Cálculo Diferencial e Integral A

Derivada de uma função:

Definição

Me. Gilcimar Bermond Ruezzene

• O conceito foi introduzido em meados dos séculos XVII e

XVIII em estudos de problemas de Física.

• Destacam-se Isaac Newton, Leibniz e Lagrange.

• Mais tarde essas idéias foram introduzidas em outras

áreas.

Derivadas

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Derivadas

• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio

• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens

x0

Δx

Δy

x1

f(x0)

f(x1)

●

●

4

Derivadas

• Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente

01

01 )()(

xx

xfxf

x

f

5

Exemplo1

• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:

• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior, pois Δf=8, enquanto Δx=2.

42

13

13

)1()3( 22

ff

x

f

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Exemplo

• Suponhamos que um objeto seja abandonado a 2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2

altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:

• f(0)=2.000 e f(5)=1.750 Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.

• Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.

7

Exemplo 3

• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente.

• A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.

• 1º intervalo: Velocidade média:

• 2º intervalo: Velocidade média:

smf

/505

250

51

smf

/1505

750

52

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Taxa instantânea

• Muitas vezes estamos interessados na taxa instantânea de variação de determinado fenômeno. Por exemplo: velocidade de um objeto num determinado instante (velocidade instantânea).

A derivada representa a função que expressa a variação de uma função

Podemos calcular a média de variação entre os dois pontos. Mas, isso é apenas uma estimativa...Mas...

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x para x + Δx :

m=

Derivada: Definição

ou

Taxas de variação: Derivada em um Ponto

A expressão

h

xfhxf )()( 00

É chamada de quociente de diferença de f em x0 com incremento h.

Se o quociente de diferença tem um limite quando h tende a zero, esse limite é chamado de derivada de f em x0.

Se interpretamos o quociente de diferença como um coeficiente angular da secante, a derivada nos dá o coeficiente angular da tangente e da curva no ponto onde x = x0.

Se interpretamos o quociente de diferença como uma taxa média de variação, a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a x no ponto x = x0.

A derivada é uma das mais importantes ferramentas matemáticas usadas em cálculo.

Todas estas afirmações referem-se à mesma coisa

1. O coeficiente angular de y = f (x) em x = x0.

2. O coeficiente angular da tangente à curva y = f (x) em x = x0.

3. A taxa de mudança de f (x) em relação a x em x = x0.

4. A derivada de f em x = x0.

5.

h

xfhxfm

h

)()(lim 00

0

Uma reta tangente à função, no ponto em que ela toca na curva, ela é a

derivada da referida função.

Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada

1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).

2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença

h

xfhxf )()(

3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)´(

0

Reta Tangente

Nas figuras abaixo vemos o gráfico de uma função f em uma vizinhança de um ponto P, de uma para outra figura aumentamos o "zoom" para melhor observar o gráfico próximo do ponto P .

Observe  que  bem  próximo  do  ponto  P  o  gráfico  se  parece  com  a  parte  de  uma  certa  linha  reta ;  e  esta  linha  é  o  que  chamamos  reta  tangente .

Reta tangente ao gráfico

Exemplo 1 – Aplicando a Definição

a) Encontre a derivada de exy 0x

1)xxf )( e hxhxf )(

2)

xhx

xhxh

xhxh

xhx

h

xfhxf

1

)(

)(

)()(

3)

xxhxxf

h 2

11lim)´(

0

b) Determine a reta tangente que passa pelo ponto (9,3).

Exemplos:

1)Utilizando a definição, determine a derivada da função em um ponto dado.

Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele

ponto :

a) y= x, (3,2);

b) f(x) = x2, (2,4); determine f’(-2); f’(3).

c) f(x) = x3 ,(2,8); determine f’(5); f’(1).

d) y = x2+4x+4, (-1,1); f’(-1); f’(2).

Exercícios

Thomas, George B. Cálculo. V1, Ed.12ª.São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

•Página: 120 exercícios de 11 à 20 exceto 16 e 18.• Página: 126 exercícios de 1 à 16, apenas os ímpares.