Derivadas e EDORenato Assunção

DCC, UFMG

Derivada numericaLembre da definição de derivada

Como no caso da integral, a definição e’ uma operação de limite quando h 0

Uma estimativa simples e’ então tomar h ≈0 e usar a aproximação

Este e’ chamado o método das diferença sucessiva (forward difference method)

Precisão da diferença sucessivaSe f e’ diferenciavel duas vezes, podemos

escrever sua expansao de Taylor de 2ª ordem:

Onde ε (x, x+h)Entao

Portanto, o erro de Dhf e’

ExemploConsidere a função e

calcule

Pelo método da diferença sucessiva:

Por outro lado, sabemos do calculo que f ’(x)=1/(1+x2) e portanto

)2('f

Um método mais precisoConsidere as seguintes DUAS expansões de

Taylor:

Isolando f ’ (x) encontramos:

Isto produz o método da diferença simétrica

Diferença simétricaEste método e’ uma media dos métodos de

diferença sucessiva e diferença retroativa.Qual a precisão desta media?Como

e

O método da diferença simétrica tem um erro de aproximação igual a

Extrapolação de RichardsonExtrapolação de Richardson pode ser usada

para melhorar qualquer método numérico que tenha a ordem de grandeza de seu erro conhecida.

Podemos usa-la para melhorar:Diferença sucessiva (O(h))Diferença simétrica (O(h2))

Nos podemos ser bastante específicos sobre o impacto da extrapolação de Richardson nestes dois casos.

Se nos tivéssemos tomado a expansão completa de Taylor quando derivamos o método das diferenças simétricas teríamos:

ou

onde k2, k4, .. são constantes independentes de h.

Agora podemos olhar a precisao da extrapolacao de Richardson para diferencas simetricas (p=2):

4/3 Dh/2 – 1/3 Dh

Do slide anterior:

Multiplicando pelos fatores apropriados temos

Substituindo (2) em (1) temos

Assim, diferenças simétricas com extrapolação de Richardson tem erro O(h4)

Estimando a derivada segundaVamos considerar de novo as duas expansões

de Taylor:

Isolando f’’(x) encontramos

E assim temos a aproximação

Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem

Calculo diferencial e integralNewton e Leibniz inventaram o calculo

diferencial e integral por volta de 1670.O objetivo era ter ferramentas matemáticas

apropriadas para lidar com o movimento e mudanças no tempo.

Entender, modelar e predizer o movimento dos corpos celestes era um dos maiores objetivos da ciência naqueles tempos.

Para os homens daquele tempo, compreender o movimento dos céus era ouvir a voz de Deus.

Calculo diferencial e integralLogo depois ocorre uma explosão cientifica

revolucionaria: Os irmãos Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, etc.

A ciência e engenharia modernas nascem, vicejam, crescem e criam o que temos hoje em dia.

Derivadas e integrais aparecem em todos os modelos científicos para descrever a natureza se um processo de mudança estiver envolvido no fenômeno estudado.

A mais famosa lei da fisica, a 3ª lei de Newton, envolve uma segunda derivada: F = m * d2 y(t)/dt2

Um passo alem: Equações diferenciaisEquação não linear usual:

achar os valores de t para os quais a igualdade f(t)=0 e’ valida

Equação diferencial ordinária: achar as funções y(t) para as quais a igualdade g(t, y(t), y’(t)) = 0 PARA TODO t

Por exemplo: achar y(t) tal que seja valida a equação

y’(t)–3y(t) = 0 OU SEJA y’(t) = 3y(t).Isto e’, queremos achar as todas as funções

y(t) tais que a sua função derivada y’(t) seja igual a 3 vezes a própria função y(t).

EDO de 1ª ordemAchar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)Geometricamente:

Desenhe o gráfico da função y(t)Calcule a inclinação da reta tangente y’(t) em

cada ponto tA inclinação deve ser igual a 3 vezes o valor da

função y(t)Existe alguma função que satisfaz esta

condição?Se existem, e’ possível encontra-las?Técnicas de solução ANALITICA de EDO:

solução exata

EDO de 1ª ordemAchar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)Que tal y(t) = t2 ??Neste caso, y’(t) = 2 t t2 = y(t) Que tal y(t) = cos(t) ?Neste caso, y’(t) = -sen(t) cos(t) =

y(t) OU ainda y(t) = log(t) ??y‘(t) = 1/t que não e’ a própria

função y(t)=log(t)

EDO de 1ª ordemAchar y(t) tal que y’(t) = 3y(t)Que tal y(t) = e3t ??De fato, para esta função, temos y’(t) = 3 e3t

= 3 y(t) e’ uma solução da equação diferencial. Existe alguma outra função que também seja

solução? Sim: todas as funções da forma y(t) = c e3t

onde c R também e’ uma solução.Existem outras? Não, estas são todas, não

existem mais funções para as quais temos y’(t) = 3 y(t)

PARA TODO t

EDO 1ª ordem com valor inicialAchar y(t) tal que

y’(t) = 3y(t)E ALEM DISSO, y(0) = 2

Agora, colocamos uma restrição adicional, uma condição sobre o valor inicial da função y(t).

No tempo t=0, a função deve valer y(0)=2Como todas as soluções de y’(t) = 3y(t) são da

forma y(t) = c e3t temos de encontrar alguma que satisfaça a condição inicial.

2 = y(0) = c e3*0 = c.1 y(t) = 2 e3t

Notação: ordinária?Equações diferenciais: okMas por que Equações diferenciais

ORDINÁRIAS? Existem Equações diferenciais

EXTRAORDINÁRIAS?Não. O palavra “ordinária” e’ usada para

diferenciar das equações diferenciais PARCIAIS.Parciais: equações que envolvem funções de mais

de uma variável e suas derivadas parciais. Exemplo: Equação de difusão do calor numa

barra de densidade homogênea. Seja u(t,x) a temperatura no ponto x no tempo t Então onde c depende do

material2

2

x

uc

t

u

EDO de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem

são equações envolvendo apenas a derivada y’(t) e a funcao y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)).

Por exemplo:y’(t) = p(t) * y(t) + g(t)Casos particulares:

y’(t) = 3 * y(t) + sin(t)y’(t) = (3*t2 + 2t -1) * y(t) + sin(t)

EDO de ordem nEDO ordem n são equações envolvendo :

As derivadas yn(t), yn-1(t),..., y’(t) a função y(t) e possivelmente outras funções FIXAS e

conhecidas (tais como sin(t) ou exp(t)). Por exemplo, uma EDO de 2ª ordem:y”(t) = sin(t) * y’(t) + y(t) + 3t Qual a (ou as) FUNCAO y(t) tal que a sua

FUNCAO derivada segunda y’’(t) obedece a equação acima?

Mas isto e’ so’ um exercício de matemáticos sem ter o que fazer, certo?

Exemplos de EDOs famosasDecaimento radioativo: proporção carbono-

14/carbono-12 presente na matéria orgânica viva é constante.

No entanto, na matéria orgânica morta a quantidade de 14C diminui com o tempo, a uma taxa proporcional à quantidade existente.

Se designarmos essa quantidade por Q, teremos:

Q’(t) = -c Q(t) onde c > 0 e’ uma constante

Exemplos de EDOs famosasCorpo em queda livre com atrito devido a

resistência do ar:Mv’(t) = mg – k v(t) ou v’(t) + k/m v(t) – g = 0

Engenharia Química: balanço de massa ou volume ou energia num reator químico.

O volume de líquido num tanque e a concentração de uma solução A mudam com o tempo.

Entra e sai líquido a taxas constantes e diferentes. Os líquidos possuem concentrações de A diferentes. Descrever a concentração de A em cada instante :

terminamos em uma EDOs

Exemplos de EDOs famosasOscilador harmônico amortecido:

y’’(t) + a y’(t) + b y(t) = 0Para descrever a física do átomo de hidrogênio:

Legendre: (1-t2)y’’(t) – 2 t y’(t) + k(k+1) y(t) = 0Para descrever o comprimento de onda no átomo de

hidrogênio:Laguerre: t y’’(t) + (1-t) y’(t) + k y(t) = 0

Membranas vibratórias:Bessel : t2 y’’(t) + t y’(t) + (t2 – k2) y(t) = 0

Mecânica quântica:Hermite: y’’(t) – 2 t y’(t) + 2 k y(t) = 0

Arco-írisy’’(t) + t y(t) = 0

EDO linear de 1ª ordemSuponha que y’(t) = a(t) * y(t) + b(t) Solução:

Com o fator integrante

Se y’(t) = - y2(t) EDO NÃO-LINEAR. Esta EDO particular pode ser resolvida pelo

método de separação de variáveis .

EDO de 1ª ordemVamos considerar problemas do seguinte

tipo:

Existe alguma solução? Quando ela e’ única?TEOREMA:

Métodos numéricos: EulerNosso problema de EDO de 1ª ordem: Euler e’ o método mais simples.Acha uma aproximação para a solução y(t)

num intervalo [t0, tN] Divide o intervalo em N subintervalos de

comprimentos iguais: t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/N

Se h e’ pequeno, temos

Método de EulerNosso problema de EDO de 1ª ordem: t0, t1, ..., tN onde tk=t0 + k * h com h=(tN-t0)/NSe h e’ pequeno, temos

Algoritmo:

Temos uma aproximação y0, y1, y2, ..., yN para y(t)

29

Método de Euler – 1ª iteracao

Passo h

t

y(t)

(t0, y0)

Valor de y(t0+ h) 00,)(,)(' yytytfty

Slope 00 , ytf

010001 , ttytfyy

)()(, 10000 tyhtyhytfy

Interpretação gráfica: primeiro passo do método de Euler

Valor aproximado y1

t0 t1

30

Método de Euler – 2ª iteração

Tamanho do passo

h

Valor verdadeiro y(x2)

y2 Valor aproximado

y1

t

y(t)

t1 t2

Segunda iteração do método de Euler

hytfyy 1112 ,

Note que y2 e’ o Valor em x2 de uma reta que passa por (t1, y1) e que teminclinação f(t1,y1).

31

Método de Euler – 2ª iteração

Tamanho do passo

h

Valor verdadeiro y(t2)

y2 Valor aproximado

y1

t

y(t)

t1 t2

hytfyy 1112 ,

NÃO ESTAMOS USANDO

y*2 = y(t1) + f(t1,

y(t1))h

uma reta passando por y(t1) e com inclinação f(t1,y(t1)) poisNOS NÃO TEMOSy(t1)

Na 1ª iteração obtivemos uma aproximação y1 para y(t1)

32

Método de Euler – iteração i

Tamanho do passo

h

Valor verdadeiro y(ti+1)

yi+1, Valor aproximado

yi

t

y

ti ti+1

Passo genérico do método de Euler

hytfyy iiii ,1

ii tth 1

Erros em EulerAssim, na n-ésima iteração, gostaríamos de aproximar

yn+1 pelo valor em tn+1 = tn+h da reta tangente a y(t) no ponto (tn, y(tn))

Entretanto, NÃO TEMOS y(tn)

mas somente uma aproximação yn

Assim, temos dois erros acumulando-seem cada iteração do método de Euler.Existe um erro em aproximar y(tn)

por yn , a n-ésima iteração

Além disso, gostaríamos de ter f(tn,y(tn))

mas usamos f(tn,yn)

34

ExemploUma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920oC ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27oC). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

Kdt

d12000,1081102067.2 8412

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método de Euler.

Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

35

Solução

K

f

htf

htf iiii

09.106

2405579.41200

24010811200102067.21200

2401200,01200

,

,

8412

0001

1

Primeira iteração:

1 e’ a temperatura aproximada em 240240001 httt

K09.106240 1

8412 1081102067.2

dt

d

8412 1081102067.2, tf

36

Solução - continuaçãoPara 09.106,240,1 11 ti

K

f

htf

32.110

240017595.009.106

240108109.106102067.209.106

24009.106,24009.106

,

8412

1112

Iteração 2:

2 e’ a temperatura aproximada em 48024024012 httt

K32.110480 2

37

Solução – continuação

A solução exata da EDO e’ dada pela raiz da equação não-linear

9282.21022067.0)(00333.0tan8519.1300)(

300)(ln92593.0 31

tt

t

t

A solução (480) desta equação não-linear em t=480 segundos e’

K57.647)480(

Bem diferente da aproximação: K32.110480 2

38

Comparação das soluções exata e numérica

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500

Te

mp

era

ture

,

Time, t(sec)

h=240

Exact Solution

θ(K

)

Euler

Step, h q(480) Et |єt|%

4802401206030

−987.81110.32546.77614.97632.77

1635.4537.26100.8032.60714.806

252.5482.96415.5665.03522.2864

39

Efeito do tamanho do passo hTemperatura aos 480 segundos como uma função do passo h

K57.647)480( (valor exato)

40

Comparação com resultado exato

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 100 200 300 400 500

Time, t (sec)Tem

per

atu

re,

Exact solution

h=120h=240

h=480

θ(K

)

Apenas h=480, 240 e 120

41

Efeito do tamanho do passo h em Euler

-1200

-800

-400

0

400

800

0 100 200 300 400 500

Step size, h (s) Te

mp

era

ture

, θ(K

)Valor exato

Mais um exemploConsidere a EDO

Como x0=0 então xn=nh Iteração:

Usando h=0.1 e 0.001E comparando com a solução exata temos a tabela ao lado

43

Erros no método de EulerVimos que o método de Euler PODE ter erros grandes. Para entender a ordem de grandeza desses erros, vamos fazer a expansão de Taylor em torno de xi

...!3

1

!2

1 31

,

3

32

1

,

2

2

1,

1 ii

yx

ii

yx

iiyx

ii xxdx

ydxx

dx

ydxx

dx

dyyy

iiiiii

...),(''!3

1),('

!2

1),( 3

12

111 iiiiiiiiiiiiii xxyxfxxyxfxxyxfyy

Os dois primeiros termos da serie de Taylor e’ o método de Euler

hyxfyy iiii ,1

O erro na aproximação e’ dado por

...

!3

,

!2

, 32

hyxf

hyxf

E iiiit

2hEt

Isto e’:

Runge - KuttaEuler fez a seguinte aproximação

Que tal usar uma aproximação melhor para a integral?

Por exemplo, podemos usar a regra do trapézio:

Neste caso, teremos então a aproximação

E o algoritmo

Runge-KuttaEncontramos a equação de iteração:

Existe um problema no entanto: yn+1 aparece dos dois lados da equação acima. Não conseguimos isolar yn+1.

Uma possibilidade e’ substituir yn+1 NO LADO DIREITO por sua aproximação baseada em Euler: yn+1 = yn + f(tn,yn)h

Este e’ o metodo de Runge-Kutta de 2ª ordem

Runge Kutta de 2ª ordemEquação de iteração:

ou simplesmente

onde

Assim, este e’ um método de Euler com inclinação (s1+s2)/2

Runge – Kutta de 2ª ordemE’ possível uma interpretação gráfica-

geométrica deste método de Runge-Kutta. Temos

com Isto corresponde ao seguinte esquema em dois

passos:Tome um passo preliminar de Euler com

inclinação s1 em tn:

Com isto, obtenha uma segunda inclinação s2 em tn+h

A atualização de Euler realmente dada usa a média das inclinações s1 em tn e s2 em tn+h

Um segundo método de Runge-KuttaO método de Runge-Kutta que acabamos de estudar

começou aproximando uma integral pela regra do trapézio:

Podemos usar alguma outra regra: Simpson ou midpoint

Vamos usar midpoint:

Neste caso

Note que y(t+h/2) no lado direito não e’ conhecido. Vamos usar Euler de novo para este valor.

2º. Método de Runge - KuttaTemos a aproximação

Usamos a aproximação de Euler para o termo y(tn+h/2):y(tn+h/2) ≈y(tn)+h/2 * f(tn, yn)

Substituindo a iteração para yn+1 temos

Este método e’ conhecido como método de Euler modificado ou método do ponto médio

)2/(,2

))(,(1 htyh

thfydyfyy nnn

ht

t

nn

n

n

2º metodo de Runge-KuttaTambém podemos ver este novo método de

Runge-Kutta como um processo em dois estágios.

Escrevemos

como

onde

2º metodo de Runge-KuttaTambém podemos ver este novo método de

Runge-Kutta como um processo em dois estágios.

Tome um passo de Euler mas apenas com metade do comprimento do intervalo h/2

Isto corresponde ao tempo tn+h/2 = tn+1/2

A seguir, de mais um passo de Euler de comprimento h usando a inclinação no ponto médio (tn+1/2, yn+1/2)

Resumo dos 2 métodos de R-KPrimeiro: o método clássico de 2ª ordem de R-

K (ou método de Euler melhorado) yn+1 = yn + h (s1+s2)/2com

Segundo: Método de Euler modificado (método do ponto médio)yn+1 = yn + h s2

com

O que eles tem em comum?

Comparando os dois R-KOs dois métodos usam dois estágios intermediários s1

e s2 para obter uma iteração.Os estágios correspondem a diferentes estimativas

para a inclinação da solução.

No método clássico de RK (Euler melhorado) nós damos um passo completo yn+1 = yn + h (s1+s2)/2 tomando a media das inclinações s1 em tn e s2 em tn+h

No método de Euler modificado (ponto médio), nós usamos s1 em tn para dar um meio-passo ate tn+h/2. A seguir, calculamos s2, a estimativa da inclinação no ponto médio, e então tomamos o passo completo yn+1 = yn + h s2

ExemploConsidere a EDO

Euler modificado: yn+1 =yn+hs2

Temos s1=x2n+ y2

n

e s2=(xn+h/2)2+(yn+s1/2)2

Exemplo numérico na tabela ao lado

Runge-Kutta 2ª ordem geralPodemos imaginar varias outras maneiras alternativas

de calcular s1 e s2.O método geral de Runge-Kutta de 2ª ordem e’ da forma

onde

com (esta notação vem de uma teoria mais avançada ligada a métodos implícitos)

Clássico RK (Euler melhorado): Euler modificado (ponto médio): γ1=0, γ2=1 e α2=

β21=1/2

Tabela de ButcherE’ costume arranjar os coeficientes αi, βij e γi

em uma tabela chamada tabela de Butcher

Onde α2 = β21 Para o método ser de segunda ordem e ter

certas propriedades desejáveis impomos também as condições

Tabela de ButcherRK Clássico (Euler melhorado)

RK : Euler modificado (ponto médio)

RK: Método de Heun

α2 = β21

Método de Ralston0 0 0

α2=3/4

β21=3/4

0

Γ1=1/3

Γ2=2/3

58

ExemploUma esfera possui temperatura de 1200K (ou 920oC ) e comeca a resfriar ‘a temperatura ambiente de 300K (ou 27oC). Assumindo que o calor e’ dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura (t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO

Kdt

d12000,1081102067.2 8412

Encontrar a temperatura em t=480 segundos usando o método EULER MELHORADO (ou metodo classico de Runge-Kutta de segunda ordem)

Assuma um passo de tamanho h=240 segundos

8412 1081102067.2

dt

d

8412 1081102067.2, tf

hssii

211 2

1

2

1

59

SoluçãoIteração 1: Kti 1200)0(,0,0 00

5579.4

10811200102067.2

1200,0

,

8412

01

f

tfs o

017595.0

108109.106102067.2

09.106,240

2405579.41200,2400

,

8412

1002

f

f

hshtfs

K

hss

16.655

2402702.21200

240017595.02

15579.4

2

11200

2

1

2

12101

60

Solução - continuaçãoIteração 2: Khtti 16.655,2402400,1 101

38869.0

108116.655102067.2

16.655,240

,

8412

111

f

tfs

20206.0

108187.561102067.2

87.561,480

24038869.016.655,240240

,

8412

1112

f

f

hkhtfs

K

hss

27.584

24029538.016.655

24020206.02

138869.0

2

116.655

2

1

2

12112

61

Solução - continuação

A solução exata da EDO e’ dada pela solução de uma equação não -linear:

9282.21022067.0)(0033333.0tan8519.1300)(

300)(ln92593.0 31

tt

t

t

A solução para esta equação não-linear em t=480 segundos e’

K57.647)480(

62

Comparação com resultado exatos

Euler melhorado (ponto médio) para diferentes valores de h

-400

0

400

800

1200

0 100 200 300 400 500

Time, t(sec)

Tem

per

atu

re,θ

(K) Exact h=120

h=240

h=480

63

Efeito do tamanho do passo h Temperatura em t=480 segundos como uma funcao do tamanho do passo h

Passo h q(480) Erro = Et |єt|%

4802401206030

−393.87584.27651.35649.91648.21

1041.463.304

−3.7762−2.3406

−0.63219

160.829.7756

0.583130.36145

0.097625

K57.647)480( (exact)

64

Efeito do tamanho do passo h

-400

-200

0

200

400

600

800

0 100 200 300 400 500Step size, h

Tem

per

atu

re,

θ(48

0)

Passoh

q(480)

Euler Euler Melhorado

Ponto Medio Ralston

4802401206030

−987.84110.32546.77614.97632.77

−393.87584.27651.35649.91648.21

1208.4976.87690.20654.85649.02

449.78690.01667.71652.25648.61

65

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

K57.647)480( (exato)

66

Passo hEuler

Euler Modificado

Ponto Médio Ralston

4802401206030

252.5482.96415.5665.03522.2864

160.829.7756

0.583130.361450.097625

86.61250.8516.58231.1239

0.22353

30.5446.55373.1092

0.722990.15940

K57.647)480( (exato)

%t

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

67

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

0 100 200 300 400 500 600

Tem

per

atu

re,

Time, t (sec)

Analytical

Ralston

Midpoint

Euler

Heun

θ(K

)

Comparação de Euler e RK de 2a ordem

Modificado

Ponto Medio

Runge-Kutta de 4ª ordemE’ o mais famoso método de Runge-Kutta

com

E tabela de Butcher

Para a provaMemorizar apenas os dois métodos mais

simples de Runge-Kutta: Euler melhorado (RK clássico de 2ª ordem)Euler modificado (ponto médio)