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PUCRS FACULDADE DE ENGENHARIA

Departamento de Engenharia Civil

Prof Maria Regina Costa Leggerini

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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA

UNIDADE: FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO: ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: RESISTNCIA DOS MATERIAIS I CDIGO: 44201-04 CRDITOS: 04 NVEL: IV CARGA HORRIA: 60h/a

EMENTA:

Introduo ao estudo da Resistncia dos Materiais. Esforo Normal Axial Simples. Cisalhamento Convencional. Geometria das Massas. Toro. Flexo Pura.

PROGRAMA:

CAP I INTRODUO A RESISTNCIA DOS MATERIAIS Conceito e objetivo da Resistncia dos Materiais. Tenses e Deformaes. Hipteses sobre os materiais. Princpios Fundamentais. Propriedades Mecnicas dos Materiais. Coeficiente de Segurana. Lei de Hooke. Lei de Hooke generalizada. Lei de Poisson.

CAP II TRAO OU COMPRESSO AXIAL Barras Prismticas com e sem considerao do peso prprio. Trelias. Problemas hiperestticos. Tubos e reservatrios de paredes finas sob presso. Projeto e verificaes de peas.

CAP III CISALHAMENTO CONVENCIONAL Tenses e deformaes. Ligaes rebitadas. Ligaes Soldadas.

CAP IV GEOMETRIA DAS MASSAS Momento esttico e baricentros. Momentos de Inrcia Polar e axial. Produto de Inrcia. Translao e rotao de eixos. Construo de tabelas. Utilizao de tabelas em peas no tabeladas.

CAP V TORO Peas de Seo Circular e Coroa circular. Eixos de transmisso e reduo. Peas Tubulares (Hiptese de Bredt). Peas de seo Qualquer (Formulrio). Projetos e Verificaes de Peas.

CAP VI FLEXO RETA Flexo Pura e Reta. Flexo Pura e Oblqua. Lei da Distribuio de Tenses. Posio da Linha Neutra. Tenses Extremas. Projetos e Verificaes de Vigas.

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CAPTULO I

INTRODUO RESISTNCIA DOS MATERIAIS

I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistncia dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ao de solicitaes.

Ao estudarmos as solicitaes internas fundamentais (M, Q, N e Mt) estamos como que penetrando no interior da estrutura para analisarmos, em suas diversas sees, a existncia e a grandeza dos esforos que a solicitam.

A avaliao destes esforos foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostticas que deve preceder a Resistncia dos Materiais.

Consideraremos corpos reais, istropos e contnuos constitudos de pequenas partculas ligadas entre si por foras de atrao. Com a aplicao de esforos externos supe-se que as partculas destes corpos se desloquem e que isto prossiga at que se atinja uma situao de equilbrio entre os esforos externos aplicados e os esforos internos resistentes. Este equilbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformaes (mudana da forma original), dando origem tenses internas.

Observe-se que o equilbrio se d na configurao deformada do corpo, que admitiremos como igual a configurao inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformaes.

Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:

1. Um fenmeno geomtrico que a mudana da sua forma original: Isto deformao.

2. Um fenmeno mecnico que a difuso dos esforos para as diversas partes do corpo: Isto tenso.

claro que podemos entender que a capacidade que um material tem de resistir as solicitaes que lhe so impostas limitada, isto , pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo, portanto necessrio conhecer esta capacidade para que possamos projetar com segurana.

Podemos resumir um problema de Resistncia dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

Estrutura

Cargas Externas Reativas

Cargas Externas Ativas Solicitaes

Tenses

Deformae

Limite Resistente do Material

Critrio de Resistncia (Coeficiente de Segurana)

PROJETO

VERIFICAO

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II. TENSES

Conforme j citamos, as tenses que se desenvolvem nas partculas de um corpo so consequncia dos esforos (fora ou momento) desenvolvidos. Como os esforos so elementos vetoriais (mdulo, direo e sentido) a tenso como consequncia tambm o ser.

Lembrando o mtodo das sees visto em Isosttica:

"Suponhamos um corpo carregado e em equilbrio esttico. Se cortarmos este corpo por uma seo qualquer "S" isolando, por exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer que na seo cortada devem se desenvolver esforos que se equivalham aos esforos da parte da direita retirada, para que assim o sistema permanea em equilbrio. Estes esforos podem ser decompostos e se constituem nas solicitaes internas fundamentais. O isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode ser feito."

Partindo deste raciocnio podemos afirmar que em cada elemento de rea que constitui a seo cortada est sendo desenvolvido um elemento de fora, cujo somatrio (integral) ao longo da rea mantm o equilbrio do corpo isolado.

=A

dA.R

A tenso mdia ( m) desenvolvida no elemento de rea citado nada mais do que a distribuio do efeito da fora pela rea de atuao da mesma.

Sejam: A elemento de rea

F

elemento de fora m tenso mdia

Como a tenso um elemento vetorial poderamos represent-la aplicada em um ponto determinado, que obteramos fazendo o elemento de rea tender ao ponto (A0), e ento:

Seja: = tenso atuante em um ponto ou tenso resultante em um ponto

m FA

=

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ou grficamente:

Como a tenso um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espao segundo 3 direes ortogonais que queiramos, e, portanto escolheremos como referncia de costume 2 direes contidas pelo plano da seo de referncia "S" (x,y) e a terceira perpendicular este plano (n).

Isto nos permite dividir as componentes da tenso do ponto em duas categorias:

- Tenses Tangenciais ou de Cisalhamento () - contidas pela seo de referncia

- Tenso Normal () - perpendicular seo de referncia

Costuma-se em Resistncia dos Materiais diferenciar estas duas tenses pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformaes) e poderamos adiantar que normalmente trabalharemos com estas componentes ao invs da resultante.

Tambm poderamos de incio convencionarmos como seo de referncia a seo transversal da pea em estudo. Cabe observarmos entretanto que mudada a referncia mudam tambm as componentes.

=

lim

A

FA

dF0 =

dA

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S S'

x

y

x'

y'

'

Havero casos em que a seo transversal no a de maior interesse, como ser demonstrado oportunamente nas solicitaes compostas, e ento, nestes casos o procedimento ser alterado.

A. TENSES NORMAIS ()

Conceito: A tenso normal tem a direo perpendicular seo de referncia e o seu efeito o

de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

Deformao especfica longitudinal () Costuma-se medir a deformao de peas sujeitas a tenso normal pela deformao

especfica longitudinal. a. Conceito: a relao que existe entre a deformao medida em um corpo e o seu

comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direo da tenso.

Seja: li comprimento inicial da barra lf comprimento final da barra l deformao total l = l f - l i

Observe que no exemplo dado l > 0 portanto > 0 (alongamento) Poderamos mostrar um outro exemplo onde l < 0 conseqentemente < 0

(encurtamento)

Neste exemplo l 0

portanto 0

b. sinal: (+) - alongamento Corresponde uma tenso de trao que tambm ser positiva (-) - encurtamento Corresponde uma tenso de compresso que tambm ser negativa

= lli

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c. Unidade: - adimensional quando tomarmos para l a mesma unidade que para li -Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos l em mm e li em m(metros).

B. TENSES TANGENCIAIS ( )

Conceito: Tenso desenvolvida no plano da seo de referncia tendo o efeito de provocar corte

ou cisalhamento nesta seo.

Lei da Reciprocidade das tenses tangenciais Esta lei representa uma propriedade especial das tenses tangenciais. Ainda no

temos condies de provar a sua existncia mas podemos enunci-la de forma simples e aplic-la.

" Suponha duas sees perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tenso tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, ento obrigatriamente na outra face existir a mesma tenso tangencial normal a aresta. Ambas tero o mesmo mdulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. So chamadas de tenses recprocas."

Podemos facilitar a compreenso representando-a grficamente:

Distoro Especfica ( ) Medida de deformao de corpos submetidos a tenses tangenciais. Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tenses tangenciais em

suas faces. Para melhor visualisarmos a deformao vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

tg DDDB

= CC'CA

==== '

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Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformaes e ento

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Conclumos que as duas propriedades que caracterizam uma deformao elstica so:

- deformaes reversveis - proporcionalidade entre carga e deformao.

b. Deformaes plsticas: Se aumentssemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situao em que

terminaria a proporcionalidade e apesar da tendncia do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas deformaes residuais.

Considera-se ento terminado o regime elstico e o corpo passa a atuar em regime plstico.

Note ento que no regime plstico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformaes.

Se aumentssemos ainda mais a carga, o prximo limite seria a ruptura.

IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistncia dos Materiais assumiremos que estamos trabalhando com corpos que apresentam determinadas caractersticas:

a. Continuidade: Um corpo considerado contnuo quando qualquer de suas amostras trabalha de

maneira idntica as demais. No havendo descontinuidade, as tenses e as deformaes no variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.

Nestes casos tanto as tenses como as deformaes podem ser expressas por funes contnuas em relao as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade no implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material no homogneo e no entanto eles trabalham de maneira contnua (exemplo : concreto).

b. Hiptese de Bernoulli (Sees Planas)

Bernoulli observou a seguinte caracterstica no funcionamento dos corpos sujeitos solicitaes: "Uma seo plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma pea, continuar plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e aps sua deformao.

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Exemplo:

c. Princpio da Superposio de Efeitos

"O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada."

Este princpio pode ser generalizado, mas s vlido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistncia dos Materiais. Somente em casos de peas submetidas a flambagem (desequilbrio elasto-geomtrico do sistema) ou no Trabalho de Deformao este princpio no ser vlido devido a inexistncia de proporcionalidade entre causa e efeito, o que ser oportunamente demonstrado.

Observe-se que este princpio j foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no clculo das reaes de apoio em uma estrutura isosttica.

V. LEI DE HOOKE

Conforme veremos, a maioria dos projetos de peas sero tratados no regime elstico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plstico e se constituindo no que h de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistncia doa Materiais.

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que a base de funcionamento dos corpos em regime elstico.

"As tenses desenvolvidas e suas deformaes especficas consequentes so proporcionais enquanto no se ultrapassa o limite elstico do material."

Expresses analticas:

==== E(mod. de elasticidade longitudinal)

==== G( de elasticidade transversal)mod.

Estes mdulos de elasticidade so constantes elsticas de um material, e so determinados experimentalmente.

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Exemplo:

Ao Comum : E = 2,1 . 104 kN/cm2 G = 0,8 .104 kN/cm2

VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAO ESPECFICA TRANSVERSAL)

notao : t

Poisson determinou experimentalmente a deformao que as peas sofrem nas direes perpendiculares a da aplicao da tenso normal.

conceito: Deformao especfica transversal a relao entre a deformao apresentada e o

seu comprimento respectivo, ambos medidos em direo perpendicular da tenso.

tD

D====

Os estudos de Poisson sobre a deformao transversal nos levam as seguintes concluses: 1. e t tem sempre sinais contrrios

2. As deformaes especficas longitudinais e transversais so proporcionais em um mesmo material

t ====

O coeficiente de Poisson a terceira constante elstica de um material, tambm determinada experimentalmente.

3. Em uma mesma seo a deformao especfica transversal constante para qualquer direo perpendicular ao eixo.

aa

bb

cons tet==== ==== ==== tan

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4. As constantes elsticas de um mesmo material se relacionam pela expresso:

G E====++++2 1( )

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tenso em uma s direo. Na prtica os corpos podem estar sujeitos a tenso em todas as direes, o que podemos simplificar reduzindo-as a trs direes ortogonais tomadas como referncia.

A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tenses normais com resultante nas trs direes tomadas como referncia no espao : x, y, e z.

Sabemos por Poisson que uma tenso provoca deformao em sua direo e em direes perpendiculares a sua tambm.

Poisson:

t

E==== ==== -t

Hooke:

E t

==== = -E

O efeito da tenso x seria:

na direo x : x xE====

na direo y : t y xE====

na direo z: t z xE====

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Poderamos fazer este raciocnio com as demais tenses. Se ao invz de selecionarmos uma tenso, selecionarmos uma direo, por exemplo

x:

efeito de x

xx

E====

efeito de y

t xy

E=

efeito de z

t xz

E=

Adotando-se o princpio da superposio de efeitos teramos:

x x

y z

E E E= +

+

Esta expresso simplificada algbricamente fica:

(((( ))))[[[[ ]]]] x x y zE==== ++++1

anlogamente

(((( ))))[[[[ ]]]] y y x zE==== ++++1 e (((( ))))[[[[ ]]]] z z x yE==== ++++1

Estas expresses se constituem no que chamamos LEI DE HOOKE GENERALIZADA Observaes:

1. Tenso em uma s direo no implica em deformao em uma s direo.

2. Para a deduo das expresses anteriores as tenses normais foram representadas de trao e portanto positivas. Se alguma delas for de compresso dever figurar nas frmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformao especfica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significaro encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as caractersticas mecnicas dos materiais so realizados em laboratrio ensaios com amostras do material, que so chamadas de corpos de prova.

No Brasil estes ensaios so realizados empregando-se mtodos padronizados e regulamentados pela ABNT.

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O ensaio mais costumeiro o de trao simples, onde determinamos TENSES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tenso mxima alcanada pelo material, em laboratrio, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realizao destes ensaios j podemos separar os materiais em dois grupos:

materiais d teismateriais frageis

A. MATERIAIS DTEIS :

So considerados materiais dteis aqueles que sofrem grandes deformaes antes da ruptura. Dentre os materiais dteis ainda temos duas categorias:

1. Dtil com escoamento real: exemplo: ao comum

Num ensaio de trao axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravz de um diagrama tenso x deformao especfica ( x ).

No caso de material dtil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:

reta AB - Indica a proporcionalidade entre x , portanto o perodo em que o material trabalha em regime elstico (lei de Hooke). Deformaes reversveis.

p - Tenso de proporcionalidade Representa o limite do regime elstico.

curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plstico do material. Podemos notar que as deformaes crescem mais rapidamente do que as tenses e cessado o ensaio j aparecem as deformaes residuais, que graficamente podemos calcular traando pelo ponto de interesse uma reta paralela do regime elstico. Notamos que neste trecho as deformaes residuais so ainda pequenas mas irreversveis.

e - Tenso de escoamento Quando atingida a tenso de escoamento o material se desorganiza internamente (a nvel molecular) e sem que se aumente a tenso ao qual ele submetido, aumenta grandemente a deformao que ele apresenta.

trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este perodo comeam a aparecer falhas no material (estrices), ficando o mesmo invalidado para a funo resistente.

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curva DE - Aps uma reorganizao interna o material continua a resistir a tenso em regime plstico, porm agora com grandes e visveis deformaes residuais. As estrices so agora perceptveis ntidamente. No se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformaes residuais.

R - Tenso de ruptura

Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado at o escoamento, portanto sua TENSO LIMITE ser a TENSO DE ESCOAMENTO.

2. Dtil com escoamento convencional Exemplo: aos duros

Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas no apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas no se admitem grandes deformaes residuais se convenciona em 2 o/oo este limite, ficando a tenso correspondente convencionada como TENSO DE ESCOAMENTO, que tambm a TENSO LIMITE do material.

OBSERVAES: Os materiais dteis de uma maneira geral so classificados como aqueles que

apresentam grandes deformaes antes da ruptura, podendo tambm ser utilizados em regime plstico com pequenas deformaes residuais.

Apresentam uma propriedade importantssima que RESISTIREM IGUALMENTE A TRAO E A COMPRESSO.

Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de trao e de compresso.

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B. MATERIAIS FRGEIS Exemplo : concreto

So materiais que se caracterizam por pequenas deformaes anteriores a ruptura. O diagrama x quase linear sendo quase global a aplicao da lei de Hooke.

Nestes casos a TENSO LIMITE a TENSO DE RUPTURA. Ao contrrio dos materiais dteis, eles resistem diferentemente a trao e a compresso, sendo necessrio ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:

T = Limite de ruptura a trao C = Limite ruptura a compresso

Em geral estes materiais resistem melhor a compresso do que a trao.

IX. CRITRIO DE RESISTNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANA

Em termos gerais um projeto est sempre ligado ao binmio economia x segurana. Devemos ter um ndice que otimize este binmio.

Poderamos dizer tambm que mesmo sendo determinada em laboratrio a utilizao da tenso limite em projetos arriscada, pois trabalhamos com diversos fatres de incerteza.

Em vista do que foi exposto adotamos o seguinte critrio: A tenso limite reduzida divindo-a por um nmero que chamaremos de coeficiente

de segurana (s). Para que este nmero reduza o mdulo da tenso limite, ele deve ser maior do que a unidade. Ento, para que haja segurana:

s 1

As tenses assim reduzidas, que so as que realmente podemos utilizar, so chamadas de TENSES ADMISSVEIS ou TENSES DE SERVIO que para serem diferenciadas das tenses limites so assinaladas com uma barra ( ).

adms

====lim

Podemos resumir analticamente o critrio de segurana conforme abaixo, para os diversos casos:

MATERIAIS DTEIS MATERIAIS FRGEIS

mxt

e

es

==== ==== (tenso de escoamento admissvel)

mxtT

Ts

==== ==== (tenso de trao admissvel)

mxce

es

==== ==== (tenso de escoamento admIssvel)

mxcc

cs

==== ==== (tenso de compresso admissvel)

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EXERCCIOS :

1. Uma barra de lato de seo circular de diametro 3 cm est tracionada com uma fora axial de 50 kN. Determinar a diminuio de seu diametro. So dados do material o mdulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de ao de 25 cm de comprimento e seo quadrada de lado 5 cm suporta uma fora axial de trao de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e = 0,3 , qual a variao unitria do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior sumetida uma fora axial de trao. Experimentalmente determinou-se o mdulo de sua deformao especfica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

R: 625,212 cm3

4. Uma barra de alumnio de seo circular de diametro 1. 1/4" est sujeita uma fora de trao de 5.000 kgf. Determine:

a. Tenso normal (a) 651,89 kgf/cm2 b. Deformao especfica longitudinal (b) 0,000815 c. Alongamento em 8" (c) 0,163 mm d. Variao do diamentro (d) - 0,006 mm e. Variao da rea da seo (e) -0,3 mm2 f. Variao de volume em um comprimento de 200 mm (f) 65 mm3

Admita-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 = 0,25 1" = 25 mm

5. A placa da figura submetida a tenses normais de compresso na direo z de mdulo 10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformao impedida na direo x devido presena de elementos fixos A e B. Pede-se :

a. Deformao especfica na direo y (a) 1,59 . 10-4 b. Deformao total na direo y (b) 0,000636 cm

Dados do material : E = 105 kN/cm2 = 0.86

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6. A figura abaixo mostra um prisma submetido fora P =30 kN e Q = 32 kN. As peas A e B so fixas. Pede-se a deformao especfica longitudinal na direo y e a deformao total na direo z.

E = 103 kN/cm2 = 0,2

R: y = - 4,08 . 10-3 lz = 5,64 . 10-3 cm

7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumnio de 50 mm de dimetro solicitada em uma mquina de ensaio. Em certo instante a fora aplicada de 100 kN e o alongamento medido na direo do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padro de 300 mm.O diametro sofreu uma diminuio de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu mdulo de elasticidade longitudinal.

R: = 0,33 E =0,7 . 104 kN/cm2

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CAPTULO II

TRAO OU COMPRESSO AXIAL (SIMPLES)

I. CONCEITO:

Seja uma barra prismtica de eixo longitudinal reto e seo transversal constante de rea A. Quando sob ao de duas foras iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geomtrico de todas as sees transversais) originam-se esforos no seu interior, mesmo sendo de equilbrio a situao.

Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seo transversal qualquer, por exemplo b-b (fig a).

Assim como todo o corpo est em equilbrio, qualquer parte sua tambm estar. Na seo de corte de rea A, deve aparecer uma fora equivalente ao esforo normal

N, capaz de manter o equilbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situao precedente ao corte. Neste caso, apenas a solicitao de esforo normal N, atuando no centro de gravidade da seo de corte necessria para manter o equilbrio.

Por meio deste artifcio (corte) os esforos internos transformaram-se em externos e o seu clculo se fez aplicando-se uma equao de equilbrio.

Admite-se que este esforo normal se distribui uniformemente na rea em que atua(A), ficando a tenso definida pela expresso:

sendo: N Esforo Normal desenvolvido A rea da seo transversal

= NA

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Na prtica, vistas isomtricas do corpo so raramente empregadas, sendo a visualizao simplificada como:

Fy = 0 Q = 0 Ms = 0 M = 0 Fx = 0 N - F = 0

A trao ou Compresso axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e trelias.

Lembramos a conveno adotada para o esforo normal (N)

Nas tenses normais, adotamos a mesma conveno. As deformaes desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:

= ll

=

E

N = P = NA

ll

=

E

l

= N

EAl ou :

N = F

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l = N.lE.A

II. VALIDADE DA DISTRIBUIO UNIFORME

Ao aceitarmos as equaes acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material idealizado, pois todas as partculas do corpo so consideradas com contribuio igual para o equilbrio da fora N.

Podemos calcular a resultante de fora N aplicada no centride da seo se somarmos todas as resultantes de fora que atuam em todos os elementos de rea que constituem a seo transversal.

=A

dA.N

Como partimos da premissa de que em todos os elementos de rea atua a mesma tenso, decorre da que:

Nos materiais reais esta premissa no se verifica. Por exemplo, os metais consistem em grande nmero de gros e as madeiras so fibrosas. Sendo assim, algumas partculas contribuiro mais para a resistncia de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuio de tenses varia em cada caso particular e bastante irregular.

Os mtodos de obteno desta distribuio exata de tenses so tratados na teoria matemtica da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seo em estudo, maior ser o pico de tenses normais. Em termos prticos porm, os clculos pela equao da tenso uniforme so considerados corretos.

N A= .

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Outros dois fatores de concentrao de tenses, onde a distribuio uniforme no vlida, so mostrados abaixo, e representam peas com variaes bruscas de seo.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peas comprimidas, pois peas esbeltas devem ser verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situao de desequilbrio elasto-geomtrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

II.a. Trelias

" Trelia um sistema reticulado, indeformvel (constituida por triangulos), cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas esto aplicadas nestas rtulas. Pelo fato das rtulas no transmitirem momento e devido ausncia de cargas nas barras podemos dizer que as barras de uma trelia esto sujeitas apenas a esforos normais que devem ser calculados."

Trelia uma opo estrutural em casos de grandes vos ou grandes carregamentos em que estruturas tradicionais seriam muito pesadas e dispendiosas. Como as trelias so constitudas de barras delgadas o peso prprio destas barras desprezado.

Conforme j foi visto existem diversos mtodos para o clculo dos esforos normais nas barras de uma trelia. Vamos revisar o mtodo de Ritter (mtodo das sees).

Exemplo:

A estrutura acima de acordo com o conceito constitui-se numa trelia. Para calcularmos os esforos normais desenvolvidos em suas barras pelo MTODO DE RITTER , deveramos:

a. Calcular, se necessrio, as reaes vinculares considerando-se a estrutura como um bloco monoltico, usando as equaes de equilbrio esttico.

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Fx = 0 Fy = 0 M = 0

b. Devemos cortar a trelia por sees de Ritter que devem:

- Atravessar a trelia toda, dividindo-a em duas partes - Interceptar no mximo 3 barras ao mesmo tempo - As 3 barras no podem ser paralelas ou concorrentes ao mesmo tempo

c. Isolar um dos lados do corte e nas barras cortadas arbitrar um esforo normal que deve ser calculado (Se houver uma barra que nos interesse em especial o corte deve intercept-la).

d. A soma dos momentos em relao qualquer n da trelia deve ser nulo. Devemos ter o cuidado de tomarmos como referncia ns convenientes (ns em que concorram duas barras).

Ao aplicarmos a 4 condio teremos resolvido algbricamente o problema, ou seja calcularmos os esforos normais nas barras interceptadas.

Calculados os esforos normais nestas barras podemos projet-las ou verific-las de acrdo com o material utilizado e com a exigncia do problema.

III. PESO PRPRIO DAS PEAS

O peso prprio das peas constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Podemos observar como se d a ao do peso prprio:

Podemos notar que nas peas horizontais o peso prprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforo Cortante.

No caso das peas verticais o peso prprio (G), atua na direo do eixo longitudinal da pea e provoca Esforo Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculao:

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Nas peas suspensas (tirantes) o efeito do peso de trao e nas apoiadas (pilares) este efeito de compresso.

O peso prprio de uma pea (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso especfico do material:

G A l==== . .

Sendo: A - rea da seo transversal da pea l - comprimento peso especfico do material

Na trao ou compresso axial a no considerao do peso prprio o caso mais simples.

A no considerao do peso prprio se d em peas construdas em materiais de elevada resistncia, quando a mesma capaz de resistir a grandes esforos externos com pequenas dimenses de seo transversal, ficando portanto o seu peso prprio um valor desprezvel em presena da carga externa. Nestes casos comum desprezarmos o peso prprio da pea. Exemplo: Trelias e tirantes.

EXEMPLO 1: Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu prprio peso,

conforme figura abaixo:

Sejam:

A - rea de seo transversal da pea

- peso especfico do material

l - comprimento da pea

P - carga externa atuante na pea

Determine uma expresso genrica para o clculo das tenses normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformao total consequente.

SOLUO: Usando o mtodo das sees cortamos a barra acima por uma seo S qualquer e isolamos um dos lados do corte, por exemplo, o lado de baixo.

OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre conveniente isolarmos esta parte pois evita o clculo das reaes vinculares.

Como o peso do material no pode mais ser desprezado, na seo cortada deve aparecer um esforo normal que equilibre a carga externa e tambm o peso prprio do material isolado. Isto j nos indica que a posio da seo de corte tem agora importncia pois ela determina o peso da pea isolado pelo corte. De acrdo com esta concluso devemos criar uma varivel que nos indique a posio da seo de corte desejada.

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Sendo: x ordenada genrica da posio da seo ser analizada e como a barra tem um comprimento l 0 x l

Aplicando a equao de equilbrio pertinente:

Fy = 0

N - P - g = 0

N = P + g(x) onde gx o peso parcial da barra isolada pelo corte

Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso especfico

V = A.x gx = A . . x

Observe que o esforo normal varia linearmente em funo da ordenada x da seo de referncia.

Como 0 x l podemos calcular os valores extremos do esforo normal

x = 0 N = P x = l

Chamando: G - Peso total da barra

G A l==== . .

Ento podemos escrever de outra forma o mximo esforo normal:

Podemos descrever a variao de esforo normal sob a forma grfica:

N = P + A . . x

Nmx = P + A . . l

Nmx = P + G

28

Da mesma maneira como desenvolvemos as expresses analticas para o esforo normal podemos faze-lo com as tenses normais:

Sabemos que ( )x = NA

Como N(x) = P + A . . x ento: ( ) .x = P + A. xA ou

Substituindo x por seus valores extremos teremos:

x = 0 = PA

x = l mx = PA

+ . l

Podemos com modificaes algbricas expressar o valor da tenso mxima em funo do peso total da barra,colocando A como denominador comum as parcelas:

mx = P + A. .lA

ou

mx = P + GA

Para determinarmos a deformao total ( l ) sofrida por uma barra sujeita uma carga externa (P) e ao seu peso prprio (G), utilizando o mtodo das sees, isolamos um trecho desta barra cortando-a por duas sees transversais S e S' infinitamente prximas, formando um prisma de comprimento elementar dx que se alongar apresentando um comprimento dx + dx.

= dxdx

dx = . dx

=

Ex dx = . dxx

E (alongamento do trecho de comprimento dx)

( )x = PA

+ .x

29

como vimos anteriormente

x PA

x==== ++++ .

ento:

Como queremos o alongamento da barra toda devemos fazer o somatrio dos diversos trechos de comprimento dx que compem a barra, ou seja:

+

=

l

0

dx.Ex.dx.

EAPl

Efetuando as integrais:

l = P.lE.A

+ l

2.E

2 .

Podemos expressar a equao da deformao total em funo do peso total G da pea, fazendo algumas modificaes algbricas:

+=

2GP

EAll

OBS: 1. Nas expresses acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforos

externos pea em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso prprio. 2. Tanto o esforo normal mximo como a tenso normal mxima foram expressas em duas

equaes, uma em funo do peso especfico do material e outra em funo do peso total da pea. A utilizao de uma ou outra equao depende dos dados que possuimos e da convenincia do problema.

3. Como ao deduzirmos estas expresses utilizamos como exemplo um caso em que tanto a carga externa como o peso prprio so esforos de trao, ambas as parcelas so positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compresso) deveremos mudar o sinal da parcela correspondente.

dx PEA

dx xE

dx= + .

30

IV. BARRAS DE IGUAL RESISTENCIA

"Se a rea da seo transversal de uma barra varia contnuamente de modo que em todas as sees atingimos a tenso admissvel do material, a barra ser chamada de igual resistncia."

Existem 2 razes para se variar a rea da seo transversal de uma pea ao longo de seu comprimento:

a) Se a rea da seo fr constante ao longo de seu comprimento, aproveita-se a tenso admissvel do material em apenas uma seo (a seo de tenso mxima) ficando as demais com tenses abaixo da tenso que o material poderia estar desenvolvendo. Poderamos conseguir uma economia de material diminuindo a rea das sees onde a tenso inferior tenso admissvel.

b) Nos casos em que o peso especfico do material elevado em presena de sua resistncia procura-se variar a rea da seo tornando a pea mais leve e econmica.

Para atingirmos a situao ideal que descreve uma barra de igual resistncia deveramos formar uma equao que determinasse a lei de variao da rea e chegaramos uma lei logartmica do tipo:

Ax

==== A . eo

onde Ao a rea inicial (situao mais favorvel), o peso especfico do material , a tenso admissvel do mesmo e x a varivel que marca a posio da seo na pea.

O que tericamente seria o timo, pela dificuldade de execuo no se mostra econmico pois no fcil executar uma pea com seo variando segundo uma lei logartmica. Podemos entretanto fazer a rea da seo variar descontinuamente, mantendo-a constante em determinados trechos e assim torn-la mais leve e portanto mais econmica.

Este procedimento simplificado nos leva ao que se chama de barra de igual resistncia aproximada , o que na prtica o mais usado.

"Quando se aproveita integralmente a resistncia do material na seo mais solicitada de cada trecho, a barra chamada de igual resistncia aproximada."

Exemplo:

31

V. SISTEMAS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS

Dizemos que um sistema estticamente indeterminado quando necessitamos de mais condies para resolv-lo do que as simples condies estticas.

EXEMPLO 2: PEAS CONSTITUDAS DE DOIS MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS

Na prtica surge frequentemente a necessidade de projetarmos peas constituidas de dois ou mais materiais diferentes, sujeitas trao ou compresso axial.

Para exemplificarmos o problema vamos supor um cilindro envolto por um tubo, de materiais diferentes e comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo os materiais coaxiais tem o centro de gravidade comum.

Vamos cortar esta pea e adotarmos o mtodo das sees para determinarmos as tenses atuantes nestes materiais:

N1 = 1 . A1

N2 = 2 . A2

Fv = 0 P - N1 - N2 = 0

P =N1 + N2

Esta condio da esttica no suficiente pois temos 2 incgnitas determinar, de modo que precisamos de outra condio para o problema. Podemos usar a condio de que se a pea trabalha como um bloco nico a deformao dos diversos materiais deve ser a mesma.

l1 = l 2 = l ento:

N lE A

N lE A

1 1

1 1

2 2

2 2

.

.

.

.

==== mas l1 = l2 = l

32

N lE A

N lE A

1

1 1

2

2 2

.

.

.

.

====

NE A

NE A

1

1 1

2

2 2. .====

Substituindo N1 e N 2 por seus valores teremos:

1

1 1 2 2

. 1 2 . 2A AE A E A. .

==== ou simplesmente: 11 2E E

====

2

1

2

1

2====

EE

Interpretando fsicamente a equao acima, vemos que a quantidade de tenso desenvolvida por cada material proporcional sua elasticidade.

Como E1 e E2 correspondem constantes de um material a relao entre as tenses tambm uma constante que poderemos chamar de n.

Ento n = EE

1

2

Logo: 1 2 = n.

Levando este valor equao de equilbrio esttico temos:

P = (n.2) A1 + 2 . A 2 ou isolando 2

2 = P

n.A + A1 2

EXEMPLO 3: PEAS HIPERESTTICAS

Em casos como o acima indicado, onde a vinculao excessiva (pea hiperesttica), precisamos tambm condies alm das estabelecidas pelo equilbrio esttico.

Como os vnculos nas extremidades so de 3 espcie, sabemos que a deformao na direo da carga aplicada impedida; considerando-se a barra formada por 2 trechos, determinados pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema:

Fx = 0

R1 + P - R2 = 0

33

l = 0

l1 + l2 = 0 l = N lE.A

11. 1

l = N lE.A

22. 2

Podemos expressar N1 e N2 em funo das cargas externas P, R1 e R 2 , e ento teremos 2 equaes com 2 incgnitas (R1 e R2 ), o que se torna algbricamente vivel.

VI. PEAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS

Outra aplicao de tenses normais uniformemente distribuidas ocorre na anlise simplificada de peas ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatrios cilndricos, esfricos,cnicos, etc... sujeitos presso interna ou externa de um gs ou lquido.

Por serem muito delgadas as paredes destas peas, considera-se uniforme a distribuio de tenses normais ao longo de sua espessura e considera-se tambm que devido flexibilidade destas peas as mesmas no absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforo cortante.

A relao entre a espessura e o raio mdio da pea no deve ultrapassar 0,1, sendo excluida a possibilidade de descontinuidade da estrutura.

Nestes casos tambm existe a possibilidade de ruptura por flambagem nas paredes sujeitas compresso, possibilidade esta que no ser considerada de momento. As aplicaes deste estudo se do em tanques e recipientes de armazenagem de lquidos ou gazes, tubulaes de gua ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avio, que so exemplos comuns de vasos de presso de paredes finas.

A. TUBOS DE PAREDES FINAS

Seja o tubo de paredes finas abaixo:

Seja:

pi - presso interna ri - raio interno t - espessura da parede

Intuitivamente podemos observar suas transformaes quando sujeito por exemplo uma presso interna pi:

34

Observe que o arco genrico de comprimento dS aps a atuao da presso interna alongou e passou a medir dS+dS, portanto houve uma tenso de trao capaz de along-lo.

Como o arco aumentou na sua prpria direo e como o arco considerado dS um arco genrico podemos concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferncia, ou seja, em todos os pontos da circunferncia se desenvolve uma tenso normal que por provocar um alongamento de trao (+) e por ter a direo da circunferncia chama-se de tenso circunferencial( circ ).

1. Deteminao da tenso circunferencial e de sua deformao

Para a determinao do valor desta tenses consideremos um tubo de comprimento 'L' conforme desenho:

Seccionamos o tubo segundo um plano diametral longitudinal e aplicamos as equaes de equilbrio:

Ao efetuarmos o corte na seo cortada devem aparecer tenses que equilibrem o sistema,que conforme j foi visto so tenses circunferenciais:

Podemos substituir as preses internas por um sistema equivalente:

35

Aplicando a equao de equilbrio esttico:

Fy = 0 teremos:

circ . 2.L.t - pi.2.ri.L = 0

2.L.t rea de corte onde atua a circ 2.ri.L rea onde atua pi

Efetuando modificaes algbricas chegamos na expresso:

circ = i . ip rt

tenso crcunferencial corresponde uma deformao circunferencial. circ =

dSdS

Considerando o comprimento dos arcos como o da circunferencia toda:

comprimento inicial = 2.pi.ri comprimento final = 2.pi. (ri + ri ) ento dS = 2.pi. (ri + ri ) - 2.pi.ri = 2.pi.ri

pipipipi

pipipipicirc

i

i

i

irad =

2. . r2. .r

=r

r=

Pela lei de Hooke

circ = circ i i

E

p .rt.E

====

ento comparando os valores: rr

= p .rt.E

i

i

i i

r = p .ri i i2

t E.

OBS: Chegamos aos valores das tenses e deformaes circunferenciais tomando como

exemplo o caso de tubos sujeitos presso interna. Quando estivermos diante de um caso onde atuam presses externas podemos adaptar o nosso formulrio ao invz de deduzirmos de novo, o que seria feito da mesma forma e seria repetitivo. Podemos citar como exemplo destes casos tubulaes submersas que esto sujeitas presso do lquido na qual esto submersas(presso externa).

36

Podemos notar que sob o efeito de presses internas o comprimento da circunferncia que compe a seo do tubo diminui ao invs de aumentar e portanto as tenses circunferenciais so de compresso e portanto negativas.

Da mesma maneira o raio da seo diminui e portanto tambm sua variao negativa.

O formulrio fica:

circe e

= -p .r

t r = - p r

t.Ee

e.2

e

B. RESERVATRIOS CILNDRICOS DE PAREDES FINAS

Reservatrios cilndricos de paredes finas nada mais so do que tubos com as extremidades fechadas.

Podemos notar notar que a ao da presso sobre as paredes longitudinais do reservatrio exercem o mesmo efeito que nos tubos, e que a ao da presso nas paredes de fechamento faz com que a tendncia do reservatrio seja aumentar de comprimento sugerindo o aparecimento de tenses na direo do eixo do reservatrio chamadas de tenses longitudinais(long), que poderamos calcular fazendo um corte transversal no reservatrio e aplicando equaes de equilbrio.

Teramos se isolassemos um elemento de rea da parede do reservatrio a seguinte situao:

onde:

circi i

= p .r

t

longi i

= p .r2. t

37

C. RESERVATRIOS ESFRICOS DE PAREDES FINAS

Quando submetido presso um reservatrio esfrico de paredes finas desenvolve tenses circunferenciais em todas as direes,pois todas as direes formam circunferncias.

Um elemento de rea da parede deste reservatrio seria representado:

O valor destas tenses circunferenciais seria:

circi i

= p .r2. t

38

EXERCCIOS:

1. Uma barra de seo transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de trao de 60 kN, sabendo-se que o mdulo de elasticidade longitudinal do material de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm

2. Uma barra de ao e outra de alumnio tem as dimenses indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocar um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras so impedidas de flambar lateralmente, e despresa-se o peso prprio das barras. Dados: Eao = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2 OBS : medidas em cm

R : P 1.900 kN

3. A trelia da figura suporta uma fora de 54 tf. Determine a rea das sees transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tenso admissvel de escoamento do material de l.400 Kgf/cm2. Determine tambm o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 . 104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2 lDE = 0,133 cm ACE =28,92 cm2

ABD = 14,46 cm2

39

4. Para a trelia da figura determine as reas mnimas necessrias s hastes FG e CD, sendo dados do material :

T = 4 kN/cm2 C = 6 kN/cm2 s = 2

R: ACD =20 cm2 AFG = 19,4 cm2

5. Para a trelia da figura determine as reas necessrias s hastes DF e DE sendo dados:

T = 16 kN/cm2 C = 20 kN/cm2 s = 2

R: ADF = 9 cm2 ADE = 12,5 cm2

6. Um cilindro slido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito uma fora axial de trao de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 de ao e a outra parte unida ao ao de alumnio e tem comprimento L2.

a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento. b. Qual o alongamento total do cilindro.

Dados: Eao = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

40

R : (a) L1 = 66,5 cm L2 = 23,33 cm

(b) l = 0,04 cm 7. Uma fora axial de 400 kN aplicada um bloco de madeira de pequena altura que se

apoia em uma base de concreto que repousa sobre o solo. Determine, despresando o peso prprio da madeira:

a. Tenso de esmagamento na base do bloco de madeira b. As dimenses do bloco de concreto qque tem peso especfico de 25 kN/m3, para

que no se ultrapasse no solo a tenso de 1,45 kN/cm2.

R: (a) 3,33 kN/cm2 (b) l66 mm

8. A carga P aplicada um pino de ao transmitida por um suporte de madeira por intermdio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d". Sabendo-se que a tenso normal axial no pino de ao no deve ultrapassar 35 MPa e que a tenso de esmagamento mdia entre a pea de madeira e a arruela no deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessrio para a arruela.

R: 6,32 cm

41

9. Aplica-se extremidade C da barrade ao ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eao de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

10. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumnio com mdulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC de 28 mm. Determinar a mxima fora que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento no pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tenso de escoamento admissvel para o alumnio de 16,5 kN/cm2.

R: P 84 kN

11. O fio de ao CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia mdia de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rgida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E. Dados do ao: E = 2 . 104 kN/cm2.

R: x = 10 cm

42

12. Uma barra de ao tem seo transversal de 10 cm2 e est solicitada pelas foras axiais indicadas. Determinar as tenses desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 1.000 kgf/cm2 trecho 2 : 700 kgf/cm2 trecho 3 : 900 kgf/cm2

13. Uma barra de ao colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do ao: E = 2,1 . 104 kN/cm2 = 80 kN/m3

R: 0,004763 mm

14. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN. Dimensione-o com seo quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso especfico de 19 kN/m3 e tem uma tenso de compresso admissvel de 6 kgf/cm2.

R: a 24,2 cm

15. Duas barras prismticas rgidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como se indica a figura. A barra superior de ao, tem 10 m de comprimento e seotransversal com 65 cm2 de rea; a barra inferior de lato, tem 6 m de comprimento e seo transversal com 52 cm2de rea. Pedem-se as mximas tenses de cada material e o alongamento do sistema.

Dados: ao lato E = 2,1 . 104 kN/cm2 E = 0,9 . 104 kN/cm2 = 78 kN/m3 = 83 kN/m3

43

R: mx ao =0,81 kN/cm2 mx lato = 0,91 kN/cm2 l = 0,096 cm

16. Para a pea do problema anterior, supondo toda ela de lato, qual a rea necessria para a parte de cima para que se tenha a mesma tenso mxima desenvolvida na parte de baixo.Neste caso qual o alongamento sofrido.

R: Anec 57,54 cm2 l = 0,1558 cm

17. Determine as dimenses 'a' ,' b' e 'c' da barra abaixo, construida com material de peso especfico 80 kN/m3 e tenso de escoamento admissvel de 15 MPa. Determine tambm a deformao total do sistema. As barras tem seo quadrada e apresentam E = 2.104 kN/cm2.

R: a 13,36 cm b 5,40 cm c 8,34 cm l = 0.060 cm

18. Determine as dimenses 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seo circular que recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine tambm a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuio. Dados do material: = 90 kN/m3 e = 0.5 kN/cm2

44

R: a 165.17 cm b 109.25 cm c 136.56 cm econ 44 %

19. Suponha um pilar de concreto de seo quadrada 20 x 20 cm, armado com 4 1/2", conforme figura. Determine a mxima carga 'P' que se pode aplicar este pilar, a percentagem desta carga que cada material absorve e o encurtamento do sistema. So dados:

ao concreto e kN cm= 12

2 / c kN cm= 0 6 2. /

E = 2.1 . 104 kN/cm2 E = 0.14 . 104 kN/cm2

R : P 282.5 kN concr: 83.88 % ao: 16.12 % l = 0.171 cm

20. Um cilindro de alumnio esta no interior de um tubo de ao e o conjunto comprimido axialmente por 240 kN por intermdio de placas rgidas. O cilindro de alumnio tem 8 cm de diametro e o de ao tem 10 cm de diametro externo. Determine as tenses

45

desenvolvidas no ao e no alumnio, a percentagem de carga que cada material absorve e o coeficiente de segurana do sistema. Dados:

Alumnio ao E = 0.28 . 104 kN/cm2 E = 2.1 . 104 kN/cm2 e = 6 kN/cm2 e = 12 kN/cm2

R: ao = 6.85 kN/cm2 Al = 0.91 kN/cm2 s = 1.75

21. Um tubo vertical de ao cheio de concreto tem diametro externo de 90 cm e interno de 87 cm. Para o ao o limite de escoamento de 24 kN/cm2 e o coeficiente de segurana adotado pela norma 2.25. Para o concreto a tenso de ruptura compresso de 1.5 kN/cm2 e o coeficiente de segurana adotado 2.5. Supondo o sistema comprimido por placas rgidas, determine a carga mxima aplicvel, sendo dados: Eao = 2.1 . 104 kN/cm2 Econcr = 0.18 . 104 kN/cm2

R: P 6.500 kN 22. Uma barra de seo quadrada de 5 cm de lado est fixa rgidamente entre duas paredes

e suporta uma carga axial de 20.000 Kgf, conforme figura. Calcular as reaes nos engastes e o alongamento da parte tracionada. Emat = 2.4 . 106 kgf/cm2

R: Resq = 12.000 Kgf ( ) Rdir = 8.000 Kgf ( ) l = 0.002 cm

23. A barra prismtica da figura engastada nas extremidades e suporta as cargas que a se indicam, aplicadas por intermdio de saliencias rgidamente ligadas barra. Desprezada a influncia da distribuio de esforos nessas salincias, pede-se calcular as tenses normais nos trechos AB, BC e CD. A rea da seo transversal desta barra de 10 cm2.

46

R: AB = - 2 kN/cm2 BC = - 6 kN/cm2 CD = + 6 kN/cm2

24. O tanque de um compressor de ar formado por um cilindro fechado nas extremidades por calotas semi-esfricas. O diametro interno do cilindro de 60 cm e a presso interna de 35 Kgf/cm2 . Se o material com que feito o cilindro de ao com limite de escoamento de 2.400 Kgf/cm2 e o coeficiente de segurana adotado de 3.5, pede-se determinar a espessura da parede do cilindro desprezando-se os efeitos da ligao do cilindro com as calotas.

OBS: num clculo mais rigoroso seria necessrio levar em conta e dimensionar a ligao.

R: 1.53 cm

25. Um tanque cilindrico de gasolina com eixo vertical est cheio partir da extremidade inferior com 12 m do lquido, tendo a gasolina peso especfico de 7.4 kN/m3. Tendo o tanque 26 m de diametro interno e sendo o limite de escoamento do material do tanque 240 MPa, pede-se calcular com segurana 2 a espessura necessria a parede em sua parte mais profunda. Qual seria esta espessura se a eficincia da ligao parede-fundo fosse de 85%?

R: t = 0.962 cm tjunta = 1.13 cm

26. Um tubulo de ar comprimido constituido por um tubo de ao de 2 m de diametro interno e recebe ar injetado para expulsar gua uma profundidade de 20 m. Calcular a espessura necesssria este tubo numa profundidade de 2 m, sendo a tenso de escoamento admissvel para o material do tubo de 6 kN/cm2.

47

R: 3 mm

27. Considere uma pea formada por dois tubos co-axiais. Inicialmente existe uma diferena entre os diametros de 0.025 cm, sendo necessrio aquecer o cilindro externo para nele introduzir o interno. Sendo de ao os dois cilindros; 10 cm o diametro da superfcie de contato; 0.25 cm a espessura do cilindro interno e 0.20 cm a espessura do externo, pede-se determinar as tenses circunferenciais desenvolvidas em cada um dos cilindros depois de resfriado o sistema.

48

CAPTULO III

CISALHAMENTO CONVENCIONAL

I. ASPECTOS GERAIS

Consideremos inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:

A largura destas chapas representada por "l" e a ligao est sujeita uma carga de trao "P".

Considerando-se o mtodo das sees, se cortarmos a estrutura por uma seo "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seo de pino cortada devem ser desenvolvidos esforos que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Ento:

Isolando: Aplicando as equaes de equilbrio:

Fx = 0

Q - P = 0

MS = 0

M - P.t/2 =0 M = P . t2

Vimos ento que as solicitaes que se desenvolvem na seo de corte do pino so de Momento Fletor e Esforo Cortante, com os valores acima calculados.

Q = P

49

II. CISALHAMENTO CONVENCIONAL

Conforme os clculos acima efetuados, podemos notar que o valor do momento pequeno j que estamos trabalhando com a unio de chapas que, por definio, tem a sua espessura pequena em presena de suas demais dimenses.

Podemos, nestes casos, fazer uma aproximao, desprezando o efeito do momento fletor em presena do efeito do esforo cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemtico do problema, mas tericamente no exato pois sabemos que momento e cortante so grandezas interligadas: Q dM

dx====

Em casos de ligaes de peas de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligaes rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta soluo simplificada nos leva a resultados prticos bastante bons, e ento adotaremos nestes casos, o cisalhamento aproximado, tambm chamado de cisalhamento convencional.

Conceito: O cisalhamento convencional uma aproximao do cisalhamento real, onde o efeito do momento desprezado.

Como teramos apenas uma rea sujeita uma fora contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade, para o clculo das tenses desenvolvidas adotaramos a da distribuio uniforme, dividindo o valor da fora atuante pela rea de atuao da mesma, rea esta denominada de REA RESISTENTE, que deveria ento ser o objeto da nossa anlise.

A distribuio uniforme nos diz que em cada ponto desta rea a tenso tangencial teria o mesmo valor dada por:

= Q

Aresist

A lei exata da distribuio de tenses deve ser posteriormente estudada para os outros casos em que o cisalhamento convencional no adotado.

50

III. LIGAES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA

DE TOPO SOLDA POR CORDES

Podemos observar que na solda de topo, h o desenvolvimento de tenso normal, o que j foi visto e foge do proposto neste captulo.Vamos nos ater ao estudo da solda por cordes.

B. SOLDA POR CORDES

Consideremos duas chapas de espessura t1 e t2 , ligadas entre si por cordes de solda conforme a figura abaixo:

Seja: g comprimento de trespasse entre as chapas h largura da chapa ser soldada t1 espessura da chapa ser soldada

Podemos intuitivamente notar que o efeito da fora se faz sentir ao longo do comprimento do cordo de solda, sendo lgico atribuirmos haver uma relao direta entre a rea resistente de solda e o comprimento do cordo.

Nas ligaes soldadas, consideramos a rea resistente de solda ao produto da menor dimenso transversal do cordo por seu comprimento respectivo.

51

Na ligao acima j podemos ver que a chapa de espessura t1est ligada chapa de espessura t2 por meio de um cordo de solda. Vamos ver ampliada uma seo transversal desta solda:

costume desprezar-se a parte boleada da seo de solda pois onde provveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc)

Vemos que "d" a menor dimenso da seo resistente deste cordo e que pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de catetos iguais t1 .

OBS: O dimetro do cordo de solda escolhido de acrdo com a espessura da chapa ser soldada.

d = t1 . sen 45

A resis ==== 0, 7 t . lcordo

Para o caso acima ficaria: comprimento do cordo (lc) lc = 2.g + h rea resistente Aresist = d . lc Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcularmos a tenso tangencial desenvolvida teremos:

= P

0, 7 t (2.g + h)

OBS: A avaliao da rea resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da concluso que ela deva ser igual ao comprimento do cordo, multiplicado pela menor dimenso da seo da solda podemos ter casos em que a expresso analtica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na de baixo mas aproveitando o comprimento disponvel do trespasse inferior tambm fixamos atravz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condio de segurana de uma ligao soldada ser ento:

d = 0,7 t1

52

P0, 7 t (2.g + h) de solda cordo

IV. LIGAES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAES REBITADAS

1. Superposio 2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAES GERAIS

Em qualquer ligao rebitada, alm de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores tambm devem ser examinados, portanto sempre que projetarmos ou verificarmos uma ligao rebitada devemos nos ater nos seguintes itens:

1. Cisalhamento nos rebites 2. Compresso nas paredes dos furos 3. Trao nas chapas enfraquecidas 4. Espaamento mnimo entre rebites

Para que a ligao tenha segurana todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites

O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das sees dos rebites entre duas chapas que so chamadas de sees de corte ou sees resistentes.

53

Chamemos : n - nmero de rebites que resiste carga P m - nmero de sees resistentes por rebite. d - diametro dos rebites A fora P resistida por "n" rebites com "m" sees resistentes cada um. Ento a rea resistente total nos casos de uma ligao rebitada :

Aresist . = m . n. d4

2pipipipi

Sendo reb a tenso admissvel ao cisalhamento do material do rebite, a tenso tangencial desenvolvida no pode ultrapassar a admitida.

A condio de segurana para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analtica seria:

P

m nd

. .

pipipipi2

4

reb

OBS: Observando os tipos de ligaes rebitadas nos exemplos vistos anteriormante vemos que: Superposio Cobrej. simples Cobrej. duplo m = 1 m = 1 m = 2 n = 4 n = 4 n = 4

2. Compresso nas paredes dos furos

A fora exercida nas chapas, e estando a ligao em equilbrio esttico, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o prprio rebite.

Esta compresso pode ser to grande que pode esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligao rebitada.

Devemos portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

54

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido ao do rebite sobre elas, sendo na vista de cima, representada a ao do rebite na chapa superior.

fim de facilitarmos o clculo destas compresses substituimos a rea semi cilindrica, da parede do furo, por sua projeo, que seria uma rea equivalente ou simplificada ficando:

Aresist = Asimpl = d.t

F = P

Como = FAresist

ento:

C = P

d. t

Como nos casos de ligaes rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expresso:: =

Pn.d. t

Sendo Cchapa a tenso de compresso admissvel para o material da chapa ou dos cobrejuntas, ento para que o projeto funcione com segurana, a condio expressa analticamente ficaria:

Pn.d. t

Cchapa

OBS: As tenses de compresso no se distribuem de maneira uniforme, entretanto vamos assim admiti-las.

3. Trao nas chapas enfraquecidas

Quando perfuramos as chapas para a colocao de rebites enfraquecemos a sua seo transversal. Quanto maior for o nmero de furos em uma mesma seo transversal, mais enfraquecida ficar a chapa nesta seo, pois sua rea resistente trao fica reduzida.

Antes da furao a seo transversal da chapa que resistia trao era:

55

TPt l

====

.

Ao colocarmos rebites na chapa, diminuimos nas sees onde h a furao, a rea resistente.

Supondo que se faam 2 furos em uma mesma seo transversal de chapa para a colocao de rebites. A nova rea resistente ser:

A nova tenso de trao desenvolvida ser:

= P

t(l - 2.d)

Para generalizar chamando de:

n1: o nmero de rebites colocados em uma mesma seo transversal; ento a expresso ficaria:

= P

t(l - n .d)1

A condio de segurana expressa analticamente ser:

Pt(l - n .d) 1

onde representa a tenso de trao admissvel para o material das chapas ou cobrejuntas

Obs:

Em casos de projetos de ligaes rebitadas sempre nos interessa a pior situao do sistema, que muitas vzes determinamos com a simples observao. Nos dois itens anteriores

56

(compresso nos furos e trao nas chapas enfraquecidas) poderamos tirar as seguintes concluses:

1. Nas ligaes por superposio e cobrejunta simples, sempre estar em pior situao a pea de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que para a trao nas chapas enfraquecidas, a seo transversal com maior nmero de rebites colocados a em pior situao (n1 mximo).

2. Nas ligaes com cobrejunta duplo seria conveniente a anlise das chapas e dos cobrejuntas j que a espessura dos mesmos diferente e a carga ao qual eles esto submetidos tambm o .

Cobrejunta: P/2 , t1

Chapas: P, t2

4. Espaamento mnimo entre rebites

Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaamento mnimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita tambm que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos o que poderia provocar acmulos de tenses nestas reas comuns . NB - 14 ( Estruturas Metlicas)

Recomendaes da Norma:

57

3 d - distancia mnima entre os centros de 2 rebites

2 d - distancia mnima entre centro de rebite e borda livre perpendicular ao da fora

1,5 d - distancia mnima entre centro de rebite e borda livre paralela ao da fora onde "d" o diametro do rebite.

EXERCCIOS

1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras mximas de corte em toda a largura para as chapas : a. Ao ( = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm b. Cobre ( = 130 MPa ) (b) 0.17 cm c. Alumnio ( = 70 MPa ) (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda usada a tenso admissvel ao cisalhamento de 8 kN/cm2. Determine tambm o menor trespasse possvel adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P 356.16 kN g 14 cm

3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A fora "P" igual 37.50 kN. Admita a distribuio de tenses de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tenses nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2

4. De acrdo com a figura, a fora P tende a fazer com que a pea superior (1) deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tenso desenvolvida no plano de contato entre as duas peas?

58

R: 4,71 kN/cm2

5. O ao de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistncia ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a fora P necessria para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste ao com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seo transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado para testar a resistncia a trao da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tenso de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mnimo "a" indicado, para que a ruptura se de por trao e no por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por trao de 10,4 kN.

R: a 0.8 cm

7. Considere-se um pino de ao de 3/8" de diametro sujeito fora axial de trao de 10 kN. Calcular a tenso de cisalhamento na cabea do pino, admitindo que a superfcie resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

59

R: 1,05 kN/cm2

8. As peas de madeira A e B so ligadas por cobrejuntas de madeira que so colados nas superfcie de contato com as peas. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tenso de cisalhamento nas superfcies coladas no ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm

9. Ao se aplicar a fora indicada, a pea de madeira se rompe por corte ao longo da superfcie tracejada. Determine a tenso de cisalhamento mdia na superfcie de ruptura.

R: 6 MPa

10. Sabendo que a tenso de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de ao de 330 MPa, determine: a. A fora necessria para produzir por puno um furo de 30 mm de diametro em uma

chapa com 9 mm de espessura. b. A tenso normal correspondente no furador.

60

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2

11. A placa indicada na figura presa base por meio de 3 parafusos de ao. A tenso de cisalhamento ltima do ao de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurana de 3,5 determine o diametro do parafuso ser usado.

R: 22 mm

12. A ligao AB est sujeita uma fora de trao de 27 kN. Determine: a. O diametro "d"do pino no qual a tenso mdia permitida de 100 MPa. b. A dimenso "b"da barra para a qual a mxima tenso normal ser de 120 MPa.

R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

61

13. Quais as distancias "a" e "b" necessrias para os entalhes na pea horizontal da trelia indicada? Todas as peas tem seo transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tenso de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurana 5.

R : a b 24 cm

14. Verificar a ligao rebitada da figura, sendo dados

Rebites Chapas = 100 MPa T = 150 MPa d = 1/2" = 1,27 cm C = 250 MPa

R: No h segurana (trao nas chapas)

15. Determine a mxima carga P que se pode aplicar ligao rebitada abaixo sendo dados:

62

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1.27 cm T = 150 MPa = 100 MPa C = 180 MPa OBS: medidas em mm

R: P 40,9 kN

16. Verificar a ligao rebitada abaixo sendo dados: Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1,27 cm e = 220 MPa

= 110 MPa

R: no h segurana

17. A junta longitudinal de uma caldeira de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno da caldeira de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites so colocados longitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a presso interna que esta caldeira pode

63

suportar e tambm a eficincia da ligao rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de dimetro e so dados dos materiais:

Rebites: Chapas e Cobrejuntas: d = 12 mm T = 387 MPa = 310 MPa C = 670 MPa Deve-se adotar segurana 5.

R : pi 2,7 Kgf/cm2 eficincia 15%

18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevao de uma carga de 100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tenso admisvel ao cisalhamento de 120 MPa.

R: 3,25 cm

64

CAPTULO IV

GEOMETRIA DAS MASSAS

I. ASPECTOS GERAIS

Apesar de no estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas grandezas caractersticas da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessrios ao estudo das solicitaes que provoquem a rotao, como o Momento Fletor e o Momento Torsor.

Vamos nos ater ao clculo das propriedades das sees planas.

II. MOMENTOS ESTTICOS E BARICENTROS DE SUPERFCIES PLANAS

A. CONCEITO

Admitimos uma superfcie plana qualquer de rea "A", referida um sistema de eixos ortogonais x,y.

Sejam: dA - elemento de rea componente da superfcie x e y - coordenadas deste elemento em relao ao sistema de eixos

Define-se: Momento esttico de um elemento de rea dA em relao a um eixo o produto

da rea do elemento por sua orddenada em relao ao eixo considerado.

Notao : s Expresso analtica :

sx = y. dA sy = x. dA

65

Define-se: Momento esttico de uma superfcie a soma dos momentos estticos em

relao a um mesmo eixo dos elementos que a constituem.

Notao : S Expresso analtica:

Sx ==== y. dAA

Sy ==== x. dAA

OBSERVAES:

1. unidade: cm3, m3, ...

2. sinal : O momento esttico pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida.

3. O momento esttico de uma superfcie nulo em relao qualquer eixo que passe pelo centro de gravidade desta superfcie.

B. DETERMINAO DO BARICENTRO DE SUPERFCIE

A utilizao dos conceitos de momento esttico se d no clculo da posio do centro de gravidade de figuras planas.

Seja: G - baricentro da superfcie com coordenadas determinar (xG; yG)

por definio:

Sx ==== y. dAA

se o baricentro da superfcie fosse conhecido poderamos calcular o momento esttico desta superfcie pela definio:

Sx = yG . A yG = SA

x ou

como A (rea total) pode ser calculado pela soma dos elementos de rea que a constituem:

A = dAA ento :

66

yG ====

y. dA

dAA

A

anlogamente:

xG ====

x. dA

dAA

A

Estas expresses nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seo desde que se conhea um elemento dA representativo da superfcie toda.

So chamadas genricamente de "teorema dos momentos estticos". Nos casos mais comuns, quando a superfcie em estudo for a seo transversal de um

elemento estrutural, normalmente sees constituidas por elementos de rea conhecidos (perfilados), podemos substituir nas equaes a integral por seu similar que o somatrio, e as expresses ficam:

yA y

AG

i in

in

====

.

1

1

ou xA x

AG

i in

in

====

.

1

1

OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade estar obrigatriamente neste eixo.

III. MOMENTOS E PRODUTOS DE INRCIA

Podemos definir momentos e produtos de inrcia de uma superfcie , usando como referencia a mesma superfcie de rea A referida um sistema de eixos x,y:

A. MOMENTO DE INRCIA AXIAL

Define-se:

67

"Momento de inrcia de um elemento de rea em relao a um eixo o produto da rea deste elemento pelo quadrado de sua distncia ao eixo considerado."

Notao : j (ndice com o nome do eixo) Expresso analtica:

jx = y2 . dA jy = x2 . dA

Unidade : cm4 , m4, ... Sinal : sempre positivo

Define-se : "Momento de inrcia de uma superfcie em relao a um eixo a soma dos momentos

de inrcia em relao ao mesmo eixo dos elementos de rea que a constituem."

Jx ==== dA2

Ay . ou Jy ==== dA2

Ax .

OBS: Sendo o momento de inrcia axial de uma superfcie o somatrio de valores sempre positivos, ele s admite valores positivos tambm.

B. MOMENTO DE INRCIA POLAR

Define-se: "Momento de inrcia de um elemento de rea em relao a um ponto o produto da

rea deste elemento pelo quadrado de sua distncia ao ponto considerado."

Notao: j (ndice com o nome do ponto) Expresso analtica:

jo= r2 . dA

Unidade : cm4 , m4 , .... Sinal: sempre positivo

Define-se: "Momento de inrcia de uma superfcie em relao a um ponto a soma dos

momentos de inrcia, em relao ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem."

J dAoA

==== 2

r .

OBS: Se levarmos em conta o teorema de Pitgoras:

r2 = x2 + y2 ento:

68

J dAoA

==== ++++ 2(x y2). = 2x . dA

A +

2y . dAA

Jo = J + Jx y

Concluso: O momento de inrcia de uma superfcie em relao a um ponto a soma dos

momentos de inrcia em relao a dois eixos ortogonais que passem pelo ponto considerado.

C. PRODUTO DE INRCIA

Define-se: "O produto de inrcia de um elemento de rea em relao a um par de eixos o

produto da rea deste elemento por suas coordenadas em relao aos eixos considerados."

Notao : j (ndice o par de eixos) Expresso analtica :

jx,y = x.y.dA

Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acrdo com o sinal do produto das coordenadas. Unidade : cm4,m4 , ...

Define-se: "O produto de inrcia de uma superfcie a soma dos produtos de inrcia, em relao

ao mesmo par de eixos, dos elementos que a constituem."

Jx y, ==== x. y.dAA

OBS : O produto de inrcia de uma superfcie por ser o somatrio do produto dos elementos que a constituem pode resultar em um valor negativo,positivo ou nulo.

Exemplo: Determine o momento de inrcia de um retangulo b x h , em relao ao eixo horizontal

coincidente com a base.

x IV. TRANSLAO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER)

Este teorema nos permite relacionar momentos e produtos de inrcia em relao a eixos quaisquer com momentos e produtos de inrcia relativos a eixos baricntricos, desde que eles sejam paralelos.

69

FORMULRIO:

OBS: PARA A UTILIZAO DO TEOREMA DE STEINER, OS EIXOS BARICENTRICOS DEVEM NECESSRIAMENTE ESTAR ENVOLVIDOS NA TRANSLAO.

V. ROTAO DE EIXOS

A. SEGUNDO UMA INCLINAO QUALQUER ()

O teorema seguir nos permite calcular momentos e produtos de inrcia em relao a eixos deslocados da referncia de um angulo , conforme mostra a figura :

Jx = JxG + A.dy2

Jy = JyG + A.dx2

Jo = JG + A . r2

Jx,y = JxG,yG + A.dx.dy

70

FORMULRIO:

OBS: A conveno adotada para se medir o angulo segue a conveno adotada no crculo trigonomtrico

mede-se o angulo de x x' no sentido anti horrio.

B. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INRCIA

Podemos notar que ao efetuarmos a rotao dos eixos que passam por um ponto 'o', os momentos e produtos variam em funo do angulo de rotao .

Em problemas prticos, normalmente nos interessa a inclinao '', em relao qual os valores do momento de inrcia mximo, para ento aproveitarmos integralmente as caractersticas geomtricas da seo transversal que deve ser adotada.

Para a determinao do mximo de uma funo , por exemplo Jx', podemos utilizar os conceitos de clculo diferencial, onde sabemos que uma funo mxima ou mnima no ponto em que sua primeira derivada for nula.

Jx' = Jx. cos2 + Jy. sen2 - Jx,y. sen 2

Jy' = Jy. cos2 + Jx .sen2 + Jx,y. sen 2

Jx',y' = Jx,y . cos 2 + 12

(Jx - Jy).sen 2

71

Ento: dJd

x'

= 0

Efetuando as derivaes e com algumas simplificaes algbricas chegamos expresso:

tg 2 = . JJ - Jxy

y x

2

Esta expresso nos permite calcular dois valores para o angulo , que caracterizam a posio dos eixos em relao aos quais o momento de inrcia assume valores extremos (mximo e mnimo).

Vamos observar que estes eixos so: 1. Ortogonais entre si. 2. O produto de inrcia em relao a este par de eixos nulo. 3. Na rotao dos eixos a soma dos momentos de inrcia constante.

Jx + Jy = Jx' + Jy'

Os dois eixos determinados chamam-se de eixos principais de inrcia e os momentos correspondentes momentos principais de inrcia.

Observaes:

1. Se o ponto "o" em trno do qual se fez a rotao coincidir com o centro de gravidade da seo, os eixos passaro a ser chamados de principais centrais de inrcia e a eles correspondero os momentos principais centrais de inrcia.

2. Se a seo tiver eixo de simetria, este ser, necessriamente , um eixo principal central de inrcia.

72

EXERCCIOS:

1. Determinar a altura do centro de gravidade do semi-crculo de raio R da figura

R : y RG = 43.

.pi

2. Determinar a posio do centro de gravidade das figuras achuriadas abaixo (medidas em cm):

a. b.

R: XG = 5,00 R: XG = 6,00 YG = 9,66 YG = 9,17 c. d.

R: YG = 2,60 R: YG = 27 XG = 6,57 XG = 25

3. Determinar o momento de inrcia das figuras em relao aos eixos baricentricos horizontail e vertical.

(medidas em cm)

73

a. b.

R: Jx = 3.541,33 cm4 R: Jx = 553 cm4 Jy= 1.691,33 cm4 Jy = 279,08 cm4

c. d.

R: Jx = 687,65 cm4 R: Jx = 1.372,29 cm4 Jy= 207,33 cm4 Jy= 1.050,27 cm4

4. Para as figuras abaixo, determine os seus eixos principais centrais de inrcia, bem c