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7/22/2019 LISTA DE EXERCCIOS DE MATEMTICA.pdf

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anpec associao nacional decentros de ps-graduaoem economia

EXERCCIOS DE MATEMTICA


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NDICE

NOES DE CONJUNTO..........................................................................3 NOES DE GEOMETRIA ANALTICA................................................8 LGEBRA LINEAR...................................................................................15 FUNES...................................................................................................29

Funes de uma varivel real..................................................................................... 29Funes de vrias variveis reais................................................................................ 48Integrais ...................................................................................................................... 62

SEQUNCIAS E SRIES..........................................................................70

EQUAES DIFERENCIAIS E EM DIFERENAS..............................74 GABARITOS...............................................................................................84


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NOES DE CONJUNTO

QUESTO 01 (ANPEC-1990):Dados os conjuntos:A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5} e C = {0}, determine quais das seguintes afirmaes sverdadeiras ou falsas:

(0) A X C tem 0 elementos.(1) P(P(B)) tem mais de 200 elementos [nota: se x um conjunto, P(x) o conjunto da

suas partes].(2) (A B) X A tem mais de 5 e menos de 10 elementos.(3) (A B) X (A B) = (A B) X (A B).(4) (A B) C = (A B) C.

QUESTO 01 (ANPEC-1991):Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas:

(0) O conjunto de pontos num segmento numervel.(1) O conjunto de nmeros reais num intervalo fechado finito.(2) Entre dois nmeros racionais sempre existem nmeros irracionais.(3) Os conjuntos infinitos no so enumerveis.(4) A hipotenusa de um tringulo com catetos iguais a 1 (um) um nmero irracional.

QUESTO 02 (ANPEC-1991):Dados os conjuntos A = {(x,y) | y 3 + 2x, x R}, B = {(x,y) | y 3 + 3x, x R}, C ={(x,y) | y 2 + 2x, x R}.

(0) Todo elemento de C pertence a B.(1) Todo elemento de C pertence a A.(2) A B um conjunto convexo.(3) A B um conjunto convexo.

(4) C B um subconjunto de A.

QUESTO 12 (ANPEC-1991):Dados os conjuntos A = {(x,y) | y 2(-18 + 9x - 2 x ), x R} e B = {(x,y) | y 0, x R},determine a rea formada pela interseo de A e B.


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QUESTO 01 (ANPEC-1992):Indique as afirmativas verdadeiras ou falsas:

(0) O conjunto do nmero irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto de R.(1) A unio de dois intervalos abertos sempre um intervalo aberto.(2) A diferena entre dois conjuntos A e B, sendo A um intervalo aberto e B um

intervalo fechado, pode ser um intervalo aberto.(3) A interseo no vazia de intervalos abertos sempre um intervalo aberto.(4) A unio de dois intervalos fechados disjuntos nunca constitui um intervalo fechado.

QUESTO 01 (ANPEC-1993):Seja A um conjunto qualquer. Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) Um ponto de acumulao de A sempre um ponto de A.(1) Um ponto aderente de A sempre um ponto interior de A.(2) Um ponto aderente necessariamente um ponto de fronteira.(3) O conjunto A aberto se contm todos os seus pontos aderentes.(4) O conjunto A fechado se contm todos os seus pontos de acumulao.

QUESTO 01 (ANPEC-1994):Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Indique se as afirmativas so verdadeiras ou falsas:

(0) A = B se e somente se para todo A x tem-se que, B x e para todo B x tem-seque A x .

(1) c B A B A .(2) ).()()()( B A B A B A B A cc (3) Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Ento A B.(4) Seja A = {x: 0 x 10} e B = {x: 5 x 15}.

Logo A - B = {x: 0 x < 5 e 10 < x 15}.

QUESTO 09 (ANPEC-1995):A respeito dos trs subconjuntos de definidos por

A = {(x, y) tal que 122 y x }B = {(x, y) tal que 1)1()1( 22 y x }C = {(x, y) tal que |x| + |y| 1}


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Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas:

(0) O conjunto BC tem rea inferior a 1/3.(1) O conjunto AB C vazio.

(2) O conjunto AB tem rea igual a zero.(3) O conjunto AC possui o dobro de elementos do conjunto AB.

QUESTO 12 (ANPEC-1996):Identifique as afirmativas verdadeiras e falsas.Seja:

I = conjunto de todas as pessoas inteligentes.R = conjunto de todas as pessoas ricas.RJ = conjunto das pessoas que moram no Rio de Janeiro.

Ento:

(0) R I c Conjunto de pessoas ricas porm no inteligentes.(1) R I RJ c Conjunto das pessoas ricas fora do Rio de Janeiro ou das pessoas

inteligentes fora do Rio de Janeiro.(2) R RJ Conjunto das pessoas ricas ou das pessoas que moram no Rio de Janeiro

ou das pessoas ricas que moram no Rio de Janeiro.(3) cc R RJ I Conjunto das pessoas no inteligentes, no ricas e que no moram

no Rio de Janeiro.(4) cc RJ RJ

QUESTO 13 (ANPEC-1996):Sejam A, B, C e D conjuntos contidos em um conjunto universo U. Indique se as afirmativabaixo so verdadeiras ou falsas:

(0) Se cc B A ento U B A .(1) )()()( C BC AC B A (2) Se A e B so finitos ento o nmero de elementos das partes de B A igual ao

nmero de elementos das partes de A mais o nmero de elementos das partes de B.(3) )()()( C BC AC B A .(4) )()()()( D BC A DC B A .


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QUESTO 01 (ANPEC-1997):Seja o conjunto dos nmeros reais. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes seguir:

(0) A unio de dois intervalos abertos de sempre um intervalo aberto de.(1) O conjunto dos nmeros irracionais entre 0 e 1 constitui um intervalo aberto de (2) f: uma funo contnua em x = xo desde que f(xo) exista.(3) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a, para a,b

nmeros reais positivos.

QUESTO 01 (ANPEC-2000):A respeito dos subconjuntos A, B, C definidos abaixo, no2, responda V (verdadeiro) ou F(falso):

(0) B C = . em que, }1)1()1(:),{( 222 y x R y x A (1) B A = . }2:),{( 2 xy R y x B (2) rea(A C) < 2. }2122:),{( 2 y x R y xC (3) rea(B) < rea(AC).

QUESTO 01 (ANPEC-2001):A respeito dos subconjuntos A, B, C definidos abaixo, no2, responda V (verdadeiro) ou F(falso):

(0) )( B AC . em que, }222:),{( 2 y x R y x A (1) C B A . }1)1()4(:),{( 222 y x R y x B (2) C B . }02,53:),{( 2 y x R y xC (3) rea de 11C A .(4) cc C B A , onde para 2 R X se define }),(:),{( 2 X y x R y x X c .

QUESTO 01 (ANPEC-2002):A respeito dos subconjuntos A, B, C e D definidos abaixo, no2, responda V (verdadeiro)ou F (falso):

(0) B A ; em que, }1;),{( 2 y x y x A (1) AC B )( ; }1;),{( 2 y x y x B


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(2) )( C B D ; }1;),{( 2 y x y xC (3) )( C B D ; }1;),{( 222 y x y x D (4) A D .

QUESTO 01 (ANPEC-2003):A respeito dos conjuntos A, B, C e D definidos abaixo, no, assinale V (verdadeiro) ou F(falso):

(0) C B B A ; em que, }3;{ x x A (1) AC A B A )()( ; }32;{ 2 x x x B (2) )( C B ; }31;{ ln xe xC (3) AC B )( ; }1,4);,{( y x y x D

(4) DC B .

QUESTO 01 (ANPEC-2004):Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) para todosa e b , se ba ento ba ;

(1)

25,

232

21| x x ;

(2) 4,2642| x x x ;(3) se 1|, y x y x ento 1 y x ;(4) 3,0692| 22 x x x x .

QUESTO 01 (ANPEC-2011):Julgue as afirmativas:

(0) Se e , ento.

(1) Se so conjuntos finitos no vazios e sobrejetiva, ento.

(2) Seja uma funo contnua, tal que , para todo

. Ento .


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(3) Seja dada por A funo no sobrejetiva e para todo .

(4) Sejam dadas por e . A funo composta sobrejetiva.

NOES DE GEOMETRIA ANALTICA

QUESTO 03 (ANPEC-1991):Analise os seguintes pares de retas e assinale se falsa ou verdadeira cada afirmacorrespondente.

(0) 3x - 5y = 1 e 2x + y = 2 so perpendiculares.(1) 2x + 7y = 1 e x - y = 5 no so perpendiculares.(2) 3x - 5y = 1 e 5x + 3y = 7 so perpendiculares.(3) -x + y = 2 e x + y = 9 no so perpendiculares.(4) y - 2x = 3 e 6x - 3y = 2 so paralelas.

QUESTO 09 (ANPEC-1991):

Calcule a distncia entre os valores A =68 e B =

34 .


Sabendo-se que a =3

2

1

a

a

a

um vetor do plano x + 2y + z = 0 e que 231 aa , determine

2a .

QUESTO 02 (ANPEC-1992):Dadas as duas esferas representadas respectivamente por:

020486222 z y x z y x e 0411086222 z y x z y x . Indique asafirmativas verdadeiras ou falsas:

(0) Ambas se situam inteiramente no primeiro octante.


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(1) Sua interseo define um crculo situado num plano horizontal. (paralelo a OXY).(2) O segmento de reta definido pelos seus centros ortogonal ao eixo vertical. (OZ).(3) As esferas no se interceptam.(4) As esferas so concntricas.

QUESTO 03 (ANPEC-1992):Determine a rea do tringulo formado pelos pontos a = (3,3,3), b = (1,1,2),c = (1,3,1).

QUESTO 08 (ANPEC-1993):Assinale as afirmaes verdadeiras e as falsas:

(0) Em 3 quatro vetores quaisquer no nulos so sempre linearmente dependentes.(1) O ncleo de uma transformao linear um subespao vetorial de dimenso igual

a 1.(2) Um espao vetorial possui uma nica base.(3) O conjunto das solues de um sistema de equaes lineares um espao vetorial.

(4) Os vetores )1,0,0()2,1,0(),3,2,1(

weuu so linearmente independentesem 3 .

QUESTO 03 (ANPEC-1994):Sejam os seguintes pontos:

A = ( , 4) B = (-1, 2) C = (4, -1) D = (3, 1) E = (, 4)

Determine de tal modo que a reta contendo os pontos A e B seja perpendicular retacontendo os pontos C e D. Em seguida, determine de forma que a reta contendo E e Bseja paralela reta contendo C e D. Qual o valor de ( + )?

QUESTO 12 (ANPEC-1994):Calcule a rea compreendida entre as curvas:

y - x = 0; y = 0; y + x - 6 = 0 e y - x + 4 = 0.


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Para que valor de k, a reta que passa por (8,0) e (1,7) tangente a curva ? xk

y

QUESTO 11 (ANPEC-1996):Indique se as afirmativas so verdadeiras ou falsas:

(0) No 3 , a distncia entre os pontos (1,2,3) e (2,0,5) 3.

(1) Se x e y so vetores no n , ento eles so paralelos se e somente se seu produtointerno for zero.

(2) y x y x .

(3) Considere 4,0,3 x e 2,8,2 y , vetores no 3 . Ento 4,5 y x e dezvezes o coseno do ngulo entre x e y igual a 7.

(4) No 2 , a inclinao da reta que passa nos pontos 0,03,1 e igual a 3.


Para as afirmaes abaixo x e y so vetores em3

e um nmero real arbitrrio. Indiquequais so verdadeiras e quais so falsas.

(0) Dois vetores so ortogonais se seu produto interno nulo.(1) A norma de um vetor sempre maior ou igual a zero.(2) y x y x .(3) x x . .


Com relao inequao: )3)(2(131322 x x x x

(0) O maior valor de x que a satisfaz 4 e o menor -2(1) O menor valor de x que a satisfaz 1 e o maior 5(2) satisfeita para quaisquer valores de x compreendidos entre 1 e 7(3) Somente satisfeita com x menor do que 13 ou maior do que 16


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QUESTO 05 (ANPEC-2000):Calcule a distncia entre a origem )0,0,0( e o ponto sobre a superfcie 12 xy z que lhe mais prximo (da origem).


Sendo V o espao vetorial de dimenso 3 sobre o corpo R, munido do produto internEuclidiano(.): y x y x y x y x y x ,;. 332211 V, define-se uma norma . pelo produtointerno: x x x . , x V. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) Se },{ 21 uu um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) de V, ento}0,,{ 21 uu tambm LI em V;

(1) Se todos os vetores de V so combinaes lineares de12 k vetores de V (paraqualquer k , inteiro positivo) entok 2 vetores neste espao so LI;

(2) Se Z Y X ,, so vetores LI do espao vetorial V, ento os vetores

Z Y X C Z Y X B Z X A ;21;3 tambm sero LI em V;

(3) 0 ponto 18,16,3C no pertence reta que passa pelos pontos 2,0,5 A e 4,2,4 B ;

(4) Sejam vuu ,, 21 vetores em V tais que 11. Dvu , 22. Dvu e o vetor 21 uu paralelo ao vetorv . Ento,

v

D Duu 1221 .


(0) O plano }15952:),,{( 3 z y x R z y x contm os pontos )3,2,1( , )2,1,1( e)1,2,2( ;

(1) O plano }1232:),,{( 3 z y x R z y x ortogonal ao plano}17:),,{( 3 z y x R z y x ;

(2) A interseo dos trs planos }432:),,{( 3 z y x R z y x ,}6:),,{( 3 z y x R z y x e }10432:),,{( 3 z y x R z y x o conjunto

vazio;


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(3) O plano }2032:),,{( 3 z y x R z y x tangente bola}11)3()2(:),,{( 2223 z y x R z y x no ponto (3, 4, 3);

(4) A distncia entre os planos }1232:),,{( 3 z y x R z y x e o plano}1332:),,{( 3 z y x R z y x menor do que 1(um).

QUESTO 02 (ANPEC-2002):Considere os planos1 e 2 definidos pelas sequintes equaes:

1 : 32 z y x e 2 : 632 z y x

Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) O vetor direo da reta interseo aos planos1 e 2 : )1,1,1( .(1) A equao do plano passando pelo ponto )1,1,2(P e perpendicular reta interseode 1 com 2 : 0 z y x .

(2) A equao do plano contendo a reta interseo de1 com 2 e o ponto )1,2,1( Q : 943 z y x .

(3) O ponto sobre o plano1 que est menor distncia de )1,2,1( Q temcoordenadas: )3/1,3/5,3/2( .

(4) A menor distncia entre o ponto )4,2,1( Q e o plano 2 : 14 .


(0) Os vetores )1,1,1( )1,2,1( e )1,0,1( formam uma base de3 .(1) Se S o espao vetorial gerado pelos vetores 1,2,1 e 1,0,3 e T o espao

vetorial gerado por 2,2,1 e 3,1,2 , ento todo vetor que passa pela origem nadireo de 1,1,1 pertence T S .

(2) Os vetores )3,2,1( e )2,1,4( so ortogonais.

(3) O sistema de equaes lineares b Ax possui uma infinidade de solues se, esomente se, a dimenso do subespao nulo (ncleo) da matriz A , A N , for diferentede 0 ( 0dim A N ).

(4) O produto AB dos operadores auto-adjuntos A , B auto-adjunto se, e somente se, BA AB .


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(0) A equao da reta que passa por 1,20 P e perpendicular reta que passa pelos

pontos 2,21 P e 0,52P 523 y x .(1) As retas 0000 c yb xa e 0111 c yb xa interceptam-se caso01010 bbaa .

(2) Se existe tal que )2(3 00 x x , )3(5 00 y y e)5(4 00 z z , ento o ponto 0000 ,, z y xP est sobre a reta determinada por

)5,3,2(1P e )4,5,3(2P .(3) Se a distncia do ponto ),,( z y xP ao ponto )0,2,1( Q 5, ento

2042222 y x z y x .(4) A equao do plano perpendicular ao plano 0532 z y x e que passa pelos

pontos )4,6,2(0 P e )5,6,3(1 P 033 z y x .


(0) Se 1v e 2v so vetores linearmente independentes non , ento )21( 21 vv

e

)22( 21 vv

so linearmente independentes non .

(1) Dados nvv 21, e 2121 ,,, bbaa , se 22112211 vbvbvava

implica 11 ba e22 ba , ento 1v e 2v so linearmente independentes.

(2) As coordenadas do vetor 3)1,1,3( na base ordenada )1,1,1(),0,1,1(),0,0,1( 321 vvv

so 1,2,4 321 x x x , em que i x a

coordenada em relao ao vetor 3,2,1, ivi .(3) Seja nnT : uma transformao linear. Se n x x 10, so tais que 0)( 0 xT

e

0)( 1 y xT

, ento y xb xaT )( 10 quaisquer que sejam os nmerosba , .(4) Seja 3:T uma transformao linear. Ento, existe 3321 ),,( aaa tal que

za ya xa z y xT 321

),,( .

QUESTO 02 (ANPEC-2004):Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) A equao da reta que passa pelos pontos (2,-1) e (1,1) y+2x = 3.


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(1) O plano tangente superfcie dada por z = x2+y-xy no ponto (xo,yo) = (1,1) oconjunto T = {(x,y,z) 3 tal que z = x}.

(2) Se f(x) uma funo cncava e r(x) uma sua reta tangente qualquer, ento r(x) f(x), para qualquer x no domnio de definio de f.

(3) A interseo do plano z-x-y = 3 com o plano z+x+y = 4 uma reta em3.

(4) Em3, a interseo de dois planos sempre no-vazia.

QUESTO 02 (ANPEC-2011):Considere as retas e no plano, definidas por:

em que e so vetores no nulos ortogonais e ,respectivamente. Denotamos por a distncia de um ponto uma reta do planoJulgue as afirmativas:

(0) Se as retas e so perpendiculares, ento .(1) Se e paralela reta dada por , ento(2) Considere em os valores e Se pontos distintos e

so tais que , ento(3) As retas e se interceptam formando um tringulo.

(4) Se e ento e representam a mesma reta.


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LGEBRA LINEAR


Dados531

031592 231 be A , determine o vetor correspondente soluo do

sistema Ax = b. Em cada opo assinale se falsa ou verdadeira.

(0) T 301 .(1) T 543 .(2) T 212 .(3) T 305 .

(4) T 012 .

QUESTO 10 (ANPEC-1990):Em cada opo abaixo assinale se falsa ou verdadeira:

O determinante da matriz203120042

A ...

(0) igual a 3.(1) menor que zero.(2) menor que 10.(3) maior que 15.(4) maior que 30.


Dada a matriz 4121

A , determine os valores de ( 0) que satisfazem a equao Ax= x, assinale cada opo como falsa ou verdadeira.

(0) 1 e -1.(1) 2 e 3.(2) -2 e 4.(3) -4 e 5.


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(4) -3 e 3.


Sabendo-se que A = [3 1 2], B =161514

e C =31 , indique se as afirmativas abaixo so

verdadeiras ou falsas.

(0) O produto ABC tem dimenso 1x1.(1) O produto C B t no est definido.(2) O produto t t A B est definido.(3) Para achar BC somamos a primeira coluna de B a 3 vezes a segunda coluna de B.(4) B tem duas linhas linearmente independentes.


Determine o posto da matriz721103412

.

QUESTO 07 (ANPEC-1992):Indique, para o sistema abaixo, quais as afirmativas verdadeiras e quais as falsas:

52323

122323

4321

4321

4321

4321

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

(0) Duas equaes podem ser ignoradas ao mesmo tempo, sem que isso altere oconjunto de solues do sistema.

(1) A quarta equao pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de solues dsistema.

(2) A primeira equao pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de soluedo sistema.

(3) H um nmero finito de solues.(4) O conjunto de solues do sistema vazio.


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Dada a matriz M =1202

843031021242

, indique se as afirmativas abaixo so falsas ou

verdadeiras:

(0) M invertvel.(1) Seu posto trs.(2) M uma matriz anti-simtrica.(3) H trs colunas lineares independentes.(4) As linhas de M so lineares independentes.


Dada a matriz2312 , indique as afirmaes verdadeiras e as falsas:

(0) Os autovalores tm sinais contrrios.(1) Os autovetores so ortogonais.(2) A cada autovalor est associado apenas um autovetor unitrio.(3) Os autovalores so imaginrios puros.

(4) H autovetores formando ngulo de 120 graus.

QUESTO 11 (ANPEC-1992):Se uma matriz quadrada A, de ordem n, tem todos os elementos da diagonal principadiferentes de zero e cada 0ija se i < j, classifique como falsa ou verdadeira:

(0) O posto da matriz no pode ser inferior a n.(1) Det(A) = 2n se cada elemento da diagonal principal for igual a dois.

(2) O determinante s pode ser calculado se cadaija , i > j, for conhecido.(3) A matriz A triangular.(4) Det(A) = 4 se n = 2 e 22211 aa , independentemente dos elementos abaixo da

diagonal principal.



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Dados:1285

,,241

112321

C

z

y

x

X A , decida se so verdadeiras ou falsas as

afirmaes abaixo:

(0) A matriz inversa de A possui cinco elementos negativos.(1) O sistema AX = C possui a soluo nica x = 2, y = 3, z = 1.

(2) A matriz A equivalente matriz

224112

321 B .

(3) O posto da matriz A igual a 2.(4) O trao da matriz A igual a 0.

QUESTO 08 (ANPEC-1994):Seja a matriz A definida por: ')'( 1 X X X X I A n . Marque os itens verdadeiros e osfalsos.

(0) A matriz A s definida se a matriz X possuir n colunas.(1) A matriz A idempotente.(2) O trao da matriz A pode ser igual a n.(3) A matriz A no-singular.(4) ' A A .

QUESTO 14 (ANPEC-1994):Se A, B e C so matrizes, indique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaeabaixo:

(0) Para quaisquer A, B e C, todas quadradas de mesma ordem, tr(ABC) = tr(CBA).(1) Se AB = 0, ento, necessariamente, ou A ou B nula, ou ambas so nulas.(2) Se A, B e C so quadradas de mesma ordem e no singulares, ento,

.)( 1111 A BC ABC (3) Para quaisquer A, B e C, quadradas e de mesma ordem,

det(A + B + C) = det(A) + det(B) + det(C).(4) Se A quadrada e no singular, ento, det(2A) = 2[det(A)].



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Dado o sistema02121

2

z y x

zk x

kz y x

Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.

(0) para k = 1, existem infinitas solues.(1) para k = 3, existe uma nica soluo.(2) para k = 2, existem infinitas solues.(3) para k = 2, no existe soluo.(4) para k = 2, existe uma nica soluo.

QUESTO 13 (ANPEC-1995):Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.

(0) Se A uma matriz ortogonal, ento det(A) pode ser negativo.(1) Seja A uma matriz quadrada de ordem mpar. Se A = -A, ento, det(A) = 0.(2) Seja A uma matriz no singular de ordem n. Se A =1 A , ento, A necessariamente

uma matriz identidade.(3) Seja A uma matriz triangular no singular, ento, se os elementos fora da diagon

principal so todos negativos, det(A) positivo.(4) Dadas duas matrizes A e B, se suas inversas existem, ento, det(A) 0.

QUESTO 14 (ANPEC-1996):Indique as afirmativas verdadeiras e falsas:Considere as matrizes A e B, ambas quadradas de ordem n. Afirma-se:

(0) Se A no-singular ento: A

A11 .

(1) ' A A .(2) Trao B A Trao A + Trao B .

(3) Sejam ,,..., 21 n os autovalores de A. Se A no singular, 01

n

ii .

(4) Sejam n ,..., 21 os autovalores de B, e 1 A B . Ento .111 iniini

(5) Se A no singular, ento 11' A A .(6) Se A e B so no singulares, ento 111 B A B A .


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QUESTO 15 (ANPEC-1996):Considere o sistema linear:

0022

02

4321

4321

4321

x x x x x x x x

x x x x

Indique as afirmativas verdadeiras e falsas:

(0) O sistema acima no tem soluo.(1) Caso 04 x , o sistema acima tem somente soluo trivial.(2) Caso 24 x , as solues para 321, xe x x so todas positivas.

QUESTO 13 (ANPEC-1997):Sejam A e B matrizes quadradas de mesma dimenso. Julgue as afirmativas abaixo:

(0) Se At a transposta de A, ento det( AtA ) 0.(1) Se A simtrica e no-singular, ento A-1 simtrica.(2) O espao gerado pelas colunas de B igual ao espao gerado pelas suas linhas.(3) Se A simtrica, ento A define um operador linear autoadjunto em relao a um

base ortonormal.


Considere a matriz413132514

A . Julgue as afirmativas abaixo:

(0) trA A 11]98)[(det 2 (onde trA o trao de A).(1) A uma matriz idempotente.(2) 9211)det( A .(3) O ncleo do operador linear definido pela matriz A o vetor zero.

QUESTO 15 (ANPEC-1997):Considere o seguinte sistema linear em x, y, z:


21/85

21

0202

02

y x

zax

z y x

Julgue as afirmativas abaixo:(0) Quando a = 10, o sistema no tem soluo no-trivial.(1) No existe soluo no-trivial, qualquer que seja o valor de a.(2) Se a = 5, existe uma nica soluo no-trivial.(3) Existe uma nica soluo no-trivial, qualquer que seja o valor de a.

QUESTO 03 (ANPEC-1998):Uma matriz A, quadrada de dimenso n dita ortogonal quando AtA= AAt = In, onde osobrescritot denota transposio e In a identidade de dimenso n. Considere uma matrizortogonal A de ordem n. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmae(sobre A) abaixo:

(0) O valor absoluto do seu determinante igual a um.(1) A-1= At.(2) Suas colunas constituem uma base paran.(3) Se x e y so vetores (coluna) den tais que y = Ax ento o comprimento de y

maior que o comprimento de x.(4) O produto interno de Ax por Ay igual ao produto interno de x por y multiplicad

pelo determinante de A.(5) Sua inversa e sua transposta so tambm matrizes ortogonais.

QUESTO 15 (ANPEC-1998):Considere uma matriz de nmeros reais X, nem todos nulos,

(0) A matriz XtX sempre simtrica e singular(1) O escalar vtXtXv, onde v vetor no nulo, no-negativo(2) Os valores caractersticos de XtX podem ser negativos

(3) Se X quadrada ento Xt

X invertvel.

QUESTO 01 (ANPEC-1999):Com relao ao sistema de equaes:


22/85

22

291

32

0221312

z y x

z y x

z y x

(0) Possui infinitas solues.(1) No possui soluo.(2) Existe uma soluo para a qual z = 2.

QUESTO 06 (ANPEC-1999):Seja X matriz quadrada de ordem n cujos elementos so nmeros reais nem todos nulosIndique se falsas ou verdadeiras as afirmaes:

(0) X necessariamente no-singular(1) Se 1, 2, 3,, n forem os seus valores caractersticos e seX for singular, o

produto deles ser necessariamente nulo.(2) A matriz inversa deX, se existir, atender necessariamente equao:X.X-1 = I,

ondeI representa a matriz identidade de ordem n.(3) Quando qualquer das linhas deX pode ser expressa como combinao linear de

outra(s), pelo menos um dos valores caractersticos nulo.

QUESTO 14 (ANPEC-1999):Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a matrizA:

21002142

1224

0111

A

(0) Suas colunas so vetores linearmente independentes.(1) Seu determinante nulo.(2) matriz ortogonal.(3) Suas colunas constituem uma base para R 4. (4) Suas linhas constituem uma base para R 4.


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23

QUESTO 09 (ANPEC-2000):Seja T o operador linear cuja matriz na base natural 1,0,0,0,1,0,0,0,1 dada por

100036064

. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) T possui dois autovalores distintos;(1) T um operador diagonalisvel;(2) Existe um autoespao de dimenso 2 associado ao operadorT ;(3) Autovetores de T associados autovalores diferentes so ortogonais;(4) Os vetores 6,6,2t , t , pertencem ao autoespao deT associado a um

dos seus autovalores.


(0) Um sistema homogneo de equaes lineares sempre tem soluo;(1) A regra de Cramer para resoluo de um sistema de equaes lineares s pode se

aplicada se a matriz dos coeficientes do sistema for inversvel;(2) Para que um sistema homogneo de equaes lineares tenha infinitas solues bas

que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero;(3) Um sistema homogneo dem equaes lineares comn incgnitas tem infinitas

solues se mn ;(4) Qualquer sistema dem equaes lineares comn incgnitas tem infinitas solues semn .


Seja T o operador linear cuja matriz na base natural 1,0,0,1 dada por

2213

M .

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) A imagem deT o 2 R ;(1) O ncleo deT uma reta em 2 R ;(2) Os autovalores deT so positivos e distintos;(3) Os auto-vetores deT so ortogonais;(4) O operadorT possui um operador inverso1T tal que para todo ponto 2),( R y x

tem-se ),()),((1 y x y xT T .


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24


(0) Seja A uma matriz no-singular com autovalores1r , 2r e 3r , com 321 r r r . Se

11 r e 6det A Atrao , ento 231

2 r r r .

(1) Uma matriz singular se, e somente se, possui um autovalor igual a 0.(2) Seja I uma matriz identidade nn e X uma matriz k n com posto igual ak .

Ento, se '' 1 X X X X I A ento A simtrica e A A A det'det .(3) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma dimenso. Se BA AB ento

222 detdetdet2detdet B B A A B A .(4) Sejam A e B matrizes triangulares inferiores nn , cujos elementos da diagonal

principal so dados por nnaa ,...,11 e nnbb ,...,11 , respectivamente. Ento

iiiin

iba B A

1det .


Considerando a matriz

011

310301

A , assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso:

(0) A inversvel.(1) Todos os autovalores de A so reais.(2) A diagonalizvel.(3) A tem um autoespao de dimenso 2.

(4) Se P uma matriz inversvel tal que

c

b

a

PAP

001000

1 , ento 0c .


Sejam

223111312

A ,

3

2

1

x

x

x

x e

3

2

1

b

b

b

b . Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):


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25

(0) se

0

000

b ento a nica soluo do sistema linear b x A a soluo 0 x ;

(1) o sistema b x A tem soluo se e somente se 0321 bbb ;(2) se b x A , ento b A x 1 ;(3) existem duas linhas linearmente dependentes na matriz A;(4) o posto da matriz A 2.

QUESTO 04 (ANPEC-2004):Responda V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (1,2,4,-1,5,1), (2,4,-1,-1,0,0) e (6,1,0,2,2,2) so linearmente

independentes.(1) Os vetores (1,3,4), (3,-1,1), (4,6,-1) e (0,1,2) so linearmente independentes.(2) Os vetores (1,1,1), (1,2,3) e (0,1,2) so linearmente dependentes.(3) Se u e v so dois autovetores de uma matriz X associados a dois autovalores

distintos, entou e v so colineares.(4) Se X uma matriz inversvel e simtrica, ento seus autovetores so dois-a-doi

ortogonais.

QUESTO 05 (ANPEC-2004):Responda V (verdadeiro) ou F (falso):(0) Seja A uma matriz 22 com det(A) = 3 e tr(A) = 4. Se x e y so seus autovalore

ento x2+y2 > 10.(1) Seja X uma matriz 1008 com posto igual a 8 e seja I a matriz identidade 100100

Ento )')'(( 1 X X X X I tr 100-88 = 36, em que tr denota o trao da matriz.(2) Sejam A e B duas matrizes NN. Se BA AB , ento )()( BAtr ABtr , em que tr

denota o trao da matriz.(3) Seja A uma matriz simtrica no-singular definida positiva. Ento no

necessariamente tr(A) > 0, em que tr denota o trao da matriz.(4) Seja A uma matriz simtrica 22 no-singular definida negativa. Ento tr(A)


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26

Dada a matriz

(0) O polinmio caracterstico de A

produto de fatores lineares diferentes.(1) Se so os autovalores de A, ento .(2) A diagonalizvel.(3) Seja a matriz identidade de dimenso4x4. Pode-se garantir que .(4) A dimenso do ncleo da matriz maior ou igual a dois.


Avalie as afirmativas:

(0) SejaT : 44 RR um operador linear auto-adjunto. A matriz deT em relao basecannica de 4R simtrica.

(1) Se uma matriznxn A ortogonal, ento AA = I , em que I a matriz identidade deordem n.

(2) A matriz ortogonal.(3) Os vetores , e so linearmente dependentes.

(4) Os vetores , e so ortogonais.


Avalie as afirmativas abaixo. Seja:0110

A .

(0) Os autovalores de A so 1 e -1.(1) O vetor (1,1) autovetor associado ao autovalor 1 e o vetor (-1,1) autoveto

associado ao autovalor -1.(2) A matriz A no ortogonal.(3) Seja I a matriz identidade de ordem 2. As matrizes A - I e A + I so inversveis.(4) Qualquer vetor (x,y) combinao linear dos autovetores de A.


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27

QUESTO 02 (ANPEC-2006):Avalie as opes:

(0) Seja A uma matriz nn tal que para todo u,vR n

tem-se que uAv = -vAu. Ento osautovalores de A so todos negativos.(1) Seja A uma matriz nn tal que para todo u,vR n tem-se que uAv = -vAu. Ento

todo vetor v ortogonal sua imagem por A.(2) Toda matriz quadrada positiva semi-definida de posto 1 simtrica.(3) Toda matriz quadrada simtrica de posto 1 positiva semi-definida.(4) Seja A uma matriz invertvel e1 A sua inversa, ento ).det()det( 11 A A


Avalie as afirmativas. Seja:4/34/14/14/3

A .

(0) Os autovalores de A so 1 e 2.(1) Os vetores (-1,1) e (1,1) so autovetores da matriz A.

(2) Seja k A o produto de A por si mesma k vezes. Ento2/12/12/12/1

lim k k

A .

(3) Os vetores (-2, 2) e (2, 2) tambm so autovetores.(4) A matriz A nilpotente.


Sejam 1 e 2 os autovalores de 3227 . Calcule 1 2 - ( 1 + 2 ).


Seja uma matriz real . Considere o sistema abaixo e julgue asafirmativas:


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28

(0) Se o posto de menor do que , ento o sistema no tem soluo ou possui umnmero infinito de solues.

(1) Se o vetor combinao linear das colunas de , ento o sistema admite soluo(2) Se e autovalor de , ento o sistema possui uma nica

soluo.(3) A matriz , em que a transposta de , uma matriz simtrica.(4) Se e so solues do sistema , ento

tambm soluo de .

QUESTO 06 (ANPEC-2011):Considere as transformaes lineares e definidas por:

Seja a matriz de relativa base cannica de . Julgue as afirmativas:

(0) L sobrejetora.(1) Se tal que , ento base para o Ncleo de L.

(2) .(3) A possui trs autovalores distintos e, portanto diagonalizvel.(4) tal que , ento autovetor de associado ao autovalor .

QUESTO 12 (ANPEC-2011):Seja a matriz qual est associado o sistema de equaes diferenciais comcoeficientes constantes reais

Avalie os seguintes itens:

(0) Para e , os autovalores de so e .(1) A origem um ponto de sela se e .(2) Para e , os autovalores de so nmeros reais

negativos distintos.


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29

(3) A origem um ponto de equilbrio assintoticamente estvel para

e .(4) A origem um ponto de equilbrio assintoticamente estvel para

e .

FUNES

Funes de uma varivel real

QUESTO 02 (ANPEC-1990):Se ,100,)( ae x x x a examine as seguintes afirmaes:

(0) A funo crescente.(1) A funo d/dx crescente.(2) )(lim

0 x

x.

(3) )(lim x x

.

(4)

22)()(,0,0 y x y xento y xSe .


Considere ,,,, 43223 t zt yt x z y xw calcule a derivadadt dw para t = 1.


Dado ,02,012,0)(0)(

t t xondee y x

determine dy/dt para t = 9.

QUESTO 04 (ANPEC-1991):Suponha que para uma economia se manter em equilbrio, o investimento deva crescer dacordo com a equaoI(t) = I(0) t e 03,0 onde t e 03,0 = exp(0,03t)


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30

Qual a taxa percentual de crescimento correspondente a ela?


Dado que z = (6x -2 x )( 2 y - 2 ), x = -3t, y = 53t e =t

e + 1, determine o valor de dz/dt para t = 0.

QUESTO 06 (ANPEC-1991):Determine o valor da funo(x) = 10 + 5x + 32 x - 3 x quando ela passa pelo seu ponto deinflexo.

QUESTO 04 (ANPEC-1992):Determine o menor valor positivo para k de tal forma que a funo y = sen(x - k ) tenha um

ponto de mximo em2

5 x .


Dado que (x) = x

xsen 8 para x 0, quando deve valer(0) para que seja contnua em R?

QUESTO 10 (ANPEC-1992):Dada a funo 312 x x y , x R, assinale como falsa ou verdadeira cada afirmao:

(0) A funo possui dois pontos crticos.(1) Um dos pontos crticos um ponto de inflexo.(2) No intervalo (-2,2), de seu domnio, a funo sempre crescente.(3) A funo cncava para valores negativos de x.(4) Quando x = 2 a funo atinge o seu mximo valor em seu domnio.

QUESTO 02 (ANPEC-1993):Indique quais das afirmativas abaixo sobre a equao 122 x y so verdadeiras e quaisso falsas:


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31

(0) A equao dada representa uma hiprbole.(1) O grfico da equao dada intercepta o eixo Ox nos pontos (0,0) e (0,-2).(2) O grfico da equao dada possui dois focos, nos pontos (2,3) e (2,-5).(3) A reta y = 1 tangente ao grfico da equao dada.

(4) A reta x = 1 intercepta o grfico da equao dada em dois pontos distintos.

QUESTO 03 (ANPEC-1993):Indique quais das afirmaes abaixo so verdadeiras e quais so falsas:

(0) A funo12 x

e y

x

contnua no intervalo [0,2].

(1) .12

65lim2

2 x

x x x

(2) .0lim0 x

senx x

(3) Para que a funo 3,3

342 x

x x x

y possa ser estendida continuamente a

toda a reta R, necessrio atribuir-lhe o valor 2 no ponto x = 3.

(4) .313

20010026lim 323

x x x x

x

QUESTO 06 (ANPEC-1993):Dada a funo ]3,3[,233 x x x y , assinale como verdadeira ou falsa cada umadas afirmaes abaixo:

(0) Quando x = 0, a funo tem um produto de inflexo.(1) A funo tem valor mximo global igual a 4.(2) No ponto x = -1, a funo possui um mnimo local.(3) A funo decrescente no intervalo (0,1).(4) No intervalo (-3,0) a funo convexa.

QUESTO 07 (ANPEC-1993):Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

(0) A derivada de x

x

x x

xln1 .


32/85

32

(1) A forma geral das funes de elasticidade constante .)( bxa x

(2) Se a > 0, a funo 21 xbax

y tem um mnimo local em 22

1ab

ab e um

mximo local estrito em2

2

1a

b

a

b .

(3) 10,0,0,)1()1( y x yax y x .

QUESTO 02 (ANPEC-1994):Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) Seja 22)( x x . Logo (1) = 2.

(1) Seja x x x x

eeee

x)( . Logo (0) = 1.(2) Seja .)( ln xe x Logo (1) = 1.

QUESTO 05 (ANPEC-1994):Indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) Se diferenvel em [a, b] ento sempre contnua em [a, b].(1) Se contnua em [a, b], ento sempre diferenvel em [a, b].(2) Se (x) = 2 x e g(x) = 2, ento a derivada do produto.g o produto das derivadas

de e g.

QUESTO 07 (ANPEC-1994):Assinale as proposies verdadeiras e as falsas:

(0)0

2 12 dxe x .

(1)0

dxe x .

(2) dx x1

2/11


33/85

33

(3) 2/111

3 dx x.

(4) 3/113

2 dx x.

QUESTO 09 (ANPEC-1994):Assinale como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

(0) 1)1(lim /10 x x x .(1) .1lim /1 x x x (2) .0)(lim /10 x x e x

(3) .1)(lim/1

0 x x

x xe (4) .

211

11lim 0

xe x x

QUESTO 13 (ANPEC-1994):Assinale as proposies verdadeiras e as falsas:

(0) A interseo das curvas y - x + 2 = 0, y + x - 8 = 0 e y = 0 forma um tringul

issceles.(1) Dois pontos satisfazem as equaes: 08)4()4( 22 y x e x + y - 4 = 0.(2) No espao bi-dimensional (x, y) a distncia entre os pontos (a, b) e (b, a)

.])(2[ 2/12ab (3) A equao 0222 x y x representa um crculo cujo raio dois.(4) As equaes 0321 a ya xa e 0321 b yb xb contm o ponto ),( 00 y x .

Ento, para uma dada constante c, a equao ( 321 a ya xa ) +c( 0)321 b yb xb conter o ponto ),( 00 y x .


(0)

2

211lim

x

x x.


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34

(1) .0lim0

x

x x

(2) .21lim0 x

x

x x x

(3) .1lim0 x

senx x

QUESTO 01 (ANPEC-1996):Indique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas:

(0) Uma funo : f duas vezes derivvel estritamente cncava se, e somentese, a sua derivada segunda estritamente negativa.

(1) A funo x xe x f )( para 0 x possui um nico ponto crtico que corresponde aum ponto de mximo global estrito, mas f no cncava.

(2) Seja : f uma funo convexa e derivvel, exceto em um ponto, no qual possui derivada direita positiva e esquerda negativa. Ento este ponto ummnimo global para f .

(3) A funo 23),( 23 x x y x f cncava no intervalo23

25

x .


Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa:

(0) A expresso x y 2 define uma funo de x em y .

(1) A expresso x y 2 no define uma funo de ,0 x em ,0 y .

(2) A funo 11

x x

x f , 1 x , possui assntota horizontal.

(3) A funo 0,n x x x f y , possui mnimo em 1 x .

(4) Considere x f y , onde : f . Uma condio necessria para a existnciada funo inversa x y f 1 , que x f seja uma bijeo.



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35

Indique se cada afirmativa verdadeira ou falsa.

Seja : f dada por 23 23 x x x f .

(0) x f possui um mximo global.

(1) x f no possui mnimo local.

(2) x f estritamente crescente para 1 x .

(3) x f possui um mnimo local e um mximo local.

(4) x f possui um ponto de inflexo em 1 x .

QUESTO 05 (ANPEC-1996):Indique se a afirmativa verdadeira ou falsa:

(0) Dado que x

xsen x f

8)( para x 0, para que f seja contnua em , )0( f deve valer 0.

(1) 1 x x f contnua em todo o seu domnio.

(2)

,010,1

xdevaloresoutros para

x x x x f contnua, mas no diferencivel em [0, 1].

(3) Se : f 1,01,0 continua em 1,0 , existe 1,0 x tal que x x f .(Sugesto: desenhe um grfico).

QUESTO 03 (ANPEC-1997):Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir:

(0) 3.= 1)}-{(x1)-(xlim -11/21 x

(1) 3)4)(8(lim1

64 32

2

1 x x x .

(2))cos()(5lim

x x xsen x

x = 3.



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36

Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir

(0) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f (x) > 0 e g (x) > 0 , para todo ento a funo composta h(x) f(g(x)) crescente.

(1) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f convexa e g cncava, ent

g f 25 convexa.(2) Se f e g so funes reais de varivel real tais que f, f , g e g so crescentes,entofuno produto h(x) f(x).g(x) convexa.

QUESTO 07 (ANPEC-1997):Suponha que f(x) seja uma funo real de varivel real, x, definida assim: 312)( x x x f .Classifique cada uma das afirmaes abaixo como verdadeira ou falsa.

(0) f(x) possui dois pontos crticos.(1) Um ponto crtico ponto de inflexo.(2) No intervalo (-2,2) do seu domnio, f(x) sempre crescente.(3) f(x) cncava para valores negativos de x.(4) Quando x = -2, f(x) atinge o seu mximo valor em seu domnio.

QUESTO 01 (ANPEC-1998):A respeito das funes f:2 definidas abaixo, responda V ou F.

(0) O valor mnimo da funo f(x,y)= xy2 sujeito restrio |x|+9|y| 9 inferior a -1(menos um);(1) O valor mnimo da funo f(x,y)= |x| - |y| sujeito restrio (x-1)2 + y2 =1 superior

a zero;(2) O valor mximo da funo f(x,y)= (x-1)2 + (y-1)2 sujeito restrio |x|+|y|=2

superior a 4.

QUESTO 02 (ANPEC-1998):Identifique quais das afirmativas abaixo sobre a funo y: definida por y(x) = |x|e-2|x| so verdadeiras e quais so falsas;

(0) 1dx x y (1) y possui um nico ponto de mnimo global;(2) y possui um nico ponto de mximo global;


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37

(3) dx

xdy x 0lim no existe.

QUESTO 06 (ANPEC-1998):Responda V ou F:

(0) ;01)(lim 2

2

x x e

senx

(1) x x

xe /10

lim ;

(2) 331lim0 x

x

x x x ;

(3) babx x

e xa )1(lim0

, onde a e b so nmeros reais no nulos;


A funo y: definida por 243

x

x

t dt x y . Calculedxdy para x = 1.


A quantidade demandada de certo produto, por unidade de tempo, segue padro linear (etermos do preo), reduz-se a zero quando o preo maior ou igual a 10 e decresce duaunidades para cada unidade monetria de aumento de preo. A quantidade ofertada pounidade de tempo reduz-se a zero quando o preo menor ou igual a 2 e proporcional aquadrado do preo quando este assume valores maiores que 2. Determine o valor dacompras do produto na situao de equilbrio.

QUESTO 12 (ANPEC-1998):Certa empresa produz relgios ao custo unitrio de 8 e sabe que se fixar o preo em xvender (100-2x) unidades por perodo de tempo(onde x 50). Qual deve ser o valor de x para que a lucro das vendas seja mximo?



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38

Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo

71425

32

3

x x x

x f ; x :

(0) Apresenta ponto de inflexo para x = 2,5.(1) Apresenta ponto de mximo para x = 5.(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 7.(3) Apresenta descontinuidade em x = 2,5.

QUESTO 03 (ANPEC-1999):Sejam f: R R e g: R R funes contnuas. Ponha h(x) = f(g(x)) e u(x) = g(f(x)).Classifique como V ou F as afirmaes abaixo.

(0) u(x) = h(x) para x = 0.(1) Se f derivvel ento h tambm o .(2) h contnua.(3) Se h e u so derivveis ento h(x) = u(x) para todo x.

QUESTO 04 (ANPEC-1999):Classifique como falsas ou verdadeiras as afirmaes:

(0)4

9125log325

.

(1) 0)(

1lim

0 xsene x

x.

QUESTO 05 (ANPEC-1999):Se f(x) = 2x e g(x) = 2x 2, calcular: f(g(x)) g(g(x)) + g-1(f(x)) para x = -3.

QUESTO 08 (ANPEC-1999):Tem-se uma curva de demanda de elasticidade constante, 800 xqp onde q e p sovariveis no-negativas e tm os significados usuais. Se a oferta fixa em 100 unidades eelasticidade da demanda 1,5, qual o preo de equilbrio de mercado?


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39

QUESTO 10 (ANPEC-1999):Dizemos que uma funo f: R R satisfaz a propriedadeC nos pontos a, b e c quando

3)()()()

3( c f b f a f cba f . Classifique como V ou F cada uma das afirmaes

abaixo:(0) Qualquer trinmio do segundo grau satisfaz a propriedadeC para quaisquer a, b e c.(1) Se f cncava ento satisfaz propriedadeC para quaisquer a, b e c.(2) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedadeC se a, b e c so nmeros reais positivos.(3) Se f(x) = x3 ento f satisfaz propriedadeC se a, b e c so nmeros reais negativos.

QUESTO 12 (ANPEC-1999):Verdadeiro ou falso:

(0) Em relao a modelos matemticos: parmetros so constantes genricas e variveexgenas no so determinadas pelo modelo

(1) O logaritmo de a na base b o recproco do logaritmo de b na base a(2) O regime de capitalizao contnua um caso limite do regime de capitaliza

simples quando o perodo de capitalizao tende para zero.(3) Se f: R R derivvel em x = xo ento |f(x)| derivvel em x = x0 desde que f(xo)

exista.

QUESTO 13 (ANPEC-1999):Seja g: R R, duas vezes diferencivel. Defina h(x) = g((x-1)3). Qual o valor de 10+h(1)?

QUESTO 15 (ANPEC-1999):Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas sobre a funo

71425

32

3

x x x

x f ; x R:

(0) Apresenta ponto de inflexo para x = 2,5.(1) Apresenta ponto de mximo local para x = 5.(2) Apresenta ponto de mnimo local para x = 9.(3) Apresenta descontinuidade em x = 2,5.



40/85

40

Responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) A funo xe

x f 11

1)( , se }0{\ R x e 1)0( f , contnua em 0;

(1) Se f derivvel em todo x , ento );(22 )2()(lim0 x f ss x f x f

s

(2) Se : f tal ques

s x f s x f s 2

)()(lim0

ento f derivvel em x;

(3)922

916 x y a reta tangente curva y x y x )1(1810033 no ponto

)6,2(),( y x ;

(4) Se f tal que 5)0( f e ))ln(3

(cos)( 2 t et f , ento 4)5()( 1 f .


(0) Se f estritamente crescente no intervalo ba , ento f estritamente convexaneste intervalo;

(1) Se f e g so funes cncavas na reta, derivveis at a ordem 2 e 0)( x f , para todo x , ento )( xg f uma funo cncava em;

(2) Se f estritamente cncava em ba , , ento vale a desigualdade

aba f b f

xb x f b f )()()()( para todo ba x , ;

(3) Se f cncava e derivvel no intervalo aberto ba , , ento))(()()( x y x f x f y f , para todo y x, ;

(4) Os pontos de inflexo de )cos()(26

)(3

x x xsen x

x f no intervalo 2,2 so ,0, .

QUESTO 02 (ANPEC-2001):A respeito da funo R R f : definida por xe x x f 3)( , responda V (verdadeiro) ou F(falso):

(0) A funo f possui um ponto de mximo global;(1) A funo f possui um ponto de mnimo global;(2) A funo f possui quatro pontos de inflexo;


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41

(3) Para todo Rr tem-ser

r dx x f 0)( ;

(4) A funo f possui um ponto de mnimo local no ponto0 x .

QUESTO 04 (ANPEC-2001):A respeito dos limites abaixo, responda V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) 3/55)31(lim e x

x

x;

(1) 0)/1(cos)/1(

)/1(lim 222

0 x xsen xsen x

x.

(2) 134

152lim 22

3 x x x x

x;

(3) 2)/4(2

lim 22

xsen x

x;

(4) 11lim 42

0 x

x

x x x .


(0) Seja N n xsen

xse x x x f x f

n;

0;2/0;]1)1[(21)(:: . A funo

f contnua sobre .

(1) Seja

.

1;log

1;2

1

)(:,0:

2

xse x

xse x

x f x f A funo f

continuamente diferencivel em ,0 .(2) Se f a funo definida no item anterior, ento f continuamente 2-vezes

diferencivel em ,0 .

(3) Se )1,1( X , Y e||1

)(:: x

x x f xY X f , ento f bijetiva.

(4) Se f a funo definida no item anterior, ento:||1

))(...( vezes xn

x x f f f

n .


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42

QUESTO 04 (ANPEC-2002):Assinale V (verdadeiro) ou F(falso):

(0) Seja 0,00,

2

/1

x xe x f

x ; ento 00''0' f f .

(1) A funo : f definida por x x

x f )ln( , sempre decrescente.

(2) A funo definida no item (1) cncava no intervalo 1,0 e convexa no intervalo ,1 .

(3) Se : f uma funo diferencivel, estritamente crescente, estritamentecncava e com 00 f , ento f apresenta elasticidade menor do que 1 em todo oseu domnio.

(4) A funo )2,0(: f definida por x x f cos apresenta o dobro de pontosde inflexo apresentados por x f ' .


(0) .)31(lim 552 e x

x

x

(1) .2/3)(lim 23

0 x xsen

x

(2) .112

lim 22

0 xe x

x x

(3) .0lnlim x

x x

(4) .4323910lim 2

2

3 x x x x

x

QUESTO 08 (ANPEC-2002):Considere a expanso de Taylor at o termo de quinta ordem, em torno do ponto0 x .Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0)1202462

15432 x x x x

xe x .


43/85

43

(1)5432

)1ln(5432 x x x x

x x .

(2)1206

cos53 x x

x x .

(3) 242142

x xsenx .

(4)120

)ln(24

)ln(6

)ln(2

)ln(ln15432 a xa xa xa x

a xa x .

QUESTO 03 (ANPEC-2003):Considere as funes f e g dadas por f ( x) = (10 x)1/2 e g( x) = ( x 5)1/2. Assinale V(Verdadeiro) ou F (Falso):

(0) O domnio de ( f + g ) [5, 10].(1) O domnio de (g/f ) [5, 10].(2) O domnio de ( f/g) (5,10].(3) O domnio da funo composta (g o f ) = [5, + ).(4) Seja k > 0. O domnio da funo (k f ) [10k, + ).

QUESTO 06 (ANPEC-2003):Considere a expanso de Taylor para a funo y = f(x) em torno do ponto x = 0. Assinale

(Verdadeiro) ou F (Falso):

(0) 321 xe xe xee x x x x (1) Para qualquer parmetroa , o termo independente (primeiro termo) da expanso de

Taylor deeax sempre igual unidade.(2) Se x = 0 for um ponto estacionrio da funo, para afirmar se x um ponto de

mximo ou de mnimo da funo basta verificar o sinal do termo de segunda ordemda expanso de Taylor.

(3) Para qualquer polinmio, a expanso de Taylor necessariamente finita.(4) O termo de terceira ordem da aproximao da funo y = e 2x maior que o termo de

segunda ordem, em valores absolutos.



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44

(0) 405

)1004(lim ][ 25 x

x x

.

(1) 0lim 21

2 xe x x x

.

(2) 11)ln(

lim 21 x x x

x .

(3) Se )(21)cos(

23)cos( xsen x A x ento 6

A .

(4) 1

2cos1

2cos1

lim

n

n

n x

x

, para 0 < x < 1.

QUESTO 08 (ANPEC-2003):Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso):

(0) Se ],[: ba f derivvel e para todos 10 x x x pertencentes ao intervalo

],[ ba vale1

1

01

01

0

0 )()()()()()( x x

x f x f x x

x f x f x x

x f x f , ento )(')(' 10 x f x f

para 10 x x pertencentes ao intervalo ],[ ba .(1) Se xi x f )1()( , 0 < x < 1 ei > 0, ento ixi x 1)1( .

(2) Se ba f ,: derivvel e )()()()()( a xab

a f b f x f xg , ento 0)(' xg

para todo ba x , .

(3) Se 0)('' x f , para todo ba x , , ento2

)()(2

y f x f y x f

para

ba y x ,, .(4) Se 0)('' x f , para todo ba x , , ento )())((')( b f b xb f x f , para

),[ ba x .

QUESTO 06 (ANPEC-2004):Considerando a funo 31)( 2 x x x f , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) a equao 0)( x f tem no mximo duas razes reais no intervalo 3,3 ;(1) a equao 0)(' x f tem no mnimo duas razes reais no intervalo 3,3 ;


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45

(2) a equao 0)(" x f tem no mximo uma raiz real no intervalo 3,3 ;(3) f crescente no intervalo 3, ;(4) f cncava no intervalo 3, .


(0) Seja : f uma funo estritamente cncava e duas vezes continuamentediferencivel. Se a < b, ento f(a) > f(b).

(1) Seja : f uma funo duas vezes continuamente diferencivel tal que existema < b com f(a) = f(b) = 0 e f(a) = f(b) = 1. Se existe c tal que a


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46

(2) A funo atinge um mximo em x = 0.(3) A equao geral do plano tangente a f(x,y) =logx+ logy passando pelo ponto

(1,1) g(x,y) = x+ y, em que log denota o logaritmo neperiano .

(4) g(x) = (1+b)x uma assntota da funo f(x)= .

QUESTO 06 (ANPEC-2005):Avalie as afirmativas:

(0) .

(1) .

(2) Se e so polinmios, ento , desde que

(3) Se , ento

(4)

QUESTO 12 (ANPEC-2005):Encontre o valor mximo da funo: f(x) = min{-x2 + 2x + 1,5; x2 - 2x - 1}Obs: Multiplique por 20 o nmero encontrado.

QUESTO 04 (ANPEC-2006):Considere a funo 12)( 23 x x x x f . Julgue as afirmativas abaixo:

(0) O ponto x = 1 ponto de mximo local.(1) Existe uma vizinhana do ponto x = 1 dentro da qual o menor valor que a fun

1)()( x f xg assume 0.(2) f(x) possui uma inflexo em x = 2/3.(3) f(x) convexa apenas na regio )3/1,( e cncava apenas na regio ),1( .(4) A expanso de Taylor de ordem 3 de f(x) em torno de um ponto qualquer a prpr

funo f.



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47

Avalie as opes

(0) Seja R f ],0[: , )cos()( x x f , ento f injetora.(1) O conjunto {xR; x - x 2 > 0} um intervalo aberto de R.(2) Defina a imagem de D sob f como {f(x); xD} com notao f(D). Ento para dois

conjuntos D e D quaisquer f(D D) = f(D) f(D).(3) Defina a imagem de D sob f como {f(x); xD} com notao f(D). Ento para doisconjuntos D e D quaisquer, f(D D) um subconjunto de f(D) f(D).

(4) Defina a imagem inversa de D sob f como {xdom(f); f(x) D} com notao).(1 D f Ento, tem-se ).'()()'( 111 _ D f D f D D f

QUESTO 07 (ANPEC-2006):Avalie as opes

(0) Seja R R f n: uma funo homognea de grau k, ento x f tambm homognea de grau k.

(1) A funo R R f : , f(x) = sen(x) no possui um mximo.(2) Seja f: [0,1] [0,1] uma funo crescente. Ento se se definir a funo g(x) = f(x) -

x pode-se garantir que exista x* tal que g(x*) = 0 s se f for tambm contnua.(3) Seja H o hessiano da funo g. Se H for positivo definido tem-se que a funo

convexa.(4) Seja H o hessiano da funo g. Se H for sempre diagonalizvel e seus autovalore

forem negativos, tem-se que a funo cncava.


(0) Seja ),...,( 1 n x x f uma funo continuamente diferencivel definida em um conjuntoA aberto no-vazio e }),...,(:),...,{( 11 b x xg x xS nnn , em que g umafuno continuamente diferencivel definida em A tal que seu gradiente nunca sanula, S e b uma constante. Se ),...,(* **1 n x x x soluo, ento o gradiente

de f em x* paralelo ao gradiente de g em x*.(1) Seja ),...,( 1 n x x f duas vezes continuamente diferencivel. Se f cncava e

0),...,( 1 n y y f , ento )(),...,(),...,(

1

11

n

iii

i

nn y x x

y y f x x f , para qualquer

),...,( 1 n x x no domnio de f.(2) Toda funo estritamente quase-cncava estritamente cncava, mas a recproc

no verdadeira.


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48

(3) Seja ),...,( 1 n x x f duas vezes continuamente diferencivel. Se f estritamente quase-cncava, ento }),...,(:),...,{( 11 c x x f x xS nn convexo, para qualquerconstante c.

(4) Em um problema de otimizao condicionada, se uma restrio no ativa, omultiplicador de Lagrange associado sempre no nulo.

QUESTO 03 (ANPEC-2011):Seja a funo definida como , se e , se

Julgue as afirmativas:

(0) A funo contnua e seu ponto de mximo ocorre para(1) O ponto de mnimo de ocorre para(2) A funo diferencivel em todos os pontos do intervalo(3) O valor da segunda derivada de no ponto de mnimo (4) O valor da segunda derivada de no ponto de mximo

QUESTO 07 (ANPEC-2011):Considere a funo , definida por , e , uma funoque satisfaz para todo . Julgue as afirmativas:

(0) decrescente em(1) no atinge mnimo relativo em .(2) 2 ponto de mximo relativo de , pois e .(3) .

(4) Se , ento diferencivel e .

Funes de vrias variveis reais


Calcule o comprimento do vetor y

x que minimiza o valor da funo 44

ye z x .


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49

QUESTO 07 (ANPEC-1990):Ache os valores de 21 xe x correspondentes ao mximo da funo

21212221 311010 x x x x y e satisfazem a equao 52 21 x x . Em cada opoassinale se falsa ou verdadeira:

(0) 0 e 4.(1) 2 e 3.(2) 3 e 1.(3) 1 e 0.(4) 4 e 2.

QUESTO 08 (ANPEC-1990):Determine o permetro mximo de um retngulo inscrito no interior de um crculo de rai

2 .

QUESTO 07 (ANPEC-1991):Calcule o valor mximo que a funo(x,y) = 2 x + 2 2 y pode atingir quando x e y estosujeitos s restries x + y = 1 e2 x = y - 1.

QUESTO 06 (ANPEC-1992):Dada a funo(x,y) = y xy y x 283 22 , indique as afirmaes verdadeiras e as falsas:

(0) A partir do ponto (1,0), o vetor (0,1) indica a direo de maior crescimento dfuno.


(2) A partir do ponto (0,1), o vetor (-2,-) indica a direo de maior crescimento dfuno.


QUESTO 12 (ANPEC-1992):Dada a funo z = 2x + 4y + xy sujeita restrio x + 6y = 4, determine o valor mnimo qela pode obter.


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50

QUESTO 13 (ANPEC-1992):Dado que a funo z =(x,y) homognea de grau um em seus argumentos, determine o

seu valor quando x = y = 1, sabendo que, neste caso, 15 x

e 3 y

.


Dada a expresso 01000 23 xz y , determine a razo z y x y

// , quando z = 8x.


Seja .1),( z y x xyz

y x Ache a soma dos valores absolutos dos determinantes dos

menores principais da matriz hessiana avaliada em x = y = z = 1.

QUESTO 05 (ANPEC-1993):Calcule o valor mximo da funo 22 448),( y y x y x , sujeita restrio 122 y x .

QUESTO 15 (ANPEC-1993):Calcule o valor mnimo da funo:

242),,( 2331222121321 x x x x x x x x x x .


Seja a funo2233

),( y x y x y x . Esta funo:(0) Apresenta um ponto de mximo em (2/3, -2/3).(1) Apresenta um ponto de mnimo em (0, 0).(2) Apresenta um ponto de mximo em (2/3, 0).(3) No apresenta ponto de sela.


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51

QUESTO 06 (ANPEC-1994):Determine o grau de homogeneidade da funo abaixo:

y x

y x x y x ln),( .


Dada a equao 02

y y x

xz , calcule x z no ponto (x, y, z) = (-1, 2, 2).

QUESTO 15 (ANPEC-1994):Ache a raiz caracterstica de maior valor positivo da matriz simtrica proveniente da formquadrtica, .96 23223221 x x x x x

QUESTO 04 (ANPEC-1995):Seja a funo 3:F homognea do 2 grau e diferencivel. Dado F(2,3,4) = 6,verifique se as afirmativas abaixo so verdadeiras ou falsas.

(0) F(4,6,8) = 36.(1) Se as derivadas parciais em relao s duas primeiras variveis no ponto (2,3,4) srespectivamente1F (2,3,4) = 1 e 2F (2,3,4) = 2, ento conclui-se que

3F (2,3,4) = 4.(2) Com base nos valores das derivadas parciais1F e 2F no ponto (2,3,4) dados no item

anterior, pode-se concluir que2F (4,6,8)/ 1F (4,6,8) = 2.(3) Seja i a elasticidade em relao a uma das variveis. Com base nas informaes

dadas, pode-se concluir que3

12

ii .


(0) O valor mximo da funo(x,y) = |x| + |y| sujeito restrio 922 y x inferiora 3.


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52

(1) O valor mximo da funo(x,y) = |x - 1| + |y - 1| sujeito restrio1)1( 22 y x superior a 2.

(2) O valor mximo da funo(x,y) = 22 )1()1( y x sujeito restrio |x| + y = 1 igual a 9/2.


Seja a funo F(N) = max N N N N N x x x x11

3

1

2

1

1 .. sujeita restrio N x x x x N 321 ,em que N um nmero natural. Calcule ).(lim N F

N


(0) Dada a equao )1ln(11

cos2 y x

y x z , pode-se afirmar que dz/dy no ponto

(x,y,z) = (0,0,1) menor que 1.

(1) x x

xY ln

)ln(ln)( , ento,e

eY 1)(' .

(2) .0)( 2/122 x y y x Ento, no ponto (x,y) = (1,1), dy/dx = 0.(3) y(x) = tg(x), ento, .1)4/(/ 22 dx yd


(0) A rea compreendida entre a curva 342 x x y , o eixo x e a reta x = 2 maiorque 2/3.

(1) Dada a equao 01222 kx y x , em que k uma constante, y =(x), ento, o

valor da expresso 12 22 y xdx

dy xy s ser determinado se k = 0.

(2) A funo 22 2),( y xy x y x estritamente convexa.(3) A taxa de variao de 722 x em relao a 1/x menor que 1 para x {-3,3}.



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53

Dada a funo x xy y x y x f 64),( 22 , indique as afirmativas verdadeiras e as falsas:

(0) A matriz hessiana de f simtrica para (x, y) .2 .

(1) Se 0),( y x f ento a derivada implcitadxdy no ponto )1,1( igual a -4.

(2) A equao da reta tangente ao grfico da curva 0),( y x f no ponto )1,0( dada por 15 y x .

(3) O teorema de Euler vlido para f .

QUESTO 06 (ANPEC-1996):Considere a equao ,02,, 23 xy z y z x z y x que satisfeita no ponto

.1,1,1,, z y x Uma condio suficiente para aplicar o teorema da funo implcita que

1,1,1,,..0 z y xem z .

(0) Qual o valor de 1,1,1,, z y xem z ?

(1) Aplique o teorema da funo implcita e calcule

x z 60 em .1,1,1,, z y x

(2) Aplique o teorema da funo implcita e calcule 1,1,1,, z y xem y z .

QUESTO 07 (ANPEC-1996):Determine o valor mnimo da funo 22 24),( y xy x y x f sujeito xy 2.

QUESTO 06 (ANPEC-1997):Os itens abaixo se referem ao teorema da funo implcita. Julgue as afirmaes:

(0) Seja 32 423),( y xy x y x f . Pelo teorema da funo implcita, podemosexpressar y como funo )( x y de x se, e somente se, x y 3 .

(1) Seja 422 927),( y xy x y xg e suponha que 0436 3 xy y . Ento podemos

escrever )( x y e, alm disso, vale xy y y x

dxdy

436214

3

2

.

(2) Seja y x y xh 56),( 3 . Ento 18)5( dxdy .


54/85

54

(3) Seja y x y x z 212),( 5 e suponha que x > 0. Ento 60))(( 41 dxdy

x .

QUESTO 08 (ANPEC-1997):Considere o seguinte problema de otimizao condicionada:

81=z+y+xs.a

z+3xy=zy,x,QMax222

2zy,x,

Julgue as afirmativas abaixo:

(0) Quatro pontos diferentes satisfazem as condies de primeira ordem.

(1) No ponto (x*,y*,z* ) que resolve o problema, Q(x*,y*,z*) = 27.(2) O ponto (0, 0, 9) satisfaz as condies de segunda ordem.(3) O multiplicador de Lagrange associado soluo negativo.

QUESTO 09 (ANPEC-1998):Seja a funo 3:F homognea do 3 grau, e diferencivel. Dados 3/16,6,4,2 F ,e as derivadas parciais 3/86,4,21 F e 19,6,32 F , responda V ou F:

(0) F(3,6,9) =9.(1) 69,6,31 F .(2) 27/406,4,23 F .


Suponha que y seja definido implicitamente pela equao 21 y

vy . Determine o valor

absoluto de d

dy quando y = -2.



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55

Tem-se a seguinte funo de produo wy yw x xw y x f z 2,, . Em um ponto em que as Produtividades Marginais de x e de y so 3 e 1 respectivamente, qual devser a quantidade de w para que a produo total seja 4?


(0) ;1)(lim22

22

)0,0(),( y x

y xsen y x

(1) Se ),( y x f o menor valor entre x e y , ento2

),( y x y x

y x f ;

(2) Se ),( y x f tem derivadas parciais de todas as ordens em torno do ponto (-1, 1) e se

11,1 y f e 0),(43),(72 2

22 y x

y f y x y x

x f xy x , ento

;211,13

3

x f

(3) Se ),( y x f for diferencivel 0,0 e se sua derivada direcional em 0,0 na direo

do vetor 2,1 for 1 e, na direo de 1,1 for 1, ento 310,0

x f ;

(4) A reta23

6 x tangente isoquanta de xe y x f y),( que passa pelo ponto

0,9 .

QUESTO 11 (ANPEC-2000):Sendo dada a funo xy y x f y x R R f 6),(),(:: 2 , calcule o valor mximo de

),( y x f sujeito s restries: 22 22 y x e 22 22 y x .

QUESTO 10 (ANPEC-2001):Dada a funo R R f 2: definida por y x y x f ),( , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) O valor mximo de f sujeito restrio 2 y x igual a 1 (um);(1) O valor mximo de f sujeito s restries 22 x y e 22 x y igual a 1(um);(2) O valor mximo de f sujeito restrio 222 y x igual a 1 (um);


56/85

56

(3) O valor mnimo de f sujeito s restries 222 x y e 222 x y igual a 4 (menos quatro);

(4) O valor mximo de f sujeito s restries 0 x , 0 y , 222 x y e222 x y inferior a 1(um).

QUESTO 11 (ANPEC-2001):A respeito das funes R R n abaixo assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) Dada R R f 3: , definida por z ye z y x f x .),,( 2 , ento o vetor gradiente de f no ponto )0,4,0( )4/1,4/1,4()0,4,0( f ;

(1) Dada uma funo R Rg 3: diferencivel homognea do terceiro grau, sabe-seque no ponto )6,2,1( o vetor gradiente deg )1,2,2()6,2,1( g . Conclui-se que

o valor deg neste ponto 4)6,2,1( g ;(2) Dada uma funo R Rh 2: diferencivel, para cada ponto R x associa-seimplicitamente um ponto R y por meio da expresso 2),( y y xh . Sabendo-seque no ponto 2)2,3( R o vetor gradiente deh )1,3()2,3( h , ento a

derivada3 xdx

dy igual a 2 (dois);

(3) Dada a funo R R f 2: , definida por y x y x f ),( , define-se uma nova funo R RF : pela regra: )(uF valor mximo de ),( y x f sujeito restrio

222 3/2/ u y x . Ento a derivada dudF / calculada no ponto 2/3u igual

a 3;(4) O conjunto dos pontos em que a funo R Rh 2: , definida por y xe y x y xh ),( , atinge seu valor mximo uma parbola.

QUESTO 12 (ANPEC-2001):A respeito da funo R R f 2: , definida por )()(),( y xe y x y x f , assinale V(verdadeiro) ou F (falso):

(0) Essa funo no possui ponto de mnimo global;(1) Os pontos de mximo global de f formam uma reta;(2) O valor mximo de f superior a 1 (um);

(3)

002),( dydx y x f ;

(4) 0),(lim y x f x

para todo y fixado.


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57

QUESTO 11 (ANPEC-2002):Considere a funo 2:U definida por },2min{),( y x y xU . Assinale V(verdadeiro) ou F (falso):

(0) O valor mximo deU no conjunto }1,0,0;),{( 2 y x y x y x A maiorque .

(1) O valor mximo deU no conjunto }25,0,0;),{( 222 y x y x y x B maior que 5.

(2) O valor mximo deU no conjunto }10,10;),{( 2 y x y xC igual a 2.(3) O valor mximo deU no conjunto }1,0,0;),{( 2 y x y x y x D menor

que 1.(4) O valor mximo deU no conjunto DC B A E maior que .

QUESTO 12 (ANPEC-2002):Considere a seguinte funo definida pelo problema de maximizao em duas variveis cusoluo nica e representada pelo vetor **, y x :

M y xGas y xF M U y x

,..,max,

, em queF e G so funes continuamente 2-

vezes diferenciveis. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) Se 3, ** y xF x

e 1, ** y xG x

ento a restrio no ativa.

(1) Fixe M e considere 3, ** y xF x

e 1, ** y xG x

. Ento 3' M U .

(2) No ponto de timo, se 0, ** y xF x

ento 0, ** y xG x

.

(3) Para um dado M, se 0,, **** y xG y

y xG x

, ento 0' M U no pode

ser interpretado como preo sombra.

QUESTO 13 (ANPEC-2002):Considere a funo 3:F diferencivel e )( xF denotando o gradiente de F no ponto 3 x . Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):


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58

(0) Sabendo-se que F estritamente cncava, e que no ponto)3,2,1( tem-se0)3,2,1( F e )5,4,3()3,2,1( F , conclui-se que seu valor no ponto )4,3,2(

satisfaz a 12)4,3,2( F .(1) Se F for homognea do segundo grau e no ponto )10,6,2( seu gradiente for

)4,1,1()10,6,2( F , conclui-se que seu valor no ponto )5,3,1( iguala 6)5,3,1( F .

(2) Dados o plano }92;),,{( 3213321 x x x x x xP e a superfcie}9),,(;),,{( 3213321 x x xF x x xS , Se no ponto )5,2,1( tiver-se 9)5,2,1( F

e )1,1,1()5,2,1( F , conclui-se que o plano P tangente superfcie S no ponto)5,2,1( .

(3) Dados o plano }7;),,{( 3213321 x x x x x x L e a superfcie}7),,(;),,{( 3213321 x x xF x x x H , sabe-se que o plano L tangente

superfcie H no ponto )3,3,1( . Isto posto, se F for estritamente convexa, ento, se

7)( xF para todo ponto )3,3,1(, x L x .(4) Sabendo-se que F ao mesmo tempo cncava e convexa, e que no)7,3,1( tem-se)4,2,1()7,3,1( F , 36)7,3,1( F , pode-se afirmar que a forma funcional de F

necessariamente 142),,( 321321 x x x x x xF .

QUESTO 12 (ANPEC-2003):Assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso:

(0) A funo y y y x y x y x f 333

),( 2233

tem dois pontos crticos em2 .

(1) O plano tangente superfcie y y y x y x z 333

2233

no ponto )37,1,2(

paralelo ao plano 0 z .(2) 153210 22 y xy x y x , para todo 2),( y x .(3) )0,0( ponto de mnimo de 4422 44),( y x y xy x y x f .

(4) Fixado ,0 y , se )( yV o valor mximo de

221 x y yx , ),0( x , ento

0)(' yV .

QUESTO 14 (ANPEC-2003):Calcule o valor mximo da funo f ( x, y) = 3 x + 2 y, sujeita restriog( x, y) = x1/2+ y1/2 =5.


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59

QUESTO 09 (ANPEC-2004):Considerando a funo 2222),( y y x x y x f , assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) )0,0( ponto de mnimo de f no crculo 122 y x ;(1) )0,0( ponto de mnimo de f no plano 2 ;(2) )0,1( ponto de mximo de f no crculo 122 y x ;(3) 2,1 ponto de sela de f ;(4) 1),( 22 y x x y x f para 122 y x .


Calcule o valor mximo da funo3/1

)(),,( xyz z y x f sujeito a x+y+z = 90.

QUESTO 13 (ANPEC-2004):Seja V(b) o valor mximo da funo f(x,y) sobre o conjunto determinado pela restrig(x,y) = b, em que 2:, g f so funes duas vezes continuamente diferenciveis e b um parmetro exgeno. Se bbbV 2)( , determine o multiplicador de Lagrangequando b = 50.

QUESTO 07 (ANPEC-2005):Seja a funo que associa a cada , o valor mximo da funo na regio

Avalie as afirmativas:

(0) A funov positivamente homognea de grau 2.(1) A funov derivvel para(2) A derivada da funov em igual a .(3) v crescente.(4)



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60

(0) A soma dos quadrados dos autovalores de0330

A 6.

(1) Se uma funo f(x,y) contnua em um ponto (x0, y0), ento as funes(x) =f(x,y0) e (y) = f(x0, y) so contnuas em xo e yo, respectivamente.

(2) A funo 4422

),( y x y x

y x f contnua em (0,0)(3) Dada uma matriz nxn simtrica A, se para todo vn, no nulo, com n mpar,

vAv0, g(x,y;) = x+y e xy y x f ),( , ento o multiplicador de Lagrange nodepende de b.


Seja o vetor que maximiza a funo na regio .Calcule o valor de .


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61

QUESTO 13 (ANPEC-2006):Resolva o seguinte problema de maximizao condicionada:

0,,, 12432.

38max

w z y xw z y xas

xyzw

QUESTO 09 (ANPEC-2011):Seja uma funo diferencivel. Julgue as afirmativas:

(0) Se f tem um mnimo local em , ento .

(1) Se a matriz hessiana de e um ponto crtico de , podemos afirmar que ponto de mnimo de .

(2) Se , para todo , ento f a funo constante.(3) Se e a derivada direcional de no ponto na direo do vetor

unitrio u zero, ento e u so paralelos.(4) Se , ento a curva de nvel uma

circunferncia centrada na origem de raio 1.

QUESTO 10 (ANPEC-2011):Seja o conjunto limitado pelas retas , , e

. Seja o ponto de mximo da funo dada porJulgue os seguintes itens:

(0) No ponto , o gradiente de no ortogonal a qualquer das retas , , e .(1) O valor da funo no ponto resultante da interseo das retas e .(2) O valor da funo no ponto resultante da interseo das retas e .

(3) .(4) .

QUESTO 15 (ANPEC-2011):e so funes diferenciveis definidas por:


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62

Encontre o valor mximo da funo sujeita s restries , e .

Integrais


Calcule o valor de 1

0

2)63( dx x .


Determine o valor de

02cos dt t e t e assinale cada opo abaixo como falsa ou verdadeira.

(0) )1(51 2 e .

(1) )1(31 e .

(2) 2e .(3) )1(

51 e .

(4) 232

e .

QUESTO 14 (ANPEC-1992):Determine a rea sob a curva 215 x y no intervalo onde x varia de 1 a 2.


Calcule a rea compreendida entre o grfico da curva3172 2 x x y , o eixo Ox e as

retas x = 2 e x = 4.


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64

QUESTO 05 (ANPEC-1997):Classifique como verdadeira ou falsa as afirmaes a seguir :

(0) Se f(0) = 5 e f(x) = dx x 21

3 , ento f(4) = 21.

(1) Seja1

)1(2

22 dx x x . Ento 1)1(4 2 = 9.

(2) 551

0

2

edxe x x , onde e a exponencial.


Responda V ou F:

(0) 01

1dxe x x .

(1) 112

2dx x x .

(2) 0dxsenx x

.

(3) 0)2(4

0

)2(2

xe x .

QUESTO 14 (ANPEC-1998):Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas:

(0) A rea compreendida entre a curva x.y = 3 e a reta y = 4 - x menor do que 1.

(1) A inclinao da funo

2442

2

3

x x

x y quando x = 1 superior a 5.

(2) Fazendo-se a integrao por partes dex.ex.dx obtm-se como resultado (x - 1) ex +C onde C uma constante.



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65

(0)1

13 05

2

dx x x .

(1) 4

00)21( dx x .

(2) 6

032

0)3( dxe x x

.(3)

2

00)( dx xsen x .


Se ]1,0[: f uma funo contnua tal que2486

)()(861

2

0

c x xdt t f t dt t f

x

x

,

calcule o valor da constantec .

QUESTO 06 (ANPEC-2001):A respeito das integrais abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) 5,0},0max{2

dxe x x ;

(1)1

12},1min{ dxe x x ;

(2)

2

0

28dxdy y

x

x;

(3) 5)ln(1

2 dx x xe

;

(4) 1)(2/

0 dx xsen x

.


(0) 20

12 .0)1(2 dx xe x x

(1) .0244

0

2

dx x

x

(2) .41

142

23

dx x

x x x


66/85

66

(3) .342

02 dx x

(4) .11

3

0 2 dx

x x


(0)31

1

0

13

2

dx x

x .

(1) )2ln(243)ln(

2

1 dx x x .

(2) ,1 12

dt t

x

x para todo 0 x .

(3) dx x

dx x

ee

1

0

20

1

2)1( 22

.

(4) 711615 3

1dx x x .


(0) 0)(3 dx xsen x

.

(1) 20

3 dxe x x .

(2) O limite

M

M dx x x

M 021)ln(

1lim diverge.

(3) Se dxet M xt

0

)1(

)( , em que t < 1, ento 0)0(' M .

(4) Se y

dx x y yF 1

)ln(1)( , ento F(1) = 0.



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67

Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0)22

0

2

2)2cos(

dxsenx x x x ;

(1) 4)4(2

0

24 dx x x ;

(2) ))()(( xg x f uma primitiva para a funo ))()('))(')(( xg x f xg x f ;

(3) dx xdx x2

1

24

2

2

14

1 ;

(4) 105 12

11

xdt

t dxd x

x .

QUESTO 14 (ANPEC-2004):Considere a regio do plano }0,6/),{( 2 y xe y x y x B e a funo f(x,y) = xy.Calcule a integral dupla

Bdydx y x f ),( .


(0) SeC uma constante arbitraria, ento .

(1) .

(2) .

(3) .

(4) .


Calcule5

1

ln2e

dx x

x , em queet o exponencial det .


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68


Encontre o valor de

3

0 02

t x

t

xydydxdt d

.

QUESTO 05 (ANPEC-2006):Avalie as opes

(0)

0)(2)( dx xsendx xsen .

(1) Se f(x) 1.

(4) Considere uma funo contnua f e defina os conjuntos 0}f(x)[0,1],{xA e

0}f(x)[0,1],{xB . Ento B x A x dx x f dx x f dx x f )()()(

1

0 sempre que B


(0) 10

dx xe x .

(1) 20

2 dxe x x .

(2) Se0

1)( dxe xn xn , para n inteiro positivo, ento nn )( .


69/85

69

(3) 220

2 dx xe x

(4)0

1dxe

x x .


Para2

02)(

x

yxdy x f , calcule ).2(' f


(0) .

(1) Se , ento .

(2) divergente.

(3) .

(4) Se for contnua em , ento , para todo.

QUESTO 13 (ANPEC-2011):Seja e a funo dada por

. Calcule a integral:


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70

SEQUNCIAS E SRIES

QUESTO 03 (ANPEC-1990):Encontre a parte inteira do limite da srie

!43

!33

2331

432

QUESTO 11 (ANPEC-1994):Marque como verdadeira ou falsa cada uma das proposies abaixo:

(0) A srie 1

3

2n

ne

n divergente.

(1) A srie

13

2 1n n

nn divergente.

(2) A srie1

)/1(n

n convergente.

(3) A srie

1 ln1

n n convergente.

(4) A srie1

2)/1(n

n convergente.

QUESTO 02 (ANPEC-1997):Os itens abaixo se referem a seqncias e sries de nmeros reais. Julgue as afirmaes:

(0) Seja1n

na uma srie convergente. Ento 0lim nn a .

(1) Se1n

na converge, ento1n

na tambm converge.

(2) Se 1 , ento 110n

n .

(3) Suponha que aa nnlim e bbnnlim , onde ba , . Ento abba nnnlim se, esomente se, a e b tm o mesmo sinal.


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71

QUESTO 08 (ANPEC-2000):A respeito dos limites abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) 1)/1(

)!/(...)!4/()!3/()!2/(1lim432

n

n

n

nr

nr r r r r .

(1) 1 para;1

1...1...54321lim 432

1432

r r r r r r r

nr r r r r n

n

n.

(2) )cos(......)!9/()!7/()!5/()!3/( 9753 r r r r r r .(3) )(......)!8/()!6/()!4/()!2/(1 8642 r senr r r r .


(0) Se a srie 1 n x for convergente, ento a srie1 || n x tambm ser convergente;

(1) Se a srie 1 || n x for convergente, ento a srie1 n x tambm ser convergente;

(2) Sabendo-se que a srie1 || n x convergente, dada outra srie1 n y cujo termogeral satisfaz propriedade |||| nn x y para todo inteiro natural n, podemos afirmarque 1 n y tambm convergente;

(3) Se a sequncia }{ n y atender propriedade n y n /1|| para todo inteiro natural n,

ento a srie ||1 n y ser convergente.

QUESTO 08 (ANPEC-2001):A respeito das sries abaixo, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):

(0) A srie1

/1n

n convergente;

(1) A srie1 )(n

n

nFat

X , onde 1.2.3.4)...2)(1()( nnnnFat , convergente para todo

R X ;

(2) A srie1

...101

61

311

)1(2

n nn convergente

(3) A srie1

...121

61

21

)1(1

n nn divergente;


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72

(4) A srie1

/1n

n n convergente.


(0) Um investidor aplica mensalmente1000 unidades monetrias em um fundo deinvestimento que remunera as aplicaes taxa de juros (compostos) de 2% a.m. So investidor fizer 3 aplicaes, o montante no instante do ltimo depsito ser3120 unidades monetrias.

(1) O valor presente, em 0t , de um fluxo de pagamentos iguais a50 nos perodos,...5,3,1t e 60 nos perodos ,...6,4,2t sempre positivo se a taxa de juros

(compostos), supostamente constante, for superior a 20%.

(2) Se 10 ba , ento a srie ...3322

bababa convergente.(3) A srie

1

2

nna

n convergente para todo 1a .

(4) A srie

1

logn

n

nn divergente.


(0)iiiii n1

)1(1

)1(1

)1(1

)1(1

32 parai > 0.

(1) A srie 1

13

n

n divergente.

(2) A srien

n

n

1 35 converge.

(3) A srie 1

1

11

n

n

nn converge.

(4) A srie1

2

!n nn converge.

QUESTO 11 (ANPEC-2006):Avalie as opes:


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73

(0) A seqncia an= (-1)n no possui limite. , portanto, ilimitada.(1) A funo diferencivel f: R R estritamente crescente se e somente se f(x) > 0

em todo o domnio.(2) Seja a srie de .nnn aS Se a srie ||* nnn aS converge, ento Sn tambm

converge.(3) Se a serie Sn convergente, a srie ||* nnn aS tambm converge.


(0) Se e , para todo , ento uma sequnciaconvergente.

(1) Se e , para todo , ento converge para2 .

(2) A srie diverge.(3) Se uma sequncia de nmeros reais no nulos, com , ento a

srie converge.(4) Sejam e sequncias de nmeros positivos, tais que . Se

e , ento .


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74

EQUAES DIFERENCIAIS E EM DIFERENAS


Dada uma equao diferencial de segunda ordem cbydt dyat d yd 22

. Onde c 0, digaquais afirmaes so verdadeiras ou falsas.

(0) Existem infinitas solues da equao diferencial.(

lista de exercícios de matemÁtica.pdf

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