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  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 1

    - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

    ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALRGICA DE VOLTA REDONDA

    SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI RESISTNCIA DOS MATERIAIS

    Toro

    Definies:

    Toro se refere ao giro de uma barra retilnea quando carregada por momentos (ou

    torques) que tendem a produzir rotao sobre o eixo longitudinal da barra.

    Veja a Figura 1.

    Figura 1 Toro de uma chave de fenda devido a um torque T aplicado no cabo.

    Exemplos de barras em toro: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de direo e

    brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de toro

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 2

    Figura 2- Barra submetida toro pelo torque T1 e T2.

    Momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da Figura 2, so

    chamados de torques ou momentos torores.

    Membros cilndricos submetidos a torques e que transmitem potncia atravs de rotao

    so chamados de eixos.

    Ex: o girabrequim de um automvel ou o eixo propulsor de um navio. A maioria dos

    eixos tem sees transversais circulares,slidas ou tubulares

    Objetivo:

    Desenvolver frmulas para as deformaes e tenses em barras circulares submetidas toro.

    Analisar o estado de tenso conhecido como cisalhamento puro e obtemos a relao entre os mdulos de elasticidade E e G em trao e cisalhamento,

    respectivamente.

    Anlise de eixos de rotao e determinao da potncia que eles transmitem.

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 3

    Deformaes de toro de uma barra circular Considere uma barra prismtica de seo transversal circular girada por torques T

    agindo nas extremidades como na Figura 3.

    Figura 3- Deformaes de uma barra circular em toro pura.

    Toro Pura: Toda a seo transversal est submetida ao mesmo torque interno T.

    Consideraes:

    Das condies de simetria, as sees transversais da barra no variam na forma

    enquanto rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as sees

    transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos.

    Caso o ngulo de rotao entre uma extremidade da barra e outra pequeno, nem o

    comprimento da barra e nem seu raio iro variar.

    Variveis

    f, - ngulo de toro.

    O ngulo de toro varia ao longo do eixo da barra: ( ) x0

    Se toda a seo transversal da barra tem o mesmo raio e est submetida ao mesmo

    torque (toro pura) , o ngulo ( )x ir variar linearmente.

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 4

    Considere a Figura 4,

    Figura 4 Deformao de um elemento de comprimento dx extrado de uma barra em

    toro.

    Os ngulos no canto do elemento, na Figura 4.b no so mais iguais a 90 . O elemento

    est em um estado de cisalhamento puro e a magnitude da deformao de cisalhamento

    max igual diminuio no ngulo no ponto a, isto , a diminuio no ngulo bad. Da figura, vemos que a diminuio nesse ngulo :

    ab'bb

    max = (1)

    onde max medido em radianos , bb a distncia atravs da qual o ponto b se move e ab o comprimento do elemento (igual a dx). Com r denotando o raio da barra,

    podemos expressar a distncia bb como rd , em que d tambm medido em radianos. Dessa forma a equao anterior fica:

    dxrd

    max = (2)

    Essa equao relaciona a deformao de cisalhamento na superfcie externa da barra

    com o ngulo de toro.

    A relao dxd a razo da variao do ngulo de toro em relao distncia x medida ao longo do eixo da barra. Vamos denotar dxd pelo ngulo e nos referimos a ele como razo de toro ou ngulo de toro por unidade de comprimento.

    dxd = (3)

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 5

    Equao para deformao de cisalhamento na superfcie externa

    rdx

    rdmax == (4)

    As equaes (3) e (4) so vlidas quando a razo de toro no constante, mas varia com a distncia x ao longo do eixo da barra.

    Toro Pura

    Razo de toro

    L = (5)

    Deformao de cisalhamento

    Lrrmax == (6)

    As deformaes por cisalhamento no interior da barra podem ser encontradas pelo

    mtodo usado para encontrar a deformao de cisalhamento max na superfcie externa.

    Como os raios nas sees transversais permanecem retos e no distorcidos durante o

    giro, vemos que a discusso anterior para um elemento abcd na superfcie externa

    (Figura 4.b) tambm se aplica para um elemento similar situado na superfcie de um

    cilindro interno de raio , como na Figura 4.c.

    Dessa forma, elementos internos tambm esto em cisalhamento puro com as

    deformaes de cisalhamento correspondentes dadas pela equao:

    maxr == (7)

    A deformao de cisalhamento no centro da seo zero, analise a eq. (7). As equaes

    de (4) a (7) aplicam-se a tubos circulares, bem como para barras circulares slidas.

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 6

    A Figura 5 apresenta a variao linear na deformao de cisalhamento entre a

    deformao mxima na superfcie externa e a deformao mnima na superfcie interna.

    As equaes para essas deformaes so as seguintes:

    Lr2

    max = ,

    Lr

    rr 1

    max2

    1min

    == (8)

    Em que r1 e r2 so raios interno e externo, respectivamente, do tubo.

    Essas equaes so vlidas para qualquer material, tanto para comportamento elstico

    ou inelstico, linear ou no-linear. As equaes so limitadas para barras tendo

    pequenos ngulos de rotao e pequenas deformaes.

    Figura 5 - Deformaes de cisalhamento em um tubo circular.

    Barras Circulares de Materiais Elsticos Lineares As direes das tenses so determinadas por inspeo como indica a Figura 6.

    Figura 6 - Tenses de cisalhamento em uma barra circular em toro.

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 7

    Como explicado em aulas anteriores, usualmente desenhamos elementos de tenso em

    duas dimenses, como na Figura 6.b, mas devemos lembrar que os elementos de tenso

    na realidade so objetos tridimensionais com uma espessura perpendicular ao plano da

    figura. Caso o material seja elstico-linear, podemos usar a lei de Hooke em

    cisalhamento.

    G= (9) Em que G o mdulo de elasticidade de cisalhamento e a deformao de cisalhamento em radianos. Combinando a eq. (9) com as eqs. (4) (5) e (6) obtemos:

    Grmax = ; maxrG == (10)

    Em que max a tenso de cisalhamento na superfcie externa da barra (raio r), a tenso de cisalhamento em um ponto interior (raio ) e a razo de toro. (Nessas equaes, tem unidades de radianos por unidade de comprimento). As eq. 9 mostram que as tenses de cisalhamento variam linearmente com a distncia

    com centro da barra, como ilustrado pelo diagrama de tenso triangular na Figura 6.c.

    Essa variao linear de tenso uma conseqncia da Lei de Hooke.

    As tenses de cisalhamento agindo num plano transversal so acompanhadas pelas

    tenses de cisalhamentos de mesma magnitude agindo em planos longitudinais como na

    Figura 7.

    Figura 7 Tenses de cisalhamento longitudinal e transversal em uma barra circular

    submetida toro.

    O estado de cisalhamento puro na superfcie de uma barra equivalente a tenses iguais

    de compresso e trao agindo num elemento orientado num ngulo de 45. Verifique a

    Figura 8.

    Figura 8- Tenses de compresso e trao agindo em um elemento de tenso orientado a

    45 do eixo longitudinal.

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 8

    Se uma barra feita de um material que mais frgil em trao do que em cisalhamento,

    a falha ir ocorrer em trao ao longo de uma hlice a 45 do eixo.

    A Frmula de Toro Objetivo:

    Determinar a relao entre as tenses de cisalhamento e o torque T.

    A distribuio de tenses de cisalhamento agindo em uma seo transversal foi ilustrada

    anteriormente. Como essas tenses agem continuamente ao redor da seo transversal,

    tm uma resultante na forma de um momento um momento igual ao torque agindo na

    barra. Analise a Figura 9.

    Figura 9 Determinao da resultante das tenses de cisalhamento agindo em uma

    seo transversal.

    Fora de cisalhamento agindo no elemento da Figura 9.

    dA (11) Onde a tenso de cisalhamento no raio . Utilizando-se a expresso (10) tem-se que o momento elementar dessa fora sobre o eixo da barra

    dAr

    dAdM 2max == (12) O momento resultante(igual ao torque) a soma de todos os momentos elementares

    sobre a rea da seo transversal.

    Pmax

    A

    2max

    dA

    Ir

    dAr

    dMT === (13)

    Em que

    =A

    2P dAI (14)

    o momento de inrcia polar da seo transversal circular

  • Salete Souza de Oliveira Buffoni 9

    Para um crculo de raio r e dimetro d, o momento de inrcia polar :

    32d

    2rI

    44

    p == (15)

    Lembre se que a unidade do momento de inrcia o comprimento a quarta potncia.

    Rearranjando a expresso (13) temse a seguinte expresso para a tenso de

    cisalhamento mxima:

    Pmax I

    Tr= (16)

    A equao (16) conhecida como a frmula de toro. A tenso de cisalhamento

    mxima diretamente proporcional ao torque aplicado, T e inversamente proporcional

    ao momento de inrcia polar, PI .

    A frmula (16) aplica-se para barras slidas e tubos circulares. A tenso de

    cisalhamento distncia do centro da barra :

    Pmax I

    Tr

    == (17)

    A eq. (17) obtida combinando-se com a eq. (10). A eq. (17) a frmula de toro

    generalizada e vemos mais uma vez que as tenses de cisalhamento variam linearmente