z

z

y

dAy

z C ∫=

AdA

y

Momento Estático (primeiro momento da área)

∫= dAyzQ ∫= dAzyQ

∫=

AdA

z

Centróide de uma área

Notas Importantes

•Dimensão do Momento Estático ⇒ [L]3•Eixos centrais - Eixos que passam pelo centróide da seção

•Sinal do Momento Estático ⇒ Positivo, Negativo ou Nulo

14

•O Momento Estático relativo ao eixo central é nulo

Seções com Simetria

C C

Dupla

Cy C

z

Simples

C

Em relação a um ponto

Momento de Inércia da Seção

dAzIA

2y ∫= dAyI

A

2z ∫=

Momento de Inércia em relação ao eixo y e z

Momento de Polar de Inércia

dAρJA

2∫=

y

z C

15

A∫

z

y

z dA

y

ρ

Sabemos porém que: 222 zy +=ρ

Produto de Inércia (Momento de Inércia Misto)

Notas :Dimensão - [L]4

Iy , Iz e J sempre positivos - Iyz positivo, negativo ou nulo

dA)z(yJ 2

A

2∫ +=

dAyzIAyz ∫=

Teorema dos Eixos Paralelos (Steiner)

z0

y0

y0

dA

C== ∫ dAyI

A

211z

Da figura ao lado obtém-se : ayy 01 +=

O momento de inércia em relação ao eixo y1 é dado por:

=+∫ dA)y(aA

20

y1

“O momento de inércia, relativo a um eixo arbitrário, é igual ao momento de inércia relativo ao eixo central, paralelo ao primeiro, mais o produto da área da seção pelo quadrado da distância entre os eixos” 16

z1

a y1

Aa2 zero0zI

0z2

1z IAaI +=

dAydA2aydAaIA

20A 0A

21z ∫∫∫ ++=

Teorema dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia

== ∫ dAzyIA 11Zy

Da figura ao lado obtém-se :azz 01 +=

O produto de inércia em relação aos eixos y1 e z1 é dado por:

=++∫ dA)z(a)y(bA 00

y0

dA

C

b

z1

y0

z0a

byy 01 +=

z0

y1

“O produto de inércia, relativo a um par de eixos arbitrários, é igual aoproduto de inércia relativo aos eixos centrais, paralelos aos primeiros, mais oproduto da área da seção pelas distâncias entre os eixos” 17

== ∫ dAzyIA 11

1Z

1y

abA zero00zyI

0011 zyzy IabAI +=

=++∫ dA)z(a)y(bA 00

dAzydAyadAzbdAabIA 00A 0A 0Azy 11 ∫∫∫∫ +++=

y1

z1

b

zero

Momento de Inércia de Seções Simples

Retângulo

y0

dy

b.dydA =

dyybdAyI2h

2h

2

A

2z0 ∫∫

+

−==

18

C

b

h z0

dy

y

12

bh

3

bzI

32h

2h

3

z0==

+

−

De forma equivalente, tem-se:

12

hbI

3

y0=

Produto de Inércia de um Retângulo

Retângulo

y0

dy.dzdA =2/

2/

22/

2/

22

2h

2b

2bA

zy dydzyzdAyzI00

b

b

h

h

hzy

+

−

+

−

+

−

+

−=== ∫ ∫∫

dy

dz

19

b

h z0

0=00zyI

O produto de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é igual a zero.

C

dyy

z


Círculodρ2πdA ρ=

πDπrdρρ2πdAρJ

44r 32 ==== ∫∫

O momento polar de inércia é dado por :

z

y0

ρ

dρ

r

20

32

πD

2

πrdρρ2πdAρJ

0

3

A

2 ==== ∫∫

Sabe-se que

E que para o círculo

z0ρr

D00 zy IIJ +=

00 zy II =

64

πD

2

JIIJ2I

4

yzz 000===∴=


Anel

)Dπ(D)rπ(rJ

dρρ2πdAρJ

4i

4e

4i

4

r

r

3

A

2

e

e

i

−=−

=

=== ∫∫y0


21

322J ==

z0

De

re

ri

Di ( ) ( )64

DDπ

4

rrπ

2

JIIJ2I

4444

yzz 000

ieie −=−===∴=

E que para o anel00 zy II =

h2h/3


Triângulo1

111 dyh

bydA

h

byD

b

D

h

y =⇒=∴=

4

bhdyy

h

bdAyI

3

1

h 31

21z === ∫∫

O momento de inércia em relação ao eixo y1 é dado por :

z1

D

y1

dy1

12

bh

2

bh

3

h

36

bhIAaII

323

z2

zz 202=⋅

+=∴⋅+=

22

h/3 C

b

4dyy

hdAyI 10 1

A

1z1=== ∫∫

Utilizando o teorema dos eixos paralelos temos:

z2

z0

D

AaIIAaII 2zz

2zz 1001

⋅−=∴⋅+=

36

bh

2

bh

3

2h

4

bhI

323

z0=⋅

−=

y

FE

αααα C

dAz

y

dAzIA

2y ∫= dAyI

A

2z ∫=

Momento de Inércia em relação ao eixo y e z

dAzI 21y ∫=

Momento de Inércia em relação ao eixo y1 e z1

dAyI 21z ∫=

Variação do Momento de Inércia ao girar Eixos

B

23

zααααF

A

E

O

dAzIA 1y1 ∫= dAyI

A 1z1 ∫=

Relação entre os eixos coordenados

AFOEECOEOC1 +=+==z

senαABcosαOA1 +=zz y

AEBFBC1 −==y

senαOAcosαAB1 −=yy z

αα senzcosyy1 −= αα senycoszz1 +=


dAα)ysenαcos(zdAzI 2

AA

21y1 ∫∫ +==

Momento de Inércia em relação ao eixo y1


dAyαsendAyzcosα2senαdAzαcosIA

22

A A

22y1 ∫∫ ∫ ++=

αα senzcosyy1 −=αα senycoszz1 +=

24

dAyαsendAyzcosα2senαdAzαcosIAA Ay1 ∫∫ ∫ ++=

Iy Iyz Iz

senαcosα2IαsenIαcosII yz2

z2

yy1++=

sen2αIcos2α2

II

2

III yz

zyzyy1

+−

++

=

Utilizando-se as seguintes relações trigonométricas, obtém-se:

sen2αsenα2cosα;2

cos2α1αsen;

2

cos2α1αcos 22 =−=+=


dAα)zsencosα(ydAyI 2

AA

21z1 ∫∫ −==

Momento de Inércia em relação ao eixo z1


dAzαsendAyzcosα2senαdAyαcosI 2222∫∫ ∫ +−=

αα senzcosyy1 −=

25

dAzαsendAyzcosα2senαdAyαcosIA

22

A A

22z1 ∫∫ ∫ +−=

Iz Iyz Iy

senαcosα2IαsenIαcosII yz2

y2

zz1−+=

sen2αIcos2α2

II

2

III yz

yzzyz1

−−

++

=


sen2αsenα2cosα;2

cos2α1αsen;

2


Variação do Produto de Inércia ao girar Eixos

( )( )dAyzzyA

αααα sencossencosdAzyIA 11zy 11

+−== ∫∫

Produto de Inércia


( ) dAycosαsenαdAyzαsenαcosdAzcosαsenαIA

2

A A

222zy 11 ∫∫ ∫ +−+−=

αα senzcosyy1 −=αα senycoszz1 +=

26

( ) dAycosαsenαdAyzαsenαcosdAzcosαsenαIAA Azy 11 ∫∫ ∫ +−+−=

Iy Iyz Iz

( ) α)senα(cosIsencosα)I(II 22yzyzzy 11

−+−= α

cos2αIsen2α2

III yz

yzzy 11

+−

=


sen2αsenα2cosα;2

cos2α1αsen;

2


(*)sen2αIcos2α2

II

2

III yz

zyzyy1

+−

++

=

(**)sen2αIcos2α2

II

2

III yz

zyzyz1

−−

−+

=

−

Resumo das Principais Relações

27

*)*(*cos2αIsen2α2

III yz

zyzy 11

+−

−=


11 zy IIJ +=

Somando-se (*) com (**), tem-se :

zyzy IIIIJ11

+=+=

(*)sen2αIcos2α2

II

2

III yz

zyzyz1 −

−−

+=

Momentos Principais de Inércia

Eixos principais de inércia são aqueles para os quais os momentos de inércia Iy1 e Iz1 assumem valores máximos e mínimos

28

Derivando-se a expressão acima em relação a α e igualando-se a zero

0cos2α2Isen2α2

II2

dα

dIyz

zyz1 =−

−=

−=

2

II

I2

zy

yzptg α

I

Iyz

Iyz

(Iy- Iz)/2

2α’p

2α”p

−

=

+

−=

zy

2yz

2

zy

yz

2

II

α'cos2

I2

II

I'sen2

' Para

α

α


Supondo-se (Iy-Iz) e Iyz positivos

I

Iyz

Iyz

2α’2α”

29

+

−=

2yz

2

zy I2

II

2α'cos2

( ) (*)2Icos22

II

2

III yz

zyzyz1 ααα sen−

−−

+=

( ) 2yz

2

zyzyy I

2

II

2

II'I

1+

−−

+=α

I

(Iy- Iz)/2

2α’p

2α”p


Supondo-se (Iy-Iz) e Iyz positivos

−−

+

−=

zy

2yz

2

zy

yz

2

II

I2

II

I-"sen2

" Para

α

αI

Iyz

Iyz

2α’2α”p

30

+

−

=

2yz

2

zy I2

II

2"cos2α

( ) (*)2Icos22

II

2

III yz

zyzyz1 ααα sen−

−−

+=

( ) 2yz

2

zyzyz1 I

2

II

2

II"I +

−+

+=α

I

(Iy- Iz)/2

2α’p

2α p


Notas Importantes

•O produto de inércia em relação a qualquer eixo de simetria é zero

•Para α’ e α” o produto de inércia Iy1z 1 é zero

31

•Qualquer eixo de simetria representa um eixo principal de inércia

•Os momentos principais de inércia e suas respectivas orientações podem ser determinadas de forma conveniente através de um processo gráfico conhecido por Círculo de Mohr

(**)2Icos22

II

2

III yz

zyzyz1

αα sen−−

−=+

−

*)*(*2cosI22

III yz

zyzy 11

αα +−

−= sen

Círculo de Mohr para Momentos de Inércia

Elevando-se ambas equações ao quadrado e somando-as :

32

Elevando-se ambas equações ao quadrado e somando-as :

2yz

2

zy2zy

2

zyz I

2

III

2

III

111+

−=+

+−

ou

( ) 22zy

2z 111

II ra =+−

Equação do Círculo

( ) ( ) 222 rbyax =−+−b

a r

x

y

a

r

Iy1

Iy1z1

Exemplo

10 mm

Determinação do centróide de áreas compostas - Procedimento

•Decompor em áreas simples

•Estabelecer um sistema de eixos y, z

33

50 mm

100 mm

10 mm

•Decompor em áreas simples

•Determinar centróide das áreas simples

•Calcular centróide da seção composta

Exemplo

A1

10 mm

yy1

z1

∫+∫

∫∫ +=

∫

∫=A2

2A1

1

A22

A11

dAdA

dAydAy

dA

dAyy

mm14,37104010100

510405010100y =

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=

34A2

A1

10 mm

50 mm

100 mm

z

z1

y2

z2

y2

z2

y1

mm14,12104010100

301040510100z =

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=

mm14,37104010100

y =⋅+⋅

=

∫+∫

∫∫ +=

∫

∫=A2

2A1

1

A22

A11

dAdA

dAzdAz

dA

dAzz

Exemplo (cont.)

10 mm

y1y0

z =12,14 mm

222y1

21yy AaIAaII

210+++=

22 AbIAbII +++=



35

50 mm

100 mm

10 mm

z1a1

b1

z0

y =37,14 mm

y2

z2

b2a2

222z1

21z AbIAbII

210+++=z

222111 AbaIAbaII221100

+++= zyzyzy

0 0Produto de Inércia em relação aos eixos y0 z0

4mm1,14152380zI =

)1040(2)514,37(12

31040)10100(2)14,3750(12

310010

0zI ⋅−+⋅+⋅−+⋅=

Exemplo (cont.)



10 mm

y1

y0

36

4mm1,2402380yI =

)1040(2)14,1230(12

34010)10100(2)514,12(12

3101000yI ⋅−+⋅+⋅−+⋅=

4mm6,3214280z0yI −=

1040)3014,12)(514,37(10010)514,12)(14,3750(0z0yI ⋅⋅−−+⋅⋅−−−=

Produto de Inércia em relação aos eixos y0 z0

50 mm

100 mm

10 mm

z1

a1

b1

z0

z =12,14 mm

y =37,14 mm

y2

z2

b2a2

Exemplo (cont.)

Círculo de MohrCentro do Círculo a= (Iy0+Iz0)/2=(2,40+14,2)/2x105=8,3x105 mm4

Ponto de Controle A - coordenadas (14.15x105,-3.21x105)

Iyz(x105)

37

Iyz(x10 )

I(x105)r

Imáx= a + r = (8.3+6.7)x105=15 x105mm4

5522 107.610)2.3()3.815.14( xxr =+−=

A=(14.2,-3.2)

a

Exemplo (cont.) - Variação do Momento de Inércia com orientação dos eixos

VARIAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA E PRODUTO DE INÉRCIA COM A ORIENTAÇÃO DOS EIXOS

1000000

1500000

2000000

MO

ME

NT

O D

E IN

ÉR

CIA

(m

m4)

I'y

I'z

I'yz

38-1000000

-500000

0

500000

1000000

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ÂNGULO (GRAUS)

MO

ME

NT

O D

E IN

ÉR

CIA

(m

m4)

-7,0E+05

-6,0E+05

-5,0E+05

-4,0E+05

-3,0E+05

-2,0E+05

-1,0E+05

0,0E+00

1,0E+05

2,0E+05

3,0E+05

4,0E+05

5,0E+05

6,0E+05

7,0E+05

0,0E+00

1,0E+05

2,0E+05

3,0E+05

4,0E+05

5,0E+05

6,0E+05

7,0E+05

8,0E+05

9,0E+05

1,0E+06

1,1E+06

1,2E+06

1,3E+06

1,4E+06

1,5E+06

1,6E+06

1,7E+06

1,8E+06

1,9E+06

2,0E+06

2,1E+06

1500000

2000000

I'y

I'yz

39-1000000

-500000

0

500000

1000000

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

ÂNGULO (GRAUS)

resistência dos materiais ii

Engineering