Boletim da SPM - n25 Maro de 1993

O que uma demonstrao?* Keith Devlin

Department of Mathematics and Computer Science Colby College, Waterville, Maine 04901, E.U.A.

A cena familiar. O melhor estudante na aula de matemtica (que, naturalmente, tenciona seguir filosofia e gesto de empresas) entalou o professor ao fim de trs semanas. Estudante: No percebo bem o que ao certo uma demonstrao. Professor: exactamente o que eu disse na aula. Uma demonstrao um raciocnio lgico, slido, que estabelece a verdade da afirmao em estudo. E: Mas como que se sabe que um raciocnio lgico e slido? O que que essas palavras significam? P: Meu Deus, com certeza que tu consegues reconhecer um raciocnio lgico quando o vs, no consegues? No ficaste convencido com algum dos exemplos que eu apresentei na aula? E: Bem, eu fiquei convencido de que as demonstraes falsas que apresentou como exemplo eram realmente falsas. Em cada um dos casos, depois de ter chamado a ateno para o erro lgico, eu consegui perceber porque que aquele raciocnio particular no era uma demonstrao. Mas j no estou to certo em relao aos exemplos que apresentou como sendo demonstraes vlidas. Admito que no consegui encontrar nenhum erro lgico, e os raciocnios pareciam de facto bastante convincentes. Mas como que podemos ter a certeza de que o raciocnio era slido e de que no existia algum erro escondido que nos escapou a todos? P: Bom, sabes, aquelas demonstraes j so conhecidas h centenas de anos, foram examinadas por montes de matemticos muito inteligentes, e nunca ningum descobriu nenhum erro. Com certeza que no podemos estar todos enganados, pois no? E: Provavelmente no. Mas no significa isso que a noo de demonstrao vlida uma noo socialmente definida, que o que torna uma demonstrao vlida que a maioria dos matemticos concordam que ela vlida? P: Deus do cu, no. Para ser vlida, uma demonstrao tem que seguir as regras da lgica. Faz-se uma srie de afirmaes, cada uma das quais consequncia das anteriores de acordo com as regras da lgica. E: Quais regras da lgica? Nunca nos disse quais so. A mim pareceu-me que, para cada um dos seus exemplos, apresentava uma srie de afirmaes em que cada uma parecia razovel, dadas as anteriores. Mas onde estavam as regras da lgica? Onde que est a diferena entre o que fez na aula e um raciocnio poltico engenhoso? P: Bem, claro que, para vos ser mais fcil seguir a demonstrao, eu no escrevi todos os passos. Mas isso poderia ser feito. Os lgicos esclareceram isto no princpio deste sculo. Eles criaram uma linguagem formal em que se

* O que uma demonstrao?

reproduzido da coluna "Computers and Mathematics" (ed. Keith Devlin), Notices of the American Mathematical Society, Vol. 39, N9, Novembro 1992, com a autoriza o da American Mathematical Society.

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