P.S.Problemas Suplementares (pagina 91)I. (a) Perimetro /':,PAO = 1 + .J(x2 - 1)2 + x2 + .Jx4 + x2

Perimetro /':,PBO = 1 + ,}x4 + (x - 1)2 + .Jx4 + x2

(b)

33,0166 9,0777 3,4142

33,7712 9,5952 3,4142

0,9777 0,9461 1,0000

0,1 0,01

2,0955 2,0100

2,0006 2,0000

1,0475 1,0050

(c) 13. (a) Area (hexagono) = (3.J3)/2 = 2,5981

Area (cfrcu1o) = 7T = 3,1416Area (cfrculo) - Area (hexagono) = 0,5435

(b) An = (n/2) sen(27T/n)

(c) 6 12 24 48 96

2,5981 3,0000 3,1058 3,1326 3,1394

(d) 3,1416ou 7T

5. (a) rn = -¥ (b) y = fzx - \6i-,}169 - x2 + 12

(c) rnx = 5x-(d) fz; e a mesma inclinayao da reta tangente encontrada em (b).

7. (a) Dominio: [-27,1) U (1, (0)(b)ooI41" (0) i\ (d) Ii

~O,1

a grillco tern urn furo em x = 1.9. (a) gl' g4 (b) gl (c) gl' g3' g4II.

(c) Continuo para todo real positivo exceto a e b.(d) A area sob a curva vale 1.

(a) f(l) = 0, f(O) = 0, f(~) = -1, f( -2,7) = -1

(b) lim f(x) = -1, lim f(x) = -1, lim f(x) = -1X---70I- X---701 + X---71/2

(c) Ha uma descontinuidade em todo inteiro.13. (a) (b) (i) 1im Pa b(X) = 1

X---7a+ •

(ii) lim_ Pa b(x) = 0X-7Q •

(iii) lim Pa b(X) = 0X-7b+ ,

(iv) lim Pa b(X) = 1x--?b- ,

Capitulo 2Se~ao 2.1 (pagina 10I)

I. (a) rnl = 0,rn2 = 5/2 (b) rnl = -5/2,rn2 = 23. 5. rn = -2 7. rn = 2

f(4) = 5 __ ](4, 5)

f(4)- f(l) = 3

Ji12~_'2.- .

(I, 2)

9. rn = 3 II. f'(x) = 0 13. f'(x) = -5 15. h'(s) = ~

17. f'(x) = 4x + 1 19. f'(x) = 3x2 - 12

21. f'(x) = ( - \)2 23. f'(x) = ~x- 2 x+ 1

25. (a) Reta tangente: 27. (a) Reta tangente:y = 4x - 3 y = 12x - 16

(b) ~8 (b) 6I810

(2,8)(2,5)

~ 5 ~ 5

-2 -4

29. (a) Reta tangente: 31. (a) Reta tangente:y=~x+~ y=h+2(bl,g, (b)"t;£j"

33. y = 3x - 2; y = 3x + 2 35. y = -~x + ~37. b 38. d 39. a 40. c 41. g(5) = 2;g'(5) =-!43. f'(x) = 1 45. f'(x) = 2x - 8

-2

~ r-4

47. Ha mais de uma resposta correta.Possivel resposta: y = - x.

51. j(x) = -x2

c=655. Ha mais de uma resposta correta.

Possive1 resposta: j(x) = x3

y = 2x + 1; y = -2x + 9(a) -3 (b) 0(c) 0 grafico desce quando x = l.(d) 0 grafico sobe quando x = -4.(e) Positivo, pois sendo g '(x) > 0 no intervalo [3, 6], 0 grafi-

co de g esta subindo.

(f) Nao. Sabendo apenas 0 valor de g'(2) nao e suficiente. 0valor de g '(2) e 0 mesmo para qualquer transla~ao verticaldeg.

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1,5 2

-2 27 1 1 0 1 1 27 232 -4 32 32 4 32

3 27 3 3 0 3 3 27 316 4 16 16 4 16

3,g;]. g(x) = f'(x)

-1

A medida que x se aproxima doinfinito, 0 grafico de j se aproximade uma reta com coeficiente angu-

'lar O. Logo, f'(x) se aproxima de O.

5

QgJSO',

S f1

-2 7

SO,5 -1

(b) Os graficos de S para valoresdecrescentes de .:lx saD retassecantes que aproximam areta tangente ao grafico de jno ponto (2,f(2)).

73. 4 75. A fun~ao g(x) nao e derivavel no ponto x = O.l fun~ao j(x) nao e derivavel no ponto x = 6.l fun~ao hex) nao e derivavel no ponto x = - 5.

91. A derivada lateral da esquerda e - 1 e a derivada lateral dadireita e 1, logo jnao e derivavel no ponto x = l.

93. As derivadas laterais da esquerda e da direita saD 0, logo1'(1) = O.

95. A fun~ao j e derivave1 no ponto x = 2.97. (a) d = (31m + 11)/~

(b) 5I~I N"" dori"vel no ponlom=-l.

-4 4

99. Falsa. A inclina~ao e lim j(2 + ~x) - j(2) .Il.x-?O x

101. Falsa. Por exemp1o: j(x) = IxI- As derivadas da direita e daesquerda existem, porem nao saD iguais.

103. Demonstra~ao.

Se~ao 2.2 (pagina 112)I. (a) ~ (b) 3 3. 0 5. 6x5 7. -7/x8 9. 1/(5x4!5)

11.1 13.-4t+3 15.2x+12x2 17.3t2-2'Tf 1 1

19. "2cos(J+sen(J 21.2x+Zsenx 23'-X2-3cosx

Funfiio

525. y = 2x2

Simplifique

, 5y =--x3

, 9y = - 8x4

, 1y = - 2X3!2

3 3 927. y = (2x)3 Y = g-x-3 y' = -g-x-4

29. y = -IX y = X-1!2 y' = _lX-3!2X 2

31. -6 33. 0 35. 4 37. 3 39. 2x + 6/x3

41. 2t + 12/t4 43. (x3 - 8)/x3 45. 3x2 + 11 2 4 2 3

47. 2-IX - x213 49. 5Sl/5 - 3S1/3 5 I. -IX - 5 sen x

53. (a) 2x + Y - 2 = 0 55. (a) 3x + 2y - 7 = 0(b) 3 (b) 5

,~,,~,

57. (0,2), (-2, -14), (2, -14)59. Nao h:i retas tangentes horizontais.61. ('Tf, 'Tf) 63. k = 2, k = -10 65. k = 367. (a) A e B. (b) E maiar. (c)

69. g'(x) = f'(x)71. A taxa de varias;iio de f e eonstante e,

logo I' e eonstante.

75. f'(x) = 3 + eos x =1= 0 para todo x.

79.

.I:SJ",3,33

(3,9,7,7019),Sex) = 2,981x - 3,924

20ITYl-2~12

(b) T(x) = 3(x - 4) + 8 = 3x - 4o eoeficiente angular (e a equas;iio) da reta seeante seaproxima ao da reta tangente no ponto (4, 8) a medida quese eseo1hem pontos mais pr6ximos de (4, 8).

(c) 20

nz]"-2

2,828

2

-1

5,196

5

-0,5

6,548

6,5

-0,1 0

7,702 8

7,7 8

0,1

8,302

8,3

0,5

9,546

9,5

1

11,180

11

2

14,697

14

3

18,520

17

93. (a) set) = -16t2 + 1362; vet) = -32t (b) -48pes/seg(c) s'(l) = -32pes/seg;s'(2) = -64pes/seg

,)1362(d) t = -4- = 9,226 seg (e) -295,242 pes/seg

95. v(5) = 71 m/see; velD) = 22 m/see97. 99.

:2~ 60S 50~.g 40

] 30

~ 20:>

.----.I ,I II ,I II II II II ,I II II II I

(0, 0) 2 4 6 8 10Tempo (em minutos)

101. (a) R(v) = 0,417v - 0,02(b) B(v) = 0,0056v2 + O,OOlv + 0,04(c) T(v) = 0,0056v2 + 0,418v + 0,02

(e) T'(v) = 0,0112v + 0,418

T'(40) = 0,866

T'(80) = 1,314

T'(lOO) = 1,538

(d1.l2t

(f) A distaneia de frenagem aumenta a uma taxa eada vezmaiar,

103. V'(4) = 48 em2 105. Demonstras;iio,107. (a) A taxa de varias;iio do mimero de gal5es de gaso1ina ven-

didos ao pres;o de R$ 1,479,(b) Em geral, a taxa de varias;iio quando p = 1,479 deve ser

negativa pois, ao subirem os pres;os, as vendas deereseem,109. y = 2x2 - 3x + 1 III. y = -9x, y = -~x - ¥113. a = ~,b = - ~

115. fl (x) = Isen xl e derivave1 para todo x =1= Mr, n urn inteiro,f2(x) = senlxl e derivave1 para todo x =1= 0,

Se~ao 2.3 (pagina 123)I. 2(2x3 - 3x2 + x-I) 3. (7t2 + 4)/(3t2/3)5. x2(3 eos x - x sen x) 7. (1 - X2)/(X2 + 1)29. (1 - 8x3)/[3x2/3(X3 + 1)2] II. (xeosx - 2senx)/x3

13. f'(x) = (x3 - 3x)(4x + 3) + (2x2 + 3x + 5)(3x2 - 3)= lOx4 + 12x3 - 3x2 - 18x - 15

1'(0) = -15

15. f'(x) = x2

- 6x + 4(x - 3)2

1'(1) = _l4

Funriio Reescreva

x2+2x 119. Y=-3- Y=3(x2+2x)

21 --.2- _2 -3. y - 3x3 Y - 3x

4X3/223. y = -- y = 4XI/2,

X

f'(~) = ~(4 - 1T)

Derive Simplifique

1 , 2(x + 1)y'= 3(2x + 2)y = -3-

7y'= --x4

2y'= ,/x'x>O

27. 1 - 12/(x + 3)2 = (X2 + 6x - 3)/(x + 3)2

29. [2~ - (2x + 5)2~J;X= (2x - 5)/2x3/2

31. 6s2(S3 - 2) 33. - (2x2 - 2x + 3)/[x2(x - 3)2]35. (3x3 + 4x)[(x - 5) . 1 + (x + 1) . 1]

+ [(x - 5)(x + l)](9x2 + 4)= 15x4 - 48x3 - 33x2 - 32x - 20

37 (x2 - c2)(2x) - (x2 + c2)(2x) = 4xc2. (x2 - c2)2 (x2 - c2)2

39. t(t cos t + 2 sen t) 41. - (t sen t + cos t)/t2

143. -1 + sec2 x = tg2 X 45. 4t3/4 + 8 see t tg t

- 6 cos2 X + 6 sen x - 6 sen2 x 3 ( 1 2 )47 ---------- = - - + tg x see x - tg x. 4cos2 X 2

= ~see x(tg x - see x)49. cossec x cotg x - cos x = cos X cotg2 x51. x(x sec2 x + 2 tg x)53. 2x cos x + 2 sen x - x2 sen x + 2x cos x

= 4x cos x + (2 - x2) sen x

55. (x + 1)(2) + (2x _ 5)[(x + 2)(1) - (x + 1)(I)Jx + 2 (x + 2)2

2x2 + 8x - 1(x + 2)2

1 - sen (J + (Jcos (J 59 ' = - 2 cossec x cotg x _ 4J357. (1 - sen (J)2 . Y (1 - cossec x)2 ,

61. h '(t) = see t(t tg t - 1)jt2, 1/7f2

63. (a) Y = -x - 2 65. (a) Y = -x + 4

(b)'"I~ I" (bl(1,-3) -3

67. (a) 4x - 2y - 7f + 2 = 0 69. 2y + x - 4 = 0(b) 4

.~.71. 25y - 12x + 16 = 0 73. (0,0), (2,4) 75. (1,2)77. Retas tangentes: 2y + x = 7; 2y + x = -1

79. f(x) + 2 = g(x) 81. (a) p'(1) = 1 (b) q'(4) = -1/383. (6t + 1)/(2-Jt) cm2/seg.85. (a) - $ 38,13 (b) - $ 10,37 (c) - $ 3,80

o custo fica menor com pedidos maiores.

91. (a) n(t) = - 3,5806t3 + 82,577t2 - 603,60t + 1667,5v(t) = -0,1361t3 + 3,165t2 - 23,02t + 59,8

(b)~

5~L12

~~I5 12

- 0,1361t3 + 3,165t2 - 23,02t + 59,8(c) A = -3,5806t3 + 82,577t2 - 603,60t + 1667,5

0t===l5~12

A(t) representa 0 valor medio derevenda (em rniIh5es de d61a-res) para cada 1.000 trailers.

(d) A '(t) representa a taxa de varia~ao do valor medio derevenda para cada 1.000 trailers para 0 ana em questao.

93. 3/~ 95. 2/(x - 1)3 97. -3 senx

99. 2x 101. 1/~103. Ha mais de uma resposta correta. Uma possivel resposta e:

(x - 2)2

105. 0 107.-10109. III.

115. v(3) = 27 m/sega(3) = -6 m/seg2

A velocidade do objeto estadirninuindo, porem a taxa des-ta desacelera<;ao esta aumen-tando.

119. f(n)(x) = n(n - 1)(n - 2) ... (2)(1) = n!121. (a) rex) = g(x)h"(x) + 2g '(x)h '(x) + g"(x)h(x)

rex) = g(x)h !!I(x) + 3g '(x)h"(x) +3g"(x)h'(x) + g!!l(x)h(x)

f(4)(X) = g(X)M4)(X) + 4g '(x)h "'(x) + 6g"(x)h"(x) +4g !!I(x)h'(x) + g(4)(x)h(x)

n'(b) j<n)(X) = g(x)h<n)(X)+ . g'(X)h(n-l)(X) +lI(n - I)!

nl-2-!(n-_-2-)!g"(x)h(n-2)(x) + ... +

nl-(n-_-1)-1-1Ig(n-n(x)h'(x) + g(n)(x)h(x)

123. n = 1: f'(x) = xcosx + senxn = 2: f'(x) = x2 COS X + 2x senxn = 3: f'(x) = x3 COS X + 3x2 sen xn = 4: f'(x) = x4 COS X + 4x3 sen xFormula geral: f'(x) = xn COS X + nx(n-l) sen x

125. y' = -1/x2, y" = 2/x3,

x3y" + 2x2y' = x3(2/x3) + 2x2( -1/x2)=2-2=0

127. y'=2cosx,y"= -2senx,y"+ y = -2senx + 2senx + 3 = 3

129. Falsa.dy/dx = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) 131. Verdadeira

133. Verdadeira 135. f(x) = 3x2 - 2x - 1

137. f'(x) = 2jxl; 1"(0) nao existe.

Sesao 2.4 (pagina 135)y = f(g(x)) u = g(x)

I. y = (6x - 5)4 u = 6x - 53. y = R-=1 u = x2 - 15. y = cossec3x u = cossec x

y = feu)y = u4

y=hy = u3

7. 6(2x - 7)2 9. -108(4 - 9x)3II. !(l - t)-1/2( -1) = -1/(2,Jl=t)13. t(9x2 + 4)-2/3(18x) = 6x/(9x2 + 4)2/3

15. !(4 - X2)-3/4( -2x) = - x/-V(4 - x2)3 17. -l/(x - 2)219. -2(t - 3)-3(1) = -2/(t - 3)3 21. -1/[2(x + 2)3/2]23. x2[4(x - 2)3(1)] + (x - 2)4(2x) = 2x(x - 2)3(3x - 2)

25. x(l)(l - X2)-1/2( - 2x) + (1 _ x2)1/2(1) = 1 - 2x2

2 ft--=xz(x2 + 1)1/2(1) - x(1/2)(x2 + 1)-1/2(2x) _ 1

27. x2 + 1 - (x2 + 1)3/2

- 2(x + 5)(x2 + lOx - 2)29. (x2 + 2)3

-9(2v - 1)231. (v + 1)4

33. (1 - 3x2 - 4X3/2)/[2.J,X(x2 + 1)2]2 0 ponto em que y , se anula corres-I_~ I poode '0 pollIo 00 "dfico "" f

-1 y' 5 onde a reta tangente e horizontal.

p;i35. - 2x(x I- 1)

4

;~.

37. -[7Txsen(7Tx) + cOS(7TX)+ 1]/x23 Os pontos em que y' se anulaI~1M co""poodem '0, pooln w.-

-5 5 fico da f onde as retas tangentessao horizontais.

y'

-3

39. (a) 1 (b) 2; a inclinavao de sen ax na origem ea.41. - 3 sen (3x) 43. 12 sec2 (4x) 45. 27T2x cos( 7TX)247. 2 cos(4x) 49. (-1 - cos2 x)/sen3 x

8 senx 151. 8 sec2 x tg x = --3 - 53. sen (28) cos (28) = -2 sen (48)

cos x67Tsene 7Tt - 1) 1 2

55. 3( ) 57. r:: + 2x cos(2x)cos 7Tt - 1 2", xt + 1 3 -9x2 9

59. s'(t) = .Jt2 + 2t + 8'4 61. f'(x) = (x3 - 4)2' 25

-563. f'(t) = (t _ 1)2' - 5 65. y' = - 6 sec3(2x) tg(2x), 0

67. (a) 9x - 5y - 2 = 0 69. (a) 12x + y + 11 = 0~);~; ~),~J-3 -1

71. (a) 2x - y - 27T= 0 73. (a) 4x - y + (1 - 7T)= 0

(b) J;::::XJ~ ~)J13JZIlLY3 LED

-2 -4

75. (a) g '(1/2) = - 3(b) 3x + y - 3 = 0(c)

77. (a) s'(O) = 0(b) y = ~

~

5 (c) ~3(o.})~(-!_l)

-2 2· 2 4 -2 4

-2 -1

8

~-9L=Lj9(E: 3,/3) (57T _ 3,/3) (37T 0) 83 12(5 2 _ 1)( 2 - 1)81. 6' 2 ' 6' 2 ' 2' . x x

85. 2(cos x2 - 2x2 sen x2) 87. h"(x) = 18x + 6,24

Os pontos em que l' se anula Os pontos em que l' se anulaeorresponde aos pontos do eorrespondem aos pontos nografieo de londe as retas gnifieo de I onde as retastangentes sac horizontais. tangentes sac horizontais.

95. A taxa de variac;ao de g sera tres vezes maior do que a de f97. (a) 24 (b) Nao e possivel pois g/(h(5)) nao e dado.

(c) 1 (d) 162

99. (a) !(b) s/(5) nao existe pois g nao e derivavel no ponto 6

101. (a) 1,461 (b) -1,016103. 0,2 radianos, 1,45 radianos/seg 105. 0,04224 em/seg107. (a) x = -1,637t3 + 19,31tZ - 0,5t - 1

de(b) dt = -294,66tZ + 2317,2t - 30

(c) Porque x, 0 mimero de unidades produzidas por hora, naodepende linearmente do tempo t e, portanto, 0 eusto tam-bem nao e uma func;ao linear do tempo.

109. I(x + p) = I(x) para todo x.(a) Sim,1'(x + p) = 1'(x), e isto mostra que 1'tambem e

peri6diea.(b) Sim, seja g(x) =1(2x), entao g/(X) = 21'(2x). Sendo l'

peri6dica segue-se que g I e peri6diea.III. (a) 0

(b) 1'(x) = 2 see x . see x tg x = 2 seez x tg xg I(X) = 2 tg x seez x = 2 seez x tg x1'(x) = g I(X)

113. Demonstrac;ao 115. 1'(x) = 2X( I;~= :1).x =F±2

117. 1'(x) = eos x sen x/Isen xl, x =Fhr

119. (a) Pl(x) = 4v1'3(x - 71/6) + 2

pz(x) = 1/2(56)(x - 71/6)2 + 4v1'3(x - 71/6) + 2

= 28(x - 71/6)2 + 4v1'3(x - 71/6) + 2

(b) (c) Pz(d) A preeisao piora ao se

afastar dex = 71/6.

121. Falsa. Se I(x) = senz (2x), entao 1'(x) = 2(sen 2x)(2 eos 2x).

123. Problema Al do Desafio Putnam de 1967.

Sesao 2.5

I. -x/y

(pagina 144)

3. - gx 5. (y - 3xZ)/(2y - x)

9. (6xy - 3xz - 2yZ)/(4xy - 3xZ)II. eos x/[ 4 sen (2y)] 13. (eos x - tg y - l)/(x seez y)15. [y eos(xy)]/[l - x eos(xy)]17. (a) Yl = ~16 - xz; Yz = - .)16 - XZ

(b) x x(c) yl= +---=--~16 - XZ Y

x(d) yl = --Y

19. (a) Yl = ~~16 - xz; yz = -~.)16 - xZ

(b)()

I _ 3xe y = + 4~16 - XZ

(d) yl = -~16y

=: ~=-iY16-X' I

21 y 1 23 8x - , d fi'd 25 r; 1. -~'-4 . y(XZ + 4)2' nao esta e Illl a. . - -V ~' -2XZ 127. -senZ(x + y) ou --- 0 29. -- 31. 0

XZ + l' 233. y = -x + 4 35. y = -x + 2

37. y = vl'3x/6 + 4v1'3 39. y = -fIx + ¥t41. (a) y = - 2x + 4 (b) Ha mais de uma resposta eorreta.

71 71 143. eosz y -- < y < - -- 45. - 36/y3, 2 2' 1 + XZ

47. -16/y3 49. (3x)/(4y)51. x + 3y - 12 = 0

9

~-1~14

53. No ponto (4,3):6

~-9~9

No ponto (- 3, 4):6

EEELJ-9~9

Reta tangente: 4x + 3y - 25 = 0Reta normal: 3x - 4y = 0

Reta tangente: 3x - 4y + 25 = 0Reta normal: 4x + 3y = 0

55. XZ + yZ = rZ ~ y' = - x/y ~ y/x = eoefieiente angularda reta normal. Portanto, para urn ponto (xo, Yo) do eireulo,Xo =F0, a equac;ao da reta normal e y = (Yo/xo)x, que e umareta que passa pela origem. Se Xo = 0, a reta normal e uma reta

57. Retas tangentes horizontais: (-4,0), (-4, 10)Retas tangentes verticais: (0, 5), (- 8, 5)

59. 61.

No ponto (1,2):Inc1ina~aoda e1ipse: - 1Inclina~ao da parabola:No ponto (1, -2):Inc1ina~aoda e1ipse: 1Inc1ina~aoda parabola: - 1

63. Derivadas: : = -~' : = ~

2 2

-3~3 -3CSJ:2J3~ ~

No ponto (0,0):Inclina~ao da reta: - 1Inclina~ao da fun~ao seno: 1

65. (a) y dy - 3x3 = 0 (b) y dy - 3x3 dx = 0dx dt dt

67. (a) -1Tsen1TY(:) - 31TCOS1TX= 0

(b) -1Tsen 1TY(~) - 31TCOS1TX(:) = 0

69. Ha mais de uma resposta correta. Na forma explicita de umafun~ao, a variave1e escrita explicitarnente como fun~ao de x.Em urn problema implicita a fun~ao e apenas dada por umaequa~ao implicita. Urn exemp10de uma equa~ao implicita ex2 + xy = 5. Na forma explicita seria Y = (5 - x2)/x.

71. Use 0 ponto de partidaB.

(b) 10_10-$10Yl Y,

Y3 Y2

-10

(c) (8f, 5)

75. Demonstra~ao. 77. (0, ± 1) 79. (a) 1 (b) 1 (c) 3Xo = 3/4

Se~ao 2.6 (pagina 151)3 5 3I. (a) 4 (b) 20 3. (a) -8 (b) "2

5. (a) -4 cm/seg (b) 0 cm/seg (c) 4 cm/seg7. (a) 8 cm/seg (b) 4 em/seg (e) 2 em/seg9. (a) Positivo (b) Negativo

I I. Para uma fun~ao linear, se x varia a uma taxa constante entiDY tarnbem varia a uma taxa constante. Porem, a nao ser que •= 1, as taxas de varia~ao de x e de Y nao sao iguais.

13. [2(2x3 + 3x)]/v"x4 + 3x2 + 115. (a) 361Tcm2/min (b) 1441Tcm2/min17. (a) Demonstra~ao.

(b _~dA_~2 _~dA_.!2) Para 0 - 6' dt - 8 s . Para 0 - 3' dt - 8s .

(c) Se s e dO/ dt sao constantes, entao dAldt e proporcional acos O.

19. (a) 2/(91T) em/min (b) 1/(181T) cm/min21. (a) 36 cm2/seg (b) 360 cm2/seg 23. 8/(4051T) pes/mill25. (a) 12,5% (b) 11m/min27. (a) -iz pes/seg; -~ pes/seg; -¥ pes/seg

(b) 522], pes2/seg (c) -&. rad/seg29. Taxa de varia~ao na dire9ao vertical: k m/seg

Taxa de varia~ao horizontal: - ~/15 m/seg31. (a) -750 mph (b) 20 min33. -28/../iO = -8,85 pes/seg35. (a) ¥ pes/seg (b).!j! pes/seg37. (a) 12 sec (b) ~~ m (c) (./51T)/120 m/seg

39. A taxa de evapora~aoe proporciona1as=> ~~ = k(41Tr2)

(4) dV dr drV = - 1Tr3=> - = 41Tr2 -. Portanto k = -.3 ~ ~ m

dp dV 141. - V dt = 1,3p dt 43. 20 rad/seg

45. (a) ~rad/min (b) ~rad/min(c) 1,87 rad/min

dx47. (a) dt = -6001Tsen 0

(b) 2000

.~~(c) 0 = 900 + n . 180°;

(J = 0° + n . 1800

(d) - 3001T em/seg;-300 ~1Tcm/seg

9. -~II. (a) y = 3x + 1

(a) Sim.(b) Nao, pois as derivadas da esquer-

da e da direita SaDdiferentes.

(b) 4~2.01J3 1

15.0 17. 8x7 19. 12t3 21. 3x(x - 2) 23. r: + 273...;x x

25. -4/(3t3) 27. 2 - 3 cos fJ 29. -3 sen fJ - cos fJ/431.

f I' > 0 nos pontos em que 0 coefi-ciente angular das retas tangentesao gratico de f SaDpositivos.

33. (a) 50 vibra90es/seg/lb(b) 33,33 vibra90es/seg/lb

35. 414,74 m ou 1.354 pes37. (a) (b) 50

(c) x = 25(d) y' = 1 - 0,04x

o 10 25 30 50

0,6 0 -0,2 -1

(e) y'(25) = 0

39. (a) x'(t) = 2t - 3 (b) (- 00, 1,5) (c) x = -~ (d) 1

41. 2(6x3 - 9x2 + 16x - 7) 43. -JXcosx + senx/(2-JX)45. - (x2 + 1)/(x2 - 1)2 47. (6x)/(4 - 3x2)2

49. 2xcosx + x2senx 51. 3x2segxtgx + 6xsegx

cos2 x53. -xsenx 55.y=4x-3 57.y=0

59. v(4) = 20 m/seg; a(4) = -8 m/seg2

61. 6t 63. 6 seg2 fJtg fJ

65. y" + y = - (2 sen x + 3 cos x) + (2 sen x + 3 cos x) = 0

~. 2(x - 3~~~-: ~3 6x + 1) 69. S(S2 - 1)3/2(8s3 - 3s + 25)

n. -9 sen(3x + 1) 73.!(l - cos 2x) = sen2 x

"5. sen 1/2x COSX - sen5/2 x cos x = cos3 x'; sen x(_ .L 'l\r _ ~~O( __ \1 _ n~_( __ \

g I e diferente de zero para I' nao se anula.todo x.

87. (a) 1'(2) = 24 (b) get) = 24t - 44(c)

189. (a) y'(-2) = r::; 2 r::; = -11,19832...; 3 cos ...;3

- _ (x + 2) + t v"3(b) YI - 2v"3 cos2v"3 g

(c)

91. 4 - 4 sen 2x 93. 2 cossec2 x cotg x95. [2(t + 2)]/(1 - t)497. 18 sec2(3fJ) tg(3fJ) + sen(fJ - 1)99. (a) -18,667 graus por hora (b) -7,284 graus por hora

(c) -3,240grausporhora (d) -0,747 grausporhora101. 2x + 3y 103. 2y-JX - y.JY 105. Y senx + seny

3(x + y2) 2x.JY - x-JX cos x - x cos Y

I 07. Reta tangente: x + 2y - 10 = 0Reta normal: 2x - y = 0

6

~~"

109. (a) 2.J2 unidades/seg(b) 4 unidades/seg(c) 8 unidades/seg

III. fs m/min

"3. - 38,34 m/seg

P.S.Problemas Suplementares (pagina 159)J. (a) r = !;x2 + (y - !? = *

(b) Centro: (0, ~); x2 + (y - ~y= 1

630 CALCULO Vol. 1

(c) -1,0 -0,1 -0,001 a 0,001

0,5403 0,9950 1,000 1,000

0,5 0,995 1,000 1,000

0,1 1,0

0,9950 0,5403

0,995 0,5

PZ(x) e uma boa aproxima~ao de f(x) = cos x para xmuito proximo de O.

(d) P3(x) = x - ix3

5. p(x) = 2x3 + 4xz - 5

{

YI = !JxZ(aZ - XZ)7. (a) Gnifico a como equa~oes separadas.

Y =_! ';-x-Z(-aZ---x-Z-)Z a

(b) Ha mais de uma resposta correta. Uma possivel resposta:2

_3~a=± 3

a=2a=l

As interse~oes com 0 eixo dos x serao sempre (0, 0), (a, 0),e (- a, 0), e os valores maximos e minimos de Y aparentam

ser ±~a.

(c) (af, ~), (af, -~), ( - af,~)' (- af, -~)

9. (a) Quando 0 homem esta a 90 pes do poste de Iuz,a ponta dasua sombra esta a 112~ pes da Iuz. A ponta da sombra dacrian~a esta a III t pes da Iuz, logo a sombra do homemse estende 1fs alem da sombra da crian~a.

(b) Quando 0 homem esta a 60 pes do poste de Iuz, a ponta dasua sombra esta a 75 pes da Iuz. A ponta da sombra dacrian~a esta a 77~ pes da Iuz, logo a sombra do homem seestende 2~ alem da sombra do homem.

(c) d = 80 pes.(d) Seja x a distancia do homem ate 0 poste de Iuz e seja s

a distancia da ponta da sombra ate 0 poste de Iuz.Se a < x < 80, ds/dt = -50/9.Se x> 80,ds/dt = -25/4Ha uma descontinuidade no ponto x = 80.

II. Demonstra~ao. 0 griifico de L e uma reta que passa pelaorigem (0, 0).

13. (a)

(c) a: fun~ao posi~ao, d: fun~ao velocidade,b: fun~ao acelera~ao, c: fun~ao impuiso

I. A: nenhuma das op~oes, B: maximo absoluto (e maximo re-Iativo), C: nenhuma das op~oes, D: nenhuma das oP90es, E:maximo relativo, F: minima relativo, G: nenhuma das OP90es.

3. 1'(0) = a 5. 1'(3) = a 7. 1'(-2) nao existe.

9. 2, maximo absoluto (e maximo relativo)II. I, maximo absoluto (e maximo relativo)

2, minima absoluto (e minima relativo)3, maximo absoluto (e maximo relativo)

13. x=0,x=2 15. t= 8/3 17. x= 7T/3,7T,57T/319. Minimo: (2,2) 21. Minimos: (0, 0) e (3, 0)

Maximo: (-1, 8) Maximo: G,~)23. Minimo: (-1, -~) 25. Minimo: (0, 0)

Maximo: (2,2) Maximo: (-1,5)27. Minimo: (0, 0) 29. Minimo: (1, -1)

Maximos: (-1, ±) e(1, U Maximo: (0, -~)31. Minimo: (-1, -1) 33. Minimo: (1/6, ~/2)

Maximo: (3,3) Maximo: (0, 1)35. Minimo: (2,3)

Maximo: (1, J2 + 3)37. (a) Minimo: (0, - 3);

Maximo: (2,1)(b) Minimo: (0, -3)(c) Maximo: (2, 1)(d) Nenhum extremo

Capitulo 3Se~ao 3.1 (pagina 166)

Minimo: (0, 2)Maximo: (3, 36)

45. 32[ca

39. (a) Minimo: (1, -1);Maximo: (-1,3)

(b) Maximo: (3,3)(c) Minimo: (1, -1)(d) Minimo: (1, -1)

43.

M' . (-~ + 1 3)Imma: 2'4 e

(~ + l~)2 ' 4

Maximo: (3,31)

49. Maximo: Ir(J -10 + ~)I =r(~ - 1) ~ 1,47