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Resistência de Materiais I - Teoria

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Resistência de Materiais I

Teoria

Elaborado por: Carlos França Nº980012

I.S.E.P – 2001/2002


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Esforços - Relação entre M , q e T

S q ( z ) W = q . dz z s S Analisando : Secção SS : S M = VA . S - q . dz ( S – Z ) a S S = VA . S - q . S . dz + q . z . dz a a S S = VA . S – S q . dz + q . z . dz 1 a a


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s T = VA - q . dz 2

a - Derivando o Momento ( dm / ds ) ´ ´ S S S = VA - q . dz - S q . dz + q . z . dz a a a

S ............... resolvendo o integral ..... VA - q.dz - Sq + qS a s dm / ds = VA - q . dz ( dm / d t ) = T 1 = 2 a - Derivando o Esforço Transverso ( dt / ds ) ´ s dt / ds = - q . dz = - q a dt / ds = - q


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Diagramas de Esforços - Barra Inclinada solicitada com carga horizontal Considerando a figura: q q . l . senα q . l . cosα q.l Vb L l = L . cos α Va L = l / ( cos α ) l Analisando : s S P (s ) D (s ) S L = l / cos α

α=α

α= 2cos.qcos

l.cos.l.p)s(P

αα=α

α= cossen.qcos

l.sen.l.p)s(D


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M, T e N em função de s Ts = Va . senα - q ( cosα ) ² . s Ns = Va . senα + q ( sen α . cos α ) . s

Diagrama de Esforços -Ve.cos α Ve.cos α Mmáx = q. l ² / 8

2s.s.)(cosqs).cos.Va(Ms 2α−α=


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Diagramas de Esforços - Barra Inclinada solicitada com carga vertical Considerando a figura: q . h . cosα q h q.h Vb q . l . senα L Va l Analisando : s S P (s ) D (s ) S

• P = q . h P = q .cos²α L = q.senαcosα

• α=

α

α= 2sen.q

senhsen.h.qP α=

α

α= 2cos.q

senhcos.h.qL


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M, T e N em função de s Ts = Va . cosα - q ( cosα ) ² . s Ns = -Va . senα + q ( sen α . cos α ) . s

Diagrama de Esforços -Ve.cos α Ve.cos α Mmáx = q. l ² / 8

2s.s.)(cosqs).cos.Va(Ms 2α−α=


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Quadro representativo de esforços e funções para esboço

de carregamentos e diagramas de esforços

Q Q = 0 Q = Constante

Carga Ascendente Q = 1º Grau

Q = 2º Grau

T + Constante -

1º Grau

2º Grau

2º Grau

3º Grau

M

1º Grau 1º Grau Crescente Decrescente

2º Grau

3º Grau

3º Grau

4º Grau

• Esforço T Positivo – Momento F crescente

• Esforço T Negativo – Momento F decrescente

• Esforço T Nulo – Momento F é máximo ou mínimo

• Se 2

2

dzTd

< 0 - A curvatura do diagrama do Esforço transverso é voltada para baixo

• Se > 0 - A curvatura do diagrama do Esforço transverso é voltada para cima

2

2

dz

T d


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Esboçar diagramas de esforços

Esforço transverso Esforço Axial Momento


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Princípio de Saint – Venant

As tensões e as deformações em secções suficientemente afastadas dos pontos de aplicação das forças

exteriores não depenem da forma como essas forças são aplicadas, mas unicamente da sua resultante.

Na prática esta hipótese verifica-se desde que a distância da secção em estudo á força concentrada mais

próxima seja igual ou superior á maior das dimensões da secção transversal recta.

È um princípio de grande utilidade, na medida em que permite tratar sistemas de forças considerando apenas

a sua resultante, simplificando e reduzindo assim o volume de cálculos necessários á resolução de um

determinado problema.

Considere-se a barra prismática abaixo visualizada, quando é sujeita á acção de três sistemas de forças com

iguais resultantes.

Verifica-se que as tensões a uma distância superior á dimensão transversal da peça podem ser aceites como

iguais nos três casos.

Este princípio pode ser aceite como válido mesmo em presença de comportamentos não lineares e não

isotrópicos ou de não homogeneidade do material ou materiais que constituem o corpo.


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Hipótese de Navier – Bernoulli Considerando uma peça linear cuja S.T.R é constante e simétrica em relação ao plano de carga, em que as

propriedades do material são constantes ao longo do comprimento, sujeita o esforço transverso nulo e

momento flector constante ( flexão pura ).

A flexão pura é definida de tal forma que todas as secções existentes numa zona em que o momento flector é

constante rodam com centro num ponto O que é o centro de curvatura.

Analisando: As secções equidistantes AD, BE, CF, antes da deformação, rodaram com centro no ponto O e passaram

respectivamente a A1D1, B1E1, C1F1 , depois da deformação e mantiveram-se planas depois da deformação.

Hipótese de Bernoulli – Na flexão pura num plano de simetria as secções planas antes da deformação

permanecem planas depois da deformação.


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Comportamentos de materiais dúcteis e frágeis

Considere-se uma barra de aço macio ( aço constituído por ferro puro ) de secção circular, á qual se aplica

um esforço axial de tracção N.

Esse esforço vai provocar uma alongamento ( ∆L ) na barra, em que se o esforço axial for aumentando

gradualmente de zero até ao valor que provoca a rotura e for medido poder-se traduzir essa relação no

seguinte gráfico:

Neste diagrama pode distinguir-se diferentes fases:

A - Limite de proporcionalidade

B - Limite de Elasticidade

C – Limite superior de cedência ou fluência

D – Limite inferior de cedência

AO – as deformações são proporcionais aos esforços; deformações reversíveis; comportamento elástico

linear; o material encontra-se em fase de serviço. ( Elasticidade Linear ) → Verifica-se a Lei de

Hooke, o qual depende das propriedades do material.

AB – deformação elástica, não existe proporcionalidade mas as deformações são reversíveis. Enquanto a

tensão não atingir o ponto B, as deformações anulam-se sempre que se anule a carga.


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BC – deformações deixam de ser reversíveis, material deixa de ter comportamento elástico e passa a ter

comportamento plástico.

CE – a deformação aumenta sem variação sensível da carga - zona de escoamento plástico ou patamar de

cedência.

EF – um pequeno aumento de carga corresponde a uma grande deformação – patamar das grandes

deformações.

F - atinge a tensão máxima antes da rotura – diminuição da secção da recta ( estricção )

G – zona de rotura

Nota : obteríamos um diagrama semelhante se a peça estivesse á compressão, excepto no que respeita á

estricção.

Materiais dúcteis – aço, alumínio, cobre.

Tensão de cedência de uma aço – A tensão de cedência ou fluência verifica-se em fase de escoamento.

Quando o teste é realizado cuidadosamente, é possível distinguir entre o valor superior e o valor inferior de

escoamento, adoptando-se o valor inferior, porque o valor superior é momentâneo, para a determinação da

tensão de escoamento.


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Tensão Convencional de proporcionalidade a 0.2 % de um Aço

No caso do alumínio ( fig.b ) e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado

pelo trecho horizontal do diagrama (trecho este conhecido como patamar de escoamento)

Em vez disso as tensões continuam aumentando embora não mais de maneira linear até que a tensão última é

alcançada. Começa então a estricção que pode levar à ruptura. Para esses materiais se define um valor

convencional para a tensão σe.

A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abcissas a deformação específica ε =

0,2% (ou ε = 0,002), e por esse ponto traçando-se uma recta paralela ao trecho linear inicial do diagrama

(Fig. a). A tensão (σe corresponde ao ponto de intersecção dessa recta com o diagrama; é definida como

tensão convencional a 0,2%.

Materiais Frágeis

São caracterizados por uma rotura que ocorre sem mudança sensível no modo de deformação do material.

Não existe diferença entre tensão última e tensão de rotura.

A deformação é muito menor nos materiais frágeis e não se verifica a estricção.

Materiais como ferro fundido, pedra, vidro, betão e madeira.


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Lei de Hooke

Considere uma barra homogénea de comprimento L e secção transversal uniforme de área A sujeita à força

axial concentrada P.

Se a tensão actuante não exceder o limite de proporcionalidade do material, podemos então analisar:

• Tensão σ = P / A

• ε = ∆L / L - Alongamento unitário ou encurtamento unitário ou relativo Por dedução temos: E – módulo de elasticidade longitudinal ; Young ; Proporcionalidade

Lei de Hooke – As tensões são proporcionais as extensões e vice-versa


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Lei de Hooke Generalizada Considerando σxx, σyy, σzz diferentes de zero, o paralelepípedo elementar irá apresentar extensões segundo

os eixos dos X, Y, Z respectivamente Exx, Eyy, Exx.

Verifica-se efectivamente que em todos os materiais elásticos que sofrem um alongamento e: xx na direcção

xx, proveniente da tensão O' xx e só dessa, se dá um encurtamento e: yy e e: zz nas direcções que lhe são

perpendiculares .

É o chamado efeito de Poisson.

Considerando que σxx, σyy, σzz são tensões principais

Pelas noções de : - Coeficiente de Poisson

- Módulo de Young

- Lei de Hooke Pode-se analisar que: Exx = Exx` + Exx`` + Exx``

Exxxx σ

=ε

Eyy´xx σ

=ε

Ezz´´xx σ

=ε


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Substituindo:

εxx =E1

[ σxx – v( σyy + σzz ) ]

Logo:

Como as tensões tangenciais apenas provocam deslizamentos ( corte puro ) , não têm qualquer influência sobre as extensões. Para o caso em que σxx, σyy, σzz não são tensões principais, a lei de Hooke será:

Se for impossível ao corpo apresentar extensões segundo uma das direcções quando solicitado, impondo Ezz

= 0 , as restantes extensões serão paralelas ao plano OXY.

O corpo está num “ Estado Plando de Deformação “


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Esforço Axial tendo em conta o peso próprio Considerando a figura: F - dx Area L - p.p γ – Peso Específico do Material L/2 p.p = A . dx . γ

dx..A.dxFA.E

1)total(lL

0

x

0∫ ∫

γ+=∆

2L.

A.E.A

A.EL.Fl

2γ+=∆

2L.L..A.

A.E1l γ=∆

L.N.A.E

1l =∆

L.N.A.E

1A.EL.Nl ==∆


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Coeficiente de Poisson Valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal. Analisando:

σy = σz = 0 ; ε(z) = ε(y) Deformação específica transversal Sabemos que: L(x)

P P a a`

∆L(x) Extensão longitudinal ε(x) = ∆L(x) / L ∆L(x) – alongamento unitário longitudinal Extensão transversal ∆a = a – a´ εt = ∆a (t) / a ∆a (t) – encurtamento unitário transversal εz = segundo o eixo zz

εy = segundo o eixo yy


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dθ

Tensão em vasos de pressão de paredes finas Analisando as figuras:

Analisando em corte : Y dθ dθ X Raio = r P P (σy ) Como o ângulo é muito pequeno temos tg ( θ ) ≈ θ p = pressão interna ( r . dθ ) . p .1 = F

( r . dθ ) . p . senθ

r


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Calculando o integral : Equilíbrio Circunferencial - Tensões ( σy )

90 P = p . r [ - cos ( θ ) ] 0

Rotura longitudinal

Equilíbrio Axial - Tensões ( σx )

2π . r .e

π . r^2 .p Conclusão : A tensão Circunferencial ( σy ) é dupla da tensão axial ( σx )


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Variação térmica em peças hiperestáticas por condições externas

Considerando uma barra homogénea de S.T.R uniforme, se aumentarmos a temperatura verifica-se que o seu

comprimento aumenta, sendo essa variação proporcional á temperatura.

Barra em compressão Analisando barra a sofrer compressão :

Deformação térmica específica


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Princípio da Sobreposição de Efeitos

O efeito produzido por várias forças que actuam simultaneamente num corpo em equilíbrio é igual á soma

dos efeitos produzidos por cada uma das forças actuando separadamente.

A tensão final ou deformação produzidas pode ser obtido pela soma das tensões ou deformações produzidas

por cada uma das forças actuantes.

R1 1 a R2

L N 3 δ 1,3 δ 3,2 b R1 2 R2 Cálculo :

A.EL.N

=δ

δ 1,3 = δ 3,2 →

• R1 = N - R2 ∆L1

• ( N – R2 ).a = R2.b ∆L2 N1

• Na = R2.a + R2.b = R2 ( a + b ) = R2.L

N1 + N2 Conclusão:

A.Eb.2R

A.Ea.1R=

LNb1R =

LNa2R = A.E

L.N1l2l +∆=∆

A.EL.1N1l =∆


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Coeficiente de Homogeneização

Considerando uma barra constituídas por dois materiais diferentes sujeita a um esforço de tracção:

Material A L Material B N Calculando o equilíbrio das forças e aplicando a equação compatibilidade deslocamentos: • Na + Nb = N • ∆L ( a ) = ∆L ( b ) Resolvendo o sistema : • Na + Nb = N

• Ab:EbLb.Nb

Aa.EaLa.Na

=

Daqui podemos relacionar: • Na + Nb = N • Coeficiente de Homogeneização ( Homogeneização em material 2 )

Nb.LaLb.

AbAa.

EbEaNa =

EbEam =


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Cálculo de forças e alongamentos em três barras concorrentes num ponto. Considerando a figura:

• ∑Fx = 0 → F1,2 cosα + F1,3 + F1,4 cosα – P = 0

• ∑Fy = 0 → F1,2 senα + F1,4 senα = 0 → F1,2 = F1,4 δ1,2 = δ1,4 = δ1,1cos α

•

• 2 . F1,2 cosα + F1,3 = P

• F1,2 = F1,4

E.AcosαF1,3.L1,3.

EAF1,2.L1,2

=

α=α

cos.L.3,1Fcos

L.2,1F


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Princípio da Reciprocidade das Tensões O elemento representado na figura tem lados com dimensões infinitesimais dx, dy, dz, encontrando-se o elemento em equilíbrio de tensões. Este elemento representa o estado de tensões no ponto A, considerando que se despreza a variação das tensões ao longo das suas faces. No entanto, para haver equilíbrio não pode haver rotação e portanto os momentos de todas as forças devem anular-se. Considerando assim a rotação do elemento em relação ao eixo dos zz e calculando os momentos em relação a esse eixo, vem :

Calculando de maneira análoga os momentos em relação ao eixo dos yy e xx, vinha, respectivamente, Txz = Tzx e Tyz = Tzy. Portanto, no caso tridimensional, obtêm-se seis parâmetros independentes de tensão: três tensões normais e três tensões de corte.


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Flexão Flexão Pura - Apenas existe um momento flector constante

• M = cosntante • T = 0 • N = 0

Flexão Simples – O momento flector é variável

• M = variável • T ≠ 0 • N = 0

Flexão Simples Plana

• Mx ou My = 0 • T ≠ 0 • N = 0

Flexão Simples Desviada

• Mx e My ≠ 0 • T ≠ 0 • N = 0

Flexão Composta - Existe momento flector e esforços axiais

• M = variável • T ≠ 0 • N ≠ 0

Flexão Composta Plana

• Mx ou My = 0 • T ≠ 0 • N ≠ 0

Flexão Composta Desviada

• Mx e My ≠ 0 • T ≠ 0 • N = 0

Flexão Plana – quando o plano de solicitação contém um dos eixos principais centrais de Inércia da S.T.R - o eixo de solicitação coincide com o plano de simetria da deformada do eixo da viga - o eixo neutro é baricêntrico - o eixo neutro e o eico e solicitação são perpendiculares Flexão Desviada – quando o plano de solicitação não contém nenhum dos eixos principais centrais de inércia

da S.T.R


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Flexão Pura ou Circular Considerando a figura:

Uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento flector nessa

zona.


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Estas solicitações são muito importantes e ocorrem muitas vezes, na prática, em peças carregadas

transversalmente, isto é, por cargas actuando em planos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça.

Como se sabe, uma peça está sujeita a flexão pura numa determinada zona quando apenas se exerce momento

flector nessa zona. Uma maneira prática de obter flexão pura numa peça está representada nas figuras.

No intervalo A'B' da peça haveria apenas momento flector constante e igual a P.a (fig.c) e portanto a região

A'B' encontra-se em flexão pura.

Só existe Momento Flector My ( ou Mz ) ≠ 0 e portanto N = Ty = Tz = Mx = Mz ( ou My ) = 0 - Esforço transverso Nulo

- Momento Flector constante


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Fundamento matemático de o facto de a Flexão Pura também se

designar por Flexão Circular

Considerando a seguinte figura:

Analisando : - Momento Flector constante, a curva da deformada é constante sendo um arco de circunferência. - A fibra neutra AB flectiu sem alterar o seu comprimento. • ângulo ϕ de rotação relativa é relacionado com o raio de curvatura

• A fibra CD, situada a uma distância y do eixo neutro, sofreu uma extensão :


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• Tratando-se de uma peça homogénea constituída por um material de comportamento elástico linear, a tensão pode ser obtida pela lei de Hooke unidimensional

• A posição do eixo neutro pode ser determinada pela condição de equilíbrio das forças actuantes na

direcção normal á secção. Como o esforço axial é nulo, então:

Este integral representa o momento estático da secção relativamente ao eixo neutro. O facto de ser nulo significa que o eixo neutro passa pelo centro de gravidade da secção, ou seja, é baricêntrico.

• A condição de equilíbrio de momentos permite relacionar a curvatura com o momento flector actuante,

obtendo-se: I – momento de inércia da secção relativamente ao eixo neutro

Em fleão pura a deformada é um arco de circunferência, pois Mx, E, Ix são constantes logo ρ é

constante.

A quantidade EI = dm / d (1/ρ) designa-se por Rigidez á Flexão, pois relaciona a deformação por

flexão ( curvatura ) com o esforço que a provoca ( momento flector )

• Substituido temos

• A tensão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro, designado por v essa distância, obtendo-se a tensão normal máxima


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Rotação relativa de duas secções

Considerando uma barra á flexão plana temos:

Analisando:

Se o momento Mx, E e Ix são constantes logo:

Aplicando ao encastramento:


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Diagrama das tensões tangenciais que se verificam numa secção

transversal rectangular Analisando a figura:

O momento estático ( Q ) é dado por:

A tensão tangencial é dada por:

- Tensão tangencial Máxima para z=0

- Tensão Média


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Diagrama das tensões que se verificam numa secção transversal

recta em I

Analisando a figura:

a `

a b

O momento estático é dado por:


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Por dedução:

Momento estático total ( Qt ) = Q1 + Q2

Expressão Geral -

Tensão num ponto 1b.IQ.T

=

- Diagrama de tensões

b a

• Para y = 0 → τ (max ) na alma

• Nos pontos a e a` → y = h1/2 - A alma absorve quase todo o esforço transverso

- Tensão Normal e Momento instalam-se nas abas

- τ (min ) na alma

+

−+

+

−

41h

2y.y

21h.1b

41h

4h.

21hh.b


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recta em C

Considerando a figura:

b

Aba

e

Alma x

h e.n

y

a

Momento Estático de x em relação ao eixo neutro

2h.e.xQ =

Aba

I

T.2h.e.maxx

(max) =τ I2

h.e.x.T=

Alma

Alma Aba

−+=

2y

8h.a

2h. e . b Q

22

I.a.2h.e.b.T

hy21.

8h9

2h.e.b 22

+

−+=τ

I.a.2h.e.b.T

I.8h.T(max)

2

+=ι


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recta em T

Tensões Normais

Tensões Tangenciais


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Esforço Rasante ou Fluxo de Corte

Considerar uma viga em balanço que suporta a força P em sua extremidade livre.

Cortando a viga pela secção A´C´ que passa a uma distância y1 acima da linha neutra e pela secção vertical

CC´ que passa a uma distância x da extremidade livre da viga, obtém-se a porção AA´ CC´ estando esta

condicionada pelas forças actuantes:

Porção AA´ CC´

P´

Forças Aplicadas : P´ como parte da força P aplicada

V´ como força cortante na secção CC´

σxda como esforços normais que agem também nessa secção

H como a resultante das forças horizontais provenientes da tensão de cisalhamento

na face inferior do corpo livre


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Partindo da equação:

Temos:

Por dedução..... relacionado com a figura acima indicada

A força horizontal H que provém das tensões de cisalhamento na face inferior da porção ACC`A é

proporcional ao comprimento x dessa porção.

Daí ocorre que para um certo valor de y1, o esforço de cisalhamento horizontal por unidade de comprimento

( H / x ) é constante e igual a PQ / I , sendo expresso por q.

Fluxo de Corte ou Esforço Rasante

No caso de uma viga submetida a vários carregamentos concentrados ou distribuídos, podemos aplicar o

princípio da sobreposição para determinarmos o fluxo de cisalhamento q em um certo ponto C´


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Vigas de igual resistência

Considera-se vigas de igual resistência vigas não prismáticas, isto é, vigas com uma secção transversal variável em que pela escolha da forma e do tamanho da secção transversal variável ,faremos o modulo resistente W = I/c variar ao longo do comprimento da viga, da mesma forma que o momento flector M.

Com esta situação verifica-se que a máxima tensão normal, em cada secção, é igual a tensão admissível. Estas vigas são chamadas vigas de igual resistência.

Verifica-se que o dimensionamento de vigas em certas secções, as tensões ficam com valores muito baixos relativamente á tensão admissível.

Desse modo, uma viga prismática é quase sempre superdimensionada, e o uso de vigas não prismáticas pode levar á economia apreciável de material.

Exemplo:

Peças de componentes de máquinas forjados ou fundidos não é difícil mudar de secção transversal ao longo

do comprimento, conseguindo a economia de material.

O dimensionamento de uma viga é baseado normalmente no valor σm da tensão normal.

O projecto de uma viga não prismática estará correcto se o módulo resistente W = I/c de cada secção

transversal satisfazer a equação σm= M / W, onde σm é igual á tensão admissível.

Para um perfil laminado é impraticável variar de secção transversal de modo contínuo ao longo do seu

comprimento.

Ainda assim, podemos conseguir boa economia de material pelo uso de placas soldadas em algumas partes

do perfil, onde o momento flector apresenta valores altos.


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Momento Torsor – Secções Circulares Maciças

Considerando a figura:

F

Momento Torsor :

Tensão Tangencial

A τ = k . r´

k – constante de proporcionalidade

entre as tensões tangentes

Por substituição temos:

r`

∫ =τ MT`r.da.

AF

=τ

∫ = MT`r.da..k

IpMT

da.`rMTk

2==

∫

`r.Ip

MT=τ


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Fazendo uma pequena analogia :

E – Módulo de Elasticidade longitudinal

- Lei de Hooke de Torção – Tensão proporcional á distroção

G – Módulo de Elasticidade Transversal

Analisando a figura:

bb´ = r.θ.dz = γ.dz

γ = r.θ

Módulo de Elasticidade Transversal ou módulo de Coulomb – representado pelo coeficiente ε ou G (

para torção ) , é equivalente ao Módulo de Young nas tensões, sendo também válido para materiais em

regime elástico, homogéneos e isotrópicos, permitindo o cálculo das tensões tangenciais.

Módulo de Rigidez á Torção de uma peça de secção circular – é definido pelo produto G * Ip e traduz a

maior ou menor capacidade que a peça tem para se opor á deformação.

Módulo de Torção – define-se como a relação

ε=σ .E

γ=τ .G

2R

RIp 3π

=


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Diagramas de distribuição de tensões tangenciais numa secção transversal

rectangular circular sujeita a esforço de torção

Peça Maciça Peça Oca


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Momento Torsor – Secções Rectangulares Prismáticas

Analisando as figuras:

Diagrama de Tensões b h


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Veio encastrado nas duas extremidades e sujeito a um momento de torção Resolvendo o sistema: Mb tem valor conhecido Diagrama de Esforços Mt N.b / L + + - - • O momento torsor é semelhante á aplicação de uma carga numa viga

0MbMcMa =−+

Ip.GLb.Mc

Ip.GLa.Ma

=

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