MÉTODOS NUMÉRICOSMÉTODOS NUMÉRICOS1.21.2 Aproximación NuméricaAproximación Numérica

Gustavo RochaGustavo Rocha

2005-22005-2

1.2 Aproximaciones1.2 Aproximaciones

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos

provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales

se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,

ocasionalmente, son la única opción posible de solución.ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es

resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos

cálculos aritméticos.cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del

verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición

consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo

que permiteque permite acercarse cada vez más al valor buscado. acercarse cada vez más al valor buscado.

1.2 Aproximaciones1.2 Aproximaciones

1.2.1 Aproximación numérica1.2.1 Aproximación numérica

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que

representa a un número cuyo valor exacto es X. En la representa a un número cuyo valor exacto es X. En la

medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto medida en que la cifra X* se acerca más al valor exacto

X, será una mejor aproximación de ese númeroX, será una mejor aproximación de ese número

Ejemplos:Ejemplos:– 3.1416 es una aproximación numérica de 3.1416 es una aproximación numérica de , ,

– 2.7183 es una aproximación numérica de 2.7183 es una aproximación numérica de ee, ,

– 1.4142 es una aproximación numérica de 1.4142 es una aproximación numérica de 2, y 2, y

– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

1.2.21.2.2 Cifras significativas Cifras significativas

Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido.odómetro para medir el kilometraje recorrido.El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como como , , ee ó ó 2.2.Alternativamente al número de cifras significativas, está el número Alternativamente al número de cifras significativas, está el número nn de de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras. y computadoras.

1.2.3 Exactitud y precisión.1.2.3 Exactitud y precisión.

La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una La precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad.cantidad.

La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor numérico que se supone representa.valor numérico que se supone representa.

Ejemplo: Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número infinito de es un número irracional, constituido por un número infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan buena de , que tal , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes podría considerarse que es su valor exacto. Al considerar las siguientes aproximaciones de aproximaciones de ::

= 3.15= 3.15 es impreciso e inexacto.es impreciso e inexacto.

= 3.14= 3.14 es exacto pero impreciso.es exacto pero impreciso.

= 3.151692= 3.151692 es preciso pero inexacto.es preciso pero inexacto.

= 3.141593= 3.141593 es exacto y preciso.es exacto y preciso.

Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud y precisas. El término error se usa tanto para representar la inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.como para medir la imprecisión en las predicciones.

1.2.4 Convergencia y estabilidad1.2.4 Convergencia y estabilidad

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.

En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.una mayor rapidez de convergencia.

Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseado.deseado.

En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.

Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.convergencia.

1.2.5 Selección de alternativas1.2.5 Selección de alternativas

El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se

requiere elegir entre:requiere elegir entre:

– Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problemaVarios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema

– Varias herramientas tecnológicasVarias herramientas tecnológicas

Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una

persona y otra, que depende de:persona y otra, que depende de:

– El nivel de participación en el modelado matemático del problemaEl nivel de participación en el modelado matemático del problema

– Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverloIngenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo

– La habilidad para elegir, conforme a criterio y experienciaLa habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia

1.2.5 Selección de alternativas1.2.5 Selección de alternativas

Tipo de problema a resolver:Tipo de problema a resolver:– Raíces de ecuacionesRaíces de ecuaciones

– Sistemas de ecuaciones lineales simultáneasSistemas de ecuaciones lineales simultáneas

– Interpolación, diferenciación e integraciónInterpolación, diferenciación e integración

– Ecuaciones diferenciales ordinariasEcuaciones diferenciales ordinarias

– Ecuaciones diferenciales parcialesEcuaciones diferenciales parciales

– Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)

Equipo:Equipo:– SupercomputadoraSupercomputadora

– Computadora personalComputadora personal

– Calculadora graficadoraCalculadora graficadora

– Calculadora científica de bolsilloCalculadora científica de bolsillo

– Regla de calculoRegla de calculo

Las herramientas de cómputo sonLas herramientas de cómputo son

máquinas “tontas” que sólo hacen lo máquinas “tontas” que sólo hacen lo

que se le ordena; sin embargo, losque se le ordena; sin embargo, los

tediosos cálculos numéricos los hacentediosos cálculos numéricos los hacen

muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.

Tipo de problemaTipo de problema

Modelo matemáticoModelo matemático

Método numéricoMétodo numérico

EquipoEquipo

ComputadoraComputadora

CalculadoraCalculadora

1.2.5 Selección de alternativas1.2.5 Selección de alternativas

““Software”Software”– Desarrollo de programas:Desarrollo de programas:

lenguaje “C”lenguaje “C”““Basic”Basic”““Fortran”Fortran”Otro.Otro.

– Utilización de software matemático:Utilización de software matemático:““Maple”,Maple”,““MatLab”,MatLab”,““MathCad”,MathCad”,““Mathematica”.Mathematica”.

– El manejo de hojas de cálculo en PC:El manejo de hojas de cálculo en PC:ExcelExcelLotusLotus

– Manejo expedito de una calculadora graficadoraManejo expedito de una calculadora graficadora

Es altamente recomendableque el ingeniero sepa programaren por lo menos un lenguaje, sepautilizar algún software matemático,y manejar muy eficientemente unahoja de cálculo y una calculadoragraficadora

SoftwareSoftware

Desarrollo de programasDesarrollo de programas

Software matemáticoSoftware matemático

Hoja de cálculoHoja de cálculo

Calculadora graficadoraCalculadora graficadora

1.2.5 Selección de alternativas1.2.5 Selección de alternativas

Método numérico: no existe el mejor, pero si los Método numérico: no existe el mejor, pero si los favoritosfavoritos– Amplitud de aplicaciónAmplitud de aplicación

– AmigabilidadAmigabilidad

– EstabilidadEstabilidad

– Rapidez de convergenciaRapidez de convergencia

– Número de valores iniciales requeridosNúmero de valores iniciales requeridos

Se ha de tomar en cuenta, ademásSe ha de tomar en cuenta, además– Complejidad del modeloComplejidad del modelo

– Turbulencia de los datosTurbulencia de los datos

– Ingenio y creatividadIngenio y creatividad