Materiais frágeis → suportam pouca ou

nenhuma deformação

Critério de Rankine;

Critério de escoamento de Mohr-Coulomb.

Critério da tensão principal máxima (Critério

de Rankine)

1 2 3max( , , )f Y

0 o critério de falha é satisfeito

0 regime elástico

0 é indefinido

f

f

f

Critério da tensão principal máxima (Critério

de Rankine)

1

2

3

Y

Y

Y

1 2 3 1 2 3max( , , ) max( , , )eY

Critério de escoamento de Mohr-Coulumb

(Generalização do critério de Tresca)

max sin 2 cosi j i ji j

f c

1 2 3

1 3 1 3 sin 2 cos

ângulo de friccção interno

coesivo

f c

c

Critério de escoamento de Mohr-Coulumb

(Generalização do critério de Tresca)

1 2 3

se impormos somente tensão de tração axial:

, 0TY

2 cos

1 sinT

cY

3 2 1

se impormos somente tensão de compreção axial:

, 0CY

2 cos

1 sinC

cY

Critério de escoamento de Mohr-Coulumb

(Generalização do critério de Tresca)

2 cos

1 sinT

cY

2 cos

1 sinC

cY

2

CT

T

YYc

Y 12 tan

2

T

C

Y

Y

Materiais dúcteis→ capacidade de deformar

quando estão sujeitos a tensões

Tresca;

St. Venant;

von Mises.

Critério da deformação principal máxima

(Critério de St. Venant)

1 1 2 3 1

1( ) Y

E

Critério da deformação principal máxima

(Critério de St. Venant)

1 1 2 3 1 2 3

2 2 1 3 2 1 3

3 3 2 1 3 2 1

0 ou

0 ou

0 ou

f Y Y

f Y Y

f Y Y

maxe i j ki j k

ef Y

Critério da deformação principal máxima

(Critério de St. Venant)

Critério da densidade da energia de deformação

(Critério de St. Venant)

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1ˆ 2 02

UE

2 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32 0Y

2 2

ef Y

2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 32e

Critério da máxima tensão de cisalhamento

(Critério de Tresca)

Eixo hidrostático

(1= 2= 3)

1 2 3max , ,

2e

Yf

Critério da máxima tensão de cisalhamento

(Critério de Tesca)

maxe

2 3 3 1 1 2

1 2 3, ,2 2 2

2 3 3 1 1 2, ,Y Y Y

Critério da densidade de energia distorcional

(Critério de von Mises)

2 2 22 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

18 12

V D

o

U U

UK G

,

3 1 2 2 1

E EK G

2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1

6J

2

1

2DU J

G

Critério da densidade de energia distorcional

(Critério de von Mises)

2 pode ser escrito em função dos invariantes:J

2

2 2 1

1

3J I I

1 2 3

se impormos somente tensão uniaxial de tração

(ou compressão) , 0Y

2

2

1

3J Y

Critério da densidade de energia distorcional

(Critério de von Mises)

2

2

1

3J Y

2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1

6J

2 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1 1

6 3f Y

Critério da densidade de energia distorcional

(Critério de von Mises)

2 2 2

1 2 2 3 3 1 2

13

2e J

2 2

ef Y

ou

2

3octf Y

Comparação entre os critérios de von Mises e

Tresca

Critério de von Mises

http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion

2 23vm

vm Y