1

LIVRO 1 - 2013

MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS

MATEMTICA

1. (Fgv 2012) Quando o preo por unidade de certo modelo de

telefone celular R$ 250,00, so vendidas 1400 unidades por ms. Quando o preo por unidade R$ 200,00, so vendidas 1700 unidades mensalmente. Admitindo que o nmero de celulares vendidos por ms pode ser expresso como funo polinomial do primeiro grau do seu preo, podemos afirmar que, quando o preo for R$ 265,00, sero vendidas: (A) 1 290 unidades

(B) 1 300 unidades

(C) 1 310 unidades

(D) 1 320 unidades

(E) 1 330 unidades

COMENTARIO: Admitindo que o nmero de celulares vendidos por (y) ms possa ser expresso como funo polinomial do primeiro grau do seu preo (x). Portanto, y = a . x + b.

Resolvendo o sistema

1400 250 a b,

1200 200 a b temos:

a 6 e b 2900.

Logo, y = 6x + 2900; se o preo for 265 reais, sero vendidos y = 6 265 + 2900 = 1310 unidades. Resposta: C

2. (Ucs 2012) Considere as funes definidas por:

I. f x 9,8x 50

II. x

f x 900 0,5

III. f x 0,5x 800

IV. f x 0,005x 750

V. f x 15,3x

VI. f x 9,8x 50

Analisando essas funes, diga qual delas pode representar, respectivamente, o modelo matemtico para cada relao descrita abaixo. ( ) Relao entre o salrio mensal de um vendedor e o

valor total das vendas por ele efetuadas no ms, considerando que ele recebe, alm do seu salrio fixo, uma comisso de 0,5% sobre o valor de suas vendas.

( ) Relao entre a quantidade de litros de gasolina no tanque de um automvel e o nmero de quilmetros rodados, sem abastecimento.

( ) Relao entre o numero de metros quadrados de rea verde em uma cidade e o nmero de seus habitantes, considerando que a quantidade de rea verde proporcional ao nmero de habitantes.

Assinale a alternativa que preenche corretamente os parnteses, de cima para baixo. (A) III I V

(B) III VI II

(C) III I II

(D) IV VI II

(E) IV I V

COMENTARIO: A comisso de 0,5% do vendedor sobre o valor total das vendas x, corresponde a uma taxa de variao de 0,005. Logo, o modelo matemtico que descreve essa relao pode ser f(x) = 0,005x + 750. Supondo que o consumo do automvel seja constante, segue que a quantidade de litros de gasolina no tanque diminui, na medida em que o nmero de quilmetros rodados aumenta. Assim, essa relao pode ser descrita pelo modelo f(x) = -9,8x + 50. Se a quantidade de rea verde proporcional ao nmero de habitantes da cidade, ento o modelo f(x) = 15,3x pode descrever essa relao. Resposta: E

3. (Ufpb 2012) Segundo dados do World Urbanization

Prospects, publicados na revista poca de 06 de Junho de 2011, o percentual da populao urbana mundial em relao populao total, em 1950, era aproximadamente de 29% e, em 2010, atingiu a marca de 50%. Estima-se que, de acordo com esses dados, o percentual I(t) da populao urbana mundial em relao populao total, no ano t, para

t 1950 , dado por I(t) a(t 1950) b , onde a e b

so constantes reais. Com base nessas informaes, conclui-se que o percentual da populao urbana mundial em relao populao total, em 2050, ser, aproximadamente, de: (A) 60%

(B) 62%

(C) 64%

(D) 66%

(E) 68%

COMENTARIO:

I(1950) = 29 a.(1950-1950) + b = 29 b = 29.

I(2010 = 50 a.(2010-1950) + 29 = 50 a = 7/20.

Portanto I(2050) = 7

(2050 1950) 2920

I(2050) = 64.

Resposta: C

4. (Unisinos 2012) Qual dos grficos abaixo representa a reta de

equao y = 2x + 3?

2

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

COMENTARIO:

X = 0 y = 3 e y = 0 x = -1,5 Considerando os pontos (0,3) e (-1,5; 0), temos o grfico:

Resposta: A

5. (G1 ifsp 2012) Uma empresa est organizando uma ao

que objetiva diminuir os acidentes. Para comunicar seus

funcionrios, apresentou o grfico a seguir. Ele descreve a tendncia de reduo de acidentes de trabalho.

Assim sendo, mantida constante a reduo nos acidentes por ms, ento o nmero de acidentes ser zero em (A) maio.

(B) junho.

(C) julho.

(D) agosto.

(E) setembro.

COMENTARIO: Cada par ordenado (x, y) representa o nmero de acidentes y no ms x. De acordo com o grfico, temos os seguintes pontos: (1, 36) e (4, 18) e a funo y = ax + b, pois o grfico uma reta, ento:

1 36,

4 18

a b

a b resolvendo o sistema temos a = - 6 e b = 42;

portanto, y = - 6x + 42. Fazendo y = 0, temos: 0 = - 6x + 42 6x = 42 x = 7. O ms sem acidentes ser em julho. Resposta: C

6. (Espcex (Aman) 2012) Considere as funes Rea f x 3x ,

de domnio [4, 8] e g y 4y , de domnio [6, 9]. Os valores

mximo e mnimo que o quociente

f x

g ypode assumir so,

respectivamente

(A) 2

3 e

1

2

(B) 1

3 e 1

(C) 4

3 e

3

4

(D) 3

4 e

1

3

(E) 1 e 1

3

COMENTARIO: Como f e g so funes crescentes, segue que o valor mximo do

quociente f(x)

g(y)

f(8) 3 81,

g(6) 4 6 e o valor mnimo

f(4) 3 4 1.

g(9) 4 9 3

Resposta: E

7. (G1 ifpe 2012) As escalas de temperatura mais conhecidas

so Clsius (C) e Fahrenheit (F). Nessas escalas, o ponto de congelamento da gua corresponde a 0C e 32F, e o ponto de ebulio corresponde a 100C e 212F. A equivalncia entre as

3

escalas obtida por uma funo polinomial do 1 grau, ou seja, uma funo da forma f(x) = ax + b, em que f(x) a temperatura em grau Fahrenheit (F) e x a temperatura em grau Clsius (C). Se em um determinado dia a temperatura no centro do Recife era de 29C, a temperatura equivalente em grau Fahrenheit (F) era de: (A) 84F

(B) 84,02F

(C) 84,1F

(D) 84,12F

(E) 84,2F

COMENTARIO:

A taa desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contm lquido at uma altura de x cm.

O volume de lquido contido na taa, em cm

3, depende da altura

atingida por esse lquido, em cm. O grfico a seguir mostra essa dependncia, sendo que os pontos A e B correspondem taa totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.

Resposta: E

8. (Insper 2012) Uma pessoa colocou um lquido nessa taa at a altura correspondente a um tero do raio da semiesfera. O volume de lquido colocado na taa nessa situao

(A) menor do que 20,25 cm3.

(B) igual a 20,25 cm3.

(C) est entre 20,25 cm3 e 40,5 cm

3.

(D) igual a 40,5 cm3.

(E) est entre 40,5 cm3 e 60,75 cm

3.

COMENTARIO: Observando o grfico possvel notar que

O volume na tera parte do raio menor que 20,25, que 1/3 do volume total.

Logo, o volume do lquido na taa menor que 20,25 cm3. Resposta: A

9.

COMENTARIO:

RESPOSTA: D

4

10.

COMENTARIO:

RESPOSTA: A

11.

COMENTARIO:

RESPOSTA: E

12.

COMENTRIO:

RESPOSTA: B

13. (Enem 2010) Embora o ndice de Massa Corporal (IMC) seja

amplamente utilizado, existem ainda inmeras restries tericas ao uso e as faixas de normalidade preconizadas. O Recproco do ndice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alomtrico, possui uma melhor fundamentao matemtica, j que a massa uma varivel de dimenses cbicas e a altura, uma varivel de dimenses lineares. As frmulas que determinam esses ndices so:

2 3

massa kg altura cmIMC RIP

altura m massa kg

ARAJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. ndice de Massa Corporal: Um Questionamento Cientficio Baseado em Evidncias. Arq.Bras.

Cardiologia, volume 79, n.o 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m

2, ento ela possui RIP igual a

(A) 130,4 cm/kg

(B) 132,5 cm/kg

(C) 138 cm/kg

(B) 1320 cm/kg

(B) 1340 cm/kg

COMENTARIO: Seja h a altura da menina.

2

6425 h 1,6m 160cm

h

RIP = 3

160 16040

464

Resposta: E

14. (Enem 2 aplicao 2010) Lucas precisa estacionar o carro

pelo perodo de 40 minutos, e sua irm Clara tambm precisa estacionar o carro pelo perodo de 6 horas. O estacionamento Verde cobra R$ 5,00 por hora de permanncia. O estacionamento Amarelo cobra R$ 6,00 por 4 horas de permanncia e mais R$ 2,50 por hora ou frao de hora ultrapassada. O estacionamento Preto cobra R$ 7,00 por 3 horas de permanncia e mais R$ 1,00 por hora ou frao de hora ultrapassada. Os estacionamentos mais econmicos para Lucas e Clara, respectivamente, so (A) Verde e Preto.

(B) Verde e Amarelo.

(C) Amarelo e Amarelo.

(D) Preto e Preto.

(E) Verde e Verde.

COMENTARIO: No estacionamento Verde, Lucas pagaria R$ 5,00, enquanto que Clara pagaria 5 . 6 = R$ 30,00. No estacionamento Amarelo, Lucas pagaria R$ 6,00, enquanto que Clara pagaria 6 + 2,5 . 2 = R$ 11,00.

5

No estacionamento Preto, Lucas pagaria R$ 7,00, enquanto que Clara pagaria 7 + 1 . 3 = R$ 10,00. Portanto, o estacionamento Verde a melhor opo para Lucas e o Preto a melhor escolha para Clara. Resposta: A

15. (Enem simulado 2009) A figura a seguir mostra a

porcentagem de oxignio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhes de anos, desde a formao da Terra at a era dos dinossauros.

Considere que a escala de tempo fornecida seja substituda por um ano de referncia, no qual a evoluo qumica identificada como 1 de janeiro zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro s 23h59 min e 59,99 s.

Desse modo, nesse ano de referncia, a porcentagem de oxignio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no (A) 1 bimestre.

(B) 2 bimestre.

(C) 2 trimestre.

(D) 3 trimestre.

(E) 4 trimestre.

COMENTARIO: 4 bilhes de anos atrs 1 de janeiro( primeiro trimestre). 3 bilhes de anos atrs 1 de abril( segundo trimestre). 2 bilhes de anos atrs 1 de julho( terceiro trimestre). 1 bilho de anos atrs 1 de outubro( quarto trimestre). Eucariontes atuais entre 1 e dois milhes de anos atrs. Portanto no terceiro trimestre. Resposta: D

16. (Enem simulado 2009) Um desfibrilador um equipamento

utilizado em pacientes durante parada cardiorrespiratria com objetivo de restabelecer ou reorganizar o ritmo cardaco. O seu funcionamento consiste em aplicar uma corrente eltrica intensa na parede torcica do paciente em um intervalo de tempo da ordem de milissegundos. O grfico seguinte representa, de forma genrica, o comportamento da corrente aplicada no peito dos pacientes em funo do tempo.

De acordo com o grfico, a contar do instante em que se inicia o pulso eltrico, a corrente eltrica inverte o seu sentido aps (A) 0,1 ms.

(B) 1,4 ms.

(C) 3,9 ms.

(D) 5,2 ms.

(E) 7,2 ms.

Resposta: C

17. (Enem simulado 2009) As condies de sade e a qualidade

de vida de uma populao humana esto diretamente relacionadas com a disponibilidade de alimentos e a renda familiar. O grfico I mostra dados da produo brasileira de arroz, feijo, milho, soja e trigo e do crescimento populacional, no perodo compreendido entre 1997 e 2003. O grfico II mostra a distribuio da renda familiar no Brasil, no ano de 2003.

6

Considere que trs debatedores, discutindo as causas da fome no Brasil, chegaram s seguintes concluses: Debatedor 1 O Brasil no produz alimento suficiente para

alimentar sua populao. Como a renda mdia do brasileiro baixa, o Pas no consegue importar a quantidade necessria de alimentos e isso a causa principal da fome.

Debatedor 2 O Brasil produz alimentos em quantidade suficiente para alimentar toda sua populao. A causa principal da fome, no Brasil, a m distribuio de renda.

Debatedor 3 A exportao da produo agrcola brasileira, a partir da insero do Pas no mercado internacional, a causa majoritria da subnutrio no Pas.

Considerando que so necessrios, em mdia, 250 kg de alimentos para alimentar uma pessoa durante um ano, os dados dos grficos I e II, relativos ao ano de 2003, corroboram apenas a tese do(s) debatedor(es) (A) 1.

(B) 2.

(C) 3.

(D) 1 e 3.

(E) 2 e 3.

COMENTARIO: A quantidade de alimentos produzidos suficiente para alimentar a populao. Em 2003 a produo de alimentos foi de 842 milhes de toneladas. Isto daria para alimentar aproximadamente 3,3 bilhes de pessoas. No grfico 2, nota-se uma m distribuio de rendas (pessoas sem rendimento). Resposta: B

18. (Enem cancelado 2009) Muitas vezes o objetivo de um

remdio aumentar a quantidade de uma ou mais substncias j existentes no corpo do indivduo para melhorar as defesas do organismo. Depois de alcanar o objetivo, essa quantidade deve voltar ao normal. Se uma determinada pessoa ingere um medicamento para aumentar a concentrao da substncia A em seu organismo, a quantidade dessa substncia no organismo da pessoa, em relao ao tempo, pode ser melhor representada pelo grfico (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

COMENTARIO: O melhor grfico a letra d, pois mostra o nvel da substncia A, antes, durante e depois da presena do medicamento no organismo.

Resposta: D

19. (Enem cancelado 2009) A importncia do desenvolvimento da

atividade turstica no Brasil relaciona-se especialmente com os possveis efeitos na reduo da pobreza e das desigualdades por meio da gerao de novos postos de trabalho e da contribuio para o desenvolvimento sustentvel regional. No grfico so mostrados trs cenrios pessimista, previsvel, otimista a respeito da gerao de empregos pelo desenvolvimento de atividades tursticas.

7

De acordo com o grfico, em 2009, o nmero de empregos gerados pelo turismo ser superior a (A) 602.900 no cenrio previsvel.

(B) 660.000 no cenrio otimista.

(C) 316.000 e inferior a 416.000 no cenrio previsvel.

(D) 235.700 e inferior a 353.800 no cenrio pessimista.

(E) 516.000 e inferior a 616.000 no cenrio otimista.

COMENTARIO: De acordo com o grfico em 2009 no cenrio otimista o nmero de empregos ser maior que 516.000 e menor que 616.000.

Resposta: E

20. (Enem 2009) A tabela mostra alguns dados da emisso de

dixido de carbono de uma fbrica, em funo do nmero de toneladas produzidas.

Produo

(em toneladas)

Emisso de dixido de carbono

(em partes por milho ppm)

1,1 2,14

1,2 2,30

1,3 2,46

1,4 1,64

1,5 2,83

1,6 3,03

1,7 3,25

1,8 3,48

1,9 3,73

2,0 4,00 Cadernos do Gestar II, Matemtica TP3. Disponvel em:

www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa mdia de variao entre

a emisso de dixido de carbono (em ppm) e a produo (em

toneladas)

(A) inferior a 0,18.

(B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

(C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.

(D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

(E) superior a 2,80.

Resposta: D

Taxa de variao = 4 2,14 1,86

2,062 1,1 0,9

1,50 < 2,06 < 2,80

COMENTARIO:

21. (Enem 2007)

Uma equipe de paleontlogos descobriu um rastro de

dinossauro carnvoro e nadador, no norte da Espanha.

O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros e

consiste de vrios pares simtricos de duas marcas de trs

arranhes cada uma, conservadas em arenito.

O espao entre duas marcas consecutivas mostra uma

pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um dinossauro

no-nadador: so as unhas que penetram no barro e no a

pisada -, o que demonstra que o animal estava nadando sobre

a gua: s tocava o solo com as unhas, no pisava, afirmam

os paleontlogos. Internet: (com adaptaes).

Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado

isoladamente, varivel relevante para se estimar o tamanho

do dinossauro nadador mencionado?

(A) O rastro completo tem 15 metros de comprimento

(B) O espao entre duas marcas consecutivas mostra uma

pernada de 2,5 metros

(C) O rastro difere do de um dinossauro no-nadador

(D) so as unhas que penetram no barro e no a pisada

(E) o animal estava nadando sobre a gua: s tocava o solo

com as unhas

COMENTARIO: O comprimento da passada a nica varivel relevante

apresentada para estimar o tamanho do dinossauro.

Resposta: B

22. (Enem 2004) Para medir o perfil de um terreno, um mestre-

de-obras utilizou duas varas (VI e VII), iguais e igualmente graduadas em centmetros, s quais foi acoplada uma mangueira plstica transparente, parcialmente preenchida por gua (figura abaixo). Ele fez 3 medies que permitiram levantar o perfil da linha que contm, em sequncia, os pontos P1, P2, P3 e P4 Em cada medio, colocou as varas em dois diferentes pontos e anotou suas leituras na tabela a seguir. A figura representa a primeira medio entre P1 e P2.

8

Medio

Vara I Vara II Diferena (LI LII) (cm) Ponto

Leitura LI (cm)

Ponto Leitura LII (cm)

1 P1 239 P2 164 75

2 P2 189 P3 214 -25

3 P3 229 P4 174 55

Ao preencher completamente a tabela, o mestre-de-obras determinou o seguinte perfil para o terreno: (A)

(B)

(C)

(D)

(E)

COMENTARIO: De acordo com as informaes da tabela, temos o seguinte grfico:

Resposta: A

23. (Enem 2003) Aps a ingesto de bebidas alcolicas, o

metabolismo do lcool e sua presena no sangue dependem de fatores como peso corporal, condies e tempo aps a ingesto. O grfico mostra a variao da concentrao de lcool no

sangue de indivduos de mesmo peso que beberam trs latas

de cerveja cada um, em diferentes condies: em jejum e aps

o jantar.

Tendo em vista que a concentrao mxima de lcool no

sangue permitida pela legislao brasileira para motoristas

0,6 g/L, o indivduo que bebeu aps o jantar e o que bebeu em

jejum s podero dirigir aps, aproximadamente,

(A) uma hora e uma hora e meia, respectivamente.

(B) trs horas e meia hora, respectivamente.

(C) trs horas e quatro horas e meia, respectivamente.

(D) seis horas e trs horas, respectivamente.

(E) seis horas, igualmente.

COMENTARIO:

Observando o grfico, temos: Aps o jantar _____ 3 horas. Em jejum ________ 4,5 horas Resposta: C

9

24. (Enem 2001) O quadro apresenta a produo de algodo de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O grfico que melhor representa a rea plantada (AP) no

perodo considerado :

Safra

1995 1996 1997 1998 1999

Produo (em

mil toneladas) 30 40 50 60 80

Produtividade

(em kg/hectare) 1.500 2.500 2.500 2.500 4.000

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

COMENTARIO: rea = Produo em kg dividida pela produtividade.

Em 1995 --------- 20.000 hectares

Em 1996 --------- 16.000 hectares

Em 1997 --------- 20.000 hectares

Em 1998 --------- 24.000 hectares

Em 1996 --------- 16.000 hectares

Em 1999 --------- 20.000 hectares

Portanto, o grfico que melhor representa esta variao de rea o

da alternativa A.

Resposta: A

25. (Enem 1999) Para convencer a populao local da ineficincia

da Companhia Telefnica Vilatel na expanso da oferta de linhas, um poltico publicou no jornal local o grfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o grfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato que, no perodo

considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefnicas.

Analisando os grficos, pode-se concluir que

(A) o grfico II representa um crescimento real maior do que

o do grfico I.

(B) o grfico I apresenta o crescimento real, sendo o II

incorreto.

(C) o grfico II apresenta o crescimento real, sendo o I

incorreto.

(D) a aparente diferena de crescimento nos dois grficos

decorre da escolha das diferentes escalas.

(E) os dois grficos so incomparveis, pois usam escalas

diferentes.

COMENTARIO: fcil observar que o crescimento o mesmo nos dois grficos. Ou seja, 50 linhas por trimestre. Portanto, a aparente diferena de crescimento nos dois grficos decorre da escolha das diferentes escalas. Resposta: D

26. (Ufsm 2012) Os praticantes de exerccios fsicos se

preocupam com o conforto dos calados utilizados em cada modalidade. O mais comum o tnis, que utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numerao para esses calados diferente em vrios pases, porm existe uma forma para converter essa numerao de acordo com os tamanhos.

Assim, a funo x

g(x)6

converte a numerao dos tnis

fabricados no Brasil para a dos tnis fabricados nos Estados Unidos, e a funo f(x) = 40x + 1 converte a numerao dos tnis fabricados nos Estados Unidos para a dos tnis fabricados na Coreia. A funo h que converte a numerao dos tnis brasileiros para a dos tnis coreanos

(A) 20 1

h(x) x . 3 6

(B) 2

h(x) = x +1. 3

(C) 20

h(x) x 1. 3

(D) 20 x 1

h(x) . 3

(E) 2 x 1

h(x) . 3

COMENTARIO:

10

h(x) = f[g(x)]

h(x) = x

40. 16

h(x) = 20

x 13

Resposta: C

27. (Espcex (Aman) 2013) Sejam as funes reais 2f x x 4x

e g x x 1. O domnio da funo f(g(x))

(A) D x |x 3 ou x 1

(B) D x | 3 x 1

(C) D x |x 1

(E) D x |0 x 4

(E) D x |x 0 ou x 4

COMENTARIO: Temos que

2

2

2

f(g(x)) (x 1) 4(x 1)

x 2x 1 4x 4

x 2x 3

(x 3)(x 1).

Assim, a funo f o g est definida para os valores de X tais que

(x 3)(x 1) 0 x 3 ou x 1,

ou seja,

D {x |x 3 ou x 1}.

Resposta: A

28. (Espcex (Aman) 2013) Na figura abaixo est representado o

grfico de uma funo real do 1 grau f(x).

A expresso algbrica que define a funo inversa de f(x)

(A) x

y 12

(B) 1

y x2

(C) y 2x 2

(D) y 2x 2

(E) y 2x 2

COMENTARIO:

Seja f : a funo definida por f(x) = ax + b. O valor inicial de f a ordenada do ponto de interseo do grfico de f com o eixo y, ou seja, b = 1. Logo, como o grfico de f passa pelo ponto (-2,0), temos que

1

0 a ( 2) 1 a .2

Portanto, x

f(x) 12

e sua inversa tal que

1yx 1 y 2 (x 1) f (x) 2x 2.2

Resposta: C

29.

30.

COMENTRIO:

Resposta: C

11

31.

COMENTRIO:

Resposta: E

32.

COMENTRIO:

Resposta: C

33.

COMENTRIO:

Resposta: B

34.

COMENTRIO:

Resposta: C

12

35.

COMENTRIO:

Resposta: A

36. (G1 cftmg 2012-MODIFICADA) A figura abaixo representa

uma circunferncia trigonomtrica em que MN dimetro e o

ngulo mede 5

6

radianos.

A razo entre as medidas dos segmentos AB e AC

(A) 26 3.

(B) 3.

(C) 3

.2

(D) 3

.3

(E) 1

Resposta: B

AB = 5 3

cos6 2

AC = 5 1

sen6 2

Portanto:

3AB 2 3.

1AC2

37. (Espcex (Aman) 2012) O valor numrico da expresso

2sec1320 53

2 cos tg22202 3

:

(A) -1 (B) 0

(C) 1

2

(D) 1

(E) 3

2

COMENTARIO: Temos que

sec1320 sec(3 360 240 )

sec240

sec60

2,

53 5cos cos 4 2

3 3

5cos

3

cos3

1

2

e tg2220 tg(6 360 60 )

tg60

3.

Portanto,

13

2 2sec1320 53 2 12 cos (tg2220 ) 2 ( 3)2 3 2 2

1 1 3

1.

Resposta: D

38. (Mackenzie 2012) O maior valor inteiro de k, para que a

equao 3senx cosx k 2 apresente solues reais

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7

COMENTARIO:

3 1 k 2 k 23senx cosx k 2 senx .cosx sen(x 30 )

2 2 2 2

O seno de qualquer arco varia de 1 a 1, ento:

k 21 1 2 k 2 2 0 k 4.

2

Logo, o maior valor inteiro de k 4.

Resposta: B

39. (Espcex (Aman) 2012) O cosseno do menor ngulo formado

pelos ponteiros de um relgio s 14 horas e 30 minutos vale

(A) 3 1

2

(B) 2 1

2

(C) 1 2

4

(D) 6 2

4

(E) 2 3

4

COMENTARIO: Considere a figura.

O arco compreendido entre quaisquer dois pontos consecutivos

indicados, sobre a circunferncia, na figura, vale 360

30 .12

Logo,

= 4 . 30 = 120. Por outro lado, o deslocamento do ponteiro das

horas, em 30 minutos, 30

15 .2

Portanto, o resultado pedido dado por:

cos( ) cos105

cos(45 60 )

cos45 cos60 sen45 cos60

2 1 2 3

2 2 2 2

2 6

4

6 2.

4

Resposta: D

40. (Udesc 2012) A soma de todos os valores de x [0,2] que satisfazem a equao cos

2 (2x) sen

2 (x) = cos

6 (x) igual a:

(A)

(B) 2

(C) 5

(D) 3

(E) 4

COMENTARIO:

Sabendo que 2cos2x 2cos x 1 e 2 2sen x 1 cos x, vem 2 2 2 6 2 4 2

2

4 2

(2cos x 1) (1 cos x) cos x cos x(cos x 4cos x 3) 0

cos x 0

ou

cos x 4cos x 3 0

cosx 0

ou

cosx 1

ou

cosx 3 (impossvel)

3x ou x

2 2 ou .

x 0 ou x ou x 2

Portanto, a soma pedida igual a 3

0 2 5 .2 2

Resposta: C

41. (Unesp 2012) Em um programa de plateia da TV brasileira,

cinco participantes foram escolhidos pelo apresentador para tentarem acertar o nmero de bolas de gude contidas em uma urna de vidro transparente. Aquele que acertasse ou mais se aproximasse do nmero real de bolas de gude contidas na urna ganharia um prmio. Os participantes A,B,C,D e E disseram haver, respectivamente, 1.195, 1.184, 1.177, 1.250 e 1.232 bolas na urna. Sabe-se que nenhum dos participantes acertou o nmero real de bolas, mas que um deles se enganou em 30 bolas, outro em 25, outro em 7, outro em 48 e, finalmente, outro em 18 bolas. Podemos concluir que quem ganhou o prmio foi o participante: (A) A.

(B) B.

(C) C.

(D) D.

(E) E.

Resposta: [A] Seja X o nmero de bolas de gude contidas na urna.

14

Devemos ter x = 1177 + 48 = 1.225 ou x = 1250 48 = 1.202. Como para x = 1.202 os erros so 25,18,7 e 30, segue que x = 1.202 e, portanto, quem ganhou o prmio foi o participante A.

42. (Enem 2 aplicao 2010) Para dificultar o trabalho de

falsificadores, foi lanada uma nova famlia de cdulas do real. Com tamanho varivel quanto maior o valor, maior a nota o dinheiro novo ter vrios elementos de segurana. A estreia ser entre abril e maio, quando comeam a circular as notas de R$ 50,00 e R$ 100,00. As cdulas atuais tm 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura. A maior cdula ser a de R$ 100,00, com 1,6 cm a mais no comprimento e 0,5 cm maior na largura.

Disponvel em: http://br.noticias.yahoo.com. Acesso em: 20 abr. 2010 (adaptado).

Quais sero as dimenses da nova nota de R$ 100,00? (A) 15,6 cm de comprimento e 6 cm de largura.

(B) 15,6 cm de comprimento e 6,5 cm de largura.

(C) 15,6 cm de comprimento e 7 cm de largura.

(D) 15,9 cm de comprimento e 6,5 cm de largura.

(E) 15,9 cm de comprimento e 7 cm de largura.

COMENTARIO: De acordo com o texto, as dimenses da nova nota de R$100,00 sero 14 + 16 = 15,6m e 6,5 + 0,5 = 7 cm. Resposta: C

43. (Ufmg 2010) Considere a funo

x se x racional

f(x)

1se x irracional

x

Ento, CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto

7 24f ,f(1), f(3,14), f

31 2

(A) 7

f31

.

(B) f (1). (C) f (3, 14).

(D) 24

f2

.

(E) Todos possuem o mesmo valor.

COMENTARIO:

7 7 24 2 1f , f(1) 1, f(3,14) 3,14 f

31 31 2 24 12

Logo o maior elemento do conjunto f(3,14) Resposta: C

44. (PUC-MG) O valor exato de

...2777,0

3

21

11

3

21

3

21

:

(A) 2

5

(B) 3

5

(C) 9

5

(D) 0

(E) 3

5

COMENTARIO:

45. (UFMG) Considere x, y e z nmeros naturais. Na diviso de x por y, obtm-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a

representao decimal de x

y a dzima peridica 7,363636...

Entao, o valor de x + y + z : (A) 190

(B) 193

(C) 191

(D) 192

(E) n.d.a.

COMENTARIO:

46. (FGV) O valor da expresso 20,49 x

y0,7 x

para x = - 1,3

(A) 2 (B) - 2

(C) 2,6

(D) 1,3

(E) - 1,3

COMENTARIO:

2 2 0,7 x 0,7 x0,7 xy 0,7 x

0,7 x 0,7 x

ou

47. (UCDB-MT) Sejam Q, I e IR, respectivamente, os conjuntos dos nmeros racionais, irracionais e reais. Ento, tem-se:

(A) IR (Q I) = IR

(B) (IR Q) I = IR

15

(C) IR (Q I) = IR

(D) (IR Q) I =

(E) (IR Q) I =

COMENTARIO:

48. (PUC-SP) Quando colocou 46,2 litros de gasolina no tanque de seu carro, Horcio observou que o ponteiro do marcador, que

antes indicava estar ocupado 1

5 da capacidade do tanque,

passou a indicar 3

4. Nessas condies, correto afirmar que a

capacidade total desse tanque, em litros, : (A) 70

(B) 84

(C) 90

(D) 96

(E) 120

COMENTARIO:

49. (PUC-MG) Sendo IR o conjunto dos nmeros reais, A = {x IR

| 5 < x 4} e B = {x IR | 3 < x < 7}, o conjunto A B igual a:

(A) {x IR | 4 x < 7}

(B) {x IR | 5 < x 3}

(C) {x IR | 3 x 4}

(D) {x IR | 5 < x < 3}

(E) {x IR | 4 < x 7}

COMENTARIO:

50. (Fgv 2011) Uma pequena empresa fabrica camisas de um nico modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que no dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96 000,00. Alm do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variveis, tais como matria-prima, por exemplo; o custo varivel por camisa R$ 40,00. Em 2009, a empresa lucrou R$ 60 000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relao ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 ter de ser x% maior que a de 2009. O valor mais prximo de x : (A) 120

(B) 100

(C) 80

(D) 60

(E) 40

COMENTARIO: O custo para produzir n camisas dado por:

C(n) 40n 96000.

Se o preo de venda unitrio R$ 80,00, ento a receita obtida

com a venda de n camisas : R(n) 80n.

Para um lucro de R$ 60.000,00, temos: L(n) = R(n) C(n)

60000 = 80n (40n + 96000) 40n - 96000 = 60000 r = 39000, ou seja, devero ser vendidas 39.000 camisas para que a empresa lucre R$ 60.000,00. Agora devemos calcular quantas camisas a empresa dever vender para lucrar R$ 120.000,00.

L(n) = 120000 40n - 96000 = 120000 n = 54000. Desse modo, para dobrar o lucro a empresa dever vender em 2010

54000 39000100% 38,46%

39000

a mais do que vendeu em 2009 e, portanto, o valor mais prximo de x 40. Resposta: E

51. (Ufpb 2011) Em certa cidade, acontece anualmente uma

corrida, como parte dos eventos comemorativos pela sua emancipao poltica. Em 2000, o comit organizador da corrida permitiu a participao de 1500 pessoas; e, em 2005, a participao de 1800 pessoas. Devido s condies de infraestrutura da cidade, o comit decidiu limitar o nmero de participantes na corrida. Nesse sentido, estudos feitos concluram que o nmero mximo n(t) de participantes, no ano t, seria dado pela funo afim n(t) = at + b, onde a e b so constantes. Com base nessas informaes, conclui-se que, no ano de 2010, o nmero mximo de participantes na corrida ser de: (A) 1900

(B) 2100

(C) 2300

(D) 2500

(E) 2700

COMENTARIO: Admitindo t = 0 para 2000, t = 1 para 2001, t = 2 para 2002 e assim sucessivamente temos a seguinte tabela para o nmero de participantes n(t).

Da tabela temos b = 1500 e 1800 1500

a 605 0

Logo a funo ser n(t) = 1500 + 60.t Portanto n(10) = 1500 + 60.10 = 2100 Resposta: B

T n(t)

0 1500

5 1800

16

52. (Enem 2011) O saldo de contrataes no mercado formal no setor varejista da regio metropolitana de So Paulo registrou alta. Comparando as contrataes deste setor no ms de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada.

Disponvel em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expresso algbrica que relaciona essas quantidades nesses meses (A) y = 4300x

(B) y = 884 905x

(C) y = 872 005 + 4300x

(D) y = 876 305 + 4300x

(E) y = 880 605 + 4300x

Resposta: C Admitido um crescimento constante, temos uma funo de primeiro grau dada por: y = ax + b, onde a = 4300 (taxa constante) e b = 880605 4300 = 876305. Logo, y = 4300x + 876305.

53. (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma

rodovia para dar acesso a outro municpio. Para isso, foi aberta uma licitao na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construdo (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construdo (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padro de qualidade dos servios prestados, mas apenas uma delas poder ser contratada. Do ponto de vista econmico, qual equao possibilitaria encontrar a extenso da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? (A) 100n + 350 = 120n + 150

(B) 100n + 150 = 120n + 350

(C) 100(n + 350) = 120(n + 150)

(D) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000)

(E) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000)

COMENTARIO: Empresa A: PA = 100 000x + 350 000 Empresa B: PB = 120 000x + 150 000 Igualando os preos PA = PB, temos: 100 000x + 350 000 = 120 000x + 150 000. Resposta: A

54. (Fgv 2011) O grfico de uma funo polinomial do primeiro

grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados abaixo.

X y

0 5

M 8

6 14

7 k

Podemos concluir que o valor de k + m :

(A) 15,5

(B) 16,5

(C) 17,5

(D) 18,5

(E) 19,5

COMENTARIO: Seja f a funo afim definida por f(x) = ax + b, cujo grfico passa pelos pontos indicados na tabela. A taxa de variao da funo f dada por:

14 5 14 8 k 5a .

6 0 6 m 7 0

Desse modo,

6 3m 26 m 2

k m 17,5.k 15,5k 5 3

7 2

Resposta: C

TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES:

55. (Ufsm 2011) O grfico acima mostra a evoluo das notas em Matemtica de dois grupos de estudantes, denominados grupo I e grupo II. Analisando o grfico e considerando o perodo de 2007 a 2010, possvel afirmar: (A) Os dois grupos melhoraram as notas.

(B) A nota do grupo I, em 2008, foi 80.

(C) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e diminuiu

de 2009 a 2010.

(D) A nota do grupo II no sofreu alterao.

(E) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do grupo II

diminuiu.

COMENTARIO: A nota do grupo I aumentou, pois a reta apresenta coeficiente angular positivo, enquanto a nota do grupo II diminuiu, pois a reta apresenta coeficiente angular negativo. Resposta: E

56. (Ufsm 2011) Em relao ao grfico, considerando 2007 como

x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a funo afim y = ax + b que melhor expressa a evoluo das notas em Matemtica do grupo II

(A) 5 145

y x2 2

(B) 5 145

y x2 2

(C) 2 145

y x5 2

(D) 2 145

y x5 2

17

(E) y = - 5x 145.

Resposta: B Temos ento os pontos (1, 70) e (3, 65) pertencentes ao grfico II.

Calculando o coeficiente angular, temos: m = 65 70 5

3 1 2

.

Logo a funo ser y = 5

x b2

.

Determinando agora o valor de b, temos:

70 = 5

1 b2

b = 145

2

Logo, y = 5 145

x2 2

.

57. (Enem 2 aplicao 2010) As sacolas plsticas sujam florestas,

rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhes de sacolas plsticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plsticas at 2016. Observe o grfico a seguir, em que se considera a origem como o ano de 2007.

De acordo com as informaes, quantos bilhes de sacolas plsticas sero consumidos em 2011? (A) 4,0

(B) 6,5

(C) 7,0

(D) 8,0

(E) 10,0

COMENTARIO: Seja a funo N: , definida por N(n) = na + b, em que N(n)

o nmero de sacolas consumidas, em bilhes, n anos aps 2007. Do grfico, temos que o valor inicial de N b = 18.

A taxa de variao da funo N dada por 0 18

a 2.9 0

Desse modo, segue que N(n) 2n 18. Queremos calcular o

nmero de sacolas consumidas em 2011, ou seja, N(4).

Portanto, N(4) 2 4 18 10.

Resposta: E

58. (Enem 2010) Acompanhando o crescimento do filho, um

casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variao da sua altura se dava de forma mais rpida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variao passava a ser cada vez menor, at se tornar imperceptvel. Para ilustrar essa situao, esse casal fez um grfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.

Que grfico melhor representa a altura do filho desse casal em funo da idade? (A)

(B)

(C)

(D)

COMENTARIO: O grfico A o mais adequado, pois a inclinao de 10 a 17 maior que a inclinao para valores maiores que 17. Resposta: A

59. (Enem 2 aplicao 2010) Em fevereiro, o governo da Cidade

do Mxico, metrpole com uma das maiores frotas de automveis do mundo, passou a oferecer populao bicicletas como opo de transporte. Por uma anuidade de 24 dlares, os usurios tm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estao e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dlares por hora extra.

Revista Exame. 21 abr. 2010.

A expresso que relaciona o valor f pago pela utilizao da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse perodo

(A) f(x) 3x

(B) f(x) 24

(C) f x 27 (D) f(x) 3x 24

(E) f(x) 24x 3

18

COMENTARIO: Como o custo fixo anual, para 30 minutos dirios de uso, de 24 dlares e o custo da hora extra de 3 dlares, segue que o valor

anual pago dado por f(x) 3x 24, em que x o nmero de

horas extras. Resposta: D

60. (Enem 2010) O grfico mostra o nmero de favelas no

municpio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variao nesse nmero entre os anos considerados linear.

Se o padro na variao do perodo 2004/2010 se mantiver nos prximos 6 anos, e sabendo que o nmero de favelas em 2010 e 968, ento o nmero de favelas em 2016 ser (A) menor que 1150.

(B) 218 unidades maior que em 2004.

(C) maior que 1150 e menor que 1200.

(D) 177 unidades maior que em 2010.

(E) maior que 1200.

COMENTARIO Variao entre 2004 e 2010 = 968 750 = 218 Logo, em 2016 teremos: 968 + 218 = 1186 favelas. Resposta: C

61. (Ufpb 2010) O reservatrio de gua que abastece certa cidade

est com 6.000m3 de gua e, durante os prximos 40 dias,

receber 25m3 de gua por hora. Durante esse perodo, o

reservatrio perde diariamente 720m3 de gua.

Com base nessas informaes, correto afirmar que o volume de gua do reservatrio se reduzir a 3.000m

3 em:

(A) 20 dias

(B) 24 dias

(C) 25 dias

(D) 28 dias

(E) 30 dias

COMENTARIO: Sendo x = nmero de dias e f(x) o volume do reservatrio em x dias sendo x 40 , temos: f(x) 6000 x 24 25 720 x

f(x) 6000 120x

Fazendo f(x) = 3000, temos: 3000 6000 120x

Logo, x = 25 dias. Resposta: C

62. (Espm 2010) Um caminho parte da cidade A ao meio dia e dirige-se cidade B com velocidade constante de 40 km/h, devendo chegar s 6h da tarde desse mesmo dia. Um outro caminho que saiu s 2h da tarde da cidade B, dirigindo-se cidade A com velocidade constante de 60 km/h, dever encontrar-se com o primeiro, nessa mesma tarde, s: (A) 2h50min

(B) 3h

(C) 3h20min

(D) 3h36min

(E) 3h42min

COMENTARIO:

Adotando o referencial em A. Distncia entre as cidades = 6.40 = 240 km Funo do caminho A: S = 40.t Funo do caminho B: S = 240 60.(t 2) Igualando as funes, temos:

40t = 240 60t + 120 t = 3.6h = 3 horas e 36 minutos. Resposta: D

63. (Espm 2010) O grfico abaixo mostra o nmero de pessoas

comprovadamente infectadas pelo vrus H1N1 numa certa cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 2009. Na hiptese de um crescimento linear desse surto, representado pela reta r, pode-se prever que o nmero de pessoas infectadas em dezembro de 2009 ser igual a:

(A) 30

(B) 36

(C) 40

(D) 44

(E) 48

COMENTARIO: Maio: x = 5 e y = 8 Junho: x = 6 e y = 12 Como a funo linear, temos: y = ax + b

12 8a 4

6 5

Y = 4x + b 12 = 4.6 + b b = -12 Logo, y = 4x 12 No ms de dezembro, temos: y = 4.12 12 = 36 Resposta: B

19

64. (Fgv 2010) Como consequncia da construo de futura estao de metr, estima-se que uma casa que hoje vale R$ 280 000,00 tenha um crescimento linear com o tempo (isto , o grfico do valor do imvel em funo do tempo uma reta), de modo que a estimativa de seu valor daqui a 3 anos seja de R$ 325 000,00. Nessas condies, o valor estimado dessa casa daqui a 4 anos e 3 meses ser de: (A) R$ 346 000,00

(B) R$ 345 250,00

(C) R$ 344 500,00

(D) R$ 343 750,00

(E) R$ 343 000,00

COMENTARIO: Seja y o valor do imvel daqui a x anos.

y = 325000 280000

289000 .x3

y = 280000 + 15000x

fazendo 1 17

x 4 4 4

, temos:

y = 280000 + 1500017

4

y = 343.750 reais Resposta: D

65. (G1 - cftsc 2010) O volume de gua de um reservatrio

aumenta em funo do tempo, de acordo com o grfico abaixo:

Para encher este reservatrio de gua com 2500 litros, uma torneira aberta. Qual o tempo necessrio para que o reservatrio fique completamente cheio? (A) 7h

(B) 6h50min

(C) 6h30min

(D) 7h30min

(E) 7h50min

COMENTARIO: Temos o grfico de uma funo linear do tipo V = k.t Fazendo t = 3 temos V = 1

1= k.3 k = 1

3logo

1V .k

3

Se V = 2500 L = 2,5 m

3 temos:

2,5 = 1

.t t 7,5h3

, ou seja, 7 horas e 30 minutos.

Resposta: D

66. (Enem 2 aplicao 2010) Uma torneira gotejando diariamente

responsvel por grandes desperdcios de gua. Observe o grfico que indica o desperdcio de uma torneira:

Se y representa o desperdcio de gua, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relao entre x e y (A) y 2 x

(B) 1

y x2

(C) y 60 x

(D) y 60 x 1

(E) y 80 x 50

Resposta: C

Seja f : a funo linear definida por f(x) ax, em que

f(x) representa o desperdcio de gua, em litros, aps x dias.

A taxa de variao da funo f dada por 600 0

a 60.10 0

Portanto, segue que f(x) y 60x.

67.

COMENTARIO:

Resposta: B

20

68.

COMENTARIO:

Resposta: B

69.

COMENTARIO:

Resposta: B

70.

COMENTARIO:

Resposta: B

71.

COMENTARIO:

Resposta: E

72.

COMENTARIO:

Resposta: A

21

73.

COMENTARIO:

Resposta: D

74.

COMENTARIO:

Resposta: D

75.

COMENTARIO:

Resposta: A

76.

COMENTARIO: Traando retas paralelas ao eixo Ox por todo seu contradomnio, podemos notar que essas retas encontram: f em apenas um ponto e no sobra ningum no contradomnio, logo f bijetora. g em mais de um ponto e no sobra nenhum elemento do contra domnio, logo g sobrejetora apenas. h em mais de um ponto e sobram elementos do seu contradomnio, logo h no injetora e nem sobrejetora. Resposta: A

77.

COMENTARIO:

Resposta: C

22

78.

COMENTARIO:

Resposta: B

79.

COMENTARIO:

Resposta: C

80.

COMENTARIO:

temos: a = 1 b = 16 c = 36 d = 81

Resposta: D

81.

COMENTARIO:

23

Resposta: B

82.

COMENTARIO: Traa-se a reta suporte das bissetrizes dos quadrantes mpares.

Traando a curva simtrica em relao a essas bissetrizes, chegamos a alternativa que mais se aproxima que a letra D. Resposta: D

TEXTO PARA AS PRXIMAS 2 QUESTES O grfico a seguir ilustra a evoluo do consumo de eletricidade no Brasil, em GWh, em quatro setores de consumo, no perodo de 1975 a 2005.

Balano Energtico Nacional. Braslia: MME, 2003 (com adaptaes)

83. (ENEM-2008) A racionalizao do uso da eletricidade faz parte dos programas oficiais do governo brasileiro desde 1980. No entanto, houve um perodo crtico, conhecido como apago, que exigiu mudanas de hbitos da populao brasileira e resultou na maior, mais rpida e significativa economia de energia. De acordo com o grfico, conclui-se que o apago ocorreu no binio. (A) 1998-1999.

(B) 1999-2000.

(C) 2000-2001.

(D) 2001-2002.

(E) 2002-2003.

COMENTARIO: O grfico de consumo de energia crescente at o ano de 2000. Entre 2000 e 2001 h um decrscimo de consumo de energia, determinado pela mudana de hbitos da populao. Assim, conclui-se que o apago ocorreu no binio 2000-2001. Resposta: C

84. (ENEM-2008) Observa-se que, de 1975 a 2005, houve

aumento quase linear do consumo de energia eltrica. Se essa mesma tendncia se mantiver at 2035, o setor energtico brasileiro dever preparar-se para suprir uma demanda total aproximada de (A) 405GWh.

(B) 445GWh.

(C) 680GWh.

(D) 750GWh.

(E) 775GWh.

COMENTARIO: Entre 1975 e 2005, o consumo de energia sofreu um acrscimo de, aproximadamente, 305GWh (de 70GWh para 375GWh). Supondo

24

que nos 30 anos seguintes o acrscimo seja o mesmo, em 2035 o consumo ser de, aproximadamente, 680GWh (375 + 305). Resposta: C

85. (ENEM-2008) O ndice de massa corprea (IMC) uma medida

que permite aos mdicos fazer uma avaliao preliminar das condies fsicas e do risco de uma pessoa desenvolver certas doenas, conforme mostra a tabela abaixo.

Internet: .

Considere, as seguintes informaes a respeito de Joo, Maria, Cristina, Antnio e Srgio.

Os dados das tabelas indicam que: (A) Cristina est dentro dos padres de normalidade.

(B) Maria est magra, mas no corre risco de desenvolver

doenas.

(C) Joo est obeso e o risco de desenvolver doenas

muito elevado.

(D) Antnio est com sobrepeso e o risco de desenvolver

doenas muito elevado.

(E) Srgio est com sobrepeso, mas no corre risco de

desenvolver doenas.

COMENTARIO: Pela anlise da tabela, a nica alternativa que estabelece uma relao correta entre o indivduo, seu IMC, sua classificao e risco de doena aquela que se refere a Joo. Resposta: C

86. (ENEM-2006) O grfico abaixo foi extrado de matria

publicada no caderno Economia & Negcios do jornal O Estado de S. Paulo, em 11/6/2006.

um ttulo adequado para a matria jornalstica em que esse grfico foi apresentado: (A) Brasil: inflao acumulada em 12 meses menor que a

dos EUA

(B) Inflao do terceiro mundo supera pela stima vez a do

primeiro mundo.

(C) Inflao brasileira estvel no perodo de 2001 a 2006

(D) Queda no ndice de preos ao consumidor no perodo

2001-2005

(E) EUA: ataques terroristas causam hiperinflao

COMENTARIO: Do grfico, as inflaes acumuladas em 12 meses, prximo do ms em que a matria foi publicada no Brasil e nos EUA, foram, respectivamente, 2,57% e 3,55%. Logo, um ttulo adequado para a matria : Brasil: inflao acumulada em 12 meses menor que a dos EUA. Resposta: A

87. (Fuvest 2012) O nmero real x, com 0 x , satisfaz a

equao 3 3log (1 cosx) log (1 cosx) 2 .

Ento, cos2x sen x vale

(A) 1

3

(B) 2

3

(C) 7

9

(D) 8

9

(E) 10

9

COMENTARIO:

3 3

23

2 2

2

2

log (1 cosx) log (1 cosx) 2

log (1 cos x) 2

1 cos x 3

11 cos x

9

8cos x

9

Portanto,

2 2

2 2

8 1 1sen x 1 sen x senx (0 x )

9 9 3

Calculando o valor pedido, temos:

8 1 1 10cos2x senx cos x sen x senx

9 9 3 9

Resposta: E

88. (Uel 2011) Um relgio marca que faltam 20 minutos para o

meio-dia. Ento, o menor ngulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos : (A) 90

(B) 100

(C) 110

(D) 115

(E) 125

25

COMENTARIO:

o

Considere a medida do ngulo procurado e calculando x, temos :

ponteiro das horas ponteiro dos minutos

30 60 min

x

o

o o o

40 min

Por tanto, x 20

Logo, 90 20 110

Resposta: C

89. (Upe 2011) Sabendo-se que sen x + sen 2x + sen 3x = 0, sobre

o nmero de solues desta equao, correto afirmar que existe um nmero

(A) par de solues desta equao no intervalo 0 < x < 2 e

um nmero par de solues no intervalo 0 < x < .

(B) par de solues desta equao no intervalo 0 < x < 2 e

um nmero mpar de solues no intervalo0 < x < .

(C) mpar de solues desta equao no intervalo 0 < x < 2

e um nmero par de solues no intervalo0 < x < .

(D) mpar de solues desta equao no intervalo 0 < x < 2

e um nmero mpar de solues no 0 < x < .

(E) par de solues desta equao no intervalo 0 < x < 2 e

nenhum no intervalo 0 < x < 2.

COMENTARIO:

senx + sen3x + sen2x = 0 2.sen2x . cosx + sen2x = 0 sen2x(2.cosx +1) = 0 2.senx.cosx.(2.cosx+1) = 0 A equao senx = 0 ter duas solues na primeira volta A equao cosx = 0 ter duas solues na primeira volta A equao cosx = -1/2 ter duas solues na primeira volta De acordo com a figura conclumos que a resposta C a correta. Resposta: C

90. (Upe 2011) Considerando a medida de ngulos em radianos,

se 34

correto afirmar, dado que

y sen( x)/ sen( x) , que

(A) y tan ( +x)

(B) y cotan ( -x)

(C) y cotan( +x)3

(D) y tan ( +x)3

(E) y tan ( -x)3

COMENTARIO:

y sen( x)/ sen( x) =

sen .cosx senx.cos(simplificando por sen .cosx)

sen .cosx senx.cos

1 tgx.cotg 1 tgxtg x tg x

1 tgx.cotg 1 tgx 4 3

Resposta: D

91. (Fuvest 2011) Sejam x e y nmeros reais positivos tais que

x y2

. Sabendo-se que 1sen y x 3 , o valor de 2 2tg y tg x igual a

(A) 3

2

(B) 5

4

(C) 1

2

(D) 1

4

(E) 1

8

COMENTARIO: Como x e y so arcos complementares senx = cos y , seny = cosx e tgx = 1/tgy

sen (y x ) = 1

3

seny.cosx senx.cosy = 1

3 cosx.cosx senx.cosx =

1

3 cos

2x

sen2x =

1

3 cos

2x ( 1- cos

2x) =

1

3 2.cos

2x =

1

3+ 1

cos2x =

2

3 e sen

2x = 1 cos

2x

logo sen2x =

1

3 e tg

2x =

113

2 23

logo, tg2y = 2

Portanto: tg2y tg

2 x = 2 = 3/2

Resposta: A

92. (Ita 2011) Num tringulo ABC o lado AB mede 2 cm, a altura

relativa ao lado AB mede 1 cm, o ngulo mede 135 e

M o ponto mdio de AB . Ento a medida de + , em radianos, igual a

(A) 1

.5

(B) 1

.4

(C) 1

.3

(D) 3

.8

(E) 2

.5

26

COMENTARIO:

tg tgtg( )

1 tg ;tg

1 1

3 2tg( ) 1 logo rad1 1 41 .3 2

Resposta: B

93. (Unemat 2010) Quanto ao arco 4555, correto afirmar.

(A) Pertence ao segundo quadrante e tem como cngruo o

ngulo de 55

(B) Pertence ao primeiro quadrante e tem como cngruo o

ngulo de 75

(C) Pertence ao terceiro quadrante e tem como cngruo o

ngulo de 195

(D) Pertence ao quarto quadrante e tem como cngruo o

ngulo de 3115

(E) Pertence ao terceiro quadrante e tem como cngruo o

ngulo de 4195

COMENTARIO: Dividindo 4555 por 360 obtemos quociente 12 e resto 235 Conclumos, ento que o arco tem extremidade no terceiro quadrante. Dividindo 4195 por 360 obtemos quociente 11 e resto 235 Conclumos, ento que 4555 cngruo de 4195 Logo a resposta E a correta. Resposta: E

94. (Fgv 2010) A soma cos

2 0 + cos

2 2 + cos

2 4 + cos

2 6 + ... +

cos2 358 + cos

2 360 igual a

(A) 316.

(B) 270.

(C) 181.

(D) 180.

(E) 91.

COMENTARIO: Separando a soma S acima em parcelas: S1 = cos

2 0

o + cos

2 90

o + cos

2 180

o + cos

2 270

o + cos

2 360

o = 3

S2 = cos2 2 + cos

2 4 + cos

2 6

o ....+ cos

284

o + cos

286

o + cos

2 88

o .

como cos2x = sen

2 ( 90

o x )

Temos: S2 = (cos2

2o + sen

2 2

o) + (cos

2 4

o + sen

2 4

o)

+ .....+ (cos

2 44 +

sen2 44) = 22

S3 = cos2 92 + cos

2 94 + cos

2 96

o ....+ cos

2 174

o + cos

2 176

o + cos

2

178o. Reduzindo todos ao primeiro quadrante, conclumos que S3 =

S2 = 22. S4 = cos

2 182 + cos

2 184 + cos

2 1866

o ....+ cos

2 264

o + cos

2 2666

o +

cos2 268

o, reduzindo todos ao primeiro quadrante, conclumos que

S4 = S2 = 22. S5 = cos

2 272 + cos

2 274 + cos

2 276

o ....+ cos

2 354

o + cos

2 356

o +

cos2 358

o, reduzindo todos ao primeiro quadrante, conclumos que

S5 = S2 = 22. Logo, a soma S ser 3 + 4.22 = 91. Resposta: E

95. (Pucpr 2010) Um terremoto de magnitude 8 graus da escala Richter atingiu, em setembro de 2009, a regio de Samoa. O terremoto causou ondas de at 3 metros. A mar alta neste local ocorreu meia-noite. Suponha que o nvel de gua na mar alta era de 3 metros; mais tarde, na mar baixa, era de 3 cm. Supondo que a prxima mar alta seja exatamente ao meio-dia e que a altura da gua dada por uma curva seno ou cosseno, qual das alternativas a seguir corresponde frmula para o nvel da gua na regio em funo do tempo?

(A) 1,515 + 1,485.cos t6

(B) 1,515 + 1,485.sen t6

(C) 1,485.cos

t6

(D) 1,485.sen

t6

(E) 1,485 + 1,515.cos t

COMENTARIO: H(t) = a + b.cos(m.t)

Perodo = 12 , ento 2

12 m mm 6 6

Altura mxima: a + b.1 = 3 Altura mnima a + b(-1) = 0,03 Resolvendo um sistema com as equaes acima, temos: a= 1,515 e b =1,485

logo h(t) = 1,1515 + 1,485.cos

t

6

Resposta: A

96. (Ibmecrj 2010) O valor de m para que exista um ngulo x com

2

cosx e tg x m 2m 1

dado por:

(A) Um nmero par.

(B) Um nmero mpar.

(C) Um nmero negativo.

(D) Um nmero natural maior que 10.

(E) Um nmero irracional.

COMENTARIO:

Se cosx =

2, temos

m 1 secx = m 1

2

tg(x) = m 2 para m 2 Sabendo que, sec

2x = 1 + tg

2x, temos:

22m 1

1 m 22

Desenvolvendo, temos:

m2 6m + 5 = 0 m = 5 ou m =1 (no convm, pois m 2 )

Resposta: B

97. (Fatec 2010) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que

sejam os nmeros reais p e q,

sen p + sen q = 2 . sen p q p q

.cos2 2

27

Logo, a expresso cos x . sen 9x idntica a (A) sen 10x + sen 8x.

(B) 2. (sen 6x + sen 2x).

(C) 2. (sen 10x + sen 8x).

(D) 1

2. (sen 6x + sen 2x).

(E) 1

2. (sen 10x + sen 8x).

COMENTARIO:

sen 9x.cosx = 1

(22 .sen 9x.cosx)

p q9x

p q 18x2p 10x e q 8x

p q p q 2xx

2

Logo sen 9x,cosx = 1

2(sen10x + sen 8x)

Resposta: E

98. (Fuvest 2010) A figura representa um quadrado ABCD de lado

1. O ponto F est em BC , BF mede5

4, o ponto E est em

CD e AF bissetriz do ngulo BE. Nessas condies, o

segmento DE mede

(A) 3 5

40

(B) 7 5

40

(C) 9 5

40

(D) 11 5

40

(E) 13 5

40

COMENTARIO:

554tg

1 4

2 2

5 2 522.tg 8 54 4tg(2 )

11 111 tg 51 16

4

o 1 1 11tg(90 2 )tg(2 ) 8 5 8 5

11

No tringulo ADE, temos:

11 DE 11 5DE

1 408 5

Resposta: D

99. (Uece 2010) Se f e g so as funes definidas por f(x) = senx e

g(x) = cosx, podemos afirmar corretamente que a expresso log[(f(x) + g(x))

2 f(2x)] igual a

(A) f(x).g(x).

(B) 0.

(C) 1.

(D) log(f(x) + 2) +log(g(x) + 2).

(E) 2.

COMENTARIO: log[(f(x) + g(x))

2 f(2x)] = log[ (senx + cosx)

2 - sen(2x) ] = log( sen

2x

+ 2.senx.cosx + cos2x -2.senx.cosx) = log( sen

2x + cos

2 x) = log1 = 0

Resposta: B

100. (Uft 2010) Se 5 3

sen e , ,13 4

ento o valor de tg(2

) :

(A) 12

13

(B) 120

119

(C) 120

119

(D) 1

(E) 3

3

Resposta: [B]

cos2 = 1 sen

2 cos

2 = 1 -

25

13

cos2 =

144

169 cos=

12

13 (segundo quadrante) cos =

12

13

tg =

5sen 513

12cos 1213

22

5 102.2.tg 12012 12tg2

1191 tg 11951 14412

101. (Uece 2010) O nmero de solues da equao 3senx - 3

senx + cosx = 0 que esto no intervalo [ 0, 2]

(A) 2.

(B) 8.

28

(C) 4.

(D) 6.

(E) 7.

COMENTARIO: 2 2

2 2

2

3.sen x 3. senx cos x 0

3.sen x 3. senx 1 sen x 0

2, senx 3 senx 1 0

resolvendo temos:

1senx 1 ou sen

2

Para senx = 1 ou senx = -1 temos x = 2

ou x =

3

2

Para senx = 1

2ou senx = -

1

2temos x =

5

, x =

5

6

, x =

7

6

e x =

11

6

Logo, a equao ter 6 razes. Resposta: D

102. (Fgv 2010) No intervalo [0, ], a equao 2

1senx

sen x 88 4

admite o seguinte nmero de razes: (A) 5

(B) 4

(C) 3

(D) 2

(E) 1

COMENTARIO:

31

senxsen x 88 4

3

12senx

3sen x 82 2

3.sen2x = 2senx 1

4(.4)

12.sen2x = 8senx 1 12.sen

2x - 8senx + 1 = 0

Resolvendo a equao do segundo grau na incgnita senx, temos:

senx = 1

2 ou senx =

1

6

Observando a circunferncia trigonomtrica, notamos que a equao possui quatro razes no intervalo dado.

Resposta: B

103. (Fatec 2011) No sistema cartesiano ortogonal xOy, considere

a circunferncia de centro O e pontos A (2; 0) e

Q( 3 ; 0). Sabendo-se que P um ponto dessa circunferncia

e que a reta AT tangente circunferncia no ponto A, tal

que AT paralela a PQ , ento a medida do segmento AT

(A) 2 3

3.

(B) 3 .

(C) 4 3

3.

(D) 5 3

3.

(E) 2 3 .

COMENTARIO:

No tringulo PQO, temos: o3

cos 302

No tringulo AOT, temos: tg30o =

AT

2

3 AT 2 3

AT3 2 3

Resposta: A

104. (Uesc 2011) Se 0 , 02

e sen cos 2 ento

sen igual a

(A) sen3

(B) 3

sen3

(C) 2

cos3

(D) tg6

(E) tg4

COMENTARIO: Como o valor mximo das funes seno e cosseno 1, temos que

sen cos 2 se, e somente se, sen 1 e cos 1.

Logo,

2

e 0.

29

Portanto,

sen( ) sen tg .2 4

Resposta: E

105. (Ufrs 2011) Traando os grficos das funes f e g definidas

por f x sen x e g x cos x , com x variando no

conjunto dos nmeros reais de 2 a 2 , no mesmo sistema de coordenadas, o nmero de intersees (A) 7.

(B) 8.

(C) 9.

(D) 10.

(E) 12.

COMENTARIO: Considere a figura abaixo.

Portanto, o nmero de intersees 8. Resposta: B

106. (Fgv 2011) A previso de vendas mensais de uma empresa

para 2011, em toneladas de um produto, dada por

x

f x 100 0,5x 3sen6

, em que x = 1 corresponde a

janeiro de 2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previso de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 :

(Use a aproximao decimal 3 1,7 )

(A) 308,55

(B) 309,05

(C) 309,55

(D) 310,05

(E) 310,55

COMENTARIO:

Queremos calcular f(1) f(2) f(3).

1f(1) 100 0,5 1 3 sen 100,5 3 0,5 102.

6

2f(2) 100 0,5 2 3 sen 101 3 0,85 103,55.

6

3f(3) 100 0,5 3 3 sen 101,5 3 1 104,5.

6

Portanto,

f(1) f(2) f(3) 102 103,55 104,5 310,05.

Resposta: D

107. (Ifsp 2011) Sabendo que 6

cos sen ,3

ento o valor de

sen 2 : (A) -1

(B) 5

9

(C) 1

6

(D) 1

3

(E) 5

6

COMENTARIO: Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade, temos:

cos2 + sen

2 - 2.sen.cos =

2

3

1 sen(2 ) = 2

3 sen(2 ) =

1

3

Resposta: D