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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESCOLA DE MINAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL
ESTUDO NUMRICO PELA ANLISE LIMITE DE
PROBLEMAS GEOTCNICOS EM SOLOS
REFORADOS
AUTOR: PAULO ANDR LEMOS
ORIENTADOR: PROF. DR. LUIZ GONZAGA DE ARAJO
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao do
Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da
Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante
dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em
Engenharia Civil, rea de concentrao: Geotecnia.
Ouro Preto, agosto de 2002.
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Livros Grtis
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Catalogao SISBIN/UFOP
Lemos, Paulo Andr. L555e Estudo numrico pela anlise limite de problemas geotcnicos em solos reforados. Ouro Preto : UFOP, 2002. x, 66p. : il. Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil.
1.Solos reforados. 2. Anlise limite. 3. Programao Linear (PL). I. Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departa- mento de Engenharia Civil. II. Ttulo. CDU: 624.13
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iii
AGRADECIMENTOS
Ao professor Luiz Gonzaga de Arajo pela dedicada orientao neste
trabalho;
professora Christianne de Lyra Nogueira pelas sugestes e comentrios;
minha famlia e amigos, em especial Andria pela dedicao, pacincia,
apoio e incentivo na realizao deste trabalho;
Ao Prof. Walter Dornellas;
Aos colegas do curso de ps-graduao;
Aos funcionrios do DECIV;
Fundao Gorceix e CAPES pelo apoio financeiro;
Ao meu pai pela ajuda na reviso gramatical neste trabalho.
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iv
RESUMO
Vrias formulaes de anlise limite, via mtodo dos elementos finitos (MEF),
para soluo de problemas de estabilidade em geotecnia foram apresentadas nas ltimas
dcadas. Nestas formulaes, o problema de estabilidade colocado como um problema
de Programao Matemtica geralmente no linear. Muitas vezes este problema
aproximado por um problema de Programao Linear (PL).
O presente trabalho apresenta uma formulao mista de anlise limite, via MEF,
para solucionar problemas de estabilidade em geotecnia em meios contnuos, fraturados
ou reforados, sob condio de deformao plana, empregando-se a programao linear.
O meio reforado pode ser tratado pela tcnica do contnuo equivalente ou pela
tcnica discreta. Na tcnica discreta, a interao solo-reforo pode ser modelada atravs
de elementos de interface sem espessura. O reforo modelado por meio de elementos
de barra.
O solo, a interface solo-reforo e o reforo so idealizados como rgido-plsticos
ideais com lei de fluxo associada. Para o solo empregado o critrio de escoamento de
Mohr-Coulomb na forma linearizada, de modo que o problema resultante da formulao
seja de programao linear. A condio de escoamento da interface solo-reforo
descrita pelo critrio de Coulomb.
Vrios exemplos so estudados pela implementao numrica realizada,
demonstrando a potencialidade da metodologia para a soluo de problemas prticos de
Engenharia Civil.
-
v
ABSTRACT
During the last decades several limit analysis formulations to solve geotechnical
stability problems have been proposed using the finite element method (FEM). In these
formulations, the stability problem is usually treated as a non-linear Mathematical
Programming problem, which can be treated approximately as a Linear Programming
(LP) problem.
This work presents a mixed formulation of limit analysis using FEM and PL to
solve geotechnical stability problems in a fractured media or reinforced soils under
plane strain conditions.
The reinforced continuum can be treated by the equivalent continuum technique
or by the discrete technique. In this last technique, the soil-reinforcement interaction can
be modeled through zero-thickness interface elements. The reinforcement is modeled by
bar elements.
The soil, the soil-reinforcement interface, and the reinforcement are idealized as
rigid-plastic models, which follow an associated flow law. For the soil, the linear Mohr-
Coulomb yielding criterion is applied in order to obtain an LP treatment to the resulting
problem. The interface flow condition is described by the Coulomb yielding criterion.
Several examples are successfully studied by the numerical implementation and
this demonstrates the potentiality of the present methodology to solve practical
problems in Civil Engineering.
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vi
SUMRIO
LISTA DE FIGURAS ...............................................................................IX
LISTA DE TABELAS................................................................................ X
CAPTULO 1
INTRODUO ........................................................................................... 1
1.1 - GENERALIDADES ............................................................................................... 1
1.2 - SNTESE DAS FORMULAES NUMRICAS DE ANLISE LIMITE..... 2
1.2.1 - Formulaes para meios contnuos ....................................................................... 2
1.2.2 - Formulaes para meios fraturados....................................................................... 3
1.2.3 - Formulaes para meios reforados ...................................................................... 4
1.3 - PROBLEMA DE PROGRAMAO LINEAR.................................................. 6
1.4 - OBJETIVOS E ORGANIZAO DO TRABALHO......................................... 7
CAPTULO 2
FORMULAO MISTA DE ANLISE LIMITE.................................. 9
2.1 - FORMULAO MISTA PARA MEIOS CONTNUOS................................... 9
2.1.1 - Equilbrio do elemento finito............................................................................... 10
2.1.2 - Condio de escoamento do material .................................................................. 12
2.1.3 - Montagem do problema de programao linear (PL) em meios contnuos......... 13
2.2 - FORMULAO PARA SOLO REFORADO PELA TCNICA DO
CONTNUO EQUIVALENTE.................................................................................... 14
2.2.1 - Equilbrio do elemento ........................................................................................ 14
2.2.2 - Condio de escoamento do contnuo equivalente.............................................. 14
2.2.3 - Montagem do problema de PL na tcnica do contnuo equivalente.................... 19
-
vii
2.3 - FORMULAO PARA SOLO REFORADO PELA TCNICA DISCRETA
........................................................................................................................................ 21
2.3.1 - Formulao para solo reforado sem emprego de elemento de interface ........... 22
2.3.2 - Formulao para solo reforado com emprego de elementos de interface ......... 25
CAPTULO 3
IMPLEMENTAO NUMRICA REALIZADA ............................... 31
3.1 - INTRODUO .................................................................................................... 31
3.2 - MODELOS DE ELEMENTOS IMPLEMENTADOS...................................... 31
3.2.1 - Modelagem de contnuo ou contnuo equivalente............................................... 32
3.2.2 - Modelagem discreta............................................................................................. 32
3.2.3 - Critrios de escoamento implementados ............................................................. 33
3.3 - FLUXOGRAMA................................................................................................... 34
3.3.1 - Pr-processamento............................................................................................... 35
3.3.2 - Gerao do problema de PL ................................................................................ 37
3.3.3 - Soluo do problema de PL................................................................................. 39
CAPTULO 4
PROBLEMAS ESTUDADOS.................................................................. 40
4.1 - PROBLEMAS DE ESTABILIDADE EM MEIOS CONTNUOS.................. 40
4.1.1 - Capacidade de carga de uma sapata corrida ........................................................ 40
4.1.2 - Talude vertical ..................................................................................................... 42
4.1.3 - Empuxos de terra................................................................................................. 43
4.2 - PROBLEMAS MODELADOS PELA TCNICA DO CONTNUO
EQUIVALENTE........................................................................................................... 45
4.2.1 - Resistncia compresso simples de solo reforado .......................................... 45
4.2.2 - Talude vertical ..................................................................................................... 47
4.2.3 - Capacidade de carga de fundao em solo reforado.......................................... 48
4.3 - PROBLEMAS MODELADOS PELA TCNICA DISCRETA....................... 51
-
viii
4.3.1 - Modelagem sem elementos de interface.............................................................. 51
4.3.2 - Exemplos de validao do elemento de interface................................................ 53
4.3.3 - Modelagem com elementos de interface ............................................................. 58
CAPTULO 5
CONCLUSES E SUGESTES............................................................. 62
5.1 - CONCLUSES..................................................................................................... 62
5.2 - SUGESTES ........................................................................................................ 63
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.................................................... 64
-
ix
LISTA DE FIGURAS
CAPTULO 2
Figura 2.1 Representao esquemtica dos tipos de elementos finitos ....................... 10
Figura 2.2 Esquema de tenses no contnuo equivalente ............................................ 15
Figura 2.3 Linearizao interna do critrio de escoamento de Mohr-Coulomb .......... 16
Figura 2.4 Regio vivel para o critrio de escoamento de Coulomb ......................... 18
Figura 2.5 Modelos de interao solo-reforo ............................................................. 21
Figura 2.6 Representao esquemtica do elemento de reforo .................................. 22
Figura 2.7 Sistema de coordenadas do elemento de interface ..................................... 26
CAPTULO 3
Figura 3.1 Fluxograma................................................................................................. 34
Figura 3.2 Compresso simples de um elemento ........................................................ 35
CAPTULO 4
Figura 4.1 Capacidade de carga de uma sapata ........................................................... 41
Figura 4.2 Talude vertical ............................................................................................ 43
Figura 4.3 Empuxo de terra ......................................................................................... 44
Figura 4.4 Compresso simples de solo reforado ...................................................... 46
Figura 4.5 - Estabilidade de talude pela tcnica do contnuo equivalente ...................... 47
Figura 4.6 Esquema do problema de uma fundao em solo reforado ...................... 49
Figura 4.7 Estabilidade de taludes pela tcnica discreta............................................. 51
Figura 4.8 Capacidade de carga de fundao em solo reforado................................. 52
Figura 4.9 Cisalhamento de interface .......................................................................... 54
Figura 4.10 Compresso de corpo de prova com uma descontinuidade...................... 56
Figura 4.11 Puxamento de reforo............................................................................... 58
Figura 4.12 Arrancamento de reforo.......................................................................... 60
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x
LISTA DE TABELAS
CAPTULO 1
Tabela 1.1 Sntese das formulaes numricas de anlise limite .................................. 5
CAPTULO 4
Tabela 4.1 Fator de capacidade de carga (Nc) em funo de .................................. 42
Tabela 4.2 Nmero de estabilidade em funo de ................................................... 43
Tabela 4.3 Empuxos de terra ativo e passivo (tf/m) .................................................... 45
Tabela 4.4 Resistncia compresso simples do solo reforado (kPa)....................... 47
Tabela 4.5 Nmeros de estabilidade para um problema de talude reforado .............. 48
Tabela 4.6 Capacidade de carga de uma fundao em solo reforado (kPa) via
elemento bilinear em tenso ...................................................................... 49
Tabela 4.7 Capacidade de carga de uma fundao em solo reforado (kPa) via
elemento de tenso constante .................................................................... 50
Tabela 4.8 Influncia dos parmetros de escoamento da interface na capacidade de
carga de uma fundao (kPa) em solo reforado....................................... 50
Tabela 4.9 Fatores de segurana para um talude modelado pela tcnica discreta ....... 52
Tabela 4.10 Capacidade de carga de fundao (kPa) em solo com uma camada de
reforo........................................................................................................ 53
Tabela 4.11 Resistncia ao cisalhamento da interface (kPa), para o carregamento
uniforme .................................................................................................... 55
Tabela 4.12 Resistncia do corpo de prova compresso simples (kPa).................... 57
Tabela 4.13 Fora de puxamento do reforo (kN)....................................................... 59
Tabela 4.14 Fora de arrancamento de reforo (kN) ................................................... 61
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CAPTULO 1
INTRODUO
1.1 - GENERALIDADES
Segundo Chen (1975), os problemas mecnicos da geotecnia podem ser
divididos em dois grupos distintos:
problemas de elasticidade;
problemas de estabilidade.
Problemas de elasticidade so aqueles que tratam do comportamento de um meio
solicitado por uma carga atuante abaixo da condio de ruptura. Nesta categoria podem
ser considerados, por exemplo, os problemas de anlise de tenso e deformao em um
ponto dentro de uma barragem, ou sob uma sapata ou atrs de um muro de conteno.
Solues para estes problemas so obtidas, geralmente, utilizando-se a teoria da
elasticidade.
Por outro lado, na categoria de problemas de estabilidade, esto aqueles em que
se deseja determinar a carga que causar a ruptura do meio. Problemas de empuxos de
terra, estabilidade de taludes e capacidade de carga de uma fundao podem ser
includos nesta categoria.
Solues para os problemas de estabilidade podem ser encontradas atravs de
trs mtodos:
das linhas de deslizamento;
do equilbrio limite;
da anlise limite.
O mtodo das linhas de deslizamento resolve um conjunto de equaes
diferenciais, originadas de uma combinao de critrio de ruptura do meio e das
condies de equilbrio.
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2
No mtodo do equilbrio limite, mais comumente usado na prtica, as equaes
de equilbrio e a condio de escoamento do material so definidas somente ao longo da
superfcie potencial de ruptura, obtendo-se uma aproximao da verdadeira carga de
colapso. No trabalho de Terzaghi (1943), vrios problemas prticos de geotecnia so
resolvidos por este mtodo para o caso de meios contnuos.
Os mtodos de anlise limite baseiam-se em dois teoremas da teoria da
plasticidade: teoremas do limite superior e inferior. A aplicao destes mtodos para
problemas de estabilidade em solos pode ser encontrada nos trabalhos de Finn (1967) e
Chen (1975), onde so apresentadas solues analticas em forma de tabelas e grficos.
1.2 - SNTESE DAS FORMULAES NUMRICAS DE ANLISE LIMITE
O mtodo de anlise limite permite diversas formulaes numricas para os
problemas de estabilidade em geotecnia, podendo tratar problemas com geometrias e
carregamentos complexos. As formulaes numricas da anlise limite, desenvolvidas
atravs do mtodo de elementos finitos (MEF), podem ser colocadas sob a forma de
problemas de programao linear.
Nas sees seguintes, apresenta-se uma sntese dos trabalhos sobre as
formulaes numricas de anlise limite para os problemas de estabilidade em meios
contnuos, fraturados e reforados.
1.2.1 - Formulaes para meios contnuos
1.2.1. a) - Formulao de limite inferior
As solues dos problemas de estabilidade atravs das formulaes numricas
do limite inferior (teorema esttico) devem satisfazer exatamente s condies de
equilbrio, de contorno em tenso e de escoamento do material.
Para meios contnuos atravs da formulao numrica do limite inferior podem
ser citados os trabalhos de Lysmer (1970), Bottero et al. (1978), Sloan (1987), Arai e
Nakagawa (1988), Arai e Jinki (1990) e Singh e Basudhar (1993-a).
Lysmer e Singh e Basudhar utilizam a mesma formulao, sendo que, Singh e
Basudhar resolvem o problema de programao matemtica pela tcnica de
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3
programao no linear do gradiente conjugado. Os dois autores formulam o problema
representando as tenses normais atuantes nos ns das faces dos elementos, usando o
artifcio de eliminar a tenso cisalhante da formulao.
As formulaes de Bottero et al. e Sloan apresentam grandes semelhanas entre
si e empregam tenses nodais como variveis primrias. A diferena entre elas est no
algoritmo empregado na soluo do problema de programao linear (PL).
Arai e Nakagawa apresentam aplicaes da formulao numrica pelo mtodo
do limite inferior a problemas de estabilidade de taludes.
1.2.1. b) - Formulao de limite superior
As solues dos problemas de estabilidade atravs das formulaes do limite
superior (teorema cinemtico) devem satisfazer exatamente s condies de
compatibilidade, de contorno em deslocamento e de escoamento do material.
Destacam-se para problemas de estabilidade pelo limite superior os trabalhos de
Tamura et al. (1984, 1987), Sloan (1989) e Jiang (1995).
1.2.1. c) - Formulao mista
A formulao mista pode ser caracterizada pela interpolao independente dos
campos de tenso e de velocidade no interior do elemento, satisfazendo
aproximadamente as condies de equilbrio e de contorno em tenso. As condies de
escoamento do material so satisfeitas exatamente.
Formulaes mistas de anlise limite so encontradas nos trabalhos de
Christiansen (1981), Casciaro e Cascini (1982), Faria (1992) e Farfn (2000).
1.2.2 - Formulaes para meios fraturados
As formulaes de anlise limite para meios contnuos podem ser estendidas aos
problemas de estabilidade em meios fraturados.
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4
1.2.2. a) - Formulaes de limite inferior
Citam-se os trabalhos de Yu e Sloan (1994), Arajo (1997), Arajo et al. (2000)
e Sousa (2001) baseados na formulao do limite inferior para meios fraturados.
1.2.2. b) - Formulaes de limite superior
Tamura e Pak (1989) trataram do problema de estabilidade em meios
descontnuos atravs da formulao do limite superior da anlise limite.
1.2.2. c) - Formulao mista
A formulao mista aplicada a meios fraturados tratada nos trabalhos de Faria
(1992) e Arajo et al. (1997).
1.2.3 - Formulaes para meios reforados
As formulaes de anlise limite para meios reforados encontradas na literatura
tcnica so recentes.
1.2.3. a) - Formulaes de limite inferior
Singh e Basudhar (1993-b), Yu e Sloan (1997), Francescato e Pastor (1997) e
Sousa (2001) utilizam a tcnica de modelagem do contnuo equivalente. No primeiro
trabalho emprega-se a tcnica de programao no linear, enquanto que nos outros, a
tcnica linear. Sousa (2001) tambm apresenta em seu trabalho a formulao pela
tcnica discreta.
1.2.3. b) - Formulaes de limite superior
Formulaes de problemas de estabilidade em meios reforados, baseados no
teorema cinemtico de anlise limite, podem ser encontrados em Yu e Sloan (1997),
Francescato e Pastor (1997), Asaoka (1994), Michalowski (1998) e em Porbaha et al.
(2000). Com exceo de Asaoka, o meio reforado tratado pela tcnica de modelagem
do contnuo equivalente.
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A Tabela 1.1 mostra uma sntese de trabalhos sobre os problemas de estabilidade
em meios contnuos, fraturados e reforados, atravs das formulaes numricas de
anlise limite, destacando-se, para os meios fraturados e reforados, as tcnicas de
modelagem empregadas por cada um.
Tabela 1.1 Sntese das formulaes numricas de anlise limite
Meios Tcnicas de modelagem
Autores Tipo de formulao
de anlise limite Lysmer (1970), Bottero et al. (1978), Sloan (1987), Arai e Nakagawa (1988), Arai e Jinki (1990), Singh e Basudhar (1993-a) e Sousa (2001).
Limite inferior
Tamura et al. (1984, 1987), Sloan (1989) e Jiang (1995)
Limite superior
Contnuos
Christiansen (1981), Casciaro e Cascini (1982) Farfn (2000) e Faria (1992).
Mista
Discreta Sousa (2001)
Yu e Sloan (1994), Arajo (1997), Arajo et al. (2000) e Sousa (2001).
Limite inferior Contnuo
equivalente Tamura e Pak (1989) Limite superior
Fraturados
Discreta
Faria (1992) e Arajo et al. (1997).
Mista
Discreta Sousa (2001)
Singh e Basudhar (1993-b), Yu e Sloan (1997) e Francescato e Pastor (1997)
Limite inferior
Contnuo equivalente Yu e Sloan (1997),
Francescato e Pastor (1997), Michalowski (1998) e Porbaha et al. (2000)
Reforados
Discreta Asaoka (1994)
Limite superior
Observa-se na Tabela 1.1 a inexistncia da formulao mista de anlise limite
para problemas de estabilidade em meios reforados.
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1.3 - PROBLEMA DE PROGRAMAO LINEAR
Em uma grande variedade de operaes econmicas, polticas, sociais e
cientficas, surgem freqentemente situaes em que se deseja maximizar ou minimizar
uma certa quantidade que uma medida de eficincia da atividade. Esta quantidade
pode ser, por exemplo, a produo total em um certo perodo de tempo ou o custo da
operao. Problemas de otimizao deste tipo so conhecidos como problemas de
programao matemtica (Noble e Daniel, 1986).
Problemas de programao matemtica em que esto envolvidos somente
equaes e inequaes lineares so denominados problemas de programao linear (PL)
e a soluo deles pode ser obtida atravs, por exemplo, do mtodo simplex (ver, p. ex.,
Noble e Daniel, 1986).
Assim, a listagem a seguir exemplifica um problema de programao linear:
maximize 21 x6040xZ ++++====
sujeito a:
2 1x + 2x ==== 70
1x + 2x 40
1x + 3 2x 90
1x 0
2x 0.
O problema de programao linear (PL), na forma padro, pode ser colocado na
forma matricial abaixo, Hadley (1982) :
Max XcT====Z
Sujeito a
11 bXA ====
22 bXA , 0X
onde:
Z a funo objetivo;
1A e 2A so matrizes que contm os coeficientes das relaes lineares;
1b e 2b so vetores dos termos independentes das relaes lineares;
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X o vetor das variveis do problema.
Consideram-se os problemas de PL na forma padro, aqueles nos quais, as
variveis do problema no assumem valores negativos ( 0X ). Os problemas de PL
resultantes das formulaes numricas apresentadas neste trabalho no esto na forma
padro, por apresentarem variveis (tenses incgnitas) que podem assumir valores
negativos.
Os problemas de PL podem ser resolvidos por programas comerciais. As
solues dos problemas de PL, resultantes dos exemplos estudados neste trabalho,
mesmo na forma no padro, foram obtidas pelo programa de computador LINDO
(Schrage, 1991).
1.4 - OBJETIVOS E ORGANIZAO DO TRABALHO
O presente trabalho tem o objetivo de apresentar formulaes mistas de anlise
limite, via mtodo dos elementos finitos, para problemas de estabilidade em meios
contnuos, fraturados ou reforados, na condio plana de deformao. Visa, tambm,
realizar a implementao da formulao apresentada e sua validao atravs de estudos
de casos de problemas de estabilidade em geotecnia.
Para a modelagem dos problemas de estabilidade em meios reforados, utilizam-
se as tcnicas do contnuo equivalente e discreta. O modelo do contnuo equivalente
aplicvel ao caso onde o espaamento do reforo pequeno em relao a uma dimenso
caracterstica do problema. A modelagem discreta pode ser aplicvel, quando h um
nmero relativamente pequeno de camadas de reforo, viabilizando a discretizao do
solo, das interfaces e do reforo.
No captulo 2, apresenta-se a formulao mista em tenso para meios contnuos,
fraturados ou reforados.
A implementao realizada neste trabalho, descrevendo-se os elementos
utilizados na discretizao do meio, est considerada no captulo 3.
No captulo 4, so estudados vrios problemas de estabilidade clssicos da
literatura tcnica com o programa computacional implementado, apresentando-se as
concluses pertinentes.
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Finalmente, no Captulo 5, so apresentadas as concluses do trabalho e
sugestes para futuros estudos.
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CAPTULO 2
FORMULAO MISTA DE ANLISE LIMITE
A formulao mista para meios contnuos pode ser estendida aos problemas de
estabilidade em solo reforados por meio de duas tcnicas de modelagem:
tcnica do contnuo equivalente;
tcnica discreta.
Para o caso de um meio constitudo de solo reforado, onde o espaamento do
reforo pequeno em relao a uma dimenso caracterstica do problema, pode ser
utilizada a tcnica do contnuo equivalente. Quando o meio apresentar poucas camadas
de reforo, viabilizando uma discretizao individual do solo e reforo, pode ser
utilizada a tcnica discreta.
Nas sees a seguir, apresentam-se as formulaes mistas, atravs do mtodo
dos elementos finitos (MEF), para meios contnuos e reforados. Os problemas de
programao matemtica gerados so aproximados pela tcnica de programao linear
(PL) para condio de deformao plana.
2.1 - FORMULAO MISTA PARA MEIOS CONTNUOS
A discretizao do meio contnuo, na formulao que se segue, pode ser feita
atravs do elemento quadrilateral de 4 ns bilinear em velocidade e tenso, elemento
4Q , ou do mesmo elemento, porm, de tenso constante, elemento C4Q . Para o elemento
4Q , as velocidades e as tenses so definidas nos pontos nodais do elemento. Para o
elemento C4Q , as velocidades so definidas nos pontos nodais do elemento e a tenso
constante no interior do elemento.
A Figura 2.1 ilustra dois arranjos de elementos finitos com os dois tipos de
elementos e os pontos onde so definidas as tenses.
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Figura 2.1 Representao esquemtica dos tipos de elementos finitos
2.1.1 - Equilbrio do elemento finito
A equao abaixo representa o equilbrio de um elemento finito (ver, p. ex.,
Arajo, 1997):
eT fxxB ====V )dV()( ;
onde:
uHxB ====)(
a matriz que relaciona deslocamento e deformao, (ver, p. ex., Cook, 1989);
====
x
) (
y
) (y
) (0
0x
) (
o operador diferencial que transforma deslocamento em deformao para o caso de
estado plano de deformao;
[[[[ ]]]]IIIIHu 4321 NNNN====
a matriz que contm as funes de interpolao do deslocamento;
I = matriz identidade (2x2);
(2.1)
a) Arranjo de elementos 4Q b) Arranjo de elementos C4Q
= ponto onde definida a tenso
= ponto nodal
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11
kN = funes de interpolao (ver, p. ex., Cook, 1989), k = 1, ..., 4;
)(x = tenso no domnio do elemento;
ef = vetor do carregamento nodal equivalente do elemento.
A interpolao das tenses no domnio do elemento, )(x , pode ser definida
pela seguinte expresso:
==== Hx)( .
No caso do elemento 4Q ,
[[[[ ]]]]IIIIHH 4321 NNNN========
a matriz que contm as funes de interpolao da tenso;
I = matriz de identidade (3x3);
[[[[ ]]]]4xy4y4x1xy1y1x K====T
o vetor das componentes de tenso nos pontos nodais do elemento.
Para o elemento C4Q ,
IH ====
[[[[ ]]]]xyyx ====T
o vetor das componentes de tenso no interior do elemento.
A substituio de )(x , equao (2.2), na equao (2.1), fornece a equao de
equilbrio do elemento:
eT fHB ====V dV(x) .
A equao anterior pode ser colocada sob a seguinte forma:
eTe fC ==== ;
onde:
==== V dV)( HxBCTT
e
a matriz de equilbrio do elemento.
O clculo da matriz de equilbrio do elemento, TeC , pode ser feito atravs do
mtodo de integrao numrica de Gauss (ver, p. ex., Bathe, 1982).
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
-
12
2.1.2 - Condio de escoamento do material
Adotando o critrio de escoamento de Mohr-Coulomb (trao positiva), sob
condio de deformao plana, Sloan (1987) aproximou a superfcie de escoamento por
uma pirmide de p-lados, obtendo o critrio sob a forma linearizada (Sloan, 1987):
)pcos(2ccosCBA xykykxk ++++++++ , k = 1, 2, ..., p
onde:
p)cos(senp)k2cos(Ak ++++==== ;
p)cos(senp)k2cos(Bk ++++==== ;
p)k2sen(2Ck ==== ;
= ngulo de atrito do material;
c = coeso do material;
p = nmero de lados da pirmide usada para aproximar a superfcie de
escoamento.
A relao (2.6) pode ser colocada na seguinte forma matricial:
iiTi RQ ;
onde:
====
ppp
222
111
CBA
CBA
CBA
MMM
TiQ
a matriz das restries de escoamento do material no ponto i (i = ponto onde a tenso
definida);
[[[[ ]]]]ixyiyix ====Ti
o vetor das componentes de tenso atuantes no ponto i;
(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]pcosccos2pcosccos2pcosccos2 K====TiR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento do material no ponto i,
com p componentes.
(2.6)
(2.7)
-
13
2.1.3 - Montagem do problema de programao linear (PL) em meios contnuos
A montagem da equao de equilbrio, equao (2.4), para todos os elementos da
malha e a imposio do critrio de escoamento do material, relao (2.7), em todos os
pontos onde as tenses so definidas conduzem a um problema de programao linear
(PL) no formato indicado no captulo 1, como mostrado por Faria (1992), que pode ser
posto sob a forma abaixo:
Max
Sujeito a
p0T ffXC ++++==== (restries de equilbrio);
RXQT (restries de escoamento do material);
onde:
TC obtida pela montagem das matrizes de equilbrio de todos os elementos da
malha, seguindo a mesma sistemtica de montagem da matriz de rigidez global (K),
tradicional do MEF, diferindo-se apenas no nmero de graus de liberdade, que passa a
ser 3 ( x , y , xy ) em cada ponto onde a tenso definida;
[[[[ ]]]]ntntnt xyyx1xy1y1x K====TX
o vetor das variveis do problema com 3 nt componentes;
nt = nmero de pontos onde as tenses so definidas;
====T
T1
Q00
00
00Q
Q
nt
OT
a matriz global das restries de escoamento do material obtida pela imposio da
condio de escoamento do material, relao (2.7), em todos os pontos onde as tenses
so definidas;
[[[[ ]]]]TT2T1T RRRR ntK==== o vetor global dos termos independentes das restries de escoamento do material;
f = vetor de carregamento global equivalente que pode tomar a seguinte forma
(Faria, 1992):
pv fff ++++====
(2.8)
-
14
onde:
pf = vetor do carregamento nodal equivalente devido s cargas permanentes;
0v ff ====
o vetor do carregamento nodal equivalente devido s cargas variveis;
0f = vetor do carregamento equivalente devido s cargas iniciais que so
ampliadas pelo escalar ;
= fator de colapso.
A montagem dos vetores pf e 0f segue a sistemtica padro do MEF e entende-
se por cargas permanentes aquelas que no so ampliadas pelo fator .
O problema de PL, acima colocado, no est na sua forma padro, uma vez que
as componentes de tenso podem assumir valores negativos. Este problema de PL,
mesmo no estando na forma padro, pode ser resolvido por programas comerciais,
como p. ex., o programa LINDO (Schrage, 1991) usado neste trabalho. O nmero de
variveis do problema igual a 3 nt+1 e o nmero de restries de escoamento dado
por p nt, onde p o nmero de lados da pirmide usada na aproximao da superfcie
de escoamento.
2.2 - FORMULAO PARA SOLO REFORADO PELA TCNICA DO
CONTNUO EQUIVALENTE
2.2.1 - Equilbrio do elemento
As restries de equilbrio do elemento permanecem na mesma forma das
equaes de equilbrio do elemento em meio contnuo, equao (2.4).
2.2.2 - Condio de escoamento do contnuo equivalente
Na formulao pela tcnica do contnuo equivalente, a condio de escoamento
do meio equivalente descrita atravs do critrio de escoamento do solo, da interface
solo-reforo e do reforo (Sousa, 2001).
Sob condio de deformao plana (plano x-y) e admitindo-se a hiptese de
validade do modelo contnuo equivalente (condio d/h
-
15
(1997) encontraram as seguintes equaes para as componentes de tenso atuante no
solo expressas no sistema global de coordenadas:
2rxsx cos====
2rysy sen====
sencosrxysxy ====
onde:
[[[[ ]]]]sxysysx)( ====Ts
a parcela da componente de tenso atuante no contnuo equivalente devida ao
solo;
[[[[ ]]]]xyyx ====T
o vetor das componentes de tenso atuante no contnuo equivalente;
rt
r
h
d ====
a parcela da componente de tenso atuante no contnuo equivalente devida ao reforo;
= ngulo formado pelo plano do reforo com o eixo ox (Figura 2.2).
Figura 2.2 Esquema de tenses no contnuo equivalente
(2.9)
(2.10)
(2.11)
y
x
t
n n
y
t
x
a) solo e reforo b) contnuo equivalente
stn
sn
st
rt
rtn
rn
tnn
t
solo
reforo
solo h
d
-
16
2.2.2. a) - Condio de escoamento do solo
O critrio de escoamento de Mohr-Coulomb, para condio plana de
deformao, pode ser colocado na forma da equao abaixo:
0]sen)(ccos2[)(2)(F 2sysx
2sxy
2sy
sxS ====++++++++==== .
A substituio das componentes de tenso no solo, equaes (2.9), (2.10) e
(2.11), no critrio acima definido, permite reescrev-lo em funo das tenses no
contnuo equivalente ( x , y e xy ) e da tenso no reforo (r ), na forma:
. 0]sen([2ccos
sen2(2cos2(F2r
yx
2rxy
2ryxs
====++++
++++====
)
))
A Figura 2.3 ilustra a linearizao interna do critrio de Mohr-Coulomb atravs
de uma pirmide de 3 lados, p = 3, (Yu e Sloan, 1997).
Figura 2.3 Linearizao interna do critrio de escoamento de Mohr-Coulomb
O critrio de escoamento em considerao pode ser colocado sob a forma
linearizada:
p , 2, 1,k )pcos(2ccosDCBA rkxykykxk K====++++++++++++
ou sob a forma matricial:
(2.12)
(2.13)
(2.14)
sen22Y rxy ====
)cos2(X ryx ====
222 RYX ====++++
Linearizao interna
da superfcie de escoamento
(p = 3)
)sen(2ccosR ryx ++++====
-
17
si
Tii
Ti RQQ ++++
ri
* )( ;
onde:
TiQ a matriz das restries de escoamento devida ao solo, equao (2.7);
[[[[ ]]]]ixyiyix =Ti
o vetor das componentes de tenso no contnuo equivalente;
====
p
2
1
*
D
D
D
)(M
TiQ
a matriz das restries de escoamento devida ao reforo;
)pcos(sen)pk2sen()pk2sen(sen2)pk2cos(cos2Dk ==== ;
[[[[ ]]]])pcos(2ccos)pcos(2ccos)pcos(2ccos)( K====TsiR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento;
p = nmero de lados da pirmide usada para aproximao da superfcie de
escoamento;
c = coeso do solo;
= ngulo de atrito do solo;
= ngulo formado pelo plano do reforo com o eixo ox (Figura 2.2).
A imposio do critrio de escoamento, relao (2.15), em todos os pontos onde
as tenses so definidas (nt), permite escrever a seguinte matriz global das restries de
escoamento do solo na forma abaixo:
[[[[ ]]]]TTTs QQQ )()( *==== .
2.2.2. b) - Condio de escoamento da interface solo-reforo
Condies de escoamento da interface solo-reforo podem ser impostas na
anlise pela tcnica do contnuo equivalente. O critrio de escoamento de Coulomb
define a regio vivel, Figura 2.4, conforme as seguintes relaes:
inNin tgc ;
inNin tgc ;
onde:
(2.15)
(2.16)
-
18
inc = coeso da interface solo-reforo;
in = ngulo de atrito da interface solo-reforo.
Figura 2.4 Regio vivel para o critrio de escoamento de Coulomb
A relao (2.17) descreve as restries de escoamento da interface solo-reforo
num ponto nodal i (Arajo,1997):
jii
Tji RQ )(
onde:
==== TQ Tji
in
in
tg1
tg1)(
a matriz das restries de escoamento da interface solo-reforo;
====
sen2cossen
cos2sen2sen222
21
21
T
a matriz de transformao das componentes de tenses;
[[[[ ]]]]inin cc)( ====TjiR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento da interface solo
reforo.
A imposio do critrio de escoamento, relao (2.17), em todos pontos onde as
tenses so definidas (nt), conduz seguinte matriz global das restries de escoamento
da interface solo-reforo:
====Tj
Tji
Tj
Q00
00
00Q
Q
)(
)(
)(
nt
O .
(2.17)
(2.18)
N
regio vivel
-
19
2.2.2. c) - Condio de escoamento do reforo
Condio de escoamento do reforo num ponto pode ser definida conforme a
seguinte expresso:
escr0 ,
onde:
esc o produto da percentagem de reforo pela tenso de escoamento do
reforo ( yield ), ou seja,
yieldesc h
d ==== .
As restries de escoamento do reforo num ponto nodal i, colocadas sob a
forma matricial, podem ser expressas pela seguinte relao:
riTr
i RQ ri)(
onde:
====
1
1)( TriQ
a matriz das restries de escoamento do reforo;
ri a tenso atuante no reforo;
[[[[ ]]]]esc0)( ====TriR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento do reforo.
A imposio do critrio de escoamento, relao (2.19), em todos os pontos onde
as tenses so definidas (nt), conduz seguinte matriz global das restries de
escoamento do reforo:
====Tr
Tr1
Tr
Q00
00
00Q
Q
)(
)(
)(
nt
O .
2.2.3 - Montagem do problema de PL na tcnica do contnuo equivalente
A montagem da equao de equilbrio, equao (2.4), para todos os elementos da
malha e a imposio do critrio de escoamento do solo, relao (2.15), da interface solo-
(2.19)
(2.20)
-
20
reforo, relao (2.17), e do reforo, relao (2.19), em todos pontos nodais da malha,
conduzem a um problema de PL, que pode ser colocado sob a forma abaixo:
Max
Sujeito a
0pT ffXC ++++==== (restries de equilbrio);
sTT RYQXQ nt++++ )(* (restries de escoamento do solo);
jTj RXQ nt)( (restries de escoamento da interface);
rTr RYQ nt)( (restries de escoamento do reforo);
onde:
[[[[ ]]]]ntntnt xyyx1xy1y1x K====TX
o vetor das componentes de tenso atuante no contnuo equivalente em todos os
pontos nodais;
====Tr
Tj
TT
T
Q0
0Q
QQ
Q
)(
)(
)( *
*
a matriz resultante de todas as matrizes globais das restries de escoamento do solo,
da interface solo-reforo e do reforo, relaes (2.16), (2.18) e (2.20);
[[[[ ]]]]rr2r1 nt K====TY o vetor global das componentes de tenso atuantes no reforo em todos os pontos
nodais;
[[[[ ]]]]TrTjTsT RRRR )()()( ntntnt==== o vetor global de todos termos independentes de todas as restries de escoamento
(solo, interface e reforo).
As restries do problema acima podem ser reescritas na forma mais compacta:
0pT ffXC ++++====
TT RY
XQ
*
o que o identifica como um problema de PL indicado no captulo 1.
2.3 - FORMULAO PARA SOLO REFORADO PELA TCNICA DISCRETA
-
21
A B
solo
solo
solo
solo
interfaces
reforo
modelo sem
interface modelo com
interface
Na primeira formulao apresentada pela tcnica discreta desconsidera-se o
efeito das interfaces solo-reforo. Nesta formulao simplificada, as condies de
compatibilidade so satisfeitas em todo o domnio do problema, isto , movimentos
relativos na interface solo-reforo no so modelados.
A formulao mista pela a tcnica discreta baseia-se na discretizao individual
do solo e do reforo em elementos finitos. A discretizao do solo pode ser feita por
elementos quadrilaterais de 4 ns e para cada par de ns por onde passa uma camada de
reforo definido um elemento unidimensional de 2 ns.
Na segunda formulao pela tcnica discreta, a interao solo-reforo
modelada com o emprego de elementos de interface. Assim, movimentos relativos entre
solo e o reforo podem ser considerados como nos exemplos de puxamento e
arrancamento de reforo estudados no captulo 4. Esta formulao d origem a um
problema de maior tamanho pelo aumento do nmero de pontos nodais e de elementos
de interface (ver Figura 2.5).
A Figura 2.5 ilustra um esquema de talude em solo reforado constitudo por
uma camada de reforo (linha A-B). Ilustra, tambm, detalhes da discretizao do meio
sem e com interface (sem espessura).
Figura 2.5 Modelos de interao solo-reforo
2.3.1 - Formulao para solo reforado sem emprego de elemento de interface
A seguir, apresenta-se a formulao do elemento de reforo, linear em tenso e
velocidade, sob condio de deformao plana. A Figura 2.6 ilustra um do elemento de
-
22
reforo de comprimento Lr, seo transversal Ar, por unidade de largura, e o ngulo
formado entre o plano do reforo e o eixo ox ( ).
Figura 2.6 Representao esquemtica do elemento de reforo
2.3.1. a) - Equilbrio do elemento de reforo
Interpolando-se a velocidade e tenso no sistema local de coordenadas do
elemento, tm-se as equaes abaixo:
uHu ====u(x) ;
tH
====t(x) ;
em que
[[[[ ]]]]21 hh======== u HH ;
[[[[ ]]]]21 uu====Tu ;
[[[[ ]]]]21 tt====Tt ;
r1 L
x1h ==== ;
r2 L
xh ==== ;
onde:
u(x) = velocidade num ponto (ponto a) do elemento de reforo;
t(x) = tenso de trao no elemento de reforo;
uH e H = matrizes das funes de interpolao;
u = vetor das velocidades nodais;
t = vetor das tenses de trao nos pontos nodais.
(2.21)
(2.22)
x`y
x
u1
u2
x1 a 2
u
a) Sistema local b) Sistema global
u1u2 t2 t1
-
23
O vetor das foras internas ( inf ) do elemento de reforo definido pela
expresso abaixo:
==== dxt(x)A rT
in Bf ;
onde:
[[[[ ]]]]11L
1
dx
d
r
======== uH
B ;
a matriz que relaciona velocidade e taxa de deformao;
Substituindo a tenso de trao, equao (2.22), na equao (2.23), tem-se a
expresso abaixo:
TCf TRin ==== ;
onde:
======== 11
11
2
1dx
Lr
0 TT
R HBC ;
a matriz de equilbrio do elemento de reforo no sistema local de coordenadas;
tT r2
1 AT
T====
====
o vetor das foras internas atuantes nos pontos nodais do elemento de reforo.
Expressando o vetor inf no sistema global de coordenadas, tem-se a seguinte
relao:
TCTCRf TglTR
Tglin
========
onde:
====
sensen
coscos
sensen
coscos
2
1TglC
a matriz de equilbrio do reforo no sistema global de coordenadas;
====
sen0
cos0
0sen
0cos
TR
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
-
24
a matriz de rotao de vetores (ver, p. ex., Cook, 1989);
2.3.1. b) - Condio de escoamento do reforo
As restries de escoamento do reforo so dadas por:
eTT0 ;
onde:
T = fora interna atuante num ponto nodal do reforo;
yieldre AT ====
a fora de escoamento do reforo trao;
As restries de escoamento do reforo, em um ponto i do elemento, colocadas
sob a forma matricial, podem ser expressas pela seguinte relao:
riTr
i RQ T)( ,
onde:
====
1
1-)( TriQ
matriz de escoamento do reforo;
[[[[ ]]]]eT0)( ====TriR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento do reforo.
2.3.1. c) - Montagem do problema de PL pela tcnica discreta sem elemento de
interface
A montagem da matriz de equilbrio do solo, equao (2.5), e da matriz de
equilbrio do reforo, equao (2.26), para todos os elementos de solo e reforo e a
prescrio das condies de escoamento do solo e reforo, relaes (2.7) e (2.27),
conduzem a um problema de PL, que pode ser colocado sob a forma abaixo:
Max
sujeito a
0pT ffXC ++++==== (restries de equilbrio)
RXQT (conjunto de todas restries de escoamento)
(2.27)
-
25
onde:
[[[[ ]]]]TrTsT CCC )()(====
a matriz global de equilbrio resultante da contribuio dos elementos de solo e
reforo;
====
Tr
TsT
Q0
0QQ
)(
)(
nr
nt
a matriz global das restries de escoamento do solo e reforo;
[[[[ ]]]]nrnt TT1 KK TT2T1TX ====
o vetor das componentes de tenso em todos os pontos nodais;
[[[[ ]]]]TrTsT RRR )()( nrnt====
o vetor global dos termos independentes das restries de escoamento dos materiais;
nt = nmeros de pontos onde as tenses so definidas;
nr = nmeros de pontos nodais onde existe reforo.
2.3.2 - Formulao para solo reforado com emprego de elementos de interface
A seguir, apresenta-se a formulao do elemento de interface linear em
velocidades e de tenso constante, sob condio de deformao plana.
A Figura 2.7 ilustra um elemento de interface de comprimento Li, por unidade
de largura, e sem espessura.
u1
1
4
3
2
u3
u4
u2
v4
v3
v1
v2
j
ua
ub
x, u
x`, u` y`, v`
y, v
n t
a) global b) local
a
b
-
26
Figura 2.7 Sistema de coordenadas do elemento de interface
2.3.2. a) - Equilbrio do elemento de interface
A deformao da interface no sistema de referncia local da interface pode ser
definida por
baj uu ====
Interpolando-se as velocidades nos pontos a e b, de mesmas coordenadas,
obtm-se as seguintes equaes:
43a uuu 12 hh ++++====
221 hh uuu 1b ++++====
onde:
[[[[ ]]]]aa vu====Tau
a velocidade no ponto a;
[[[[ ]]]]bb vu====Tbu
a velocidade no ponto b;
i1 L
x1h ==== ;
i2 L
xh ====
so as funes de interpolao das velocidades;
[[[[ ]]]]kk vu====Tku
a velocidade no ponto nodal k (k = 1, ..., 4).
A substituio das velocidades nos pontos a e b, equaes (2.29) e (2.30), na
equao (2.28), fornece a deformao da interface, na forma abaixo:
[[[[ ]]]] j1221j uHHHH ==== ;
onde:
[[[[ ]]]]1221j HHHHB ==== ;
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
-
27
IHk kh==== ; k = 1,2
I = matriz de identidade (2x2);
[[[[ ]]]]4321Tj uuuuu ====
o vetor das velocidades nos pontos nodais do elemento da interface.
A relao acima pode ser escrita sob a forma abaixo:
jjj uB ==== .
O vetor das foras internas ( inf ) do elemento de interface pode ser expresso pela
equao abaixo:
==== S dSjTjin Bf ;
onde:
[[[[ ]]]]====Tj
o vetor das tenses atuantes na interface (tenso de cisalhamento e tenso normal ao
plano da interface).
Para o elemento de interface de tenso constante vale a seguinte expresso:
jj I ==== .
A substituio da tenso atuante na interface, equao (2.35), na equao (2.34),
fornece a equao de equilbrio do elemento de interface sob a forma:
jTjin Cf ==== .
Integrando-se TjB , obtm-se a matriz de equilbrio no sistema local de
coordenadas da interface, sob a forma abaixo:
======== I
I
I
I
IBC TjTj 2
Lds i
s
.
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
-
28
A colocao da equao de equilbrio no sistema global de coordenadas feita
pela pr-multiplicao da matriz I , equao (2.37), pela matriz de rotao de vetores,
resultando a expresso abaixo:
====
T
T
T
T
glTj
M
M
M
M
C2
L)( i ,
onde:
====
cossen
sencosTM
a matriz de rotao de vetores.
2.3.2. b) - Condio de escoamento da interface
O critrio de escoamento de Coulomb usado para modelar a condio de
escoamento da interface e pode ser escrito sob a forma:
ji
ji
Tji RQ )( ;
onde:
====
in
in
tg1
tg1)(
Tj
iQ
a matriz das restries de escoamento num elemento de interface;
[[[[ ]]]]N)( ====Tji
o vetor das tenses atuantes no interior do elemento de interface;
[[[[ ]]]]inin cc)( ====TjiR
o vetor dos termos independentes das restries de escoamento num elemento de
interface;
inc = coeso da interface;
in = ngulo de atrito da interface.
2.3.2. c) - Montagem do problema de PL pela tcnica discreta e com elemento de
interface
(2.38)
(2.39)
-
29
A montagem da matriz de equilbrio do solo, equao (2.5), da matriz de
equilbrio do reforo, equao (2.26), e da matriz de equilbrio da interface, equao
(2.38), para todos os elementos de solo, reforo e interface, conduz equao de
equilbrio global, na forma abaixo:
p0T ffXC ++++====
onde:
[[[[ ]]]]TrTjTsT CCCC )()()(====
a matriz global de equilbrio resultante da contribuio dos elementos de solo,
interface e reforo;
[[[[ ]]]]nrnjnt TT)()( 1 KKK TjTj1TT2T1TX ====
o vetor das componentes de tenso em todos os elementos de solo, interface e reforo;
nt = nmero de pontos onde as tenses so definidas;
nj = nmero de elementos de interface;
nr = nmero de pontos nodais onde existe reforo.
Da imposio da condio de escoamento do solo, relao (2.7), do reforo,
relao (2.27), e da interface, relao (2.39), obtm-se as restries de escoamento
global, sob a forma abaixo:
RXQT
onde:
====Tr
Tj
Ts
T
Q00
0Q0
00Q
Q
)(
)(
)(
nr
nj
nt
a matriz de escoamento global das restries de escoamento do solo, do reforo e da
interface;
[[[[ ]]]]TrTjTsT RRRR )()()( nrnjnt====
vetor global dos termos independentes das restries de escoamento dos materiais;
A formulao conduz ao problema de PL, que pode ser colocado sob a forma
abaixo:
Max
sujeito a
(2.40)
(2.41)
-
30
0pT ffXC ++++==== (restries de equilbrio)
RXQT (conjunto de todas restries de escoamento)
-
CAPTULO 3
IMPLEMENTAO NUMRICA REALIZADA
3.1 - INTRODUO
A implementao computacional foi baseada no programa ANALIM,
desenvolvido por Arajo (1997). Na primeira etapa do trabalho, foi implementada a
alocao dinmica de vetores e matrizes no programa existente. Em seguida foram
implementadas as rotinas necessrias para a soluo de problemas de estabilidade em
meios reforados, modelados pelas tcnicas do contnuo equivalente e discreta, baseadas
na formulao mista da anlise limite descrita no captulo 2.
Para a modelagem de problemas de estabilidade em solos reforados, atravs da
tcnica do contnuo equivalente, a discretizao do domnio feita atravs de elementos
quadrilaterais de 4 ns. Na modelagem destes problemas em meios reforados, atravs
da tcnica discreta, o domnio discretizado em elementos quadrilaterais de 4 ns para
modelar o solo e em elementos unidimensionais de 2 ns para modelar o reforo,
podendo, ou no, empregar o elemento de interface para modelar a interao solo-
reforo.
A validao das implementaes realizadas foi feita comparando-se as solues
numricas com solues analticas conhecidas. Quando no conhecidas as solues
analticas, comparam-se os resultados numricos com respostas obtidas atravs de
formulaes de outros autores.
3.2 - MODELOS DE ELEMENTOS IMPLEMENTADOS
Para os problemas de estabilidade em meios contnuos ou reforados, estudados
neste trabalho, foram implementados os elementos bidimensionais quadrilaterais de 4
ns para discretizar o solo, elementos unidimensionais de 2 ns para discretizar o
-
32
reforo e elementos de interface de 4 ns sem espessura para a discretizao das
interfaces.
3.2.1 - Modelagem de contnuo ou contnuo equivalente
Para a modelagem de problemas em meios contnuos e meios reforados pela
tcnica do contnuo equivalente, foram implementados dois tipos de elementos
bidimensionais:
elemento quadrilateral de 4 ns, bilinear em velocidade e tenso, elemento
4Q ;
elemento quadrilateral de 4 ns, bilinear em velocidade e de tenso
constante, elemento C4Q .
3.2.2 - Modelagem discreta
Nos problemas de estabilidade em solos reforados, utilizando-se a tcnica
discreta, possvel considerar, ou no, o efeito da interface solo-reforo.
3.2.2. a) - Modelagem discreta sem emprego de elementos de interface
Para a modelagem de problemas em meios reforados utilizando-se da tcnica
discreta, sem emprego de elementos de interface, foram feitas duas implementaes
com os seguintes elementos:
elemento 4Q para modelar o solo e o elemento unidimensional de 2 ns,
linear em velocidade e tenso, para modelar o reforo;
elemento C4Q para modelar o solo e o elemento unidimensional de 2 ns,
linear em velocidade e de tenso constante, para modelar o reforo.
3.2.2. b) - Modelagem discreta com emprego de elementos de interface
A implementao, considerando-se a tcnica discreta e o efeito da interface, foi
feita com os seguintes elementos: elemento C4Q para modelar o solo, o elemento
unidimensional de 2 ns, linear em velocidade e tenso, para modelar o reforo e o
-
33
elemento de interface sem espessura de 4 ns, linear em velocidade e de tenso
constante, para modelar o efeito da interface solo-reforo.
3.2.3 - Critrios de escoamento implementados
Para o solo envolvido no problema, adotam-se os critrios de escoamento de
Mohr-Coulomb ou Tresca, sendo o critrio de Tresca tratado como um caso particular
do anterior para solo puramente coesivo ( = 0). A aproximao do critrio de
escoamento do solo pela forma linearizada foi utilizada de modo a tratar o problema
pela tcnica de PL.
Para a modelagem da interface solo-reforo, adota-se o critrio de escoamento
de Coulomb.
A condio de escoamento do reforo imposta pela limitao da tenso atuante
no reforo ao limite de escoamento do material. Por outro lado, desprezada a
capacidade do reforo de trabalhar compresso.
-
34
3.3 - FLUXOGRAMA
O fluxograma esquemtico das implementaes numricas mostrado na Figura
3.1.
Figura 3.1 Fluxograma
Incio Incio
Entrada de dados gerados pelo
MTOOL
Gerao do problema de PL pelo
ANALIM
Soluo do problema de PL pelo
LINDO
Fim Fim
Leitura de dados
Gerao da funo objetivo
Gerao das restries de equilbrio
Gerao das restries de escoamento
a) Geral b) ANALIM
-
35
A soluo numrica dos problemas de estabilidade, nesta implementao,
realizada em trs etapas: pr-processamento (MTOOL), gerao do modelo de PL
(ANALIM) e soluo do problema de PL (LINDO) , esquematizadas na Figura 3.1a.
A seguir uma apresentao das trs etapas do fluxograma geral (Figura 3.1a),
destacando-se os arquivos de entrada e sada de cada etapa.
O exemplo ilustrativo trata de compresso simples de um elemento de solo,
indicado na Figura 3.2, com as propriedades:
c = 1 kPa;
0======== .
O critrio de escoamento de Mohr-Coulomb aproximado por uma pirmide de
3 lados (p = 3), relao (2.6).
Figura 3.2 Compresso simples de um elemento
3.3.1 - Pr-processamento
Esta etapa executada pelo programa MTOOL, desenvolvido pelo grupo de
Computao Grfica da PUC/Rio. Nela gerada a malha de elementos finitos planos
que armazenada num arquivo denominado Neutral file de extenso .nf.
A listagem a seguir mostra o arquivo exemplo.nf gerado pelo programa
MTOOL para o problema definido na Figura 3.2. Destacam-se na listagem as
1
3
2
4
5 m
5 m
0q = 1 kPa
-
36
coordenadas dos pontos nodais, as condies de contorno essenciais e naturais, as
propriedades do material e a incidncia dos pontos nodais no elemento.
%HEADER File created by mtool program %HEADER.ANALYSIS 'plane_stress' %NODE 4 %NODE.COORD 4 1 0.000000 0.000000 0.000000 2 5.000000 0.000000 0.000000 3 0.000000 5.000000 0.000000 4 5.000000 5.000000 0.000000 %NODE.SUPPORT 2 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 %MATERIAL 1 %MATERIAL.LABEL 1 1 'xisto' %MATERIAL.MOHR_COULOMB 1 1 0 3 1 0 %INTEGRATION.ORDER 1 1 0 0 0 0 0 0 %ELEMENT 1 %ELEMENT.Q4 1 1 1 0 1 1 2 4 3 %LOAD 1 1 'Load_Case_1' %LOAD.CASE 1 %LOAD.CASE.NODAL.FORCES 2 3 0 -2.5 0 0 0 0 4 0 -2.5 0 0 0 0 %CODE.LOAD 1 0 0 0 0 1 %END
Para o caso do solo reforado modelado pela tcnica discreta, no possvel
gerar os elementos de interface e de reforo atravs do programa MTOOL. As
informaes necessrias, tais como a incidncia dos pontos nodais nos elementos e as
propriedades dos materiais da interface e do reforo, so editadas manualmente no
arquivo neutro (neutral file) atravs de um editor de texto.
(Coordenadas dos pontos nodais)
(Condio de contorno essencial)
(Propriedades do material)
(Incidncia dos pontos nodais no elemento)
(Condio de contorno natural)
-
37
3.3.2 - Gerao do problema de PL
O arquivo gerado na etapa anterior (exemplo.nf) usado para a entrada de
dados do programa computacional ANALIM. O programa ANALIM gera a funo
objetivo a ser otimizada, as restries de fluxo dos materiais e as restries de equilbrio
do problema. A Figura 3.1b ilustra o fluxograma da implementao numrica realizada.
No arquivo gerado pelo programa ANALIM, de extenso .lin, armazenam-se,
na notao usual da matemtica, as restries acima mencionadas. A listagem abaixo
mostra o contedo do arquivo exemplo.lin (modelo de PL) gerado pelo programa, via
elemento 4Q .
No caso do elemento 4Q , definem-se 3 componentes de tenso ( x , y e xy )
em cada ponto nodal, que na listagem abaixo correspondem s variveis X1, X2 e
X3, por exemplo, para o n 1. Para o problema em questo, so definidos 12 ( 3 nt)
variveis, 12 ( p nt) restries de escoamento do solo e 5 equaes (restries) de
equilbrio do elemento.
A varivel X13 representa o ao fator de colapso que amplifica carga inicial
unitria 0q (Figura 3.2).
MAX X13 SUBJECT TO ! restricoes de fluxo da rocha intacta 2) -.500000X1 +.500000X2 +1.732051X3 < 2.000000 3) -.500000X1 +.500000X2 -1.732051X3 < 2.000000 4) +1.000000X1 -1.000000X2 < 2.000000 5) -.500000X4 +.500000X5 +1.732051X6 < 2.000000 6) -.500000X4 +.500000X5 -1.732051X6 < 2.000000 7) +1.000000X4 -1.000000X5 < 2.000000 8) -.500000X7 +.500000X8 +1.732051X9 < 2.000000 9) -.500000X7 +.500000X8 -1.732051X9
-
38
< 2.000000 10) +1.000000X7 -1.000000X8 < 2.000000 11) -.500000X10 +.500000X11 +1.732051X12 < 2.000000 12) -.500000X10 +.500000X11 -1.732051X12 < 2.000000 13) +1.000000X10 -1.000000X11 < 2.000000 ! restricoes de equilibrio 14) -.83333X1 +.41667X3 -.83333X4 +.83333X6 -.41667X7 +.41667X9 -.41667X10 +.83333X12 = .000000 15) +.41667X1 -.83333X3 +.41667X4 -.41667X6 +.83333X7 -.83333X9 +.83333X10 -.41667X12 = .000000 16) -.83333X2 +.41667X3 -.41667X5 +.41667X6 -.83333X8 +.83333X9 -.41667X11 +.83333X12 -2.50000X13 = .000000 17) -.41667X1 -.41667X3 -.41667X4 -.83333X6 -.83333X7 -.41667X9 -.83333X10 -.83333X12 = .000000 18) -.41667X2 -.41667X3 -.83333X5 -.41667X6 -.41667X8 -.83333X9 -.83333X11 -.83333X12 -2.50000X13 = .000000 END FREE X1 FREE X2 FREE X3 FREE X4 FREE X5 FREE X6 FREE X7 FREE X8 FREE X9 FREE X10 FREE X11 FREE X12
As variveis declaradas como FREE (listagem acima) informam ao LINDO
que elas podem assumir valores negativos no processo de otimizao.
-
39
3.3.3 - Soluo do problema de PL
O arquivo gerado na etapa anterior usado para a entrada de dados do programa
LINDO (Schrage, 1991). No arquivo de sada do programa LINDO, de extenso .prn,
armazenam-se o fator de colapso do problema e os valores das tenses incgnitas.
A listagem seguinte a imagem do arquivo exemplo.prn gerado pelo LINDO.
Nela encontram-se a soluo tima do problema de PL e os valores das variveis
(componentes de tenso) na condio de timo.
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2.000000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X13 2.000000 0.000000 X1 0.000000 0.000000 X2 -2.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 -2.000000 0.000000 X6 0.000000 0.000000 X7 0.000000 0.000000 X8 -2.000000 0.000000 X9 0.000000 0.000000 X10 0.000000 0.000000 X11 -2.000000 0.000000 X12 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.000000 0.000000 3) 3.000000 0.000000 4) 0.000000 0.250000 5) 3.000000 0.000000 6) 3.000000 0.000000 7) 0.000000 0.250000 8) 3.000000 0.000000 9) 3.000000 0.000000 10) 0.000000 0.250000 11) 3.000000 0.000000 12) 3.000000 0.000000 13) 0.000000 0.250000 14) 0.000000 0.000000 15) 0.000000 0.200000 16) 0.000000 0.000000 17) 0.000000 -0.200000 18) 0.000000 0.200000 19) 0.000000 -0.200000 NO. ITERATIONS= 8
-
CAPTULO 4
PROBLEMAS ESTUDADOS
Os exemplos apresentados neste captulo tratam dos problemas de estabilidade
em meios contnuos, meios constitudos de solo reforado modelados pela tcnica do
contnuo equivalente e pela tcnica discreta sem e com elementos de interface.
Em todos os exemplos, adota-se o critrio de escoamento de Mohr-Coulomb
aproximado por uma superfcie piramidal de 24 lados (p = 24), sob condio de
deformao plana e os materiais (solo, interface e reforo) modelados como materiais
rgido-plsticos perfeitos.
4.1 - PROBLEMAS DE ESTABILIDADE EM MEIOS CONTNUOS
Os exemplos de problemas de estabilidade em meios contnuos tm a finalidade
de avaliar o desempenho dos elementos implementados. Os resultados numricos
obtidos pelos dois tipos de elementos, elementos 4Q e C4Q , so comparados com
solues tericas conhecidas.
4.1.1 - Capacidade de carga de uma sapata corrida
A Figura 4.1 esquematiza o problema da capacidade de carga de uma sapata
rasa, flexvel e rugosa, em meio homogneo, constitudo de um solo sem peso e ngulo
de atrito varivel ( 1c ==== kPa e 0 ==== ). A carga inicial unitria ( 0q = 1 kPa) ser ampliada
pelo fator de colapso , conforme a expresso abaixo:
0u qq ====
onde:
uq = soluo numrica da capacidade de carga da fundao.
-
41
A capacidade de carga de uma sapata corrida superficial e solo sem peso ( ult.q )
calculada pela seguinte equao (Terzaghi, 1943):
Cult. cNq ====
onde:
c = coeso do solo;
CN = fator de capacidade de carga de Terzaghi que depende de .
Para o caso de sapata rasa, Figura 4.1a, em solo com 1c ==== kPa, a capacidade de
carga ( ult.q ) dada pela expresso abaixo:
Cult. Nq ==== .
Como 0q = 1 kPa, a soluo numrica do problema ( uq ) iguala ao fator CN .
Figura 4.1 Capacidade de carga de uma sapata
A malha de elementos finitos, com detalhes das condies de contorno,
empregada na anlise, est ilustrada na Figura 4.1b. Para simular a rugosidade da
sapata, restringe-se o movimento horizontal dos pontos nodais sob a sapata (Figura
4.1b).
feita uma anlise paramtrica da capacidade de carga da fundao em funo
do ngulo de atrito do material ( ), onde os resultados so comparados com a soluo
terica (Nc) de Terzaghi e apresentados na Tabela 4.1,
(4.1)
B
a) Esquema da sapata corrida
0q
B/2
b) Malha de elementos finitos
-
42
onde:
Nc ( 4Q ) = fator de capacidade de carga obtido pelo elemento 4Q ;
Nc ( C4Q ) = fator de capacidade de carga obtido pelo elemento C4Q .
Tabela 4.1 Fator de capacidade de carga (Nc) em funo de
(o) 0 10 20 30
Nc 5,14 8,35 14,84 30,14 Nc ( 4Q ) 5,11 8,40 14,95 28,03
Nc ( C4Q ) 5,30 8,71 15,77 32,16
Observa-se, na tabela acima, uma pequena diferena entre as solues numricas
e a de Terzaghi (Nc).
4.1.2 - Talude vertical
A Figura 4.2a ilustra um problema de estabilidade de um talude vertical de altura
H = 6 m constitudo de um solo coesivo (c = 6 kPa e varivel) e peso especfico
inicial unitrio ( 0 = 1 kN/m3). O peso especfico do solo no colapso (ruptura) pode ser
calculado pela expresso:
0 ====
onde:
= peso especfico do solo na ruptura do talude;
= fator de colapso.
O nmero de estabilidade (Ns) pode ser escrito sob a forma (Chen, 1975):
c
HN cs
==== .
A substituio dos valores da altura e dos parmetros do solo, na equao acima,
fornece a expresso:
====sN .
A malha de elementos finitos empregada na anlise numrica est representada
na Figura 4.2b.
(4.2)
(4.3)
(4.4)
-
43
Figura 4.2 Talude vertical
A Tabela 4.2 apresenta a variao de Ns em funo de ngulo de atrito do
material, onde:
Ns ( 4Q ) = soluo numrica via elemento bilinear em tenso ( 4Q );
Ns ( C4Q ) = soluo numrica via elemento de tenso constante (C4Q ).
Tabela 4.2 Nmero de estabilidade em funo de
() Ns ( 4Q ) Ns (C4Q ) Ns Chen
10 3,72 3,57 3,83 15 4,79 4,69 5,02 20 5,23 5,17 5,50 30 6,31 6,47 6,69 40 7,90 8,47 8,29
A tabela anterior mostra que as solues numricas aproximam adequadamente
o problema em estudo.
4.1.3 - Empuxos de terra
Este exemplo, estudado por Arajo (1997), trata da determinao dos empuxos
ativo e passivo sobre uma parede vertical, rgida e lisa, com 10 m de altura, (Figura
4.3a), onde consideram-se as seguintes propriedades para o solo:
a) Definio esquemtica b) Malha de elementos finitos
H=6m
9 m
H=6m 0 (kN/m3)
c = 6 kPa
-
44
= 1,5 tf/m3 ;
= 30.
A malha empregada para estudo dos empuxos ativo e passivo est ilustrada na
Figura 4.3b.
Figura 4.3 Empuxo de terra
As solues analticas dos empuxos de terra pela teoria de Rankine so
expressas pelas seguintes equaes (ver, p. ex., Bowles, 1982):
aa21
a kcH2kE ====2 ;
pp21
p kcH2kE ++++====2 ,
onde:
)2(45tgk o2a ==== ;
ap k1k ==== .
A Tabela 4.3 apresenta o resultado da anlise paramtrica dos empuxos, em
funo da coeso do solo, onde:
aE e pE = empuxo ativo e passivo de terra pela teoria de Rankine;
4QaE e 4
QpE = o empuxo ativo e passivo de terra, via numrica, do elemento
bilinear em tenso; C4Q
aE e C4Q
pE = o empuxo ativo e passivo de terra, via numrica, do elemento de
tenso constante.
(4.5)
(4.6)
10 m
32 m
E
a) Esquema do problema b) Malha de elementos finitos
-
45
Tabela 4.3 Empuxos de terra ativo e passivo (tf/m)
c (kPa) aE 4
QaE
C4Q
aE pE 4Q
pE C4Q
pE
0 25,0 24,99 25,00 225,0 225,27 225,00 1 13,45 13,69 13,75 259,64 260,11 259,64
Um exame dos resultados obtidos pelos elementos implementados, Tabela 4.3,
mostra que as solues numricas so praticamente exatas.
4.2 - PROBLEMAS MODELADOS PELA TCNICA DO CONTNUO
EQUIVALENTE
Os exemplos a seguir apresentam uma comparao do desempenho dos
elementos implementados para problemas de estabilidade em meios constitudos de solo
reforado modelados pela tcnica do contnuo equivalente. Quando no conhecida a
soluo analtica, os resultados numricos obtidos pelos elementos implementados so
comparados com solues numricas obtidas por outras formulaes.
4.2.1 - Resistncia compresso simples de solo reforado
A Figura 4.4a esquematiza um meio constitudo de solo reforado com camadas
horizontais de reforo (d/h
-
46
)22ctg(45)2(45tg20c ++++++++++++====oo
onde:
c = resistncia compresso simples do solo reforado;
yield0 h
d ==== ;
= ngulo de atrito do solo;
h = espaamento das camadas de reforo;
d = espessura do reforo;
yield = tenso de escoamento do reforo.
Figura 4.4 Compresso simples de solo reforado
A Tabela 4.4 apresenta os resultados obtidos da resistncia compresso
simples ( c ) do solo reforado e as solues numricas, em funo de 0 ,
onde:
c ( 4Q ) = resistncia compresso simples do solo reforado, via numrica, do
elemento 4Q ;
c (C4Q ) = resistncia compresso simples do solo reforado, via numrica, do
elemento C4Q .
(4.8)
c
a) Definio esquemtica b) Malha de elementos finitos
0q
1 m
1 m
-
47
Tabela 4.4 Resistncia compresso simples do solo reforado (kPa)
0 (kPa) c c ( 4Q ) c (C4Q )
0 3,46 3,41 3,41 1,0 6,46 6,37 6,37 2,0 9,46 9,34 9,34 5,0 18,46 18,24 18,24
Um exame dos resultados obtidos pelos elementos implementados, Tabela 4.4,
mostra que as solues numricas so praticamente exatas.
4.2.2 - Talude vertical
A Figura 4.5 ilustra um talude vertical de 6 metros de altura constitudo por um
material no coesivo e modelado pela tcnica do contnuo equivalente, estudado por
Sousa (2001) e Yu e Sloan (1997) que chegaram seguinte relao para o nmero de
estabilidade ( ):
0
H
==== ,
onde:
H = altura do talude vertical;
= peso especfico do solo;
yield0 h
d ==== .
Figura 4.5 - Estabilidade de talude pela tcnica do contnuo equivalente
(4.9)
6 m
a) Definio esquemtica
-
48
A substituio dos dados do problema, H = 6 m e 0 = 6 kPa, na equao (4.9)
fornece
= .
Os resultados obtidos, utilizando a malha de elementos finitos indicada na
Figura 4.2b, para vrios ngulos de atrito, so apresentados na Tabela 4.5. Encontram-
se, tambm, na Tabela 4.5 os valores encontrados por Sousa (2001) e Sawicki (Yu e
Sloan, 1997), pelas formulaes do limite inferior e superior.
Tabela 4.5 Nmeros de estabilidade para um problema de talude reforado
() Ss 4Q
C4Q Sw
10 1,9 2,03 2,05 2,9 15 2,4 2,50 2,64 3,4 20 3,0 3,27 3,33 4,2 30 4,8 5,10 5,30 6,0 40 7,2 7,99 8,65 9,1
Legenda:
Ss - Nmero de estabilidade encontrado por Sousa (2001);
Sw - Nmero de estabilidade encontrado por Sawicki (Yu e Sloan, 1997);
4Q - Nmero de estabilidade encontrado pelo elemento bilinear em tenses;
C4Q - Nmero de estabilidade encontrado pelo elemento de tenso constante.
Um exame da Tabela 4.5 mostra que as solues numricas apresentam
resultados concordantes com os obtidos pelas formulaes dos limites inferior e
superior.
4.2.3 - Capacidade de carga de fundao em solo reforado
A Figura 4.6 mostra um esquema de uma sapata corrida, rasa e flexvel sobre um
meio constitudo de solo reforado em camadas horizontais (d/h
-
49
0u qq ====
onde:
= fator de colapso;
0q = carga inicial unitria ( 0q = 1 kPa).
A malha de elementos finitos com detalhes das condies de contorno,
empregada na anlise numrica est representada na Figura 4.1b.
Figura 4.6 Esquema do problema de uma fundao em solo reforado
A Tabela 4.6 apresenta os resultados da anlise atravs do elemento bilinear em
tenso. O fator , definido abaixo, compara a capacidade de carga da fundao em solo
reforado com o caso da fundao em solo sem reforo:
u0
u
q
q====
onde:
u0q = capacidade de carga da fundao em solo sem reforo.
Tabela 4.6 Capacidade de carga de uma fundao em solo reforado (kPa) via
elemento bilinear em tenso
o10==== o20==== o30==== 0 (kPa)
uq uq uq
- 8,28 1,00 14,7 1,00 27,16 1,00 0,5 9,06 1,09 15,9 1,08 29,19 1,07 1,0 9,83 1,19 17,17 1,17 31,21 1,15 1,5 10,61 1,28 18,42 1,25 33,23 1,22 2,0 11,38 1,37 19,66 1,34 35,25 1,30
A Tabela 4.7 apresenta os valores encontrados na mesma anlise, porm, pelo
elemento de tenso constante.
(4.10)
(4.11)
B
0q
-
50
Tabela 4.7 Capacidade de carga de uma fundao em solo reforado (kPa) via
elemento de tenso constante
o10==== o20==== o30==== 0 (kPa)
uq uq uq
- 8,59 1,00 15,43 1,00 31,07 1,00 0,5 9,39 1,09 16,80 1,09 33,66 1,08 1,0 10,19 1,19 18,17 1,18 36,24 1,17 1,5 10,98 1,28 19,52 1,27 38,82 1,25 2,0 11,78 1,37 20,86 1,35 41,39 1,33
Para ilustrar a influncia das caractersticas da interface solo-reforo na
capacidade de carga de uma fundao em solo reforado, foram fixados os seguintes
parmetros de escoamento do solo e reforo:
solo: = 0, c = 1,0 kPa e = 30o;
reforo: 0 = 1,0 kPa.
A Tabela 4.8 apresenta os valores da capacidade de carga de uma fundao em
solo reforado, admitindo-se o escoamento da interface solo-reforo, em funo das
propriedades da interface ( inc e in ).
Tabela 4.8 Influncia dos parmetros de escoamento da interface na capacidade
de carga de uma fundao (kPa) em solo reforado
uq ( 4Q ) uq (C4Q ) in (
)
inc = 1 kPa inc = 0,5 kPa inc = 1 kPa inc = 0,5 kPa 30 31,21 28,81 36,24 34,23 20 28,24 25,31 32,11 28,68 15 25,70 23,27 29,07 25,93 10 23,29 20,84 26,18 23,09
Observa-se, na tabela acima, que admitindo-se o escoamento da interface solo-
reforo com os parmetros de escoamento iguais ao do solo, os valores sombreados
coincidem com os correspondentes (valores em itlico) apresentados na Tabela 4.6 e
Tabela 4.7. Observa-se, tambm, a coerncia dos resultados, Tabela 4.8, que diminuem
com a reduo dos parmetros de escoamento da interface.
-
51
4.3 - PROBLEMAS MODELADOS PELA TCNICA DISCRETA
4.3.1 - Modelagem sem elementos de interface
4.3.1. a) Talude reforado
A Figura 4.7 ilustra um talude de 4 m de altura e inclinado de 63,44 em relao
a horizontal (1H:2V), constitudo de um material puramente coesivo (c = 9,8kPa) e peso
especfico ==== 16,3 kN/m3, em condio de deformao plana, estudado por Asaoka et
al. (1994), por meio de outra formulao numrica baseada no limite superior.
Os reforos so posicionados horizontalmente como esboado na Figura 4.7a,
tendo comprimento varivel (Lr) e a malha de elementos finitos (Figura 4.7b) indica as
condies de contorno do problema. No estudo de Asaoka et al., admite-se que no h
escoamento do reforo, nem deslizamento na interface solo-reforo. Assim, para efeito
de comparao de resultados, as restries de escoamento do reforo e da interface no
foram prescritas, de modo a simular a hiptese de Asaoka et al.
Figura 4.7 Estabilidade de taludes pela tcnica discreta
A Tabela 4.9 apresenta os resultados da maximizao do peso especfico do solo
( eq. ) e os respectivos fatores de segurana, encontrados para o caso de uma camada
posicionada na altura mdia do talude (CD) e de trs camadas posicionadas ao longo de
sua altura (AB, CD e EF), com o comprimento do reforo varivel (Lr).
Lr
16 m
4 m
A B C D
F E
a) Definio esquemtica b) Malha de elementos finitos
2 m
-
52
Tabela 4.9 Fatores de segurana para um talude modelado pela tcnica discreta
CASO Lr
(m) eq. ( 4Q ) eq. (
C4Q ) Fs
* ( 4Q ) Fs (C4Q )
Asaoka et al. Fs
- 12,72 12,66 0,78 0,78 0,79 3 12,75 12,71 0,78 0,78 0,79 5 12,94 12,87 0,79 0.79 0,80
01 camada
de reforo (CD) 7 13,31 13,39 0,81 0,82 0,84 3 13,05 12,82 0,80 0,79 0,80 5 13,78 13,13 0,84 0,81 0,82
03 camadas de reforo
(AB, CD e EF) 7 15,01 14,03 0,92 0,86 - * Fs = fator de segurana ( eq ), eq em kN/m
3
A Tabela 4.9 mostra que os resultados obtidos pela presente formulao
apresentam excelente concordncia com os de Asaoka et al.
4.3.1. b) Capacidade de carga de uma fundao em solo com uma camada de reforo
A Figura 4.8 ilustra uma sapata flexvel, rasa e rugosa sobre um terreno
constitudo de solo puramente coesivo (c = 1 kPa) e sem peso, com uma camada
horizontal de reforo. Neste problema proposto por Asaoka (1994), calcula-se a
capacidade de carga da sapata em funo da profundidade da camada do reforo (Ld).
A malha de elementos finitos, a mesma utilizada por Asaoka et al., com detalhes
da condio de contorno, empregada na anlise, est ilustrada na Figura 4.8b.
Figura 4.8 Capacidade de carga de fundao em solo reforado
B/2 = 10 m
20 m
20 m
0q
Ld
Lr
B
a) Esquema do problema b) Malha de elementos finitos
Ld
-
53
O comprimento do reforo considerado fixo (Lr = 20 m) e posicionado sob a
sapata. Asaoka desconsidera a condio de escoamento do reforo. A Tabela 4.10
apresenta a soluo numrica do problema em funo de Ld.
Tabela 4.10 Capacidade de carga de fundao (kPa) em solo com uma camada de
reforo
Ld (m) )(Qq 4u )(QqC4u uq Asaoka
- 5,18 5,11 5,26 4 5,52 5,27 5,86 8 8,31 8,38 8,96 12 5,20 5,16 5,43
A tabela acima mostra a influncia da profundidade da camada de reforo na
capacidade de carga da fundao. Conclui-se desta tabela que os resultados obtidos pela
presente formulao apresentam excelente concordncia com os de Asaoka et al.
4.3.2 - Exemplos de validao do elemento de interface
Nos estudos de validao do elemento de interface foram empregados o
elemento C4Q para modelar o solo e o elemento de interface, linear em velocidade e de
tenso constante, para modelar o efeito da interface.
4.3.2. a) Cisalhamento de uma interface sob carga uniforme e triangular
O problema trata da determinao da resistncia ao cisalhamento da interface de
dois blocos de solo, submetidos a carregamentos normais (uniforme e triangular) como
mostrado na Figura 4.9.
Na malha de elementos finitos, a linha AB representa dois elementos de
interface. As condies de contorno do problema so tais que apenas o bloco superior
pode deslocar para a direita (Figura 4.9).
Para o solo foram adotadas propriedades (c = 10 kPa, = 0 e = 30 ) tais que
o escoamento seja possvel apenas na interface.
-
54
Figura 4.9 Cisalhamento de interface
Sobre o lado superior da interface, Figura 4.9a, atua uma tenso de cisalhamento
de valor inicial unitria ( 0 = 1 kPa), que ser ampliada pelo fator de colapso ,
conforme a expresso abaixo:
0f ====
onde:
f = tenso cisalhante de escoamento (resistncia ao cisalhamento).
A resistncia ao cisalhamento da interface sob o carregamento uniforme, Figura
4.9a, considerando a condio de escoamento de Coulomb, pode ser expressa pela
seguinte equao:
inNinf tgc ++++====
para o carregamento uniforme;
onde:
inc = coeso da interface;
in = ngulo de atrito da interface;
N = tenso normal ao plano de interface (carga permanente).
(4.12)
(4.13)
a) carga uniforme b) carga triangular
B 0
B
kPa 10 ====1 m
1 m
1 m 1 m 1 m 1 m
kPa 10q ====kPa 10q0 ====
A A
x
-
55
A Tabela 4.11 apresenta a resistncia ao cisalhamento da interface sem
espessura sob carregamento uniforme em funo dos parmetros de escoamento da
interface.
Tabela 4.11 Resistncia ao cisalhamento da interface (kPa), para o carregamento
uniforme
inc (kPa) in ( ) f f
Analtico
0 0,00 0,00 0 30 5,77 5,77 0 5,00 5,00 5 30 10,77 10,77 0 10,00 10,00 10 30 15,77 15,77
Para o caso de carregamento triangular, a tenso normal ao plano da interface
pode ser expressa por:
xL
q(x)
i
0N ==== ;
onde:
0q = 10 kPa (Figura 4.9b);
iL = 2 m (Figura 4.9).
A substituio de (x)N no critrio de escoamento da interface, equao (4.13),
fornece a equao abaixo:
x tgL
qc in
i
0inf
++++====
Com base na equao acima, para inc = 0 e in = 30, encontra-se kPa 775f ,====
no ponto B.
Partindo-se de uma distribuio triangular inicial indicada na Figura 4.9b,
obtm-se o seguinte o fator de colapso:
= 5,77
o que corresponde a um valor de f = 5,77 kPa no ponto B.
(4.14)
(4.15)
-
56
A concluso do estudo indica que a soluo numrica exata para o caso em
considerao.
4.3.2. b) Compresso simples de um corpo de prova com uma interface inclinada
O problema trata da compresso simples de um corpo de prova com uma
descontinuidade persistente, com as seguintes propriedades para o material intacto:
c = 2 kPa;
= 0;
= 30;
A Figura 4.10 ilustra a malha de elementos finitos para o caso de uma
descontinuidade inclinada de 45 (linha A-B).
A soluo numrica da resistncia compresso simples do corpo de prova
definida pela seguinte expresso:
0c q ====
onde:
= fator de colapso;
0q = carga inicial unitria ( 0q = 1 kPa).
Figura 4.10 Compresso de corpo de prova com uma descontinuidade
(4.16)
1 m
1 m
1 m
1 m
A
B
0q
-
57
A transformao da tenso no plano da descontinuidade pode ser feita atravs da
seguinte expresso:
====
xy
y
x
22
21
21
N
sen2cossen
cos2sen2sen2
onde:
x = 0;
y = c (no escoamento);
xy = 0.
Para o caso em considerao, obtm-se as seguintes tenses no plano da
descontinuidade:
c50 ,==== ;
cN 50 ,==== .
A substituio e na expresso do critrio de Coulomb,
inNin tgc ++++==== ,
fornece a soluo do problema:
)tg-(1