mac-015 resistência dos materiais – unidade 02 · mac-015 resistência dos materiais – unidade...

134
MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental Leonardo Goliatt, Michèle Farage, Alexandre Cury Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional Universidade Federal de Juiz de Fora versão 16.06 L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 1 / 69

Upload: phungquynh

Post on 01-Dec-2018

221 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02Engenharia Elétrica

Engenharia de ProduçãoEngenharia Sanitária e Ambiental

Leonardo Goliatt, Michèle Farage, Alexandre Cury

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 16.06

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 1 / 69

Page 2: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial

Programa

1 Carga AxialTensão e DeformaçãoMembros com carga axial estaticamente indeterminadosVariação de temperatura

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 2 / 69

Page 3: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Programa

1 Carga AxialTensão e DeformaçãoMembros com carga axial estaticamente indeterminadosVariação de temperatura

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 2 / 69

Page 4: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo da tração de uma barra prismática

P = kδ ; δ = fP

onde δ é o alongamento, k é o coeficiente de rigidez e f é o coeficientede flexibilidade.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 2 / 69

Page 5: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo da tração de uma barra prismática

δ =PLEA

; k =EAL

; f =L

EAonde E é o módulo de elasticidade e A é a área da seção transversal.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 3 / 69

Page 6: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo de membros carregados axialmente

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 4 / 69

Page 7: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo de membros carregados axialmente

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 5 / 69

Page 8: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo de membros carregados axialmente

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 5 / 69

Page 9: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Mudança de comprimento em membros carregadosaxialmente

Exemplo de membros carregados axialmente

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 5 / 69

Page 10: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O ensaio de tração e compressão

O conceito de tensão

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 6 / 69

Page 11: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O ensaio de tração e compressão

A resistência de um material depende de sua capacidade de suportar umacarga sem deformação excessiva ou ruptura.Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinadapor métodos experimentais, como o ensaio de tração ou compressão.Uma máquina de teste é projetada para ler a carga exigida para manter oalongamento uniforme.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 7 / 69

Page 12: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

A tensão nominal (σ ), ou tensão de engenharia, é determinada peladivisão da carga aplicada P pela área original da seção transversal docorpo de prova, A0.

σ =PA0

A deformação nominal (ε), ou deformação de engenharia, é determinadapela divisão da variação, δ , no comprimento de referência do corpo deprova, pelo comprimento de referência original do corpo de prova, L0.

ε =δ

L0

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 8 / 69

Page 13: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O ensaio de tração e compressão

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 9 / 69

Page 14: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O ensaio de tração e compressão

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 9 / 69

Page 15: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O ensaio de tração e compressão

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 9 / 69

Page 16: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

Escoamento

Endurecimento por deformação

Estricção

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 17: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elásticoA tensão é proporcional àdeformação.O material é linearmente elástico.

Escoamento

Endurecimento por deformação

Estricção

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 18: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

EscoamentoUm pequeno aumento na tensãoacima do limite de elasticidaderesultará no colapso do material efará com que ele se deformepermanentemente.

Endurecimento por deformação

Estricção

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 19: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

Escoamento

Endurecimento por deformaçãoQuando o escoamento tiverterminado, pode-se aplicar umacarga adicional ao corpo de prova,o que resulta em uma curva quecresce continuamente, mastorna-se mais achatada até atingiruma tensão máxima denominadalimite de resistência.

Estricção

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 20: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

Escoamento

Endurecimento por deformação

EstricçãoNo limite de resistência, a área daseção transversal começa adiminuir em uma regiãolocalizada do corpo de prova.O corpo de prova quebra quandoatinge a tensão de ruptura.

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 21: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

Escoamento

Endurecimento por deformação

Estricção

Diagrama tensão–deformação realOs valores da tensão e dadeformação calculados por essasmedições são denominados tensãoreal e deformação real.Use este diagrama já que amaioria dos projetos deengenharia é feito dentro da faixaelástica.

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 22: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão–deformação

Comportamento elástico

Escoamento

Endurecimento por deformação

Estricção

Diagrama tensão–deformação real

O comportamento da tensão–deformaçãode materiais dúcteis e frágeis

1 Materiais dúcteis: Material quepossa ser submetido a grandesdeformações antes de sofrerruptura é denominado materialdúctil.

2 Materiais frágeis: Materiais queexibem pouco ou nenhumescoamento antes da falha sãodenominados materiais frágeis.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 10 / 69

Page 23: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Lei de Hooke

A lei de Hooke define a relação linear entre tensão e deformação dentroda região elástica.

σ = Eε

σ = tensãoE = módulo de elasticidade ou módulo de Youngε = deformação

E pode ser usado somente se o material tiver relação linear–elástica.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 11 / 69

Page 24: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Endurecimento por deformação

Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região plásticae, então, descarregado, a deformação elástica é recuperada.Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é que omaterial fica submetido a uma deformação permanente.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 12 / 69

Page 25: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo de um diagrama

O diagrama tensão-deformação para uma liga de alumínio utilizada nafabricação de peças de aeronaves é mostrado abaixo. Se um corpo deprova desse material for submetido à tensão de tração de 600 MPa,determine a deformação permanente no corpo de prova quando a carga éretirada.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 13 / 69

Page 26: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Coeficiente de Poisson

Coeficiente de Poisson, ν , estabelece que dentro da faixa elástica, a razãoentre essas deformações é uma constante, já que estas são proporcionais.

ν =− εlateral

εlongitudinal

A expressão acima tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal(deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) evice-versa.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 14 / 69

Page 27: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

Para cisalhamento puro, o equilíbrio exigeque tensões de cisalhamento iguais sejamdesenvolvidas nas quatro faces do elemento.

Se o material for homogêneo e isotrópico, atensão de cisalhamento distorcerá o elementouniformemente.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 15 / 69

Page 28: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

A maioria dos materiais de engenharia apresenta comportamento elásticolinear, portanto a lei de Hooke para cisalhamento pode ser expressa por

τ = Gγ

G = módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 16 / 69

Page 29: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

O diagrama tensão−deformação de cisalhamento

Três constantes do material, E,ν e G, na realidade, estão relacionadaspela equação

G =E

2(1+ν)

G = módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de rigidez.

E = módulo de elasticidade ou módulo de Young

ν = Coeficiente de Poisson

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 17 / 69

Page 30: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

ExemploUm corpo de prova de alumínio tem diâmetro d0 = 25 mm e tem comprimento dereferência de L0 = 250 mm. Supondo que uma força de 165 kN alongue o corpo de 1.20mm, determine o módulo de elasticidade e quanto o diâmetro do corpo se contrai. O limiteelástico do alumínio é atingido em 440 MPa. Dados: Gal = 26 GPa.

σ =PA=

165(103)N(π/4)(0.025m)2 = 336.1 MPa < 440 MPa

ε =δ

L0=

1.2mm250mm

= 0.0048 mm/mm

Eal =σ

ε=

336.1Pa0.0048

= 70GPa

Gal =Eal

2(1+ν)⇒ 26GPa =

70GPa1(1+ν)

⇒ ν = 0.346

ν =− εlat

εlong⇒ 0.346 =− εlat

0.0048⇒ εlat =−0.00166mm/mm

δ′ = (0.00166)(25) = 0.0415mm – contração no diâmetro

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 18 / 69

Page 31: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Princípio de Saint-Venant

O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadasnas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se“ auma distância suficientemente afastada

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 19 / 69

Page 32: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Princípio de Saint-Venant

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 20 / 69

Page 33: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Deformação elástica de um elemento submetido a cargaaxial

Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes dedeterminar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.

δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro

L = distância original

P(x) = força axial interna na seção

A(x) = área da seção transversal da barra

E = módulo de elasticidade

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 21 / 69

Page 34: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Deformação elástica de um elemento submetido a cargaaxial

Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes dedeterminar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axiais.

σ =P(x)A(x)

= Eε; ε =dδ

dx⇒ dδ = εdx =

P(x)A(x)E

dx

δ =∫ L

0dδ =

∫ L

0

P(x)A(x)E

dx

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 21 / 69

Page 35: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Deformação elástica de um elemento submetido a cargaaxial

Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade dabarra,

δ =PLAE

Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento;e negativos causarão compressão e contração.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 22 / 69

Page 36: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Deformação elástica de um elemento submetido a cargaaxial

δAD = ∑PLEA

=5LAB

EA+−3LBC

EA+−7LCD

EAL Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 23 / 69

Page 37: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seçãotransversal de 400 mm2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro estáacoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de traçãode 80 kN for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidadeC da barra. (Eaco = 200 GPa, Eal =70 GPa )

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 24 / 69

Page 38: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

δCB = PLEA = +80(103)0.6

π(0.005)2200(109)= 0.003056m→

δBA = PLEA = −80(103)0.4

400(10−6)70(109)=−0.001143m→

δC = δCB(→)+δBA(→) = 0.0042m

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 25 / 69

Page 39: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

Uma viga rígida AB apoia-se sobre dois postes curtos como mostrado nafigura. AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm; BD é feito dealumínio e tem diâmetro de 40 mm. Determinar o deslocamento doponto F em AB se for aplicada uma carga vertical de 90 kN nesse ponto.Admitir Eaco = 200 GPa e Eal = 70 GPa.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 26 / 69

Page 40: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

+ ∑MA = 0 =−90(0.2)+PBD(0.6)⇒PBD = 90(0.2)/0.6 = 30kN

∑FV = 0 = PBD +PAC−90PAC = 60kN

δA = PACLACAACEaco

= −60(103)0.3π(0.010)2200(109)

=

= 0.286mm ↓δB = −30(103)0.3

π(0.020)270(109)= 0.102mm ↓

δF = 0.102+(0.286−0.102)(400

600

)= 0.225mm ↓

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 27 / 69

Page 41: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

A barra rígida BDE esta apoiada por duas barras verticais de AB e CD. Aligação AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secçãotransversal de 500 mm2; a ligação de CD é feita de aço (E = 200 GPa e temuma área de seção transversal de 600 mm2. Com o carregamento de 30 kNmostrado, determinar a deflexão nos pontos B, D e E.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 28 / 69

Page 42: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

Forças atuantes na barra horizontal:

+ ∑MB = 0 =−30(0.6)+FCD(0.2)+ ∑MD = 0 =−30(0.4)−FAB(0.2)FCD = 90 kN; FAB =−60kN

Deslocamentos nas barras verticais:

δB = PLEA = −60(103)0.3

500(10)−670(109)

δB =−514(10)−6m ↑δD = PL

EA = 90(103)0.4600(10)−6200(109)

δD = 300(10)−6m ↓

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 29 / 69

Page 43: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Tensão e Deformação

Exemplo

Deslocamentos do ponto E:

Sejam B′ e D′ as posições deslocadasdos pontos B e D. Uma vez que BDEeh rígida, os pontos B′ e D′ e E′

permanecem sobre a mesma reta, eentão

BB′DD′ =

BHHD = 0.514

0.300 = 200−xx

⇒ x = 73.7 mm

EE′DD′ =

HEHD = δE

0.300 = 400+73.773.7

⇒ δE = 1.928 mm ↓

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 29 / 69

Page 44: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Programa

1 Carga AxialTensão e DeformaçãoMembros com carga axial estaticamente indeterminadosVariação de temperatura

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 30 / 69

Page 45: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

A barra abaixo possui as duas extremidades fixas, e acondição de equilíbrio resulta em

+ ↑∑F = 0 = FA +FB−P

Uma equação adicional é fornecida pela condição decompatibilidade

δA/B = 0 =FACLAC

AACEAC+

FCBLCB

ACBECB

São necessárias1 Equações de equilíbrio2 Equações de compatibilidade

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 30 / 69

Page 46: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

Três barras de aço (E = 200 GPa) são acopladas a um elemento rígidopor pinos e submetidas a uma carga de 15 kN como mostrado.Determine a força em cada barra. As barras AB e EF têm área de seçãotransversal de 25 mm2 e a barra CD seção transversal de 15 mm2.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 31 / 69

Page 47: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

Equações de equilíbrio

+ ∑MC = 0 =−FA(0.4)+15(0.2)+FE(0.4)

+ ↑ ∑Fy = 0 = FA +FC +FE−15

Equações de compatibilidadeδA−δE

0.8 = δC−δE0.4 ⇒ δC = (δA +δE)/2

FCL15E = 1

2

(FAL25E + FEL

25E

)FC = 0.3FA +0.3FE

Resolvendo simultaneamente

FA = 9.52 kNFC = 3.46 kNFE = 2.02 kN

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 32 / 69

Page 48: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à paredefixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e ahaste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma forçaaxial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 33 / 69

Page 49: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à paredefixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e ahaste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma forçaaxial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.

O equilíbrio da haste exige: + ↑ ∑Fx = 0 =−FA−FB +20(103)

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 33 / 69

Page 50: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à paredefixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e ahaste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma forçaaxial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.

A condição de compatibilidade para a haste exije que δB−A = 0.001 m

δB−A = 0.001 =FALAC

EA− FBLCB

EA⇒ 0.4FA−0.8FB = 3927 Nm

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 33 / 69

Page 51: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

A haste de aço (E = 200 GPa) tem diâmetro de 5 mm e está presa à paredefixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B′ e ahaste. Determine as reações em A e B′ se a haste for submetida a uma forçaaxial P = 20 kN. Despreze o tamanho do colar em C.

Temos:FA +FB = 20(103)0.4FA−0.8FB = 3927

Resolvendo chegamos em (FA, FB) = (16.6, 3.39) kN.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 33 / 69

Page 52: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Membros com carga axial estaticamente indeterminados

Carga AxialMembros com carga axial estaticamente indeterminados

[Desafio:] Dois postes apoiam a viga rígida, cada um deles possui largura d,espessura d e comprimento L. Supondo que o módulo de elasticidade domaterial A seja EA e do material B seja EB, determinar a distância x paraaplicar a força P de modo que a viga permaneça horizontal.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 34 / 69

Page 53: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Programa

1 Carga AxialTensão e DeformaçãoMembros com carga axial estaticamente indeterminadosVariação de temperatura

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 35 / 69

Page 54: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Variação de temperatura

Todos os membros e estruturas que analisamos até agora mantinham-sena mesma temperatura enquanto eles estavam sendo carregados.Vamos agora considerar várias situações que envolvem mudanças natemperatura.Vamos primeiro considerar uma haste homogênea AB de seçãotransversal uniforme, apoiada livremente sobre uma superfície horizontallisa, que sofre um aumento de temperatura.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 35 / 69

Page 55: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Carga AxialVariação de temperatura

Se a temperatura do da haste aumenta de uma quantidade ∆T , observa-seque ela alonga-se por uma quantidade δT que é proporcional tanto amudança de temperatura ∆T e o seu comprimento L.Temos então o deslocamento e deformação dados por

δT = α(∆T)L ⇒ εT =δT

L= α∆T

α é o coeficiente de dilatação térmica e∆T é a variação de temperatura.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 36 / 69

Page 56: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Carga AxialVariação de temperatura

Suponha-se que a mesma haste AB de comprimento L é colocada entredois suportes fixos a uma distância L entre si, e considere que não háforças nesta condição inicial.

Se a temperatura aumentar por ∆T , a barra não pode alongar por causadas restrições impostas nas suas extremidades e o alongamento δT dabarra é zero.

Uma vez que a haste é homogênea e de seção transversal uniforme, adeformação também zero (δT = 0).

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 37 / 69

Page 57: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Carga AxialVariação de temperatura

No entanto, os suportes vão exercer forças iguais e opostas na hastedepois que a temperatura foi elevada, para evitar que o alongamento.

Fazendo o equilíbrio das forças horizontais, observa-se que o problemaque temos de resolver é estaticamente indeterminado.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 38 / 69

Page 58: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Carga Axial Variação de temperatura

Carga AxialVariação de temperatura

Para resolver o problema, destacamos a haste doseu suporte B e deixamos alongar livremente àmedida que sofre a mudança de temperatura ∆T .

O alongamento correspondente é

δT = α(∆T)L

Aplicando a força P (reação redundante), temos

δP =PLEA

O deslocamento total δ deve ser nulo, então

δ = δT +δP =α(∆T)L+PLEA

= 0⇒P=−EAα(∆T)

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 39 / 69

Page 59: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 40 / 69

Page 60: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 40 / 69

Page 61: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em umelementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 40 / 69

Page 62: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Estudaremos os efeitos da aplicação de esforços torcionais em umelementos lineares longos, com eixos maciços e eixos vazados.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 40 / 69

Page 63: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Problemas analisadosdistribuição de tensões nas seções transversaisdeterminação do “ângulo de torção”eixos de transmissão de potência

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 41 / 69

Page 64: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Torque (ou momento de torção) é um momento que tende a torcer umelemento em torno de seu eixo longitudinal.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 42 / 69

Page 65: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

O esforço de torção desenvolvido no eixo de acionamento do ventilador depende da potência de saída do

motor.L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 43 / 69

Page 66: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Delimitação do estudo:Barras sujeitas à torção pura: Somente o efeito do momento torsor(torque), sendo os demais esforços simples nulos.Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou anular (coroacircular). Essas barras são comumente denominadas de eixos.Eixos sujeitos à momento torsor constante.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 44 / 69

Page 67: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Hipóteses:Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciaisPequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendicularesao eixo, com forma e dimensões conservadas.As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), emtorno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra.Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixopermanecerão inalterados.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 45 / 69

Page 68: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Hipóteses:Linearidade entre deformações angulares e tensões tangenciaisPequenas deformações: as seções permanecem planas e perpendicularesao eixo, com forma e dimensões conservadas.As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção), emtorno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em relação a outra.Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixopermanecerão inalterados.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 45 / 69

Page 69: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita.Os diagramas são similares aos de esforço normal.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 46 / 69

Page 70: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

A convenção de sinal para T é determinada pela regra da mão direita.

Os diagramas são similares aos de esforço normal.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 46 / 69

Page 71: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Torção de eixos não circulares não serão tratados neste curso.

As seções não permanecem planas (sofrem empenamento).

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 47 / 69

Page 72: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Introdução

TorçãoIntrodução

Torção de eixos não circulares não serão tratados neste curso.As seções não permanecem planas (sofrem empenamento).

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 47 / 69

Page 73: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 48 / 69

Page 74: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Observe a deformação do6 elemento indicado abaixo

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 48 / 69

Page 75: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Observe a diferença na deformação para a seção transversal quadrada

Vamos agora determinar um modelo matemático para a deformação deum eixo circular

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 49 / 69

Page 76: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 77: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 78: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 79: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 80: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 81: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 82: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Considere um torque externo T aplicado em umeixo fixo em uma de suas extremidades.

O torque aplicado provoca uma rotação de umângulo de torção φ na extremidade livre.Se o torque T não for muito grande, observamos

O ângulo de torção φ é proporcional a TO ângulo de torção φ é proporcional aocomprimento L

Observamos que para seções circularespermanecem planas após a deformação.

O mesmo não acontece para outras seções.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 50 / 69

Page 83: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Vamos determinar as deformações no eixo ao ladoque sofreu uma rotação relativa φ em suasextremidades.

Considere o cilindro interno com raio ρ .

Vamos considerar também o elementosquadrilateral formado duas duas seções adjacentese duas linhas paralelas.

Após a aplicação de T, o elemento se deforma.

A deformação por cisalhamento γ é medida pelamudança do ângulo formado pelas arestas doelemento.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69

Page 84: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Vamos determinar as deformações no eixo ao ladoque sofreu uma rotação relativa φ em suasextremidades.

Considere o cilindro interno com raio ρ .

Vamos considerar também o elementosquadrilateral formado duas duas seções adjacentese duas linhas paralelas.

Após a aplicação de T, o elemento se deforma.

A deformação por cisalhamento γ é medida pelamudança do ângulo formado pelas arestas doelemento.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69

Page 85: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Vamos determinar as deformações no eixo ao ladoque sofreu uma rotação relativa φ em suasextremidades.

Considere o cilindro interno com raio ρ .

Vamos considerar também o elementosquadrilateral formado duas duas seções adjacentese duas linhas paralelas.

Após a aplicação de T, o elemento se deforma.

A deformação por cisalhamento γ é medida pelamudança do ângulo formado pelas arestas doelemento.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69

Page 86: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Vamos determinar as deformações no eixo ao ladoque sofreu uma rotação relativa φ em suasextremidades.

Considere o cilindro interno com raio ρ .

Vamos considerar também o elementosquadrilateral formado duas duas seções adjacentese duas linhas paralelas.

Após a aplicação de T, o elemento se deforma.

A deformação por cisalhamento γ é medida pelamudança do ângulo formado pelas arestas doelemento.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69

Page 87: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Vamos determinar as deformações no eixo ao ladoque sofreu uma rotação relativa φ em suasextremidades.

Considere o cilindro interno com raio ρ .

Vamos considerar também o elementosquadrilateral formado duas duas seções adjacentese duas linhas paralelas.

Após a aplicação de T, o elemento se deforma.

A deformação por cisalhamento γ é medida pelamudança do ângulo formado pelas arestas doelemento.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 51 / 69

Page 88: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Uma vez que as seções não se distorcem, doislados do elemento permanecem inalterados.

A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelaslinhas AB e A′B.

Observamos então o modelo linear para

AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ =ρφ

L

Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax

γmax =cφ

L⇒ φ

L=

γ

ρ=

γmax

c⇒ γ =

ρ

cγmax

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69

Page 89: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Uma vez que as seções não se distorcem, doislados do elemento permanecem inalterados.

A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelaslinhas AB e A′B.

Observamos então o modelo linear para

AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ =ρφ

L

Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax

γmax =cφ

L⇒ φ

L=

γ

ρ=

γmax

c⇒ γ =

ρ

cγmax

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69

Page 90: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Uma vez que as seções não se distorcem, doislados do elemento permanecem inalterados.

A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelaslinhas AB e A′B.

Observamos então o modelo linear para

AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ =ρφ

L

Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax

γmax =cφ

L⇒ φ

L=

γ

ρ=

γmax

c⇒ γ =

ρ

cγmax

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69

Page 91: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Uma vez que as seções não se distorcem, doislados do elemento permanecem inalterados.

A deforamação γ é igual ao ângulo formados pelaslinhas AB e A′B.

Observamos então o modelo linear para

AA′ = Lγ = ρφ ⇒ γ =ρφ

L

Na superfície da do eixo, onde ρ = c, γ = γmax

γmax =cφ

L⇒ φ

L=

γ

ρ=

γmax

c⇒ γ =

ρ

cγmax

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 52 / 69

Page 92: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 53 / 69

Page 93: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 53 / 69

Page 94: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Deformação por Torção de um Eixo Circular

TorçãoDeformação por Torção de um Eixo Circular

Ruptura por torção de materiais frágeis e ducteis

Este eixo de acionamento tubular de um caminhão foi submetido a um torqueexcessivo, resultando em falha causada por escoamento do material.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 54 / 69

Page 95: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 55 / 69

Page 96: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica.

τ = Gγ

Uma variação linear na deformação por cisalhamento resulta em umavariação linear na tensão de cisalhamento correspondente

γ =ρ

cγmax⇒ Gγ =

ρ

cGγmax⇒ τ =

ρ

cτmax

τ: tensão de cisalhamento

G: módulo de elasticidade aocisalhamento

c: raio externo do eixo

ρ: distância intermediária

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 55 / 69

Page 97: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere um eixo AB submetido a um torque T, euma seção em C.

O diagrama de corpo livre da porção BC inclui otorque T e as forças de cisalhamento f F.

Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo eτ = dF

dA a tensão tangencial no ponto.

Para haver equilíbrio da porção BC, temos:

T =∫

ρdF =∫

ρ(τdA) =∫

ρρ

cτmaxdA

Daí temos

T =τmax

c

∫ρ

2dA⇒ T =τmaxJ

c⇒ τmax =

TcJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69

Page 98: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere um eixo AB submetido a um torque T, euma seção em C.

O diagrama de corpo livre da porção BC inclui otorque T e as forças de cisalhamento f F.

Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo eτ = dF

dA a tensão tangencial no ponto.

Para haver equilíbrio da porção BC, temos:

T =∫

ρdF =∫

ρ(τdA) =∫

ρρ

cτmaxdA

Daí temos

T =τmax

c

∫ρ

2dA⇒ T =τmaxJ

c⇒ τmax =

TcJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69

Page 99: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere um eixo AB submetido a um torque T, euma seção em C.

O diagrama de corpo livre da porção BC inclui otorque T e as forças de cisalhamento f F.

Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo eτ = dF

dA a tensão tangencial no ponto.

Para haver equilíbrio da porção BC, temos:

T =∫

ρdF =∫

ρ(τdA) =∫

ρρ

cτmaxdA

Daí temos

T =τmax

c

∫ρ

2dA⇒ T =τmaxJ

c⇒ τmax =

TcJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69

Page 100: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere um eixo AB submetido a um torque T, euma seção em C.

O diagrama de corpo livre da porção BC inclui otorque T e as forças de cisalhamento f F.

Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo eτ = dF

dA a tensão tangencial no ponto.

Para haver equilíbrio da porção BC, temos:

T =∫

ρdF =∫

ρ(τdA) =∫

ρρ

cτmaxdA

Daí temos

T =τmax

c

∫ρ

2dA⇒ T =τmaxJ

c⇒ τmax =

TcJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69

Page 101: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere um eixo AB submetido a um torque T, euma seção em C.

O diagrama de corpo livre da porção BC inclui otorque T e as forças de cisalhamento f F.

Seja ρ a distância do elemento dF até o eixo eτ = dF

dA a tensão tangencial no ponto.

Para haver equilíbrio da porção BC, temos:

T =∫

ρdF =∫

ρ(τdA) =∫

ρρ

cτmaxdA

Daí temos

T =τmax

c

∫ρ

2dA⇒ T =τmaxJ

c⇒ τmax =

TcJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 56 / 69

Page 102: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Substituindo τmax =TcJ em τ = ρ

c τmax expressamosa tensão de cisalhamento em função da distância ρ

até o eixo da barra:

τ =ρ

cTcJ⇒ τ =

J

Onde J é o momento de inércia polar para seçõescirculares

J =π

2c4

Para seções circulares vazadas

J =π

2(c4

2− c41)

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69

Page 103: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Substituindo τmax =TcJ em τ = ρ

c τmax expressamosa tensão de cisalhamento em função da distância ρ

até o eixo da barra:

τ =ρ

cTcJ⇒ τ =

J

Onde J é o momento de inércia polar para seçõescirculares

J =π

2c4

Para seções circulares vazadas

J =π

2(c4

2− c41)

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69

Page 104: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Substituindo τmax =TcJ em τ = ρ

c τmax expressamosa tensão de cisalhamento em função da distância ρ

até o eixo da barra:

τ =ρ

cTcJ⇒ τ =

J

Onde J é o momento de inércia polar para seçõescirculares

J =π

2c4

Para seções circulares vazadas

J =π

2(c4

2− c41)

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 57 / 69

Page 105: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere o eixo mostrado. Qual o maiortorque que pode ser aplicada se a tensãode cisalhamento máxima é de 120 MPa.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 58 / 69

Page 106: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção A Fórmula da Torção

TorçãoA Fórmula da Torção

Considere o eixo mostrado. Qual o maiortorque que pode ser aplicada se a tensãode cisalhamento máxima é de 120 MPa.

Usando a fórmula da torção temos

T =Jτmax

c

J = π

2 (c42− c4

1), chegamos em

T =π

2 (c42− c4

1)τmax

c

Substituindo os valores,

T =π

2 ((0.03)4− (0.02)4)120(106)

(0.03)

E temos T = 4084 Nm.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 58 / 69

Page 107: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 59 / 69

Page 108: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

O ângulo de torção φ e a deformação porcisalhamento máxima γmax estão relacionados por

γmax =cφ

L

Pela lei de Hooke, temos γmax =τmax

G

γmax =τmax

G=

TcJG

=TcGJ

Daí chegamos em

γmax =cφ

L⇒ cφ

L=

TcGJ⇒ φ =

TLGJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 59 / 69

Page 109: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

O ângulo de torção φ e a deformação porcisalhamento máxima γmax estão relacionados por

γmax =cφ

L

Pela lei de Hooke, temos γmax =τmax

G

γmax =τmax

G=

TcJG

=TcGJ

Daí chegamos em

γmax =cφ

L⇒ cφ

L=

TcGJ⇒ φ =

TLGJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 59 / 69

Page 110: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

O ângulo de torção φ e a deformação porcisalhamento máxima γmax estão relacionados por

γmax =cφ

L

Pela lei de Hooke, temos γmax =τmax

G

γmax =τmax

G=

TcJG

=TcGJ

Daí chegamos em

γmax =cφ

L⇒ cφ

L=

TcGJ⇒ φ =

TLGJ

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 59 / 69

Page 111: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Para um eixo prismático, o ângulo de torção éproporcional ao seu comprimento

φ =TLGJ

Se o eixo for composto por partes, temos

φ = ∑TiLi

GiJi

No caso de um eixo com seção transversal circularvariável, usamos um elemento diferencial

dφ =T

GJdx⇒ φ =

∫ TGJ

dx

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 60 / 69

Page 112: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Para um eixo prismático, o ângulo de torção éproporcional ao seu comprimento

φ =TLGJ

Se o eixo for composto por partes, temos

φ = ∑TiLi

GiJi

No caso de um eixo com seção transversal circularvariável, usamos um elemento diferencial

dφ =T

GJdx⇒ φ =

∫ TGJ

dx

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 60 / 69

Page 113: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Para um eixo prismático, o ângulo de torção éproporcional ao seu comprimento

φ =TLGJ

Se o eixo for composto por partes, temos

φ = ∑TiLi

GiJi

No caso de um eixo com seção transversal circularvariável, usamos um elemento diferencial

dφ =T

GJdx⇒ φ =

∫ TGJ

dx

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 60 / 69

Page 114: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Considere o eixo horizontal AD. Umaperfuração com diâmetro 44 mm foi feitano trecho CD. Sabendo que o eixo é feitode aço (G = 77 GPa), determine o ângulode torção na extremidade A.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 61 / 69

Page 115: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Considere o eixo horizontal AD. Umaperfuração com diâmetro 44 mm foi feitano trecho CD. Sabendo que o eixo é feitode aço (G = 77 GPa), determine o ângulode torção na extremidade A.

O eixo é composto de três trechos:AB, BC, CD.

Os diagramas de corpo livre sãomostrados abaixo.

Cada trecho possui um diâmetro

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 61 / 69

Page 116: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Considere o eixo horizontal AD. Umaperfuração com diâmetro 44 mm foi feitano trecho CD. Sabendo que o eixo é feitode aço (G = 77 GPa), determine o ângulode torção na extremidade A.

Do equilíbrio, temos queTAB = 250 Nm

TCD = TBC = 2250 Nm.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 61 / 69

Page 117: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Considere o eixo horizontal AD. Umaperfuração com diâmetro 44 mm foi feitano trecho CD. Sabendo que o eixo é feitode aço (G = 77 GPa), determine o ângulode torção na extremidade A.

Os momentos de inércia polar ficam:JAB = π

2 (0.015)4 = 0.0795(10−6) m4

JBC = π

2 (0.030)4 = 1.272(10−6) m4

JCD = π

2 [(0.030)4− (0.022)4] =

0.904(10−6) m4

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 61 / 69

Page 118: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Ângulo de Torção

TorçãoÂngulo de Torção

Considere o eixo horizontal AD. Umaperfuração com diâmetro 44 mm foi feitano trecho CD. Sabendo que o eixo é feitode aço (G = 77 GPa), determine o ângulode torção na extremidade A.

O ângulo de torção fica:

φA = ∑TiLiGiJi

= ∑TABLABGABJAB

+ TBCLBCGBCJBC

+ TCDLCDGCDJCD

= 250(0.4)77(109)0.0795(10−6)

+2250(0.2)

77(109)1.272(10−6)+

2250(0.6)77(109)0.904(10−6)

= 0.0430 rad= 0.0430 360

2π rad= 2.31o

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 61 / 69

Page 119: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 62 / 69

Page 120: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

Potência: trabalho realizado por unidade de tempo

P =dWdt

O trabalho realizado por um eixo rotativo é o produto do torque aplicadopelo ângulo de rotação

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 62 / 69

Page 121: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

Se durante um instante de tempo dt, o torque T fizer o eixo girar de umângulo dθ , temos

dW = Tdθ ⇒ P = Tdθ

dtPara um eixo rotativo com torque, a potência é

P = Tω, onde ω = dθ/dt é a velocidade angular do eixo

No SI, a potência é expressa em watts. quando o torque é medido em Nme ω é medido em rad/s.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 63 / 69

Page 122: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

Em alguns casos, é dada a frequência de rotação do eixo, expressa em Hz(hertz)

Como 1 ciclo=2πrad⇒ ω = 2πf , a equação para a potência é

P = (2πf )T

Para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico é

Jc=

Tτadm

,

onde τadm é a tensão máxima de cisalhamento, que depende do materialusado.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 64 / 69

Page 123: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

O eixo sólido AC do motor mostrado temdiâmetro de 25 mm, e está conectado a ummotor em C que transmite uma potênciade 3 kW quando gira a 50 Hz. Se asengrenagens em A e B removem 1 kW e 2kW respectivamente, determine a tensãomáxima de cisalhamento em AB e BC. Osmancais em D e E são livres de atrito.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 65 / 69

Page 124: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

O eixo sólido AC do motor mostrado temdiâmetro de 25 mm, e está conectado a ummotor em C que transmite uma potênciade 3 kW quando gira a 50 Hz. Se asengrenagens em A e B removem 1 kW e 2kW respectivamente, determine a tensãomáxima de cisalhamento em AB e BC. Osmancais em D e E são livres de atrito.

Os torques em A e C ficam:

TC = Pω= P

2πf =3000

50(2π) = 9.546 Nm

TA = Pω= P

2πf =1000

50(2π) = 3.183 Nm

Com isso, temos:

τAB = TAJ c = 3.183(0.0125)

π

2 (0.0125)4 = 1.04 MPa

τBC = TAJ c = 9.546(0.0125)

π

2 (0.0125)4 = 3.11 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 65 / 69

Page 125: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

Um eixo maciço de aço AB será usadopara transmitir 90 kW do motor M ao qualestá acoplado. Se o eixo girar a ω = 240rpm e o aço tiver uma tensão decisalhamento admissível τadm = 50 MPa,determine o diâmetro exigido para o eixocom precisão de mm. O mancal em B élivre de atrito.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 66 / 69

Page 126: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Transmissão de Potência

TorçãoTransmissão de Potência

Um eixo maciço de aço AB será usadopara transmitir 90 kW do motor M ao qualestá acoplado. Se o eixo girar a ω = 240rpm e o aço tiver uma tensão decisalhamento admissível τadm = 50 MPa,determine o diâmetro exigido para o eixocom precisão de mm. O mancal em B élivre de atrito.

Os torques em A e C ficam:

ω = 240 revmin 2π

radrev

1 min60 s = 25.133 rad

s

Tmax =Pω= 90000

25.133 = 3581 Nm

Com isso, temos:

τmax =Tmax

J c

50(106) = 3581cπ

2 c4

c3 = 3581π

2 50(106)⇒ c = 36 mm

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 66 / 69

Page 127: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

Programa

2 TorçãoIntroduçãoDeformação por Torção de um Eixo CircularA Fórmula da TorçãoÂngulo de TorçãoTransmissão de PotênciaProblemas Estaticamente Indeterminados

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 67 / 69

Page 128: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Em algumas situações os torques internos em elementos de estruturas oumáquinas não podem ser determinados diretamente usando somente asequações da estática.Como consequência, não é possível determinar o diagrama de corpolivre.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 67 / 69

Page 129: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Nesses casos, as equações de equilíbrio devem ser complementadas comrelações envolvendo as deformações obtidas a partir da geometria coproblema.Esses problemas são chamados de problemas estaticamenteindeterminados.

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 68 / 69

Page 130: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Um eixo de aço (G = 75 GPa) temdiâmetro de 40 mm e está fixo em suasextremidades. Determine as tensõesmáximas nos trechos AC e CB.

Equilíbrio: TAC +TCB−3000(0.1) = 0Compatibilidade: φC/A = φC/B

TAC(400)GJ

=TCB(600)

GJ⇒ TAC = 1.5TCB

Retormando o equilíbrio:

1.5TCB +TCB = 300

TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm

Tensões:

τAC,max =TACc

J=

180(0.02)(π/2)0.024 = 14.30 MPa

τCB,max =TCBc

J=

120(0.02)(π/2)0.024 = 9.55 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69

Page 131: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Um eixo de aço (G = 75 GPa) temdiâmetro de 40 mm e está fixo em suasextremidades. Determine as tensõesmáximas nos trechos AC e CB.

Equilíbrio: TAC +TCB−3000(0.1) = 0Compatibilidade: φC/A = φC/B

TAC(400)GJ

=TCB(600)

GJ⇒ TAC = 1.5TCB

Retormando o equilíbrio:

1.5TCB +TCB = 300

TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm

Tensões:

τAC,max =TACc

J=

180(0.02)(π/2)0.024 = 14.30 MPa

τCB,max =TCBc

J=

120(0.02)(π/2)0.024 = 9.55 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69

Page 132: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Um eixo de aço (G = 75 GPa) temdiâmetro de 40 mm e está fixo em suasextremidades. Determine as tensõesmáximas nos trechos AC e CB.

Equilíbrio: TAC +TCB−3000(0.1) = 0Compatibilidade: φC/A = φC/B

TAC(400)GJ

=TCB(600)

GJ⇒ TAC = 1.5TCB

Retormando o equilíbrio:

1.5TCB +TCB = 300

TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm

Tensões:

τAC,max =TACc

J=

180(0.02)(π/2)0.024 = 14.30 MPa

τCB,max =TCBc

J=

120(0.02)(π/2)0.024 = 9.55 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69

Page 133: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Um eixo de aço (G = 75 GPa) temdiâmetro de 40 mm e está fixo em suasextremidades. Determine as tensõesmáximas nos trechos AC e CB.

Equilíbrio: TAC +TCB−3000(0.1) = 0Compatibilidade: φC/A = φC/B

TAC(400)GJ

=TCB(600)

GJ⇒ TAC = 1.5TCB

Retormando o equilíbrio:

1.5TCB +TCB = 300

TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm

Tensões:

τAC,max =TACc

J=

180(0.02)(π/2)0.024 = 14.30 MPa

τCB,max =TCBc

J=

120(0.02)(π/2)0.024 = 9.55 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69

Page 134: MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 · MAC-015 Resistência dos Materiais – Unidade 02 Engenharia Elétrica Engenharia de Produção Engenharia Sanitária e Ambiental

Torção Problemas Estaticamente Indeterminados

TorçãoProblemas Estaticamente Indeterminados

Um eixo de aço (G = 75 GPa) temdiâmetro de 40 mm e está fixo em suasextremidades. Determine as tensõesmáximas nos trechos AC e CB.

Equilíbrio: TAC +TCB−3000(0.1) = 0Compatibilidade: φC/A = φC/B

TAC(400)GJ

=TCB(600)

GJ⇒ TAC = 1.5TCB

Retormando o equilíbrio:

1.5TCB +TCB = 300

TCB = 120 Nm; TAC = 180 Nm

Tensões:

τAC,max =TACc

J=

180(0.02)(π/2)0.024 = 14.30 MPa

τCB,max =TCBc

J=

120(0.02)(π/2)0.024 = 9.55 MPa

L Goliatt, M Farage, A Cury (MAC/UFJF) MAC-015 Resistência dos Materiais versão 16.06 69 / 69