resistência dos materiais - unl

Introducao

Normas da disciplina

A disciplina de Resistencia de Materiais sera leccionada na sequencia da dis-ciplina de Mecanica, e tem como principal objectivo introduzir os conceitosde tensao, extensao e seguranca de elementos estruturais.

A carga lectiva e distribuıda em aulas teoricas e praticas:

Aulas teoricas Duas aulas por semana

Aulas praticas Duas aulas por semana

A frequencia as aulas praticas e obrigatoria.A avaliacao baseia-se na resolucao de problemas online, num relatorio sobre

um ensaio laboratorial e num exame final. A resolucao correcta de, pelo menos,80% dos exercıcios disponibilizados online e obrigatoria para obter frequencia.

O exame final pode ser substituıdo por dois testes durante o semestre.O peso de cada um destes momentos de avaliacao e:

Relatorio 10% da nota final

Exercıcios online 10% da nota final

Exame ou testes 80% da nota final

i

Capıtulo 1

Introducao ao

comportamento de corpos

1.1 Peca linear

O principal objecto da resistencia dos materiais sao as pecas lineares. Umapeca linear e um objecto tridimensional gerado por uma figura plana que edeslocada ao longo de uma linha com grande raio de curvatura que passano centroide da area plana. Para que seja considerada uma peca linear, ocomprimento da linha tem que ser muito maior que as dimensoes da areaplana. A area plana e denominada por seccao transversal, enquanto a geratrize denominada eixo da barra.

Eixo da barra

Secção transversal

x

y z

Figura 1.1:

Se a seccao transversal for de geometria constante, diz-se que a peca temseccao constante. Se o eixo for um segmento de recta, diz-se que a peca

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS

linear e rectilınea. Se for rectilınea e de seccao constante, a peca linear diz-seprismatica.

Para representar uma peca linear e comum representar-se apenas o seueixo.

Em geral e importante referir um referencial da peca linear. Se esta nao forprismatica, o referencial muda de seccao transversal para seccao transversal.Em todo o caso, e comum definir-se o eixo perpendicular a seccao transversalcomo sendo o eixo dos xx, enquanto os outros dois eixos sao referidos comoeixos yy e zz, como se representa na Figura 1.1

1.2 Grandezas fundamentais

Os conceitos mais fundamentais para a resistencia dos materiais sao a tensaoe a deformacao.

Considere-se como exemplo a situacao representada na Figura 1.2.

Figura 1.2: Adaptado de Beer et al. (2003)

O cabo inclinado apenas esta sujeito a forcas segundo o seu eixo. Estasforcas sao denominadas por forcas axiais ou esforcos axiais. Sujeita a umesforco axial, uma barra aumenta ou dimimui de comprimento, como se re-presenta na Figura 1.3.

Embora este aumento de comprimento possa ser muito pequeno, e dificil-mente observavel, esta sempre presente e e de importancia crucial na analisede solidos.

1.2. GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 3


Considere-se agora que cortavamos a barra por uma plano imaginario, per-pendicular ao eixo da barra. A forca que e transmitida pela barra e distribuıdapor toda a sua seccao, como se representa na Figura 1.4.


A forca e transmitida de uma lado da barra para outro pela seccao. Asforcas aplicadas em cada area infinitesimal denominam-se por tensoes, σ.

Assim a forca P e a resultante das tensoes distribuıdas na seccao Assu-mindo que a tensao e constante na seccao

σ =P

A(1.1)

As tensoes normais, σ sao classificadas em:

tensoes de traccao se provocam um aumento de comprimento


tensoes de compressao se provocam uma diminuicao de comprimento

Mais tarde vamos falar de outro tipo de tensoes (tensoes tangenciais ou decorte).

E fundamental definir uma convencao para os sinais das tensoes normais.Normalmente define-se tensoes de traccao como positivas e de compressaocomo negativas.

As tensoes tem como unidades:

σ =F

A=

N

m2= Pa (1.2)

em Engenharia o Pascal (Pa) e uma unidade muito pequena (100 gramas pormetro quadrado).

E mais comum utilizar-se o kPa ou o MPa

1.3 Limitacoes

A equacao

σ =P

A(1.3)

e valida apenas se a tensao for uniformemente distribuıda na seccao. Con-siderando apenas forcas aplicadas segundo o eixo da barra, isto acontece se:

1. A forca for aplicada no centroide da seccao

2. a seccao for suficientemente distante dos apoios e dos pontos de aplicacaode forcas concentradas

3. nao ocorrerem mudancas de seccao transversal

4. o material for homogeneo e isotropico

Quando a area que se considera tende para zero, a tensao tende semprepara um valor constante. Assim, a definicao correcta de tensao normal e:

Definicao

σ = limA→0

F

A(1.4)

1.4. EXTENSOES 5

Concentracao de tensoes

Se as condicoes anteriores forem cumpridas a tensao normal devida a um es-forco axial e constante na seccao. O que acontece quando temos uma variacaosubita de seccao, como um corte ou um furo. Nesse caso a distribuicao deixade ser constante, com valores da tensao substancialmente mais altos junto aofuro, como se representa na Figura 1.6.

Figura 1.5: Beer et al. (2003)

Figura 1.6:

1.4 Extensoes

Como vimos inicialmente, quando uma barra e sujeita a uma forca de traccao,aumenta de comprimento. Embora possa nao ser observavel a olho nu, istoocorre para todos os materiais. Consideremos a barra representada na Figura1.7.

Se considerarmos apenas metade da barra, ou seja, um troco com metade

do comprimento, o alongamento eδ

2.

Faz sentido definir um alongamento por unidade de comprimento:



ε =δ

L(1.5)

Tal como acontecia com as tensoes, devemos notar que a extensao podevariar de ponto para ponto. Devemos portanto definir a extensao como

Definicao

ε = limL→0

δ

L(1.6)

1.5 Propriedades mecanicas dos materiais

O comportamento real dos materiais e muito complexo. Depende fortementedo tipo de material, das condicoes de fabrico (no caso de materiais manu-facturados) ou das condicoes que levaram a sua formacao, das condicoes decarregamento, e ate da temperatura ou da humidade.

Por essa razao foram definidos testes padrao, que permitem comparar ocomportamento de diferentes materiais. Um dos testes mais uteis consiste emtraccionar um provete ate atingir a rotura, no que e denominado ensaio detraccao. Outros ensaios significativos sao os ensaios de compressao pura e deflexao.

Na Figura 1.9 e apresentado um esquema tradicional para o ensaio atraccao de elementos metalicos.

Um pequeno provete e preso pelas suas extremidades, e e traccionado (ouseja o seu comprimento e aumentado) a velocidade constante.

1.5. PROPRIEDADES MECANICAS DOS MATERIAIS 7


Para um provete em aco, se tracarmos a relacao entre o aumento de compri-mento ∆L e a forca aplicada F , obtemos uma curva semelhante a representadana Figura 1.9.

Variação de comprimento, LD

Forç

a a

plic

ad

a, F

F

F


Se considerarmos um provete com o dobro do comprimento obtemos odobro do alongamento. Se considerarmos um provete com o dobro da area da


seccao obtemos o dobro da forca. Ou seja, os resultados assim obtidos naodependem apenas do material utilizado, mas tambem da geometria do provete.Se queremos obter resultados que sejam utilizaveis qualquer que sejam asdimensoes do provete, temos que converter os resultados para unidades detensao e extensao:

σ =F

A(1.7)

ε =∆L

L(1.8)

Nesse caso obtemos a curva representada na Figura 1.10.

Extensão, e

Tensã

o n

orm

al,

s

F

F

Figura 1.10:

Esta curva nao depende das dimensoes do provete, mas apenas do materialutilizado.

No entanto, este ensaio requer alguns cuidados especiais. De facto, seconsiderarmos a area da seccao inicial, obtemos o que se denomina por tensaonominal. Durante o ensaio, na zona proxima do rotura esta area diminui,como se representa na Figura 1.11. Como tal a tensao real e um pouco maisalta que a assim obtida.

Se se considerar o comprimento inicial, L, obtemos a extensao nominal.No entanto o comprimento aumenta durante o ensaio. Se corrigirmos paraesse comprimento, temos a extensao verdadeira.

A diferenca entre estas grandezas normalmente nao e significativa em pro-blemas de engenharia.

1.6. CLASSIFICACAO DOS MATERIAIS 9


1.6 Classificacao dos materiais quanto ao seu

comportamento mecanico

Acima apresentou-se o comportamento do aco quando sujeito a forcas detraccao. No entanto, outros materiais tem comportamentos completamentediferentes deste.

A primeira distincao em termos de comportamentos mecanicos respeitaa capacidade de alguns materiais de recuperarem as deformacoes apos serretirado o carregamento. Diz-se que um material tem um comportamentoelastico se as deformacoes resultantes de um carregamento desaparecem umavez retirado o carregamento. Um exemplo deste tipo de materiais e a borracha.A curva de carga/descarga e apresentada na Figura 1.12.a.

Outros materiais apenas recuperam parte das deformacoes a que foramsujeitos. Diz-se que parte da deformacao e elastica, enquanto outra parte eplastica.

Um material com capacidade de sofrer grandes deformacoes plasticas antesde atingir a rotura diz-se ductil (barro, aco). Como oposto, temos materiaisque atingem a rotura para pequenas deformacoes plasticas, os materiais frageis(vidro, algumas pedras).

Muitos materiais apresentam, pelo menos no seu ramo elastico, uma pro-porcionalidade entre as tensoes e as deformacoes. Estes dizem-se materiaiselasticos lineares.

Esta lei de proporcionalidade pode ser escrita como:

10CAPITULO 1. INTRODUCAO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS

Extensão, e

Tensã

o n

orm

al,

s

F

F

Extensão, e

Tensã

o n

orm

al,

s

F

F

{

Deformaçãoplástica

Figura 1.12:

σ = Eε (1.9)

em que E e o modulo de elasticidade de Young.

Assim, um maior valor do modulo de elasticidade de Young indica ummaterial que, para o mesmo nıvel de tensao, se deforma menos. Na Tabela1.1 apresentam-se valores do modulo de elasticidade de Young para variosmateriais comuns.

Coeficiente de Poisson

Quando o material e traccionado, alem de um aumento de comprimento, da-seuma reducao da seccao transversal, como representado na Figura 1.13.

A relacao entre a deformacao axial e a transversal e uma propriedade domaterial e e dada por:

ν = −ε′

ε= −

deformacao transversal

deformacao axial(1.10)

Na zona elastica, o coeficiente de Poisson e constante.

Os valores correntes do coeficiente de Poisson para a maioria dos materiaisvariam entre 0.25 e 0.35.

A cortica tem um coeficiente de Poisson proximo de 0, enquanto na bor-racha e proximo de 0.5.

1.6. CLASSIFICACAO DOS MATERIAIS 11

Tabela 1.1:

Material Modulo de Young (E)[GPa]

Borracha 0.01-0.1

Bacteriophage capsids (virus) 1-3

Nylon 2-4

Madeira de carvalho 11.00

Betao de alta resistencia (a compressao) 30.00

Magnesio 45.00

Alumınio 69.00

Vidro 72.00

Bronze 103-124

Titanio 105-120

Plastico reforcado com fibras 150.00

Ferro forjado e aco 190-210

Tungstenio 400-410

Diamante 1050-1200


ν = 0 nao ha variacao de seccao transversal

ν = 0.5 nao ha variacao de volume

O coeficiente de elasticidade de Young e o coeficiente de Poisson definemo comportamento elastico de um material se este for homogeneo e isotropico.

12CAPITULO 1. INTRODUCAO AO COMPORTAMENTO DE CORPOS

Se o comportamento do material variar conforme a direccao, este diz-seanisotropico. Nesse caso temos um modulo de elasticidade para cada direccao.

Se tiver uma conjunto de propriedades numa direccao, e outro conjuntode propriedades em todas as direccoes paralelas diz-se ortotropico (caso dealgumas rochas).

1.7 Variacoes de temperatura

Quando ocorre um aumento de temperatura, os materiais aumentam de com-primento. Podemos considerar este aumento dizendo que:

ε =σ

E+ α ∆T (1.11)

Este aumento de comprimento ocorre em todas as direccoes. g

1.8 Tensoes tangenciais ou de corte

Ja falamos de tensoes normais, ou seja, tensoes perpendiculares a face queestamos a analisar.

No entanto, como vimos anteriormente, o vector da tensao numa face temtambem uma componente tangente a face.

Como exemplo, considere-se o parafuso.


Ao traccionar as duas barras ligadas pelo parafuso, este esta sujeito a umatensao importante, paralela a sua seccao transversal. Podemos falar numatensao tangencial media dada por:

τmed =V

A(1.12)

1.8. TENSOES TANGENCIAIS OU DE CORTE 13

embora a tensao real nunca seja constante

Deformacao por corte

Vamos pensar num pequeno rectangulo sujeito a uma tensao tangencial comose representa na Figura 1.15.

Figura 1.15:

As tensoes tangenciais nao provocam um aumento de comprimento quersegundo x quer segundo y. Mas x e y, que inicialmente eram perpendiculares

(π

2) passam a ter formar um angulo

π

2− γ. O angulo γ e uma medida da

distorcao.Em materiais elasticos lineares a relacao entre a distorcao e linear:

τ = Gγ (1.13)

G =E

2 (1 + ν)(1.14)

em que G e o modulo de distorcao.

Capıtulo 2

Analise de tensoes

A fundamentacao para a analise de tensoes que vai ser realizada nesta disci-plina e bastante complexa. Efectivamente, a base teorica e aplicavel a todosos materiais e portanto muito geral.

Nesta disciplina apenas se analiza parte dessa teoria.

Vamos comecar por pensar num cubo de muito pequenas dimensoes. Se ocubo pertencer a um elemento traccionado, temos o estado de tensao repre-sentado na Figura 2.1.

Figura 2.1:

Por outro lado, podemos ter tensoes tangenciais como as do exemplo doparafuso. Nesse caso teremos o estado de tensao representado na Figura 2.2.

Se tivermos todas as tensoes tangenciais e normais possiveis, temos oestado de tensao representado na Figura 2.3.

Temos portanto nove tensoes nas faces visıveis, e outras 9 nas faces in-visıveis.

15

16 CAPITULO 2. ANALISE DE TENSOES

Figura 2.2:

Figura 2.3:

Por uma questao de equilibro, as tensoes nas faces invisıveis sao iguais masde sentido contrario as das faces visıveis.

Vamos tentar comecar por dar um nome a cada uma destas tensoes. Oprimeiro passo consiste em definir um referencial como o representado naFigura 2.3.

Cada faceta tem o nome do eixo que lhe e perpendicular.

Se a normal exterior coincidir com um eixo, a faceta diz-se positiva. Casocontrario diz-se negativa.

As tensoes sao designadas por dois ındices. O primeiro indica a facetaonde ocorrem, o segundo a sua direccao.

Por equilibrio verifica-se que

17

Figura 2.4:

τzy = τyz (2.1)

τxy = τyx (2.2)

τxz = τzx (2.3)

Ou seja, o estado de tensao num ponto e definido por 6 tensoes.


2.1 Tensor das tensoes

O estado de tensao num ponto e dado por nove componentes, cada uma cor-respondente a tensao numa faceta (x,y,z) segundo uma direccao (x,y,z). Apartida esta parce ser a organizacao tıpida de uma matriz. Na realidade, oestado de tensao e definido por uma entidade um pouco mais geral que umamatriz.

Vamos portanto ver quais sao as entidades matematicas que normalmenteusamos:

Escalares definidos por um valor (massa, temperatura,...)

Vectores: definidos por 2 ou 3 valores (velocidade, forca)

Podemos definir uma grandeza que inclui todos estes e outros mais com-plexos, designada tensor.

De uma forma geral podemos definir:

escalar: tensor de ordem 0

vector: tensor de ordem 1

matriz: tensor de segunda ordem

O estado de tensao e definido por 3 componentes para cada faceta. Fazsentido defini-lo com um tensor de 2a ordem

[τ ] =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

(2.4)

Um caso particular de estados de tensao, e o caso em que uma linha e umacoluna tem todos os valores nulos.

[τ ] =

σx τxy 0τyx σy 00 0 0

(2.5)

Este estado de tensao e denominado estado plano de tensao. E relativa-mente comum e mais simples de analisar.

Devido a igualdade descritas nas equacoes (2.1) a (2.3) ambos os tensoressao simetricos.

2.2. RELACAO TENSAO-EXTENSAO 19

2.2 Relacao tensao-extensao

Como vimos, a relacao tensao-extensao a traccao e constante para cada ma-terial, nao dependendo da forma do provete.

No entanto, esta relacao e extremamente complexa, e raramente pode serutilizada para efeitos praticos.

Na realidade, para aplicacoes correntes considera-se que os materiais temcomportamentos mais simples, como sejam o comportamento elastico linear..

Pode, em alguns casos, existir mais uma parcela nesta equacao. Comefeito, quando um material e sujeito a um aumento de temperatura, o seucomprimento aumenta. Assim:

ε =σ

E+ α × ∆T (2.6)

em que α e o coeficiente de expansao termica, e ∆T e a variacao de tem-peratura.

De um modo generalizado, e desprezando o efeito da temperatura, umabarra sujeita apenas a um esforco axial, apresenta, em cada ponto, as seguintesextensoes:

εx =σx

E(2.7)

εy = −ν ·σx

E(2.8)

εz = −ν ·σx

E(2.9)

Se, inves de uma tensao normal, tivermos tensoes normais nas tres di-reccoes, usamos o principio da sobreposicao de efeitos:

εx =1

E(σx − νσy − νσz) (2.10)

εy =1

E(σy − νσx − νσz) (2.11)

εz =1

E(σz − νσx − νσy) (2.12)

2.3 Equacoes constitutivas

Tal como as tensoes num ponto, as deformacoes podem ser apresentadas sobrea forma de tensor. Assim:


ε =

εx γxy γxz

γyx εy γyz

γzx γzy εz

(2.13)

em que εx e a extensao de uma fibra orientada segundo xx, e γxy e a variacaode angulo entre duas fibras, inicialmente orientadas segundo xx e yy.

O calculo das distorcoes, com base nas tensoes presentes, pode ser descritapor:

τ = Gγ (2.14)

em que G e o modulo de distorcao:

G =E

2(1 + ν)(2.15)

Juntado a componente devido as tensoes tangenciais, a componente devidoas tensoes normais, podemos relacionar tensoes e extensoes por:

��

εx

εy

εz

γxy

γxz

γyz

��

=1

E

��

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 00 0 0 2(1 + ν) 0 00 0 0 0 2(1 + ν) 00 0 0 0 0 2(1 + ν)

��

��

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyz

��

(2.16)

NOTA: Esta expressao e valida para materiais homogeneos, elasticos li-neares e isotropicos

2.4 Tensoes - esforcos

Ate agora, o unico esforco considerado foi o esforco axial. Foi dito, que o es-forco normal era igual a resultante das tensoes normais na faceta. Na realidadetodos os esforcos correspondem a resultante das tensoes na seccao transversal.

Assim, considerando que a seccao transversal corresponde a face perpen-dicular a x:

N =

∫

A

σx (2.17)

O esforco transverso, segundo y, e igual a resultante das tensoes tangenciaissegundo yy. Ou seja,

2.5. FLEXAO 21

Vy =

∫

A

τxy (2.18)

O esforco transverso segundo z, e:

Vz =

∫

A

τxz (2.19)

O momento flector e igual ao momento de todas as tensoes em relacao aoeixo x. As tensoes tangenciais na face intersectam ou sao paralelas a este eixo,portanto o momento e provocado apenas pelas tensoes normais:

My =

∫

A

σxz (2.20)

O momento flector segundo Mz e dado por:

Mz =

∫

A

σxy (2.21)

Por ultimo consideremos o momento torsor.

As tensoes normais nao provocam momento, por serem paralelas ao eixode rotacao. Apenas as tensoes tangenciais provocam momentos. Estes saodados por:

T = Mt =

∫

A

τpρ (2.22)

em que ρ e a distancia ao centro de rotacao, e τp e a componente da tensaoperpendicular ao raio.

2.5 Flexao

Vamos considerar uma barra sujeita apenas a um esforco de flexao.

Vamos comecar por analisar um problema muito simples, como o repre-sentado na Figura 2.5.

A barra vai deformar-se, de um modo semelhante ao representado na Fi-gura 2.6.

Embora saibamos que a resultante das tensoes tem que ser igual ao mo-mento flector na seccao, existe uma infinidade de distribuicoes de tensoes queverificam esta condicao.


Figura 2.5: Flexao

Figura 2.6:

Para resolver este problema considera-se uma assumpcao, que experimen-talmente se verifica realista. Assim, considera-se que um elementos apenas su-jeito a flexao, sofre deformacoes que verificam o principio de Navier-Bernoulli(ver Figura 2.7):

”Sob efeito apenas de flexao, as seccoes transversais da peca linear per-manecem constantes e perpendiculares a linha media.”

Se analisarmos a posicao inicial e final da seccao, verificamos que paraalem de um deslocamento vertical de corpo rıgido, as fibras da zona superioraumentaram de tamanho e da zona inferior diminuıram de tamanho.

Por outro lado, para que as seccoes continuem planas, este aumento oudiminuicao de comprimento, tem que ser uma funcao linear.

Por outras palavras, considerando o referencial representado na Figura 2.9,as extensoes sao:

ε = ε0 + y × αεz + z × αεx (2.23)

2.5. FLEXAO 23

Figura 2.7:

em que αεz e αεy sao as inclinacoes da deformada em torno de z e y, respec-tivamente e ε0 e a extensao ao nıvel do centro de massa.

Sabendo que as tensoes sao dadas por:

σ = E × ε (2.24)

temos:

σ = σ0 + y × θσz + z × θσy (2.25)

Considerando que apenas existe momento flector segundo o eixo z, Mz,e o esforco normal N , e momento segundo y, My sao ambos nulos, podemosescrever:

N =∫

Aσ dA = 0

Mz =∫

Aσ × y dA

My =∫

Aσ × z dA = 0

(2.26)

e que

σ = σ0 + y × θσz + z × θσy (2.27)


Figura 2.8:

Figura 2.9:

Podemos substituir, chegando-se a:

N =∫

Aσ dA = σ0 + y × θσz + z × θσy = 0

Mz =∫

A(σ0 + y × θσz + z × θσy) × y dA

My =∫

A(σ0 + y × θσz + z × θσy) × z dA = 0

(2.28)

Do primeiro termo de (2.38), chegamos a:

N =

∫

A

σ0 + y × θσz + z × θσy dA = 0 (2.29)

⇔ N =

∫

A

σ0 dA +

∫

A

y × θσz dA +

∫

A

z × θσy dA (2.30)

2.5. FLEXAO 25

Passando para fora dos integrais, as constantes, ficamos com:

⇔ N = σ0

∫

A

1 dA + θσz

∫

A

y + θσy

∫

A

z dA (2.31)

⇔ N = σ0

∫

A

1 dA + θσz

∫

A

y + θσy

∫

A

z dA (2.32)

O primeiro integral corresponde a area, os segundo e terceiro termos corre-spondem aos momentos estaticos. Como nos estamos a referir a um referencialcentral estes dois integrais sao nulos.

Assim:

⇔ N = σ0A (2.33)

ou seja

σ0 = 0 (2.34)

Consideremos as outras duas condicoes de equilıbrio:

Mz =∫

A(σ0 + y × θσz + z × θσy) × y dA

My =∫

A(σ0 + y × θσz + z × θσy) × z dA = 0

(2.35)

Utilizando o metodo utilizado anteriormente, temos

Mz = θσz

∫

Ay2 A + θσy

∫

Ay · z dA

My = θσz

∫

Ayz dA + θσy

∫

Az2 dA = 0

(2.36)

⇔

Mz = θσz · Iz + θσyIyz

My = θσzIyz + θσyIz = 0(2.37)

⇔

Mz = θσz · Iz + θσyIyz

My = θσzIyz + θσyIz = 0(2.38)

Se o referencial considerado for um referencial central de inercia, o produtode inercia, Iyz, e nulo. Nesse caso:

⇔

Mz = θσz · Iz

My = θσyIz = 0(2.39)


⇔

θσz = Mz

Iz

θσy = 0

(2.40)

Neste caso o estado de tensao e:

σ = σ0 + y × θσz + z × θσy (2.41)

⇔ σ =Mz

Izy (2.42)

A situacao e algo mais complexa se o referencial nao for principal. Nessecaso, resolvendo o sistema de equacoes:

{

θσz =Iy ·M

Iz · Iy−Iyz2

θσy = −Iyz M

Iz Iy−Iyz2

(2.43)

Logo a tensao e dada por:

σ =Iy ·M

Iz · Iy − Iyz2 · y −

Iyz M

Iz Iy − Iyz2 · z (2.44)

Esta expressao e relativamente complexa, e portanto, por regra, considera-se um referencial central principal de inercia.

Quando se esta a analisar sistemas em que se pode considerar que todosos materiais sao elasticos lineares, podemos considerar o principio da sobre-posicao de efeitos.

Assim, uma seccao sujeita a um momento flector segundo um eixo principalapresenta o diagrama de tensoes representado na Figura 2.10.

Figura 2.10:

Assim, se tivermos mais que um esforco aplicado, podemos considerarque as tensoes resultantes de todos os esforcos sao iguais a soma das tensoesprovocadas por cada um deles.

2.5. FLEXAO 27

Assim, sabemos que um esforco axial provoca uma tensao dada por:

σN =N

A(2.45)

Considerando um referencial principal, (y, z):

σMz = ±Mz · y

Iz(2.46)

Por analogia

σMy = ±My · z

Iy(2.47)

Logo, se todos os esforcos existirem em simultaneo, temos

σ =N

A±

Mz · y

Iz

±My · z

Iy

(2.48)

Note-se que os sentidos das tensoes devidas aos momentos flectores depen-dem dos eixos definidos. Como tal e mais definir o sentido das tensoes emcada ponto considerando os esforcos na estrutura a ser analisada.

Em funcao dos esforcos presentes, diz-se que temos flexao:

simples Apenas momento flector segundo um dos eixos principais de inercia;

desviada Momento flector segundo um eixo qualquer, mas sem esforco axial;

composta Esforco axial e momento flector segundo um dos eixos principaisde inercia;

composta desviada Esforco axial e momento flector segundo um eixo qual-quer;

A flexao simples e comum em vigas de edifıcios, enquanto a flexao compostae a flexao composta desviada sao comuns em pilares de edifıcios.


Exemplo

Considere a seccao representada na Figura 2.11, sujeita a um momento posi-tivo igual a 150 kN.

Calcule as tensoes instaladas na seccao, considerando:

Iy = 0.21517 m4 (2.49)

Iz = 0.317708 m4 (2.50)

Figura 2.11:

Considerando que estamos em flexao simples:

σ =M

Iz (2.51)

Sabendo que um momento positivo provoca traccoes nas fibras inferiores,temos, para a fibra inferior e superior, respectivamente:

σi =150

0.21517× 0.90625 = 631.8kPa (2.52)

σs =150

0.21517× 0.59375 = 413.917kPa (2.53)

2.5. FLEXAO 29

Figura 2.12:

Exemplo

Agora consideremos que temos dois momentos, como representado na Figura2.13.

Figura 2.13:

O momento de 150 kN.m provoca as tensoes que calculamos anteriormente.O outro momento provoca:

σ =M

Iz (2.54)

σe = σd =180

0.3177080.75 = 424.92kPa (2.55)


Figura 2.14:

Assim, a tensao em cada ponto da seccao e dada pela soma das tensoesprovocadas por cada um dos momentos. Assim, a tensao na extremidadesuperior direita e:

σ = −413.92 − 424.92 = −838.84kPa (2.56)

Na extremidade inferior esquerda, a tensao e:

σ = 631.77 + 424.92 = 1056.7kPa (2.57)

A verificacao da seguranca pode ser, em alguns materiais, feita comparandoa tensao maxima numa seccao com uma tensao resistente.

Em flexao simples a tensao maxima ocorre sempre na fibra mais afastadado centro de massa. Assim:

σmax =M

Iy

zmax (2.58)

Podemos definir um termo, designado modulo de flexao elastica, como:

Wel =Iy

zmax(2.59)

2.6. SECCOES EFICIENTES 31

e nesse caso a equacao acima passa para:

σmax =M

Wel

(2.60)

2.6 Seccoes eficientes

A seccao mais eficiente a flexao, seria aquela com um modulo de flexao elasticomais alto, para uma area transversal mais baixa. Uma analise relativamentesimples mostraria que a seccao mais eficaz seria semelhante a representada naFigura 2.15.

Figura 2.15: Seccao eficiente

Esta forma e semelhante a dos perfis metalicos mais comuns. No casodo betao uma forma deste tipo e quase impossıvel de produzir, e portantousam-se em geral formas menos eficientes, como sejam formas rectangulares.

2.7 Linha Neutra

Uma das propriedades mais importantes das seccoes submetidas a flexao, e alinha neutra ou eixo neutro.

A linha neutra corresponde ao lugar geometrico de todos os pontos queestao sujeitos a tensao normal nula.

Para calcular a linha neutra, basta igualar a equacao 2.67 a zero e resolverem ordem a y e z.

σ =N

A±

Mz · y

Iz±

My · z

Iy= 0 (2.61)


A resolucao e relativamente simples, no caso de flexao simples. Como N eMy sao nulas, temos:

Mz · y

Iz= 0 (2.62)

Obtendo-se:

y = 0 (2.63)

Ou seja, se apenas existir momento flector segundo um eixo principal, alinha neutra coincide com esse eixo.

No caso de flexao composta (ou seja, apenas um momento e esforco axial),temos:

σ =N

A±

Mz · y

Iz

= 0 (2.64)

ou seja,

σ = K1 + K2y = 0 (2.65)

Ou seja, a linha neutra e paralela ao eixo principal, mas nao passa nocentro de massa (y 6= 0).

No caso de flexao desviada, (My e Mz), temos:

σ = ±Mz · y

Iz±

My · z

Iy= 0 (2.66)

ou seja

σ = K1 z + k2 y = 0 (2.67)

Ou seja, a linha neutra passa pelo centro de massa, mas nao e paralela anenhum dos eixos principais.

Ate aqui assumimos:

• Tensao proporcional a distancia ao eixo neutroIsto so e verdade para elementos homogeneos no regime elastico. Nao everdade para elementos plastificados ou heterogeneos

• Seccoes permanecem planasCorrecto longe de variacoes de seccao, cargas concentradas, e efeito dascondicoes de fronteira

2.7. LINHA NEUTRA 33

Exemplo

Calcule a posicao da linha neutra de uma seccao rectangular de altura 0.5me largura 0.3m, a qual esta aplicado um momento segundo o eixo de maiorinercia de 100kN.m, como se representa na Figura 2.16.

0.3 m

0.5 m100 kN.m

Figura 2.16:

A inercia e dada por:

Iy =bh3

12= 0.003125m4 (2.68)

As tensoes na seccao sao dadas por:

σ =M z

I=

100z

0.003125(2.69)

A linha neutra e dada por

σ = 32000 z = 0 (2.70)

Ou seja

z = 0 (2.71)

Ou seja, como foi referido anteriormente, a linha neutra coincide com oeixo principal segundo o qual e aplicado o momento.


0.3 m

0.5 m100 kN.m

Figura 2.17:

Exemplo

Calcule a posicao da linha neutra de uma seccao rectangular de altura 0.5me largura 0.3m, a qual esta aplicado um momento segundo o eixo de maiorinercia de 100kN.m e segundo o eixo de menor inercia de 50kN.m.

A inercia segundo o eixo de menor inercia e dada por:

Iy =b3h

12= 0.001125m4 (2.72)

As tensoes na seccao sao dadas por:

σ =My z

Iy+

Mz y

Iz=

100z

0.003125+

50y

0.001125(2.73)

A linha neutra e dada por

σ = 32000 z + 44444.44444 y = 0 (2.74)

Um dos pontos que verifica esta equacao e

(y, z) = (0, 0) (2.75)

outro pode ser obtido, admitindo que y = 0.25m, nesse caso:

σ = 32000 z + 44444.44444 · 0.25 = 0 (2.76)

Ou seja

z = −0.3472m (2.77)

2.8. FORCAS EXCENTRICAS 35

Ou seja, como foi referido anteriormente, a linha neutra passa no centrode massa, mas nao e paralelo a nenhum dos eixos principais.

A linha neutra tem algumas propriedades que a tornam particularmenteimportante para a engenharia civil, nomeadamente:

A linha neutra divide o espaco em duas regioes. Uma destas

zonas esta toda comprimida, enquanto a outra esta toda trac-

cionada.

Como o diagrama de tensoes normais numa seccao e linear, e

a linha neutra e uma isolinha, as tensoes num ponto sao propor-

cionais a distancia a linha neutra.

Como tal, se a linha neutra estiver fora da seccao, todos os pontos daseccao estao comprimidos ou traccionados.

O comportamento de muitos materiais e substancialmente diferente a traccaoe a compressao. Portanto e importante saber em que situacoes a linha neutraintersecta a seccao ou nao.

2.8 Forcas excentricas

Consideremos que temos apenas uma forca de compressao aplicada, mas queesta pode ser aplicada em qualquer ponto da seccao.

Figura 2.18: Accao de uma forca excentrica

Para converter esta forca em esforcos, temos que considerar que ela, alemde comprimir a barra tambem provoca flexao.


Figura 2.19:

Os esforcos na seccao sao:

N = −F (2.78)

My = F · ez (2.79)

Mz = F · ey (2.80)

(2.81)

σ =N

A±

Mz · y

Iz±

My · z

Iy= 0 (2.82)

Obtemos

F

A+

F · ey · y

Iz

+F · ez · z

Iy

= 0 (2.83)

Dividindo todos os termos por FA

temos:

1 +ey · y

i2z+

ez · z

i2y= 0 (2.84)

2.9. CALCULO DO NUCLEO CENTRAL 37

em que iy e o raio de giracao dado por:

iy =

√

Iy

A(2.85)

Conforme o ponto de aplicacao da carga se vai aproximando do centro demassa, a linha neutra vai-se afastando do centro de massa.

Isto quer dizer que para uma forca de compressao aplicada no centro demassa, toda a seccao esta comprimida.

Ao lugar geometrico dos pontos para os quais a linha neutra nao intersectaa seccao, chama-se nucleo central.

Quando uma carga e aplicada no nucleo central, toda a seccao esta com-primida ou traccionada.

2.9 Calculo do nucleo central

Se considerarmos todas as rectas que nao intersectam a seccao, vemos queestas sao limitadas pela contorno convexo da seccao.

O contorno convexo e a menor figura geometrica que incluindo a seccao, ee convexa. Uma figura e convexa se quaisquer dois pontos poderem ser unidos,sem que o segmento de recta que os une saia da figura.

A cada lado do contorno convexo corresponde um vertice do nucleo centrale a cada vertice do contorno corresponde uma lado do nucleo central.

Assim o calculo do nucleo central pode ser feito calculado qual o pontode aplicacao da carga cuja linha neutra corresponde a cada lado do contornoconvexo.

O nucleo central e sempre uma figura convexa, que inclui o centro demassa, e com tantos vertices quanto o numero de lados do contorno convexo.

O primeiro passo consiste em calcular o contorno convexo da figura a seranalisada.

Figura 2.20:


Figura 2.21:

Os vertices do nucleo central podem ser encontrados determinando o pontoonde deve ser aplicada uma forca excentrica de modo a que o linha neutracoincida com os lados no contorno convexo.

Exemplo

Calcule o nucleo central de um rectangulo de largura b e altura h.

Figura 2.22:

O contorno convexo corresponde ao proprio rectangulo.

Portanto o contorno convexo e definido por 4 rectas.

Consideremos o lado 1. A linha neutra e caracterizada pela equacao:

{

z = −h/2y qualquer

(2.86)

2.9. CALCULO DO NUCLEO CENTRAL 39

Figura 2.23:

Considerando a equacao da linha neutra

1 +ey · y

i2z+

ez · z

i2y= 0 (2.87)

Substituindo pela equacao da recta obtemos:

1 +ey · y

i2z+

ez ·h

2i2y= 0 (2.88)

Reorganizando, temos:

1 +ez · h

2i2y+

ey · y

i2z= 0 (2.89)

Os momentos de inercia da figura sao:

i2y =h2

12i2z =

b2

12(2.90)

Logo:

1 +ez · h

2h2

12

+ey · y

b2

12

= 0 (2.91)

Esta equacao tem a forma:

A + By = 0 (2.92)


E tem que se verificar para todos os valores de y.

Por exemplo tem que se verificar para y = 0. Nessa caso

1 +ez ·h

2h2

12

= 0 (2.93)

E para y = 1. Nesse caso:

ey · 1b2

12

= 0 (2.94)

Daqui verifica-se que:

{

ey = 0

ez = −2h2

12

h= −h

6

(2.95)

Repetindo para os outros 3 lados, obtemos:

Figura 2.24:

2.10. FLEXAO EM ELEMENTOS HETEROGENEOS 41

2.10 Flexao em elementos heterogeneos

Quando um elementos heterogeneo e sujeito a flexao, a hipotese de Bernoulliainda se verifica. Ou seja, a seccao continua plana e perpendicular ao eixo.Por outras palavras, as extensoes tem uma distribuicao linear, como vimospara as seccoes homogeneas. Ja as tensoes deixam de ter distribuicao linear.

Consideremos a seccao abaixo representada na Figura 2.25.

Figura 2.25:

Nesta figura considera-se que o elementos e constituıdo por dois materiais,em que o material a sombreado tem um modulo de elasticidade mais pequenoque o a branco.

Sabendo que o diagrama de extensoes e linear, e que a tensao e o produtoda extensao pelo modulo de elasticidade, podemos concluir que o diagrama deextensoes e tensoes vai ser semelhante ao representado na Figura 2.26.

Podemos analisar estas tensoes considerando uma seccao homogeneizada.Ou seja, a parte da seccao constituıda por um dos materiais e substituıda poruma regiao equivalente de outro material.

Vamos considerar que toda a seccao e constituıda pelo material 1. A zonaconstituıda pelo material dois e mais rıgida e para ter as mesmas propriedadese ser constituıda pelo material 2, devia ser mais larga.


Figura 2.26:

Figura 2.27:

Em que a nova largura e dada pela largura inicial multiplicada pelo factorde homogenizacao, m. O factor de homogenizacao e:

m =E2

E1(2.96)

Se calcularmos a inercia homogeneizada, temos:

I = I1 + I2 × m (2.97)

As tensoes no material 1 sao agora dadas por:

σ1 =M

Iz (2.98)

e no material 2 (o que foi substituıdo) por

σ2 = mM

Iz (2.99)

Este procedimento pode ser utilizado em flexao composta, ou compostadesviada.

2.10. FLEXAO EM ELEMENTOS HETEROGENEOS 43

Deve ter-se em atencao que no caso de flexao desviada a analogia dareducao da largura da seccao deixa de ser verdadeira.

Por outro lado, se a seccao nao for simetrica, e necessario calcular o centrode massa homogeneizado.

Basicamente o principio basico consiste em multiplicar todas as proprieda-des do material (area, inercias e tensoes) pelo coeficiente de homogenizacao.

Capıtulo 3

Torcao

Como o proprio nome indica, o momento torsor tende a fazer torcer umabarra linear, e apenas surge em estruturas tridimensionais.

Figura 3.1: adaptado de ?

Anteriormente foi referido que a distribuicao de tensoes tem que ser talque a sua resultante seja equivalente ao momento torsor. Ou seja:

Mt =

∫

A

τtρ dA (3.1)

em que ρ e a distancia ao centro e τt e a tensao perpendicular ao vector queune o centro ao ponto.

No entanto, ha uma infinidade de distribuicoes que correspondem a isto.Para algumas seccoes e possıvel obter distribuicoes exactas de tensoes,

para outras, nem tanto.

45

3.1. TORCAO DE COULOMB

O caso mais simples, corresponde acom simetria radial.

3.1 Torcao de Coulomb

Quando se considera uma seccao axissimetrica (ou seja com simetria radial)sujeita a momento torsor, podemos dizer por simetria:

1. Todas as seccoes rodam em torno do seu centro;

2. as seccoes permanecem circulares;

3. Qualquer raio permanece recto;

4. O angulo entre dois raios nao e alterado.

Devido as pequenas rotacoes pode-se admitir que o comprimento dabarra e dos raios nao sao alterados.

Estas hipoteses, avancadas por Coulomb, sao equivalentes a considerarque cada seccao se comporta como um disco rıgido.

Considere-se um veio cilındrico sujeito a torcao representado na Figura3.2.


Se repararmos no angulo que cada linha longitudinal faz com uma li-nha transversal verificamos que o angulo que inicialmente era 90◦e agoradiferente.

46

CAPITULO 3. TORCAO

Se nos lembrarmos que a distorcao, γ e a variacao de angulo entre duasfibras inicialmente perpendiculares, chegamos a conclusao que este angulo ea distorcao. A distorcao esta relacionada com a tensao tangencial por:

τ = G · γ (3.2)

em que G e o modulo de distorcao.


Consideremos que a linha transversal (correspondente ao perımetro deum cırculo) nao muda de posicao (deforma-se como disco rıgido). Entaouma linha inicialmente horizontal, como a linha AB na Figura 3.4, passapara a posicao AB’.

O angulo desta linha com um perımetro do cırculo, inicialmente 90, passapara 90 − γ.

O angulo γ e dada por:

47

3.1. TORCAO DE COULOMB

Figura 3.4:

γ = tan−1BB′

AB(3.3)

Assumindo angulos muito pequenos, podemos dizer que o angulo e iguala sua tangente. Nesse caso temos:

γ =BB′

AB(3.4)

A distancia BB’ e igual a

BB′ = ρ × ϕ × dx (3.5)

em que ϕ

e a rotacao entre a seccao que passa por A e a que passa por B, e dx ea distancia entre a seccao que passa por A e B.

Logo substituindo a equacao (3.5) em (3.4)

γ =ρϕ

dx(3.6)

Sabendo que as tensoes sao proporcionais as distorcoes, temos:

τ = G · γ = G ·

ρ.ϕ

dx(3.7)

Isto quer dizer que as tensoes variam linearmente com a distancia aocentro como se representa na Figura 3.5.

Sabemos que as tensoes sao proporcionais ao raio:

τ = ρτ0 (3.8)

48

CAPITULO 3. TORCAO


em que τ0 e uma constante.

Como sabemos que:

∫

τρ = MT (3.9)

Podemos rescrever a equacao como:

∫

(ρ.τ0)ρ = MT (3.10)

Obtendo-se

τ0 =MT∫

ρ2=

MT

Ip=

MT

Ix + Iy(3.11)

Logo

τ =MT

Ipρ (3.12)

em que Ip e a inercia polar, MT e o momento torsor e ρ e a distancia aocentro de massa.

NOTA: Esta formulacao so pode ser utilizada para seccoes com simetriaradial.

49

3.2. ANALOGIAS

3.2 Analogias

3.2.1 Analogia da membrana

Quando barras sem simetria radial sao sujeitas a torcao, o campo de tensoese extremamente difıcil de calcular. Com efeito, quando uma barra semsimetria e sujeita a um momento torsor, as seccoes deixam de se planas, ouseja, empenam.

O campo de tensoes pode ser descrito por uma equacao diferencial, de-nominada equacao de Poisson, mas esta nao tem em geral solucao analıtica.

Existem outros fenomenos que se regem pela mesma equacao. Emboraesta nao seja soluvel, as conclusoes e observacoes num destes problemas, evalido nos outros.

Um destes fenomenos e o equilıbrio de uma membrana sujeita a pressaouniforme.

Por outras palavras, o calculo da posicao de uma membrana (um balaoou bolha de sabao) quando sujeito a pressao constante tem a mesma equacaodo campo de tensoes devidas a um momento torsor.

Se a membrana tiver a mesma geometria da seccao transversal, e se cheiade ar (tal como um balao), entao:

1. o momento torsor e proporcional ao volume abaixo da membrana;

2. a tensao tangencial e dada pela inclinacao da membrana.

Esta analogia, inicialmente proposta por Prandtl foi durante anos utili-zada para o calculo de seccoes complexas sujeitas a momento torsor, comosejam tabuleiros de pontes. Hoje em dia, um computador consegue resolvera equacao de Poisson sem grandes dificuldades. No entanto a analogia eainda util para facilitar a visualizacao do problema.

50

CAPITULO 3. TORCAO

Beer et al. (2003)

Figura 3.6:

3.2.2 Analogia hidrodinamica

Outra analogia interessante, e a analogia hidrodinamica.

Considere-se uma seccao de forma qualquer sujeita a momento flector.Considere um tubo com a mesma forma e comprimento infinito. Se essetubo for cheio com um liquido nao viscoso e incompressıvel, sujeito a rotacao,verifica-se que a velocidade do fluido e proporcional a tensao em cada ponto,e tem a mesma direccao.

Figura 3.7: adaptado de Cervera Ruiz and Blanco Dıaz (2001)

51

3.3. SECCOES NAO AXISIMETRICAS

3.3 Seccoes nao axisimetricas

O campo de tensoes devidas ao momento torsor em barras sem simetriaradial apenas pode ser calculado aproximadamente, e mesmo assim apenasem alguns casos.

3.3.1 Seccoes rectangulares

As tensoes numa barra rectangular variam de acordo com as dimensoes daseccao, tendo uma distribuicao semelhante a representada na Figura 3.8.


A tensao maxima e dada por:

τmax =C1 ·T

h.b2(3.13)

Com C1 dado por:hb

1 1.5 2 2.5 3 4 5 10 +∞

C1 4.8 4.33 4.06 3.88 3.74 3.54 3.44 3.2 3

52

CAPITULO 3. TORCAO

3.3.2 Seccoes de parede fina aberta

Consideremos um rectangulo de espessura muito fina. Pela tabela que vimosanteriormente, podemos expressar as tensoes maximas como

τmax =3 ·T

h b2(3.14)

Se formos dobrando a seccao, nao ha alteracoes nas tensoes.Portanto para uma seccao de parede fina aberta, a tensao e dada por:

(τmax)j =ej

1

3

∑

bie3

i

Mt (3.15)

Podemos considerar, sem cometer grandes erros, que a distribuicao detensoes na espessura da parede, e neste caso


3.3.3 Seccoes de parede fina fechada

Podemos assumir que as tensoes tangenciais sao constantes na espessura eque o fluxo e constante em todos os pontos da parede.

Entao

Mt =

∮

τ · e · ρ = 2Am · τ · e (3.16)

53


em que Am e a area limitada pela linha media.

Ou seja, a tensao e dada por:

τ =Mt

2Ame(3.17)

Exemplo

Considere as seccoes transversais representadas na Figura 3.10, todas coma mesma area. Calcule a tensao maxima em cada uma delas devida a ummomento torsor de 10 kN.m.

Figura 3.10:

Calculemos a tensao maxima em cada seccao:

Figura 3.11:

A tensao e dada por:

τ =Mt × ρ

Ip(3.18)

54

CAPITULO 3. TORCAO

Ip = Ix + Iy = 2 ×

(

π D4

64

)

= 5.73 × 10−6m (3.19)

Assim a tensao maxima e:

τmax =10 × 0.0437

5.73 × 10−6= 76284.4kPa (3.20)

Figura 3.12:

Podemos considerar que e uma seccao de parede fina ou utilizar a simetriaradial. Usando a simetria

τ =Mt × ρ

Ip

(3.21)

Ip = Ix + Iy = 2 ×

(

π(

D4e − D4

i

)

64

)

= 5.49 × 10−5m (3.22)

τmax =10 × 0.1005

5.49 × 10−5= 18314.2kPa (3.23)

Considerando que e uma seccao de parede fina:

τ =Mt

2 ·Am · e(3.24)

Am = π · r2 = π · 0.09552 = 0.0287m (3.25)

Logo

55


τ =10

2 · 0.0287 · 0.01= 17450.7kPa (3.26)

Ou seja, considerando que a seccao e de parede fina temos um pequenoerro.

Figura 3.13:

Considerando que e uma seccao de parede fina fechada:

τ =Mt

2 ·Am · e(3.27)

Am = 0.152 = 0.0225m (3.28)

Logo

τ =10

2 · 0.0225 · 0.01= 22222.22kPa (3.29)

Considerando que e uma seccao de parede fina aberta:

(τmax)j =ej

1

3

∑

bie3

i

Mt (3.30)

∑

bie3

i = 6 × 10−7 (3.31)

Logo

τ =0.01

1

3× 6 × 10−7

10 = 500000.00kPa (3.32)

56

CAPITULO 3. TORCAO

Figura 3.14:

Tabela 3.1:Circular compacta 76284.4

Circular de parede fina 18314.2 17450.7

Parede fina rectangular 22222.2

Perfil em I 500000.0

57


58

Capıtulo 1

Esforco transverso

Como vimos anteriormente, o esforco transverso e a resultante das tensoes tangenciais:

Vy =

∫

A

τxy dA (1.1)

Vz =

∫

A

τxz dA (1.2)

Vimos tambem que, por equilıbrio:

τxy = τyx τxz = τzx τyz = τzy (1.3)


Esta condicao, embora necessaria, nao e suficiente para definir o estado de tensao devido ao esforcotransverso.

A igualdade entre as tensoes tangenciais em duas faces, representada acima, mostra ainda que astensoes no bordo da seccao tem que ser paralelas a este. Se esse nao fosse o caso, existiriam tensoes naface da peca o que e impossıvel....

Vamos comecar por analisar uma viga constituıda por duas tabuas de madeira, que podem ou naoestar pregadas uma a outra.

Como e facil de concluir desta figura, a existencia de uma ligacao entre as duas tabuas altera ocomportamento do sistema. Ou seja, a ligacao esta sujeita a tensoes, e portanto, numa viga a flexao

1

1.1. TEORIA DE COLLINGNON

Figura 1.2: Cervera Ruiz and Blanco Dıaz (2001)

simples existem tensoes tangenciais na direccao do eixo da viga. Por equilıbrio, tambem tem que existirtensoes tangenciais verticais, na seccao transversal.

1.1 Teoria de Collingnon

Vamos considerar uma barra sujeita a flexao e a esforco transverso.

Figura 1.3:

Se considerarmos duas seccoes transversais muito proximas (A e A’), temos momentos flectores ligei-ramente diferentes. Como tal, teremos tambem tensoes normais ligeiramente diferentes.

Figura 1.4:

Vamos agora considerar o equilıbrio do troco entre estas duas seccoes, A e A’.

Vamos agora cortar este troco por um plano horizontal, como representado na Figura 1.6. As regioesassim obtidas tem de estar em equilıbrio.

2

CAPITULO 1. ESFORCO TRANSVERSO

Figura 1.5:

Figura 1.6:

Para que exista equilıbrio, a resultante de todas as tensoes horizontais abaixo do corte tem que sernula.

Chamemos a parte da seccao transversal abaixo do corte (plano vertical) A, e a seccao horizontal B.Nesse caso:

∫

A

My

Iyz +

∫

B

τ −

∫

A

My + dMy

Iyz = 0 (1.4)

3


Figura 1.7:

Figura 1.8:

Logo:

∫

B

τ −

∫

A

dMy

Iy

z = 0 (1.5)

Passando para fora do integral as constantes, temos:

dx

∫

C

τ −

dMy

Iy

∫

A

z = 0 (1.6)

Sabendo que∫

Az e o momento estatico relativo ao eixo y, Say, podemos simplificar como:

∫

C

τ =dMy

dx

Say

Iy

(1.7)

Sabendo que a derivada do momento flector dMx/dx e o esforco transverso, obtemos:

f =

∫

C

τ = VSay

Iy

(1.8)

em que Iy e a inercia da seccao transversal, e Say e o momentos estatico da regiao acima ou abaixo docorte ao longo do qual se calculam as tensoes.

Esta deducao mostra que, se partirmos uma seccao transversal em duas, o fluxo de tensao e dado por:

f =

∫

C

τ = VSay

Iy(1.9)

O fluxo pode ser visto como a soma das tensoes perpendiculares ao corte, ao longo deste. Comoexemplo considere-se uma viga constituıda por 3 tabuas pregadas umas as outras, como representado

4


na Figura 1.9. Calcule a resistencia que tem que ter a ligacao entre as tabuas, admitindo um esforcotransverso de 500kN.


Podemos calcular a soma da forca de corte entre a tabua de cima e a alma, usando:

f =

∫

C

τ = VSay

Iy

(1.10)

Assim


em que

Say = A · zg = (0.020 × 0.100) × 0.060 = 120 × 10−6m3 (1.11)

A momento de inercia da figura em relacao ao eixo horizontal baricentrico e dada por:

Iy =0.1 × 0.143

12−

0.1 × 0.103

12+

0.02 × 0.103

12= 16.20 × 10−6m4 (1.12)

5


Logo o fluxo de corte e:

f =V ·Say

Iy=

500kN · 120 × 10−6m3

16.20 × 10−6m4= 3704kN/m (1.13)

Assim, na ligacao entre a alma e o banzo superior, temos que ter uma resistencia, por metro decomprimento, superior a 3704 kN/m

Considerando que os pregos estao espacados de 25 mm, a forca em cada parafuso e:

F = d × f = 0.025 × 3704 = 92.6kN (1.14)

O formulacao apresentada e valida para calcular o fluxo de tensao em qualquer seccao. No entanto,na maioria dos casos, e necessario calcular as tensoes num determinado ponto da seccao.

Ao contrario do que acontece para as tensoes normais, nao ha uma expressao geral, e para cadageometria temos que assumir algo que seja razoavel.

O caso mais simples consiste em tensoes tangenciais em seccoes rectangulares.

Podemos assumir que as tensoes sao paralelas ao esforco transverso e constantes na largura da seccao.Isso e verdade para seccoes altas. Conforme o racio b

haumenta, isto deixa de ser verdade.

Consideremos, como exemplo, as tensoes tangenciais provocadas numa seccao rectangular dealtura h

e largura b, por um esforco transverso vertical.

Figura 1.11:

Vamos considerar que a seccao e dividida em duas partes, por uma linha horizontal.

Considerando a regiao de cima, temos:

f = VSax

IY(1.15)

O momento estatico e dado por:

Sax = xgA =

(

h

2−

x

2

)

x · b (1.16)

Logo

f = V

(

h2−

x2

)

x · b

bh3

12

(1.17)

Assumindo que a tensao e vertical e constante ao longo da largura, obtemos:

6


Figura 1.12:

τ =f

b= V

6 (h − x) x

bh3(1.18)

Para metade da altura, x = h/2, temos:

τ = V6 (h/2) h/2

bh3(1.19)

τ =1.5V

bh(1.20)

Obtemos assim o diagrama de tensoes tangenciais ao longo da altura representado na Figura 1.13.

Figura 1.13:

7


No entanto, as tensoes tangenciais nao sao na realidade constantes ao longo da largura. A sua distri-buicao ao longo da largura da viga e semelhante ao apresentado na Figura 1.14.


A relacao entre a tensao media e a tensao maxima e mınima ao nıvel da linha neutra e dada por:

b

h0.25 0.5 1 2 4 6 10 20 50

τmax

τmed

1.008 1.033 1.126 1.396 1.988 2.582 3.770 6.740 15.650τmin

τmed

0.996 0.983 0.940 0.856 0.805 0.800 0.800 0.800 0.800

Verifica-se assim que para rectangulos finos a tensao e quase constante, mas para rectangulos muitolargos a diferenca entre resultados e enorme, e esta simplificacao deixa de ser valida.

O esforco transverso em estruturas em betao provoca tensoes substancialmente diferentes daquelasdescritas ate aqui. Como tal a teoria das tensoes tangenciais usando a teoria da elasticidade reduz-sefundamentalmente a analise de estruturas metalicas. Assim e fundamental analisar as formas de seccoesmais comuns em estruturas metalicas, como sejam as seccoes de parede fina.

Estas seccoes tem em comum serem todas constituıdas por trocos muito longos e pouco espessos. Paraestas seccoes pode-se admitir que a tensao e constante ao longo da espessura da parede. Basicamentetemos

e

L= ∞ (1.21)

Como vimos anteriormente, as tensoes no bordo tem que ser paralelas ao bordo. Portanto necessari-amente temos tensoes paralelas as paredes finas.

As tensoes provocadas por esforcos transversos em qualquer ponto de uma seccao de parede finafechada, podem ser calculadas como:

f =

∫

C

τ = VSay

Iy(1.22)

Assumindo tensoes constantes ao longo da espessura, temos:

8


Figura 1.15:

τ = VSay

Iy · e(1.23)

em que e e a espessura na zona em que se corta a seccao.

Exemplo

Seja o perfil abaixo, um perfil HEA 200, sujeito a um esforco transverso positivo de 100 kN.

Figura 1.16: Figura 1.17:

Se se considerar que as paredes sao muito finas, a seccao pode ser analisada como o conjunto desegmentos de recta representado na Figura 1.17. Assim a seccao pode ser ver como se apresenta a naFigura 1.17.

As tensoes podem ser calculadas como:

9



f = VSay

Iy · e(1.24)

O esforco transverso V e igual a 100 kN vertical para baixo. O momento de inercia e dado em tabelasde perfis metalicos:

Iy = 36.92 × 10−6 m4

(1.25)

Para calcular a tensao em cada ponto, e necessario dividir a seccao em duas partes passando peloponto que se quer analisar. Vamos analisar um ponto no lado esquerdo do banzo superior.

O momento estatico e:

Sy = A · yg = (x · 0.010) ×0.190

2= 9.50 × 10−4 x (1.26)

Ou seja, a distribuicao de tensoes ao longo do banzo superior e linear. Comeca em zero no ponto A etermina em

τ =100 (9.5 −×10−4 0.095)

I e=

100 (9.5 −×10−4 0.095)

36.92 × 10−6· 0.01

= 24.4 × 103 kPa (1.27)

Obtemos assim o diagrama representado na Figura 1.19.Para calcular as tensoes do lado direito, voltamos a partir a seccao. Podemos considerar a regiao a

esquerda ou a direita do corte.No entanto, por simetria, e facil concluir que as tensoes sao iguais.Agora precisamos de calcular as tensoes na alma. Para tal voltamos a dividir a seccao em duas partes.O momento estatico de toda a area acima do corte e igual ao momento estatico do banzo superior,

adicionado ao de parte da alma.Assim

10




11


Say = 0.190 · 0.010 ·0.190

2+ x · 0.0065 · (0.095 −

x

2) (1.28)

Temos portanto uma parabola. A analise desta parabola mostra que o valor maximo do momentoestatico ocorre ao nıvel do centro de massa, e que a equacao e simetrica em relacao ao eixo horizontal.

As tensoes podem ser calculadas de modo semelhante ao anterior

τE = τG =100 (18.1 × 10−4 0.095)

36.92 × 10−6· 0.0065

= 75.2 × 103 kPa (1.29)

τF =100 (21.1 × 10−4 0.095)

36.92 × 10−6· 0.0065

= 87.4 × 103 kPa (1.30)

Ja sabemos as tensoes em cada ponto. Temos agora que analisar a direccao e sentido da tensoes emcada ponto.

Das propriedades das seccoes de parede fina, sabemos que as tensoes sao paralelas as paredes.

A resultante das tensoes tem que ser tal que a resultante seja igual os esforcos aplicados. Assim:


1.1.1 Seccoes assimetricas

Ate aqui falamos de seccoes simetricas sujeitas ao corte. Nesse caso dissemos que os esforcos transversoseram equivalentes a uma forca aplicada no centro de massa, no plano da seccao.

Vamos considerar uma seccao que nao seja bisimetrica, como a representada abaixo.Se colocarmos uma carga vertical no centro de massa, nao so a seccao se deforma na vertical, como

roda no plano da seccao. Ou seja, tambem torce.

Ou seja, uma forca vertical aplicada no centro de massa nao e equivalente a um esforco transverso,mas um esforco transverso e um momento torsor.

O esforco transverso e equivalente a uma forca vertical aplicada nao no centro de massa, mas numponto denominado centro de corte. Se a forca vertical for aplicada nesse ponto, a seccao deforma-se navertical mas nao torce.

Para calcular este ponto, temos que calcular o ponto em relacao ao qual as tensoes nao provocammomento. Olhemos novamente para a seccao anterior. As tensoes provocadas pelo esforco transversopodem ser calculadas como feito anteriormente.

12


Beer et al. (2003)

Figura 1.26:

Beer et al. (2003)

Figura 1.27:

As tensoes instaladas tem que ser equivalentes ao esforco aplicado. Ou seja, a resultante das tensoestem que ser igual ao esforco e o momento provocada pelas tensoes tem que ser igual ao momento provocadopelo esforco. Se considerarmos um ponto do lado esquerdo da seccao, as tensoes horizontais provocam,em relacao a esse ponto, um momento anti-horario, enquanto as tensoes verticais, provocam um momentono sentido horario. Estes dois momentos anulam-se num ponto, que denominamos centro de corte.

Ou seja, o centro de corte e localizado a esquerda da seccao. Se a forca for aplicada nesse ponto, naotemos rotacao.

A distancia e pode ser calculada igualando o momento provocado pelas tensoes tangenciais a zero:

F ×

h

2+ F ′

×

h

2− V × 2 = 0 (1.31)

O centro de corte tem algumas propriedades que facilitam o calculo da sua posicao.

• Se a seccao tiver um eixo de simetria, o centro de corte esta sobre esse eixo de simetria

• Se a seccao tiver dois eixos de simetria, o centro de corte esta sobre a interseccao dos dois eixos.

• Se a seccao for constituıdas por duas paredes finas, o eixo de corte esta na interseccao das duasparedes

13


Beer et al. (2003)

Figura 1.28:



14

Capıtulo 2

Analise de tensoes e extensoes

Ate agora calculamos as tensoes provocada por um esforco. Em geral, temos mais que um esforco presentenuma seccao. Mais ainda, verifica-se que a analise de tensoes e deformacoes apresentada ate aqui, e validanao apenas para pecas lineares, mas tembem para elementos bi-dimensionais ou tri-dimensionais.

2.1 Analise de tensoes

Consideremos um elementos tri-dimensional de muito pequenas dimensoes, como o representado na Figura2.1, sujeito apenas a uma tensao de traccao.

Figura 2.1: Elemento tri-dimensional

Podemos considerar que este elemento e tambem traccionado nas outras duas direccoes.


15

2.1. ANALISE DE TENSOES

Neste caso temos portanto tres tensoes normais independentes, uma segundo cada direccao (x, y,z).Vamos demoninar cada uma destas tensoes normais em funcao da sua direccao como σx, σy e σz, comorepresentado abaixo

σx

σy

σz


Alem das tensoes normais, podemos ter tensoes tangenciais em todas as direccoes. Considerando todasestas tensoes temos um total de nove tensoes como representado na Figura 2.4.

τyx

σy

τyz

τzy

τzxσz

σx

τxy

τxz

Figura 2.4:

Estas tensoes podem ser representadas na forma de uma matrix:

[τ ] =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τyx σz

(2.1)

No caso de so existirem tensoes num plano, podemos reduzir o tensor a:

[τ ] =

[

σx τxy

τyx σy

]

(2.2)

Por equilibrio verifica-se que este tensor e sempre simetrico. Ou seja:

τxy = τxy (2.3)

τxz = τzz (2.4)

τyz = τzy (2.5)

16

CAPITULO 2. ANALISE DE TENSOES E EXTENSOES

Esta matriz define o estado de tensao num ponto. Ou seja, permite saber se o material esta proximoda rotura e quais sao as extensoes do material. Deve notar-se, no entanto, que este estado de tensao so evalido para um ponto. Diferentes pontos de uma estrutura, ou mesmo de uma seccao, estao associados aestados de tensao diferentes.

2.2 Analise de deformacoes

Tambem as deformacoes podem ser organizadas como uma matrix ou tensor, na forma:

[ε] =

εx γxy/2 γxz/2γyx/2 εy γyz/2γzx/2 γzy εz

(2.6)

em que ε representa o aumento de comprimento (extensao) segundo cada direccao, e γ representa avariacao de angulo entre fibras inicialmente perpendiculares.

Num caso plano de deformacao teremos:

[ε] =

[

εx γxy/2γyx/2 εy

]

(2.7)

Ao contrario das tensoes, que nao podem ser medidas, as extensoes podem ser medidas com relativafacilidade.

Tipicamente usam-se extensometros electricos. Estes sao compostos por pequenos fios electricos, cola-dos a peca a ser analisada. Quando ocorre aumento de comprimento segundo a direccao do extensometroos fios aumentam de comprimento, fazendo variar as suas propriedades electricas.

Medindo estas cuidadosamente e possıvel medir o aumento de comprimento e, consequentemente aextensao segundo uma dada direccao.

Figura 2.5:

2.3 Relacao tensao-deformacao

Como vimos anteriormente, as tensoes podem ser relacionadas com as deformacoes. Esta relacao dependedo tipo de material, e pode assumir formais mais ou menos complexas. O caso mais simples corresponde amateriais elasticos lineares isotropicos. Materiais elasticos sao materiais que, uma vez retiradas as tensoes,voltam a sua posicao inicial. Os materias lineares

17

2.4. TENSOES EM FACETAS INCLINADAS

εx

εy

εz

γxy

γxz

γyz

=1

E

1 −ν −ν 0 0 0−ν 1 −ν 0 0 0−ν −ν 1 0 0 00 0 0 2(1 + ν) 0 00 0 0 0 2(1 + ν) 00 0 0 0 0 2(1 + ν)

σx

σy

σz

τxy

τxz

τyz

(2.8)

2.4 Tensoes em facetas inclinadas

Vamos considerar que temos a peca abaixo, colada como se representa na Figura 2.6.

Figura 2.6: Peca colada

Para saber se a cola resiste as forcas aplicadas, e necessario saber as tensoes na cola. Para tal, podemosconsiderar apenas a metade esquerda da peca.

F

τ

σ

Figura 2.7:


Como anteriormente podemos considerar que esta parte da estrutura esta em equilibrio.

18


As equacoes de equilıbrio sao:Soma de forcas segundo x1:

∑

Fx1= 0 (2.9)

⇒ σx1·A0 − σy sin2 θA0 − τxy cos θ · sin θ ·A0 − σx cos2 θ − τxy cos θ · sin θ ·A0 = 0 (2.10)

⇒ σx1= σx cos

2

θ + σy sin2 θ + 2τxy cos θ · sin θ (2.11)

Soma de forcas segundo y1

∑

Fy1= 0 (2.12)

⇒ τx1y1 = − (σx − σy) sin θ cos θ + τxy

(

cos2 θ − sin2 θ)

(2.13)

Ou seja, se considerarmos dois referenciais diferentes em torno do mesmo ponto, obtemos tensoesdiferentes.

Assim, para um estado plano de tensao, as tensoes num diferencial rodado de θ sao dadas por:

σx1= σx cos2 θ + σy sin2 θ + 2τxy cos θ · sin θ (2.14)

⇒ τx1y1 = − (σx − σy) sin θ cos θ + τxy

(

cos2 θ − sin2 θ)

(2.15)

Reescrevendo as equacoes, temos

σx1=

σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ (2.16)

σy1=

σx + σy

2−

σx − σy

2cos 2θ − τxy sin 2θ (2.17)

τx1y1= −

σx − σy

2sin 2θ + τxy cos 2θ (2.18)

Um raciocınio semelhante pode ser utilizado para as extensoes, substıtuindo a tensao normal, σ, pelaextensao, ε, e as tensoes tangenciais, τ por metade das distorcoes, γ/2. Assim:

εx1=

εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2θ +

γxy

2sin 2θ (2.19)

εy1=

εx + εy

2−

εx − εy

2cos 2θ −

γxy

2sin 2θ (2.20)

γx1y1

2= −

εx − εy

2sin 2θ +

γxy

2xy cos 2θ (2.21)

Em geral, saber a deformacao numa direccao nao e suficiente, e sao associados varios extensometrospara dar a extensao em varias direccoes diferentes.

Como tal e comum o uso de rosetas, com 3 extensometros inclinados em diferentes angulos.

Para a segunda roseta podemos usar a expressao descrita acima, para calcular o tensor das extensoes:

ε =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2θ +

γxy

2sin 2θ (2.22)

Assim temos um sistema de 3 equacoes a 3 incognitas:

19

2.5. CRITERIOS DE ROTURA

Figura 2.9:

ε−30 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(−30◦) +

γxy

2sin 2(−30◦) (2.23)

ε90 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(90◦) +

γxy

2sin 2(90◦) (2.24)

ε210 =εx + εy

2+

εx − εy

2cos 2(210◦) +

γxy

2sin 2(210◦) (2.25)

em que os valores ε−30, ε90 e ε210 sao lidos nos extensometros.

2.5 Criterios de rotura

A principal pergunta que se coloca quando conhecemos o estado de tensao num ponto e saber se ocorrerotura do material nesse ponto ou nao.

Quando temos apenas uma tensao normal podemos saber se ocorre rotura por comparacao directa comum ensaio de traccao. Se tivermos apenas tensoes tangenciais poderiamos utilizar um ensaio de torcao.E quando temos tensoes normais e tangenciais?

E agora fundamental lembrar que o estado de tensao num ponto e descrito por um tensor num dadoreferencial.

σ =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

(2.26)

Isto para um referencial xyz. E para outro referencial?

Comecemos por analisar um estado plano de tensao. Um estado plano de tensao e caracterizado porum tensor do tipo:

20


σ =

σx τxy 0

τyx σy 0

0 0 0

(2.27)

Este estado de tensao e comum em elementos de estruturas planas.

Em particular e o estado de tensao existente quando, numa viga, apenas existem momento flector,esforco axial e um esforco transverso.

Consideremos novamente a expressao para a tensao em facetas inclinada.

σ =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2θ + τxy sin 2θ

τ = −

σx − σy

2sin 2θ + τxy cos 2θ

(2.28)

Podemos escrever isto como

{

x = A + B cos 2θ + C sin 2θτ = −B sin 2θ + Ccos2θ

(2.29)

Isto e a equacao parametrica de uma circunferencia. Nesta circunferencia, as tensoes normais saotracadas no eixo das ordenadas e as tensoes tangenciais do eixo das abcissa. Esta circunferencia, designadapor circunferencia de Mohr, permite analisar as tensoes num ponto.

Considere-se a tensao normal positiva se for de traccao, e a tangencial se for segundo o sentido dosponteiros do relogio. Consideremos as tensoes num rectangulo elementar

Figura 2.10:

So nos interessam as tensoes em duas facetas perpendiculares

Tracemos as tensoes num grafico. A tensao normal segundo o eixo horizontal e a tangencial no eixovertical. Cada face corresponde a um ponto. As tensoes normais sao consideradas positivas se forem parafora, as tensoes tangenciais sao positivas se forem no sentido dos ponteiros do relogio.

Se os dois pontos forem tracados usando facetas perpendiculares, entao sao pontos opostos do cırculode Mohr. Basta considerar o segmento de recta que os une como diametro do cırculo.

Cada ponto da circunferencia corresponde a uma face. Nomeadamente, os pontos correspondentes ainterseccao do circulo com o eixo horizontal, corresponde a tensao normal maxima e mınima.

21

2.5. CRITERIOS DE ROTURA

Figura 2.11:

Figura 2.12:

Estas duas tensoes designam-se por tensoes principais, e podem ser calculadas, ou usando o cırculo deMohr ou calculando os valores proprios do tensor das tensoes.

Verifica-se ainda que o angulo que 1OA e o dobro do angulo que a faceta de tensao maxima faz coma faceta 1.

Portanto o cırculo de Mohr pode servir para calcular as tensao principais, assim como o angulo queas facetas correspondentes, denominadas facetas principais.

Se se considerar este referencial, o tensor resume-se a:

[σ] =

[

σx 00 σy

]

(2.30)

Este referencial denomina-se referencial principal. Os eixos associados a este referencial denominam-seeixos principais. Verifica-se que as tensoes normais assim obtidas sao as tensoes maximas e mınimas.

Estes valores coincidem com os valores e vectores proprios do tensor das tensoes, e podem ser calculadoscom os metodos estudados em algebra.

22


Figura 2.13:

Figura 2.14:

23

2.6. TRI-CIRCULO DE MOHR

2.6 Tri-cırculo de Mohr

No caso de um estado tri-dimensional de tensao, a mudanca de referencial e feita de um modo semelhante.As tensoes principais podem ser calculadas usando metodos de algebra linear ou metodos numericos.Analiticamente, o calculo pode ser feito considerando os invariantes do tensor, dados por:

I1 = σx + σy + σz (2.31)

I2 = σxσy + σxσz + σyσz − τ2

xy − τ2

xz − τ2

yz (2.32)

I3 = det[σ] (2.33)

Nesse caso, as tensoes principais sao as raızes da equacao:

σ3− I1σ

2 + I2σ − I3 = 0 (2.34)

As direccoes principais podem ser calculadas resolvendo a equacao:

(σ − σiI)ni = 0 (2.35)

em que ni e o vector perpendicular a face superior.Consideremos o seguinte exemplo:

σ =

100. 30. 40.

30. 50. −30.

40. −30. −60.

(2.36)

I1 = σx + σy + σz (2.37)

I2 = σxσy + σxσz + σyσz − τ2

xy − τ2

xz − τ2

yz (2.38)

I3 = det[σ] (2.39)

I1 = 100 + 50 − 60 = 90 (2.40)

I2 = 100 · 50 + 100(−60) + 50(−60) − 302− 402

− (−30)2 = −7400 (2.41)

I3 = det[σ] = −488000 (2.42)

Assim

σ3− I1σ

2 + I2σ − I3 = 0 (2.43)

σ3− 90σ2

− 7400σ − (−488000) = 0 (2.44)

Resulta

σI = 117.64 (2.45)

σII = 52.05 (2.46)

σIII = −79.69 (2.47)

24


Quando temos um estado tri-dimensional de tensoes, temos tres tensoes principais. Nesse caso pode-mos utilizar uma representacao semelhante ao cırculo de Mohr, denominado tri-cırculo de Mohr.

Consideremos que conhecemos as tres tensoes principais (por determinacao dos valores proprios dotensor das tensoes). Se tracarmos cada uma destas tensoes num eixo horizontal, e unirmos cada duastensoes por uma circunferencia, obtemos algo como representado na Figura 2.15.

σIσIIσIII

Figura 2.15:

Verifica-se que considerando todas as orientacoes tridimensionais, o estado de tensao uma facetacorresponde sempre a um dos pontos da zona a sombreado na Figura 2.16.

σIσIIσIII

Figura 2.16:

Verifica-se portanto que a tensao tangencial maxima e dada por

τmax =σ1 − σII

2(2.48)

Quando se analisa um estado plano de tensao utilizando o tri-cırculo, uma das tensoes principais enula. Assim, podemos ter uma das situacoes representadas nas Figuras 2.17 ou 2.18.

No primeiro caso as duas tensoes principais no plano sao positivas. No segundo caso, as tensoes noplano tem sinais contrarios.

25


σIσIIσIII

Figura 2.17:

σIσIIσIII

Figura 2.18:

2.6.1 Criterios de rotura

Diferentes materiais atingem a rotura de modos diferentes. Cada grupo de materiais pode ser associado aum criterio de rotura que, de modo aproximado, estabelece quais as combinacoes de tensoes que conduzema rotura.

2.6.2 Materiais Ducteis

Um dos mais simples criterios de rotura e o Criterio da tensao tangencial maxima

Segundo este criterio um material rompe quando a tensao tangencial numa faceta atinge um deter-minado valor. O valor da tensao tangencial maxima esta relacionado com a distancia entre as tensoesprincipais.

Consideremos um estado plano de tensao (ou seja, uma das tensoes principais e nula). Podemos teras outras duas tensoes com o mesmo sinal (ver Figura 2.17). Nesse caso a tensao tangencial maxima eigual a metade tensao maxima em traccao simples.

Se as duas tensoes principais tiverem sentidos inversos (ver Figura 2.18), a tensao tangencial maximae dada por metade da diferenca entre as duas tensoes pricipais.

Num ensaio de traccao, a tensao tangencial maxima e metade da tensao de cedencia a traccao, σy.

Portanto nao ha cedencia enquanto:

|σI | ≤ σy (2.49)

|σII | ≤ σy (2.50)

|σI − σII | ≤ σy (2.51)

26


Estas condicoes sao equivalentes ao representado na Figura 2.19.


Um segundo criterio, mas ajustado a realidade e o criterio de Von Mises, que define a rotura em termosda energia distorcional maxima.

Nesse caso a condicao a verificar, para um estado plano de tensao, e:

σI − σIσII + σ2

II ≤ σ2

y (2.52)

Se so existir tensao normal numa face e uma tensao tangencial:

[σ] =

[

σx τxy

τxy 0

]

(2.53)

O criterio resume-se a:

σ2

x + 3τ2

xy ≤ σ2

y (2.54)

Este criterio pode ser representado como:


27


2.6.3 Materiais frageis

Os materiais frageis, como sejam as pedras ou o vidro, tem um comportamento na rotura completamentediferente.

Criterio de Coulomb

Diz que a rotura nao se da se ambas as tensoes normais forem menores que a tensao obtida em ensaiosde traccao:

|σI | ≤ σu (2.55)

|σII | ≤ σu (2.56)

Pode ser representada como:


Este criterio tem o defeito de considerar o comportamento a traccao e a compressao iguais. Na maioriados materiais frageis isto nao e verdade, e portanto, o campo de aplicacao deste criterio e relativamentelimitado.

Criterio de Mohr

No criterio de Mohr utilizam-se varios ensaios (traccao, compressao e corte). Traca-se a circunferencia deMohr associado a cada um dos estados de tensao na rotura. O criterio estabelece que nao se da a roturase o cırculo de Mohr associado ao estado de tensao estiver no interior da envolvente dos estados de tensaoobtidos dos ensaios.

Como exemplo, considere-se que sao realizados tres ensaios: traccao pura, compressao pura e torcaopura. A rotura para cada um destes ensaios ocorre para estados de tensao diferentes. Se cada um destesestados de tensao for representado no cırculode Mohr obtemos algo como se apresenta na Figura 2.22.

Quando se considera apenas 2 ensaios, temos uma menor exactidao no resultados, resultando numcriterio de rotura menos correcto. Isto acontece, por exemplo, para os resultados representados na Figura2.23.

28


Figura 2.22: Beer et al. (2003) Figura 2.23: Beer et al. (2003)

29


30

Capıtulo 3

Calculo de deformacoes

Como vimos anteriormente, quando sujeitas a uma variacao de temperatura ou a esforcos, as estruturasapresentam deformacoes. Em cada ponto, estas sao muito pequenas. No entanto, quando somadas paratoda a estrutura implicam deslocamentos e rotacoes que sao significativos, e nao raramente, observaveisa olho nu.

Todos os esforcos produzem deslocamentos ou rotacoes das estruturas. No entanto, quando existem,o momento flector e o momento torsor sao os esforcos que maiores deslocamentos produzem.

Existem fundamentalmente dois metodos para calcular deslocamentos ou rotacoes. O primeiro baseia-se na integracao das deformacoes em cada seccao, o segundo baseia-se na analise do equilıbrio energetico.

3.1 Integracao das deformacoes

Quando se calcula os deslocamentos ou rotacoes numa estrutura, e necessario separar a parcela dosdeslocamentos devidos a cada esforco.

3.1.1 Momento torsor

O angulo de torcao de uma barra com simetria radial sujeito a um momento torsor e:

∂ϕ

∂x=

Mt

GIp(3.1)

em que ϕ e o angulo de rotacao, Mt e o momento torsor, G e o modulo de distorcao e Ip e o momentopolar de inercia.

Se o momento for constante numa barra, a rotacao relativa entre duas seccoes, A e B, e:

ϕAB =

∫ B

A

Mt

GIpdx =

Mt L

GIp(3.2)

3.1.2 Momento flector

Vimos no capıtulo ?? que os momentos flectores provocavam um diagrama de tensoes lineares. A estediagrama de tensoes esta associado um diagrama de extensoes tambem linear, como se representa naFigura 3.1.

Este diagrama de extensoes esta associado a uma curvatura dada por:

χ =1

ρ=

M

EI(3.3)

31

3.1. INTEGRACAO DAS DEFORMACOES

σ ε

Figura 3.1: Diagrama de tensoes e extensoes

em que χ e a curvatura, ρ e o raio de curvatura, M e o momento flector, E e o modulo de elasticidade deYoung, e I e o momento de inercia.

Com base na teoria das curvas, concluı-se que:

χ =1

ρ= −

y′′

(1 + (y′) 2)3/2(3.4)

em que y e o deslocamento transversal, e y′ e y′′ sao a primeira e a segunda derivada do deslocamentotransversal.

No entanto, podemos considerar que para situacoes correntes, quer o deslocamento quer a sua derivadasao muito pequenas. Assim, podemos dizer que:

(

1 +(

y′)

2)3/2

≃ 1 (3.5)

A equacao ( (3.4)) resume-se a:

χ =1

ρ= −y′′ =

M

EI(3.6)

Esta equacao, denominada equacao deferencial da linha elastica, pode ser utilizada para calcular asdeformacoes associadas ao momento flector. Assim y traduz os deslocamento perpendiculares a barra,enquanto y′ traduz as rotacoes.

Consideremos, como exemplo, a deformacao de uma barra bi-apoiada, sujeita a uma carga uniforme-mente distribuıda.

5m

3 kN/m

O calculo de reaccoes e diagramas de esforcos e relativamente simples, resultando nos diagramasrepresentados na Figura ...

A partir destes diagramas e possıvel determinar os diagramas de esforcos, relembrando que:

∂M

∂x= V (3.7)

∂V

∂x= −p (3.8)

32

CAPITULO 3. CALCULO DE DEFORMACOES

V

7.5

7.5

M

9.375

Figura 3.2:

Assim:

V = 7.5 − 3 · x (3.9)

M = 7.5 · x −

3

2x2 (3.10)

Utilizando a equacao da elastica, podemos escrever:

y′′ = −

M

EI= −

1

EI

(

7.5 · x −

3

2x2

)

(3.11)

Primitivando duas vezes chegamos a:

y′ = −

1

EI

(

7.5

2·x2

−

1

2x3

)

+ C1 (3.12)

y = −

1

EI

(

7.5

6·x3

−

1

8x4

)

+ C1 ·x + C2 (3.13)

(3.14)

Sabemos que o deslocamento vertical nos apoios e nulo. Assim:

y(x = 0) = C2 = 0 (3.15)

y(x = 5) = −

1

EI

(

7.5

6· 53

−

1

854

)

+ C1 · 5 = 0 → C1 = 15.625/EI (3.16)

Logo o deslocamento a meio vao e:

33

3.1. INTEGRACAO DAS DEFORMACOES

ymax = y(x = 2.5) =24.41

EI(3.17)

e a rotacao maxima e:

y′max = y′(x = 0) =15.625

EI(3.18)

A deformada obtida e:

y′max

ymax

Figura 3.3:

Como segundo exemplo, considere-se a estrutura representada abaixo:

3 kN/m

4m 2m

A B

C

Figura 3.4:

A equacao do diagrama de momentos e dada por:

M = −36 + 15 · x −

3

2x2 (3.19)

No entanto, neste caso ha a considerar dois trocos: um do encastramento a rotula, outro da rotula ateao apoio de roletes. Isto e necessario pois na rotula as rotacoes a esquerda e a direita serao diferentes, eha um ponto de descontinuidade da equacao.

Para o primeiro troco e considerando a origem no ponto da esquerda temos:

34


M

36

Figura 3.5:

y′′AB = −

M

EI=

1

EI36 − 15 · x +

3

2x2 (3.20)

y′AB =1

EI36 · x − 7.5 · x2 +

1

2x3 + C1 (3.21)

yAB =1

EI18 · x2

− 2.5 · x3 +1

8x4 + C1 · x + C2 (3.22)

Sabendo que quer o deslocamento (yAB) quer a rotacao (y′AB) sao nulos na origem, temos que

C1 = 0 (3.23)

C2 = 0 (3.24)

Para o segundo troco, o diagrama de momentos segue a mesma equacao, logo:

y′′BC = −

M

EI=

1

EI36 − 15 · x +

3

2x2 (3.25)

y′BC =1

EI36 · x − 7.5 · x2 +

1

2x3 + C3 (3.26)

yBC =1

EI18 · x2

− 2.5 · x3 +1

8x4 + C3 · x + C4 (3.27)

Quando as condicoes de fronteira, sabemos que no apoio C o deslocamento vertical e nulo. Sabemosainda que o deslocamento do ponto B e igual para o troco AB e para o troco BC. Assim

yBC(x = 6) = 0 (3.28)

yBC(x = 4) = yAB(x = 4) (3.29)

35

3.2. METODOS ENERGETICOS

E assim possıvel calcular as restantes constantes:

C3 = −

135

EI(3.30)

C4 =540

EI(3.31)

A deformada e portanto:

A B

C

Figura 3.6:

3.2 Metodos energeticos

Existem varios metodos baseados no princıpio da conservacao da energia uteis para o calculo de de-formacoes em estruturas. Nesta disciplina vamos apenas analisar o metodo da unidade fictıcia de carga.

Este metodo permite calcular de um modo eficaz o deslocamento ou rotacao de um determinado pontode uma estrutura.

O calculo de deformacoes usando este metodo pode ser dividido nos seguintes passos:

1. calculo dos diagramas de esforcos presentes na estrutura;

2. aplicacao de uma carga unitaria fictıcia segundo o deslocamento ou rotacao que se pretende (se sepretender um deslocamento aplica-se uma forca com a mesma direccao, se se pretende uma rotacaoaplica-se um momento);

3. calculo dos diagramas de esforcos associados a carga fictıcia;

4. calculo do deslocamento com a expressao:

δ =MM

EI+

NN

EA+

MtMt

GJ+

V V

GA′(3.32)

em que M e M sao os momentos flectores devidos ao carregamento e a carga fictıcia, respectivamente,N e N os esforcos axiais, MT e Mt os momentos torsores, V e V os esforcos transversos, E o modulode Young, G o modulo de distorcao, I a inercia, A a area da seccao, J a inercia de torcao e A′ aarea de corte.

Este metodo e relativamente simples para o calculo de apenas um deslocamento numa estrutura, masmais complicado se sao necessarios os deslocamentos em varios pontos.

O calculo do integral pode ser realizado utilizando uma tabela como a representada na Figura 3.7.

36


Figura 3.7:

37


Analisemos um exemplo simples, como o representado na Figura 3.8. Para essa figura calcule odeslocamento vertical da extremidade livre.

3kN/m

4m

5m

Figura 3.8:

A barra apenas esta sujeita a momentos flectores, esforcos axiais e esforcos transversos. Os esforcostransversos provocam deslocamentos em geral negligenciaveis. Neste caso vamos tambem desprezar oefeito do esforco axial. Assim apenas temos momentos.

Para esta estrutura podemos facilmente calcular o diagrama de momentos flectores, como se representaabaixo.

M

24

24

Figura 3.9:

Como o objectivo e calcular o deslocamento vertical na extremidade livre, temos que aplicar nesseponto uma forca vertical unitaria.

Os diagramas de esforcos correspondentes a esta carga estao representados na Figura 3.11.

Utilizando a equacao (3.32) podemos calcular os deslocamento:

38


1

4m

5m

Figura 3.10:

M

4

4

Figura 3.11:

δ =MM

EI+

NN

EA+

MtMt

GJ+

V V

GA′(3.33)

δ =MM

EI(3.34)

δ =1

EI

(

(−24) · (−4) · 5 +1

4· (−24) · (−4) · 4

)

=574

EI(3.35)

Logo o deslocamento vertical e para baixo (δ e positivo, logo o deslocamento e de acordo com a forca

fictıcia) e toma o valor574

EI.

39


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Bibliografia

Beer, F. P., Johnston, E. R., and DeWolf, J. T. (2003). Mecanica dos Materiais. McGraw-Hill.

Cervera Ruiz, M. and Blanco Dıaz, E. (2001). Mecanica de estructuras I. Resistencia de materiales. UPC.

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resistência dos materiais - unl

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