questões de matemática.pdf

7/25/2019 Questes de matemtica.pdf

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CURSO MENTOR

Solues Comentadas

MatemticaProcesso Seletivo de Admisso s Escolasde Aprendizes-Marinheiros

Verso 7.4

10/01/2011

Este material contm solues comentadas das questes de matemtica dasprovas de admisso s escolas de Aprendizes-Marinheiros do ano de 2004at o ano de 2010.


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www.cursomentor.com 2

AgradecimentosAgradeo Deus por me capacitar e me dar sade para continuar no meu

caminho, minha esposa e a minha filha, por me darem apoio e suporte e aos meuspais por terem investido na minha educao.

Aos leitoresQue cada um possa aproveitar ao mximo este material e que ele os ajude na

conquista de seus objetivos.

O conhecimento o nico bem que, quanto mais se divide, mais se multiplica.


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Solues das Questes de

Matemtica do Processo Seletivo deAdmisso Escola de Aprendizes-

Marinheiros PSAEAM

Concurso 2010

Questo 1Sabendo que 1 grosa equivalente a 12 dzias, correto afirmar que dez grosassoequivalentes a quantas unidades?

(A) 1200 (B) 1440 (C) 1500 (D) 1680 (E) 2440

Soluo:Convm lembrar que uma dzia equivale a 12 unidades e, portanto, 12 dziasequivalem a 12 12 unidades. Pelos dados do problema, podemos montar a seguinteregra de trs simples e direta:

1 grosa 12 12 unidades

10 grosas x unidades

Efetuando a multiplicao teremos:x 10 12 12=

x 1440 unidades= Opo B

Questo 2

Na hora do almoo Leonardo fala aos seus colegas: Tenho exatamente 20 moedas nobolso, de R$ 0,10 e R$ 0,50, que somam R$ 5,20. E os desafia: Quantas moedas de R$0,10 eu tenho?Quantas moedas de R$ 0,10 Leonardo possui?

(A) 2 (B) 7 (C) 8 (D) 12 (E) 17

Soluo:

O problema em questo equivale a um sistema de equaes do 1 grau. Seja 1m o total

de moedas de R$ 0,10 e 5m o total de moedas de R$ 0,50. Ento podemos montar asseguintes equaes:

1 5Total de moedas: m m 20+ =

1 2Total em dinheiro: 0,10m 0,50m 5,20+ =

Isolando 1m na primeira equao:

1 5m 20 m= Substituindo na segunda equao:


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( )

1

5 5

m

0,1 20 m 0,5m 5,20 + =

5 52 0,1m 0,5m 5,20 + =

50,4m 3,20=

5 3,20m 0,4=

5m 8= Voltando a qualquer das equaes:

1m 20 8=

1m 12= Opo D

Questo 3

Suponha que uma pessoa corra em uma esteira 4500 m em 900 minutos. Sabendo que a

velocidade a razo do espao pelo tempo decorrido, determine a velocidadedesenvolvida por essa pessoa, supondo que essa velocidade seja constante.(A) 5,0 km/h (B) 2,5 km/h (C) 1,5 km/h (D) 0,8 km/h (E) 0,3 km/h

Soluo:Do prprio enunciado podemos definir a velocidade v como sendo:

dv

t= (1.1)

Como a velocidade pedida est em km/h precisamos colocar a distncia dem km e otempo tem horas, assim:

d 4500 m d 4,5 km= =

900t 900 min t t 15 h60

= = =

Substituindo estes dados na equao (1.1):4,5 45 1

v v v 0,3 km/h15 10 15

= = =

Opo E

Questo 4

Uma TV em cores de LCD custa, a prazo, R$ 2.300,00. Para pagamento vista, seuvalor 20% mais barato em relao ao seu preo a prazo. Qual o preo vista dessa

TV?(A) R$ 4.000,00 (B) R$ 2.100,00 (C) R$ 2.040,00

(D) R$ 1.900,00 (E) R$ 1.840,00

Soluo 1:Podemos fazer a seguinte regra de trs simples:

2300 100%

x 80%

Efetuando as multiplicaes:x 100% 2300 80% =

2300 80x 100

=


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x 23 80= x 1840=

Soluo 2:Podemos escrever a seguinte equao, onde x representa o preo vista:

20x 2300 2300

100=

Resolvendo:x 2300 460=

x 1840= A televiso vista custa R$ 1.840,00.

Opo E

Questo 5

Se o produto ( ) ( )x 3 x 1 + tem o mesmo resultado de 5x 13 , ento o valor de x sempre:

(A) Par (B) Primo (C) Mltiplo de 5 (D) Mltiplo de 13 (E) mpar

Soluo:Como queremos que

( ) ( )x 3 x 1 5x 13 + = Basta resolver esta equao. Ento, efetuando a propriedade distributiva do ladoesquerdo:

2x x 3x 3 5x 13+ = 2x 7x 10 0 + =

Solucionando a equao do segundo grau:

( )2

7 4 1 10 = 9 =

( ) 1 1

2 2

7 3x x 57 9 2x

7 32 1x x 2

2

+= =

= = =

O que nos d x 2= ou x 5= . Os dois valores so primos.Opo B

Questo 6

Seja x, y e z os lados de um tringulo retngulo. Sabendo que y a medida do maiorlado ento(A) 2 2 2y x 2z= + (B) 2 2 2y 2x 2z= + (C) 2 2 22y x z= +

(D) 2 2 2y x z= + (E) 2 2 2y 2x z= +

Soluo:O Teorema de Pitgoras nos diz que:Em um tringulo retngulo, o maior lado, chamado de hipotenusa, ao quadrado igual

a soma dos quadrados dos outros lados, chamados de catetos

Podemos ento escrever:

2 2 2y x z= + Opo D


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Questo 7

O valor da expresso( ) ( )

3 2x x 4x 4x 1 x 2+

+ quando x 987= :

(A) 987 (B) 988 (C) 989 (D) 990 (E) 991

Soluo:Podemos em questes como essa apenas substituir o valor dado, embora isso seja muitotrabalhoso. Uma maneira mais simples de resolver o problema tentar fatorar onumerador:

( ) ( )

( ) ( )

2x x 1 4 x 1

x 1 x 2

+ +

+

Fatorando mais uma vez teremos:

( )( )( ) ( )

2x 1 x 4

x 1 x 2

+

+

Sabemos que:( ) ( )2 2a b a b a b = +

Aplicando ao numerador:( ) ( )x 2 x 2

x 2

+

Substituindo agora o valor de x teremos 989.Opo C

Questo 8

A figura a seguir composta por 14 palitos divididos igualmente em dois dgitos, como

no visor de uma calculadora. Retirando dessa figura exatamente 3 palitos, qual o maiornmero que possvel formar?

(A) 90 (B) 92 (C) 93 (D) 95 (E) 99

Soluo:Por inspeo, podemos ver que o maior nmero a ser formado aquele que contm 9 noalgarismo das dezenas e 5 no algarismo das unidades.

Opo D

Questo 9

Uma tora de madeira mais meia tora de madeira com as mesmas dimenses tem massa27 kg. Qual a massa de cada tora dessas madeiras?

(A) 14 kg (B) 15 kg (C) 16 kg (D) 17 kg (E) 18 kg

Soluo:Seja x o peso da tora de madeira. Podemos ento escrever a equao:


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xx 27

2+ =

Calculando o MMC teremos:2x x

272+

=

3x 54= x 18 kg=

Opo E

Questo 10

Que nmero deve ser adicionado a 22009 para obter 22010 ?(A) 8019 (B) 6010 (C) 4019 (D) 3019 (E) 2010

Soluo:Seja x o nmero que dever ser adicionado. Do enunciado:

2 22009 x 2010+ = 2 2x 2010 2009=

Fatorando o lado direito que uma diferena de quadrados temos:( ) ( )x 2010 2009 2010 2009= +

x 4019= Opo C

Questo 11

Sejam S e P a soma e o produto, respectivamente, das razes da equao 2x 5x 6 +. O valor do produto SP :

(A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 60 (E) 70

Soluo:

Observao:Matematicamente incorreto dizer que 2x 5x 6 + uma equao, poisno h igualdade. Para resolver o problema vamos reescrever como sendo:

2x 5x 6 0 + = Como sabemos, a soma das razes de uma equao do 2 grau do tipo 2ax bx c 0+ + =

dada porb

Sa

= e o produto das razes dado porc

Pa

= .

Sendo assim podemos calcular SP como sendo:b c

SP a a= Substituindo os valores de a, b e c tem-se:

( )5 6SP

1 1

=

SP 30= Opo A

Questo 12

Em um tringulo ABC, o ngulo interno em A o dobro do ngulo interno em B.Sabendo que o ngulo interno em C o triplo do ngulo interno em A, o menor ngulo

interno deste tringulo (A) 30 (B) 25 (C) 20 (D) 15 (E) 10


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Soluo:A soma dos ngulos internos de um tringulo dada por:

A B C 180+ + = Do enunciado do problema temos:

A 2B C 3A

=

=

Escrevendo todos os ngulos em funo do ngulo do vrtice B:

( )A

A

C

2B B 3 2B 180+ + =

9B 180=

B 20= Substituindo o valor encontrado achamos para os outros ngulos:

A 40= e C 120= O menor ngulo , portanto, o do vrtice B.

Opo C

Questo 13

ABCD um quadrado de lado 12 m. Unindo os pontos mdios dos lados destequadrado obtido um quadriltero de rea igual a:

(A) 72 m2 (B) 68 m2 (C) 64 m2 (D) 56 m2 (E) 45 m2

Soluo:A figura abaixo representa o problema em questo:

A B

D C

P

Q

M

N

6

6

x

6

6x

6

6 6

6x x

P, Q, M e N so os pontos mdios do lados do quadrado. Note queAPN BPQ CMQ DMN Todos os tringulos so issceles e retngulos. Assim, PQMN um quadrado de lado x,que pode ser obtido aplicando-se o Teorema de Pitgoras:

2 2 2x 6 6= + 2x 36 36= +

2x 72=

x 6 2= Assim, unindo-se os pontos mdios de um quadrado de lado 12 m, obtemos um novo

quadrado de lado 6 2 m. A rea ser, portanto:

( )

2

S 6 2= 2S 72 m=


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Opo A

Questo 14

O permetro de um tringulo de lados inteiros igual a 12 m. O maior valor possvelpara um dos lados deste tringulo tem medida igual a

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Soluo:Sejam a,b e c os lados de um tringulo, em que a b c> > . Seu permetro :

2p a b c= + + Para que um tringulo exista, cada lado deve ser maior que a diferena e menor que asoma dos outros dois, podemos ento escrever:

b c a b c < < + Ou seja, da equao do permetro:

2p a b c = + Assim:

a 2p a< 2a 12< a 6<

O maior valor para a, portanto, 5.Opo A

Questo 15

Uma copiadora XL2010 produz 12000 cpias em 12 horas. Quantas copiadoras XL2010seriam necessrias para imprimir as 12000 cpias em 4 horas?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Soluo:O problema em questo uma regra de trs composta que pode ser esquematizadacomo abaixo:

Nmero de Total de Tempo gasto

copiadoras cpias em horas

1 12000 12

x 12000 4

Como o nmero de cpias mantido constante, basta observar o tempo gasto para

realizar as cpias. O tempo gasto inversamente proporcional ao nmero decopiadoras. Ento como o nmero de horas 3 vezes menor o nmero de copiadoras 3vezes maior:

1 12 4x = 12

x x 3 copiadoras4

= =

Opo B


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Concurso 2009

Questo 1

Observe a figura plana a seguir.

Na figura, tem-se dois quadrados. O maior tem 5 cm de lado, e o menor, 3 cm. A reada regio hachurada, em cm2,

(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 20 (E) 25

Soluo:A rea da regio hachurada ser a diferena entre as reas dos dois quadrados, ou seja:

2 2S 5 3= 2S 25 9 S 16 cm= =

Opo A

Questo 2

Observe a figura abaixo.

x 2

x

1

4

Assinale a opo que indica o seu permetro.

(A) 24 (B) 21 (C) 17 (D) 14 (E) 10

Soluo:Sejam ae bos lados no conhecidos na figura e 2po permetro. Observando a figura,vemos que:

a b xx 2 4 1

+ =

= +

Da, podemos concluir:x 2 5 x 7 = =

O permetro ser ento:2p x 2 a b 1 4 x= + + + + +

Portanto:2p 7 2 7 5 7= + + +

2p 24= Opo A


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Questo 3

O valor de( )

3a b ab

a b

+

para a 12= e b 6=

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Soluo:Vamos substituir os valores de a e b na expresso dada:

( ) ( ) 33 3 3a b ab 12 6 12 6 18 12 6 18 12a b 12 6 6

+ + = = =

Fatorando 18 e 12:3 32 2 3 33 18 12 2 3 2 3 2 3 2 3 6 = = = =

Opo B

Questo 4

Observe a representao abaixo.

S

P Q

RT No paralelogramo PQRS, PS ST= , e o ngulo PQR mede 56, conforme mostra a

figura. A medida do ngulo STP , em graus, (A) 59 (B) 60 (C) 61 (D) 62 (E) 64

Soluo:

Como PQRS paralelogramo devemos ter PQR PSR . Como PST issceles,

teremos que STP SPT x = :

S

P Q

RT

56

56

x

x

Ento: 56 x x 180 + + = 2x 180 56=

x 62= Opo D

Questo 5

Para ladrilhar uma sala, foram necessrios 640 azulejos quadrados de 15 cm de lado.Qual a rea da sala em metros quadrados?

(A) 12,1 (B) 14,4 (C) 16,9 (D) 19,6 (E) 21,3

Soluo:Cada azulejo ter como rea:


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2S 15 15 S 225 cm= = Como foram necessrios 640 azulejos:

2T TS 640 225 S 144000 cm= =

Passando para metros quadrados:2

T T

144000

S S 14,4 m10000= = Opo B

Questo 6

O valor de k na equao ( ) ( )2k l x k 6 x 7 0 + + = modo que a soma de suas razes

seja 8, (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

Soluo:

A soma das razes de uma equao da forma2

ax bx c 0+ + = :bS

a=

Da equao dada temos:( )k 6

8k 1

+ =

Ento:( )k 6 8 k 1+ =

k 6 8k 8+ = 7k 14=

k 2=

Opo E

Questo 7

Qual das expresses algbricas abaixo NO est corretamente fatorada?(A) ( ) ( )2 2a 2ab b a b a b + =

(B) ( ) ( )2 2a 2ab b a b a b+ + = + +

(C) ( ) ( )2 2a b a b a b+ = + +

(D) ( ) ( )2 2a b a b a b = +

(E) ( )( ) ( )4 4 2 2a b a b a b a b = + +

Soluo:Vamos analisar cada opo:(A) Verdadeira.Desenvolvendo o membro direito da equao:

( ) ( ) 2 2 2 2a b a b a ab ab b a 2ab b = + = + (B) Verdadeira.Desenvolvendo o membro direito da equao:

( ) ( ) 2 2 2 2a b a b a ab ab b a 2ab b+ + = + + + = + +

(C) Falsa.Desenvolvendo o membro direito da equao:

( ) ( ) 2 2 2 2a b a b a ab ab b a 2ab b+ + = + + + = + +

(D) Verdadeira.Desenvolvendo o membro direito da equao:( ) ( ) 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b+ = + =


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(E) Verdadeira.Desenvolvendo o membro direito da equao:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4a b a b a b a b a ab ab b a b a b a b+ + = + + = + = Opo C

Questo 8

Se1 2 4

M2 3 7

= +

e

2 2 2N :

3 9 3

=

, ento correto afirmar que

(A) M N= (B) M 3N= (C) M N< (D) M N> (E) M 2N=

Soluo:Vamos resolver cada expresso em separado:

1 2 4 3 4 4 4 2M

2 3 7 6 7 6 3+

= + = = =

E2 2 2 6 2 2 4 3 2

N : :3 9 3 9 3 9 2 3

= = = =

Ou seja,M N=

Opo A

Questo 9

No universo dos reais, o conjunto-soluo da inequao ( ) ( ) ( )2 x 1 x 2 3 x 2+ >

(A) { }S x | x 6= >

(B) {S x | x 5=

Soluo:Vamos desenvolver a inequao dada:

( ) ( ) ( )2 x 1 x 2 3 x 2+ > 2x 2 x 2 3x 6+ + >

x 4 3x 6+ > 2x 10 >

x 5< Opo B

Questo 10

Qual o dividendo de uma diviso cujo quociente 69, o divisor 58, e o resto o maiorpossvel?

(A) 4002 (B) 4059 (C) 4060 (D) 4062 (E) 4063

Soluo:Vamos montar o algoritmo de chave para os dados do enunciado:

D 58

R 69O resto R o maior possvel, logo Rvale 57. Ento:


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D 58 69 57 D 4059= + = Opo B

Questo 11

O valor dos juros simples produzidos por um capital de R$ 2.000,00 aplicados durante 1

ano e 8 meses taxa de 1,5% a.m. , em reais, igual a(A) 400 (B) 500 (C) 600 (D) 700 (E) 800

Soluo:Sabemos que:

1,5 151,5%

100 1000= =

Como a taxa de juros simples teremos:15

2000 301000

=

Para 1 ano e 8 meses (20 meses):

j 30 20 j 600= = Opo C

Questo 12


Escada Muro

O p de uma escada de 10 m de comprimento est afastado 6 m de um muro. A quealtura do cho, em metros, encontra-se o topo da escada?

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Soluo:A figura em questo um tringulo retngulo, podemos ento aplicar o teorema dePitgoras:

2 2 210 6 x= +

x 100 36=

x 8= Opo D

Questo 13

A soma do maior com o menor divisor primo de 70 um nmero(A) par(B) divisvel por 5(C) quadrado perfeito(D) mltiplo de 7(E) divisor de 11

Soluo:


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Curso Mentor


Vamos fatorar 70:70 235 57 71 70 2 5 7=

Assim, o maior divisor primo de 70 7 e, o menor, 2. A soma, portanto, vale 9 que quadrado perfeito.Opo C

Questo 14

Na diviso de um polinmio ( )P x por ( )2x 1+ , obtm-se quociente ( )3x 2+ e resto 3.

Ento ( )P x

(A) 3 23x 2x 3x 5 + (B) 3 23x 2x 2x 5+ + + (C) 3 23x 2x 2x 5 +

(D) 3 23x 4x 2x 5 + (E) 3 23x 2x 3x 5+ + +

Soluo:Vamos montar o algoritmo de chave:

( )P x 2x 1+ 3 3x 2+

Ento:

( ) ( )( )2P x 3x 2 x 1 3= + + +

( ) 3 2P x 3x 3x 2x 2 3= + + + +

( ) 3 2P x 3x 2x 3x 5= + + +

Opo E

Questo 15

Numa pesquisa de mercado sobre a preferncia dos consumidores entre duas operadorasde telefonia mvel, verificou-se que 3003 dessas pessoas utilizam as operadoras Ae B.A operadora A utilizada por 9376 das pessoas pesquisadas, e a operadora B por12213 delas. Se todas as pessoas pesquisadas utilizam pelo menos uma operadora, onmero de pessoas que responderam a pesquisa

(A) 24592 (B) 22623 (C) 21589 (D) 18586 (E) 17658

Soluo:Veja o diagrama de Venn abaixo:

3003

A B

9376 3003 12213 3003

O nmero de pessoas que respondeu a pesquisa foi:


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n 9376 3003 3003 12213 3003= + + n 9376 9210= +

n 18586= Opo D

Concurso 2008

Questo 1

Um feirante compra 3 mas por R$ 2,30 e vende 5 mas por R$ 4,50. Para obter umlucro de R$ 10,00, ele dever vender uma quantidade de mas igual a

(A) 60 (B) 65 (C) 70 (D) 75 (E) 80

Soluo:

O preo de compra cp das mas vale:

c

2,30p 3=

O preo de venda vp das mas vale:

vp = v v4,50

p p 0,905

= =

O lucro com a venda de x mas ser dado pela expresso:( )v cp p x 10 =

Onde ( )v cp p o lucro por maa vendida. Assim:

2,30, 9 x 10

3

=

2,7 2,3 x 103 =

30030x x x 75

0,4 4= = =

Opo D

Questo 2

Na compra de um ventilador que custa R$ 150,00, uma pessoa d 8,5% de entrada e orestante vai pagar em cinco parcelas iguais. Qual o valor de cada parcela?

(A) 27,45 (B) 27,65 (C) 28,35 (D) 28,50 (E) 29,25

Soluo:Se a pessoa deu 8,5% de entrada, significa que ela pagar 91,5% em cinco parcelasiguais, logo o valor p de cada parcela ser:

91,5150

100p5

=

915150 915 15 915 31000p p p p 27,45

5 500 100

= = = =

Opo A


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Curso Mentor


Questo 3

O valor da expresso 21

0, 555... 0, 25

210

3

(A) 0,75 (B) 0,85 (C) 0,95 (D) 1,15 (E) 1,25

Soluo:Antes de calcular o valor total da expresso, vamos achar a frao geratriz de 0,555... .Seja x o valor que procuramos:

x 0, 555...= Multipliquemos por 10 ambos os lados da equao, ento:

10x 5,555...= Mas, reescrevendo o lado direito:

10x 5 0,555...= + Ou seja:

10x 5 x= + Logo:

59x 5 x

9= =

Voltando na expresso:

21

5 5 5 5 50 45 50,25 0,5 59 9 9 10 90 90 1,25

4 1 4 4 4 4210 9 10 90 90 903

= = = = = =

Opo E

Questo 4

Sea 1b 2

= o valor de2

a ba b

+

:

(A) 4 (B) 9 (C) 16 (D) 25 (E) 36

Soluo:Do enunciado temos que:

a 12a b

b 2= =

Substituindo isto na expresso inicial teremos:

( )2 2 2

2a b a 2a 3a3 9

a b a 2a a+ +

= = = =

Opo B

Questo 5

Um caminho pode transportar um limite de peso que corresponde a 75 sacos decimento ou 3000 tijolos. Se esse caminho j contm 40 sacos de cimento, quantostijolos, no mximo, ele ainda pode carregar?

(A) 1150 (B) 1200 (C) 1250 (D) 1400 (E) 1600

Soluo:O problema em questo uma regra de trs simples:


18/57

Curso Mentor


Cimento Tijolos

75 3000

40 x

Como as grandezas so diretamente proporcionais teremos:

75 3000 40 3000x40 x 75

= = x 1600=

Como 40 sacos de cimento equivalem a 1600 tijolos, o caminho s poder carregarmais 1400 tijolos.

Opo D

Questo 6


A

B

C

D

O tringulo ABC retngulo em A e o tringulo ABD equiltero. Se a medida de

BC 12, o comprimento de AB (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Soluo:Como ABD equiltero temos que:

ABD ADB BAD 60 = Como o tringulo retngulo teremos: DAC DCA 30 =

Logo ACD issceles, consequentemente:

AD BD CD x= = =

A

B

D

60

60

60

30 30

12

xx

x

Do enunciado:

BD CD 12 2x 12 x 6+ = = =

Como ABD equiltero AB x 6= = .Opo B

Questo 7

O retngulo de dimenses ( )4x 2 cm e ( )x 3 cm+ . O permetro desse retngulo, em

centmetros, mede(A) 48 (B) 52 (C) 60 (D) 74 (E) 80


19/57

Curso Mentor


Soluo:Calculando a rea do retngulo teremos:

( ) ( )4x 2 x 3 144 + = Desenvolvendo:

24x 12x 2x 6 144+ = 24x 10x 150 0+ =

( )210 4 4 150 = 100 2400 = +

2500 =

1 1 1

1,2

2 2 2

10 50 40x x x 5

10 2500 8 8x10 50 60 152 4

x x x8 8 2

+= = =

= = = =

As medidas do retngulo devem ser positivas:1

4x 2 0 x x 0, 52x 3 0 x 3

> > > + > >

Ou seja,x 5=

As medidas ae bdo retngulo sero ento:a 4x 2 a 20 2 a 18= = = b x 3 b 5 3 b 8= + = + =

O permetro ser ento:2p 18 18 8 8 2p 52= + + + =

Opo B

Questo 8

Para que os nmerosK2

,K3

,K4

eK5

sejam inteiros, o menor valor de K inteiro

positivo (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50 (E) 60

Soluo:Para que os valores sejam inteiros devemos ter K como mltiplo de 3, 4 e 5. Ento omenor K ser dado por:

( )MMC 3,4,5 60=

Veja:3, 4, 5 23, 2, 5 23, 1, 5 31, 1, 5 51, 1, 1 4 3 5 60 =

Observao:Como 4 mltiplo de 2 o MMC entre eles o prprio 4, por isso no oconsideramos na soluo. Porm caso queira pode inclu-lo e o resultado ser o mesmo.

Opo E

Questo 9

Em um tringulo retngulo issceles, a hipotenusa tem por medida 5 2 cm . A somadas medidas dos catetos, em centmetros,


20/57

Curso Mentor


(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12

Soluo:Como o tringulo retngulo e issceles vale o teorema de Pitgoras:

( )2

2 25 2 x x= + 225 2 2x =

2x 25= x 5=

Como queremos a soma dos catetos:S 5 5 S 10= + =

Opo D

Questo 10

Se A 2 3= + e2

B3 1

=

, o valor de A B igual a

(A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 3 (E) 3

Soluo:Calculando a expresso:

2A B 2 3

3 1 = +

( ) ( )2 3 3 1 2 2 3 2 3 3 2 3 1A B 1

3 1 3 1 3 1

+ + = = = =

Opo C

Questo 11Reduzindo-se os termos semelhantes da expresso

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

b a b b a b a a b a b a + + + , obtm-se

(A) ( )2

a b (B) ( )2

a b+ (C) 2 2b a (D) 2 2a b (E) 2 2a b+

Soluo:Vamos observar a expresso chamaremos de E- dada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

E b a b b a b a a b a b a= + + +

Arrumando a expresso teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E b b a b a b a a b a b a b a= + + + Colocando ( )b a em evidncia:

( ) ( )E b a b b a a b a= + + +

( ) ( )E b a b a=

( ) ( )22

E b a E a b= =

( )2

E a b=

Opo A


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Curso Mentor


Questo 12

O valor de xque torna verdadeira a igualdade1

3 11

1x

=

,

(A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Soluo:Seja a equao dada:

13 1

11

x

=

13 1

x 1x

=

( )3 x 1 xx3 1 1

x 1 x 1

= =

3x 3 x x 1 = x 2=

Opo C

Questo 13

O menor nmero inteiro que satisfaz a inequao3 5x 1

x6 4

+< +

(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

Soluo:

Resolvendo a inequao dada:3 5x 1

x6 4

+< +

Fazendo o MMC:( )2 3 5x 3 12x+ < +

Observao:o denominador pode ser cancelado sem alterar a desigualdade porque oMMC positivo. Caso contrrio, deveramos inverter a desigualdade.

6 10x 3 12x+ < + 10x 12x 3 6 <

2x 3 <

3x 2> O menor inteiro que satisfaz as condies , portanto, 2.

Opo E

Questo 14

Paguei R$ 24,00 por um CD e um DVD. Se eu tivesse comprado 3 CDs e 4 DVDs, teriapago R$ 87,00. O preo desse CD, em reais, corresponde a uma frao do DVD igual(A) a um tero(B) metade(C) a trs quintos

(D) a dois teros(E) a trs quartos


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Curso Mentor


Soluo:Seja co preo do CD e do preo do DVD. De acordo com o enunciado temos:

c d 24

3c 4d 87

+ =

+ =

Multiplicando a primeira equao por 3:3c 3d 72

3c 4d 87

+ =

+ =

Subtraindo a segunda equao da primeira:3c 3c 4d 3d 87 72 + =

d 15= Portanto:

c 15 24 c 9+ = = Dividindo c por d:

c 9 c 3

d 15 d 5

= =

Ou seja,3

c d5

=

Opo C

Questo 15

O triplo da raiz quadrada de um nmero real positivo x, diminudo de duas unidades, igual ao prprio nmero x. A soma das razes dessa equao

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Soluo:De acordo com o enunciado podemos escrever a seguinte equao:

3 x 2 x = Isolando o radical:

3 x x 2= + x 2

x3+

=

Elevando ambos os membros ao quadrado:

( )2 22 x 2 x 4x 4

x x3 9+ + +

= =

2 2

9x x 4x 4 x 5x 4 0= + + + = Resolvendo esta equao do 2 grau:

( )2

5 4 1 4 =

25 16 = 9 =

( ) 1 1 11,2

2 2 2

5 3 8x x x 45 9 2 2x

5 3 22 1x x x 1

2 2

+= = =

= = = =

Vamos testar os valores:

3 x 2 x 3 4 2 4 6 2 4 Verdadeiro = = = 3 x 2 x 3 1 2 1 3 2 1 Verdadeiro = = =


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Curso Mentor


A soma Sdas razes portanto:S 1 4 S 5= + =

Observao:O enunciado pode nos levar a escrever a equao da seguinte maneira:

3 x 2 x =

Isolando o radical:x

x 23

=

Elevando ambos os membros ao quadrado:

( )2 22 x x

x 2 x 23 9

= =

2 29x 18 x x 9x 18 0 = + = Resolvendo esta equao do 2 grau:

( )2

9 4 1 18 =

81 72 =

9 =

( ) 1 1 11,2

2 2 2

9 3 12x x x 69 9 2 2x

9 3 62 1x x x 3

2 2

+= = =

= = = =

Vamos testar os valores:8

3 x 2 x 3 6 2 6 6 Falso3

= = =

53 x 2 x 3 3 2 3 3 Falso

3 = = =

No h, portanto, soma das razes.A primeira interpretao a correta, basta notar que h uma vrgula logo aps...positivo x,. Tenha cuidado.

Opo D

Concurso 2007

Questo 1

Se A 3 3= e B 1 3= + , o valor deAB

igual a

(A) 3 (B) 3 (C)32

(D)3 2 3

2+

(E)3 3

2+

Soluo:Fazendo a diviso de A por B teremos:

A 3 3B 1 3

=

+

Racionalizando teremos:

( )

( )

1 3A 3 3 3 3 3 3 3 2 33

B 21 3 1 3 3 31 3

+ + = = = =

+ +

Opo B


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Curso Mentor


Questo 2

Pedro possui R$ 260,00. Sabe-se que 40% do que ele tem corresponde a 25%da quantiaque seu primo tem. Com base nos dados apresentados, correto afirmar que a quantia,em reais, que o primo de Pedro possui de

(A) 26 (B) 65 (C) 104 (D) 260 (E) 416

Soluo:Seja x a quantidade que o primo de Pedro tem, ento:

2540260 x

100 100 =

40 260 25 x = 40 260

x25

=

Simplificando,8 260 8 52

x x x 416

5 1

= = =

Opo E

Questo 3

O valor da expresso numrica: ( ) ( ) ( )4 5 3 7 : 5 1 5 60 5 12+ + + +

(A) 3 (B) 8 (C) 25 (D) 33 (E) 63

Soluo:Seja E a expresso dada:

( ) ( ) ( )E 4 5 3 7 : 5 1 5 60 5 12= + + + +

[ ] ( ) ( )E 9 21 : 5 5 60 60= + + + [ ] ( )E 30 : 10 0= +

E 3= Opo A

Questo 4

Uma corda de 20 metros de comprimento foi cortada em dois pedaos de tamanhosdiferentes. Os pedaos foram usados para fazer dois quadrados. Sabendo que a diferenaentre as reas igual a 5 m2, correto afirmar que a rea do quadrado maior, emmetros quadrados, igual a

(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 7 (E) 9

Soluo:Como a corda tem 20 metros um dos pedaos ser de tamanho x e o outro de tamanho

20 x . Cada quadrado ter lado igual a14

do comprimento do fio, ou seja, um

quadrado ter lado igual ax4

e o outro20 x

4

.

A diferena entre as reas vale 25 m ou seja:2 2

x 20 x5

4 4

=

Desenvolvendo a expresso:


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Curso Mentor


22 400 40x xx5

16 16 +

=

2 2x 400 40x x5

16 +

=

2 2x 400 40x x 80 + = 400 40x 80 + =

40x 480= x 12=

Os pedaos tm 12 m e 8 m cada um. Logo os quadrados tm lado 3 m e 2 mrespectivamente e reas 9 m2e 4 m2da mesma forma.

Opo E

Questo 5

Quanto se deve dar de entrada, em reais, numa bicicleta de R$ 1.130,00 para pagar aparte restante em quatro prestaes iguais de R$ 204,00?

(A) 926 (B) 816 (C) 340 (D) 314 (E) 280

Soluo:Basta escrevermos a seguinte equao:

4 204 x 1130 + = Onde x a entrada a ser dada. Solucionando a equao teremos:

x 1130 816= x 314=

Opo D

Questo 6

Em relao a Mudanas de Unidades, assinale a opo correta.

(A) 6 m 5 cm 65 cm+ = (B) 2,2 dm 4,5 m 6,7 m+ = (C) 7, 3 m 46 cm 684 cm = (D) 0, 56 m 0,18 m 7, 4 cm+ = (E) 2 dm 32,5 cm 3, 45 m+ =

Soluo:Para cada opo, vamos colocar as parcelas na mesma unidade da resposta final:(A) 600 cm 5 cm 605 cm+ = (B) 0,22 m 4,5 m 4,75 m+ =

(C) 730 cm 46 cm 684 cm = (D) 56 cm 18 cm 74 cm+ = (E) 0, 2 m 0, 325 m 0, 525 m+ =

Opo C

Questo 7

A raiz da equao 23x 13x 10 0 = representa a medida em centmetros do lado deum quadrado. Quanto mede em centmetros quadrados, a rea desse quadrado?

(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 36 (E) 225

Soluo:

Vamos resolver a equao do 2 grau:23x 13x 10 0 =


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Curso Mentor


( ) ( )2

13 4 3 10 =

169 120 = + 289 =

( ) 1 1 11,2

2 2 2

13 17 30x x x 5

13 2896 6x 13 17 4 22 3

x x x6 6 3

+= = =

= = = =

Como uma medida deve ser um nmero positivo temos que o lado do quadrado vale 5e, portanto sua rea vale:

2 2S 5 S 25 cm= = Opo B

Questo 8

O MMC dos polinmios 23x 6x+ e 3 2x 4x 4x+ + igual a(A) 2x

(B) ( )23x x 2+

(C) ( )x x 2+

(D) ( )3 x 2+

(E) ( )2

x x 2+

Soluo:Vamos fatorar cada polinmio:

1) ( )23x 6x 3x x 2+ = +

2) ( ) ( )23 2 2x 4x 4x x x 4x 4 x x 2+ + = + + = +

A definio do MMC :Produto dos fatores comuns de maior expoente e dos fatores no comuns de cada

forma fatorada

Sendo assim:

( ) ( )22 3 2MMC 3x 6x, x 4x 4x 3 x x 2+ + + = +

Opo B

Questo 9

Em uma determinada calculadora, no funciona a tecla da diviso. Sendo assim, paradividir um nmero por 25 nessa calculadora, deve-se

(A) Subtrair 15(B) Somar 0,4(C) Multiplicar por 0,25(D) Multiplicar por 0,04(E) Multiplicar por 0,4

Soluo:Dividir um nmero ypor um nmero no nulo x o mesmo que multiplicar pelo seuinverso, ou seja:

y 1y

x x=

Usando isto nos dados do enunciado:


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Curso Mentor


y 1y y 0,04

25 25= =

Opo D

Questo 10

Um rob de brinquedo d passos de 2 centmetros. A partir de ponto A, ele caminha 8passos para frente, gira 90 para a esquerda, d mais 6 passos em a frente e pra emum ponto B. Qual a medida, em centmetros, do segmento AB?

(A) 10 (B) 14 (C) 20 (D) 25 (E) 28

Soluo:A figura formada um tringulo retngulo de catetos 16 cm e 12 cm. Veja abaixo:

A

B

8 passos 8 2 16 centmetros= =

6 passos 6 2 12 centmetros= =

Ento:

( )2

2 2

AB 12 16= + AB 144 256 AB 400 AB 20 cm= + = =

Opo C

Questo 11

Observe a figura abaixo.a

b

c

d Dados:b paralelo a ca perpendicular a d40 o menor ngulo que a reta dforma com a reta cCom os dados apresentados, correto afirmar que o maior ngulo formado da reta acom a reta b igual a

(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 80 (E) 130

Soluo:


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Curso Mentor


A partir da figura dada, prolongamos a reta apara que a mesma intercepte as retas ced:

a

b

c

d

AB

CDE

Assim, formamos os dois tringulos CDE e ABC. Do enunciado, o menor ngulo vale40 e os ngulos formados sobre o vrtice C valem 90 (CDE e ABC so tringulosretngulos).

Ento CDE 40= e, consequentemente, CED 50= .Como a//b,

CAB CED 50

= O suplemento ento vale 130.

Opo E

Questo 12

Em um paralelogramo, dois lados consecutivos medem 16 cm e 10 cm o ngulo obtusointerno 150. Determine, em centmetros quadrados, a rea do paralelogramo.

(A) 50 (B) 50 2 (C) 80 (D) 128 (E) 160

Soluo:Seja a figura do enunciado:

150

16 cm

10 cmh

30

Como os lados so paralelos o ngulo agudo mede 30. Calculando o seno deste ngulotermos:

h

sen 30 10 = Logo:

1h 16 h 8 cm

2= =

Calculando a rea:2S S 16 8 S 128 cm16 h= = =

Opo D

Questo 13

O valor de ( )( ) ( )2 3 2A x 2x 4 x 2 x x 8 = + + + + igual a

(A) 2x (B) 2x (C) 3 22x x (D) 2x 8x + (E) 16


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Curso Mentor


Soluo:Vamos desenvolver a expresso dada:

( )( ) ( )2 3 2A x 2x 4 x 2 x x 8 = + + + + 3 2 2 3 2A x 2x 2x 4x 4x 8 x x 8 = + + +

2A x = 2A x=

Opo A

Questo 14

Uma torneira com vazamento de 20 gotas por minuto, desperdia, em 30 dias, 100 litrosde gua. A mesma torneira vazando 45 gotas por minuto, durante 20 dias, desperdiarquantos litros de gua?

(A) 66 (B) 120 (C) 150 (D) 180 (E) 337

Soluo:Temos uma regra de trs composta:

Gotas/minuto Dias Litros20 30 10045 20 x

Tanto a taxa de gotas por minuto quanto o nmero de dias so diretamenteproporcionais ao nmero de litros desperdiados, logo:

20 30 10045 20 x

=

Resolvendo esta equao teremos:

45 100x 30

= x 150 litros=

Opo C

Questo 15

Um agente secreto enviou ao seu superior uma mensagem informando o nmero desubmarinos do inimigo.

A mensagem era: 7a 8 236+ > e5a

11 453

>

De acordo com a mensagem, correto afirmar que a quantidade de submarinos era em

nmero de (A) 30 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 34

Soluo:Resolvendo cada inequao separado:

1) 7a 8 236+ > 7a 228>

228a

7>

a 32,57> E

2) 5a11 453

>


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Curso Mentor


33 5a 135 > 5a 135 33 >

5a 168 > 168

a5

<

a 33,6< Portanto, o nmero ade submarinos est contido no intervalo

32,57 a 33,6< < Ento:

a 33= Opo D

Concurso 2006

Questo 1

Um quadrado ABCD tem 64 cm de permetro. Quanto mede o lado de um quadradocujo permetro o dobro do permetro do quadrado ABCD?

(A) 8 (B) 16 (C) 18 (D) 28 (E) 32

Soluo:O quadrado ABCD tem permetro 64 cm, logo o outro quadrado WXYZ tem permetro2p igual a 128. Como o permetro a soma dos 4 lados teremos:

1282p 4L L L 32 cm

4= = =

Opo E

Questo 2

Qual o valor de m n+ para que ( ) ( )2 2x mx . x x nx+ + seja igual a 4 3 2x 3x 7x + ?(Lembre-se, coeficientes de termos com o mesmo grau so iguais).

(A) 5 (B) 3 (C) 2 (D) 3 (E) 7

Soluo:Queremos que:

( ) ( )2 2 2 4 3 2x mx x x nx x 3x 7x+ + = + Desenvolvendo a expresso do lado esquerdo:

4 3 3 2 2 4 3 2

x x mx mx nx x 3x 7x + + = + ( ) ( )4 3 2 4 3 2x 1 m x m n x x 3x 7x+ + + + = + Igualando os coeficientes teremos:

1 m 3

m n 7

+ =

+ =

Da primeira equao:m 1 3 m 2= =

Substituindo na segunda equao:

( )2 n 7 n 5 + = = Ento:

m n 2 5 m n 3+ = + + = Opo B


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Curso Mentor


Questo 3

Um percurso de 40 km feito em 8 horas numa velocidade constante de 5 km/h. Se foraumentado o percurso em 20% e a velocidade em 60%, quantas horas ser necessriopara fazer o novo percurso?

(A) 3 (B) 6 (C) 8 (D) 12 (E) 15

Soluo:Antes de qualquer clculo devemos lembrar que um aumento de 20% sobre umagrandeza x pode ser calculado como se segue:

20x x x 0,2x 1,2x

100+ = + =

Analogamente para o aumento de 60%.Temos uma regra de trs composta:

Distncia (km) Tempo (h) Velocidade (km/h)40 8 5

40 1, 2 x 5 1,6 A distncia em relao ao tempo de viagem uma grandeza diretamenteproporcional. Entretanto a velocidade inversamente proporcional ao tempogasto na viagem, logo:

8 40 5 1,6x 40 1,2 5

=

Resolvendo esta equao teremos:8 1,6x 1,2

=

8 4

x 3

=

x 6 horas= Opo B

Questo 4

( )V 3 6 x= a expresso que representa as vendas de uma determinada

mercadoria, onde x a quantidade da mercadoria vendida. Com base nos dadosapresentados correto afirmar que a venda positiva para(A) qualquer que seja x(B) x 6= (C) x entre 3 e 6

(D) x 6< (E) x 6>

Soluo:O que queremos :

V 0> Ou seja,

( )3 6 x 0 > 18 3x 0 + > 3x 18> x 6>

Opo E


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Curso Mentor


Questo 5

Quantos nmeros inteiros satisfazem simultaneamente as inequaes( )2 2x 3 5 1 + + > e ( )3 2 x 2 1 + < ?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

Soluo:Resolvendo cada inequao separadamente temos:

1) ( )2 2x 3 5 1+ + > 4x 6 5 1+ + >

4x 10> 5

x2

>

O conjunto soluo da inequao 1), portanto:

}1S 2, 1,0,1,2,3...=

2) ( )3 2 x 2 1 + < 6 3x 2 1 + < 3x 1 8< +

x 3< O conjunto soluo da inequao 2), portanto:

}2S ... 2, 1,0,1,2=

Calculando 1 2S S encontramos:

{ }1 2S S 2, 1,0,1,2 =

Opo D

Questo 6

Reduza a uma s potncia a expresso ( ) ( )4 4 6 23 9 : 3 : 81 : 3 .(A) 32 (B) 34 (C) 36 (D) 38 (E) 310

Soluo:Seja a expresso dada:

( ) ( )4 4 6 23 9 : 3 : 81 : 3 Reescrevendo teremos:

( )( )

( )

44 24 4

66 4 8 6

10 6 44 24

2 2

3 33 9

33 3 3 381 3 33 3

+

= = = =

Opo B


33/57

Curso Mentor


Questo 7

3030

A

B C

Na figura acima, o segmento AB mede 2 cm. Qual o valor da rea do tringulo ABCmedidos em cm2?

(A) 2 3 (B) 3 (C) 4 (D) 2 (E) 1

Soluo 1:

Na figura do enunciado seja ba base e ha altura do tringulo ABC:

3030

6060

h

b

2

b

2

2 2

A

B CM

No tringulo retngulo ABM:

h 1 hsen 30 h 1cm

2 2 2 = = =

b3 b2cos 30 b 2 3 cm

2 2 4 = = =

Calculando a rea do tringulo:

2b h 2 3 1S S S 3 cm2 2

= = =

Soluo 2:Quando conhecemos dois lados ae bde um tringulo e o ngulo entre estes lados,podemos calcular a rea de um tringulo atravs da expresso:

a b senS

2

=

Aplicando ao problema:

2

342 2 sen 120 32S S S 2 S 3 cm

2 2 2

= = = =

Opo B

Questo 8Observe a figura abaixo


34/57

Curso Mentor


p

q

r

s

t

Dados:pparalelo a q paralelo a r;pperpendicular a t; e25 o menor ngulo que a reta p forma com a reta q.Com os dados apresentados, correto afirmar que um dos ngulos que a reta t formacom a reta s igual a

(A) 55 (B) 75 (C) 85 (D) 110 (E) 115

Soluo:Prolongando pat encontrar tteremos a figura a seguir:

p

q

r

s

25A

BCD

E

t

F

Como q//r e r//s temos que q//s e DFE 25= . O tringulo FDE retngulo em D,portanto DEF 65= . Como os ngulos entre as retas te sso suplementares (somam180), o outro ngulo (entre o segmento FE e a reta t) mede 115.

Opo E

Questo 9

O lado de um losango mede 2 5 cm. A diagonal menor a metade da maior. Qual ovalor da soma das diagonais em centmetros?

(A) 3 (B) 6 (C) 10 (D) 12 (E) 6 2

Soluo:Em um losango as diagonais se interceptam no ponto mdio formando um ngulo de90:


35/57

Curso Mentor


2 5D2

d

2

Como a diagonal maior o dobro da menor, temos a seguinte expresso para o teoremade Pitgoras:

( )2 2

22d d2 5

2 2

+ =

2 2

4d d 204 4+ = 25d

204

=

2 280d d 165

= =

d 4= Logo:

D 8= A soma das diagonais ser, portanto:

D d 8 4+ = +

D d 12+ = Opo D

Questo 10

Sendo a 6 1= + e1

b 32

= + , qual o valor de 2 2a b+ ?

(A)21

3 62

+ (B)21 3 6

2+

(C)11

3 62

+ (D) 11 3 6+ (E)112

Soluo:

Sabemos que ( )2 2 2

x y x 2xy y+ = + + ento:( ) ( )

2 22 2 2 2a 6 1 a 6 1 a 6 2 6 1 a 7 2 6= + = + = + + = +

( )2 2

22 2 21 1 1 12 3 2 3b 3 b 3 b 3 b 3

22 2 2 2 2

= + = + = + + = + +

Racionalizando a segunda parcela da soma:

2 2 21 6 2 3 2 7 2 6 7b b b 62 2 2 22 2

+= + = + = +

Calculando 2 2a b+ :

2 2 7a b 7 2 6 62

+ = + + +


36/57

Curso Mentor


2 2 14 7a b 3 62+

+ = +

2 2 21a b 3 62

+ = +

Opo A

Questo 11

Observe o circuito abaixo, onde x, ye zso nmeros inteiros.

x

y

z

Multiplique

por 3Soma 12

Divide

por 4

Respeitando as indicaes das trs setas deste circuito, determine o valor de x y+ eassinale a opo correta.

(A) 24 (B) 42 (C) 48 (D) 60 (E) 84

Soluo:De acordo com o diagrama temos as seguintes equaes:

y 3x

z y 12z

x4

=

= + =

Colocando z e y em funo de x e substituindo na segunda equao, teremos:4x 3x 12= +

x 12= Da primeira equao:

y 36= Da terceira:

z 48= Portanto:

x y 12 36 x y 48+ = + + = Opo C

Questo 12

Dadas as propores2 3

x 2 2x 4=

+ +e

y 163

2y 2+

=+

, calcule o valor de y x e assinale a

opo correta.(A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 4 (E) 9

Soluo:Vamos resolver cada uma separadamente:


37/57

Curso Mentor


1)2 3

x 2 2x 4=

+ +

4x 8 3x 6+ = + x 2=

2)

y 16

32y 2

+=

+ y 16 6y 6+ = +

5y 10 = y 2=

Calculando y x :

( )y x 2 2 y x 4 = = Opo D

Questo 13

Observe a figura

A

B C

D

E

F

Nela, ABCD um trapzio e CDEF, um quadrado. Sabendo que AB AD x= = eBC x 3= + , qual a expresso que representa a rea da figura?

(A)24x 3x 6

2+ +

(B)24x 15x 18

2+ +

(C)24x 3x 18

2+ +

(D)220x 3x2+

(E)28x 3x2+

Soluo:Traando a altura DH do trapzio teremos a figura abaixo:


38/57

Curso Mentor


A

B C

D

E

F

H

x

x

x 3 Observao:Para que DH x= devemos ter que o trapzio retngulo, que no dito no problema, mas faremos esta suposio, por hora. Da:O tringulo DHC retngulo em H:

( )2 2

DC x 9= + A rea do trapzio:

( ) ( ) 2b B h x x 3 x 2x 3xS S S

2 2 2

+ + + += = =

Somando com a rea do quadrado:2

2Total

2x 3xS x 9

2+

= + +

2 2

Total

2x 3x 2x 18S

2+ + +

=

2

Total

4x 3x 18S

2

+ +=

Isto nos d como resposta a opo C.Vamos analisar o caso em que o trapzio no retngulo. A figura ento fica:

A

B C

D

E

Fx

x

x 3+

H

Agora precisamos calcular DH e DC para encontrarmos a rea do trapzio e doquadrado respectivamente. O tringulo DHC retngulo em H:

( ) ( ) ( )2 2 2

DC DH HC= +

Ligando BD teremos o tringulo ABD, cuja rea pode ser calculada em funo de DH:( )

ABD

x DHS

2

=

A rea do tringulo BCD dada por:


39/57

Curso Mentor


( ) ( )BCD

x 3 DHS

2

+ =

A rea do quadrado:

( )2

CDEFS DC=

Note que h mais variveis que equaes. Somando as reas anteriores teremosjustamente a rea do trapzio e nos faltar uma equao para relacionar DC com HC.Portanto, a questo s tem soluo se considerarmos AB perpendicular a BC.

Opo C

Questo 14

Assinale a opo que apresenta a equao que possui razes reais distintas.(A) 22x 6x 20+ = (B) 23x 12x 12 = (C) 2x 5x 10+ = (D) 22x 12x 18 =

(E) 2x 4 0+ =

Soluo:Uma equao do 2 grau s tem razes reais e distintas se 0 > . Vamos analisar cadaalternativa:(A) 22x 6x 20 0+ =

( )26 4 2 20 = 36 160 = +

196 0 = > (B) 23x 12x 12 0 + =

( )2

12 4 3 12 = 144 144 =

0 = (C) 2x 5x 10 0 + =

( ) ( )25 4 1 10 = 25 40 =

15 0 = < (D) 22x 12x 18 0 =

( ) ( ) ( )2

12 4 2 18 =

144 144 =

0 = (E) 2x 4 0+ =

2x 4= x 4=

x Opo A

Questo 15

Numa determinada festinha, alguns rapazes compraram 5 salgados e 3 refrigerantespagando R$ 13,00. Numa outra rodada, ao chegarem mais amigos, compraram 4salgados e 4 refrigerantes pagando R$ 12,00.


40/57

Curso Mentor


Com base nos dados apresentados, quanto deveriam pagar na compra de 2 salgados e 1refrigerante?

(A) R$ 3,00 (B) R$ 4,00 (C) R$ 5,00 (D) R$ 6,00 (E) R$ 7,00

Soluo:

Seja so preo do salgado e ro preo do refrigerante. De acordo com enunciado temosas seguintes equaes:5s 3r 13

4s 4r 12

+ =

+ =

Primeiro vamos dividir a segunda equao por 4:5s 3r 13

s r 3

+ =

+ =

Primeiro vamos multiplicar a segunda equao por 3:5s 3r 13

3s 3r 9

+ =

+ =

Subtraindo a primeira da segunda equao:5s 3s 3r 3r 13 9 + =

2s 4= s 2=

Substituindo em qualquer equao:2 r 3 r 1+ = =

Respondendo ento a questo:2s r 2 2 1 2s r 5+ = + + =

Opo C

Concurso 2005

Questo 1

Um cavalo deve ser amarrado a uma estaca situada em um dos vrtices de um pastoque tem a forma de um quadrado, cujo lado mede 20 m. Para que ele possa pastar emcerca de 20% da rea total do pasto, a parte inteira, em metros, do comprimento dacorda que o prende estaca deve ser igual a

(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 8 (E) 10

Soluo:A ideia da questo , a partir de um quadrado, retirar uma rea de 20% que tem o

formato de um setor circular de um quarto de crculo. Veja a figura abaixo:r

r

20

A rea do quadrado: 2 2S 20 S 400 m= =


41/57

Curso Mentor


Queremos que 20% seja um setor circular de 90:21 20r 400

4 100 =

2 80 4r

=

2 2320r r 100 r 10 m3,14

=

Opo E

Questo 2

Dado o seguinte problema: Subtraindo-se 3 de um certo nmero x, obtm-se o dobroda sua raiz quadrada. Qual esse nmero?; pode-se afirmar que, no conjunto dosnmeros reais, esse problema(A) tem duas solues(B) tem s uma soluo, a que um nmero primo(C) tem s uma soluo, a que um nmero par(D) tem s uma soluo, a que um nmero mpar e no primo(E) no tem soluo

Soluo:De acordo com o enunciado temos a seguinte equao:

x 3 2 x = Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade e resolvendo a equao resultante:

2x 6x 9 4x + = 2x 10x 9 0 + =

( )2

10 4 1 9 =

100 36 = 64 =

( ) 1 1 11,2

2 2 2

10 8 18x x x 9

10 64 2 2x10 8 22 1

x x x 12 2

+= = =

= = = =

Testando os valores:

x 3 2 x 1 3 2 1 2 2 Falso = = =

x 3 2 x 9 3 2 9 6 2 3 Verdadeiro = = = S h, portanto, uma soluo que um nmero mpar e no-primo.

Opo D

Questo 3

A B

CZ

Y

X

Na figura acima, AB AC= , BX BY= e CZ CY= . Se o ngulo A mede 40, quantomede o ngulo XYZ?


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Curso Mentor


(A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) 90

Soluo:O tringulo ABC issceles (AB AC= ), ento o ngulo A mede 40, os ngulos B eC so iguais e valem 70 cada.

Da mesma maneira, XBY issceles (BX BY= ) e como B vale 70 os outros doisngulos valem 55 cada. O mesmo vale para o tringulo CZY.Portanto, o ngulo pedido vale 70, pois a soma vale 180.

Opo D

Questo 4

6045

10 m10 m

Uma escada de 10 metros de comprimento forma ngulo de 60 com a horizontalquando encostada ao edifcio de um dos lados da rua, e ngulo de 45 se for encostadaao edifcio do outro lado, apoiada no mesmo ponto do cho. A largura da rua, emmetros, vale aproximadamente

(A) 15 (B) 14 (C) 13 (D) 12 (E) 11

Soluo:Para encontrar a largura da rua, precisamos calcular os catetos x e yadjacentes aosngulos de 45 e 60, respectivamente:

xcos 45 x 7,07 m

10 =

ycos 60 y 5 m

10 = =

Somando xe y:x y 7,07 5 x y 12,07 m+ = + + =

Opo D

Questo 5

Uma balana assinala 325 g para um certo copo cheio de gua. Jogando-se metade dagua fora, a balana passa a assinalar 180 g. Para esse copo vazio, quanto tal balanaassinalar em gramas?

(A) 20 (B) 25 (C) 35 (D) 40 (E) 45

Soluo:Seja co peso do copo e ao peso da gua temos as equaes:

a c 325

a

c 1802

+ =

+ =

Da primeira equao temos:


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Curso Mentor


a 325 c= Substituindo na segunda equao:

325 cc 180

2

+ =

325 c 2c

180 325 c 3602

+= + =

c 360 325=

c 35= Opo C

Questo 6

Numa competio de tiro-ao-alvo cada atirador deve efetuar 25 disparos. Qual aporcentagem de acertos no alvo de um jogador que obtm 0,5+ pontos sabendo-se quecada tiro no alvo vale 0,4+ e cada tiro fora do alvo vale 0,1 ?

(A) 25 (B) 24 (C) 20 (D) 16 (E) 5

Soluo:Seja cos tiros com acerto no alvo e e, os tiros com erro:

c e 25

0,4c 0,1e 0,5

+ =

=

Da primeira equao temos:e 25 c=

Substituindo na segunda equao:( )0, 4c 0,1 25 c 0,5 =

0, 4c 2,5 0,1c 0,5 + = 0,5c 0,5 2,5= +

3c c 60,5

= =

Para calcular a porcentagem Pde acertos:6

P P 0,24 24%25

= = =

Opo B

Questo 7

Um feirante compra duas unidades de ma por R$ 0,75. Sabendo-se que ele vende o

lote de seis mas por R$ 3,00, quantas mas dever vender para ter um lucro de R$50,00?(A) 40 (B) 52 (C) 400 (D) 520 (E) 600

Soluo:Seja co preo de compra, vo preo de venda e xo nmero de maas vendidas. Ento:

0,75c

2=

3,00v

6=

Comprando x mas e as vendendo, queremos lucro de 50,00:

3 0,75x 506 2

=


44/57

Curso Mentor


1 0,75x 50

2 2

=

1 0, 75x 50

2

=

0,25 100x 50 x x 4002 0,25

= = =

Opo C

Questo 8

x y z

Considerando-se que, nas figuras acima, os tringulos X, Y e Z estejam inscritos emretngulos congruentes, pode-se afirmar que(A) apenas as reas dos tringulos X e y so iguais(B) apenas as reas dos tringulos X e Z so iguais(C) apenas as reas dos tringulos Y e Z so iguais(D) as reas dos tringulos X, Y e Z so iguais entre si(E) as reas dos tringulos X, Y e Z so diferentes entre si

Soluo:A rea de um tringulo de base be altura h calculada pela expresso:

b hS

2

=

Para os trs tringulos a base e a altura so os lados do retngulo que os circunscreve,portanto, as reas so todas iguais.

Opo D

Questo 9

Numa unidade da Marinha, esto lotados: 200 terceiros sargentos; 160 segundossargentos; e nprimeiros sargentos. Se nrepresenta 2/5 do nmero total de sargentos dareferida unidade, pode-se afirmar que n(A) mltiplo de 15 e de 8(B) mltiplo de 15 e no de 8

(C) no mltiplo de 15, nem de 8(D) no mltiplo de 15, mas mltiplo de 8(E) mltiplo de 18

Soluo:De acordo com o enunciado, podemos encontrar o total Tde sargentos em funo de n:

200 160 n T+ + = Mas sabemos tambm que:

2n T

5=

Da:

5360 n n2

+ =


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Curso Mentor


5n 2n360

2

=

3n360 3n 720 n 240

2 = = =

Fatorando nencontraremos:4n 2 3 5=

Podemos escrever:n 2 8 15=

Opo A

Questo 10

Em uma sala retangular de piso plano nas dimenses 8,80 m por 7,60 m, deseja-secolocar lajotas quadradas iguais sem a necessidade de recortar qualquer pea. A medidamxima em centmetros, do lado de cada lajota dever ser igual a

(A) 10 (B) 20 (C) 30 (D) 40 (E) 50

Soluo:Passando as medidas para centmetros teremos 880 cm e 760 cm. As lajotas mximassero o maior divisor comum destes valores, ou seja, MDC (880,760). Da:

1 6 3880 760 120 40120 40 0

As lajotas devero ter, portanto, 40 cm de lado.Opo D

Questo 11

Fatorando-se a expresso ac 2bc ad 2bd+ , obtm-se(A) ( ) ( )a 2b c d+

(B) ( ) ( )a 2b c d

(C) ( ) ( )a 2b c d +

(D) ( ) ( )2

a c a d+

(E) ( ) ( )a c a 2b +

Soluo:Seja Ea expresso dada:

E ac 2bc ad 2bd= +

E ac ad 2bc 2bd= + ( ) ( )E a c d 2b c d= +

( ) ( )E a 2b c d= + Opo A

Questo 12

Caso seja cobrado um imposto de 5% sobre o valor de qualquer saque efetuado em umainstituio financeira, qual ser o saque mximo possvel, em reais, a ser efetuado emuma conta cujo saldo de 2.100,00 reais?

(A) 1.995,00 (B) 2.000,00 (C) 2.050,00 (D) 2.075,00 (E) 2.095,00

Soluo:


46/57

Curso Mentor


Seja x o valor sacado, teremos a seguinte equao:5

x x 2100100

+ =

Resolvendo:100x x5

2100100

+=

105x

2100100

=

210000 70000105x 210000 x x x 2000

105 35= = = =

Opo B

Questo 13

A maquete de um reservatrio R, feita na escala 1:500, tem 8 mm de largura, 10 mmde comprimento e 8 mm de altura. Qual a capacidade em litros do reservatrio R?

(A) 640 (B) 800 (C) 6400 (D) 8000 (E) 80000Soluo:Se a maquete est na escala 1:500, significa que 1 unidade na maquete resulta em 500unidades da mesma medida no tamanho real. As medidas reais ento sero:

Largura: 8 500 4000 mm = Comprimento: 10 500 5000 mm =

Altura: 8 500 4000 mm = Como 1 litro igual a 1 decmetro cbicopassamos as medidas para decmetros edepois calculamos o volume:

Largura: 40 dmComprimento: 50 dm

Altura: 40 dmCalculando o volume V (supondo o recipiente em forma de paraleleppedo):

V 40 50 40 V 80000 litros= = Opo E

Questo 14

Em um tringulo, os lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm. Quanto mede, em centmetros,a altura relativa ao maior lado desse tringulo?

(A) 8,0 (B) 7,2 (C) 6,0 (D) 5,6 (E) 4,3

Soluo 1:

O tringulo em questo retngulo, basta verificar que:2 2 215 12 9= +

Ou ainda que o mesmo tem lados proporcionais a 3, 4 e 5, que um tringulopitagrico. Teremos ento a figura abaixo:

9

12

15

h

Onde h altura relativa hipotenusa.


47/57

Curso Mentor


Lembrando que vale a relao mtrica no tringulo retngulo de hipotenusa a, catetosbe ce altura relativa a hipotenusa h:

bc ah= Observao:pode-se demonstrar esta relao usando semelhana de tringulos.Aplicando ao problema:

9 12 15 h = 9 12h

15

=

3 12h h 7,2 cm

5

= =

Soluo 2:Podemos usar o radical de Heron para calcular a rea Susando o semipermetro p:

( ) ( ) ( )S p p a p b p c=

Calculando o semipermetro:15 12 9

p

2

+ +=

36p

2=

p 18= Como a rea pode ser calculada usando a base e a altura:

15 hS

2

=

Comparando as duas reas:

( ) ( ) ( )15 h

18 18 15 18 12 18 92

=

15 h

18 3 6 9 2

= 15 h

18 32

=

5 h 3618 h h 7,2 cm

2 5

= = =

Opo B

Questo 15

A CB

Considerando-se que a figura A seja um retngulo e as figuras B e C sejam obtidas,respectivamente, pela retirada da figura A de um quadrado de lado unitrio, pode-seafirmar que(A) apenas os permetros das figuras A e B so iguais(B) apenas os permetros das figuras A e C so iguais(C) apenas os permetros das figuras B e C so iguais(D) os permetros das figuras A, B e C so todos iguais(E) os permetros das figuras A, B e C so todos diferentes

Soluo:


48/57

Curso Mentor


Por observao, vemos que A e C possuem o mesmo permetro, pois o recorte em Cpossui lados congruentes aos da figura retirada. Isto no ocorre com B. No entanto,abaixo faremos uma soluo mais formal:

1

1

1

1

1b

a

c d b 1

a 1aa

b b

A CB

Vamos calcular os respectivos permetros:

( )A A2p a b a b 2p 2 a b= + + + = +

( )B B Bb

2p a b a c 1 d 1 1 2p 2a 2b 2 2p 2 a b 1=

= + + + + + + + = + + = + +

( )C C C2p a b a 1 b 1 1 1 2p 2a 2b 2p 2 a b= + + + + + = + = +

Portanto,

A C B2p 2p 2p=

Opo B

Concurso 2004

Questo 1

O lucro mensal de uma fbrica dado por ( ) 2L x 2x 32x 56= + em milhares de

peas fabricadas e L o lucro mensal sendo x medido milhes de Reais.Quando o lucro nulo, isto , em 22x 32x 56 0 + = , a quantidade de peasprodutivas a soluo positiva da equao multiplicada por mil, ento a quantidade de

peas para que o lucro seja nulo :(A) 2.000 ou 14.000(B) 3.000 ou 16.000(C) 4.000 ou 12.000(D) 5.000 ou 16.000(E) 7.000 ou 18.000

Soluo:Solucionando a equao do 2 grau em questo:

22x 32x 56 0 + = ( ) ( )232 4 2 56 =

1024 448 = 576 =

( )

( )

1 1 1

1,2

2 2 2

32 24 8x x x 2

32 576 4 4x32 24 562 2

x x x 144 4

+ = = =

= = = =

Opo A


49/57

Curso Mentor


Questo 2

Na figura, os segmentos AB , BC , CD , DE so respectivamente paralelos aossegmentos MN , NQ, QO, OP , o ngulo PQ 35= e ABC 40= . O valor do ngulo

BCD :

A

C

B

E

D

P

ON

M

Q

(A) 35 (B) 40 (C) 50 (D) 55 (E) 75

Soluo:

Primeiro, prolongamos DE at encontrar QO; como DE / /OP temosCDE PQ 35 = . Tracemos ainda uma paralela a DE - e, consequentemente

paralela AB - passando por C:Observao:No necessariamenteesta nova paralela passar por Q.

AC

B

E

D

P

ON

M

Q40

35

Agora, fica fcil perceber que o ngulo BCD a soma 40 35 + , pois estes ngulos soalternos internos das paralelas AB e DE respectivamente.

Opo E

Questo 3

Se uma torneira enche um reservatrio de gua de 5,4 m 3a uma razo de 15 litros porminuto, quanto tempo levar para encher completamente o reservatrio?(A) quatro horas(B) cinco horas e meia

(C) seis horas(D) seis horas e meia


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Curso Mentor


(E) sete horas

Soluo:Passando a capacidade do reservatrio para litros:

3 35, 4 m 5400 dm 5400 litros= =

Basta, ento, resolver a regra de trs:Litros Tempo

15 1

5400 x

Da:5400

x x 360 minutos15

= =

Opo C

Questo 4

Num trabalho de pesquisa feito com 10.000 fumantes, divididos em 5 grupos em que acada grupo foi aplicada uma arma contra o fumo, conforme o grfico abaixo. Sabe-seque 40% do grupo que utilizaram a acupuntura parou de fumar. O nmero de pessoasque participaram dessa pesquisa e que pararam de fumar atravs da acupuntura :

(A) 840 (B) 860 (C) 1020 (D) 1400 (E) 1480

Soluo:O que temos neste problema uma porcentagem de uma porcentagem, pois 40% dos21% (dos 10.000 que participaram da pesquisa) que usaram acupuntura pararam defumar, ou seja:

40 2110000 40 21 840

100 100 = =

Opo A

Questo 5

A rea da figura hachurada, onde todas as medidas so em metros :


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Curso Mentor


3

6

8

2

8

Considere:

3,1 =

3 1,3= (A) 54,1 (B) 56,1 (C) 58,2 (D) 60,1 (E) 61,3

Soluo:A rea Sque desejamos calcular, na verdade a de um quadrado de lado 8, subtrada

de um semi-crculo de raio 2 e de um tringulo de base 2 e altura 3 . Assim:2

2 2 2 3S 82 2

=

S 64 2 3=

S 64 2 3,1 1,7= S 64 6,2 1,7= S 56,1=

Opo B

Questo 6

No painel o desenho de uma rvore de natal, na forma de umtringulo issceles, onde a

altura, e a base so nmeros inteiros e os lados medem 10 , ser revestido com umpapel de parede, que custa R$ 8,00 o metro quadrado. Qual o custo mnimo pararevestir essa rvore?

(A) R$ 16,00 (B) R$ 24,00 (C) R$ 32,00 (D) R$ 40,00 (E) R$ 48,00

Soluo:A rea da rvore dada pela expresso:

b hS 2=


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Curso Mentor


h

b2

10

Aplicando o Teorema de Pitgoras na figura anterior:

( )2

22b10 h

2

= +

22b h 10

4 + =

Como b e h so nmeros naturais e S deve ser a menor possvel, por inspeo,descobrimos que b 2= e h 3= . A rea ento fica:

22 3S S 3 m2

= =

Como cada metro quadrado custa R$ 8,00 teremos um custo mnimo de R$ 24,00.Opo B

Questo 7

Os irmos Antnio e Pedro, sem nenhuma economia, receberam de seu pai uma certaquantia em dlares cada um, para fazer uma viagem. Percebendo a diferena entreessas quantias, Antnio d a Pedro tantos dlares quanto Pedro possui; Em seguidaPedro d a Antnio tantos dlares quanto Antnio possui. Iniciam a viagem com U$$1.800,00 cada um. Quantos dlares cada um recebeu de seu pai inicialmente?(A) Antnio recebeu U$$ 1000,00 e Pedro U$$ 800,00(B) Antnio recebeu U$$ 2000,00 e Pedro U$$ 2250,00(C) Antnio recebeu U$$ 1350,00 e Pedro U$$ 2600,00(D) Antnio recebeu U$$ 2250,00 e Pedro U$$ 1000,00(E) Antnio recebeu U$$ 2250,00 e Pedro U$$ 1350,00

Soluo:Seja Aa quantia inicial de Antnio e Pa quantia inicial de Pedro. De acordo com oenunciado temos a seguinte tabela:

Antonio Pedro

Inicial A P1 doao A P P P+ 2 doao A P A P + ( )2P A P

Como aps a segunda doao as quantias so iguais:( )A P A P 2P A P + =

2A 2P 2P A P = + 3A 5P=

Como cada um inicia a viagem com R$ 1800,00:2A 2P 1800 =

Substituindo a primeira equao na segunda:

5P2 2P 18003 =


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Curso Mentor


10P 6P1800

3

=

3 18004P 3 1800 P P 1350

4

= = =

Substituindo em alguma das equaes:

5PA A 22503

= =

Opo E

Questo 8

O valor simplificado da expresso:

( )

( )

2

4

11,363636... 2 0,5

5

2

:

(A)

9

5 (B)

31

5 (C) 7 (D) 9 (E) 11

Soluo:Vamos, antes de comear a resolver a expresso, calcular o valor de x 1,363636...= :

x 1 0, 363636...= + Fazendo y 0,363636...= teremos:

100y 36,363636...= 100y 36 0, 363636...= +

100y 36 y= +

3699y 36 y

99= =

Voltando a x:36 99 36 135

x 1 x x99 99 99

+= + = =

Voltando na expresso original E:

( )

( )

2 22

4 4

135 1 5 135 10 1 1135 1 22 0,599 5 10 99 5 299 5E

112162

+ +

= = =

135 11 1 27 1 1 27 4 9 108 9

99 499 5 4 9 1 4 36 36E 111 1 11 36 14 4 44

= = = = = =

Opo E

Questo 9

Para monitorar duas avenidas, devem ser instaladas cmeras, posicionadas em pontos apartir da posio 1 at a posio n nas avenidas A e B. Sendo u a maior e constantedistncia entre as cmeras, o total de cmeras a serem instaladas nas avenidas :


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Curso Mentor


...

60 km

3

1

2

2

1

3

...126 km

n

uuu

uuu

n

Avenida A

Avenida B

(A) 28 (B) 30 (C) 31 (D) 36 (E) 37

Soluo:O maior valor para u ser aquele que divisor de 60 e 126 simultaneamente, ou seja,MDC (60,126).Usando o algoritmo de Euler:

2126 60 66 0

O MDC (60,126) , portanto, 6 e h 10 cmeras na avenida B(basta dividir 60 por 6) e21 na avenida A. O total de cmeras ento ser de 31.

Opo C

Questo 10Para sustentao do letreiro feito um suporte de ferro na forma de um tringuloretngulo ABC. Calcule o comprimento da barra de ferro representada pelo segmentoAD sabendo que bissetriz do ngulo BC.

60 2 cm

140 2 cm

EAM

A

B

C

D

(A) 0,56 m (B) 0,84 m (C) 0,92 m (D) 1 m (E) l,2 m

Soluo:Como o tringulo ABC retngulo em A sua rea S pode ser calculada como:

60 2 140 2S2=


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Curso Mentor


Sabemos que a rea S de um tringulo qualquer com lados a e b e ngulo entre esteslados calculada pela expresso:

a b senS

2

=

Aplicando no nosso problema a rea S pode ser calculada como se segue:

( ) ( )140 2 DA sen45 60 2 DA sen45S2 2

= +

As duas reas devem ser iguais, logo:

( ) ( )140 2 DA sen45 60 2 DA sen4560 2 140 22 2 2

= +

( ) ( )2 2

140 2 DA 60 2 DA60 2 140 2 2 22 2 2

= +

( ) ( )1 1

140 DA 60 DA60 140 2 2

2 2 2

= +

( ) ( )140 DA 60 DA60 1402 4 4

= +

( )200 DA 60 1404 2

=

( )DA 6 14DA 6 14 DA 84 cm

2 2

= = =

Passando para metros DA 0,84 m= .Opo B

Questo 11Em uma viagem foram colocados dois tipos de revistas para que os tripulantes de umafragata desfrutassem de uma boa leitura. Ao final da viagem foi feita uma pesquisa comtodos os tripulantes para saber das preferncias com relao s revistas sade bordoou vida marinha, verificou-se que:- 20 tripulantes leram sade bordo- 30 tripulantes leram vida marinha- 8 tripulantes leram as duas revistas- 14 tripulantes no leram nenhuma dessas revistasQual o nmero de tripulantes da fragata nesta viagem?

(A) 56 (B) 58 (C) 64 (D) 68 (E) 72

Soluo:Vamos chamar de SB a revista sade bordo e VM a revista vida marinha. Veja odiagrama de Venn abaixo:

8

SB VM

20 8 30 8

14 O nmero de pessoas que respondeu a pesquisa foi:

n 20 8 8 30 8 14= + + +


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Curso Mentor


n 20 30 6= + + n 56=

Opo A

Questo 12

Um marinheiro ao viajar comprou U$$ 1000,00 a uma taxa de 2,9 Reais por Dlar. Nohavendo usado este dinheiro na viagem, ele vendeu, na sua volta a uma taxa de 2,7Reais por Dlar. Ento:(A) O marinheiro lucrou R$ 180,00(B) O marinheiro lucrou R$ 190,00(C) O marinheiro lucrou R$ 200,00(D) O marinheiro perdeu R$ 100,00(E) O marinheiro perdeu R$ 200,00

Soluo:O problema pode ser resolvido com uma regra de trs, mas muito mais simples que

isso. Na ida cada dlar valia R$ 2,90, ento:1000 2,90 2900 = Ou seja ela gastou R$ 2.900,00 para comprar os dlares. Na volta ele vendeu cada dlarpor R$ 2,70, ento:

1000 2,70 2700 = Ou seja ele s recebeu R$ 2.700,00. Houve ento um prejuzo de R$ 200,00.

Opo C

Questo 13

Numa competio de arremesso de dardo, o vencedor conseguiu 82 m. O segundocolocado 78 m. De quanto foi o lanamento do terceiro colocado, sabendo-se que a

diferena entre seu lanamento e o lanamento do segundo colocado foi a tera parte dadiferena entre o seu lanamento e o do primeiro?(A) 72 m (B) 74 m (C) 75 m (D) 76 m (E) 77 m

Soluo:Seja po primeiro colocado; s, o segundo e to terceiro. De acordo com o enunciado:

p 82

s 78

t 82t 78

3

=

= =

Resolvendo a terceira equao:3t 234 t 82 = 3t t 234 82 =

2t 152= t 76=

Opo D

Questo 14

A soma das razes reais da equao ( )22x 2 2 2 x 4 0 + + = :

(A) 0 (B) 2 2 (C) 2 (D)2 2+ (E) 4 2

Soluo:


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Curso Mentor

A soma S das razes de uma equao do 2 grau do tipo 2ax bx c 0+ + = sempre dadapela expresso:

bS

a=

Ento:

( )2 2 2S2

+=

Racionalizando:

( )2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2S 2 2

2 22 2

+ + += = = = +

Opo D

Questo 15

No numeral 213a46, a letra a representa um algarismo. Se o nmero correspondente

divisvel por 3, a soma dos algarismos que podem substituir a letra a :(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 16 (E) 17

Soluo:Como o nmero deve ser divisvel por 3 a soma de seus algarismos deve ser da forma3k, onde k inteiro e positivo, em outras palavras:

2 1 3 a 4 6 3k+ + + + + = a 16 3k+ =

Substituindo os possveis de k:k 0 a 16 3 0 a 16= + = = k 1 a 16 3 1 a 13= + = = k 2 a 16 3 2 a 10= + = = k 3 a 16 3 3 a 7= + = = k 4 a 16 3 4 a 4= + = = k 5 a 16 3 5 a 1= + = = k 6 a 16 3 6 a 2= + = = k 7 a 16 3 7 a 5= + = = k 8 a 16 3 8 a 8= + = = k 9 a 16 3 9 a 11= + = =

Como a est entre 0 e 9 s trs valores possveis para a. A soma destes valores :2 5 8 15+ + =

Opo C

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