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MATEMÁTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

1. RELAÇÕES ENTRE GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDA.

Números diretamente proporcionais

Considere a seguinte situação:

Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 ovos1 lata de leite condensado1 xícara de leite2 colheres das de sopa de farinha de trigo1 colher das de sobremesa de fermento em pó1 pacote de coco ralado1 xícara de queijo ralado1 colher das de sopa de manteiga

Veja que:

- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha;



- Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de ovos: 6 9 12Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes

são iguais:64= 32

96= 32

128

= 32

Assim: 64= 96= 128

= 32

Dizemos, então, que:

- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcio-nais aos da sucessão 4, 6, 8;

- o número 23

, que é a razão entre dois termos corresponden-tes, é chamado fator de proporcionalidade.

Duas sucessões de números não-nulos são diretamente pro-porcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais:

2 8 y3 x 21

Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é: 2

3= 8x= y21

32 =

x8

32

= 21y

2x = 3 . 8 3y = 2 . 212x = 24 3y = 42

x=242 y=

423

x=12 y=14

Logo, x = 12 e y = 14

Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.

Solução:

Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de Toni por z, podemos escrever:

==

=++

300002700024000

32400zyx

zyx

x24000

= y27000

= z30000

= x + y + z32400

24000 + 27000 + 3000081000

Resolvendo as proporções:

x24000

= 324004

8100010

10x = 96 000x = 9 600

y27000

= 410

10y = 108 000y = 10 800

z3000

= 410

10z = 120 000z = 12 000

Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.


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Números Inversamente Proporcionais

Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5:

1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.

Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20

Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais:

11120

= 2160

= 4130

= 6120

= 120

Dizemos, então, que:- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente propor-

cionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira

sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado fator de proporcionalidade.

Observando que

1120

é o mesmo que 1.120=120 4130

é mesmo que 4.30=120

2160

é o mesmo que 2.60=120 6120

é o mesmo que 6.20= 120

Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais:

4 x 820 16 y

Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter:

4 . 20 = 16 . x = 8 . y

16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10

Logo, x = 5 e y = 10.

Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos:

41

31

21

zyx==

41

31

21

zyx== =

41

31

21

104

++

++

zyx

Como, vem

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:

Dias Sacos de açúcar1 5 0002 10 0003 15 0004 20 0005 25 000

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar,

e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.

Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:

Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.

Tomemos agora outro exemplo.

Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool.

De acordo com esses dados podemos supor que:

- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;

- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.

Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.


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Grandezas Inversamente Proporcionais

Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:

Velocidade Tempo30 km/h 12 h60 km/h 6 h90 km/h 4 h120 km/h 3 h

Com base na tabela apresentada observamos que:- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica

reduzido à metade;- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à

terça parte, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo:

3060

612

= inverso da razão 12 6

3090

412


30120

312


6090

4 6


60120

3 6


90120

3 6


Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.

Acompanhe o exemplo a seguir:

Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que:

- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;

- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.

Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.

Sistema de Medidas Decimais

Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.

Unidades de Comprimentokm hm dam m dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.

Por isso, o sistema é chamado decimal.

E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.

As unidades de área do sistema métrico correspondem às uni-dades de comprimento da tabela anterior.

São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.

No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos compri-mentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102.

Unidades de Áreakm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

quilômetroquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

10000m 1000m 100m 1m 0,01m 0,001m 0,0001m

Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.

Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.

Unidades de Volume

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

quilômetrocúbico

hectômetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

100000m 10000m 1000m 1m 0,001m 0,0001m 0,00001m

A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.

Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.


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Unidades de Capacidadekl hl dal l dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.

Unidades de Massa

kg hg dag g dg cg mgquilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.

Não Decimais

Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.

2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s

Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.

0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.

Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:

1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)

Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:

1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.

Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas.

Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de computadores, disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes (b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema decimal.

Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 kilobytes.

2. SOLUÇÃO DE SITUAÇÃO-PROBLEMA QUE ENVOLVA MEDIDAS DE GRANDEZAS.

Exercícios

1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas terminará a aula de inglês?

a) 14hb) 14h 30minc) 15h 15mind) 15h 30mine) 15h 45min

2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?

3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?

4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.

5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?

6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?

7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.

8. Converta 2,5 metros em centímetros.9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?

10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no

enunciado do teste, ou seja:13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min

Logo, a questão correta é a letra D.

2) Resposta “0, 00348 dl”.Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividir-

mos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centí-metros cúbicos: 0,348 cm3.

Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equi-valem.

Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.

Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando en-tão passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes:

0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒

Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.


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3) Resposta “100 dal”.Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para

convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquer-da.

Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:

1000 :10l dal⇒

Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:

Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:

1 .10.10 100kl dal⇒

Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.

4) Resposta “0, 00005 hm²”.Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectô-

metros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:

2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒

Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².

5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-

17 km3”. Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilôme-

tros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:

3

18 3 18

17 3 3

14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :100014 :10 14.101,4.10 0.000000000000000

mmkm kmkm km

−

−

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.

6) Resposta “150.000 cl”.Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos

quatro níveis à direita.Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:

15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.

7) Resposta “5,2 kg”.Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas,

devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de qui-lograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gra-mas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.

Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de de-cagrama para hectograma e finalmente de hectograma para qui-lograma:

5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒

Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.

Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg.

8) Resposta “250 cm”.Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, de-

vemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de me-tros para centímetros saltamos dois níveis à direita.

Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de de-címetros para centímetros:

2,5 .10.10 250m cm⇒

Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.

9) Resposta “305min”.Solução: (5 . 60) + 5 = 305 min.

10) Resposta “45 min”.Solução: 45 min

3. RELAÇÃO DE DEPENDÊNCIA ENTRE GRANDEZAS.

Razão

Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .

A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.

Exemplos

a) A fração 53 lê-se: “três quintos”.

b) A razão 53 lê-se: “3 para 5”.

Os termos da razão recebem nomes especiais.

O número 3 é numerador

a) Na fração 53

O número 5 é denominador

O número 3 é antecedente

a) Na razão 53

O número 5 é consequente


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Exemplo 1

A razão entre 20 e 50 é ; já a razão entre 50 e 20 é .

Exemplo 2

Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é , o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por

, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.

Razão entre grandezas de mesma espécie

A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplo

Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.

Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:

Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2

Área do tapete: 384 dm2

Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:

384dm2

1800dm2 =3841800

= 1675

Razão entre grandezas de espécies diferentes

Exemplo 1

Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.

Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 kmTempo gasto: 11h – 9h = 2h

Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:

140km2h

= 70km / h

A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.

Observe que: - as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 2

A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.

Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por km2 (hab./km2):

6628000927286

≅ 71,5hab. / km2

A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.

A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a razão.

Exemplo 3

Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:

83,76km8l

≅ 10,47km / l

A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve

acompanhar a razão.

Exemplo 4Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é

representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?

Escala = comprimento i no i desenhocomprimento i real

= 20cm8m

= 20cm800cm

= 140ou1: 40

A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real, chama-se Escala.

Proporção

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 35 = 6

10 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.

Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:

“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.

Exemplo 1

Na proporção 96

32= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;

e em 14= 416

, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.


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Exemplo 2

Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.

Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:

5gotas2kg

= x12kg

→ x = 30gotas

Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:

5gotas2kg

= 20gotas / p→ p = 8kg

(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três simples.)

Propriedades da Proporção

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção.

43e129 formam uma proporção, pois

Produtos dos extremos ← 4.936 = 3.12

36→ Produtos dos meios.

A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

52= 104⇒ 5 + 2

5⎧⎨⎩

= 10 + 410

⇒ 75= 1410

ou52= 104⇒ 5 + 2

2⎧⎨⎩

= 10 + 44

⇒ 72= 144

A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).

82

41

868

434

68

34

=⇒−

= −

⇒=

ou

62

31

668

334

68

34

=⇒−

= −

⇒=

A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 128⇒ 1510

= 128

ou128

= 32⇒ 12 + 3

8 + 2⎧⎨⎩

= 32⇒ 1510

= 32

A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.

315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 315

⇒ 210

= 315

ou315

= 15⇒ 3−1

15 − 5⎧⎨⎩

= 15⇒ 210

= 15

Exercícios

1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?

2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na confecção do mapa?

3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?

4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse percurso?

5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?

6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim como

25 , determine a idade de cada uma.

7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de 4

9 . Determine o comprimento de cada uma das

partes.

8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:

a) 45b) 81c) 85d) 181e) 126


MATEMÁTICA

10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.

Respostas

1) Resposta “1320 km”.Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)

*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B 4cm 6cm

O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.

2) Resposta “1: 7 000 000”.Solução: Dados:Comprimento do desenho: 10 cmComprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000

000 cm

Escala = comprimentododesenhocomprimentoreal

= 1070000000

= 17000000

ou1: 7000000

A escala de 1: 7 000 000 significa que:- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.

3) Resposta “8,75 kg/dm³”.Solução: De acordo com os dados do problema, temos:

densidade = 140kg16dm3 = 8,75kg / dm

3

Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.

4) Resposta “75,5 km/h”.

Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:

velocidademédia = 453km6h

= 75,5km / h

Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.

5) Resposta “4,15 hab./km²

Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:

Densidadedemográfica = 1156000hab.278500km2 = 4,15hab. / km2

6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.

Solução:A – V = 12 anosA = 12 + V

AV

= 52→ 12 +V

V= 52

2 (12+V) = 5V24 + 2V = 5V5V – 2V = 243V = 24V = 24

3V (Vera) = 8A – 8 = 12A = 12 + 8A (Ângela) = 20

7) Resposta “24 cm; 54 cm”.

Solução:x + y = 78 cmx = 78 - yxy= 49→ 78 − y

y= 49

9 (78 - y) = 4y702 – 9y = 4y702 = 4y + 9y13y = 702y = 702

13y = 54cm

x + 54 = 78x = 78 - 54x = 24 cm

8) Resposta “ 2716

cm ”.

Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25 cm.

Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.

Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante. Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela

expressão:Ti . P elevado à (n - 1)

Onde:Ti = termo inicial, neste caso: 4P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4

Teremos:

(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)

4 . =


MATEMÁTICA

9) Resposta “E”.Solução:A = 81 litrosAT= 95→ 81

T= 95

9T = 405T =

T = 45A + T = ?81 + 45 = 126 litros

10) Resposta “117 e 52”.Solução:x – y = 65x = 65 + y

xy= 94→ 65 + y

y= 94

9y = 4 (65 + y)9y = 260 + 4y9y – 4y = 2605y = 260y =

y = 52

x – 52 = 65x = 65 + 52x = 117

4. SOLUÇÃO DE SITUAÇÃO-PROBLEMA ENVOLVENDO A VARIAÇÃO DE

GRANDEZAS, DIRETA OU INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

Exercícios

1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:

a) 1 x 7 5 15 y

b) 5 10 y x 8 24

c) x y 21 14 35 49

d) 8 12 20 x y 35

2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:

a) 4 x y 25 20 10

b) 30 15 10 x 8 y

c) 2 10 y x 9 15

d) x y 2 12 4 6

3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.

4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a

61

41,

31 e .

5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a

31

25,

43 e .

6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Ma-theus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente pro-porcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.)

8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?

9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família?

10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um?


MATEMÁTICA

Respostas

1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 21

2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 33- 80, 32, 20 4- 21, 28, 435- 45, 150, 206- 907- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio

R$24.000,008- R$350.000,009- 60, 90, 15010- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto

R$400.000,00

Resolução 04

x+y+z--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque

3+4+6 as partes são inversas)91/13=x/313x=273x=2191/13=y/413y=364y=28

91/13=z/613z=546z=42

Resolução 05

x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)x + y + z = 2153k/4 + 5k/2 + k/3 = 215(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 x = 60.(3/4) = 45y = 60.(5/2) = 150z = 60/3 = 20

(x, y, z) → partes diretamente proporcionais

Resolução 06

x = Rafaely = Mateus

x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo proporções, só calcular)

x/15=6x=90

y/12=6y=72

5. UTILIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES EXPRESSAS EM GRÁFICOS OU TABELAS

PARA FAZER INFERÊNCIAS.

Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados de várias formas:

Diagramas de Barras

Diagramas Circulares

Histogramas

Pictogramas

1ª (10)

2ª (8)

3ª (4)

4ª (5)

5ª (4)

= 1 unidade


MATEMÁTICA

Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela de freqüência consiste em listar os valores possíveis da variável, numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a freqüência relativa por fi = ni/n.

Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado.

No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas com mesma amplitude.

Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela. Exemplo:

Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada valor da variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua frequência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados. Exemplo:

Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo:

Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes são utilizadas nas faixas. Exemplo:

Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo:


MATEMÁTICA

Polígono de Frequência:Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos

médios das classes. Exemplo:

Gráfico de Ogiva:Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas,

utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos.

6. SOLUÇÃO DE PROBLEMA COM DADOS APRESENTADOS EM TABELAS OU

GRÁFICOS.

01.Empregados Desempregados

27300 14700

A tabela registra o resultado de uma pesquisa feita, em uma cidade, com pessoas na faixa etária de 20 a 60 anos, para se saber a taxa de desemprego. Com base nesses dados, o número de pessoas que precisam se empregar, para que a taxa de desemprego caia para 10%, é igual a:

a) 4.500 b) 5.200 c) 9.000 d) 10.500 e) 12.700

Resposta “D”.

Devemos subtrair “x” pessoas do grupo de desempregados:

02. Considere que o orçamento mensal de determinada família seja igual a P reais. Considere, também, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, a função o y = f(x) = kx, em que k = p/10000. Dessa forma, o valor gasto com cada item de cultura ou lazer constante da tabela da reportagem é da forma f (x), em reais, para algum numero real x. Com base nessas informações e na reportagem apresentada, assinale a opção em que todos os gastos destacados estão corretamente representados pelos valores da função.

Estudo do IBGE revelou que, em média, as famílias brasileiras gastam 8% de seu orçamento mensal com cultura e lazer. A tabela a seguir mostra como é empregado esse valor.

Cine-ma

Disco-teca

Festa de Aniversário e Casamento

Ou-tras

Festas

Teatro e Show Outros

15% 27% 42% 9% 4% 3%

a) cinema: f(120); discoteca: 1 (216); teatro e show: 1(32) b) cinema: ((216); Festa de aniversário e casamento: 1(336);

outros: 1(72)c) discoteca: 1(120); outras festas: 1(24); teatro e show: 1(72) d) festa de aniversário e casamento: (216); outras festas:

1(72); outros: 1(24)

Resolução: letra “A”.

Como k é igual a uma parte entre as 10.000 existentes (resultado de duas divisões sucessivas por cem - a primeira relativa aos 8% destinados a cultura e lazer e a segunda, relativa as 100 partes em que este valor foi dividido) do salário total. Então x é o produto da porcentagem gasta em cada um dos itens (sem o por cento, já calculado em k) pelo referido 8% do todo (aqui também sem o por cento já calculado em k). Portanto, conforme a tabela:

Cinema = 15 . 8 = 120Discoteca = 27 . 8 = 216Festa de aniversario e casamento = 42 . 8 = 336Outras festas = 9 . 8 = 72Teatro e show = 4 . 8 = 32Outros = 3 . 8 = 24

03. Sendo f a função definida por f(x) = log x e P e Q números reais que completam a tabela abaixo, a soma P + Q é:

x f(x)1 02 0,301P 0,6025 Q

a) 0,903b) 1,602c) 2,903 d) 4,699 e) 5,602


MATEMÁTICA

Resposta “D”.

Quando x = 2 → f(2) = 0,301 Quando x = P → f(P) = 0,602. Mas 0,602 = 2. f(2), ou ainda: 2.log 2 = log 22 = log 4. Desse modo: P = 4Quando x = 5 → f(5) = Q. Mas f(5) = log 5.

Para calcularmos o log 5, usamos o artifício:log 10/2 = log10 − log2 = 1 − 0,301 = 0,699.

Nestas condições: Q = 0,699.Finalmente, P + Q = 4 + 0,699 = 4,699

04. (BANCO DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL) Considere as afirmações abaixo sobre os dados apresentados pelo gráfico a seguir, o qual mostra o total de empréstimos concedidos por um banco ao setor agrícola no período de 1994 a 2000, em milhões de reais:

I) O valor dos empréstimos decresceu de 96 a 99.II) O aumento dos empréstimos, em 96, em relação ao ano

anterior, foi igual ao número verificado em 95, em relação ao ano de 94.

III) O total dos empréstimos foi inferior a 300 milhões de reais apenas em 98.

Quais estão corretas?a) apenas Ib) apenas I e IIc) apenas I e IIId) apenas II e IIIe) I, II e III

Resolução:

I) FII) V (variou 200 em ambos)III) F (pois, é < 300000 em 94 e 98)

05. (CESGRANRIO-Agente de pesquisa e mapeamento-IBGE) Gabriel quebrou o seu cofrinho e, dentro dele, havia apenas moedas de 1, 5, 10 e 25 centavos de real. As quantidades dessas moedas estão representadas no gráfico de barras apresentado a seguir.

0

2

4

6

8

10

12

1

5

10

25

O valor total, em reais, que havia no cofrinho era de:a) 0,30b) 1,15c) 1,65d) 2,40e) 2,55

Resolução: Analisando o gráfico, sabe-se que no cofrinho havia: 10 moedas de R$ 0,01: 6 moedas de R$ 0,05; 9 moedas de R$ 0,10 e 5 moedas de R$ 0,25. Somando todas as moedas:

10.0,01 + 6.0,05 + 9.0.1 + 5.0,25 = = 0.10 + 0.30 + 0,90 + 1.25 = 2.55

Portanto, havia R$ 2.55 no cofrinho.

(FSADU - Analista Bancário - BNB)

06. Um servidor federal recebeu o seu salário referente ao mês de janeiro de 2007 e planejou seus gastos de acordo com a planilha a seguir:

Opção Valor (em percentual)Pagar dívida 49,0Gastar no carnaval 14,0Poupar 15,0Gastar nas férias 16,0Outros 6,0Total 100,0

Sendo R$ 1.800,00 o salário líquido recebido por esse servidor, a quantia gasta por ele no carnaval foi:

a) R$ 441,00 b) R$ 270,00 c) R$ 288.00 d) R$ 108,00 e) R$ 252.00

Resposta “E”.


MATEMÁTICA

(CESPE - Escriturário – BB)

Número de mulheres no mercado de trabalho mundial (em milhões)

O número de mulheres no mercado de trabalho mundial é o maior da História, tendo alcançado, em 2007, a marca de 1,2 bilhão, segundo relatório da Organização Internacional do Trabalho (OIT). Em dez anos, houve um incremento de 200 milhões na ocupação feminina. Ainda assim, as mulheres representaram um contingente distante do universo de 1,8 bilhão de homens empregados.

Em 2007, 36,1% delas trabalhavam no campo, ante 46,3% em serviços. Entre os homens, a proporção é de 34% para 40,4%. O universo de desempregadas subiu de 70,2 milhões para 81,6 milhões, entre 1997 e 2007 - quando a taxa de desemprego feminino atingiu 6,4%, ante 5,7% da de desemprego masculino. Há, no mundo, pelo menos 70 mulheres economicamente ativas para 100 homens.

O relatório destaca que a proporção de assalariadas subiu de 41,8% para 46,4% nos últimos dez anos. Ao mesmo tempo, houve queda no emprego vulnerável (sem proteção social e direitos trabalhistas), de 56,1% para 51,7%. Apesar disso, o universo de mulheres nessas condições continua superando o dos homens.

(O Globo, 7/3/2007 p. 31, com adaptações)

Com referência ao texto e considerando o gráfico nele apresentado, julgue os itens a seguir:

07. Se a proporção entre a população feminina no mercado de trabalho mundial e a população feminina mundial em 1991 era de 2:5, então a população mundial de mulheres nesse ano era superior a 2,8 bilhões.

Resposta: “Errado”.

2,375 < 2,8

(CESPE - Técnico administrativo - Anvisa)

O risco da maternidade tardia: a probabilidade de uma mulher ter um filho com Síndrome de Down (SD) aumenta conforme a idade. Veja a tabela a seguir.

Com relação às informações apresentadas acima, julgue o seguinte item.

08. Com base nessas informações, é correto concluir que, em média, em cada grupo de 1.540 bebês que nascem de mães com 20 anos de idade, 1 deles deve nascer com SD.

Resposta: “Certo”.

Fazendo uma proporção de dados e somando esses valores, temos:

1000 0,65500 0,32540 0,026

1540 1,001O valor encontrado é muito próximo de 1, portanto a afirmação

é verdadeira.

09. (CESGRANRIO-Técnico Bancário-CEF) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada.

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que

a unidade de tempo.c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a

unidade de tempo.e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a

unidade de tempo.

Resolução: Basta interpretar o gráfico. Observe que o montante será melhor entre 0 e 1 quando for simples, pois a curva do composto indica que o montante será menor para valores entre 0 e 1.




MATEMÁTICA

O número de mulheres no mercado de trabalho mundial é o maior da Historia, tendo alcançado, em 2007, a marca de 1,2 bilhão, segundo relatório da Organização Internacional do Trabalho (OIT). Em dez anos, houve um incremento de 200 milhões na ocupação feminina. Ainda assim, as mulheres representaram um contingente distante do universo de 1,8 bilhão de homens empregados.





10. A mediana dos valores correspondentes aos números de mulheres no mercado de trabalho mundial, nos anos de 1989, 1991, 1993 e 1995, é superior a 957.


Média = 955 < 957

7. ANÁLISE DE INFORMAÇÕES EXPRESSAS EM GRÁFICOS OU TABELAS.

01. A tabela a seguir indica a distribuição de frequência das estaturas das crianças de um acampamento infantil.

Estatura (cm) Frequência (Fi)

Ponto Médio (Xi)

Xi . Fi

120 - 129 6 124,5 747,0129 - 138 12 133,5 1602,0138 -147 16 142.5 2280,0147 – 156 13 151.5 1969,5156 – 165 7 160,5 1123,5

A altura média das crianças desse acampamento é: a) 145 cm b) 143 cm c) 147 cm d) 153 cm e) 138 cm

Resposta “B”.

A média é a divisão entre a somatória do produto entre frequência pelo ponto médio, e a somatória da frequência.

(CESGRANRIO-Técnico Bancário-CEF) Para responder a questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Idades (anos) Frequência acumulada14 215 416 917 1218 1519 1820 20

02. Qual é o 70o termo da sequencia de números (a0) definida abaixo?

a1 = 2a2 = 3an = an-1 - an-2

a) 2b) 1c) -1 d) -2e) -3

Resolução: Calculando os próximos termos para analisar como essa sequencia se comporta:

a3=1a4=-2a5=-3a6=-1a7=2

O sétimo termo repete o valor do primeiro. Daí conclui-se que a repetição ocorre a cada seis termos. Como o múltiplo de 6 mais próximo de 70 e o 66, isso significa que, no 67° termo, a sequência se inicia novamente, assumindo o valor 2,Portanto, o 70° termo é -2.

03. (CESPE - Técnico do Seguro Social - INSS) A tabela abaixo mostra, em porcentagens, a distribuição relativa da população brasileira por grupos etários, de acordo com dados dos censos demográficos de 1940 a 2000.


MATEMÁTICA

CensosGrupos Etários

Até 14 anos 15 a 64 anos 65 ou mais1940 42,7 54,9 2,41950 41,8 55,6 2,61960 42,7 54,6 2,71970 42,6 54,3 3,11980 38,2 57,8 4,01991 34,7 60,5 4,82000 29,6 64,6 5,8

Com base nos dados acerca da evolução da população brasileira apresentados na tabela acima, julgue o item subsequente:

De acordo com os dados apresentados na tabela, os percentuais relativos á população brasileira com idade entre 15 e 64 anos formam uma progressão aritmética de razão menor que 1.


Para ser uma progressão aritmética, os valores subsequentes ao primeiro valor da tabela deveriam somente aumentar ou somente diminuir, de forma a ter sempre o mesmo acréscimo ou decréscimo. Não podem uma hora aumentar e noutra diminuir.








04. No gráfico, os valores correspondentes aos números de mulheres no mercado de trabalho mundial nos anos de 1993, 1995, 1997 e 1999 estão, nessa ordem, em progressão aritmética.


r = a2 - a1 em 1997: 1000 + 20 = 1020 (tem-se progressão aritmética)em 1999: 1030 1000 + 20 = 1020 (não há progressão aritmética)


Um exemplo palpável de má gestão:

O Banco Interamericano de Desenvolvimento criou uma linha de crédito de 300 milhões de dólares para que os municípios brasileiros modernizem sua gestão. Por ignorância ou inépcia - dois dos pilares da má gestão -, a maior parte do dinheiro está parada no banco, o que se pode ver na tabela abaixo.

Recursos oferecidos

Total de participantes

Recursos contratados

Recursos disponíveis

300 milhões de dólares

67 prefeituras. A maior delas é a de São Luís



Considerando as informações acima, julgue o seguinte item.

05. Se todas as prefeituras participantes do programa de modernização de gestão referido acima tivessem contratado os recursos e se os valores desses recursos formassem uma progressão aritmética crescente em que o primeiro termo - valor recebido pela prefeitura que recebeu o menor aporte de recursos - fosse igual 1 milhão de dólares, então, o maior valor contratado por uma única prefeitura seria superior a 3 milhões de dólares.


Portanto, o maior valor encontrado seria inferior a 3 milhões.

(CESGRANRIO - Agente de pesquisa e mapeamento-IBGE).

Estudo do IBGE revelou que, em média, as famílias brasileiras gastam 8% de seu orçamento mensal com cultura e lazer. A tabela a seguir mostra como é empregado esse valor.

Cinema Discoteca Festa de aniversário

e casamento

Outras festas

Teatro e

show

Outros

15% 27% 42% 9% 4% 3%


MATEMÁTICA

06. Considere que uma família tenha um orçamento mensal de R$ 3.200,00. Nesse caso, de acordo com a reportagem, essa família gasta com cultura e lazer:

a) menos de R$ 240,00 b) mais de R$ 240,00 e menos de R$ 250,00c) mais de R$ 250,00 e menos de R$ 260,00d) mais de R$ 260,00

Resolução: letra “C”.

Para saber quanto a família gasta, basta calcular 8% de R$ 3.200.00 → .3200 = 8.32 = R$ 256,00, ou seja, mais de 250,00 e menos de 260,00.







Com referência ao texto e considerando o gráfico nele apresentado, julgue o iten a seguir:

07. A população feminina no mercado de trabalho mundial em 1995 representa, com relação a essa população em 1989, um aumento inferior a 5%.


920 + 920i = 980

6,5% > 5%

(CESGRANRIO-Técnico Bancário-CEF) Para responder a questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Idades (anos) Frequência acumulada

14 215 416 917 1218 1519 1820 20

08. Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem ter á 16 anos ou mais?

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução: Considerando a condição “sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais” os jovens de 14 e 15 anos não entram no cálculo. Então, há 5 jovens de 16 anos; 3 jovens de 17 anos; 3 jovens de 18 anos; 3 jovens de 19 anos; 2 jovens de 20 anos. Isso representa 16 jovens (5+3+3+3+2=16), dos quais somente 8 (5+3=8) poderão atender a condição “tenha menos de 18 anos”. Portanto, a probabilidade é 8/16.




Em 2007, 36,1% delas trabalhavam no campo, ante 46,3% em serviços. Entre os homens, a proporção é de 34% para 40,4%. O universo de desempregadas subiu de 70,2 milhões para 81,6 milhões, entre 1997 e 2007 - quando a taxa de desemprego


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feminino atingiu 6,4%, ante 5,7% da de desemprego masculino. Há, no mundo, pelo menos 70 mulheres economicamente ativas para 100 homens.




09. Considere que a população feminina mundial em 1997 era de 2,8 bilhões. Nessa situação, a probabilidade de se selecionar ao acaso, dentro dessa população, uma mulher que estava no mercado de trabalho mundial é superior a 0,33.

Resposta: “Certo”.

Como 0,35 > 0,33


Um exemplo palpável de má gestão:

O Banco Interamericano de Desenvolvimento criou uma linha de crédito de 300 milhões de dólares para que os municípios brasileiros modernizem sua gestão. Por ignorância ou inépcia - dois dos pilares da má gestão -, a maior parte do dinheiro está parada no banco, o que se pode ver na tabela abaixo.

Recursos oferecidos

Total de participantes

Recursos contratados

Recursos disponíveis


67 prefeituras. A maior delas é a de São Luís



Considerando as informações acima, julgue o seguinte item.

10. Considere que o Brasil possua 5.000 municípios e que todos eles estejam aptos a participar desse programa de modernização de gestão. Então, escolhendo-se um desses municípios ao acaso, a probabilidade de que ele ainda não seja participante do programa é inferior a 0,9.


Probabilidade superior a 0,9.

8. SOLUÇÃO DE PROBLEMA QUE ENVOLVA CONHECIMENTOS DE ESTATÍSTICA E

PROBABILIDADE.

Levantamento de Dados

Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que pode ser “quebrado”. São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras.

Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais no geral. A tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a ela. De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas fases:

Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população.

1ª Fase Estatística Descritiva: Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades.

2ª Fase Estatística Indutiva: Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população).

No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são verdadeiras.

Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade. Precisamos aqui da noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, a partir da observação da amostra.

Exemplo: Uma empresa fabricante de um automóvel, pretende avaliar a potencialidade do mercado, estimando através de um mercado teste. Através de1000 entrevistados, pretende-se verificar como se comportará a fatia de intenção de votos para determinado candidato. Problema: pretende-se, a partir da percentagem de respostas afirmativas, de entre os inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de compradores na População.

Análise Exploratória de Dados: Após a coleta e a digitação de dados em um banco de dados apropriado, o próximo passo é a análise descritiva. Esta etapa é fundamental, pois uma análise descritiva detalhada permite ao pesquisador familiarizar-se com os dados, organizá-los e sintetizá-los de forma a obter as informações necessárias do conjunto de dados para responder as questões que estão sendo investigadas. Tradicionalmente, a análise descritiva limitava-se a calcular algumas medidas de posição e variabilidade. No final da década de 70, Tukey criou uma nova corrente de análise.


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Utilizando principalmente técnicas visuais, buscando descrever quase sem utilizar cálculos, alguma forma de regularidade ou padrão nos dados, em oposição aos resumos numéricos. Nessa etapa, iremos produzir tabelas, gráficos e medidas resumo que descrevam a tendência dos dados, quantifiquem a sua variabilidade, permitam a detecção de estruturas interessantes e valores atípicos no banco de dados.

Tipo de variáveis: Cada uma das características de interesse observadas ou medidas durante o estudo é denominada de variável. As variáveis que assumem valores numéricos são denominadas quantitativas, enquanto que as não numéricas, qualitativas.

Uma variável é qualitativa quando seus valores são atributos ou qualidades (por ex: sexo, raça, classe social). Se tais variáveis possuem uma ordenação natural, indicando intensidades crescentes de realização, são classificadas de qualitativas ordinais (por ex: classe social - baixa, média ou alta). Se não for possível estabelecer uma ordem natural entre seus valores, são classificadas como qualitativas nominais (por ex: Sexo - masculino ou feminino).

As variáveis quantitativas podem ser classificadas ainda em discretas ou contínuas. Variáveis discretas podem ser vistas como resultantes de contagens, e assumem, em geral, valores inteiros (por ex: Número de filhos). Variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo especificado e são, geralmente, resultados de uma mensuração (por ex: Peso, em kg; Altura, em metros).

Descrição dos dados: É importante conhecer e saber construir os principais tipos de tabelas, gráficos e medidas resumo para realizar uma boa análise descritiva dos dados. Vamos tentar entender como os dados se distribuem, onde estão centrados, quais observações são mais frequentes, como é a variabilidade etc., tendo em vista responder às principais questões do estudo. Cada ferramenta fornece um tipo de informação e o seu uso depende, em geral, do tipo de variável que está sendo investigada.

Valor da Estatística

Conceitos Básicos

A estatística é, hoje em dia, um instrumento útil e, em alguns casos, indispensável para tomadas de decisão em diversos campos: científico, econômico, social, político…

Todavia, antes de chegarmos à parte de interpretação para tomadas de decisão, há que proceder a um indispensável trabalho de recolha e organização de dados, sendo a recolha feita através de recenseamentos (ou censos ou levantamentos estatísticos) ou sondagens.

Existem indícios que há 300 mil anos a.C. já se faziam censos na China, Babilônia e no Egito. Censos estes que se destinavam à taxação de impostos.

Estatística pode ser pensada como a ciência de aprendizagem a partir de dados. No nosso quotidiano, precisamos tomar decisões, muitas vezes decisões rápidas.

Em linhas gerais a Estatística fornece métodos que auxiliam o processo de tomada de decisão através da análise dos dados que possuímos.

Em Estatística, um resultado é significante, portanto, tem significância estatística, se for improvável que tenha ocorrido por acaso (que em estatística e probabilidade é tratado pelo conceito de chance), caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. A expressão teste de significância foi cunhada por Ronald Fisher.

Mais concretamente, no teste de hipóteses com base em frequência estatística, a significância de um teste é a probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é também chamado de α e não deve ser confundido com o valor p (p-value).

Por exemplo, podemos escolher um nível de significância de, digamos, 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo a média) de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da hipótese nulo, ser 5%. Se o valor estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante “ao nível de 5%”.

Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor, o valor é menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um resultado que é “significante ao nível de 1%” é mais significante do que um resultado que é significante “ao nível de 5%”. No entanto, um teste ao nível de 1% é mais susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e por isso terá menos poder estatístico.

Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar maximizar o poder de uma dada significância, mas ultimamente tem de reconhecer que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II.

É importante ressaltar que os valores p Fisherianos são filosoficamente diferentes dos erros de tipo I de Neyman-Pearson. Esta confusão é infelizmente propagada por muitos livros de estatística.

Divisão da Estatística:

- Estatística Descritiva: Média (Aritmética, Geométrica, Harmônica, Ponderada) - Mediana - Moda - Variância - Desvio padrão - Coeficiente de variação.

- Inferência Estatística: Testes de hipóteses - Significância - Potência - Hipótese nula/Hipótese alternativa - Erro de tipo I - Erro de tipo II - Teste T - Teste Z - Distribuição t de Student - Normalização - Valor p - Análise de variância.

- Estatística Não-Paramétrica: Teste Binomial - Teste Qui-quadrado (uma amostra, duas amostras independentes, k amostras independentes) - Teste Kolmogorov-Smirnov (uma amostra, duas amostras independentes) - Teste de McNemar - Teste dos Sinais - Teste de Wilcoxon - Teste de Walsh - Teste Exata de Fisher - Teste Q de Cochran - Teste de Kruskal-Wallis - Teste de Friedman.

- Análise da Sobrevivência: Função de sobrevivência - Kaplan-Meier - Teste log-rank - Taxa de falha - Proportional hazards models.


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- Amostragem: Amostragem aleatória simples (com reposição, sem reposição) - Amostragem estratificada - Amostragem por conglomerados - Amostragem sistemática - estimador razão - estimador regressão.

- Distribuição de Probabilidade: Normal - De Pareto - De Poisson - De Bernoulli - Hipergeométrica - Binomial - Binomial negativa - Gama - Beta - t de Student - F-Snedecor.

- Correlação: Variável de confusão - Coeficiente de correlação de Pearson - Coeficiente de correlação de postos de Spearman - Coeficiente de correlação tau de Kendall).

Regressão: Regressão linear - Regressão não-linear - Regressão logística - Método dos mínimos quadrados - Modelos Lineares Generalizados - Modelos para Dados Longitudinais.

- Análise Multivariada: Distribuição normal multivariada - Componentes principais - Análise fatorial - Análise discriminante - Análise de “Cluster” (Análise de agrupamento) - Análise de Correspondência.

- Séries Temporais: Modelos para séries temporais - Tendência e sazonalidade - Modelos de suavização exponencial - ARIMA - Modelos sazonais.

Panorama Geral:

Variáveis: São características que são medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em muitos aspectos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa e na forma como podem ser medidas.

Pesquisa “Correlacional” X Pesquisa “Experimental”: A maioria das pesquisas empíricas pertencem claramente a uma dessas duas categorias gerais: em uma pesquisa correlacional (Levantamento) o pesquisador não influencia (ou tenta não influenciar) nenhuma variável, mas apenas as mede e procura por relações (correlações) entre elas, como pressão sangüínea e nível de colesterol. Em uma pesquisa experimental (Experimento) o pesquisador manipula algumas variáveis e então mede os efeitos desta manipulação em outras variáveis; por exemplo, aumentar artificialmente a pressão sangüínea e registrar o nível de colesterol. A análise dos dados em uma pesquisa experimental também calcula “correlações” entre variáveis, especificamente entre aquelas manipuladas e as que foram afetadas pela manipulação. Entretanto, os dados experimentais podem demonstrar conclusivamente relações causais (causa e efeito) entre variáveis. Por exemplo, se o pesquisador descobrir que sempre que muda a variável A então a variável B também muda, então ele poderá concluir que A “influencia” B. Dados de uma pesquisa correlacional podem ser apenas “interpretados” em termos causais com base em outras teorias (não estatísticas) que o pesquisador conheça, mas não podem ser conclusivamente provar causalidade.

Variáveis dependentes e variáveis independentes: Variáveis

independentes são aquelas que são manipuladas enquanto que variáveis dependentes são apenas medidas ou registradas. Esta distinção confunde muitas pessoas que dizem que “todas variáveis dependem de alguma coisa”. Entretanto, uma vez que se esteja acostumado a esta distinção ela se torna indispensável. Os termos variável dependente e independente aplicam-se principalmente à pesquisa experimental, onde algumas variáveis são manipuladas, e, neste sentido, são “independentes” dos padrões de reação

inicial, intenções e características dos sujeitos da pesquisa (unidades experimentais).Espera-se que outras variáveis sejam “dependentes” da manipulação ou das condições experimentais. Ou seja, elas dependem “do que os sujeitos farão” em resposta. Contrariando um pouco a natureza da distinção, esses termos também são usados em estudos em que não se manipulam variáveis independentes, literalmente falando, mas apenas se designam sujeitos a “grupos experimentais” baseados em propriedades pré-existentes dos próprios sujeitos. Por exemplo, se em uma pesquisa compara-se a contagem de células brancas (White Cell Count em inglês, WCC) de homens e mulheres, sexo pode ser chamada de variável independente e WCC de variável dependente.

Níveis de Mensuração: As variáveis diferem em “quão bem”

elas podem ser medidas, isto é, em quanta informação seu nível de mensuração pode prover. Há obviamente algum erro em cada medida, o que determina o “montante de informação” que se pode obter, mas basicamente o fator que determina a quantidade de informação que uma variável pode prover é o seu tipo de nível de mensuração. Sob este prisma as variáveis são classificadas como nominais, ordinais e intervalares.

- Variáveis nominais permitem apenas classificação qualitativa. Ou seja, elas podem ser medidas apenas em termos de quais itens pertencem a diferentes categorias, mas não se pode quantificar nem mesmo ordenar tais categorias. Por exemplo, pode-se dizer que 2 indivíduos são diferentes em termos da variável A (sexo, por exemplo), mas não se pode dizer qual deles “tem mais” da qualidade representada pela variável. Exemplos típicos de variáveis nominais são sexo, raça, cidade, etc.

- Variáveis ordinais permitem ordenar os itens medidos em termos de qual tem menos e qual tem mais da qualidade representada pela variável, mas ainda não permitem que se diga “o quanto mais”. Um exemplo típico de uma variável ordinal é o status sócio-econômico das famílias residentes em uma localidade: sabe-se que média-alta é mais “alta” do que média, mas não se pode dizer, por exemplo, que é 18% mais alta. A própria distinção entre mensuração nominal, ordinal e intervalar representa um bom exemplo de uma variável ordinal: pode-se dizer que uma medida nominal provê menos informação do que uma medida ordinal, mas não se pode dizer “quanto menos” ou como esta diferença se compara à diferença entre mensuração ordinal e intervalar.

- Variáveis intervalares permitem não apenas ordenar em postos os itens que estão sendo medidos, mas também quantificar e comparar o tamanho das diferenças entre eles. Por exemplo, temperatura, medida em graus Celsius constitui uma variável intervalar. Pode-se dizer que a temperatura de 40C é maior do que 30C e que um aumento de 20C para 40C é duas vezes maior do que um aumento de 30C para 40C.

Relações entre variáveis: Duas ou mais variáveis quaisquer

estão relacionadas se em uma amostra de observações os valores dessas variáveis são distribuídos de forma consistente. Em outras palavras, as variáveis estão relacionadas se seus valores correspondem sistematicamente uns aos outros para aquela amostra de observações. Por exemplo, sexo e WCC seriam relacionados se a maioria dos homens tivesse alta WCC e a maioria das mulheres baixa WCC, ou vice-versa; altura é relacionada ao peso porque tipicamente indivíduos altos são mais pesados do que indivíduos baixos; Q.I. está relacionado ao número de erros em um teste se pessoas com Q.I.’s mais altos cometem menos erros.


MATEMÁTICA

Importância das relações entre variáveis: Geralmente o objetivo principal de toda pesquisa ou análise científica é encontrar relações entre variáveis. A filosofia da ciência ensina que não há outro meio de representar “significado” exceto em termos de relações entre quantidades ou qualidades, e ambos os casos envolvem relações entre variáveis. Assim, o avanço da ciência sempre tem que envolver a descoberta de novas relações entre variáveis. Em pesquisas correlacionais a medida destas relações é feita de forma bastante direta, bem como nas pesquisas experimentais. Por exemplo, o experimento já mencionado de comparar WCC em homens e mulheres pode ser descrito como procura de uma correlação entre 2 variáveis: sexo e WCC. A Estatística nada mais faz do que auxiliar na avaliação de relações entre variáveis.

Aspectos básicos da relação entre variáveis: As duas propriedades formais mais elementares de qualquer relação entre variáveis são a magnitude (“tamanho”) e a confiabilidade da relação.

- Magnitude é muito mais fácil de entender e medir do que a confiabilidade. Por exemplo, se cada homem em nossa amostra tem um WCC maior do que o de qualquer mulher da amostra, poderia-se dizer que a magnitude da relação entre as duas variáveis (sexo e WCC) é muito alta em nossa amostra. Em outras palavras, poderia-se prever uma baseada na outra (ao menos na amostra em questão).

- Confiabilidade é um conceito muito menos intuitivo, mas extremamente importante. Relaciona-se à “representatividade” do resultado encontrado em uma amostra específica de toda a população. Em outras palavras, diz quão provável será encontrar uma relação similar se o experimento fosse feito com outras amostras retiradas da mesma população, lembrando que o maior interesse está na população. O interesse na amostra reside na informação que ela pode prover sobre a população. Se o estudo atender certos critérios específicos (que serão mencionados posteriormente) então a confiabilidade de uma relação observada entre variáveis na amostra pode ser estimada quantitativamente e representada usando uma medida padrão (chamada tecnicamente de nível-p ou nível de significância estatística).

Significância Estatística (nível-p): A significância estatística

de um resultado é uma medida estimada do grau em que este resultado é “verdadeiro” (no sentido de que seja realmente o que ocorre na população, ou seja no sentido de “representatividade da população”). Mais tecnicamente, o valor do nível-p representa um índice decrescente da confiabilidade de um resultado. Quanto mais alto o nível-p, menos se pode acreditar que a relação observada entre as variáveis na amostra é um indicador confiável da relação entre as respectivas variáveis na população. Especificamente, o nível-p representa a probabilidade de erro envolvida em aceitar o resultado observado como válido, isto é, como “representativo da população”. Por exemplo, um nível-p de 0,05 (1/20) indica que há 5% de probabilidade de que a relação entre as variáveis, encontrada na amostra, seja um “acaso feliz”. Em outras palavras, assumindo que não haja relação entre aquelas variáveis na população, e o experimento de interesse seja repetido várias vezes, poderia-se esperar que em aproximadamente 20 realizações do experimento haveria apenas uma em que a relação entre as variáveis em questão seria igual ou mais forte do que a que foi observada naquela amostra anterior. Em muitas áreas de pesquisa, o nível-p de 0,05 é costumeiramente tratado como um “limite aceitável” de erro.

Como determinar que um resultado é “realmente” significante: Não há meio de evitar arbitrariedade na decisão final de qual nível de significância será tratado como realmente “significante”. Ou seja, a seleção de um nível de significância acima do qual os resultados serão rejeitados como inválidos é arbitrária. Na prática, a decisão final depende usualmente de: se o resultado foi previsto a priori ou apenas a posteriori no curso de muitas análises e comparações efetuadas no conjunto de dados; no total de evidências consistentes do conjunto de dados; e nas “tradições” existentes na área particular de pesquisa. Tipicamente, em muitas ciências resultados que atingem nível-p 0,05 são considerados estatisticamente significantes, mas este nível ainda envolve uma probabilidade de erro razoável (5%). Resultados com um nível-p 0,01 são comumente considerados estatisticamente significantes, e com nível-p 0,005 ou nível-p 0,001 são freqüentemente chamados “altamente” significantes. Estas classificações, porém, são convenções arbitrárias e apenas informalmente baseadas em experiência geral de pesquisa. Uma conseqüência óbvia é que um resultado considerado significante a 0,05, por exemplo, pode não sê-lo a 0,01.

Significância estatística e o número de análises realizadas: Desnecessário dizer quanto mais análises sejam realizadas em um conjunto de dados, mais os resultados atingirão “por acaso” o nível de significância convencionado. Por exemplo, ao calcular correlações entre dez variáveis (45 diferentes coeficientes de correlação), seria razoável esperar encontrar por acaso que cerca de dois (um em cada 20) coeficientes de correlação são significantes ao nível-p 0,05, mesmo que os valores das variáveis sejam totalmente aleatórios, e aquelas variáveis não se correlacionem na população. Alguns métodos estatísticos que envolvem muitas comparações, e portanto uma boa chance para tais erros, incluem alguma “correção” ou ajuste para o número total de comparações. Entretanto, muitos métodos estatísticos (especialmente análises exploratórias simples de dados) não oferecem nenhum remédio direto para este problema. Cabe então ao pesquisador avaliar cuidadosamente a confiabilidade de descobertas não esperadas.

Força X Confiabilidade de uma relação entre variáveis: Foi dito anteriormente que força (magnitude) e confiabilidade são dois aspectos diferentes dos relacionamentos entre variáveis. Contudo, eles não são totalmente independentes. Em geral, em uma amostra de um certo tamanho quanto maior a magnitude da relação entre variáveis, mais confiável a relação.

Assumindo que não há relação entre as variáveis na população, o resultado mais provável deveria ser também não encontrar relação entre as mesmas variáveis na amostra da pesquisa. Assim, quanto mais forte a relação encontrada na amostra menos provável é a não existência da relação correspondente na população. Então a magnitude e a significância de uma relação aparentam estar fortemente relacionadas, e seria possível calcular a significância a partir da magnitude e vice-versa. Entretanto, isso é válido apenas se o tamanho da amostra é mantido constante, porque uma relação de certa força poderia ser tanto altamente significante ou não significante de todo dependendo do tamanho da amostra.


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Por que a significância de uma relação entre variáveis depende do tamanho da amostra: Se há muito poucas observações então há também poucas possibilidades de combinação dos valores das variáveis, e então a probabilidade de obter por acaso uma combinação desses valores que indique uma forte relação é relativamente alta. Considere-se o seguinte exemplo:

Há interesse em duas variáveis (sexo: homem, mulher; WCC: alta, baixa) e há apenas quatro sujeitos na amostra (2 homens e 2 mulheres). A probabilidade de se encontrar, puramente por acaso, uma relação de 100% entre as duas variáveis pode ser tão alta quanto 1/8. Explicando, há uma chance em oito de que os dois homens tenham alta WCC e que as duas mulheres tenham baixa WCC, ou vice-versa, mesmo que tal relação não exista na população. Agora considere-se a probabilidade de obter tal resultado por acaso se a amostra consistisse de 100 sujeitos: a probabilidade de obter aquele resultado por acaso seria praticamente zero.

Observando um exemplo mais geral. Imagine-se uma população teórica em que a média de WCC em homens e mulheres é exatamente a mesma. Supondo um experimento em que se retiram pares de amostras (homens e mulheres) de um certo tamanho da população e calcula-se a diferença entre a média de WCC em cada par de amostras (supor ainda que o experimento será repetido várias vezes). Na maioria dos experimento os resultados das diferenças serão próximos de zero. Contudo, de vez em quando, um par de amostra apresentará uma diferença entre homens e mulheres consideravelmente diferente de zero. Com que freqüência isso acontece? Quanto menor a amostra em cada experimento maior a probabilidade de obter esses resultados errôneos, que, neste caso, indicariam a existência de uma relação entre sexo e WCC obtida de uma população em que tal relação não existe. Observe-se mais um exemplo (“razão meninos para meninas”, Nisbett et al., 1987):

Há dois hospitais: no primeiro nascem 120 bebês a cada dia e no outro apenas 12. Em média a razão de meninos para meninas nascidos a cada dia em cada hospital é de 50/50. Contudo, certo dia, em um dos hospitais nasceram duas vezes mais meninas do que meninos. Em que hospital isso provavelmente aconteceu? A resposta é óbvia para um estatístico, mas não tão óbvia para os leigos: é muito mais provável que tal fato tenha ocorrido no hospital menor. A razão para isso é que a probabilidade de um desvio aleatório da média da população aumenta com a diminuição do tamanho da amostra (e diminui com o aumento do tamanho da amostra).

Por que pequenas relações podem ser provadas como significantes apenas por grandes amostras: Os exemplos dos parágrafos anteriores indicam que se um relacionamento entre as variáveis em questão (na população) é pequeno, então não há meio de identificar tal relação em um estudo a não ser que a amostra seja correspondentemente grande. Mesmo que a amostra seja de fato “perfeitamente representativa” da população o efeito não será estatisticamente significante se a amostra for pequena. Analogamente, se a relação em questão é muito grande na população então poderá ser constatada como altamente significante mesmo em um estudo baseado em uma pequena amostra. Mais um exemplo:

Se uma moeda é ligeiramente viciada, de tal forma que quando lançada é ligeiramente mais provável que ocorram caras do que coroas (por exemplo uma proporção 60% para 40%). Então dez lançamentos não seriam suficientes para convencer alguém de

que a moeda é viciada, mesmo que o resultado obtido (6 caras e 4 coroas) seja perfeitamente representativo do viesamento da moeda. Entretanto, dez lançamentos não são suficientes para provar nada? Não, se o efeito em questão for grande o bastante, os dez lançamentos serão suficientes. Por exemplo, imagine-se que a moeda seja tão viciada que não importe como venha a ser lançada o resultado será cara. Se tal moeda fosse lançada dez vezes, e cada lançamento produzisse caras, muitas pessoas considerariam isso prova suficiente de que há “algo errado” com a moeda. Em outras palavras, seria considerada prova convincente de que a população teórica de um número infinito de lançamentos desta moeda teria mais caras do que coroas. Assim, se a relação é grande, então poderá ser considerada significante mesmo em uma pequena amostra.

Pode uma “relação inexistente” ser um resultado significante: Quanto menor a relação entre as variáveis maior o tamanho de amostra necessário para prová-la significante. Por exemplo, imagine-se quantos lançamentos seriam necessários para provar que uma moeda é viciada se seu viesamento for de apenas 0,000001 %! Então, o tamanho mínimo de amostra necessário cresce na mesma proporção em que a magnitude do efeito a ser demonstrado decresce. Quando a magnitude do efeito aproxima-se de zero, o tamanho de amostra necessário para prová-lo aproxima-se do infinito. Isso quer dizer que, se quase não há relação entre duas variáveis o tamanho da amostra precisa quase ser igual ao tamanho da população, que teoricamente é considerado infinitamente grande. A significância estatística representa a probabilidade de que um resultado similar seja obtido se toda a população fosse testada. Assim, qualquer coisa que fosse encontrada após testar toda a população seria, por definição, significante ao mais alto nível possível, e isso também inclui todos os resultados de “relação inexistente”.

Como medir a magnitude (força) das relações entre variáveis: Há muitas medidas da magnitude do relacionamento entre variáveis que foram desenvolvidas por estatísticos: a escolha de uma medida específica em dadas circunstâncias depende do número de variáveis envolvidas, níveis de mensuração usados, natureza das relações, etc. Quase todas, porém, seguem um princípio geral: elas procuram avaliar a relação comparando-a de alguma forma com a “máxima relação imaginável” entre aquelas variáveis específicas. Tecnicamente, um modo comum de realizar tais avaliações é observar quão diferenciados são os valores das variáveis, e então calcular qual parte desta “diferença global disponível” seria detectada na ocasião se aquela diferença fosse “comum” (fosse apenas devida à relação entre as variáveis) nas duas (ou mais) variáveis em questão. Falando menos tecnicamente, compara-se “o que é comum naquelas variáveis” com “o que potencialmente poderia haver em comum se as variáveis fossem perfeitamente relacionadas”. Outro exemplo:

Em uma amostra o índice médio de WCC é igual a 100 em homens e 102 em mulheres. Assim, poderia-se dizer que, em média, o desvio de cada valor da média de ambos (101) contém uma componente devida ao sexo do sujeito, e o tamanho desta componente é 1. Este valor, em certo sentido, representa uma medida da relação entre sexo e WCC. Contudo, este valor é uma medida muito pobre, porque não diz quão relativamente grande é aquela componente em relação à “diferença global” dos valores de WCC. Há duas possibilidades extremas: S


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- Se todos os valore de WCC de homens são exatamente iguais a 100 e os das mulheres iguais a 102 então todos os desvios da média conjunta na amostra seriam inteiramente causados pelo sexo. Poderia-se dizer que nesta amostra sexo é perfeitamente correlacionado a WCC, ou seja, 100% das diferenças observadas entre os sujeitos relativas a suas WCC’s devem-se a seu sexo.

- Se todos os valores de WCC estão em um intervalo de 0 a 1000, a mesma diferença (de 2) entre a WCC média de homens e mulheres encontrada no estudo seria uma parte tão pequena na diferença global dos valores que muito provavelmente seria considerada desprezível. Por exemplo, um sujeito a mais que fosse considerado poderia mudar, ou mesmo reverter, a direção da diferença. Portanto, toda boa medida das relações entre variáveis tem que levar em conta a diferenciação global dos valores individuais na amostra e avaliar a relação em termos (relativos) de quanto desta diferenciação se deve à relação em questão.

“Formato geral” de muitos testes estatísticos: Como o objetivo principal de muitos testes estatísticos é avaliar relações entre variáveis, muitos desses testes seguem o princípio exposto no item anterior. Tecnicamente, eles representam uma razão de alguma medida da diferenciação comum nas variáveis em análise (devido à sua relação) pela diferenciação global daquelas variáveis. Por exemplo, teria-se uma razão da parte da diferenciação global dos valores de WCC que podem se dever ao sexo pela diferenciação global dos valores de WCC. Esta razão é usualmente chamada de razão da variação explicada pela variação total. Em estatística o termo variação explicada não implica necessariamente que tal variação é “compreendida conceitualmente”. O termo é usado apenas para denotar a variação comum às variáveis em questão, ou seja, a parte da variação de uma variável que é “explicada” pelos valores específicos da outra variável e vice-versa.

Como é calculado o nível de significância estatístico: Assuma-se que já tenha sido calculada uma medida da relação entre duas variáveis (como explicado acima). A próxima questão é “quão significante é esta relação”? Por exemplo, 40% da variação global ser explicada pela relação entre duas variáveis é suficiente para considerar a relação significante? “Depende”. Especificamente, a significância depende principalmente do tamanho da amostra. Como já foi explicado, em amostras muito grandes mesmo relações muito pequenas entre variáveis serão significantes, enquanto que em amostras muito pequenas mesmo relações muito grandes não poderão ser consideradas confiáveis (significantes). Assim, para determinar o nível de significância estatística torna-se necessária uma função que represente o relacionamento entre “magnitude” e “significância” das relações entre duas variáveis, dependendo do tamanho da amostra. Tal função diria exatamente “quão provável é obter uma relação de dada magnitude (ou maior) de uma amostra de dado tamanho, assumindo que não há tal relação entre aquelas variáveis na população”. Em outras palavras, aquela função forneceria o nível de significância (nível-p), e isso permitiria conhecer a probabilidade de erro envolvida em rejeitar a idéia de que a relação em questão não existe na população. Esta hipótese “alternativa” (de que não há relação na população) é usualmente chamada de hipótese nula. Seria ideal se a função de probabilidade fosse linear, e por exemplo, apenas tivesse diferentes inclinações para diferentes tamanhos de amostra. Infelizmente, a função é mais complexa, e não é sempre exatamente a mesma. Entretanto,

em muitos casos, sua forma é conhecida e isso pode ser usado para determinar os níveis de significância para os resultados obtidos em amostras de certo tamanho. Muitas daquelas funções são relacionadas a um tipo geral de função que é chamada de normal (ou gaussiana).

Por que a distribuição normal é importante: A “distribuição normal” é importante porque em muitos casos ela se aproxima bem da função introduzida no item anterior. A distribuição de muitas estatísticas de teste é normal ou segue alguma forma que pode ser derivada da distribuição normal. Neste sentido, filosoficamente, a distribuição normal representa uma das elementares “verdades acerca da natureza geral da realidade”, verificada empiricamente, e seu status pode ser comparado a uma das leis fundamentais das ciências naturais. A forma exata da distribuição normal (a característica “curva do sino”) é definida por uma função que tem apenas dois parâmetros: média e desvio padrão.

Uma propriedade característica da distribuição normal é que 68% de todas as suas observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média, um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores, e 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média. Em outras palavras, em uma distribuição normal as observações que tem um valor padronizado de menos do que -2 ou mais do que +2 tem uma freqüência relativa de 5% ou menos (valor padronizado significa que um valor é expresso em termos de sua diferença em relação à média, dividida pelo desvio padrão).

Ilustração de como a distribuição normal é usada em raciocínio estatístico (indução): Retomando o exemplo já discutido, onde pares de amostras de homens e mulheres foram retirados de uma população em que o valor médio de WCC em homens e mulheres era exatamente o mesmo. Embora o resultado mais provável para tais experimentos (um par de amostras por experimento) é que a diferença entre a WCC média em homens e mulheres em cada par seja próxima de zero, de vez em quando um par de amostras apresentará uma diferença substancialmente diferente de zero. Quão freqüentemente isso ocorre? Se o tamanho da amostra é grande o bastante, os resultados de tais repetições são “normalmente distribuídos”, e assim, conhecendo a forma da curva normal pode-se calcular precisamente a probabilidade de obter “por acaso” resultados representando vários níveis de desvio da hipotética média populacional 0 (zero). Se tal probabilidade calculada é tão pequena que satisfaz ao critério previamente aceito de significância estatística, então pode-se concluir que o resultado obtido produz uma melhor aproximação do que está acontecendo na população do que a “hipótese nula”. Lembrando ainda que a hipótese nula foi considerada apenas por “razões técnicas” como uma referência contra a qual o resultado empírico (dos experimentos) foi avaliado.

Todos os testes estatísticos são normalmente distribuídos: Não todos, mas muitos são ou baseados na distribuição normal diretamente ou em distribuições a ela relacionadas, e que podem ser derivadas da normal, como as distribuições t, F ou Chi-quadrado (Qui-quadrado). Tipicamente, estes testes requerem que as variáveis analisadas sejam normalmente distribuídas na população, ou seja, que elas atendam à “suposição de normalidade”. Muitas variáveis observadas realmente são normalmente distribuídas, o


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que é outra razão por que a distribuição normal representa uma “característica geral” da realidade empírica. O problema pode surgir quando se tenta usar um teste baseado na distribuição normal para analisar dados de variáveis que não são normalmente distribuídas. Em tais casos há duas opções. Primeiramente, pode-se usar algum teste “não paramétrico” alternativo (ou teste “livre de distribuição”); mas isso é freqüentemente inconveniente porque tais testes são tipicamente menos poderosos e menos flexíveis em termos dos tipos de conclusões que eles podem proporcionar. Alternativamente, em muitos casos ainda se pode usar um teste baseado na distribuição normal se apenas houver certeza de que o tamanho das amostras é suficientemente grande. Esta última opção é baseada em um princípio extremamente importante que é largamente responsável pela popularidade dos testes baseados na distribuição normal. Nominalmente, quanto mais o tamanho da amostra aumente, mais a forma da distribuição amostral (a distribuição de uma estatística da amostra) da média aproxima-se da forma da normal, mesmo que a distribuição da variável em questão não seja normal. Este princípio é chamado de Teorema Central do Limite.

Como se conhece as consequências de violar a suposição de normalidade: Embora muitas das declarações feitas anteriormente possam ser provadas matematicamente, algumas não têm provas teóricas e podem demonstradas apenas empiricamente via experimentos Monte Carlo (simulações usando geração aleatória de números). Nestes experimentos grandes números de amostras são geradas por um computador seguindo especificações pré-designadas e os resultados de tais amostras são analisados usando uma grande variedade de testes. Este é o modo empírico de avaliar o tipo e magnitude dos erros ou viesamentos a que se expõe o pesquisador quando certas suposições teóricas dos testes usados não são verificadas nos dados sob análise. Especificamente, os estudos de Monte Carlo foram usados extensivamente com testes baseados na distribuição normal para determinar quão sensíveis eles eram à violações da suposição de que as variáveis analisadas tinham distribuição normal na população. A conclusão geral destes estudos é que as conseqüências de tais violações são menos severas do que se tinha pensado a princípio. Embora estas conclusões não devam desencorajar ninguém de se preocupar com a suposição de normalidade, elas aumentaram a popularidade geral dos testes estatísticos dependentes da distribuição normal em todas as áreas de pesquisa.

Objeto da Estatística: Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados,

procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Exemplo: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

Mediana, Moda e Quartis

Mediana: é o valor que tem tantos dados antes dele, como depois dele. Para se medir a mediana, os valores devem estar por ordem crescente ou decrescente. No caso do número de dados ser ímpar, existe um e só um valor central que é a mediana. Se o número de dados é par, toma-se a média aritmética dos dois valores centrais para a mediana.

É uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

A mediana, m, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:

Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:

- Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.- Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos

médios.

Se se representarem os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn:n; então uma expressão para o cálculo da mediana será:


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Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados. Consideremos o seguinte exemplo: um aluno do 10º ano obteve as seguintes notas: 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12. A média e a mediana da amostra anterior são respectivamente.

=10.75 e =11

Admitamos que uma das notas de 10 foi substituída por uma de 18. Neste caso a mediana continuaria a ser igual a 11, enquanto que a média subiria para 11.75.

Média e Mediana: Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n, X2:n, ..., Xn: “n” então uma expressão para o cálculo da mediana será:

Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

A média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores “muito grandes” ou “muito pequenos”, mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:

- for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana.

- for enviesada para a direita (alguns valores grandes como “outliers”), a média tende a ser maior que a mediana.

- for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como “outliers”), a média tende a ser inferior à mediana.

Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando uma linha vertical por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais.

Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível aos dados.

- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.

- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

Assim, não se pode dizer em termos absolutos qual destas medidas de localização é preferível, dependendo do contexto em que estão a ser utilizadas.

Exemplo: Os salários dos 160 empregados de uma determinada empresa, distribuem-se de acordo com a seguinte tabela de frequências:

Salário (em euros) 75 100 145 200 400 1700Frequência absoluta 23 58 50 20 7 2

Frequência acumulada 23 81 131 151 158 160

Calcular a média e a mediana e comentar os resultados obtidos.

Resolução: = = (75.23+100.58+...+400.7+1700.2)/160 = 156,10

Resolução: euros. m = semi-soma dos elementos de ordem 80 e 81 = 100 euros.

Comentário: O fato de termos obtido uma média de 156,10 e uma mediana de 100, é reflexo do fato de existirem alguns, embora poucos, salários muito altos, relativamente aos restantes. Repare-se que, numa perspectiva social, a mediana é uma característica mais importante do que a média. Na realidade 50% dos trabalhadores têm salário menor ou igual a 100 €, embora a média de 156,10 € não transmita essa ideia.

Vejamos de uma outra forma: Sabes, quando a distribuição dos dados é simétrica ou aproximadamente simétrica, as medidas de localização do centro da amostra (média e mediana) coincidem ou são muito semelhantes. O mesmo não se passa quando a distribuição dos dados é assimétrica, fato que se prende com a pouca resistência da média.

Representando as distribuições dos dados (esta observação é válida para as representações gráficas na forma de diagramas de barras ou de histograma) na forma de uma mancha, temos, de um modo geral:


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Moda: é o valor que ocorre mais vezes numa distribuição, ou seja, é o de maior efetivo e, portanto, de maior frequência. Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal. Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal.

Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana (se não forem susceptíveis de ordenação).

Quartis: Generalizando a noção de mediana m, que como vimos anteriormente é a medida de localização, tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m, e os outros 50% são maiores ou iguais a m, temos a noção de quartil de ordem p, com 0<p<1, como sendo o valor Qp tal que 100p% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Qp e os restantes 100 (1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Qp.

Tal como a mediana, é uma medida que se calcula a partir da amostra ordenada.Um processo de obter os quartis é utilizando a Função Distribuição Empírica.Generalizando ainda a expressão para o cálculo da mediana, temos uma expressão análoga para o cálculo dos quartis:

Qp =

onde representamos por [a], o maior inteiro contido em a.Aos quartis de ordem 1/4 e 3/4 , damos respectivamente o nome de 1º quartil e 3º quartil. Exemplo: Tendo-se decidido registrar os pesos

dos alunos de uma determinada turma prática do 10º ano, obtiveram-se os seguintes valores (em kg):

52 56 62 54 52 51 60 61 56 55 56 54 57 67 61 49

a) Determine os quantis de ordem 1/7, 1/2 e os 1º e 3º quartis.b) Um aluno com o peso de 61 kg, pode ser considerado “normal”, isto é nem demasiado magro, nem demasiado gordo?

Resolução: Ordenando a amostra anterior, cuja dimensão é 16, temos:

49 51 52 52 54 54 55 56 56 56 57 60 61 61 62 67


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a) 16 . 1/7 = 16/7, onde [16/7] = 2 e Q1/7 = x3 : 16 = 52 16 . 1/4 = 4, onde Q1/2 = [x8 : 16 + x9 : 16]/2 = 56 16 . 1/2 = 8, onde Q1/4 = [x4 : 16 + x5 : 16]/2 = 53 16 . 3/4 = 12, onde Q3/4 = [x12 : 16 + x13 : 16]/2 = 60.5

b) Um aluno com 61 kg pode ser considerado um pouco “forte”, pois naquela turma só 25% dos alunos é que têm peso maior ou igual a 60.5 kg.

Probabilidade

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.

Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:

- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6}

C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 -

P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

A

BS

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A

B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)


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Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes

o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.

- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)


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02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Comoas 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que

a1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =

41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =


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06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,

V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os

seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e

como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos:

= =

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

ANOTAÇÕES

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