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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM DESCONTINUIDADES DE ROCHA UTILIZANDO A TÉCNICA DA
FOTOELASTICIDADE
SÉRGIO VEIGA FLEURY
Orientador: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA PUBLICAÇÃO: G.DM-083/01
Brasília / DF: Julho / 2001
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM DESCONTINUIDADES DE ROCHA UTILIZANDO A TÉCNICA DA
FOTOELASTICIDADE
SÉRGIO VEIGA FLEURY
Dissertação de Mestrado submetida ao Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da Universidade de Brasília como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre. Aprovado por: ______________________________________ André Pacheco de Assis, PhD, UnB (ORIENTADOR) ______________________________________ Ennio Marques Palmeira, PhD, UnB (EXAMINADOR INTERNO) ______________________________________ Izabel Christina A. D. Azevedo, DSc, UFV (EXAMINADOR EXTERNO) Brasília, 09 de julho de 2001.
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
FLEURY, SÉRGIO VEIGA Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade.
xxii, 147 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2001) Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1. Mecânica das Rochas 2. Fotoelasticidade 3. Ensaios de laboratório 4. Modelagem Física I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA FLEURY, S.V. (2001). Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 083/01, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 147 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Sérgio Veiga Fleury TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade. GRAU: Mestre ANO: 2001 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Sérgio Veiga Fleury Rua T-47, nº 355, apto. 1702 – Setor Oeste 74140-120 – Goiânia – GO – Brasil Tel. (0xx62) 253 1949
iv
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho aos meus pais pelo incentivo constante e à minha esposa que durante
esse período nunca deixou de me apoiar.
v
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais e irmãos, pela confiança e encorajamento. A minha esposa Juliana pela
dedicação, apoio e carinho sempre presentes.
Ao Professor André pelos conhecimentos transmitidos e principalmente pelo incentivo,
paciência e amizade demonstrados durante toda a nossa convivência.
Aos professores do Programa de Pós-graduação em Geotecnia da UnB pelo
aprendizado, orientação e pela solicitude.
Ao Professor Mauricio Sales e ao engenheiro Nelson Caproni por terem me incentivado
nos estudos na área de Geotecnia.
A FURNAS Centrais Elétricas S.A., que através do Centro Tecnológico de Engenharia
Civil, localizado em Goiânia (GO), disponibilizou os equipamentos e meios para a execução
dos ensaios com utilização da técnica da fotoelasticidade.
Aos engenheiros de FURNAS S.A.; Adhemar, Cláudia, Emídio, Renato, Wanderson e
Taylor e geólogos Carlos e Magalhães pelo apoio e compreensão nos momentos em que
foram necessárias as ausências das atividades normais de trabalho. Ao Engenheiro João Luiz
Armelin pelo auxílio na definição de diretrizes para a realização dos ensaios.
Aos colegas e amigos Alcindo, Aldo, Alessandra, André, Carlos, Cíntia, Edson, Gilson,
Janaina, João Carlos, João Renato, Lílian, Marilene, Marisaides, Moacyr, Nelson,
Huberlandy, Newton, Paulo, Rideci e Ronny pela convivência e amizade que indiretamente
permitiram a realização deste trabalho.
Ao CNPq, pelo apoio financeiro.
vi
RESUMO
O estudo das descontinuidades de rocha é necessário para a compreensão do
comportamento de deformação, resistência e permeabilidade dos maciços rochosos.
Freqüentemente essas estruturas geológicas governam as condições de estabilidade e
deformabilidade das estruturas de engenharia em rocha. As características da superfície das
descontinuidades afetam o seu comportamento ao cisalhamento, em particular a rugosidade.
Enquanto a avaliação da resistência ao cisalhamento de descontinuidades rochosas encontra-
se satisfatoriamente resolvida, ainda permanece um relativo grau de incerteza na estimativa da
área real de contato e o seu efeito na variação da distribuição e concentração de tensões nas
proximidades de regiões onde o cisalhamento ocorre. Esta dissertação apresenta uma revisão
bibliográfica dos principais aspectos que influenciam nas propriedades de deformabilidade e
resistência das descontinuidades e um estudo fotoelástico que procura avaliar a influência da
rugosidade. A técnica experimental da fotoelasticidade por reflexão foi utilizada para
investigar a distribuição de tensões em descontinuidades com diferentes graus de rugosidade,
reproduzidas em modelos fabricados artificialmente em resina epóxi. Essa técnica de análise
de tensões permitiu avaliar a contribuição das irregularidades na distribuição de tensões sob
carregamento uniaxial e sob cisalhamento. Também foi ensaiado um modelo obtido de um
perfil de descontinuidade real, com boa reprodução da morfologia da superfície, mostrando
ser viável o estudo de rugosidades naturais por meio de modelagem física. São apresentados
ainda os princípios da fotoelasticidade, bem como as técnicas para interpretação e
quantificação dos parâmetros fotoelásticos, os materiais mais utilizados e métodos para sua
escolha e calibração.
vii
ABSTRACT
The study of rock discontinuities is necessary for understanding the rock mass behavior
in terms of deformability, strength and permeability. Frequently, these geologic structures
govern the stability and deformability of rock engineering works. The surface characteristics
of rock discontinuities affect its shear behavior, in particular the roughness. White the
evaluation of the discontinuity shear strength is well developed; the estimative of the actual
contact area still needs better understanding and consequently its influence on the stress
distribution and concentration on local areas where the shear happens. This dissertation
presents a bibliography review on the main aspects, which influence the deformability
proprieties and strength of discontinuities. It also reviews how photoelastic technique may be
used to evaluate the roughness effects. The photoelasticity experimental technique by
reflection was used to investigate the stress distribution on discontinues with different grades
of roughness, reproduced by artificial models made of epoxy resin. Stress analyses were
performed to evaluate the roughness effects during uniaxial compression and shear tests. The
principles of photoelasticity are also presented, as well as the interpretation and quantification
of photoelastic parameters, and the adopted materials and methods for their selection and
calibration.
viii
ÍNDICE
Capítulo Página
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 OBJETIVO 2
1.2 ESCOPO DA DISSERTAÇÃO 3
2 COMPORTAMENTO GERAL DAS DESCONTINUIDADES ROCHOSAS 4
2.1 INTRODUÇÃO 4
2.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 4
2.2.1 Comportamento durante o cisalhamento 5
2.2.2 Critério linear de Mohr-Coulomb 7
2.2.3 Comportamento de dilatância 8
2.2.4 Modelo de Barton e Bandis para descontinuidades rochosas 10
2.2.5 Modelo de Ladanyi & Archambault 12
2.2.6 Modelo de Denby & Scoble 14
2.3 DEFORMABILIDADE DAS DESCONTINUIDADES 14
2.3.1 Conceito de rigidez normal e tangencial 15
2.3.2 Deformabilidade normal 16
2.3.2.1 Descontinuidades encaixadas 17
2.3.2.2 Descontinuidades deslocadas 22
2.3.2.3 Comparação entre rigidez de descontinuidades encaixadas e deslocadas 23
2.3.3 Deformabilidade tangencial 23
2.4 EFEITO DE ESCALA E SUA IMPLICAÇÃO NO MODELO DE BARTON E BANDIS 27
2.5 MECANISMO DE DEFORMAÇÃO E RUPTURA DAS IRREGULARIDADES 28
2.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 31
3 TEORIA DA FOTOELASTICIDADE 32
3.1 INTRODUÇÃO 32
3.2 NATUREZA DA LUZ 33
3.3 FUNDAMENTOS DA LUZ POLARIZADA 35
ix
3.4 MATERIAIS BIRREFRINGENTES E FOTOELÁSTICOS 37
3.5 POLARISCÓPIOS 42
3.5.1 Polariscópio plano 42
3.5.2 Polariscópio circular 44
3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 46
4 TÉCNICAS E APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE 47
4.1 INTERPRETAÇÃO DO PADRÃO DE FRANJAS FOTOELÁSTICAS 47
4.1.1 Interpretação da distribuição das deformações 47
4.1.2 Comportamento característico das franjas 49
4.1.3 Relações entre ordem das franjas e as magnitudes de deformações e tensões 50
4.1.4 Determinação das direções das deformações principais 52
4.2 MEDIDAS PONTUAIS 53
4.2.1 Método de compensação por balanço nulo 54
4.2.2 Separações de deformações e/ou tensões 54
4.3 CORREÇÕES DAS MEDIDAS DA ORDEM DAS FRANJAS 57
4.3.1 Birrefringência inicial 57
4.3.2 Efeitos de reforço em problemas de tensão plana 59
4.4 MATERIAIS FOTOELÁSTICOS 59
4.4.1 Materiais utilizados 61
4.4.2 Calibração do material fotoelástico 62
4.4.3 Seleção de revestimentos fotoelásticos 62
4.4.3.1 Método de aplicação do revestimento 62
4.4.3.2 Sensibilidade 63
4.4.3.3 Efeito de reforço 64
4.4.3.4 Deformação máxima 65
4.5 MODELOS FOTOELÁSTICOS 66
4.6 REGISTRO DE APLICAÇÃOS DA FOTOELASTICIDADE EM MECÂNICA DAS ROCHAS 68
5 ENSAIOS DE CISALHAMENTO COM A TÉCNICA DA
FOTOELASTICIDADE 72
5.1 INTRODUÇÃO 72
5.2 MATERIAIS 72
5.2.1 Revestimento 72
x
5.2.2 Modelos 76
5.3 ENSAIOS 81
5.4 DESCRIÇÃO E FUNCIONAMENTO DO POLARISCÓPIO 85
5.4.1 Descrição do analisador 87
5.4.2 Acessórios 88
5.5 PROCEDIMENTOS DE OBTENÇÃO DOS PARÃMETROS FOTOELÁSTICOS 88
5.5.1 Aquisição automática de dados 89
5.5.2 Registro fotográfico e análise de campo completo 91
5.5.3 Separação de deformações 91
5.5.3.1 Configuração do instrumento e alinhamento para medições de separação de
deformações 91
5.5.3.2 Procedimento para medida das deformações 92
5.5.3.3 Redução de dados 93
5.5.3.4 Convenção de sinais para uso com medidas de incidência oblíqua e compensação
por balanço nulo 93
5.5.4 Efeito de reforço 94
5.6 ANÁLISE FOTOELÁSTICA 94
6 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO E ANÁLISE
FOTOELÁSTICA 96
6.1 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO 96
6.2 EFEITO DAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 107
6.3 DESCRIÇÃO DE UM ENSAIO COMPLETO 109
6.4 EFEITO DA RUGOSIDADE SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL 115
6.5 EFEITO DA RUGOSIDADE DURANTE O CISALHAMENTO 121
6.6 ESTUDO DO MODELO DE DESCONTINUIDADE REAL 134
7 CONCLUSÕES 140
7.1 MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DAS DESCONTINUIDADES 140
7.2 ANÁLISE EXPERIMENTAL POR FOTOELASTICIDADE 140
7.3 ANÁLISE FOTOELÁSTICA DOS ENSAIOS 142
7.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS 143
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145
xi
LISTA DE FIGURAS
Figura Página
Figura 2.1 – Envoltórias de resistência de pico e residual (modificado – Brady & Brown,
1985).................................................................................................................. 5
Figura 2.2 – Comportamento ao cisalhamento das descontinuidades (modificado – Goodman,
1980).................................................................................................................. 6
Figura 2.3 – Envoltória bilinear de resistência (modificado – Brady & Brown, 1985)..... 9
Figura 2.4 – Relação entre tensão normal e deslocamento total para descontinuidades
encaixadas e deslocadas, comparadas com a curva para rocha intacta
(modificado, Bandis et al., 1983).................................................................... 19
Figura 2.5 - Influência da rugosidade e alteração da descontinuidade no comportamento
de fechamento (modificado – Barton, 1986)................................................. 21
Figura 2.6 – Influência da escala na resistência ao cisalhamento de descontinuidades
(modificado – Bandis, 1990)..............................................................................28
Figura 2.7 – Mecanismo de deformação e ruptura (modificado – Xu & Freitas, 1990).... 29
Figura 3.1 – Onda de luz.....................................................................................................33
Figura 3.2 – Diferença de fase entre ondas.........................................................................34
Figura 3.3 – Polarização da luz (modificado – Measurements Group, 1981).................... 36
Figura 3.4 – Luz polarizada plana (modificado – Dyer, 1985)...........................................36
Figura 3.5 – Luz polarizada circular (modificado – Dyer, 1985).......................................37
Figura 3.6 – Placa birrefringente (modificado – Gomes, 1984)......................................... 37
Figura 3.7 – Polariscópio plano (modificado – Measurements Group, 1981)...................43
Figura 3.8 – Polariscópio circular (modificado – Measurements Group, 1981)................45
Figura 4.1 – Franjas observadas sob luz monocromática (Measurements Group, 1984).. 48
Figura 4.2 – Determinação da direção das deformações principais (modificado –
Measurements Group, 1984).......................................................................... 53
Figura 4.3 – Franjas isoclínicas em incrementos de 15º, em anel carregado
diametralmente (modificado – Measurements Group, 1981)......................... 53
Figura 4.4 – Polariscópio equipado com o compensador e equipamento para leitura
xii
e registro dos dados de deformação............................................................... 55
Figura 4.5 – Adaptador para incidência oblíqua fixado no polariscópio........................... 55
Figura 4.6 – Trajetória da luz nas medidas de incidência oblíqua (modificado –
Measurements Group, 1984).......................................................................... 56
Figura 4.7 – Distribuição das isocromáticas em um estudo da propagação de fissuras em
problemas de fraturamento hidráulico (Franklin & Dusseault, 1989) ........... 70
Figura 5.1 – Viga para calibração do revestimento fotoelástico........................................ 74
Figura 5.2 – Gráfico de ordem da franja pela leitura do micrômetro ................................ 75
Figura 5.3 – Aspecto da placa quando moldada em temperatura ambiente superior
a 25°C ............................................................................................................ 77
Figura 5.4 – Detalhe da montagem do corpo-de-prova nos ensaios de compressão
uniaxial........................................................................................................... 78
Figura 5.5 – Curvas tensão-deformação da resina epóxi utilizada na fabricação dos
modelos .......................................................................................................... 79
Figura 5.6 – Evidências da concentração de tensões devido irregularidades nas
extremidades .................................................................................................. 79
Figura 5.7 – Evidências da colagem deficiente do revestimento fotoelástico.................... 80
Figura 5.8 – Preparação dos modelos ................................................................................ 80
Figura 5.9 – Modelo obtido a partir de descontinuidade de biotita-xisto .......................... 81
Figura 5.10 – Perfis de rugosidade dos modelos................................................................ 82
Figura 5.11 – Vista geral da prensa e de um ensaio em andamento................................... 82
Figura 5.12 – Caixa de cisalhamento para ensaios fotoelásticos........................................ 83
Figura 5.13 – Vista do conjunto para ensaios de cisalhamento direto e prensa de carga
controlada ........................................................................................... ........... 84
Figura 5.14 – Detalhe da prensa de carga controlada utilizada nos ensaios de
cisalhamento direto ........................................................................................ 84
Figura 5.15 – Representação esquemática de um polariscópio de reflexão (modificado
Measurements Group, 1984) ......................................................................... 85
Figura 5.16 – Polariscópio de reflexão .............................................................................. 86
Figura 5.17 – Esquema do analisador (modificado Measurements Group, 1984) ............ 87
Figura 5.18 – Acessórios utilizados com o polariscópio.................................................... 89
xiii
Figura 6.1 – Gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade
plana................................................................................................................ 97
Figura 6.2 – Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade plana..................................................................................... 97
Figura 6.3 – Envoltória de resistência de Mohr-Coulomb para descontinuidade plana.... 98
Figura 6.4 – Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com
JRC igual a 3................................................................................................... 101
Figura 6.5 – Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 3................................................................ 101
Figura 6.6 – Gráficos tensão deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC
igual a 8........................................................................................................... 102
Figura 6.7 – Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 8................................................................ 102
Figura 6.8 – Gráficos tensão deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC
igual a 15......................................................................................................... 103
Figura 6.9 – Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 15.............................................................. 103
Figura 6.10 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 3........... 105
Figura 6.11 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 8........... 105
Figura 6.12 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 15......... 106
Figura 6.13 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade plana no ensaio de
cisalhamento direto......................................................................................... 108
Figura 6.14 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e
valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e
u = 0,0 mm...................................................................................................... 110
Figura 6.15 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e
valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e
u = 2,5 mm...................................................................................................... 111
Figura 6.16 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e
valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e
u = 4,0 mm...................................................................................................... 112
Figura 6.17 – Evolução da máxima tensão cisalhante máxima com o deslocamento........ 113
Figura 6.18 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob
compressão axial............................................................................................. 116
xiv
Figura 6.19 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 sob
compressão axial............................................................................................. 117
Figura 6.20 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 sob
compressão axial............................................................................................. 118
Figura 6.21 – Evolução da máxima tensão cisalhante máxima na compressão axial.........119
Figura 6.22 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob
compressão axial e deslocamento horizontal de 2,5 mm................................ 120
Figura 6.23 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa...................... 122
Figura 6.24 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa...................... 123
Figura 6.25 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa...................... 124
Figura 6.26 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa...................... 125
Figura 6.27 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa...................... 126
Figura 6.28 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa...................... 127
Figura 6.29 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa...................... 128
Figura 6.30 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa...................... 129
Figura 6.31 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante
ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa...................... 130
Figura 6.32 – Evolução da máxima tensão cisalhante........................................................ 134
Figura 6.33 – Gráficos tensão-deformação cisalhante para descontinuidade de
biotita-xisto..................................................................................................... 134
Figura 6.34 – Gráficos tensão-deformação cisalhante para modelo................................... 135
Figura 6.35 – Envoltórias de resistência para modelo e rocha........................................... 136
Figura 6.36 – Distribuição de isocromática no ensaio de cisalhamento com tensão normal de
0,5 MPa .......................................................................................................... 136
Figura 6.37 – Distribuição de isocromática no ensaio de cisalhamento com tensão normal de
1,0 MPa .......................................................................................................... 137
xv
Figura 6.38 – Distribuição de isocromática no ensaio de cisalhamento com tensão normal de
2,0 MPa .......................................................................................................... 138
Figura 6.39 – Evolução da máxima tensão cisalhante no modelo e da máxima diferença entre
deformações principais na rocha.................................................................... 139
xvi
LISTA DE TABELAS
Tabela Página
Tabela 4.1 – Condições de ensaio e sensibilidade esperada (modificada – Measurements
Group, 1984)...................................................................................................... 65
Tabela 5.1 – Propriedades físicas e óticas da placa de revestimento fotoelástico.............. 73
Tabela 5.2 – Propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos modelos.............. 78
Tabela 5.3 – Propriedades físicas da biotita-xisto.............................................................. 85
Tabela 6.1 – Resultados dos ensaios realizados com o martelo de Schmidt...................... 99
Tabela 6.2 – Estimativa dos valores do coeficiente de rugosidade das descontinuidades.. 100
Tabela 6.3 – Parâmetros mecânicos característicos............................................................ 104
Tabela 6.4 – Determinação das deformações e tensões principais individuais.................. 115
Tabela 6.5 - Máxima diferença entre deformações principais e tensão cisalhante
máxima........................................................................................................... 133
xvii
LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES
A constante do modelo de Denby & Scoble
a constante do modelo hiperbólico para fechamento de descontinuidades
A constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades
a razão entre a rigidez tangencial secante no escoamento e a tensão normal
A rugosidade relativa
A vetor luminoso
ABCM Associação Brasileira de Ciências Mecânicas
Abstr. Abstracts
aj abertura inicial da descontinuidade
as razão entre a área das asperezas cisalhadas e a área cisalhada total
b coeficiente de escala dos eixos x e y
B constante do modelo de Denby & Scoble
B constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades
b constante do modelo hiperbólico para fechamento de descontinuidades
B deslocamento tangencial relativo
Braz. Brazilian
c coesão aparente
C constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades
c velocidade de propagação da luz no vácuo
C constante do modelo de Goodman para fechamento de descontinuidades
C constante ótica
cm centímetro
Conf. Conference
Cong. Congress
cos co-seno
Cpr fator de correção da ordem de franja para reforço no estado de tensão plana
D constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades
d diferença de fase linear entre duas ondas
desl. Deslocada
dh deslocamento tangencial
xviii
E módulo de elasticidade
E* razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico e o do objeto
em ensaio
eds. editors
enc. encaixada
et al. et alli (e outros)
Eurock European Rock Mechanics Symposium
f constante de franja ou sensibilidade do revestimento
f coeficiente de atrito de pico sob σn
f freqüência
fε constante de franja ou sensibilidade do revestimento em termos de deformação
fσ constante de franja ou sensibilidade do revestimento em termos de tensão
G giga (x 109)
Geomech. Geomechanics
h espessura
h* razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do objeto em ensaio
Hz hertz
i ângulo de inclinação das irregularidades
i ângulo de dilatância
I intensidade da luz
IBRAM Instituto Brasileiro de Mineração
Int. International
ISRM International Society of Rock Mechanics
J. Journal
JCS resistência à compressão das paredes da descontinuidade
JRC coeficiente de rugosidade da descontinuidade
JRCm rugosidade mobilizada
JRCp rugosidade natural ou nominal da descontinuidade
K coeficiente ótico de deformação do material fotoelástico
K kilo (x 103)
K1 constante do modelo de Ladanyi & Archambault
K2 constante do modelo de Ladanyi & Archambault
Kj número de rigidez
xix
Kn e Knn rigidez normal
Kni rigidez normal inicial
Kns rigidez normal devido a deslocamentos cisalhantes
Ks e Kss rigidez cisalhante
Ksi rigidez cisalhante tangente inicial
Ksm rigidez cisalhante máxima
Ksn rigidez tangencial devido a deslocamentos normais
Kst rigidez cisalhante para um dado nível de tensão normal e cisalhante
Ksy rigidez tangencial secante no escoamento
L comprimento
LVDT linear variable displacement transducer
m parâmetro do modelo de Ladanyi & Archambault
m constante do modelo hiperbólico para deformabilidade tangencial
M mega (x 106)
m metro
Mech. Mechanics
min minuto
Min. Mining
mm milímetro
n índice de refração ou densidade ótica
N ordem da franja ou diferença de fase
n razão entre resistência à compressão uniaxial e resistência à tração da rocha
n nano (x 10-9)
N Newton (unidade de força)
n subscrito para campo
n constante do modelo hiperbólico da deformabilidade tangencial
Nθ ordem da franja sob incidência oblíqua
Nf birrefringência final
Ni birrefringência inicial
nj expoente de rigidez (inclinação da relação log-log entre a rigidez cisalhante
inicial Ksi e σn)
Nn ordem da franja sob incidência normal
o subscrito para laboratório
p subscrito para modelo ou peça em ensaio
xx
p constante da formulação semi-logarítmica para fechamento de
descontinuidades deslocadas
p. página
pa pressão atmosférica
Pa pascais
pp. entre páginas
Proc. Proceedings
PUC Pontifícia Universidade Católica
q constante da formulação semi-logarítmica para fechamento de
descontinuidades deslocadas
r número de reação de Schmidt em superfícies de descontinuidades úmidas
R número de reação de Schmidt em superfícies serradas secas
r subscrito para revestimento
Ref. Referência
Rfj razão de ruptura ou razão da tensão de ruptura pela tensão predita
s segundo
Sci. Sciences
sen seno
Symp. Symposium
t tempo
t constante do modelo de Goodman para fechamento de descontinuidades
T período da radiação
tan tangente
tult assíntota horizontal da hipérbole τ- dh.
u deslocamento cisalhante ou tangencial
UK United Kingdom
up deslocamento tangencial de pico
USA United States of America
USP Universidade de São Paulo
v velocidade de propagação da luz
v deslocamento normal
Vi fechamento irreversível
Vm fechamento máximo
Vmc fechamento máximo
xxi
vol. volume
ym amplitude do vetor luminoso
z razão entre a tensão de escoamento e tensão cisalhante de pico
∆D variação de deflexão
∆Vj variação do fechamento da descontinuidade sob uma dada tensão normal
∆Vr variação de deformação da rocha intacta.
∆Vt variação da deformação total do bloco com descontinuidade sob tensão normal
φ ângulo de atrito
φm ângulo de atrito mobilizado
φR ângulo de atrito residual
φb ângulo de atrito básico
ν razão de dilatância devido o cisalhamento (igual a dy/dx)
µ coeficiente médio de atrito para superfícies de contato (igual a tanφb)
η grau de encaixe
ν coeficiente de Poisson
δ retardação relativa
β ângulo entre o eixo de polarização do analisador e a direção das tensões
principais
β ângulo de incidência da luz polarizada com o eixo rápido de um material
birrefringente
γxy deformação cisalhante máxima no plano da superfície
τmax tensão cisalhante máxima
βi parâmetro de isoclínica da tensão principal maior na birrefringência inicial
βf parâmetro de isoclínica da tensão principal maior na birrefringência final
γw peso unitário da água
γmax deformação cisalhante máxima
ε deformação
εx, εy deformações principais
σc resistência à compressão não confinada da rocha intacta
σn tensão normal
σi tensão normal inicial
σt resistência à tração
xxii
σT tensão de transição
σx, σy tensões principais
τ tensão de cisalhamento
τf resistência ao cisalhamento de pico
µ micro (x 10-6)
γ peso específico
τy tensão de escoamento
λ comprimento de onda
º graus
ºC graus Celsius
% por cento
1
1. INTRODUÇÃO
As descontinuidades rochosas são de grande interesse nos estudos de estabilidade de
estruturas em engenharia. As propriedades de deformabilidade e resistência das
descontinuidades são componentes fundamentais do comportamento de um maciço rochoso
fraturado. Em baixos níveis de tensão, como em escavações próximas a superfície ou mesmo
sob altos níveis de tensão associados com grandes estruturas, o deslizamento e fechamento
das descontinuidades constituem a principal parcela da deformação dos maciços. Já os seus
parâmetros de rigidez normal e tangencial exercem grande influência na distribuição das
tensões e deslocamentos dentro do maciço, constituindo importantes dados de entrada nas
técnicas de simulação numérica. O entendimento completo da resposta das descontinuidades
em termos de deformação em relação à variação da rugosidade, resistência das paredes e
abertura também é essencial no estudo da permeabilidade dos maciços rochosos (Bandis et al.,
1983). Devido a sua importância no comportamento dos maciços rochosos, modelos próprios
para interfaces e descontinuidades são fundamentais nas análises de estabilidade (Ichikawa et
al., 1990).
A literatura apresenta um grande número de trabalhos documentando aspectos da
resistência ao cisalhamento e do comportamento tensão-deformação das descontinuidades.
Desde Patton (1966), pesquisadores têm apresentado diferentes modelos constitutivos para
simular a resposta das descontinuidades às diversas solicitações. De acordo com Bandis
(1990) existem duas principais linhas para a descrição quantitativa das propriedades
mecânicas das descontinuidades de rocha: a aproximação teórica, a qual adota teorias
conhecidas, como plasticidade, teoria do contato etc; e a aproximação empírica, na qual uma
grande quantidade de dados é analisada para derivar correlações entre as variáveis de
influência e formular modelos de acordo com o comportamento observado. Outros trabalhos
combinam as duas aproximações ou tratam o problema analiticamente.
O comportamento ao cisalhamento das descontinuidades de rocha depende das
características da sua superfície, em particular da rugosidade que é um dos fatores de maior
influência nas suas propriedades mecânicas. Contudo, não é bem claro quais fatores da
rugosidade influem na resistência ao cisalhamento, de modo que a descrição da morfologia e
os efeitos nas propriedades mecânicas dos maciços rochosos têm sido objeto de muitos
estudos no campo da mecânica das rochas. Este problema foi objeto de diversas investigações
2
e numerosos modelos de cisalhamento foram propostos, entre eles os de Patton (1966),
Ladanyi & Archambault (1970), Barton & Choubey (1977) e Kodikara & Johnston (1994).
No estudo da influência da rugosidade no comportamento ao cisalhamento das
descontinuidades registram-se trabalhos de diversos autores que conduziram ensaios em
descontinuidades rugosas artificiais regulares e irregulares, fabricadas a partir de resina,
argamassa e outros materiais. Como exemplo cita-se os trabalhos de Patton (1966),
Chryssanthakis & Barton (1990), Handanyan et al. (1990), Xu & Freitas (1990), Ichikawa et
al. (1990), Fishman (1990), Hyett & Hudson (1990), Kimura et al. (1993), Kodikara &
Johnston (1994) e Kusumi et al. (1996).
De modo a contribuir para o entendimento da influência da rugosidade no
comportamento das descontinuidades utilizou-se neste trabalho a técnica da fotoelasticidade,
um método ótico para análise experimental de tensões. A técnica consiste em medir um estado
de tensão ou de deformação, a partir do qual outro pode ser calculado. O método permite a
visualização global do campo de tensões, visualização de pontos críticos e de gradientes de
deformação.
Este trabalho apresenta os resultados de um estudo fotoelástico para investigar a
distribuição de tensões em descontinuidades com diferentes graus de rugosidade. De acordo
com Hyett & Hudson (1990) existem evidências de que em rochas o mecanismo de
deformação pode ser determinado pelo contato de pontos distintos melhor do que pelo contato
uniforme das superfícies opostas, situação que pode ser avaliada com a utilização da
fotoelasticidade.
1.1 OBJETIVO
Esta dissertação tem como objetivo utilizar a técnica da fotoelasticidade na análise de
distribuição de tensões nas descontinuidades de rocha verificando a sua aplicabilidade. Nesta
técnica, são utilizados modelos físicos para a determinação qualitativa e quantitativa do estado
interno de tensões de um corpo sujeito a cargas aplicadas. Para tanto serão utilizados modelos
artificiais reduzidos reproduzindo diferentes graus de rugosidade de descontinuidades
(diferentes JRC – coeficiente de rugosidade da junta), e um perfil representativo de uma
descontinuidade real. O efeito das diferentes rugosidades no campo de tensão é estudado sob
carregamento de compressão uniaxial e de cisalhamento. Com a interpretação do padrão
fotoelástico desenvolvido, pretende-se avaliar qual a extensão do campo de tensões que é
perturbado pelos pontos de contato, qual a influência da morfologia da superfície e qual o
efeito para paredes desencaixadas. Como o segredo da modelagem do problema está na
3
reprodução fiel da morfologia da superfície da descontinuidade, a viabilidade da utilização de
resina epóxi na obtenção dos perfis de rugosidade e da solução fotoelástica na análise da
distribuição de tensões foram avaliadas.
Apresenta-se ainda uma revisão da técnica da fotoelasticidade com uma descrição do
método e de técnicas para a análise de tensão pela fotoelasticidade.
1.2 ESCOPO DA DISSERTAÇÃO
A dissertação está estruturada em sete capítulos, sendo o primeiro capítulo esta
introdução, onde se faz a apresentação do trabalho, de seus objetivos e escopo.
O Capítulo 2 apresenta o comportamento mecânico das descontinuidades rochosas em
termos de sua resistência ao cisalhamento e de sua deformabilidade sob solicitações de
esforços normais e cisalhantes. São apresentadas algumas formulações utilizadas na
modelagem desse comportamento.
O Capítulo 3 apresenta a teoria que permite a interpretação dos fenômenos fotoelásticos
e os principais conceitos envolvidos na análise de tensões através da fotoelasticidade.
As técnicas utilizadas para quantificação e interpretação dos fenômenos fotoelásticos
são apresentadas no Capítulo 4. Neste capítulo também são relacionados os principais
materiais utilizados em fotoelasticidade e métodos para a sua calibração, os parâmetros que
influenciam na sua seleção e os diferentes modos de aplicação. Ao final são apresentadas
algumas aplicações da técnica de análise de tensões por fotoelasticidade na mecânica das
rochas.
O Capítulo 5 relaciona os materiais utilizados na fabricação dos modelos utilizados
neste trabalho, bem como as suas propriedades e os principais equipamentos e procedimentos
utilizados nos ensaios e na análise fotoelástica.
O Capítulo 6 apresenta e discute os resultados dos ensaios de cisalhamento e da análise
fotoelástica. Mostra ainda a potencialidade da técnica e analisa a influência da rugosidade no
comportamento ao cisalhamento e de fechamento das descontinuidades.
No Capítulo 7 são apresentadas as principais conclusões deste trabalho e sugestões para
pesquisas futuras.
4
2 COMPORTAMENTO GERAL DAS DESCONTINUIDADES ROCHOSAS
2.1 INTRODUÇÃO
O comportamento mecânico dos maciços rochosos é determinado pelas propriedades e
características da rocha intacta e das descontinuidades. As descontinuidades apresentam, de
um modo geral, propriedades desfavoráveis de deformabilidade e resistência tendo grande
influência no comportamento mecânico do meio em estudo. As descontinuidades conferem
aos maciços rochosos características de anisotropia e heterogeneidade.
De acordo com a ISRM (1977) descontinuidade é o termo geral para qualquer
descontinuidade mecânica de um maciço rochoso que não possua nenhuma ou baixa
resistência à tração. É, assim, um termo coletivo para a maioria dos tipos de estruturas
geológicas tais como juntas, falhas, planos de acamamento e zonas de fraqueza.
A descrição das propriedades mecânicas das descontinuidades de rocha requer o
conhecimento de seu comportamento tensão-deformação, a definição de métodos para a
descrição quantitativa dos parâmetros que mais o influenciam e de modelos que o simulem de
modo realístico. Apesar dos inúmeros estudos desenvolvidos, a descrição do comportamento
mecânico das descontinuidades é limitada, devido a fatores como complexidade de seu
comportamento, problemas de escala (efeito de escala) e a pouca documentação de vários
aspectos das descontinuidades (Bandis, 1990).
2.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
O cisalhamento de descontinuidades de um maciço corresponde ao fenômeno de atrito
das paredes e à ruptura das irregularidades das superfícies do plano de deslizamento. O
mecanismo de cisalhamento é diferente entre descontinuidades com paredes em contato
(encaixadas) e com as paredes separadas (deslocadas), e entre descontinuidades preenchidas e
não preenchidas, resultando em uma grande diferença na resistência ao cisalhamento e nas
características de deformação. Caso a descontinuidade não esteja preenchida, a rugosidade, a
resistência à compressão e as condições das paredes são importantes. Estando preenchidas, as
propriedades físicas e mineralógicas do material de preenchimento são fundamentais. Neste
trabalho, somente o caso de descontinuidades não preenchidas será considerado.
O ensaio de cisalhamento direto é o método mais comumente utilizado para estudar o
cisalhamento de descontinuidades em rocha. O ensaio consiste em aplicar uma tensão normal
5
σn ao plano da descontinuidade, e uma tensão cisalhante, τ, necessária para produzir um
deslocamento. A tensão de cisalhamento é aumentada até que se alcance a resistência de pico,
geralmente atingida após um pequeno deslocamento. Com a continuação da aplicação da
tensão de cisalhamento e conseqüente deslocamento, a resistência ao cisalhamento diminui
até atingir a chamada resistência residual. Desta forma duas envoltórias de resistência podem
ser obtidas com os resultados dos ensaios de cisalhamento direto, a envoltória de resistência
ao cisalhamento de pico e residual, conforme apresenta a Figura 2.1.
Figura 2.1 - Envoltórias de resistência de pico e residual (modificado – Brady & Brown, 1985)
2.2.1 COMPORTAMENTO DURANTE O CISALHAMENTO
A Figura 2.2 (Goodman, 1980) apresenta o comportamento tensão-deslocamento das
descontinuidades. A Figura 2.2.a mostra as descontinuidades sob tensão normal de
compressão, σn, sem a aplicação de tensão tangencial. Desta forma a descontinuidade é
comprimida produzindo o seu fechamento (v). O comportamento do deslocamento normal
devido à tensão de compressão é altamente não linear e, para altos valores de σn, atinge um
valor constante representado pelo fechamento máximo, Vmc.
O comportamento ao cisalhamento pode ser observado nas Figuras 2.2.b e 2.2.c. Para
uma descontinuidade limpa e rugosa cisalhada sob tensão normal zero a dilatância irá ocorrer
como mostra a curva superior da Figura 2.2.b. Se a resistência ao cisalhamento é função
somente do atrito, a tensão de cisalhamento será desprezível conforme apresenta a Figura
2.2.c. Para valores sucessivamente superiores de tensão normal (σn = A, B, C e D) o
deslocamento normal inicial será a, b, c e d, conforme mostra a Figura 2.2.a e o
comportamento da dilatância pelo deslocamento tangencial e do deslocamento tangencial
6
devido à tensão tangencial, sob as respectivas tensões normais são apresentadas nas Figuras
2.2.b e 2.2.c. Com o aumento da tensão normal o fenômeno de dilatância é progressivamente
limitado porque as irregularidades começam a ser rompidas durante o cisalhamento.
Figura 2.2 - Comportamento ao cisalhamento das descontinuidades (modificado - Goodman, 1980).
Caso o ensaio seja conduzido com tensão normal inicialmente igual a zero e restrição do
deslocamento normal ao plano, ou seja, com restrição à dilatância, a curva tensão-
deslocamento tangencial apresenta o comportamento da trajetória indicada por linha tracejada
(trajetória 0-1-2 na Figura 2.2). Observa-se o aumento da tensão normal à medida que o
cisalhamento se desenvolve, que aumentará de 0 para A e depois para B. A curva 0-3-6
7
representa uma trajetória obtida de uma descontinuidade que foi comprimida inicialmente até
o ponto 3 (Figura 2.2.b) e depois cisalhada sem que se permitisse deslocamentos normais.
De acordo com Brady & Brown (1985), observam-se consideráveis aumentos de
resistência quando o cisalhamento ocorre com a dilatância impedida e nesta condição, o
comportamento tensão-deslocamento tangencial não reproduz o fenômeno de amolecimento
que se observa em ensaios com tensão normal constante.
Apresentam-se a seguir alguns critérios de resistência ao cisalhamento para
descontinuidades de rocha.
2.2.2 CRITÉRIO LINEAR DE MOHR-COULOMB
A envoltória de resistência, quando aproximadamente linear, é apresentada por uma
linha reta denominada de critério de resistência de Mohr-Coulomb. A equação que representa
o critério de Mohr-Coulomb é a seguinte:
φστ tgc n+= (2.1)
Onde:
τ = tensão de cisalhamento;
σn = tensão normal;
φ = ângulo de atrito;
c = coesão ou intercepto de coesão.
A utilização na equação de Mohr-Coulomb de um ângulo de atrito de pico, residual ou
intermediário depende do grau de deslocamento cisalhante já ocorrido na descontinuidade
(ISRM, 1977).
Conforme Cella (1993), a interpretação do mecanismo do cisalhamento de
descontinuidades, no contexto da teoria de Mohr-Coulomb, admite que o significado da
coesão aparente e do ângulo de atrito de pico corresponde indiretamente ao efeito combinado
de uma série de fatores intervenientes como: geometria das rugosidades, resistência das
paredes, inclinação do plano de ruptura das irregularidades, preenchimentos e extensão da
descontinuidade.
O critério de Mohr-Coulomb usualmente é um excelente ajuste para dados de resistência
residual, para os quais o intercepto de coesão aparente é aproximadamente zero. Entretanto, o
8
valor de c na equação de Mohr-Coulomb, quando se utilizam dados de resistência de pico,
pode ser muito maior que a real resistência ao cisalhamento na tensão normal zero, que para
descontinuidades de rocha é usualmente igual a zero. Conseqüentemente a extrapolação linear
de altas para baixas tensões normais é desaconselhável, bem como o uso do termo coesão
aparente neste caso (Franklin & Dusseault, 1989).
Por simplicidade e pela familiaridade com o critério, a envoltória linear continua a ser
usada para ajuste dos dados de resistência de pico. Isto fornece previsões aceitáveis somente
para uma limitada faixa de tensões normais, que deve ser selecionada de acordo com o
intervalo de tensões relevantes para o problema a ser analisado. O uso do critério linear pode
ser estendido pelo uso não de um, mais de uma série de segmentos de reta para os dados,
passando de um segmento para o próximo de acordo com o nível de tensão no modelo do
maciço rochoso analisado (Franklin & Dusseault, 1989). Entretanto, uma equação curvilínea é
mais simples e mais racional, se esta pode ser ajustada aos dados do problema. De acordo
com Barton & Choubey (1977) os termos da equação de Coulomb c e φ são ainda
dependentes da escala.
2.2.3 COMPORTAMENTO DE DILATÂNCIA
A dilatância corresponde ao galgamento das asperezas, com o afastamento das paredes
da descontinuidade durante o cisalhamento e é uma importante componente do
comportamento da descontinuidade. A dilatância da descontinuidade é um fenômeno
dependente da tensão, da escala e do deslocamento tangencial. Dadas estas condições, o valor
de dilatância depende da razão entre a resistência das irregularidades e a tensão normal
(Bandis, 1990).
O comportamento de superfícies rugosas foi primeiro explicado por Patton (1966) a
partir ensaios com descontinuidades com seção transversal dentada, onde se mostrou que a
inclinação da envoltória de resistência de pico em tensões normais muito baixas é linear e
dada por (φR + i), onde φR é o ângulo de atrito residual e i o ângulo de inclinação das
irregularidades (asperezas) ou ângulo de dilatância de pico.
Desta maneira para baixos valores de tensão normal, a dilatância da descontinuidade
acompanha o deslocamento tangencial da superfície, e a resistência ao cisalhamento pode ser
expressa por:
)( itg Rn += φστ (2.2)
9
Onde:
σn = tensão normal;
φR = ângulo de atrito residual;
i = ângulo de inclinação das irregularidades.
Com o valor da tensão normal acima de um valor crítico, o deslizamento na superfície
áspera fica inibido, e as irregularidades começam a ser cisalhadas, reduzindo o ângulo de
atrito ao seu valor residual. Este processo leva à definição de um critério de resistência ao
cisalhamento bilinear, que pode ser obtido pela combinação do modelo de dilatância em
termos do ângulo i para tensões normais baixas, e à equação de Mohr-Coulomb para tensões
normais altas, conforme ilustra a Figura 2.3. A inclinação final da envoltória da resistência de
pico para altas tensões normais aproxima-se de φR com i aproximadamente zero. Os mesmos
mecanismos de deslizamentos nas superfícies inclinadas sob baixas tensões normais e inibição
da dilatância com cisalhamento das asperezas sob altas tensões normais são encontrados no
comportamento das descontinuidades naturais, e se combinam em diferentes proporções
(Brady & Brown, 1985). Deste modo, superfícies de rocha reais produzem envoltórias de
resistência ao cisalhamento que são curvas, porque possuem diferentes alturas de
irregularidades e ângulos de ascensão. O valor da tensão normal suficiente para impor o
completo cisalhamento das asperezas, com i = 0, depende da rugosidade da superfície e da
resistência da rocha.
Figura 2.3 - Envoltória bilinear de resistência (modificado - Brady & Brown, 1985).
10
2.2.4 MODELO DE BARTON E BANDIS PARA DESCONTINUIDADES ROCHOSAS.
Barton em 1973, citado por Barton & Choubey (1977), apresentou uma formulação
empírica para descontinuidades rochosas baseada em três parâmetros índices: coeficiente de
rugosidade da descontinuidade (JRC), a resistência à compressão das paredes da
descontinuidade (JCS), e o ângulo de atrito residual (φR). O principal fator externo que
influencia a resistência ao cisalhamento é a magnitude da tensão efetiva normal agindo
através da descontinuidade. Esta formulação empírica é apresentada como se segue:
+
= R
nn
JCSJRCtg φσ
στ '10'
f log.. (2.3)
Onde:
τf = resistência ao cisalhamento de pico; 'nσ = tensão efetiva normal;
JRC = coeficiente de rugosidade da descontinuidade em graus;
JCS = resistência à compressão das paredes da descontinuidade;
φR = ângulo de atrito residual.
Segundo Brady & Brown (1985) a Equação 2.3 sugere que há três componentes de
resistência ao cisalhamento: um componente de atrito básico dado por φR, um componente
geométrico controlado pela rugosidade da superfície (JRC) e um componente de ruptura da
aspereza controlada pela razão )/( 'nJCS σ .
A equação pode ainda ser analisada considerando-se a rugosidade mobilizada da
descontinuidade (JRCm) para uma determinada resistência ao cisalhamento. Barton e Bakhtar
em 1983, citados por Bandis (1990), mostram que a rugosidade mobilizada na forma da razão
JRCm/JRCpico pode ser correlacionada com a razão entre os deslocamento tangencial em um
determinado instante e o deslocamento tangencial de pico u/up. Deste modo a resistência de
atrito em qualquer estágio de deslocamento pode ser dada por:
Rn
mmJCSJRC φσ
φ +
= '10log. (2.4)
11
A resistência por atrito, caracterizada pelo ângulo de atrito mobilizado (φm), depende da
tensão normal efetiva atuante na descontinuidade e varia com o deslocamento tangencial (u).
Para uma dada tensão normal e um deslocamento tangencial, o atrito mobilizado dependerá
das contribuições relativas da dilatância, da resistência dessas irregularidades, do atrito básico
e das condições da rocha matriz adjacente à descontinuidade (Bandis, 1990). O valor de
rugosidade mobilizada (JRCm) é calculado a partir da expressão:
JRCm = A . JRCp (2.5)
O coeficiente JRCp representa a rugosidade natural ou nominal da descontinuidade e é
obtida em ensaios de cisalhamento direto, através dos valores da tensão máxima de
cisalhamento, detectada no ensaio e da tensão normal empregada no mesmo. Conhecendo-se
o valor da resistência das paredes e do ângulo de atrito residual da descontinuidade, tem-se:
−
=
'
'
logn
Rn
f
p JCS
arctgJRC
σ
φστ
(2.6)
O valor do fator A (JRCm/JRCp) depende do deslocamento tangencial relativo B = u/up
(onde up é o deslocamento tangencial de pico). Bandis (1990) apresenta relações lineares de
diferentes valores de B para o cálculo de A.
O ângulo de atrito residual é obtido de ensaios de cisalhamento direto em superfícies de
rocha planas e não intemperizadas e pode ser ainda estimado por tabelas que concentram
dados da literatura como a apresentada por Barton & Choubey (1977). O ângulo de atrito
residual também pode ser estimado por meio de resultados obtidos pelo martelo de Schmidt e
de valores de φb obtidos em ensaios de inclinação residual:
φR = (φb-20º) +20(r/R) (2.7)
Onde:
φb = ângulo de atrito básico estimado em ensaios de inclinação residual em superfícies
12
serradas secas e não intemperizadas;
R = número de reação de Schmidt em superfícies serradas secas e não intemperizadas;
r = número de reação de Schmidt em superfícies de descontinuidades úmidas.
Se as descontinuidades não se encontram intemperizadas o parâmetro JCS poderá ser
considerado igual a resistência à compressão não confinada da rocha intacta (σc). A
resistência à compressão pode ser estimada por ensaios de carga puntiforme. Contudo, em
geral as paredes das descontinuidades são intemperizadas em alguma extensão e JCS será
menor que σc. O valor pode então ser determinado usando-se o martelo de Schmidt aplicado
diretamente nas paredes expostas da descontinuidade. O valor da reação é convertido então
em uma estimativa da resistência à compressão. Ressalta-se, entretanto, que os resultados
obtidos com o martelo de Schmidt podem apresentar grandes dispersões quando a rocha é
policristalina com grãos de grandes dimensões.
A última variável é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade JRC. Este é
estimado por retro-análise de ensaios de cisalhamento que tenham sido executados, por meio
da Equação 2.6. Caso não se possua resultados de ensaios, o valor de JRC pode ser estimado
por comparação visual da rugosidade com os perfis apresentados por Barton & Choubey
(1977). Pode ainda ser obtido pela retro-análise, por meio da Equação 2.6, de ensaios onde
blocos de rocha, interceptados pela descontinuidade e removidos da face de escavação da
rocha, são cuidadosamente inclinados até que o bloco superior deslize. O valor do arctg(τ/σn),
igual ao do mergulho da descontinuidade quando ocorre o deslizamento, juntamente com o
valor da tensão normal agindo quando do deslizamento e as estimativas de JCS e φR podem
então ser substituídos na Equação 2.6. Esse ensaio de inclinação é basicamente o ensaio de
cisalhamento sob tensões normais muito baixas.
2.2.5 MODELO DE LADANYI & ARCHAMBAULT
Ladanyi & Archambault (1970) derivaram um critério de resistência ao cisalhamento
curvilíneo e semi-empírico. Por este critério, a resistência ao cisalhamento de uma
descontinuidade é função da resistência da rocha intacta, do grau de encaixe das paredes da
descontinuidade, da dilatância e do ângulo de atrito residual. Eles usaram princípios da
termodinâmica e assumiram que resistência ao cisalhamento é derivada de três origens:
resistência para deslizamento ao longo da superfície de contato das irregularidades, resistência
ao cisalhamento das irregularidades, e trabalho realizado pela carga normal durante a
13
contração e dilatância do sistema (Franklin & Dusseault, 1989):
µ
ησσησµστ .
2/1.
f
)1(1
)/1](/)1[())(1(
va
nnmava
s
cncssn
−−
+−++−= (2.8)
Onde:
τf = resistência ao cisalhamento de pico;
σn = tensão normal; .v = razão de dilatância devido o cisalhamento = dy/dx;
µ = coeficiente médio de atrito para superfícies de contato = tgφb;
σc = resistência uniaxial à compressão dos blocos de rocha;
η = grau de encaixe;
n = razão entre resistência à compressão uniaxial e resistência à tração da rocha = σc / σt;
m = (n+1)1/2;
as = razão entre a área das asperezas cisalhadas e a área cisalhada total.
Destes parâmetros, a tensão normal e o grau de encaixe representam os dados básicos
do problema. Qualquer perfil de rugosidade pode ser assumido desde que o grau de encaixe
possa ser estimado. Os valores de σc e n são obtidos em ensaios de laboratório e o ângulo de
atrito básico em ensaios de cisalhamento de amostras cujo acabamento foi obtido por corte de
serra diamantada.
A razão de dilatância .v e a razão de área cisalhada as são empiricamente determinadas.
Esses parâmetros dependem da geometria das irregularidades e da razão entre a tensão normal
aplicada e a tensão de transição, esta última definida como a tensão na qual o comportamento
das rochas muda de frágil para dúctil. As tensões normais para a maioria das aplicações de
engenharia são de modo geral menores que as requeridas para ductibilidade, deste modo a
razão de dilatância e a razão de área cisalhada podem ser estimadas usando as seguintes
equações:
1
11K
T
nsa
−−≅ησσ
(2.9)
14
ivK
T
n tan12
.
−≅ησσ (2.10)
Onde:
i = ângulo de dilatância médio;
σT = tensão de transição, que na ausência de dados, pode ser considerada aproximadamente
igual à resistência uniaxial da rocha;
K1 e K2 são aproximadamente iguais a 1,5 e 4,0 respectivamente.
2.2.6 MODELO DE DENBY & SCOBLE
Denby e Scoble em 1984, citados por Franklin & Dusseault (1989), propuseram que a
natureza curvilínea das envoltórias de resistência ao cisalhamento das descontinuidades de
rocha pode ser bem representada por uma curva de potência, e que a curvatura é geralmente
mais pronunciada na faixa de baixa tensão normal de 0 a 1 MPa. O critério de resistência tem
a forma:
BnAστ = (2.11)
Onde A e B são constantes para um dado material.
As constantes A e B são relacionadas empiricamente com o ângulo de atrito residual e
com o ângulo de dilatância de pico. A constante A varia usualmente entre 0 e 10 e B na faixa
de 0,65 a 1. Altos valores de B e baixos valores de A correspondem a envoltórias de
resistência do tipo linear e são típicas de ângulos de dilatância pequenos e altos níveis de
tensões normal.
2.3 DEFORMABILIDADE DAS DESCONTINUIDADES
A deformabilidade das descontinuidades é um componente fundamental do
comportamento de um maciço fraturado sob mudanças nas condições de tensão (Bandis et al.
1983). Quando a resposta do maciço de rocha fraturada é estudada utilizando métodos
numéricos, as rigidezes normal e tangencial das descontinuidades constituem importantes
parâmetros de entrada. Com o desenvolvimento dos procedimentos computacionais para
15
modelagem de maciços fraturados, pesquisas têm sido direcionadas para a determinação das
deformações das descontinuidades e para predição da relação entre as componentes de tensão
normal e cisalhante e as correspondentes mudanças na abertura da descontinuidade e
deformações cisalhantes (Franklin & Dusseault, 1989).
2.3.1 CONCEITO DE RIGIDEZ NORMAL E TANGENCIAL
Os parâmetros de rigidez normal e tangencial são importantes dados de entrada para
modelos físicos explícitos e técnicas numéricas. A rigidez normal da descontinuidade tem
fundamental importância nos problemas de injeção de fluidos.
A deformabilidade da descontinuidade pode ser descrita pelas curvas de deslocamento
pela tensão. Bandis et al. (1983) citam que Goodman et al., em 1968, introduziram os termos
de rigidez normal (Kn) e rigidez tangencial (Ks) para descrever a razão de mudança da tensão
normal com relação ao deslocamento normal e da tensão tangencial com relação ao
deslocamento tangencial, respectivamente. A aplicação de uma tensão normal ao plano da
descontinuidade reduz a sua abertura e a razão entre a tensão normal aplicada e o fechamento
é denominada de rigidez normal da descontinuidade, e o seu inverso é chamado de
flexibilidade normal da descontinuidade. Do mesmo modo, os deslocamentos tangenciais
experimentados na aplicação de tensões cisalhantes também podem ser expressos em termos
de rigidez ou flexibilidade tangencial. Assim, o comportamento mecânico de
descontinuidades submetidas a um estado de tensões de compressão pode ser descrito, em
termos de deformação plana, através da relação seguinte:
=
dudv
KK
dd
sn
nnn K K
ss
ns
τσ
(2.12)
Onde:
σn e τ = tensões normal e cisalhante ou tangencial em relação ao plano da descontinuidade;
v e u = deslocamentos normal e cisalhante ou tangencial.
Os coeficientes de rigidez devem ser entendidos como os esforços correspondentes a
deslocamentos unitários nas direções v e u. Pode-se definir:
Knn e Kss – esforços normal e tangencial;
Kns – esforço normal para deslocamentos cisalhantes;
16
Ksn – esforço tangencial para deslocamentos normais.
Assim: Knn = (dσn/dv)u, Kss = (dτ/du)v, Kns = (dσ/du)τ e Ksn = (dτ/dv)σ.
A matriz de rigidez nesta forma completa, é em geral, assimétrica, com termos não-
diagonais diferentes de zero. O coeficiente Ksn, relacionado com a dilatância da
descontinuidade, é comandado pelas condições de contorno, ou seja, pelo estado de
confinamento da região da descontinuidade em consideração. A restrição à dilatância da
descontinuidade, durante o cisalhamento, tem influência marcante no aumento da resistência
da mesma. O fator fundamental corresponde à rigidez do maciço vizinho da descontinuidade,
na direção normal ao seu plano (Cella, 1993). O outro termo não-diagonal (Kns) corresponde
ao deslocamento tangencial da descontinuidade provocado pela tensão normal e é,
usualmente, irrelevante para as descontinuidades com superfícies opostas encaixadas. Para
descontinuidades com superfícies desencaixadas, entretanto, corresponde a valores
significativos.
A matriz de rigidez pode ser obtida pela inversão da matriz de flexibilidade,
determinada pelos procedimentos usuais de ensaio (Sun e colaboradores, em 1985, citados por
Bandis, 1990). Contudo, Heuze & Barbour (1982) afirmam que a Equação 2.12 ignora a
rigidez na direção transversal à direção do cisalhamento e que certamente essa rigidez
influencia o processo de cisalhamento das descontinuidades.
A flexibilidade normal é determinada em ensaios de compressão com a carga
perpendicular ao plano da descontinuidade. A rigidez cisalhante, Kss, é calculada como a
inclinação da curva tensão cisalhante versus deslocamento tangencial, mas é altamente
variável e de difícil determinação. De acordo com Brady & Brown (1985) a rigidez tangencial
varia com a perturbação da descontinuidade, técnica de ensaio, tamanho da amostra e tensão
normal. A maioria dos modelos numéricos assume uma parcela discreta linear da curva tensão
cisalhante versus deslocamento tangencial, com Kss constante na faixa pré-pico.
Os parâmetros acima, juntamente com os valores de pico e residual de deslocamento
tangencial e com o máximo fechamento da descontinuidade, permitem determinar a
contribuição das descontinuidades na deformação do maciço de rocha.
2.3.2 DEFORMABILIDADE NORMAL
Goodman em 1974, citado por Bandis et al. (1983), mostra por meio de experimentos
que o fechamento da descontinuidade sob aumento da tensão normal, para uma ampla faixa de
17
descontinuidades naturais não confinadas, varia de maneira não linear, se aproximando de
uma hipérbole. Entretanto, Bandis et al. (1983) citam que Hungr e Coates em 1978
encontraram uma relação linear de tensão normal e fechamento de descontinuidades para
baixos níveis de tensão normal. Em muitos modelos numéricos esta resposta é assumida como
sendo linear, sendo a rigidez normal Kn assumida constante (Brady & Brown, 1985).
De acordo com Bandis (1990), o nível de tensão inicial e a abertura inicial entre as
paredes da descontinuidade são fatores básicos que determinam o comportamento da rigidez
normal em um carregamento. A rugosidade das paredes da descontinuidade e o tipo de rocha
apresentam uma influência secundária. De acordo com Bandis et al. (1983) também a
resistência e a deformabilidade das irregularidades são fatores importantes. Se algum material
de preenchimento encontra-se presente, então a sua espessura, tipo e propriedades físicas são
relevantes.
2.3.2.1 DESCONTINUIDADES ENCAIXADAS
Bandis et al. (1983) ensaiou descontinuidades com superfícies opostas encaixadas
(descontinuidades naturais não preenchidas) sujeitas a uma seqüência de ciclos de
carregamento e descarregamento. As curvas de tensão normal (σn) versus deslocamento total
(∆Vt) mostraram um comportamento não linear, como mostra a Figura 2.4. Nos estágios
iniciais de carregamento o deslocamento é dominado pelo fechamento ocorrido através da
interface da descontinuidade. Com o aumento da tensão normal a curva torna-se mais íngreme
e tende a desenvolver-se em linha reta, paralela, ou aproximadamente paralela, à curva de
compressão elástica da rocha intacta. Pode-se considerar que neste estágio as
descontinuidades atingiram o estado de fechamento completo e qualquer aumento adicional
de carga normal é absorvido pela rocha intacta acima e abaixo da descontinuidade. Na
descompressão, todas as descontinuidades mostraram um comportamento de histerese. As
curvas de tensão normal pelo deslocamento líquido ou fechamento (∆Vj) são derivadas de:
rtj VVV ∆−∆=∆ (2.13)
Onde:
∆Vt = deslocamento total do bloco com descontinuidade sob tensão normal durante o
carregamento ou descarregamento;
∆Vr = deslocamento da rocha intacta.
18
As curvas σn versus ∆Vj se assemelham a uma hipérbole. Sob altas tensões, a trajetória
torna-se assíntota a uma linha vertical, que representa o limite de fechamento da
descontinuidade. Shehata em 1971, citado por Bandis et al. (1983), descreveu que a relação
do fechamento da descontinuidade sob aumento da tensão normal é inicialmente semi-
logarítmica. Dados de ∆Vj versus σn plotados em escala logarítmica mostram um ajuste linear
nas regiões de baixa e alta tensão, mas não na faixa média de tensão. Já Goodman em 1974,
citado por Bandis et al. (1983), propôs uma função empírica hiperbólica:
iijm
jn VV
Vσσσ +
∆−
∆= . (2.14)
Esta equação pode ser apresentada na seguinte forma linear:
nimmj VVVσ
σ 1).(−=∆ (2.15)
Onde:
∆Vj = fechamento da descontinuidade sob uma dada tensão normal σn;
Vm = fechamento máximo;
σi = nível de tensão inicial.
Plotando-se ∆Vj contra 1/σn mostrou-se um marcante comportamento não linear exceto
em regiões de baixa tensão. Uma versão alternativa da função é apresentada por Goodman em
1976 (Bandis et al., 1983) na seguinte forma adimensional:
t
jm
j
i
in
VVV
C
∆−
∆=
−σσσ (2.16)
Onde C e t são constantes empíricas.
19
Figura 2.4 - Relação entre tensão normal e deslocamento total para descontinuidades encaixadas e deslocadas, comparadas com a curva para rocha intacta (modificado - Bandis et
al. 1983).
A Equação 2.16 converte a relação altamente não linear de ∆Vj vs. 1/σn para próximo de
curvas perfeitamente bilineares. De acordo com Bandis et al. (1983) a seguinte relação
hiperbólica pode ser adaptada para a relação em estudo:
j
jn Vba
V∆−
∆=
.σ (2.17)
Onde a e b são constantes.
A rigidez normal inicial (Kni) equivale a 1/a e o fechamento máximo (Vm) a assíntota da
hipérbole dada por a/b. Relações empíricas definem a magnitude de Kni e Vm para cada ciclo
de carregamento. Assim, a rigidez normal (Kn) de uma descontinuidade não pode ser definida
por um simples valor. Para cada incremento de σn o correspondente valor de Kn pode ser
obtido da Equação 2.17:
2
1−
+
−=nnim
nnin KV
KKσ
σ (2.18)
Tanto Kni como Vm de uma descontinuidade em particular são dependentes do nível
20
inicial de tensões. Em uma determinação experimental destes parâmetros, a descontinuidade
pode ser pré-comprimida até uma tensão estimada a partir da tensão in-situ, antes de iniciar as
leituras do fechamento. Alternativamente, quando o valor experimental de σi é zero, a curva
de compressão pode ser obtida pela translação dos eixos para a posição (σi, ∆Vj) na qual o σi
corresponde à condição in-situ.
Ainda de acordo com Bandis et al. (1983), o comportamento não linear da
descontinuidade resulta do aumento da área de contato e número de contatos quando a
descontinuidade é comprimida, e provavelmente também de alguma ruptura local dependendo
da resistência da rocha e do nível de tensão.
Bandis et al. (1983) deduziram uma relação empírica entre o fechamento máximo (Vm)
e os índices de abertura inicial das paredes (aj), resistência (JCS) e rugosidade (JRC), sendo
representada por:
D
jm a
JCSCJRCBAV
++= )( (2.19)
Onde A, B, C e D são constantes determinadas por regressão do conjunto de dados obtidos
experimentalmente e dependentes do ciclo de carga.
A Equação 2.19 foi obtida dos estudos dos dados de Vm em conjunto com a resistência e
as propriedades das descontinuidades que mostraram que:
• O fechamento máximo (Vm) de descontinuidades com similar espessura de abertura
média (aj) depende primeiramente da resistência das paredes da descontinuidade (JCS). O
aumento no fechamento das descontinuidades intemperizadas foi resultado do efeito
combinado da ampla aj e de baixos valores de JCS.
• Dados de Vm contra o coeficiente de rugosidade da descontinuidade (JRC) para
descontinuidades com espessura de abertura similar, exibiram uma tendência bem
definida de decréscimo do fechamento máximo com o aumento de JRC, independente da
resistência das paredes da descontinuidade (JCS).
A Figura 2.5 mostra a influência dos parâmetros JRC e JCS na modelagem do
comportamento de fechamento das descontinuidades proposta por Bandis et al. (1983).
21
Figura 2.5 – Influência da rugosidade e alteração da descontinuidade no comportamento de fechamento (modificado – Barton et al., 1985)
A rigidez normal inicial (Kni) pode ser obtida pela seguinte relação empírica (Barton et
al. 1985):
++−=
jni a
JCSJRCK 02,0.210 (2.20)
Uma aproximação para a abertura inicial (aj) da descontinuidade pode ser obtida da
seguinte relação empírica:
−= 1,02,0
5 JCSJRCa c
jσ (2.21)
Onde:
aj = abertura inicial da descontinuidade em mm sob tensão de peso próprio;
22
σc = resistência à compressão uniaxial.
A trajetória de descarregamento também pode ser adequadamente descrita por uma
função hiperbólica (Equação 2.17). As constantes a e b requeridas para definir a hipérbole de
descarregamento para um dado ciclo de carga podem ser estimadas de:
a/b ≅Vm-ΣVi (2.22)
a=1/Kni (2.23)
Onde Vi é o fechamento irreversível e Kni é estimada da Equação 2.20 sendo aj substituído por
(aj - ΣVi).
2.3.2.2 DESCONTINUIDADES DESLOCADAS
As curvas de tensão normal pelo fechamento de descontinuidades deslocadas
(superfícies opostas da descontinuidade não encaixadas) revelam um comportamento similar
como quando carregadas em posição totalmente encaixadas, seguindo uma trajetória de
carregamento não linear, e com histerese. As descontinuidades desencaixadas apresentam
uma rigidez muito baixa, resultado da concentração de tensão sobre uma pequena área de
contato e a falta de confinamento das irregularidades.
Verificou-se que o ajuste semi-logarítmico é uma boa aproximação para as curvas de
compressão de descontinuidades deslocadas. Uma relação logσn e ∆Vj implica que a
descontinuidade nunca atingirá o estado de fechamento máximo, o que é o caso de
descontinuidades deslocadas (Bandis et al., 1983). A relação pode ser expressa por:
jn Vqp ∆+= .logσ (2.24)
A Equação 2.24 implica que para ∆Vj=0 (referência inicial para determinações do
fechamento), logσn é igual a p. Consequentemente o intercepto p representa a tensão normal
inicial. O aumento da rigidez normal (Kn) para descontinuidades deslocadas pode ser
calculado pela derivação da Equação 2.24:
23
4343,0.log10
nn
j
nn
qe
qV
K σσσ==
∆∂∂
= (2.25)
2.3.2.3 COMPARAÇÃO ENTRE RIGIDEZ NORMAL DE DESCONTINUIDADES
ENCAIXADAS E DESLOCADAS
Observando-se o comportamento tensão versus fechamento de descontinuidades
encaixadas e deslocadas de uma mesma amostra, verifica-se que a rigidez de descontinuidades
encaixadas é várias vezes maior. Assumindo um decréscimo linear de (Kn)desl/(Kn)enc com
deslocamento tangencial de zero até u(pico) costuma ser suficiente para os propósitos de
simulação numérica (Bandis et al., 1983). A seguinte relação empírica pode ser usada para
modificar o valor de Kn (encaixada) obtido da Equação 2.18, permitindo determinar as
mudanças induzidas pelo cisalhamento:
2500..2
)(
)( n
desln
encn JCSJRCKK σ
+≅ (2.26)
Observa-se assim que a rigidez normal de descontinuidades diminui significativamente
durante o processo de cisalhamento. A maior parte da redução em Kn ocorre durante os
estágios inicias do deslocamento. O termo Kn(desl) considera, por superposição, a influência
dos termos Kns e Knn, já que Kn(enc) é função de Knn, pois neste caso Kns é praticamente nulo.
2.3.3 DEFORMABILIDADE TANGENCIAL
A curva típica de tensão cisalhante pelo deslocamento (u) apresenta um comportamento
não linear. Os deslocamentos tangenciais de pico (up) de descontinuidades intemperizadas são
consideravelmente maiores que as de descontinuidades não intemperizadas, devido à
geometria relativamente planar e um pobre intertravamento. Dependendo da tensão normal, a
rigidez tangencial de pico de descontinuidades intemperizadas é de 2 a 4 vezes menor que Ks
de descontinuidades não intemperizadas com similar JRC. Significativos efeitos de escala têm
sido encontrados tanto na resistência (τf) como no deslocamento de pico (up). Outro fator que
afeta a rigidez tangencial de pico de descontinuidades é a história passada de carregamentos
(Bandis et al. 1983). A rigidez tangencial geralmente aumenta com o aumento de σn e também
é dependente da técnica experimental e do tamanho da amostra ensaiada.
24
Funções hiperbólicas são freqüentemente usadas para expressar analiticamente o
comportamento não linear de descontinuidades cisalhadas na faixa de pré-pico. Kulhaway
(1975) apresenta a seguinte formulação:
unmu
.+=τ (2.27)
Onde:
u = deslocamento tangencial no nível de tensão tangencial τ,
m e n = constantes da hipérbole, sendo que a constante m representa o inverso da rigidez
tangencial inicial (Ksi) e a constante n é o inverso da assíntota horizontal (tult) da hipérbole τ-
u.
Clough e Duncan em 1969, citados por Kulhawy (1975), em estudos do comportamento
de interface entre solo e concreto, desenvolveram uma aproximação para considerar as
variações da rigidez pelo desenvolvimento de uma relação não linear e que avalia a rigidez
cisalhante tangente para qualquer nível de tensão cisalhante até a ruptura e para qualquer nível
de tensão normal. A rigidez normal foi assumida variando linearmente. Eles apresentam a
seguinte equação:
2
tan.1
+−=
jnj
fjsist c
RKK
φστ
(2.28)
Onde:
Kst = rigidez cisalhante tangente da descontinuidade para um dado nível de tensão normal e
cisalhante;
Ksi = rigidez cisalhante tangente inicial;
τ = tensão cisalhante mobilizada;
Rfj = razão de ruptura ou razão da tensão de ruptura pela tensão predita;
σn = tensão normal na descontinuidade;
cj = coesão da descontinuidade;
φj = ângulo de atrito da descontinuidade.
25
O valor de Ksi foi considerado variando linearmente com σn na base log-log e a seguinte
formulação foi apresentada (modelo hiperbólico):
jn
a
nwjsi p
KK
=
σγ.. (2.29)
Onde:
Kj = número de rigidez;
nj = expoente de rigidez (inclinação da relação log-log entre a rigidez cisalhante inicial Ksi e
σn);
pa = pressão atmosférica,
γw = peso unitário da água.
Os termos γw e pa são introduzidos para tornar Kj adimensional. Se a curva tensão pela
deformação é linear Rfj é zero, e se a rigidez não é dependente da tensão, nj pode ser feito
igual a zero.
Duncan e Goodman em 1968, citados por Kulhawy (1975), apresentaram que se os
valores de rigidez da descontinuidade estão diretamente relacionadas por parâmetros elásticos,
então pode-se mostrar que eles estão relacionadas como se segue:
)1.(2 ν+
= ns
KK (2.30)
Entretanto, dados de literatura mostram que as descontinuidades não apresentam
comportamento elástico (Kulhawy, 1975). Hungr e Coates em 1978, citados por Bandis et al.
(1983), derivaram uma relação definida unicamente pelo ponto de escoamento da curva τ
versus dh. A forma básica da função é:
hd tpara , <−−
= udt
ut
h
τ (2.31)
Onde:
26
)a(azfb te
. n
2
bbazafu
n
n
−=
−−=
σσσ (2.32)
Onde:
dh = deslocamento cisalhante;
z = razão entre a tensão de escoamento (τy) e a tensão de pico (τf);
a = razão entre a rigidez tangencial secante no escoamento (Ksy) e a tensão normal (σn);
f = coeficiente de atrito de pico sob σn;
b = coeficiente de escala dos eixos x e y.
Bandis et al. (1983) verificaram as Equações 2.27 e 2.31 com um grande número de
dados de ensaios de cisalhamento, mostrando que as formulações são uma boa aproximação
do comportamento da tensão de pré-pico independente do tipo de descontinuidade e do nível
de tensão normal.
Ainda de acordo com Bandis et al. (1983), a variação não linear de Ks com σn reflete a
variação não linear de τpico com σn e o pequeno aumento em (u)pico com o aumento de σn.
Observa-se também a dependência da rigidez tangencial de pico com a resistência das paredes
da descontinuidade (JCS) e rugosidade (JRC). Baseado em observações similares Barton &
Choubey (1977) sugeriram a seguinte relação empírica:
[ ]Rnn JCSJRCtgL
Ks φσσ += )/(log...10010 (2.33)
Onde:
Ks = rigidez ao cisalhamento de pico (MN/m2/m);
L = comprimento da descontinuidade (m).
Outra relação empírica foi apresentada por Jing em 1990, citado por Jing et al. (1993):
>=
≤≤
−=
)( 0
)0( .2
cns
cnms
c
n
c
ns
K
KK
σσ
σσσσ
σσ
(2.34)
Onde msK é a rigidez cisalhante máxima e é obtida quando a tensão normal atinge a
27
magnitude de σc.
2.4 EFEITOS DE ESCALA E SUA IMPLICAÇÃO NO MODELO DE BARTON E
BANDIS
De acordo com Bandis (1990), o comportamento da descontinuidade no cisalhamento
sob uma tensão normal constante pode variar de um comportamento frágil para um
comportamento plástico dependendo do tamanho da descontinuidade, como ilustra a Figura
2.6. A resistência ao cisalhamento de pico, o deslocamento tangencial de pico e a rigidez
tangencial são todos parâmetros dependentes da escala.
Barton & Choubey (1977) mostraram que JRC diminui com o aumento do comprimento
da descontinuidade e sugeriram que JCS também fosse dependente da escala. O efeito da
escala nestes valores foi mais tarde confirmado por Bandis em 1980, citado por Bandis
(1990).
O efeito de escala na resistência ao cisalhamento é provavelmente causado pela
influência da escala intermediária de rugosidade, não usualmente amostrada em ensaios de
laboratório, mas menores que as grandes ondulações. A pequena escala de rugosidade age
somente como uma interferência sobre o cisalhamento, e é provavelmente cisalhada em níveis
de tensões normais moderados. Por outro lado, as rugosidades em escala intermediária
representam a dilatância da descontinuidade, e o cisalhamento só pode ocorrer em grandes
níveis de tensão.
A dependência da escala dos valores de JCS e JRC resulta em efeitos de escala nos
ângulos de dilatância de pico e inicial, na rigidez ao cisalhamento Ks e no ângulo de atrito
total (pico). Todos estes parâmetros são ainda afetados pelo nível de tensão normal efetiva. O
efeito de escala na rugosidade requer a correção dos valores de JRC obtidos de amostras de
pequenas dimensões. Bandis e colaboradores em 1981, citados por Bandis (1990), sugerem:
002,0
00 )/( JRCnn LLJRCJRC −= (2.35)
Onde os subscritos 0 e n referem-se as escalas de laboratório e campo, respectivamente.
Barton e Bandis em 1982, citados por Barton et al. (1985), apresentam ainda as seguintes
correções:
28
003,000 )/( JRC
nn LLJCSJCS −= (2.36)
( ) 33,0)/(500/ nnnhpico LJRCLd = (2.37)
Figura 2.6 – Influência da escala na resistência ao cisalhamento de descontinuidades (modificado – Bandis, 1990).
2.5 MECANISMO DE DEFORMAÇÃO E RUPTURA DAS IRREGULARIDADES
De acordo com Xu & Freitas (1990) é possível identificar vários estágios na ruptura por
cisalhamento de superfícies de rocha irregulares e limpas, conforme mostra a Figura 2.7.
Inicialmente a carga normal causa o fechamento da descontinuidade resultando em um
aplanamento (achatamento) elástico e simétrico dos perfis de aspereza e uma redução do
ângulo original da aspereza de (i0) para (ia). Assim, as asperezas travadas terão a sua
inclinação (i) reduzida, isto é, a superfície começa simetricamente a achatar sob o
carregamento normal e a rugosidade da superfície diminui. Quando o cisalhamento ocorre, o
achatamento torna-se assimétrico e esta combinação de deslocamento cisalhante e
achatamento continua até que a ruptura das asperezas ocorra.
Ao longo deste processo a razão de dilatação varia de forma constante considerando-se
que o critério de ruptura bi-linear de Patton esteja correto. Obviamente, dilatação é um
mecanismo válido sob níveis de tensões normais de baixas a médias, mas isso não é suficiente
29
para explicar o comportamento da superfície e o achatamento ajuda a resolver esta
insuficiência (Xu & Freitas,1990).
Figura 2.7 - Mecanismo de deformação e ruptura (modificado - Xu & Freitas, 1990).
Na Figura 2.7 na fase de (a) para (b), o atrito estático na superfície das asperezas é
mobilizado com um adicional achatamento dos ângulos de contato de (ia) para (ib-c) de modo
que as cristas das asperezas encontram-se excentricamente posicionadas sobre suas bases.
Em (b) a resistência mobilizada pelo atrito estático é aumentada pela componente de
resistência ao cisalhamento da aspereza e as asperezas continuam a aplainar. Estes efeitos
combinados produzem uma relação não linear entre a tensão cisalhante e o deslocamento
cisalhante com a tensão cisalhante atingindo seu pico em (c). A dilatação também inicia, mas
a uma razão que excede a razão de aplainamento da aspereza.
O atrito ao deslizamento domina de (c), com a parte superior da superfície deslizando
sobre as asperezas, até (d) onde ocorre a ruptura do material que forma as asperezas. Um
contínuo aumento da curva de dilatação é registrado até (d) onde o valor máximo é atingido e
isto explica porque o deslocamento cisalhante para a dilatação máxima é sempre maior que
para a tensão de cisalhamento de pico.
A ruptura do material das paredes da descontinuidade (d) é usualmente sob tração
produzindo uma crista subseqüente. Esta superfície recentemente criada tem uma inclinação
30
negativa em relação à direção do cisalhamento que é então utilizada para deslocamento
continuo de (d) para (e) e associado com um declive no movimento vertical.
Em (e) a extremidade principal (condutora) da aspereza rompida colide com a
extremidade do dente à frente, reduzindo assim a razão de decaimento da tensão de
cisalhamento e de (e) para (f) as asperezas experimentam mais uma vez compressão na
direção do cisalhamento e esmagamento nos pontos de contato.
Ensaios de campo e laboratório conduzidos por Fishman em 1979 e 1987, citados por
Fishman (1990), demonstraram que as asperezas de rocha quando carregadas com uma força
cisalhante rompem, mas não na forma de deslizamento e sim com uma rotação com abertura
de fissura do lado da carga e esmagamento da rocha no lado contrário. Nestes casos a abertura
de fissuras e as zonas de esmagamento da rocha se desenvolvem ao longo da trajetória de
tensões principais. Ensaios em superfícies com dentes com indicação de 45º mostraram que a
tensão de tração, com seu máximo na metade superior da extremidade do dente se desenvolve
ao longo da face ascendente por meio do abaulamento do dente. Uma tensão de compressão
desenvolve-se do outro lado da extremidade ascendente e concentra-se na base e pico do
dente.
Estudos análogos conduzidos com descontinuidades com ângulos de ascensão de 30º e
60º mostram um padrão similar de ruptura distinguindo-se pelo fato das fendas de tração
poderem ser originadas tanto próximo ao pico com na base do dente.
Em descontinuidades naturais de um maciço rochoso com rugosidades desuniformes
vários tipos de ruptura ocorrem simultaneamente. Um modo combinado de ruptura é possível
quando é iniciado com o deslizamento sobre as asperezas e terminado com a quebra e
esmagamento do topo da aspereza. Isto é causado pelo aumento da concentração de tensões
normais e tangenciais no topo da aspereza durante o seu galgamento. Neste modo combinado
de ruptura a dilatação no início é linear (quando deslizando sobre a aspereza) e então é não
linear com aumento atenuado (durante a ruptura das asperezas).
Durante o cisalhamento de descontinuidades reais somente uma parte das asperezas nas
quais tensões consideráveis estão concentradas são colocadas em ação. Deste modo, o tipo de
ruptura que prevalece será a rotação e esmagamento das asperezas.
Ichikawa et al. (1990) realizaram ensaios com diferentes materiais e configurações de
rugosidade, verificando que a resistência de adesão nas interfaces é de pequena magnitude e
que a interface começa a se separar com um pequeno deslocamento relativo. Um exame das
interfaces cisalhadas mostrou que existem três tipos de fissuração:
31
• Fissuração de tração com ângulo elevado que se inicia na ponta da aspereza e é inclinada
de um ângulo elevado em relação à direção do cisalhamento.
• Combinação de cisalhamento-tração com fissuração de baixo ângulo. Esta fissuração
também se inicia na ponta da aspereza e é inclinada de um pequeno ângulo em relação à
direção do cisalhamento. A fissuração é iniciada com tensões de tração e propaga para
cima até o ponto médio entre as duas pontas da aspereza. Então a orientação da fissura
começa a mudar e é direcionada para a ponta oposta. Um exame dessa segunda parte da
fissura indica um intenso estado de cisalhamento. Este tipo de fissuração é o principal tipo
que governa a ruptura das descontinuidades e foi a mais comumente observada nos
ensaios por eles conduzidos.
• Ruptura por cisalhamento que ocorre somente na frente da aspereza e é causada por
tensões de cisalhamento. Esta fissura é inclinada em ângulos entre 10º e 35º para as
superfícies das asperezas em contato.
As formas acima de fissuração ocorrem em várias combinações dependendo da tensão
normal aplicada e condições de confinamento.
2.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
As formulações e modelos apresentados descrevem, de um modo geral, o
comportamento mecânico das descontinuidades rochosas. Foi dado enfoque na abordagem
empírica, na qual os resultados de ensaios são utilizados para obtenção de correlações entre as
variáveis de influência e na formulação de modelos de acordo com o comportamento
observado. Apresentou-se ainda as propriedades mecânicas e os aspectos relevantes na
resistência ao cisalhamento e na deformabilidade das descontinuidades.
Os conceitos apresentados serão utilizados na interpretação dos ensaios de cisalhamento
direto realizados em modelos de descontinuidades artificiais com diferentes graus de
rugosidade, tendo a técnica da fotoelasticidade como principal ferramenta de análise da
distribuição de tensões.
32
3 TEORIA DA FOTOELASTICIDADE
3.1 INTRODUÇÃO
A fotoelasticidade é um método ótico de análise experimental de tensões, útil para
estudo de estruturas de geometrias difíceis ou sujeitas a solicitações complexas. O método da
fotoelasticidade baseia-se em uma propriedade de certos materiais transparentes, cujo
comportamento ótico se altera em função do estado de tensões ou deformações a que estão
sujeitos. A estrutura em estudo pode ser representada por modelos bidimensionais ou
tridimensionais transparentes, ou ainda ser revestida com uma película de material
fotoelástico.
A visualização da distribuição das tensões permite a análise do dimensionamento de
estruturas, sendo possível verificar zonas de tensões elevadas, indicar áreas que permitem a
redução de material por estarem sob baixas tensões ou ainda direcionar correções para a
otimização do projeto. Assim o método da fotoelasticidade tem sido utilizado com o objetivo
de auxiliar na verificação de critérios de projeto, melhorar a confiabilidade de produtos e
reduzir custos.
De acordo com Franklin & Dusseault (1989), a fotoelasticidade é uma técnica que
auxilia na observação da distribuição de tensões, sendo usada para resolução de alguns
problemas práticos de elasticidade. Como exemplo citam Hoek (1967), que considera o
modelo fotoelástico um tipo de analogia que permite a determinação da distribuição das
tensões em um maciço rochoso que se comporta elasticamente.
O método de análise de tensões pela fotoelasticidade baseia-se na descoberta de David
Brewster em 1816, de que quando um pedaço de vidro é submetido a tensões e visualizado
por meio de luz polarizada transmitida através dele, observa-se um padrão colorido brilhante
devido à tensão (Timoshenko & Goodier, 1970). Ele sugeriu que estes padrões coloridos
serviriam para determinação de tensões em estruturas como, por exemplo, pontes de
alvenaria, representadas por modelos em vidro examinados em luz polarizada e submetidos a
diferentes condições de carregamento. A sugestão de David Brewster foi adaptada mais tarde
por C.Wilson em 1891 em estudos de tensão em vigas com carga concentrada e por A.
Mesnager em 1901 em investigações de pontes em arco. O método foi desenvolvido e
extensivamente aplicado por E. G. Coken em 1925, que introduziu a celulóide como material
para modelos fotoelásticos (Timoshenko & Goodier, 1970). Pesquisadores posteriores como
33
Roberts et al. (1962), Gomide (1975), Peng (1976), Gomide & Smith (1984) e Oliveira &
Gomide (1989), têm usado novos materiais como resinas epoxy e poliester, bakelite entre
outros.
A técnica da fotoelasticidade por reflexão foi sugerida por Mesnager em 1930, mas
devido à falta de materiais satisfatórios o método passou a ser empregado somente a partir das
aplicações de Zandaman em 1953 (Roberts et al., 1962).
3.2 NATUREZA DA LUZ
Os fenômenos observáveis em fotoelasticidade podem ser interpretados com base na
teoria eletromagnética de Maxwell, também chamada de teoria ondulatória da luz. De acordo
com esta teoria, a luz ou raios luminosos são vibrações eletromagnéticas que se propagam em
todas as direções a partir da fonte luminosa. Uma fonte incandescente emite energia radiante
que se propaga em todas as direções e contém um espectro de vibrações de diferentes
freqüências ou comprimentos de onda. A vibração associada com a luz é perpendicular à
direção da propagação e pode ser expressa sob a forma de um vetor normal à direção de
propagação.
Figura 3.1 - Onda de luz.
Para a interpretação dos fenômenos fotoelásticos pode-se considerar apenas as
componentes senoidais, sendo a propagação do vetor descrita pela onda harmônica simples
como mostrado pela Figura 3.1. A equação da onda será:
−= )..(2sen.),( tvxytxy m λπ (3.1)
Onde:
ym = amplitude do vetor luminoso;
34
λ = comprimento de onda;
v = velocidade de propagação da luz;
x = coordenada ao longo da direção de propagação;
t = tempo.
O tempo gasto pela luz ao percorrer a distância de um comprimento de onda é, por
definição, o período da radiação, representado pela letra T e dado pela expressão:
vT λ= (3.2)
A freqüência da luz, representada pela letra f, é o inverso do período, dada pela
expressão:
λv
Tf ==
1 (3.3)
Considerando duas ondas, a diferença entre coordenadas x1 e x2 em cada instante é, por
definição, a diferença de fase linear entre as duas ondas, isto é d = x1 - x2, conforme Figura
3.2.
Figura 3.2 - Diferença de fase entre ondas
35
De acordo com a teoria ondulatória da luz, a sensação da visão ocorre somente quando
as vibrações eletromagnéticas atingem o nervo da visão num plano perpendicular à direção do
raio luminoso. Quanto à cor da luz, essa é determinada pela freqüência das componentes do
vetor luminoso. O comprimento da onda e a velocidade de propagação da luz dependem das
características óticas do meio através do qual ela se propaga. Já a freqüência da vibração é
uma característica que permanece constante, independentemente do meio através do qual a luz
se propaga. A cor é apenas função da freqüência da luz e, portanto independente do meio de
propagação. As cores do espectro visível da luz variam desde o vermelho escuro,
correspondente a uma freqüência de 390 x 1012 Hz, ao violeta, correspondente a uma
freqüência de 770 x 1012 Hz.
Quando o vetor luminoso possui componentes de mesma freqüência, a luz se diz
monocromática, de cor característica dessa freqüência. Quando o vetor luminoso inclui
componentes de freqüência diferentes, as cores correspondentes aparecem misturadas, e os
nossos olhos vêm essa combinação como luz branca.
3.3 FUNDAMENTOS DA LUZ POLARIZADA
A luz emitida por uma fonte comum de luz consiste em muitas ondas independentes
cujos planos de vibração se acham orientados aleatoriamente em torno da direção de
propagação. Com a introdução de um filtro polarizador, somente a componente destas
vibrações que é paralela ao eixo principal do filtro será transmitida. Esse processo de
ordenamento é chamado de polarização, e um feixe de luz organizado é chamado de luz
polarizada ou plano polarizado, porque a vibração é contida em um plano. A Figura 3.3
apresenta um esboço do fenômeno de polarização da luz. Em fotoelasticidade utilizam-se três
tipos de luz polarizada: luz polarizada plana, circular e elíptica. Esta última engloba a
polarização plana e a polarização circular como casos particulares.
A luz polarizada plana é obtida restringindo o vetor luminoso a vibrar em um plano bem
definido, chamado plano de polarização, conforme a Figura 3.4. A luz polarizada plana pode
ser obtida por intermédio de um elemento ótico único, designado por polarizador plano ou
linear, que é capaz de absorver as componentes do vetor luminoso que vibram em planos que
não sejam paralelos à direção do eixo do polarizador. Ao atravessar um polarizador plano
somente a componente paralela ao eixo de polarização do vetor luminoso é transmitida.
36
Figura 3.3 - Polarização da luz (modificado – Measurements Group, 1981).
A luz polarizada circular é obtida quando a extremidade do vetor luminoso descreve
uma hélice circular à medida que a luz se propaga, como mostra a Figura 3.5. A conversão de
uma luz polarizada plana em luz polarizada circular é realizada pelo polariscópio circular.
Para o completo entendimento do funcionamento do polariscópio plano e do polariscópio
circular é necessário a definição do que são materiais birrefringentes e materiais fotoelásticos.
Figura 3.4 - Luz polarizada plana (modificado – Dyer, 1985)
37
3.4 MATERIAIS BIRREFRINGENTES E FOTOELÁSTICOS
Certos materiais transparentes possuem a propriedade de dividir o vetor luminoso em
duas componentes ortogonais, transmitindo-as a velocidades diferentes. Tais materiais são
designados birrefringentes. Uma placa birrefringente, como apresentado na Figura 3.6, possui
dois eixos óticos principais. Um dos eixos é denominado eixo rápido e a transmissão da luz
segundo este eixo se dá com velocidade maior que a transmissão pelo outro eixo, que se
denomina eixo lento.
Figura 3.6 - Placa birrefringente (modificado – Gomes, 1984)
A luz polarizada plana ao incidir sobre uma placa birrefringente, cujo vetor luminoso
faz um ângulo β com o eixo rápido, se divide em duas componentes segundo os eixos da
placa. Essas componentes propagam-se através da espessura, h, da placa, com diferentes
velocidades e conseqüentemente as duas componentes vão emergir do outro lado da placa em
instantes diferentes. Se as intensidades de deformação nas direções X e Y são εx e εy e as
Figura 3.5 - Luz polarizada circular (modificado – Dyer, 1985)
38
velocidades da vibração da luz nestas direções são vx e vy respectivamente, o tempo
necessário para transpor a placa para cada componente será h/v, e a retardação relativa entre
os dois eixos será:
).(. yxyx
nnhvh
vhc −=
−=δ (3.4)
Onde:
h = espessura da placa;
n = índice de refração ou densidade ótica do material, igual a razão c/v;
c = velocidade de propagação da luz no vácuo, igual a 3,0 x 108 m/s.
A amplitude e a orientação do vetor luminoso podem ser controladas através da placa
birrefringente. Os fatores de controle são a retardação relativa e a orientação dos eixos óticos
da placa birrefringente relativamente ao eixo de polarização da luz incidente, definido pelo
ângulo β.
Os materiais fotoelásticos são aqueles que apresentam a propriedade de que quando
atravessados por um feixe de luz polarizada produzem certos efeitos que são relacionados
com o estado de tensão a que estão sujeitos. Esses materiais são isotrópicos quando não se
encontram sob tensão, mas tornam-se opticamente anisotrópicos quando submetidos a alguma
tensão. A mudança do índice de refração é função da tensão aplicada, similar à resistividade e
à mudança de resistência no "strain gage".
Quando sob ação de um campo biaxial de tensões, as características óticas do material
alteram-se, tornando-o birrefringente. Os eixos principais de tensão em qualquer ponto da
placa correspondem aos eixos principais, lento e rápido da placa birrefringente. Quando o
feixe polarizado se propaga através do material de espessura h, onde x e y são as direções
principais no ponto em consideração, o vetor de luz se divide e dois feixes polarizados são
propagados nos planos x e y. O polariscópio é o instrumento ótico que permite medir essas
alterações no índice de refração do material. Os polariscópios podem ser de transmissão ou de
reflexão. Os polariscópios de transmissão destinam-se ao estudo de modelos transparentes de
material fotoelástico, através dos quais a luz se propaga para observação, do lado oposto, pelo
analisador. Na utilização dos polariscópios de reflexão, o modelo fotoelástico é substituído
39
pelo objeto real ou protótipo, sendo a sua superfície revestida com uma película de material
fotoelástico, colada com material refletor adequado.
De acordo com Gomes (1984), as variações do índice de refração são diretamente
proporcionais às tensões principais induzidas em cada ponto, isto é:
).()( yxyx Cnn σσ −=− (3.5)
Onde C é uma constante ótica do material.
Combinando as Equações 3.4 e 3.5 tem-se, para análise por transmissão:
δ= h.C.(σx - σy) (3.6)
No caso da fotoelasticidade de reflexão, onde a luz atravessa o revestimento fotoelástico
duas vezes, tem-se:
δ= 2.h.C.(σx - σy) (3.7)
Conseqüentemente, a relação básica para medidas de tensões usando a técnica de
fotoelasticidade por reflexão é:
Chyx ..2)( δσσ =− (3.8)
Quando o material fotoelástico apresenta um comportamento elástico, tem-se pela Lei
de Hooke:
)(1 2 yxxE νεεν
σ +−
= (3.9)
)(1 2 xyyE νεεν
σ +−
= (3.10)
40
)(1 yxyxE εεν
σσ −+
=− (3.11)
Onde:
E = módulo de elasticidade;
ν = coeficiente de Poisson.
Combinando-se as Equações 3.8 e 3.11, a diferença entre as deformações principais
pode ser obtida por:
Khyx ..2)( δεε =− (3.12)
Onde:
)1(.
ν+=
ECK (3.13)
A constante K é chamada de coeficiente ótico de deformação, caracteriza uma
propriedade física do material e é fornecida pelo fabricante. É adimensional e estabelecido por
calibração e pode ser considerada similar ao fator "gage" de resistência de um "strain gage".
Reescrevendo a Equação 3.11, acrescentando-se os subscritos r, referente ao
revestimento fotoelástico e p para a peça em ensaio tem-se:
pyxp
ppyx
E)(
1)( εε
νσσ −
+=− (3.14)
ryxr
rryx
E )(1
)( εεν
σσ −+
=− (3.15)
Da Equação 3.8 tem-se:
ryxr
rECh
)(1..2
εεν
δ−
+= (3.16)
41
Com o revestimento solidarizado à superfície da peça em ensaio, as deformações no
revestimento serão as mesmas da superfície da peça, de modo que pyx )( εε − = ryx )( εε − , e
desenvolvendo-se a partir das Equações 3.13, 3.14 e 3.16:
p
ppyx
EKh ν
δσσ+
=−1
...2
)( (3.17)
A retardação relativa pode ser expressa por δ = Nλ, onde N é chamado de posição ou
ordem da franja e representa a diferença de fase entre as duas componentes do vetor
luminoso. A retardação ou sinal fotoelástico pode então ser descrita por N. Da Equação 3.12
tem-se:
ελεε fNKh
Nyx .
..2)( ==− (3.18)
A constante de franja do revestimento fotoelástico, fε, é obtida por calibração e equivale
à:
hKf
2λ
ε = (3.19)
Onde:
h = espessura do revestimento;
K = coeficiente ótico de deformação;
λ = comprimento de onda da luz.
A diferença de fase N em cada ponto do modelo fotoelástico é medida pelo
polariscópio. A diferença entre tensões principais será fornecida por:
p
p
p
ppyxpyx v
EfN
vE
+=
+−=−
1..
1.)()( εεεσσ (3.20)
42
Em aplicações práticas (fronteiras, carregamentos uniaxiais, cantos e membros longos),
uma das tensões principais é zero, ou próximo a zero. Nestes casos:
p
p
vE
fN+
=1
. εσ (3.21)
3.5 POLARISCÓPIOS
Os polariscópios são sistemas óticos utilizados para observação de mudanças das
propriedades óticas do material quando sob tensão. Existem dois tipos de polariscópios: plano
e circular. Os nomes são derivados dos tipos de luz polarizadas que são utilizadas na operação
dos mesmos. Os polariscópios podem ser ainda divididos em polariscópios de transmissão e
de reflexão. Os esquemas apresentados pelas Figuras 3.7 e 3.8 são relativos a polariscópios de
transmissão que se destinam ao estudo de modelos transparentes de material fotoelástico.
Os polariscópios de reflexão são equivalentes a polariscópios de transmissão, entretanto
naquele tipo o modelo fotoelástico é substituído pelo objeto real ou pelo protótipo e a
superfície é revestida com uma película de material fotoelástico. Quando a estrutura é
solicitada e se deforma, o revestimento fotoelástico acompanha essa deformação, dando
origem a um conjunto de franjas isocromáticas observáveis através do polariscópio e dando
indicação sobre a distribuição das deformações na superfície da peça ou estrutura. Se a
espessura do revestimento fotoelástico é suficientemente reduzida, poder-se-á admitir que as
deformações na superfície da peça ou estrutura são transmitidas ao revestimento praticamente
sem distorção.
3.5.1 POLARISCÓPIO PLANO
Os polariscópios planos são constituídos por dois polarizadores planos e por uma fonte
de luz, dispostos em linha como apresentado pela Figura 3.7. A placa polarizadora situada
próxima à fonte de luz é designada por polarizador, enquanto a outra placa situada do lado do
observador é designada por analisador. Os eixos do polarizador e analisador orientam-se
perpendicularmente entre si, obtendo-se assim a completa extinção do feixe de luz, sendo nula
a intensidade da luz. O modelo fotoelástico é introduzido entre as duas placas e é observado
pelo analisador.
43
Pode-se demonstrar matematicamente (Gomes, 1984) que sendo a intensidade da luz
proporcional ao quadrado da amplitude do vetor luminoso, no caso de um polariscópio plano
a intensidade da luz emergente será:
=λδπβ .sen.2sen. 222
myI (3.22)
Onde:
δ = retardação relativa;
β = ângulo entre o eixo de polarização do polarizador e a direção das tensões principais;
ym = amplitude do vetor luminoso.
Existem duas condições para a extinção da luz polarizada que passa através da amostra
de material fotoelástico e do analisador. A primeira condição é encontrada em todo ponto no
modelo fotoelástico onde as direções das tensões principais estão alinhadas com o eixo do
polarizador, ou seja, 2β = nπ, em que n é inteiro, tornando, pela Equação 3.22, I = 0. Uma
série de franjas (linhas) escuras irá aparecer no modelo fotoelástico onde ocorre a condição de
extinção da luz. Estas linhas são denominadas franjas isoclínicas e definem as direções
Figura 3.7 - Polariscópio plano (modificado – Measurements Group, 1981).
44
principais de tensão em cada ponto no modelo. As direções das tensões principais em
qualquer ponto no modelo podem ser encontradas girando-se o polarizador e o analisador
perpendiculares entre si, até que uma franja isoclínica cruze o ponto.
A segunda condição de extinção ocorre quando a diferença de fase entre os dois
componentes de vibração que emergem do modelo fotoelástico é um número inteiro de
comprimento de onda, isto é, δ = Nλ = 0, 1λ, 2λ, 3λ,... Isto produz uma franja denominada de
isocromática que aparece nos pontos do modelo fotoelástico onde a mesma diferença de fase
ocorre, isto é, a mesma diferença de tensões principais. Se luz branca é usada no polariscópio,
franjas isocromáticas serão na forma de faixas coloridas, onde a diferença de fase produz a
extinção de um comprimento de onda da luz particular. Por exemplo, quando a diferença de
fase extingue o comprimento de onda verde, a cor vermelha aparece como a franja
isocromática. Na luz monocromática a franja é escura. Franjas isocromáticas são ordenadas de
acordo com o número inteiro de comprimento de onda da diferença de fase, isto é, 1ª ordem,
2ª ordem para δ = 1λ, 2λ, respectivamente. As isocromáticas são utilizadas para determinar a
diferença entre as tensões principais. No polariscópio plano as franjas isocromáticas aparecem
sobrepostas às franjas isoclínicas, sendo necessário recorrer a técnicas especiais para a sua
diferenciação.
3.5.2 POLARISCÓPIO CIRCULAR
O esquema de um polariscópio circular é apresentado na Figura 3.8. O modelo
fotoelástico é observado num campo de luz polarizada circular. Em um polariscópio circular a
luz polarizada plana é convertida em luz polarizada circular usando uma placa quarto de onda
(λ/4).
O primeiro elemento é o polarizador, de eixo P, que transforma a luz ordinária em luz
polarizada plana. O segundo elemento é uma placa quarto de onda. A placa quarto de onda é
birrefringente, possuindo então dois eixos de polarização. Esta placa é instalada de modo que
o eixo rápido esteja inclinado de 45º em relação ao eixo do polarizador, e transforma a luz
polarizada plana em luz polarizada circular. O terceiro elemento é outra placa quarto de onda,
orientada de modo que o eixo rápido fique paralelo ao eixo lento da primeira placa, assim a
segunda placa quarto de onda anula o efeito da primeira, reconstituindo a luz polarizada
plana. O último elemento é o analisador, que pode estar orientado de modo que o eixo de
polarização seja perpendicular ao eixo do polarizador, ou de modo que o seu eixo esteja
orientado paralelamente à direção do eixo do polarizador. O primeiro arranjo corresponde ao
45
polariscópio circular de campo escuro e o segundo ao polariscópio de eixos paralelos ou de
campo iluminado.
A utilização do polariscópio circular de campo escuro permite eliminar as franjas
isoclínicas, mostrando apenas as franjas isocromáticas. A intensidade da luz no polariscópio
circular é dada por (Gomes, 1984):
=λπδ .sen. 22
myI (3.23)
A equação mostra que a extinção da luz ocorrerá quando δ = 0, δ = 1λ, δ = 2λ, δ = Nλ,
para valores inteiros de N, correspondendo às franjas isocromáticas de ordem N.
Um polariscópio circular de campo escuro pode transformar-se em polariscópio circular
de campo iluminado pela rotação do respectivo analisador de um ângulo de 90º, em torno do
eixo do polariscópio. Ao sair do analisador a intensidade luminosa é dada pela expressão:
=λδπ .cos. 22
myI (3.24)
Figura 3.8 - Polariscópio Circular (modificado – Measurements Group, 1981).
46
Esta equação mostra que a extinção da luz ocorrerá quando δ = ½ λ, δ = 1½ λ, δ = 2 ½
λ, δ = Nλ, obtendo-se as franjas isocromáticas de meia ordem, isto é ½, 1 ½ , 2 ½ ,...
3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os princípios discutidos representam o embasamento teórico da fotoelasticidade e
estabelecem as equações fundamentais que relacionam o estado de tensão e deformação com
o efeito de anisotropia ótica que produzem em um material fotoelástico. Esses conceitos são
importantes para a descrição das técnicas de quantificação e interpretação dos fenômenos
fotoelásticos utilizados na análise e discussão dos ensaios de cisalhamento direto das
descontinuidades realizados neste trabalho.
47
4 TÉCNICAS E APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE
4.1 INTERPRETAÇÃO DO PADRÃO DE FRANJAS FOTOELÁSTICAS
Uma das grandes vantagens da análise de tensões por fotoelasticidade é a facilidade de
visualizar imediatamente as magnitudes das deformações (e tensões), os gradientes de
deformação e a sua distribuição global, incluindo áreas sob grande ou pequena tensão e ainda
verificar a importância relativa dos vários modos de aplicação de cargas. Essa capacidade é
chamada de análise de campo completo e é única da fotoelasticidade entre os métodos de
análise de tensões.
4.1.1 INTERPRETAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES
Quando um objeto revestido por um material fotoelástico é submetido a um
carregamento, as tensões resultantes causam deformações que são transmitidas ao
revestimento que se encontra intimamente e uniformemente colado em sua superfície. As
deformações no revestimento produzem efeitos óticos que aparecem como franjas
isocromáticas quando visualizados pelo polariscópio. Este é o princípio da fotoelasticidade de
reflexão e é necessário um polariscópio de reflexão para a análise do problema.
Tendo-se uma peça não carregada, e aplicando um carregamento em incrementos, as
franjas irão aparecer primeiro nos pontos com maior nível de tensão. Aumentado a carga,
novas franjas aparecem e as anteriores são redistribuídas para áreas de menor tensão.
Continuando a aplicação da carga, franjas adicionais são geradas nas regiões de maior tensão
e redistribuídas em direção às regiões de menor tensão até que se atinja a carga máxima.
As franjas podem ser designadas por números ordinais (primeira, segunda, terceira etc.)
de acordo com o seu surgimento, e elas possuirão uma identidade individual (ordem) durante
a seqüência de carregamento. As franjas são contínuas, não se interceptam em nenhum ponto
e seguem sempre uma seqüência.
Quando observadas com o polariscópio de reflexão, as franjas aparecem como uma
série de faixas sucessivas e contínuas de diferentes cores (isocromáticas) sendo que cada faixa
representa um diferente grau de birrefringência e, portanto, de sua ordem (e nível de
deformação).
O efeito fotoelástico é causado pela construção e destruição alternadas da interferência
entre os raios de luz que possuem um retardo relativo, ou defasamento, no revestimento
48
fotoelástico sob tensão. Quando sob luz monocromática, a magnitude da retardação relativa
ao longo de qualquer franja é um múltiplo inteiro do comprimento de onda (λ, 2λ, 3λ etc.), os
raios são defasados de 180°, e há cancelamento mútuo causando extinção da luz e produzindo
uma faixa negra. Por outro lado, quando a retardação relativa é um múltiplo de λ/2 (λ/2, 3λ/2,
5λ/2 etc.), os raios estão perfeitamente em fase e se combinam causando máxima claridade.
Magnitudes intermediárias de retardação relativa produzem intensidades de luz
intermediárias. O resultado do padrão fotoelástico aparece então com alternância de franjas
claras e negras (Figura 4.1).
Figura 4.1 – Franjas observadas sob luz monocromática (Measurements Group, 1984).
A luz branca, geralmente utilizada para interpretação de campo completo, é composta
por todos os comprimentos de onda do espectro visível. Deste modo, a retardação relativa que
causa a extinção de um comprimento de onda (cor) geralmente não gera a extinção de outros.
Quando, com o aumento de birrefringência, cada cor no espectro é extinta de acordo com o
comprimento de onda, o observador visualiza uma cor complementar.
Quando se determina a magnitude da diferença de deformações, o observador dispensa
as isoclínicas. Isto é obtido pela transformação do polariscópio em um polariscópio circular,
introduzindo uma placa quarto de onda com o eixo principal em um ângulo de 45° em relação
aos eixos do analisador e polarizador. O campo fotoelástico aparece como um mapa colorido
de linhas de várias cores denominadas de franjas isocromáticas. Linhas de cores iguais
representam um valor de constante N (ou δ = N x λ, para luz branca δ = N x 575 x 10-6 mm).
O primeiro passo para a análise da distribuição é atribuir para as linhas coloridas a sua ordem
numérica. Quando observado pelo polariscópio (operação de luz circular), a retardação
aumenta proporcionalmente com a tensão (δ = λ, 2λ, 3λ,...), assim uma onda particular ou
uma cor desaparece e visualiza-se uma cor complementar. Quando se observa uma peça não
49
carregada através do polariscópio, o revestimento aparece uniformemente negro. Com a
aplicação do carregamento as regiões de maior diferença de tensões começam a apresentar
cores, primeiro cinza, depois branco, violeta, amarelo, numa seqüência de cores. Como
exemplo, quando δ = 635 x 10-6 mm, o vermelho desaparece e o verde é observado. A franja
púrpura é facilmente distinguida, aparecendo entre o vermelho e o azul e é muito sensível a
pequenas mudanças no nível de tensão, sendo denominada de matiz de passagem, marcando a
retardação relativa igual à franja de ordem um (N=1 ou λ = 575 x 10-6 mm). Subseqüente
recorrência da cor de passagem com maior retardação relativa significa a presença de franjas
inteiras maiores. Deste modo a seleção do λ = 575 x 10-6 mm como um comprimento de onda
padrão para observação, resulta que as franjas de ordem inteira (N = 1, 2, 3, ...) aparecem
entre o vermelho do espectro anterior, e o azul ou verde do espectro seguinte.
Franjas de ordem superiores a 4 ou 5 não são distinguidas pela cor na luz branca.
Devido à extinção múltipla de cores a franja de segunda ordem é mais pálida do que a de
primeira ordem. As franjas de ordem 3 e 4 não são visíveis como uma banda púrpura, mas são
bem definidas pela transição entre o verde e o vermelho. Franjas de ordem superiores devem
ser detectadas pela utilização de luz monocromática.
O equipamento utilizado neste trabalho possui como acessório uma lente
monocromática. Em cada ponto do padrão fotoelástico onde a matiz de passagem ou franjas
de ordem inteira ocorrem na luz branca o filtro produz uma densa franja negra.
4.1.2 COMPORTAMENTO CARACTERÍSTICO DAS FRANJAS
As franjas fotoelásticas possuem características que podem ser úteis na interpretação do
padrão fotoelástico. Por exemplo, as franjas são faixas contínuas, formando tanto "loops"
fechados como linhas curvas. As franjas negras de ordem zero são usualmente manchas
isoladas, linhas, ou áreas circundadas por franjas de ordem superior. As franjas nunca se
interceptam e a ordem da franja e o nível de deformação são uniformes em todos os pontos na
franja. Adicionalmente, as franjas existem em uma seqüência contínua tanto no número como
na cor. Em outras palavras, se as franjas de primeira e terceira ordem são identificadas, a
franja de segunda ordem deverá encontrar-se entre elas. A seqüência de cores em qualquer
direção estabelece se a ordem da franja e o nível de deformação aumentam ou diminuem
naquela direção.
Se existe uma franja de ordem zero no campo de visão, ela será geralmente óbvia
devido à cor negra. Assumindo que a peça revestida possui um canto quadrado livre ou um
50
ponto de projeção, a tensão será sempre igual a zero e uma franja de ordem zero (mancha) irá
existir no canto, independente da magnitude da carga, mas encolhendo com o incremento da
carga. Quando não existe franja de ordem zero evidente, a franja de primeira ordem pode
sempre ser reconhecida devido ao brilho das cores adjacentes à matiz púrpura de passagem.
Como alternativa, quando o objeto de ensaio pode ser carregado em incrementos a partir do
estado de tensão livre, a franja de ordem zero inicial que cobre todo o revestimento pode
geralmente ser acompanhada durante o processo de carregamento, enquanto retrocede em
direção a pontos não tensionados e a regiões onde a diferença das tensões principais é zero.
Reconhecendo-se uma franja, a ordem de outras franjas pode ser identificada, sabendo-
se que a direção de aumento da ordem das franjas corresponde à seqüência correta de cores,
isto é, amarelo, vermelho, verde etc. Por este processo o observador pode rapidamente
localizar as franjas de maior ordem e, geralmente, as regiões mais deformadas. Áreas de
franjas finas com pequenos espaçamentos significam regiões de gradientes de deformação
excessivos e de altas deformações. Grandes áreas onde o padrão é quase uniformemente negro
ou cinza, geralmente indicam uma região não tensionada.
4.1.3 RELAÇÕES ENTRE ORDEM DAS FRANJAS E AS MAGNITUDES DE
DEFORMAÇÕES E TENSÕES
A ordem das franjas é proporcional à diferença de deformações principais (εx - εy) no
revestimento (e na superfície da peça em ensaio). A relação linear é expressa pela Equação
3.18, a qual pode ser reescrita em termos de deformação cisalhante:
Nfxy =γ (4.1)
Onde:
γxy = deformação cisalhante máxima (no plano da superfície) em qualquer ponto;
N = ordem da franja;
f = constante de franja do revestimento sendo igual a Kh..2
λ ;
λ = comprimento de onda (na luz branca, 575 nm);
h = espessura do revestimento;
K = coeficiente ótico de deformação do revestimento.
51
O significado das Equações 3.18 e 4.1 é que a diferença de deformações principais, ou a
máxima deformação cisalhante na superfície de ensaio pode ser obtida simplesmente obtendo
a ordem da franja e multiplicando este pela constante de franja. As Equações 3.18 e 4.1
podem ser transformadas, de acordo com a Lei de Hooke, para a determinação da diferença
entre as tensões principais, conforme definido na Equação 3.20. Ressalta-se que a Lei de
Hooke biaxial é aplicável somente a materiais homogêneos, isotrópicos e com comportamento
elástico.
Observando-se que a tensão cisalhante máxima, τmáx, no plano da superfície em
qualquer ponto é (σx - σy) / 2, tem-se:
NfE
+
=ν
τ12
1max (4.2)
Onde:
σx, σy = tensões principais na superfície da peça em ensaio;
E = módulo de elasticidade da peça em ensaio;
v = coeficiente de Poisson da peça em ensaio.
As Equações 3.18 e 3.20 são conhecidas como as relações primárias usadas na análise
de tensões por fotoelasticidade, fornecendo somente a diferença entre as deformações e
tensões principais e não os seus valores individuais. Para determinar a magnitude individual e
os sinais, tanto das deformações como das tensões principais, geralmente é necessário, para o
estado biaxial de tensões, uma segunda medida que forneça a soma das deformações
principais. Há muitos casos, entretanto, que estas equações fornecem todas as informações
necessárias à análise de tensões. Por exemplo, quando a razão entre as tensões principais pode
ser inferida de outras considerações, como por exemplo, um cabo uniforme sob torsão
(σx/σy=-1), um recipiente de paredes finas sob pressão (σx/σy=2) etc., esta relação pode ser
combinada com a Equação 3.20 para obter as tensões principais individuais. Também, sempre
que o estado de tensões é conhecido como uniaxial, com σx ou σy igual a zero, há somente
uma tensão principal no plano da superfície do protótipo, e esta pode ser obtida diretamente
da Equação 3.20. Estes casos, nos quais uma das tensões principais é zero incluem todos os
membros retos e com seção transversal uniforme em tensão ou compressão axial, fora dos
pontos de aplicação das cargas. Outros casos importantes do ponto de vista da análise de
52
tensões são todos os pontos nas fronteiras e extremidades livres do protótipo. Como nas
extremidades livres, os eixos principais são normal e tangencial à extremidade, e a tensão
principal normal na extremidade é necessariamente igual a zero, o estado de tensão é uniaxial.
4.1.4 DETERMINAÇÃO DAS DIREÇÕES DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
Quando o feixe de luz polarizada atinge um revestimento fotoelástico em um ponto
sujeito à tensão, ele é dividido em duas ondas que se propagam em diferentes velocidades ao
longo das direções das deformações principais. Após emergir do revestimento, estas duas
ondas sairão defasadas entre si. Contudo, nos pontos onde as direções das tensões principais
são paralelas aos eixos do filtro do polarizador, o feixe de luz não será afetado e a vibração
emergente será paralela à vibração de entrada.
Observando o ponto sob tensão pelo polariscópio, linhas (ou áreas) escuras,
denominadas isoclínicas, aparecerão. Em todos os pontos das isoclínicas as direções das
deformações principais são paralelas à direção de polarização do analisador e do polarizador.
A direção da deformação principal é sempre determinada tendo como referência uma linha
estabelecida, eixo ou plano. Em relação à referência selecionada as direções no ponto são
acompanhadas pela rotação conjunta do analisador e polarizador até que a isoclínica atravesse
o ponto onde as direções estão sendo medidas, conforme mostra a Figura 4.2. Quando as
direções das deformações são requeridas em uma grande área, as isoclínicas podem ser
registradas por fotografia ou traçadas diretamente no revestimento.
Girando o polarizador e o analisador juntos, em incrementos angulares pequenos na
faixa de 0 a 90 graus, será gerada a família completa de isoclínicas. Um exemplo deste
procedimento é mostrado na Figura 4.3 para um anel sujeito à compressão diametral. As
isoclínicas podem ainda ser combinadas em um único desenho, e as linhas isostáticas podem
ser traçadas, revelando as direções das deformações principais em qualquer ponto e ilustrando
o fluxo de tensão na peça sob ensaio.
As isoclínicas finas e estreitas correspondem a direções de deformações principais que
variam rapidamente de um local ao outro. Sendo as isoclínicas bandas negras ou áreas, as
direções das deformações principais variam lentamente e o contorno das isoclínicas pode ser
traçado. No caso de uma amostra de seção transversal constante sob tensão, uma isoclínica
poderá ser vista sobre toda a área quando os eixos de polarização coincidem com o eixo da
amostra e desde que a direção da deformação principal seja a mesma em todos os pontos.
53
Figura 4.2 - Determinação da direção das deformações principais (modificado – Measurements Group, 1984).
0º 15º 30º
45º 60º 75º
Figura 4.3 - Franjas isoclínicas, em incrementos de 15°, em anel carregado diametralmente (modificado – Measurements Group, 1981).
4.2 MEDIDAS PONTUAIS
Em geral um ponto de interesse na estrutura encontra-se entre franjas de ordem inteira e,
portanto, é necessário determinar a fração de franja correspondente no ponto em análise. A
técnica utilizada para realizar medidas pontuais é chamada de compensação. Dois métodos
são utilizados:
• Compensação Tardy, usando a rotação do analisador do polariscópio de reflexão;
• Compensação por balanço nulo, utilizando o compensador que é um acessório que
acompanha o polariscópio.
54
4.2.1 MÉTODO DE COMPENSAÇÃO POR BALANÇO NULO
Durante a realização deste trabalho foi utilizada a técnica da compensação por balanço
nulo. Este tipo de compensação opera com o princípio de introdução, no caminho da luz do
polariscópio, de uma birrefringência calibrada e variável de sinal oposto àquela induzida no
revestimento fotoelástico pelo campo de deformação. Quando a birrefringência de sinal
oposto é ajustada com a mesma magnitude da birrefringência induzida pela deformação, irá
ocorrer o seu cancelamento e a birrefringência líquida na trajetória da luz será zero. Essa
condição é observada pela produção de uma franja negra no padrão de isocromáticas, onde
antes da introdução da birrefringência compensatória existia uma franja colorida. O
dispositivo utilizado para introduzir a birrefringência calibrada é o compensador de balanço
nulo.
Durante este trabalho foi utilizado um compensador eletricamente acoplado com um
indicador de deformação, permitindo a leitura digital da magnitude da diferença de
deformações no ponto considerado após a compensação, conforme ilustra a Figura 4.4. O
sistema também faz o registro da direção da deformação principal. Este é acompanhado por
um transdutor instalado no compensador, o qual registra a orientação angular da isoclínica. O
sistema possui ainda uma impressora interna que pode ser acionada do compensador.
Para que ocorra o total cancelamento da birrefringência o compensador deverá estar
alinhado com a direção da deformação principal máxima (algebricamente). O compensador é
inicialmente alinhado com uma das direções das deformações principais. Se o balanço nulo
não é possível, significa que o compensador está alinhado com a direção da deformação
principal mínima. Girando o compensador de 90°, este estará então alinhado com a direção da
deformação principal maior e a compensação por balanço nulo será possível.
4.2.2 SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES E/OU TENSÕES
Para a obtenção de valores individuais das tensões principais em pontos localizados fora
das extremidades livres, é necessária a realização de medidas adicionais. Existem duas
técnicas: o método de incidência oblíqua e o método do "strain gage" separador. O método da
incidência oblíqua apresenta alguma dificuldade de uso e é restrito a medições em locais que
permitam o acesso do adaptador de incidência oblíqua. O método que utiliza o "strain gage"
separador necessita que uma determinação anterior dos pontos de maior interesse para análise
seja realizada e que se determine as direções das tensões principais nesses pontos antes da
colagem dos "strain gage".
55
Figura 4.4 - Polariscópio equipado com o compensador e equipamento para leitura e registro dos dados de deformação.
O termo incidência oblíqua significa que a luz do polarizador atravessa o revestimento
fotoelástico em um determinado ângulo, e a birrefringência medida depende da deformação
principal secundária no plano perpendicular ao caminho da luz. Assim, uma leitura de
incidência oblíqua (Nθ), combinada com a leitura de incidência normal (Nn), fornece a
informação necessária para a determinação dos valores individuais de σx e σy. O adaptador
para incidência oblíqua possui um espelho fixo que simplifica a redução dos dados. O
adaptador é mostrado na Figura 4.5.
Figura 4.5 - Adaptador para incidência oblíqua fixado no polariscópio.
56
A Figura 4.6 mostra um esboço da realização de medidas com incidência oblíqua. A
trajetória da luz emerge do polarizador, reflete no espelho de incidência oblíqua, atravessa o
revestimento fotoelástico refletindo novamente no espelho e finalmente retorna pelo
analisador.
Na incidência normal Nn, as medidas são:
)(..2 yxnormaln KhN εεδλ −== (4.3)
Figura 4.6 - Trajetória da luz nas medidas de incidência oblíqua (modificado – Measurements Group, 1984).
Na incidência oblíqua:
)(..2 yxobliqua BAKhN εεδλθ −== (4.4)
Os coeficientes A e B são dependentes do coeficiente de Poisson do revestimento, e o
ângulo θ é aquele empregado pelo adaptador de incidência oblíqua. Resolvendo as equações
em termos de εx e εy:
)5,1( nx NNf −= θε (4.5)
)25,1( ny NNf −= θε (4.6)
Os valores de 1, 1,5 e 2 são coeficientes derivados do desenvolvimento de equações
para medidas de incidência oblíqua, e correspondem a revestimentos de alto módulo de
elasticidade (Measurements Group, 1984).
Desde que as deformações principais podem ser determinadas, as tensões podem ser
calculadas:
57
)(1 2 yxx
E νεεν
σ +−
= (4.7)
)(1 2 xyy
E νεεν
σ +−
= (4.8)
Onde E e ν são os módulos de elasticidade e coeficiente de Poisson, respectivamente, da peça
em ensaio.
4.3 CORREÇÕES DAS MEDIDAS DA ORDEM DAS FRANJAS
As principais fontes de erros no método fotoelasticidade com a utilização de
revestimento fotoelástico são:
• Birrefringência inicial;
• Efeitos de reforço em sistemas de tensão plana;
• Efeitos de reforço e extrapolação de deformação para placas sob flexão;
• Efeitos de temperatura.
A seguir apresentam-se as correções necessárias para os casos de birrefringência inicial e
de reforço em situações de tensão plana, que foram utilizadas neste trabalho.
4.3.1 BIRREFRINGÊNCIA INICIAL
Qualquer padrão colorido inicial no revestimento (anterior à aplicação de cargas) causa
um erro nas medidas de ordem de franja que deve ser corrigido. Sob circunstâncias normais,
isso acontece somente por uso inadequado do revestimento durante ou após aplicação no
objeto a ser ensaiado. Outras causas são:
• Birrefringência residual causada pela diferença entre a temperatura na qual o revestimento
foi colado e a temperatura durante o ensaio. Esta birrefringência parasitária é produzida
pela expansão térmica diferencial entre o revestimento e o objeto de ensaio. A
birrefringência é concentrada primeiramente nas extremidades, e caminha em direção ao
interior, para desaparecer a uma distância da extremidade de até quatro vezes a espessura
do revestimento. Nos pontos distantes das extremidades, o estado de tensão no plano do
58
revestimento devido à expansão térmica diferencial é isotrópico, e não produz
birrefringência.
• Birrefringência devido à retração da cola, sendo que após o período de um mês ou mais, a
cola usada para colar o revestimento pode continuar a polarização e então retrair. O efeito
é similar ao item acima e se concentra nas extremidades.
• Extremidades não protegidas da umidade, que ocorre se as extremidades do revestimento
não estão protegidas da umidade por uma camada de cola e alguma umidade é absorvida
através das extremidades da resina. O resultado poderá ser o inchaço da resina ao longo
das extremidades produzindo birrefringência parasitária nestas áreas.
Em todos os pontos dos contornos livres (não carregados) os eixos principais são
tangentes e perpendiculares à extremidade. Isto é igualmente verdadeiro para as tensões nas
extremidades do revestimento, seja causado pelas cargas, seja pelos efeitos descritos acima.
Devido ao fato de que a carga induzida e a birrefringência são congruentes, a superposição
direta pode ser realizada, e a correção pode ser feita em todos os pontos das superfícies livres
pela simples subtração da medida da ordem da franja sem o carregamento da medida feita
com o carregamento.
Quando a birrefringência residual existe no revestimento devido ao uso inadequado da
resina, ou por plastificação da parte sob ensaio depois de revestido, as direções das tensões
principais causando a birrefringência inicial não serão coincidentes com os eixos principais
produzidos pela carga de ensaio. Nestes casos a correção não pode ser realizada pela simples
subtração. Um dos métodos é a subtração vetorial descrita a seguir (Measurements Group,
1984). A ordem da franja pode ser obtida por:
)(2cos.222ififif NNNNN ββ −−+= (4.9)
O ângulo entre o eixo de referencia horizontal e a tensão principal maior é dado por:
−
−= −
iiff
iiff
NNNN
ββββ
β2cos2cos2sen2sen
tan.5,0 1 (4.10)
Onde:
Ni= birrefringência parasitária inicial;
59
βi = parâmetro de isoclínica da tensão principal maior para birrefringência inicial;
Nf = birrefringência final;
βf = parâmetro de isoclínica da tensão principal maior para birrefringência final.
O procedimento para a correção da birrefringência é: com nenhuma carga sobre o
objeto, mede-se a ordem de franja, Ni, da birrefringência inicial no ponto de ensaio, e o
parâmetro de isoclínica βi, da tensão principal maior.
Após a aplicação da carga, mede-se a ordem da franja (Nf) e o ângulo da isoclínica (βf)
para o eixo da tensão principal maior. Note que estas medidas são resultado da combinação da
birrefringência inicial e da induzida pela carga. Calcula-se então a ordem correta da franja, N,
devido somente ao carregamento pela Equação 4.9 e o ângulo da isoclínica, β, entre a direção
de referência e o eixo da tensão principal maior induzida pela carga pela Equação 4.10.
4.3.2 EFEITOS DE REFORÇO EM PROBLEMAS DE TENSÃO PLANA
Quando uma peça em tensão plana revestida com revestimento fotoelástico é submetida
a cargas, o revestimento reforça a peça. Como resultado, as deformações na peça em ensaio
são inferiores do que sem a presença do revestimento. O erro devido ao reforço é muito
pequeno em peças de metal e pode ser ignorado. Contudo, quando os objetos em ensaio são
plásticos ou outros não metais, o erro é geralmente significativo e a correção é necessária. A
correção devida ao reforço em situações de tensão plana pode ser expressa como:
Cpr = 1+E*.h* (4.11)
Onde:
Cpr= fator pelo qual a ordem de franja observada no estado de tensão plana deve ser
multiplicada para obter a ordem de franja corrigida;
E* = Er/Ep = razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico e o do objeto
em ensaio;
h* = hr/hp = razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do objeto em ensaio.
4.4 MATERIAIS FOTOELÁSTICOS
A escolha do material adequado para o revestimento ou para o modelo é um aspecto
fundamental da análise de tensões com a utilização da fotoelasticidade. O primeiro material
60
utilizado para esta finalidade foi o vidro. Entretanto, pela sua baixa sensibilidade e
maleabilidade foi sendo substituído por outros materiais. As propriedades fundamentais que
um material fotoelástico deve possuir são:
• Transparência - na seleção de materiais para aplicações fotoelásticas em polariscópio de
transmissão, a transparência permite uma rápida classificação do material pela simples
observação;
• Maquinabilidade - facilidade de ser trabalhado por máquinas e ferramentas para que se
possa dar ao modelo a forma desejada;
• Sensibilidade ótica - o material deve possuir sensibilidade à deformação, traduzida por
um baixo valor do coeficiente de franja (f). Uma boa sensibilidade traduz-se por um
elevado número de franjas isocromáticas, mesmo para intensidades moderadas das forças
aplicadas;
• Fluência - é necessário que o material seja pouco susceptível a fluência;
• Isotropia e Homogeneidade - o material utilizado deve ser homogêneo e isotrópico. Os
materiais cuja obtenção envolve operações de laminagem e estiramento devem ser
evitados para uso em fotoelasticidade devido as propriedades de anisotropia introduzida
pelo processo;
• Comportamento linear - o material do modelo deve apresentar uma relação de linearidade
entre os estados de tensão e de deformação, bem como uma relação de linearidade entre o
estado de tensão e as respectivas propriedades óticas. Os materiais fotoelásticos
satisfazem em sua maioria essas condições, exceto para grandes níveis de tensão onde um
certo comportamento não linear pode ser observado;
• Rigidez - os materiais devem possuir um módulo de elasticidade suficientemente elevado
de tal modo que a distorção do modelo seja mínima, mantendo a sua forma sensivelmente
constante;
• Sensibilidade às variações de temperatura - as propriedades do material devem manter as
suas propriedades constantes em variações de temperatura;
• Ausência de tensões residuais;
• Compatibilidade de deformações - é importante que a ordem de grandeza das
deformações no modelo plástico e no protótipo sejam relativamente a mesma.
61
4.4.1 MATERIAIS UTILIZADOS
Apesar de quase todos os materiais transparentes exibirem birrefringência, a maioria
não apresenta sensibilidade suficiente para a sua aplicação em fotoelasticidade. Os materiais
utilizados para fins de fotoelasticidade são (Gomes, 1984):
• Bakelite BT-61-893 - resina gliptálica que se obtém através da reação da glicerina com
anidrido ftálico. É fácil de maquinar e possui excelentes propriedades óticas e mecânicas.
A sua desvantagem está no fato de ser difícil a sua moldagem sem o surgimento de
tensões residuais.
• Castolite - resina de poliéster que se obtém por moldagem entre duas lâminas de vidro.
Material transparente e sensibilidade média.
• Resina Columbiana (CR-39) - é um carbonato digligo-allylico que pode ser moldado sob
forma de placas, com transparência perfeita e ótimo acabamento superficial. Material
frágil e de difícil trabalhabilidade.
• Resina Epóxi (Araldites) - possui elevada sensibilidade ao efeito fotoelástico, excelentes
propriedades mecânicas e são fáceis de trabalhar.
• Borracha de poli-uretano - possui excepcional sensibilidade ótica (cerca de cinqüenta
vezes mais sensível que as resinas epóxi) e reduzido módulo de elasticidade. É utilizado
para fabricação de modelos demonstrativos e em modelos onde as tensões são provocadas
por forças de volume, como em determinados problemas de mecânica dos solos.
Destes materiais os que mais se aproximam de um material fotoelástico perfeito são as
resinas epóxi. Gomide & Smith (1984), citando Leven em 1961, conclui que a resina epóxi é
um excelente material fotoelástico para análise tridimensional, em virtude de apresentar alta
sensibilidade ótica com a deformação, de poder ser fundido facilmente em grandes espessuras
e pelo fato de complicados modelos poderem ser fabricados através de usinagem.
Nacionalmente, materiais para aplicação em fotoelasticidade têm sido preparados com matéria
prima nacional. Resinas epóxi e resinas de poliéster são utilizadas para a confecção de
modelos bi e tridimensionais (Gomide, 1975 e Siqueira & Gomide, 1994). Oliveira & Gomide
(1989) apresentam o desenvolvimento de materiais usando matéria-prima nacional para
aplicação na fotoelasticidade de reflexão. Os componentes usados são a resina epóxi
(Araldite) e endurecedores a base de aminas, produzidos no Brasil.
62
4.4.2 CALIBRAÇÃO DO MATERIAL FOTOELÁSTICO
Para determinar o estado de tensões a partir do polariscópio é necessário conhecer o
valor da constante de franja f do material fotoelástico utilizado. Essa constante pode se alterar
com a idade do material e com a temperatura ambiente, e por essa razão é conveniente que se
faça a calibração do material quando da realização do ensaio.
Existem vários métodos de calibração para determinar a constante do material,
destacando-se três métodos utilizados para modelos bidimensionais: corpos-de-prova de
tração, flexão e circular. Com as condições de carregamento e da distribuição de tensões
conhecidas, determina-se a ordem da franja (N) para cada nível do carregamento permitindo-
se determinar o coeficiente ótico de deformação.
A calibração de revestimentos para fotoelasticidade de reflexão é realizada por meio de
uma viga de calibração, que se encontra engastada em uma de suas extremidades e onde
posteriormente se aplica uma força na extremidade livre da viga. Esta força é aplicada por
meio de um micrômetro e medidas da ordem da franja (N) e de leituras no micrômetro são
feitas permitindo que se determine por meio de um gráfico de calibração o valor de franja f
e/ou o coeficiente de ótico de deformação K.
A calibração de modelos tridimensionais deve ser realizada na temperatura de
congelamento das tensões para a determinação do coeficiente ótico de deformação. A
calibração deve ser realizada no mesmo material que for utilizado na usinagem do modelo e
exposto ao mesmo ciclo térmico de congelamento de tensões a que for submetido o modelo.
4.4.3 SELEÇÃO DE REVESTIMENTOS FOTOELÁSTICOS
O objetivo da seleção do revestimento fotoelástico é a escolha de um material que
forneça máxima confiabilidade e precisão sob dadas condições de ensaio, com menores custos
e esforços. As principais considerações na seleção de um revestimento fotoelástico são:
• Método de aplicação do revestimento na superfície de ensaio;
• Sensibilidade;
• Efeito de reforço;
• Deformação máxima.
4.4.3.1 MÉTODO DE APLICAÇÃO DO REVESTIMENTO
Revestimentos fotoelásticos estão disponíveis em três formas: placas planas sólidas,
líquidos para fundição e líquidos para aplicação em "spray". Existem vários tipos diferentes
63
de revestimento disponíveis em cada uma das formas acima citadas e podem ser classificadas
de forma geral em categorias de acordo com o seu módulo de elasticidade: materiais com
baixo, médio e alto módulo de elasticidade.
Quando a superfície da peça de ensaio é plana, é preferível o uso de placas planas, com
as seguintes vantagens: espessura uniforme, propriedades físicas e fotoelásticas uniformes e
fácil manipulação. Para estruturas de formas irregulares que não podem ser revestidas por
placas planas, pode-se utilizar resina líquida. A resina plástica pode ser empregada com o
método de conformação ou aplicada por spray. No método da conformação a resina líquida é
preparada até a polarização parcial, quando apresenta-se sólida e maleável. Neste estágio o
objeto em estudo é revestido e a polimerização final ocorre na forma desejada. Esse método é
preferível à aplicação por spray porque se pode obter uma espessura uniforme do
revestimento mais facilmente. Devido à dificuldade de obter revestimentos de espessura
uniforme ou uma espessura maior que 0,13 mm sem perda de transparência, a técnica de spray
não é satisfatória para análises quantitativas. Os revestimentos pulverizados são limitados em
usos de estudos quantitativos onde as magnitudes das deformações estão bem além do limite
de deformação elástica para materiais estruturais comuns.
4.4.3.2 SENSIBILIDADE
O fator mais importante a ser considerado na seleção do revestimento fotoelástico é a
sensibilidade birrefringente do material, já que esta propriedade envolve a equação básica
usada na análise do revestimento fotoelástico:
fNKh
Nyx ...2
.max ===−λγεε (4.12)
Onde:
εx, εy = deformações principais;
γmax = deformação cisalhante máxima;
N = ordem de franja, adimensional;
λ = comprimento de onda da luz usada no polariscópio, igual a 577 x 10-9m para luz branca;
h = espessura do revestimento;
K = coeficiente ótico de deformação do material do revestimento, adimensional;
64
f = constante de franja, ou sensibilidade do revestimento considerado para a espessura do
revestimento (m/m por franja).
O número de franjas observado e medido depende das condições de ensaio e do tipo de
instrumentação utilizada. A Tabela 4.1 apresenta, para uma variedade de condições, a
instrumentação necessária, o número de franjas observadas e a sensibilidade esperada.
Assumindo, com o auxilio da Tabela 4.1, o número de franjas a serem observadas, e
estimando o nível de deformação esperado, a sensibilidade do revestimento, ou constante de
franja é calculada por:
desejável franjas de númeroesperado deformação de nívelmax ==
−=
NNf yx γεε
(4.13)
O nível de deformação esperado irá corresponder à plastificação incipiente do material
sob as tensões analisadas. Na prática, um nível de deformação inferior é sempre imposto pelas
condições de ensaio. Desde que o valor de franja possa ser estabelecido a partir do nível de
deformação e do número de franjas esperadas, o tipo e a espessura da resina que irá satisfazer
a sensibilidade requerida podem ser determinados com a seguinte relação:
Khf
..2λ
= (4.14)
4.4.3.3 EFEITO DE REFORÇO
Em certos casos a espessura do revestimento pode produzir um efeito de reforço
significativo que deve ser considerado nos resultados obtidos e na escolha do revestimento.
No caso de materiais com baixo módulo de elasticidade, o efeito de reforço para tensões
planas não pode ser ignorado, e deve ser corrigido. O fator de correção Cpr representa a razão
da deformação real pela deformação medida na superfície da peça de ensaio. Para a obtenção
da deformação real, a deformação medida deve ser multiplicada pelo fator de correção. A
discussão para determinação do fator de correção encontra-se no Item 4.3.2.
65
Tabela 4.1 - Condições de ensaio e sensibilidade esperada (modificada - Measurements Group, 1984).
Aplicação típica Fonte
de luz
Método de
medida
Sensibilidade
do instrumento
ou método
Sensibilidade
média das
medidas
Número de
franjas a ser
observado (N)
Ensaios estáticos em laboratório
em ambiente com sombra ou sem
luz
Branca
Compensação
por balanço
nulo
1/50 franja 1% 1 a 4
Ensaios estáticos em campo ou
sob condições insatisfatórias em
laboratório
Branca
Compensação
por balanço
nulo
1/25 franja 2% 1 a 4
Vibração ou partes em rotação
Stra
bosc
ópic
a
Compensação
por balanço
nulo
1/25 franja 2% 1 a 4
Alta ordem de franja esperada,
medições na faixa plástica de
deformação.
Branca
Fotografias
em preto e
branco
1/2 franja 4% 5 a 20
Medições dinâmicas ou estáticas
usando fotografias coloridas para
registro, interpretação visual do
padrão fotoelástico.
Branca Estimativa
por cor 1/5 franja 5% 1 a 4
4.4.3.4 DEFORMAÇÃO MÁXIMA
A máxima deformação mensurável para um revestimento fotoelástico particular
depende da curva tensão-deformação e da linearidade do comportamento fotoelástico. A
performance requerida para um revestimento para medições de deformações completamente
plásticas em metais é diferente para faixas elásticas ou elastoplásticas. Com deformações
plásticas, a sensibilidade do revestimento é menos significativa porque um alto nível de
deformações estará presente. A consideração mais crítica é a habilidade do revestimento e do
adesivo de acompanhar o material dentro da região plástica. Existem duas maneiras de
resolver o problema: um revestimento fino de uma resina de alto módulo de elasticidade ou
um revestimento grosso de resina de baixo módulo de elasticidade. A escolha entre essas
alternativas depende da informação desejada. Por exemplo:
66
• Deformação plástica localizada - selecionar um revestimento de pequena espessura e de
alto módulo de elasticidade para minimizar o efeito de reforço;
• Distribuição de tensões na faixa plástica - revestimento de pequena espessura e com
alta capacidade de deformação.
• Propagação de fraturas - para esta aplicação a propagação da fissura no revestimento
deverá ser mais lenta que no material, e uma seleção apropriada é um revestimento
grosso de baixo módulo de elasticidade.
4.5 MODELOS FOTOELÁSTICOS
De acordo com Andrade-Gripp (1985) um modelo é uma representação do objeto de
interesse numa forma outra que a entidade em si. Num sentido amplo, o modelo é a reunião de
uma determinada quantidade de informações e atributos sobre aquilo que é representado,
conforme os objetivos e necessidades da análise. O método de análise de tensões por
fotoelasticidade é um tipo de ensaio em modelos. Os modelos fotoelásticos são modelos
físicos que permitem que se realize a determinação experimental do estado de tensões de um
corpo sujeito a um determinado carregamento. Primeiramente, as técnicas experimentais de
fotoelasticidade foram e são utilizadas para determinar as tensões em problemas de tensões
planas (problemas em duas dimensões). Problemas desta natureza são analisados em modelos
fabricados por meio de placas planas de materiais elásticos transparentes, denominados
materiais fotoelásticos. Com a ajuda de certas técnicas analíticas e experimentais as tensões
em pontos no interior também podem ser analisadas. Posteriormente, técnicas foram
desenvolvidas para possibilitar a aplicação direta da fotoelasticidade em modelos
tridimensionais.
Em problemas de tensões planas, os modelos fotoelásticos são fabricados com materiais
transparentes e com os contornos geometricamente semelhantes aos do protótipo no qual a
distribuição de tensões é desejada. O modelo é então examinado no campo de luz polarizada
com o carregamento aplicado de maneira similar ao existente no protótipo. Sob estas
condições uma série de franjas ou bandas brilhantes de diferentes cores é observada sob luz
branca, ou como bandas escuras e claras sob luz monocromática. Estes efeitos óticos podem
ser interpretados para fornecer uma representação gráfica da distribuição de tensões tanto
qualitativa como quantitativa.
O conceito de modelos bidimensionais pode ser estendido a algumas estruturas
compostas por placas, colunas e lajes. Modelos complexos dessa natureza podem ser
67
construídos de material fotoelástico e visualizados através de transmissão ou mais
convenientemente por reflexão.
Quando as tensões importantes para um determinado problema ocorrem na superfície
livre de uma estrutura, utiliza-se o método da fotoelasticidade de reflexão. Este método
determina a distribuição de tensões superficiais por meio da aplicação de revestimentos de
material fotoelástico em um modelo com superfície polida ou em uma porção da própria
estrutura. A deformação no revestimento e na superfície do modelo ou estrutura é a mesma,
portanto o resultado da birrefringência no revestimento determina as diferenças de tensões
superficiais. Enquanto análises de modelos bi e tridimensionais são utilizadas essencialmente
para resolver problemas gerais de tensão, revestimentos fotoelásticos são usados para medir
diretamente as deformações em membros ou partes da estrutura. A mais significativa
vantagem da fotoelasticidade de reflexão é a habilidade de medir tensões diretamente sobre o
objeto em estudo, fornecendo informações reais, eliminando dificuldades de modelagem
(Redner, 1979). Outra habilidade está em revelar o campo de deformação heterogêneo devido
à diferença de rigidez nos materiais compostos, e na capacidade de detectar e revelar fissuras,
micro fissuras e o seu desenvolvimento. O fissuramento na peça não causa a ruptura do
revestimento, mas produz uma alta deformação ao longo da linha da fissuração, gerando um
padrão típico no revestimento.
Quando o estado de tensões é tridimensional, os procedimentos utilizados em problemas
bidimensionais não são suficientes. A análise de tensões pela observação das isoclínicas e
isocromáticas quando a luz polarizada atravessa o modelo não é possível, pois o efeito ótico é
geralmente muito complexo, tornando a relação com o estado de tensões quase impossível
(Kuske & Robertson, 1974). A melhor maneira de analisar problemas tridimensionais é o
método de congelamento de tensões. Este método é restrito a casos de carregamento estático
ou forças de massa, como a força gravitacional ou centrífuga. De acordo com Kuske &
Robertson (1974), no método de congelamento a anisotropia ótica pode ser fixada no material
por meio de um tratamento térmico especial, que não é trocada mesmo se a carga for
removida. Desta forma, as tensões podem ser congeladas no modelo, que poderá ser
posteriormente cortado em fatias, para que as mesmas sejam analisadas. Assim, o modelo é
carregado e aquecido acima de sua temperatura crítica, que é definida como sendo a
temperatura mínima em que o modelo deve encontrar-se para que ocorra a fixação das
deformações após ser resfriado. Os modelos fotoelásticos para este tipo de análise devem ser
usinados para simular as condições geométricas do protótipo. Após a remoção das cargas
68
fatias de vários planos de interesse podem ser obtidas e o polariscópio de transmissão revelará
a distribuição completa das tensões no plano da fatia.
Vários projetos mecânicos ou estruturais podem ser modelados em resinas fotoelásticas
(ou, em um material opaco, com subseqüente revestimento com uma película plástica). A
fotoelasticidade passou a ser utilizada em conjunto com a análise por métodos numéricos
(elementos finitos, elementos de contorno ou diferenças finitas). Todos os métodos
fotoelásticos, revestimentos, modelos bidimensionais e tridimensionais, podem ser utilizados
para aferir e melhorar a precisão dos métodos computacionais de análises de tensões
(Measurements Group, 1993). A combinação de método de elementos finitos e
fotoelasticidade de reflexão (foto-tensão) é apropriada para muitos casos de análise de
tensões. Algumas limitações dos métodos computacionais podem ser auxiliadas pela análise
experimental pela fotoelasticidade: indefinição das condições de carregamento, suposições
pouco precisas dos contornos, tensões internas ou residuais, propriedades dos materiais e
comportamento inelástico e anisotrópico. Os seguintes procedimentos podem ser aplicados na
análise:
• Realização do ensaio utilizando a técnica da foto-tensão, na estrutura ou em um modelo
feito de material de baixo módulo. O material do modelo e o tamanho são selecionados
para permitir o desenvolvimento das franjas convenientemente a pequenas cargas.
• Condução da análise por elementos finitos para determinação da diferença de
deformações principais nos pontos nodais.
• Comparação dos padrões coloridos da foto-tensão e dos cálculos numéricos. De acordo
com o ajuste ou não dos padrões, modifica-se o modelo no método dos elementos finitos
para obter a correta distribuição de tensões de acordo com o padrão apresentado pela
fototensão. Após o ajuste, as deformações principais individuais podem ser obtidas pelo
método dos elementos finitos, sem a necessidade da separação das deformações principais
pela fotoelasticidade.
4.6 REGISTRO DE APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE EM MECÂNICA
DAS ROCHAS
Roberts et al. (1962) relata a utilização de modelos fotoelásticos no estudo da
distribuição de tensões em aberturas de minas pela primeira vez por Phillips na Inglaterra em
1930, e posteriormente por Duvall nos Estados Unidos em 1948, seguido por Potts novamente
na Inglaterra em 1950 e por Hoek na África do Sul em 1960. Trabalhos pioneiros na aplicação
69
da técnica da fotoelasticidade por reflexão no estudo do comportamento tensão-deformação
de rochas foram conduzidos por Emery no Canadá e na Inglaterra em 1960 (Roberts et al.,
1962).
Roberts et al. (1962) aplicaram a técnica da fotoelasticidade em ensaios de laboratório
no estudo do comportamento tensão-deformação de rochas sob carregamentos diversos,
incluindo observações de deformações intragranulares, reação elástica das rochas, fenômeno
de deformação por relaxação e de fluência. Descreve ainda a aplicação de transdutores
fotoelásticos como parte da instrumentação em minas, utilizada para determinação das
características tensão-deformação das rochas de interesse na obtenção de dados para
solucionar problemas em projetos de minas. Utilizou ainda materiais fotoelásticos para a
fabricação de transdutores óticos na forma de placas fotoelásticas, medidores de deformação
biaxial, dinamômetros e extensômetros óticos.
A técnica da fotoelasticidade também foi utilizada para que a distribuição de tensões ao
redor de escavações pudesse ser observada. Como exemplo Franklin & Dusseault (1989)
citam a utilização de placas de material fotoelástico nas quais furos procuram simular a
abertura de túneis. O padrão de tensões que aparece sob estas condições é relacionado com a
diferença de tensões principais no plano do modelo e pode ser utilizado para calcular as
tensões ao redor de um abertura ou aberturas de mesma forma em uma rocha rígida.
De acordo com Hoek em 1967, citado por Franklin & Dusseault (1989), um modelo
fotoelástico pode ser utilizado para fazer uma analogia com um maciço rochoso de
comportamento elástico, permitindo que se determine a distribuição de tensões. A técnica da
fotoelasticidade foi ainda empregada para resolução de problemas práticos tridimensionais de
elasticidade, sendo utilizada nestes casos a técnica de congelamento de tensões. Como
exemplo Franklin & Dusseault (1989) cita que Camponuovo et al. em 1980 empregaram
modelos fotoelásticos tridimensionais junto com análise por elementos finitos para estudar a
propagação de fissuras em problemas de fraturamento hidráulico. Para a análise fotoelástica a
técnica de congelamento de tensões foi utilizada. As fissuras foram propagadas pela aplicação
de ar comprimido através de furos em um bloco de resina epóxi (Figura 4.7). Nos casos de
escavações subterrâneas complexas a técnica de congelamento de tensões também foi
empregada já que a distribuição de tensões no maciço de rocha não pode ser analisada com
adequado grau de precisão pelos meios de análise bidimensional de tensões.
Hoek & Brown (1980) descrevem um modelo onde a própria rocha foi recoberta com
uma camada de revestimento fotoelástico e empregou-se a técnica da fotoelasticidade de
reflexão para análise. Peng (1976) empregou a técnica da fotoelasticidade de reflexão na
70
análise da distribuição de deformações em rochas não homogêneas, observando a influência
da textura dos minerais nas deformações e no modo de ruptura. Também observou que a
técnica é uma boa ferramenta para monitorar a distribuição das deformações com o aumento
do carregamento até a completa ruptura, podendo-se ainda traçar a seqüência do fraturamento.
Figura 4.7 - Distribuição das isocromáticas em um estudo da propagação de fissuras em problemas de fraturamento hidráulico (Franklin & Dusseault, 1989).
Modelos podem ainda ser construídos de um material altamente deformável como a
gelatina para desenvolver padrões fotoelásticos sob o peso próprio. Modelos fotoelásticos
também podem ser construídos a partir de blocos ou grãos de material fotoelástico para
simular uma rocha fraturada ou solo.
Dyer (1985) trabalhou com um modelo fabricado com vidro triturado procurando
simular uma areia angular ou pedregulho. Os poros entre os cacos de vidro foram preenchidos
por um líquido de mesmo índice de refração. Utilizou-se a técnica da fotoelasticidade em
condições de deformação plana, utilizando reforço de forma plana, para analisar a distribuição
de tensões devido à inclusão de reforço na massa de solo. Três tipos de reforço foram
utilizados: lâmina de latão perfurado, grelha de aço galvanizado e placa de aço. Foram
conduzidos ensaios de cisalhamento direto e de arrancamento. Dyer (1985) também cita
Drescher e de Josselin de Jong, que em 1972 realizaram ensaios em um modelo fabricado a
partir de um conjunto de discos de material fotoelástico constituindo uma analogia
bidimensional para material granular. Abel et al. (1973) utilizou modelos fotoelásticos para
analisar a distribuição de tensões ao redor de tubulações de forma elípticas flexíveis.
Ensaios de compressão uniaxial e cisalhamento de juntas rugosas artificiais foram
conduzidos por Wei-hong et al. (1997) usando o método de fotoelasticidade. Foi projetado um
equipamento de carregamento para os experimentos fotoelásticos. As franjas isocromáticas
71
foram observadas e fotografadas para diferentes níveis de carregamento. Através do padrão
visível da distribuição das franjas fotoelásticas, observou-se que nos pontos de contato das
juntas sob compressão normal ou compressão e cisalhamento a distribuição de tensões sofre
mudanças significativas.
72
5 ENSAIOS DE CISALHAMENTO COM A TÉCNICA DA FOTOELASTICIDADE
5.1 INTRODUÇÃO
Neste trabalho foram realizados ensaios de cisalhamento utilizando-se na análise dos
resultados a técnica da fotoelasticidade de reflexão. Os ensaios e a análise foram realizados no
Centro Tecnológico de Engenharia Civil de FURNAS S.A. em Goiânia, como parte do
convênio de cooperação técnica existente entre esta instituição e a Universidade de Brasília.
Os perfis de descontinuidade foram simulados por meio de modelos fabricados a partir de
placas de resina epóxi revestidas com material fotoelástico reflexivo. Foi desenvolvida uma
caixa de cisalhamento para o carregamento dos experimentos, permitindo a aplicação de
forças normais e tangenciais com visualização total do modelo e sem distorções. Inicialmente,
ensaiou-se uma descontinuidade plana seguida por três perfis com diferentes graus de
rugosidade e de um perfil moldado a partir de uma descontinuidade real.
5.2 MATERIAIS
Para a fabricação dos modelos fotoelásticos foi utilizada resina epóxi revestida por uma
placa fotoelástica fornecida pelo fabricante pronta para utilização. Na colagem foi utilizada
resina epóxi tipo araldite. A seguir são apresentadas as propriedades desses materiais.
5.2.1 REVESTIMENTO FOTOELÁSTICO
Na preparação dos modelos para a realização dos ensaios que empregaram a técnica da
fotoelasticidade, foi utilizada como revestimento fotoelástico uma placa fornecida pela
Photolastic Division do Measurements Group Inc., modelo PS-1 (Measurements Group,
1983). Esse modelo de placa é indicado para utilização junto a materiais de alto módulo de
deformabilidade e possui uma excelente sensibilidade permitindo análises nas faixas de
deformações elásticas e elasto-plásticas. A placa é fornecida com um dos seus lados com
material reflexivo, dispensando a preparação da superfície para que satisfaça as condições de
reflexão. É de fácil trabalhabilidade e não apresenta alteração das propriedades óticas e nem
absorção de umidade nas extremidades com o tempo. A Tabela 5.1 apresenta as propriedades
físicas e óticas da placa, de acordo com informações do fabricante (Measurements Group,
1983).
73
Tabela 5.1 – Propriedades físicas e óticas da placa de revestimento fotoelástico.
PROPRIEDADE VALORES Módulo de elasticidade E (GPa) 2,5 Deformação máxima (%) 10,0 Coeficiente de Poisson ν 0,38 Coeficiente ótico de deformação K 0,150 Constante de franja f (µε/franja) 1890 Espessura h (mm) 1,00 ± 0,06 Temperatura máxima de utilização (ºC) 150
O coeficiente K define uma propriedade fundamental do material fotoelástico e é
independente da espessura ou do comprimento de onda da luz. Já a constante de franja, f,
especifica a sensibilidade ótica à deformação de um revestimento particular, isto é, a diferença
entre deformações principais que irão produzir uma franja no revestimento. Para resinas
fotoelásticas típicas usadas em análises de tensões de materiais estruturais, K varia de 0,08 até
0,15, com os coeficientes maiores correspondendo aos materiais oticamente mais sensíveis. A
constante de franja, f, na maioria dos casos práticos, estará na faixa de 500 a 3000 µm/m por
franja, com os menores valores representando os revestimentos mais sensitivos.
A constante de franja, f, para qualquer revestimento específico pode ser calculada, desde
que o valor de K seja fornecido pelo fabricante. No caso de placas planas de resina a
correspondente constante de franja é calculada utilizando a Equação 3.19:
mm
mm
Khf µλ 1917
.10.0,1.15,0.210.575
..2 3
9
=== −
−
Onde:
λ = comprimento da onda igual a 575 nm para a luz branca;
h = espessura do revestimento igual a 1,0 x 10-3 m;
K = coeficiente ótico de deformação igual a 0,15.
Para maior precisão, um corpo-de-prova da resina fotoelástica pode ser utilizado para
calibrar a sensibilidade ótica à deformação, nas condições ambiente em que serão realizadas
as medidas de fotoelasticidade.
74
A calibração de revestimentos para fotoelasticidade de reflexão é realizada por meio de
uma viga de calibração. O calibrador consiste basicamente em uma estrutura rígida para
montagem e flexão de uma viga em balanço (Figura 5.1). A viga é carregada em uma das
extremidades por um micrômetro de precisão, permitindo medidas precisas de deflexão.
Quando a viga com a amostra de revestimento fotoelástico é montada no calibrador e fletida,
um estado conhecido de deformação é imposto ao revestimento. Medidas da birrefringência
(N) resultante no revestimento fornecem as informações necessárias para relacionar a ordem
da franja com a diferença entre as deformações principais. Para a obtenção da constante da
franja pode ser utilizada a carta de calibração apresentada pelo Measurements Group (1977),
que é baseada na viga e no corpo-de-prova nas dimensões apresentadas e incluem todas as
correções para as condições de momento na deflexão. Os valores de entrada são a espessura
do revestimento e a relação do número de franjas pela deflexão da viga de calibração
(∆N/∆D). A Figura 5.2 apresenta a relação ∆N/∆D para o revestimento utilizado, obtido a
partir da calibração.
Figura 5.1 - Viga para calibração do revestimento fotoelástico.
A calibração realizada com o revestimento utilizado nos modelos confirmou o valor de
franja apresentado pelo fabricante, ou seja, 1890 µε/franja. A diferença dos valores obtidos
pela Equação 3.19 e pela calibração se deve a condição de temperatura em que foi realizada a
calibração e a variação possível na espessura do revestimento (± 0,06mm).
As tensões cisalhantes no revestimento fotoelástico associadas com cada franja podem
ser calculadas por meio da Equação 4.2. Pode-se expressar a constante de franja em termos de
tensão reescrevendo a Equação 4.2 da seguinte forma:
75
2. στ fN
máx = (5.1)
Sendo:
franjaMPaEffr
r /42,338,1
2500.10.18901
. 6 ==
+
= −
νσ
Onde:
τmáx = tensão cisalhante máxima no plano da superfície da peça;
N= ordem da franja;
f = constante de franja igual a 1890 µε/franja;
Er e νr = modulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do revestimento fotoelástico, iguais
a 2500 MPa e 0,38, respectivamente.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0 5 10 15
Deflexão (m m )
N (o
rdem
da
fran
ja)
∆ N/∆ D = 0,08R² = 0,9944
Figura 5.2 - Gráfico de ordem da franja pela leitura do micrômetro, utilizado na calibração do revestimento fotoelástico.
Isso significa que a primeira franja de ordem inteira visualizada no revestimento
fotoelástico corresponderá a uma tensão cisalhante de 1,71 MPa, e as franjas subseqüentes a
múltiplos deste valor.
76
5.2.2 MODELOS
Os perfis de descontinuidade foram simulados por meio de modelos fotoelásticos
fabricados a partir de placas planas de resina epóxi. A escolha do material para os modelos
teve por objetivo a obtenção de um produto homogêneo, isotrópico, de fácil trabalhabilidade,
com boa resistência mecânica e um módulo de elasticidade que permitisse a observação dos
parâmetros fotoelásticos, sem limitações devido aos níveis de carregamento possíveis. Para a
fabricação dos modelos foi utilizada uma resina epoxílica de alta fluidez, tipo JLA 0198,
fornecida pela Seikan Ancor-Jet Industrial e Comercial Ltda, com 17% em peso de
catalisador.
A porcentagem de catalisador define o módulo de deformabilidade do produto final.
Quanto maior a porcentagem de catalisador maior o módulo de deformabilidade da placa
produzida. Entretanto, a maior quantidade de catalisador produz uma reação exotérmica mais
intensa durante a cura da resina, o que causa efeitos de retração nos bordos das placas e
tensões internas indesejáveis. Em testes de moldagem com diferentes porcentagens de
catalisador (15, 17 e 20%) foi verificado que a porcentagem de 17% de catalisador em peso
resulta em placas com boas condições de rigidez e nas quais a reação exotérmica não é
prejudicial à fabricação da placa. Cada modelo apresenta dimensões de 13,0 x 9,0 x 1,3 cm.
As placas foram fabricadas em um molde metálico de 19,0 x 14,0 x 1,45 cm, permitindo
a moldagem de até dois modelos por vez. Inicialmente, obteve-se os perfis de rugosidade por
meio do corte de uma placa de resina com o uso de serra, utilizando-os como negativos para a
obtenção dos modelos. Os modelos foram obtidos por meio da cura da resina diretamente em
contato com os negativos moldados anteriormente, garantindo-se dessa forma modelos com
perfis similares. Para a fabricação do modelo da descontinuidade real foi feito um negativo
com gesso de cura rápida, que era então cortado na espessura do modelo final para a aplicação
da resina.
A resina e o catalisador eram misturados por não menos que cinco minutos. Para que a
resina não fixasse no molde metálico dava-se um banho de parafina no molde, formando uma
fina camada em sua superfície. Já na superfície dos negativos era aplicada uma fina camada
de solda plástica, permitindo que o modelo do perfil de rugosidade fosse o mais fiel possível.
A aplicação de graxa, óleo ou vaselina líquida como material de desmoldagem, não foi
satisfatória. Para que a placa não apresentasse grande elevação de temperatura durante a cura,
prejudicando o acabamento do modelo, a moldagem foi realizada em ambiente de laboratório
(22°C ± 2°C), com um tempo médio de cura de 24 horas, após o qual o modelo era
77
desmoldado e recortado com serra nas dimensões finais. A Figura 5.3 mostra o aspecto de
uma placa cuja cura foi realizada em ambiente com temperatura superior a 25ºC. Pode-se
observar a retração nos bordos e bolhas provocadas pelo derretimento da parafina do molde
em sua face inferior.
Para a determinação do módulo de elasticidade, do coeficiente de Poisson e da
resistência à compressão da resina utilizada nos modelos, foram realizados ensaios de
compressão uniaxial em corpos-de-prova de 5,0 cm de diâmetro e 10,0 cm de altura. Estes
ensaios foram realizados utilizando uma prensa rígida servo-controlada, com capacidade de
aplicação de 5,0 MN de carga axial e rigidez de 5,02 MN/mm. O carregamento foi controlado
através de uma razão de deformação circunferencial máxima permitida dos corpos-de-prova
por unidade de tempo, permitindo a definição contínua do diagrama tensão x deformação,
inclusive na região pós-ruptura.
Figura 5.3 - Aspecto da placa quando moldada em temperatura ambiente superior a 25ºC.
As deformações foram medidas através de um conjunto de três transdutores de
deslocamento do tipo LVDT (“Linear Variable Displacement Transducer”, termo inglês para
Transdutor de Deslocamento de Variação Linear), dois deles dispostos em geratrizes
diametralmente opostas dos corpos de prova e destinados à obtenção da deformação axial do
mesmo. O terceiro transdutor foi fixado à meia altura do corpo de prova através de um
sistema de corrente de forma a obter a deformação circunferencial do espécime. O detalhe da
montagem do corpo de prova pode ser visualizado na Figura 5.4.
A Tabela 5.2 apresenta as propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos
modelos, obtidas da média dos resultados de três ensaios e a Figura 5.5 apresenta as suas
curvas tensão-deformação.
78
Para que não ocorresse concentração de tensões durante a aplicação das cargas devido
às irregularidades na superfície das extremidades superior e inferior dos modelos, após o corte
da peça, suas extremidades eram regularizadas utilizando resina epóxi tipo araldite,
pressionando as suas faces sobre uma placa de vidro revestido com uma fina camada de solda
plástica. A Figura 5.6 mostra um modelo com junta plana na qual a regularização não foi
realizada, podendo-se notar os pontos de concentração de tensões devido às irregularidades
nas faces superior e inferior.
Tabela 5.2 – Propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos modelos.
PROPRIEDADE VALORES Resistência à compressão σc (MPa) 65,0
Módulo de elasticidade E (GPa) 2,6 Coeficiente de Poisson ν 0,34 Peso específico γ (kN/m3) 11,32
Figura 5.4 - Detalhe da montagem do corpo-de-prova nos ensaios de compressão uniaxial.
Após o procedimento de regularização realizava-se a colagem da resina fotoelástica,
cortada com dimensões inferiores às do modelo (7,0 x 11,5 cm) e com o mesmo perfil de
rugosidade. Para a colagem foi utilizada resina epóxi tipo araldite, tomando-se o cuidado para
que na região do perfil da descontinuidade as extremidades do revestimento não se
encostassem diretamente, mantendo-se uma distância de aproximadamente 1,0 mm dos
79
extremos, de modo a impedir a aplicação concentrada de cargas. A colagem do revestimento
deve ser bastante cuidadosa de modo que não ocorram regiões com colagem deficiente e nem
pontos com excessos. A Figura 5.7 apresenta o aspecto de um modelo com regiões com
colagem deficiente. Nesses pontos não se observam os parâmetros fotoelásticos durante a
aplicação de carga, já que o revestimento não acompanha de maneira uniforme a deformação
do modelo. A Figura 5.8 apresenta a seqüência simplificada da fabricação dos modelos e a
Figura 5.9 ilustra a obtenção do modelo da descontinuidade real de biotita-xisto.
-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000Deformação Específica
0
20
40
60
80
Ten
são
(MPa
)
(µε)
Corpos-de-prova de resina epoxílica
transversal
σ εx axial
σ ε volum.x
Porcentagem de catalisador: 17%
E = 2,6 GPa = 0,34 c=65 MPa νσ
Figura 5.5 - Curvas tensão-deformação da resina epóxi utilizada para fabricação dos modelos.
Figura 5.6 - Evidências da concentração de tensões devido irregularidades nas extremidades.
Os procedimentos de moldagem e cura dos modelos, colagem do revestimento
fotoelástico e os ensaios, foram realizados sob as mesmas condições de temperatura em
laboratório (22°C ± 2°C). Para moldagem, regularização e colagem utilizou-se materiais a
base de resina epóxi, de modo a não existir diferenças entre os coeficientes de expansibilidade
80
térmica. No caso de moldagem de modelos onde o material do negativo possui um coeficiente
de expansibilidade térmica diferente do material utilizado na fabricação, como entre a resina
epóxi e rochas, poderá ocorrer a indução de tensões residuais durante o processo de cura.
Nestes casos é necessário submeter o modelo a um tratamento térmico de modo a garantir
uma peça homogênea e livre de tensões.
Figura 5.7 - Evidências da colagem deficiente do revestimento fotoelástico.
Negativo e modelo após moldagem e corte
Modelo e revestimento fotoelástico
Modelo e revestimento fotoelástico após colagem
Modelos prontos para ensaio
Figura 5.8 - Preparação dos modelos.
81
Para as medidas pontuais foram desenhados diretamente sobre o revestimento
fotoelástico os pontos nos quais foram realizadas as leituras dos parâmetros fotoelásticos. A
tensão cisalhante no modelo associada com cada franja também pode ser calculada por meio
da Equação 4.2 e expressando a constante de franja em termos de tensões na forma da
Equação 5.1, tem-se:
franjaMPaE
ffp
p /67,334,1
2600.10.18901
. 6 ==
+= −
νσ
Onde:
Ep e νp = modulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do modelo, iguais a 2600 MPa
e 0,34, respectivamente.
Figura 5.9 - Modelo obtido a partir de descontinuidade de biotita-xisto.
Deste modo a primeira franja de ordem inteira visualizada no revestimento fotoelástico
corresponderá a uma tensão cisalhante máxima de 1,71 MPa no revestimento e a uma tensão
de 1,83 MPa no modelo.
5.3 ENSAIOS
Foram realizados ensaios de cisalhamento direto em modelos com uma descontinuidade
plana, três perfis com diferentes graus de rugosidade (baseados nos perfis apresentados por
Barton & Choubey em 1977) e um perfil de rugosidade obtido de uma descontinuidade real.
Em cada tipo de perfil de rugosidade foram utilizados carregamentos normais de 0,5, 1,0 e 2,0
MPa. Foram realizados ainda ensaios de cisalhamento direto em uma descontinuidade real e
82
ensaios fotoelásticos de compressão nas tensões de 0,25 e 3,0 MPa. A Figura 5.10 apresenta
os perfis de rugosidade ensaiados.
Figura 5.10 - Perfis de rugosidade dos modelos.
Os ensaios de cisalhamento direto foram realizados em uma prensa automática de
deslocamento controlado. Os dados de deslocamento foram obtidos por dois transdutores de
deslocamento, um vertical e outro horizontal, e a força cisalhante por célula de carga. Os
dados eram registrados em um arquivo tipo texto posteriormente exportado para uma planilha
Excel. A Figura 5.11 apresenta uma vista geral da prensa de ensaio.
Figura 5.11 – Vista geral da prensa e de um ensaio em andamento.
83
A caixa de cisalhamento foi desenvolvida de modo a permitir a visualização lateral de
todo o modelo, a iluminação do revestimento e a leitura com o polariscópio dos parâmetros
fotoelásticos (Figura 5.12). A caixa bipartida possui ainda guias laterais para a fixação do
modelo e dois ressaltos que funcionam como guia durante o cisalhamento para a garantia da
estabilidade.
Figura 5.12 - Caixa de cisalhamento para ensaios fotoelásticos.
Durante a realização dos ensaios de cisalhamento foram registradas, por meio de
fotografias, as condições das isocromáticas e as isoclínicas de 0, 15, 30, 45, 60 e 75°. Esse
registro era realizado no momento da aplicação da carga normal e nos deslocamentos
horizontais aproximados de 1,0; 2,0; 3,0 e 4,0 mm, ou nos deslocamentos em que ocorriam
variações significativas no padrão das isocromáticas.
Após o registro fotográfico, procedia-se às leituras dos parâmetros fotoelásticos em cada
um dos pontos predefinidos (55 pontos) e em pontos de interesse onde se verificasse
concentração de tensões e, posteriormente, realizava-se as medidas de incidência oblíqua. As
leituras de incidência oblíqua, necessárias para a separação das deformações principais, foram
realizadas em pontos de concentração de tensões e em pontos nos quais as condições de
ensaio, prensa e braço de aplicação da carga normal, permitiam o manejo do acessório
necessário às leituras. Deste modo não foi possível a realização de medidas de incidência
oblíqua em todos os pontos nos quais foram realizadas leituras de incidência normal. Essas
medidas foram realizadas em aproximadamente dez pontos. O procedimento completo para a
determinação dos parâmetros fotoelásticos, em cada condição de carga e/ou deslocamento,
levava aproximadamente 60 min.
Os ensaios de cisalhamento direto em descontinuidades reais foram executados em uma
prensa de carga controlada, com capacidade de aplicação de 100kN de cargas normal e
cisalhante. O carregamento normal foi aplicado através de peso-morto e o cisalhante através
84
de um conjunto macaco-manômetro, registrado através de célula de carga. Os deslocamentos
verticais e horizontais foram medidos através de 06 LVDTs (quatro verticais e dois
horizontais). As Figura 5.13 e 5.14 mostram uma vista geral do conjunto utilizado nos ensaios
e um detalhe da prensa.
Figura 5.13 - Vista do conjunto para ensaios de cisalhamento direto e prensa de carga controlada.
Figura 5.14 - Detalhe da prensa de carga controlada utilizada nos ensaios de cisalhamento direto.
Os corpos-de-prova foram preparados de forma que a região da descontinuidade
mantivesse-se na horizontal, paralela ao plano de cisalhamento, e posicionada nas caixas do
equipamento buscando a menor resistência ao cisalhamento.
As propriedades físicas da biotita-xisto encontram-se na Tabela 5.3. A resistência à
compressão, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson foram obtidos a partir de
85
ensaios de compressão uniaxial conduzidos nas mesmas condições dos ensaios realizados nos
corpos-de-prova de resina. O valor do ângulo de atrito básico foi obtido em ensaios de
cisalhamento direto realizados em junta plana obtida por corte em serra diamantada.
Tabela 5.3 – Propriedades físicas da biotita-xisto.
PROPRIEDADE VALORES Resistência à compressão σc (MPa) 113,0
Módulo de elasticidade E (GPa) 55,0 Coeficiente de Poisson ν 0,19 Peso específico γ (kN/m3) 28,16
Ângulo de atrito básico φb (º) 21
5.4 DESCRIÇÃO E FUNCIONAMENTO DO POLARISCÓPIO
Para a realização deste trabalho foi utilizado o polariscópio Série – 030 da "Photolastic
Division of Measurements Group Inc.". Esse equipamento é um instrumento ótico para
realizar medições quantitativas de deformações utilizando a fotoelasticidade de reflexão.
Oticamente corresponde a um polariscópio convencional para a transmissão de luz. O
componente fundamental do polariscópio consiste de dois conjuntos de um polarizador e uma
placa quarto de onda montados em uma mesma armação e conectados mecanicamente,
permitindo a sua rotação conjunta (Figura 5.15 e 5.16).
Figura 5.15 - Representação esquemática de um polariscópio de reflexão (modificado – Measurements Group, 1984)
Um dos conjuntos (nº 1 na Figura 5.16) é equipado para receber uma fonte de luz e
inclui um polarizador linear e uma placa de retardação quarto de onda e serve como fonte de
luz polarizada para iluminar o revestimento fotoelástico. A segunda parte (nº 2 na Figura
86
5.16) também contém um polarizador linear e uma placa de retardação quarto de onda,
funcionando como um analisador através do qual o revestimento é observado para realização
de medidas das deformações. Todos os controles e escalas de medição encontram-se
incorporados no analisador.
Figura 5.16 - Polariscópio de reflexão
O polariscópio básico, sem acessórios, é capaz de realizar quatro tipos de análise e
medidas:
• Visualização completa do padrão das franjas, permitindo a avaliação da magnitude das
deformações nominais e gradientes;
• Determinação das direções das tensões e deformações principais;
• A magnitude e sinal da tensão tangencial (somente tensão principal diferente de zero) ao
longo das fronteiras livres (não carregadas) e em regiões onde o estado de tensão é
uniaxial;
• A magnitude da diferença das tensões e deformações principais no estado biaxial de
tensões.
Na técnica da fotoelasticidade de reflexão, medidas de deformação são feitas pela
reflexão da luz polarizada na superfície da peça sob tensão que se encontra com o
revestimento fotoelástico. O padrão fotoelástico visível com o polariscópio revela a condição
87
das tensões, permitindo uma avaliação inicial da área carregada bem como a identificação das
áreas onde análises detalhadas devem ser realizadas.
5.4.1 DESCRIÇÃO DO ANALISADOR
Como mostra a Figura 5.17, o analisador possui três anéis concêntricos: um anel
estacionário, um anel intermediário gravado com escalas e um anel interno gravado com a
palavra compensador. Adicionalmente possui três parafusos B, H e C. A posição do parafuso
B determina se o polariscópio está em condições de medir as direções dos eixos principais ou
realizar medidas da magnitude das deformações. Colocando o parafuso B na posição D
(direção) alinha-se o eixo ótico da placa quarto de onda com o do polarizador e analisador.
Isto tem o efeito de eliminar a placa quarto de onda do sistema, convertendo a unidade em um
polariscópio plano para medições das direções. Quando o parafuso B está na posição M
(magnitude), a placa quarto de onda está orientada em um ângulo de 45° em relação aos eixos
do polarizador e analisador, e a unidade retorna a condição de um polariscópio circular para
medidas de magnitude das deformações.
Figura 5.17 - Esquema do analisador (modificado - Measurements Group, 1984)
O parafuso H encontra-se no anel intermediário e é usado para alinhar os eixos do
polarizador e analisador com os eixos das tensões principais na superfície revestida para
leitura. Quando o parafuso H é movido para girar o anel intermediário, a orientação do anel e
assim a dos eixos do polarizador/analisador, pode ser lida na escala graduada.
88
O parafuso C é usado para girar o anel interno em relação ao anel intermediário. O
analisador é preso no anel interno e a rotação do anel é usada para medições de posições
fracionárias da franja pelo método Tardy de compensação. Quando o anel interno é girado em
relação ao anel intermediário, a orientação do analisador é indicada pela posição do índice G
na escala superior. Para as outras operações o anel interno deve sempre apresentar o índice G
alinhado com o 0 e 100 no anel intermediário.
5.4.2 ACESSÓRIOS
O polariscópio série 030 possui alguns acessórios que estendem a capacidade do
equipamento básico e o adapta a aplicações especiais (Figura 5.18). Os principais acessórios
para o polariscópio são:
• Telemicroscópio - propicia um aumento do padrão fotoelástico para análises detalhadas
em regiões de alto gradiente de deformação (concentração de tensões) e para medidas a
maiores distâncias;
• Câmara fotográfica - para o registro dos padrões fotoelásticos das franjas;
• Lente monocromática - torna a luz branca em monocromática, para uso em fotografias
preto e branco e para a preservação do contraste das franjas de alta ordem. A lente
permite a identificação da ordem das franjas superiores a cinco.
• Compensador por balanço nulo - para realização de medições da ordem das franjas de
maneira precisa sem a necessidade da identificação por cores;
• Acessório para incidência oblíqua - propicia uma segunda medida de birrefringência para
uso em conjunto com a medida de incidência normal, permitindo a determinação de
deformações e tensões principais individuais em um ponto.
Durante a realização dos ensaios fez-se uso de todos os acessórios acima indicados.
Com exceção do compensador e do acessório para incidência oblíqua que terão os seus
procedimentos de utilização descritos posteriormente, não se apresentará a descrição
pormenorizada dos demais acessórios por serem de simples manuseio e terem sido utilizados
em momentos específicos.
5.5 PROCEDIMENTOS DE OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS FOTOELÁSTICOS
Para a determinação dos parâmetros fotoelásticos adotou-se os procedimentos descritos
pelo manual do polariscópio: Instruções de Operação e Manual Técnico – Medidas de
Deformação com o Polariscópio de Reflexão Série 030 (Measurements Group, 1984).
89
5.5.1 AQUISIÇÃO AUTOMÁTICA DE DADOS
O procedimento adotado para a montagem e preparação do polariscópio para a leitura
dos parâmetros fotoelásticos é o que se segue:
i. Monta-se o polariscópio em frente à superfície revestida, locando o instrumento de
modo que a área de interesse esteja bem iluminada pela fonte de luz e facilmente
observada através do analisador (Figura 5.11).
ii. Seleciona-se um eixo de referência. Orienta-se o polariscópio de modo que um dos eixos
de simetria seja paralelo ao eixo de referência selecionado. Quando isto for feito e o
índice DIREÇÃO indicar 0°, o eixo de polarização do instrumento estará paralelo ou
perpendicular à direção de referência.
iii. Com o parafuso B na posição M (magnitude), observa-se o objeto revestido na condição
sem o carregamento. O revestimento deverá estar uniformemente preto. Se alguma
birrefringência inicial for detectada nas regiões onde as medidas serão realizadas, faz-se
necessárias correções, conforme descrito no Item 4.3.1.
iv. Aplica-se o carregamento, observando-se o desenvolvimento do padrão de isocromáticas
com o carregamento. É importante a determinação e o registro da localização de
qualquer franja isocromática de ordem zero.
Figura 5.18 - Acessórios utilizados com o polariscópio.
Durante este trabalho foi utilizado um compensador eletricamente acoplado com um
indicador de deformação, fornecendo leitura digital da magnitude da diferença de
deformações no ponto considerado após a compensação por balanço nulo. O sistema também
faz o registro das direções das deformações principais e possui uma impressora interna para o
registro dos valores quantitativos obtidos que pode ser acionado diretamente do compensador.
90
O indicador fornece medidas fáceis e rápidas de deformação e apresenta diretamente os
resultados no painel digital. A unidade gera dois elementos básicos de informação sobre o
estado de tensão em cada ponto do objeto em estudo:
• A orientação angular dos eixos principais em relação ao eixo de referência;
• A magnitude da diferença entre as deformações principais.
Na instalação do compensador deve-se cuidar para que o mostrador do ângulo dos eixos
principais e o indicador de magnitude de deformações (diferença de deformações principais)
registrem zero. Deve-se ainda entrar com a constante de franja, f (em µε por franja) do
revestimento fotoelástico utilizado no ensaio.
Dois requisitos devem ser satisfeitos para obter a magnitude da diferença entre
deformações principais em qualquer ponto: os eixos do polarizador e analisador devem estar
alinhados com os eixos das deformações principais no ponto e o eixo longo do compensador
deve estar alinhado com a direção da deformação principal maior (algebricamente). Esses
requisitos são alcançados com o seguinte procedimento:
i. Move-se o parafuso B do polariscópio para a posição D (direção).
ii. Visualizando o ponto de ensaio através do analisador solta-se o parafuso H e gira-se o
conjunto polarizador/analisador até que uma isoclínica cruze o ponto. Quando a
isoclínica estiver centrada, aperta-se o parafuso H. O eixo ótico do
polarizador/analisador estará alinhado com os eixos das deformações principais no
revestimento. A franja isoclínica pode ser distinguida do padrão de isocromáticas
(incluindo a franja de ordem zero, se presente) pela seguinte técnica: solta-se o parafuso
H e gira-se o polarizador e o analisador juntos. As franjas isoclínicas movem com a
rotação, mas as isocromáticas permanecem fixas. Faz-se então o ajuste até que a porção
mais escura da isoclínica envolva o ponto. Os eixos do polarizador/analisador agora
coincidem com a direção das deformações principais, εx e εy, no ponto de ensaio, e
também em qualquer outro ponto ao longo da isoclínica. Por definição, a radial do
analisador que passa através do parafuso H representa a direção εx, e εy é perpendicular a
esta direção. Registra-se a orientação angular do eixo principal.
iii. Retorna-se o parafuso B para a posição M (magnitude). As isoclínicas são eliminadas e
somente as franjas isocromáticas coloridas são vistas. Observa-se o ponto de teste
através da janela do compensador, gira-se o parafuso de controle no sentido anti-horário,
introduzindo birrefringência no caminho da luz. Continua-se girando até que uma franja
91
de ordem zero preta atravesse o ponto de ensaio. Quando isto ocorrer, a birrefringência
induzida pela deformação no revestimento é cancelada pelo compensador. Se a franja
preta não vier até o ponto de ensaio, e em lugar, a aparência da franja tornar-se mais
opaca com a adição de birrefringência do compensador, é porque o eixo longo do
compensador está alinhado com a deformação principal mínima (algebricamente). Neste
caso o compensador está adicionando birrefringência de mesmo sinal do revestimento e
o balanço-nulo é impossível. Neste caso retorna-se o registrador do compensador para
zero, solta-se o parafuso H e gira-se o polarizador/analisador de 90°. Isto alinhará o eixo
longo do compensador com a deformação principal máxima e permitirá o cancelamento
da birrefringência induzido pela deformação.
iv. Lê-se e registra-se a diferença das deformações principais no “display” digital. Note
que, após girar o analisador/polarizador em 90° graus, para permitir a compensação, a
orientação angular do eixo principal é indicada como complemento negativo do registro
do passo ii.
v. Os passos de i a iv são repetidos para medidas no mesmo ponto sob outras condições de
carregamento e para medidas em outros pontos de interesse.
5.5.2 REGISTRO FOTOGRÁFICO E ANÁLISE DE CAMPO COMPLETO
Além das leituras pontuais dos parâmetros fotoelásticos, foram realizados registros das
direções principais sobre toda à superfície por meio de fotografias. Mudando-se a escala
DIREÇÃO em incrementos de 15 até 75º, registra-se a família de isoclínica existente no
revestimento. A isoclínica de 90° deve ser igual à de 0° e não precisa ser fotografada. Nota-se
que se houver pontos isotrópicos (onde, εx - εy = 0, e N=0) no campo de visão, todas as
isoclínicas irão passar por este ponto. Efetuou-se ainda o registro fotográfico das condições
das isocromáticas sobre todo o modelo nas diferentes condições de carregamento e de
deslocamentos.
5.5.3 SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES
5.5.3.1 CONFIGURAÇÃO DO INSTRUMENTO E ALINHAMENTO PARA
MEDIÇÕES DE SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES
Quando em medições da ordem da franja sob incidência oblíqua, os eixos do
polarizador/analisador devem estar paralelos às direções principais no ponto em ensaio, assim
como o eixo de simetria dos espelhos no suporte. Então, de modo a alinhar simultaneamente
92
os eixos dos espelhos e os eixos do polarizador/analisador com os eixos principais, toda a
cabeça ótica do polariscópio deve ser girada até que uma isoclínica alcance o ponto de teste.
A mesma orientação do polariscópio é mantida tanto para medições da ordem de franja
normal como para oblíqua. O procedimento é o que se segue:
i. Com o polariscópio montado sobre o tripé, monta-se a armação suporte da cabeça de
espelhos para medida de incidência oblíqua. Ajusta-se o tripé e o suporte dos espelhos
para que o apontador na cabeça dos espelhos quase toque a superfície do revestimento e
aponte para o ponto de ensaio.
ii. Por meio do parafuso “H”, coloca-se a escala de direção em zero, alinhando os eixos do
polarizador/analisador com os eixos do espelho.
iii. Gira-se o parafuso “B” para “D” (direção). Observa-se o ponto de ensaio através do
analisador, mas não através dos espelhos, nem através da janela do compensador para
balanço nulo. Gira-se o instrumento no plano até que a isoclínica atinja o ponto de
ensaio. Os eixos óticos do analisador, do polariscópio e os eixos dos espelhos estão
agora paralelos às direções das deformações principais no ponto em ensaio. A
orientação do instrumento é apropriada para medidas por incidência normal e oblíqua,
usando a compensação por balanço nulo.
5.5.3.2 PROCEDIMENTO PARA MEDIDA DAS DEFORMAÇÕES
É conveniente a medida da ordem das franjas sob incidência normal e oblíqua em
seqüência direta para cada ponto. Como a cabeça do espelho dificulta as leituras de incidência
normal, o polariscópio pode ser temporariamente levantado ou abaixado para se realizar as
leituras.
Sob incidência oblíqua haverá uma birrefringência inicial antes da aplicação do
carregamento. Se não for corrigida, a birrefringência inicial irá causar erros em cada medida
de incidência oblíqua. Quando o carregamento por incrementos não é possível, a
birrefringência inicial na carga zero deve ser medida e a correção realizada como descrita no
Item 4.3.1. Segue o procedimento para a realização das medidas:
i. Com o apontador centrado no ponto de ensaio, retorna-se o parafuso B para M
(magnitude) e realiza-se a medida. Olha-se o ponto através do espelho. Se a imagem da
fonte de luz ou outra reflexão estiver presente, ajusta-se a fonte de luz e/ou o
polariscópio em relação à superfície para eliminar o reflexo.
93
ii. Enquanto observa-se o ponto através do espelho, mede-se a ordem de franja sob
incidência oblíqua, Nθ, usando a compensação por balanço nulo. Para qualquer método
de compensação é sempre necessária na separação das deformações principais com
medidas de incidência normal e oblíqua, a obtenção dos sinais corretos. iii. Sem alteração da orientação do polariscópio, move-se a cabeça de espelho do caminho o
suficiente para observar o ponto através do analisador. Mede-se a ordem da franja sob
incidência normal, Nn, usando compensação por balanço nulo.
5.5.3.3 REDUÇÃO DE DADOS
O primeiro passo é a correção da ordem da incidência oblíqua conforme descrito no
Item 4.3.1. O valor de Nθ e Nn podem então ser substituídos nas Equações 4.5 e 4.6. As
tensões individuais, σx e σy, podem ser calculadas, para a faixa de deformação elástica a partir
das Equações 4.7 e 4.8. Os coeficientes nas Equações 4.5 e 4.6 são função do coeficiente de
Poisson do revestimento fotoelástico (Measurements Group, 1984).
5.5.3.4 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA USO COM MEDIDAS DE INCIDÊNCIA
OBLÍQUA E COMPENSAÇÃO POR BALANÇO NULO.
A convenção aqui apresentada é para uso somente na separação de deformações
principais pelo par incidência normal e oblíqua. Com a escala de direções em 0º, se a
compensação for possível (i.e., se a rotação no sentido anti-horário do compensador permite a
compensação), o sinal indicado da ordem da franja é negativo, quer isto ocorra na incidência
normal ou oblíqua. A direção de εx é paralela à linha radial através do parafuso H e
perpendicular ao plano da cabeça do espelho.
Se, com a direção em 0º, a compensação por balanço nulo não for possível, é
necessário soltar o parafuso H e colocar a escala de direção em 90º. A nova orientação é
compatível com os requisitos para medida sob incidência oblíqua, já que os eixos do
polarizador/analisador, estão agora paralelos ao eixo dos espelhos e aos eixos principais na
parte em ensaio. Quando a compensação é possível, com a escala da direção em 90º, o sinal
da ordem da franja é positivo. É importante observar que o sinal pode ser diferente na
incidência oblíqua quanto na normal. Com a escala da direção em 90º, a direção de εx não
coincide com a linha radial através do parafuso H, mas permanece em posição original,
perpendicular ao plano da cabeça do espelho.
94
5.5.4 EFEITO DE REFORÇO
Os ensaios realizados exigiram a correção da ordem das franjas devido ao reforço do
modelo pelo revestimento. A correção devido ao reforço em situações de tensão plana será,
para os modelos e resina fotoelástica utilizada:
074,1*.*1 =+= hECrp (5.2)
Onde:
Crp= fator pelo qual a ordem de franja observada no estado de tensão plana deve ser
multiplicada para se obter a ordem de franja corrigida;
E* = Er/Ep = 2,5/2,6 = 0,96; razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico
e o do objeto em ensaio;
h* = hr/hp = 1,0/13,0 = 0,077; razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do
objeto em ensaio.
5.6 ANÁLISE FOTOELÁSTICA
Durante a realização dos ensaios os parâmetros fotoelásticos foram obtidos por meio de
um compensador acoplado a um indicador de deformação, obtendo diretamente uma leitura
digital da magnitude da diferença de deformações no ponto considerado após a compensação
por balanço nulo. Assim a Equação 4.2 será melhor apresentada, para efeito de redução de
dados, de acordo com a Equação 3.20:
).(102,9701
.2
)(2
6max yx
p
pyxyx xE
εεν
εεσστ −=
+
−=
−= − (5.3)
Onde:
τmax = tensão cisalhante máxima no plano da superfície da peça, em MPa;
(εx - εy) = diferença entre as deformações principais, em µε;
Ep e νp = módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do modelo, iguais a 2600 MPa e
0,34 respectivamente.
95
A correção relativa ao reforço do revestimento sobre o modelo, Crp = 1,074, pode ser
considerada diretamente na Equação 5.3. Tem-se portanto, para a obtenção da tensão
cisalhante, a seguinte equação:
)ε.(εxτ yx −= −6max 101042 (5.4)
A equação acima fornece diretamente o valor da tensão cisalhante atuante no modelo
após a determinação da diferença das deformações principais. Cada franja inteira visualizada
no revestimento corresponderá a uma tensão cisalhante de 1,97 MPa, já que para uma ordem
de franja (N) de 1, a diferença entre deformações principais é igual a 1890 µε.
Devido às diferenças entre os módulos de deformabilidade, as deformações induzidas
no modelo de resina epóxi são diferentes daquelas que irão ocorrer em uma rocha de mesma
geometria e conseqüentemente um fator de escala deve ser introduzido para inferir as tensões
na rocha a partir das tensões existentes no modelo após uma deformação equivalente. O fator
de escala, para condições elásticas de deformação, pode ser determinado a partir da seguinte
relação:
modelomodelo
.σσEErocha
rocha = (5.5)
Onde E e σ são o módulo de elasticidade e as tensões induzidas no modelo e rocha.
Deste modo, às tensões na rocha associadas com cada franja podem ser calculadas. A
resina epóxi dos modelos apresenta um módulo de elasticidade de 2,6 GPa e um coeficiente
de Poisson de 0,34, enquanto a maioria das rochas apresentam valores de módulo entre 25 e
100 GPa e coeficiente de Poisson entre 0,20 e 0,35. Deste modo, para aplicação em rochas
fraturadas e para um mesmo nível de deformações, as tensões no modelo deverão ser
multiplicadas por um fator entre 10 e 30 dependendo do valor do módulo para uma rocha em
particular. O fator a ser utilizado para a biotita-xisto é de 21. No entanto, devido à
variabilidade do módulo de elasticidade das rochas, todas as referências posteriores às
magnitudes de tensões serão relativas às tensões no modelo e não às tensões na rocha.
96
6 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO E ANÁLISE
FOTOELÁSTICA
A seguir são apresentados os resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados
nos modelos de descontinuidades representativos de diferentes graus de rugosidade, bem
como os resultados da análise fotoelástica. Os gráficos do comportamento das
descontinuidades são apresentados juntamente com os parâmetros que melhor o caracterizam.
Apresenta-se ainda um ensaio representativo de uma descontinuidade real, tendo como
objetivo o levantamento dos parâmetros fotoelásticos e a verificação da potencialidade da
técnica. A análise fotoelástica é também utilizada para visualização e discussão de alguns
aspectos da rugosidade que influem no comportamento ao cisalhamento e de fechamento das
descontinuidades.
6.1 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO
Apresenta-se a seguir os resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados com
os modelos. A Figura 6.1 apresenta os gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante e a
Figura 6.2 os gráficos de deslocamento vertical versus deslocamento horizontal dos ensaios
realizados nos modelos com descontinuidade serrada plana. Também são indicados pontos de
deslocamentos horizontais, nos quais foram realizados registros fotográficos dos parâmetros
fotoelásticos, isocromáticas e isoclínicas, e/ou leituras nodais desses parâmetros (pontos de
leitura). Antes da etapa de cisalhamento foi realizada a consolidação por um período de
aproximadamente 50 min, tempo necessário para a estabilização das deformações verticais.
Os valores de consolidação registrados para todas as descontinuidades ensaiadas foram de
pequena magnitude, variando entre 0,17 e 0,29% da altura dos modelos.
Os ensaios nos modelos com descontinuidade plana serviram para a determinação do
ângulo de atrito básico da resina, φb. A Figura 6.3 apresenta a envoltória de resistência de
Mohr-Coulomb para os resultados de tensão cisalhante máxima obtidos do ajuste (polinomial
de segunda ordem) das curvas de tensão-deslocamento. O ajuste fez-se necessário devido ao
comportamento típico de superfícies planas e lisas (não polidas) durante o cisalhamento, no
qual a resistência ao atrito é mobilizada até o momento em que ocorre o deslizamento brusco
da superfície livre, seguido de nova mobilização do atrito. Isso leva ao aspecto da curva
tensão-deslocamento observado na Figura 6.1. Como esperado, devido a ausência de
97
irregularidades significativas, não ocorreram deslocamentos verticais significativos (Figura
6.2). Da envoltória de resistência obteve-se um valor de ângulo de atrito básico igual a 10º.
Esse valor pode ser considerado igual ao ângulo de atrito residual, já que todos os modelos
ensaiados possuíam as superfícies não intemperizadas.
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.1 - Gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade plana.
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
De
slo
cam
en
to v
ert
ical
(m
m)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.2 - Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade plana.
A escolha dos modelos procurou representar diferentes graus de rugosidade para as
superfícies das descontinuidades. Inicialmente, os modelos foram baseados nos perfis de
rugosidade apresentados por Barton & Choubey (1977). A correta estimativa do coeficiente
98
de rugosidade das descontinuidades foi realizada por meio da retroanálise, a partir da Equação
2.6, dos resultados de pico (τf e σn) dos ensaios de cisalhamento realizados, sendo necessário,
portanto, a estimativa da resistência à compressão das paredes da descontinuidade
representada pelo parâmetro JCS.
τ = 0,171σn
R = 0,9926
0
500
1000
1500
2000
2500
0 500 1000 1500 2000 2500
Tensão Normal (kPa)
Tens
ão C
isal
hant
e (k
Pa)
Figura 6.3 – Envoltória de resistência de Mohr-Coulomb para descontinuidade plana.
De acordo com Barton & Choubey (1977) se as descontinuidades não possuem nenhum
grau de intemperismo, a resistência à compressão das paredes da descontinuidade (JCS) pode
ser considerada igual à resistência à compressão não confinada da rocha, no caso desse
trabalho, igual à resistência da resina. Esse valor é apresentado na Tabela 5.2 e é igual a 65,0
MPa. Uma segunda metodologia para determinação do valor de JCS é por meio do martelo de
Schmidt aplicado diretamente nas paredes expostas da descontinuidade. Barton & Choubey
(1977) apresentam a seguinte formulação que correlaciona o número de impacto fornecido
pelo martelo e a resistência à compressão não confinada da rocha:
( ) 01,1..00088,0log10 += Rrc γσ (6.1)
Onde:
σc = resistência à compressão não confinada da superfície (em MPa);
99
γr = peso específico seco do material, igual a 11,32 kN/m3 para a resina;
R = número de reação obtido no martelo de Schmidt.
Para uma estimativa inicial do valor de JCS utilizou-se o martelo de Schmidt em um
cilindro de resina de 5,0 cm de diâmetro e 10 cm de altura, mesmas dimensões dos cilindros
utilizados nos ensaios convencionais de resistência a compressão, e nas superfícies das
descontinuidades dos modelos. Para tanto, de acordo com sugestão de Barton & Choubey
(1977), foram realizadas dez leituras em cada uma das descontinuidades, desprezando as
cinco menores leituras no cálculo da média final. A Tabela 6.1 apresenta os resultados
obtidos.
Tabela 6.1 - Resultados dos ensaios realizados com o martelo de Schmidt.
Rugosidade da superfície Valor R (MPa)
JCS (MPa)
Cilindro 80,0 64,1 Plana 77,1 60,0 Lisa 75,2 57,4
Ondulada lisa 72,4 53,9 Ondulada rugosa 67,0 47,6
O valor de resistência obtido para o cilindro é muito próximo do obtido nos ensaios
convencionais de compressão uniaxial, igual a 65,0 MPa. Este excelente ajuste se deve a
homogeneidade dos corpos-de-prova de resina. Em amostras de rocha esse valor tende a ser
mais disperso devido a presença de micro fissuras e de cristais de diferentes resistências e
tamanhos.
A diferença entre os valores obtidos no cilindro e na superfície plana deve-se
provavelmente às diferenças de dimensões e forma entre os corpos-de-prova. Observa-se
ainda a diminuição do valor de JCS com o aumento da rugosidade. Isso se deve ao fato de
parte da energia do impacto ser dissipada nas irregularidades da superfície. Numa escala
maior da descontinuidade, a superfície do martelo atingiria uma parcela plana da parede,
fornecendo resultados equivalentes à da descontinuidade plana, ou seja, da superfície da
parede propriamente dita. Devido às diferenças verificadas, o valor de JCS a ser utilizado
neste trabalho é o obtido dos resultados dos ensaios de compressão uniaxial, ou seja,
65,0 MPa.
Com a estimativa dos valores de JCS e φR a Equação 2.6 poderá ser reescrita da seguinte
forma:
100
−
=
'
'
65log
º10arctan
n
n
f
nJRC
σ
στ
(6.2)
Onde:
τf = resistência ao cisalhamento de pico; 'nσ = tensão efetiva normal;
JRCn = coeficiente nominal de rugosidade da descontinuidade.
A Tabela 6.2 apresenta os valores estimados do coeficiente de rugosidade a partir da
média dos resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados com os modelos, para as
três tensões normais de ensaio.
Tabela 6.2 - Estimativa dos valores do coeficiente de rugosidade das descontinuidades.
Rugosidade da superfície JRC Lisa 3
Ondulada lisa 8 Ondulada rugosa 15
As Figuras 6.4 a 6.9 apresentam os resultados dos ensaios de cisalhamento realizados
nas descontinuidades com JRC de 3, 8 e 15, sob a forma dos gráficos de tensão versus
deslocamento cisalhante e de deslocamento vertical pelo deslocamento horizontal. Ressalta-
se que os ensaios não foram conduzidos a um deslocamento tangencial suficiente para a
definição da resistência residual, entretanto eles permitem a obtenção da resistência de pico e
a observação do comportamento de pré-pico.
O patamar estável de resistência limite (de pico) foi bem definido em todos os ensaios.
Os deslocamentos tangenciais de pico variaram de 2,5 a 6,3 mm, ou seja, de 1,9 a 4,8% do
comprimento dos modelos, com os maiores valores correspondendo aos modelos com
superfície mais rugosa.
Para caracterizar de forma mais apropriada o comportamento mecânico dos modelos
ensaiados, elaborou-se a Tabela 6.3, na qual podem ser comparadas as quantidades
acumuladas de dilatância. São indicados ainda os valores da tensão cisalhante e de
deslocamento tangencial de pico (up). A dilatância de pré-pico representa o valor do
deslocamento vertical no ponto de pico, ou seja, o valor correspondente à máxima tensão de
101
cisalhamento. O coeficiente médio de dilatância é igual à inclinação média da curva de
deslocamento vertical versus deslocamento horizontal e o ângulo de dilatância de pico a sua
inclinação máxima, que ocorre na mobilização da resistência de pico.
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leitura
Tensões normais
Figura 6.4 - Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC
igual a 3.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
De
slo
cam
en
to v
ert
ical
(m
m)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.5 - Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 3.
A dilatância observada é bastante significativa em termos de influência sobre a
resistência ao cisalhamento, exceto na superfície lisa e plana, onde sua contribuição ao
mecanismo de atrito foi bastante reduzida. A dilatação diminui com a redução da rugosidade.
102
Os parâmetros de ângulo de dilatância médio e de pico apresentaram aumento com a
rugosidade (aumento do valor de JRC) e redução com o aumento da tensão normal. Exceção
ocorreu para a descontinuidade de JRC igual a 15 na qual o ângulo médio de dilatância
apresentou tendência de aumento com a tensão normal, entretanto os ângulos de dilatância de
pico apresentaram redução como esperado.
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.6 - Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC
igual a 8.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
De
slo
cam
en
to v
ert
ical
(m
m)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.7 - Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 8.
103
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.8 – Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC
igual a 15.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
De
slo
cam
en
to v
ert
ical
(m
m)
2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais
Figura 6.9 - Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para
descontinuidade com JRC igual a 15.
É importante observar que a dilatância máxima não ocorre no ponto de deslocamento
tangencial de pico. Parcela da dilatância ocorre após atingir a máxima resistência, ou seja,
acompanha o processo de deslocamento franco, o que reforça o fenômeno de galgamento de
irregularidades. De acordo com Xu & Freitas (1990) a ruptura do material que forma as
asperezas irá ocorrer em um deslocamento tangencial superior ao do ponto de resistência
104
máxima, justificando o fato do deslocamento tangencial para a dilatância máxima ser sempre
maior do que para resistência cisalhante de pico.
Tabela 6.3- Parâmetros mecânicos característicos.
JRC Tensão normal (MPa)
Tensão cisalhante máxima (MPa)
up (mm)
Dilatância pré-pico
(mm)
Coeficiente médio de dilatância
Ângulo médio de dilatância
(º)
Ângulo de dilatância
no pico (°)
0,5 0,15 2,88 0,22 0,09 5,4 8,1 1,0 0,28 3,65 0,29 0,09 5,2 7,2 3 2,0 0,46 4,78 0,29 0,08 4,5 5,5 0,5 0,26 2,48 0,40 0,17 9,7 14,0 1,0 0,47 4,26 0,57 0,15 8,4 13,7 8 2,0 0,76 4,90 0,57 0,13 7,3 13,0 0,5 0,48 4,37 0,67 0,16 9,0 17,1 1,0 0,74 5,31 0,74 0,16 9,3 14,5 15 2,0 1,14 6,26 0,90 0,17 9,9 13,7
O ponto de ruptura, denominado de ponto de pico do ensaio, corresponde ao par de
valores de tensão cisalhante (τf) e tensão normal (σn), a partir do qual caracteriza-se o estado
de mínima rigidez tangencial, onde reduzidos incrementos de carga tangencial são suficientes
para produzir taxas relativamente estáveis de deslocamentos tangenciais. As Figuras 6.10 a
6.12 apresentam as envoltórias de ruptura de acordo com os critérios de ruptura de Mohr-
Coulomb, Barton & Choubey e Denby & Scoble apresentados no Item 2.2. Para as
descontinuidades ondulada lisa e ondulada rugosa o critério de Mohr-Coulomb foi
apresentado de forma bi-linear de acordo com o conceito apresentado por Patton (1966).
De um modo geral os três critérios apresentaram um bom ajuste aos dados dos ensaios,
sendo que somente para a descontinuidade ondulada rugosa o critério de Barton apresentou
uma maior dispersão em relação à tensão normal de 2,0 MPa. Ressalta-se, entretanto, que
devido ao reduzido número de resultados (três pontos) para a determinação das envoltórias, os
modelos que utilizam ajustes de curva irão possuir melhor aderência aos dados.
O ajuste do critério de Denby & Scoble (curva de potência) mostrou-se coerente com os
princípios do modelo, onde os valores de A e B da Equação 2.11, variam usualmente entre 0 e
10 e 0,65 e 1, respectivamente. Baixos valores de A e altos valores de B correspondem as
descontinuidades de menor ângulo de dilatância ou de menor rugosidade, com envoltórias do
tipo linear. Altos valores de A e baixos valores de B correspondem a descontinuidades de
maior rugosidade. Esse comportamento é observado nas envoltórias obtidas.
105
0
500
1000
1500
2000
2500
0 500 1000 1500 2000 2500
Te ns ão Norm al (k Pa)
Te
ns
ão C
isal
han
te (
kP
a)
Barton Mohr-Coulomb Denby & Scoble
M ohr-Coulombτ = σn.tg14º
Denby & Scoble
τ = 0,869σn0,829
Bartonτ = σn.tg[3.log10(65/σn)+10º]
Figura 6.10 - Envoltórias de resistência para a descontinuidade com JRC igual a 3.
Denby & Scoble
τ = 1,898σn0,791
0
500
1000
1500
2000
2500
0 500 1000 1500 2000 2500
Te ns ão Norm al (k Pa)
Te
ns
ão C
isal
han
te (
kP
a)
Barton Mohr-Coulomb Denby & Scoble
Bartonτ = σn.tg[8.log10(65/σn)+10º]
M ohr-Coulomb (bi-linear)τ = σn.tg27º (trecho1)
τ = 110 + σn.tg18º (trecho2)
Figura 6.11 - Envoltórias de resistência para a descontinuidade com JRC igual a 8.
106
0
500
1000
1500
2000
2500
0 500 1000 1500 2000 2500
Te ns ão Norm al (k Pa)
Te
ns
ão C
isal
han
te (
kP
a)
Barton Denby & Scobley Mohr-Coulomb
M ohr-Coulomb (bi-linear)τ = σn.tg39º (trecho1)
τ = 340 + σn.tg22º (trecho2)Bartonτ = σn.tg[15.log10(65/σn)+10º]
Denby & Scoble
τ = 10,203σn0,620
Figura 6.12 - Envoltórias de resistência para a descontinuidade com JRC igual a 15.
No critério de Mohr-Coulomb foram obtidos, para a descontinuidade lisa e para o trecho
inicial das envoltórias das descontinuidades onduladas lisa e rugosa, ângulos de atrito de 14,
27 e 39º, respectivamente. Para o segundo trecho das envoltórias das descontinuidades
onduladas lisa e rugosa, foram estimados ângulos de 18 e 22°. As inclinações do primeiro
trecho são maiores devido ao menor nível de tensão normal, caracterizando a parcela da
envoltória de ruptura em que a inclinação da curva corresponde a (φR + i). Considerando que
o máximo ângulo de rugosidade para um dado tamanho de base pode ser medido para a
direção de deslizamento, a tangente deste ângulo multiplicado pelo comprimento da base
fornece o deslocamento (dilatação) que pode ocorre perpendicular a descontinuidade para um
deslocamento cisalhante igual ao comprimento da base (ISRM, 1977). Deste modo,
determinou-se geometricamente a máxima inclinação das asperezas para uma base
correspondente de 5,0 mm (valor que se aproxima da média do deslocamento tangencial de
pico) estimando-se valores de 7, 17 e 24°, respectivamente para os modelos de superfície lisa,
ondulada lisa e rugosa. Esses valores fornecem para o trecho inicial das envoltórias de ruptura
inclinações de 17, 27 e 34°, valores que se aproximam dos estimados para as envoltórias
estudadas. Para melhor ajuste da envoltória bilinear seria necessário a obtenção de mais
pontos para as envoltórias.
107
A diferença entre os ângulos de atrito das envoltórias lineares das descontinuidades
onduladas lisa e rugosa, que para o primeiro trecho é de 12° é reduzida para 4° no segundo
trecho, já que para níveis de tensões normais maiores a inclinação da envoltória tende para o
ângulo de atrito residual, igual para todos os modelos. O nível de tensões normais estudados
não foi suficiente para definir essa fase do comportamento das descontinuidades, não sendo
observadas zonas de ruptura ou plastificação nos ensaios realizados. O segundo trecho das
curvas corresponde ao trecho curvo da envoltória ainda não coincidente com o ângulo de
atrito residual, e nem caracterizado pela inclinação natural das asperezas.
6.2 EFEITO DAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA
Para a discussão dos resultados dos ensaios de cisalhamento realizados com os modelos
fotoelásticos faz-se a seguir algumas observações quanto à influência das condições de
fronteira nos ensaios. Para observar esse aspecto, os ensaios de cisalhamento em superfície
plana e lisa também foram realizados com o modelo revestido pela resina fotoelástica. Os
padrões das isocromáticas para as três tensões normais de ensaio e para os deslocamentos
horizontais de 0,0 e 2,5 a 2,8 mm (aproximadamente o deslocamento horizontal de pico) são
apresentados na Figura 6.13.
Da observação da birrefringência desenvolvida sob tensão normal, pode ser verificado
que a distribuição das isocromáticas é relativamente uniforme. Entretanto, com o aumento da
tensão normal ocorre maior nível de birrefringência na metade inferior, em particular junto às
paredes da caixa de cisalhamento. Isso se deve à situação de confinamento em que se encontra
o modelo. Esse comportamento é observado nos outros modelos ensaiados, mas com a
presença da rugosidade essa concentração de tensões é minimizada pela maior deformação
nas asperezas. Durante o cisalhamento a configuração das isocromáticas vai se redistribuindo
e para maiores deslocamentos essa concentração não mais existe. Não foi observada
birrefringência local nas extremidades superior e inferior devido ao carregamento normal, já
que cuidados especiais foram tomados no sentido de regularizar as superfícies externas dos
modelos.
108
u = 0,0 mm e σn = 0,5MPa u = 2,6 mm e σn = 0,5MPa
u = 0,0 mm e σn = 1,0MPa u = 2,8 mm e σn = 1,0MPa
u = 0,0 mm e σn = 2,0MPa u = 2,5 mm e σn = 2,0MPa
Figura 6.13 -Distribuição de isocromáticas em descontinuidade plana no ensaio de cisalhamento direto.
109
6.3 DESCRIÇÃO DE UM ENSAIO COMPLETO
Para apresentar a potencialidade e os resultados que a técnica fotoelástica pode oferecer,
apresenta-se de modo mais completo os resultados do ensaio realizado com tensão normal de
1,0 MPa sob descontinuidade cujo JRC é de 3,0. As Figuras 6.14 a 6.16 apresentam para os
deslocamentos horizontais de 0,0, 2,5 e 4,0 mm, a distribuição das isocromáticas e a das
isoclínicas de 0, 15, 30, 45, 60 e 75º (referência na vertical), com exceção do deslocamento de
4,0 mm no qual não foi feito o registro fotográfico da isoclínica de 75°. As figuras mostram
ainda as direções principais e o valor da tensão cisalhante máxima nos pontos de leitura
individual. As cruzetas das direções principais não possuem escala, indicando no eixo maior a
direção da deformação principal algebricamente menor e no eixo menor a direção da
deformação principal algebricamente maior. Ressalta-se que a notação do equipamento é de
sinal negativo para tensões de compressão e positivo para tensões de tração. Como na
geotecnia a convenção utilizada é inversa, optou-se por indicar as cruzetas de modo também
inverso.
De modo geral observa-se nos modelos um grande nível de deformação na parte inferior
junto aos extremos laterais, na aplicação da tensão normal, caracterizada pela birrefringência
inicial. Durante o cisalhamento o nível de tensão junto a lateral correspondente à aplicação da
carga cisalhante tende a aumentar enquanto no lado oposto a tendência é de diminuição, até o
momento da mobilização da rugosidade quando então a configuração das isocromáticas, e
conseqüentemente das tensões é definida pelas asperezas críticas.
A distribuição de tensões é não uniforme com variações quanto ao tipo (compressão ou
tração), magnitudes e direções principais. As alterações no nível de birrefringência e
conseqüentemente das deformações e tensões mostraram-se variáveis devido à influência da
rugosidade da superfície. As deformações principais maiores são de compressão, com valores
menores e de pequena ocorrência de tensões de tração. As maiores variações de magnitude e
direções ocorrem nas proximidades da superfície de rugosidade.
110
Distribuição de isocromáticas
0 2 4 6 8 10 12
-3
-1
1
3
Isoclínica 0º Isoclínica 15º
Isoclínica 30º Isoclínica 45º
Isoclínica 60º Isoclínica 75º
Figura 6.14 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 0,0 mm.
32
21
14
0,35 0,21 0,360,00 0,00 0,35 1,17
0,59 0,23 0,00 0,00 0,44 1,50
0,71
0,88
0,69 0,03 0,40 0,68 1,37
0,65 0,92 0,39 0,09 0,00 0,45 0,00 0,66 1,98 0,88
1,11 0,52 1,31
0,65 0,00 0,00 0,99 0,26 1,66 2,70 1,060,77
0,90 0,56 0,14 0,40 1,30
0,74 0,18 0,39 2,00
111
Distribuição das isocromáticas 0 2 4 6 8 10 12
-3
-1
1
3
Isoclínica 0º
Isoclínica 15º
Isoclínica 30º
Isoclínica 45º
Isoclínica 60º
Isoclínica 75º
Figura 6.15 - Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 2,5 mm.
32
21 14
0,61 0,80 0,56 0,73 1,14
1,15 1,21 0,57 0,34 0,81 1,38
0,92
0,47
1,46 0,56 0,74 0,44 1,24
0,73 1,34 1,09 0,49 0,00 0,65 0,95 0,09 1,98 0,55
0,81 0,19 2,89
0,57 0,00 0,45 1,52 0,00 0,99 2,08 0,301,13
1,21 0,32 0,35 0,41 0,71
0,65 0,75 0,10 1,41
0,52
0,86
112
Distribuição das isocromáticas 0 2 4 6 8 10 12
-3
-1
1
3
Isoclínica 0º Isoclínica 15º
Isoclínica 30º Isoclínica 45º
Isoclínica 60º
Figura 6.16 - Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 4,0 mm.
32
21 14
0,98 1,94 1,23 1,02 1,34 1,15
0,71 2,29 1,04 0,94 1,07 0,96
2,05 2,07 0,72 0,27 0,96 1,62 0,76 0,79 0,57
0,85 1,53 4,49
0,99 0,38 0,97 2,15 0,39 0,40 0,68 0,001,93
1,77 0,65 0,54
1,21 1,08 0,32
0,27
113
Devido a redução da área de contato, a tendência das tensões cisalhantes máximas (e
deformações) é de aumento com o deslocamento, sendo a maior variação de 0,0 para 4,0 mm,
ocorrida no ponto 32, no valor de 3,18 MPa. A maior tensão principal individual identificada
foi de 7,52 MPa (compressão) no ponto 32 e a menor de 1,46 MPa (tração) no mesmo ponto.
A Figura 6.17 apresenta a evolução da máxima tensão cisalhante máxima que ocorre nos
contatos, com o deslocamento. Até o deslocamento de 2,5 mm, a tensão cisalhante apresenta
pequena variação, com aumento significativo a partir daí e até 4,0 mm, limite dos registros
realizados. Para este caso o deslocamento de pico foi de 3,7 mm, indicando que maior
variação de tensão ocorre para deslocamentos próximos ao de pico.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
Deslocamento horizontal (mm)
Máx
ima
tens
ão c
isal
hant
e m
áxim
a (M
Pa)
JRC = 3 - Tensão normal de 1,0MPa
Figura 6.17 - Evolução da máxima tensão cisalhante máxima com o deslocamento.
Nas regiões onde o nível de deformações é baixo e o gradiente de deformação é menor,
a birrefringência se apresenta sob a forma de áreas em cores com distribuição uniforme.
Nessas áreas a variação das direções principais também é pequena e as isoclínicas se
apresentam como grandes áreas negras. Essas regiões podem ser observadas nas partes mais
distantes da superfície de cisalhamento. Na região da descontinuidade os pontos de contato
apresentam maior deformação, caracterizada pela concentração e aumento do nível de
birrefringência e pela variação de cores. É importante observar que todas as isoclínicas
passam pelos pontos de contato direto (cargas concentradas) e também onde a diferença de
tensões principais é igual a zero.
Durante o cisalhamento a distribuição das isoclínicas se altera em função da
redistribuição das deformações. Nota-se ainda que com o aumento dos níveis de tensão as
114
áreas de distribuição uniforme das isocromáticas e das isoclínicas vão dando lugar a bandas
mais bem definidas, coloridas para as isocromáticas e negras para as isoclínicas.
As cruzetas indicativas da orientação das direções principais indicam uma tendência de
rotação no sentido horário com o deslocamento cisalhante, lembrando que a aplicação da
carga cisalhante na parte inferior do modelo ocorre da direita para esquerda. Já na região nas
proximidades das irregularidades essa tendência não é bem definida devido à influência da
rugosidade.
A Tabela 6.4 apresenta os parâmetros utilizados na separação das deformações e tensões
principais de três pontos, com leituras realizadas nos três deslocamentos horizontais
apresentados nas Figuras 6.14 a 6.16, e que encontram-se na mesma linha vertical. Os valores
de ordem de franja sob incidência normal (Nn) e sob incidência oblíqua (Nθ) foram obtidos de
acordo com os Itens 4.2.1 e 5.5.1. A correção de Nθ foi realizada conforme procedimento
apresentado no Item 4.3.1 e Equações 4.9 e 4.10, sendo determinado para a birrefringência
parasitária (ordem da franja) inicial (Ni) devido ao uso do adaptador de incidência oblíqua o
valor de 1100µε (1181µε com correção do reforço do revestimento) com um parâmetro de
isoclínica (βi) de 0°. Na separação das deformações principais individuais foram utilizadas as
Equações 4.5 e 4.6 e para a determinação das tensões principais individuais as Equações 4.7 e
4.8 apresentadas nos Itens 4.2.2 e 5.5.3. Os valores da ordem da franjas (Nn e Nθ) já estão com
sinais definidos em conformidade com a convenção de sinais para medidas de incidência
oblíqua apresentada no Item 5.5.3.4. A correção necessária devido ao reforço do modelo pelo
revestimento (realizada de acordo Item 4.3.2 e 5.5.4 e igual a 1,074) já foi aplicada nos
valores de Nn e Nθ. O sinal negativo nas deformações e tensões equivale à compressão.
Em todos os pontos indicados na Tabela 6.4 ocorre o aumento da diferença entre as
tensões principais, ou seja, da tensão cisalhante máxima durante o deslocamento horizontal,
caracterizado pelo aumento birrefringência nesses pontos. Estes se situam nas proximidades
de uma aspereza crítica, mobilizada durante o cisalhamento. De acordo com a posição do
ponto em relação a esta irregularidade, as tensões principais irão sofrer alterações de
diferentes maneiras. O ponto 14, o mais distante da irregularidade em análise, apresenta
redução de sua tensão de compressão (σx) de 4,92 para 3,55 MPa e a passagem de σy de uma
tensão de compressão no valor 3,54 MPa para tração de 1,04 MPa. O ponto 21, do
deslocamento de 0,0 para 4,0 mm, sofre pequeno aumento de compressão em σx e redução na
compressão em σy. Já o ponto 32, de maior nível de birrefringência, apresenta aumento de
compressão de 2,97 MPa em σx e passagem de uma tensão de compressão de 1,92 MPa para
115
tração de 1,46 MPa em σy. Em todos os pontos em que foram realizadas leituras, são
observados valores de compressão para σx. Em σy, além da variação de magnitude, ocorre
também a variação de sinal (compressão e tração).
Tabela 6.4 - Determinação das deformações e tensões principais individuais
Ponto de
leitura
Desloc. horiz. (mm)
Nn β (°)
Nθ sem correção
Nθ corrigido
εx (µε)
εy (µε)
σx (MPa)
σy (MPa)
σx-σy (MPa)
0,0 -0,4 -15 -1,2 -0,8 -1429 -720 -4,92 -3,54 1,38 2,5 -0,8 -6 -1,6 -1,0 -1424 80 -4,11 -1,19 2,92 14 4,0 -1,3 -5 -2,0 -1,4 -1500 863 -3,55 1,04 4,58 0,0 -0,5 -9 -1,4 -0,9 -1586 -662 -5,32 -3,53 1,79 2,5 -0,7 17 -1,5 -0,9 -1257 129 -3,57 -0,88 2,69 21 4,0 -1,1 38 -2,0 -1,4 -1918 198 -5,44 -1,34 4,11 0,0 -0,7 3 -1,6 -1,0 -1498 -145 -4,55 -1,92 2,63 2,5 -1,6 8 -2,4 -1,8 -2031 944 -5,03 0,74 5,77 32 4,0 -2,4 3 -3,3 -2,7 -3084 1545 -7,52 1,46 8,98
6.4 EFEITO DA RUGOSIDADE SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL
As Figuras 6.18 a 6.20 apresentam a distribuição de isocromáticas nas descontinuidades
sob compressão uniaxial para as tensões de 0,25 MPa a 3,0 MPa, com exceção da
descontinuidade de JRC igual a 15 na qual não foram realizados registros com tensões
normais de 0,25 e 3,0 MPa.
As Figuras 6.18 a 6.20, nas quais as descontinuidades estão encaixadas, mostram como
a distribuição das isocromáticas evolui com o aumento da carga que age através da seção
transversal da superfície da descontinuidade. Nas três descontinuidades, as superfícies opostas
estão em contato em pequenas áreas, resultando em concentrações de tensões. Nota-se
adicionalmente que dois mecanismos operam com o aumento da carga. Primeiramente, as
cargas nos pontos de contato existentes aumentam progressivamente e secundariamente novos
pontos de contato são criados. Pode ser observado que os pontos de contato inicial apresentam
uma maior concentração de tensões do que aqueles criados posteriormente.
116
Tensão normal de 0,25 MPa Tensão normal de 0,50 MPa
Tensão normal de 1,00 MPa Tensão normal de 2,00 MPa
Tensão normal de 3,00 MPa
Figura 6.18 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob compressão axial.
117
Tensão normal de 0,25 MPa Tensão normal de 0,50 MPa
Tensão normal de 1,00 MPa Tensão normal de 2,00 MPa
Tensão normal de 3,00 MPa
Figura 6.19 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 sob compressão axial.
118
Tensão normal de 0,50 MPa Tensão normal de 1,00 MPa
Tensão normal de 2,00 MPa
Figura 6.20 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 sob compressão axial.
A comparação entre as diferentes rugosidades nas Figuras 6.18 a 6.20 indica que o
número de pontos de contatos gerados foi maior para as descontinuidades rugosas que para a
de menor grau de rugosidade. Como verificado, mesmo descontinuidades encaixadas não
apresentam contato em toda área, mas somente em pontos distintos. Existem porções do perfil
de rugosidade que funcionam com potenciais zonas de contato, que irão criar novos pontos de
concentração de tensões com o aumento da carga normal. O valor de JRC das
descontinuidades controla a largura e espaçamento médio destas zonas, ambas maiores para
descontinuidades lisas que para descontinuidades rugosas. É seguido que quando submetidos
ao aumento de carga, novos contatos serão criados para descontinuidades rugosas, enquanto
que pontos de contato pré-existentes irão tender a estender lateralmente para descontinuidades
lisas. Para a descontinuidade rugosa (JRC=15) as franjas isocromáticas tendem a apresentar-
se como pontos bem localizados indicando que elas são estreitas, enquanto que para
descontinuidades lisas (JRC = 3) as isocromáticas são bastante aplanadas, implicando em
119
zonas de contato mais largas. Também pode ser verificado que para a tensão normal de
3,0 MPa o nível de deformações é tal que todo o modelo apresenta um alto nível de
birrefringência. Deve ser considerado que para determinado nível de tensão normal irá ser
atingido o fechamento máximo da descontinuidade e qualquer aumento de carga será
absorvido pelo material do modelo (resina).
A relação entre o número de pontos criados, zona de influência das irregularidades e
nível de tensão cisalhante máxima mostrou-se complexa. Enquanto a criação de pontos de
contato é o mecanismo preponderante nas descontinuidades rugosas, para a lisa as zonas de
contato são mais amplas. A Figura 6.21 apresenta a evolução da máxima tensão cisalhante
máxima observada nos pontos de contato com a tensão normal para os três graus de
rugosidade estudados. Para menores valores de carga normal o maior nível de tensão pontual
foi observado na descontinuidade com JRC de 3, função do menor número de contatos. Para
altos valores de tensão normal os maiores valores de τmax, em irregularidades individuais,
foram observados para a superfície de JRC igual a 8. Os menores valores foram observados
para a descontinuidade com JRC de 15, que apresenta contatos estreitos mas em maior
número.
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Tensão normal (MPa)
Máx
ima
tens
ão c
isal
hant
e m
áxim
a (M
Pa)
JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15
Figura 6.21 - Evolução da máxima tensão cisalhante máxima na compressão axial.
Para verificar qual o comportamento das isocromáticas em descontinuidade deslocada
(desencaixada) foram realizados carregamentos normais com as superfícies deslocadas de 2,5
mm (modelos com JRC de 3 e 8). A Figura 6.22 apresenta a distribuição das isocromáticas
para a superfície de JRC igual a 3.
120
Tensão normal de 0,25 MPa Tensão normal de 0,50 MPa
Tensão normal de 1,00 MPa Tensão normal de 2,00 MPa
Tensão normal de 3,00 MPa
Figura 6.22 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob compressão axial e deslocamento horizontal de 2,5 mm.
Com a descontinuidade deslocada o número de contatos criados com o carregamento
aumenta em menor proporção, e a compensação para isso é que as tensões transmitidas
através dos contatos individuais foram maiores. Isso confirma o fato das descontinuidades
121
deslocadas apresentarem menor rigidez como resultado da concentração de tensões sobre uma
área de contato real menor e a falta de confinamento das asperezas. Como no caso de
descontinuidades encaixadas, as zonas de contato individuais expandem mais rapidamente
para descontinuidades planas que para rugosas.
6.5 EFEITO DA RUGOSIDADE DURANTE O CISALHAMENTO
Apresenta-se nas Figuras 6.23 a 6.31 o padrão das isocromáticas, ou seja, da
distribuição das diferenças das deformações principais, nos modelos durante os ensaios de
cisalhamento direto. As fotos apresentam os modelos de descontinuidade com coeficientes de
rugosidade de 3, 8 e 15, em diferentes deslocamentos horizontais e para os três níveis de
tensão normal de ensaio.
Em todos os modelos e para todos os níveis de tensão normal existe a tendência do
movimento de afastamento das superfícies opostas, conjugada ao movimento tangencial, de
modo que a área real de contato das paredes fica restrita a algumas irregularidades
concentradas principalmente nos taludes das asperezas de maior inclinação e que,
efetivamente, passam a controlar o deslizamento. A dilatância observada nos ensaios, com
tensões normais relativamente baixas tendo-se em consideração a não ocorrência de ruptura
das irregularidades, é bastante significativa, exceto na superfície plana lisa, onde a dilatação
foi bastante reduzida.
No modo de ruptura comum em descontinuidades rochosas naturais o cisalhamento
começa com o galgamento das asperezas e continua com a ruptura e esmagamento da ponta
das asperezas. Isto é causado pelo aumento da concentração da tensão normal e cisalhante na
ponta das asperezas durante o cisalhamento. Entretanto, não foi observada ruptura das
asperezas em nenhum dos ensaios realizados. Algum nível de plastificação foi verificado nos
ensaios realizados nos modelos de descontinuidade ondulada e rugosa (JRC igual a 15). A
técnica da fotoelasticidade permite a definição das regiões que sofram plastificação, já que
após a retirada das cargas é possível observar se existe algum nível de birrefringência
residual. Nos modelos em que foi observado, o nível de birrefringência ao final dos ensaios
foi de no máximo 0,28 (N) que corresponde a uma tensão cisalhante máxima (τmáx) de 0,6
MPa, ocorrida no ensaio com tensão normal de 2,0 MPa. Este ensaio apresentou a maior
concentração de tensões no ponto de pico, atingindo uma tensão cisalhante máxima pontual
de 9,91 MPa (N≅5) ou uma diferença de deformações de 9510 µε. Para observação de ordens
de franja (N) superiores a 4 é necessário a utilização da lente monocromática (Item 5.4.2).
122
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm
Figura 6.23 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa.
123
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 4,6 mm
Figura 6.24 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa.
124
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 5,0 mm
Figura 6.25 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa.
125
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 4,6 mm
Figura 6.26 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa.
126
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,3 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 5,1 mm
Figura 6.27 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa.
127
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 2,5 mm Deslocamento horizontal de 3,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 5,0 mm
Figura 6.28 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 8 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa.
128
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 3,0 mm Deslocamento horizontal de 4,0 mm
Deslocamento horizontal de 4,0 mm Deslocamento horizontal de 5,2 mm
Figura 6.29 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa.
129
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 3,0 mm Deslocamento horizontal de 4,0 mm
Deslocamento horizontal de 5,0 mm Deslocamento horizontal de 5,75 mm
Figura 6.30 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 1,0 MPa.
130
Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm
Deslocamento horizontal de 3,0 mm Deslocamento horizontal de 4,0 mm
Deslocamento horizontal de 5,0 mm Deslocamento horizontal de 6,4 mm
Figura 6.31 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 15 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 2,0 MPa.
O arranjo no ensaio de cisalhamento pode causar um momento aplicado sobre o eixo
lateral na superfície da descontinuidade, devido à mobilização irregular de esforços
tangenciais. Isto produz uma rotação relativa das duas metades da amostra e uma distribuição
131
não uniforme das tensões sobre a superfície da descontinuidade. Para minimizar esse efeito, a
força de cisalhamento deveria ser inclinada em relação à direção do cisalhamento. Durante os
ensaios realizados nos modelos de descontinuidade com JRC de 8 e 15, pôde-se observar esse
efeito de momento induzido, de modo mais claro na descontinuidade de maior rugosidade
(Figuras 6.29 a 6.31) onde a partir da mobilização das irregularidades as tensões passam a se
concentrar principalmente na metade anterior do modelo, junto a lateral de carregamento
cisalhante. Na metade oposta inferior nenhum nível de birrefringência é observado (área
negra), sendo que essa área aumenta até o momento da ruptura. A concentração de tensões em
uma parcela do modelo devido a um momento induzido é característica do que se chama
ruptura progressiva. Caso os ensaios fossem conduzidos em um nível maior de tensão normal
e para deslocamentos tangenciais maiores poder-se-ia observar a ruptura das asperezas de
modo progressivo, com início junto a lateral de aplicação da carga.
Alguns aspectos chaves do comportamento das descontinuidades observados durante o
evento do cisalhamento e apresentados por Barton (1986) podem ser comprovados pela
técnica da fotoelasticidade. O primeiro aspecto observado foi de que o atrito é mobilizado
quanto inicia o cisalhamento. Em todos os modelos, no início do cisalhamento foi verificado
aumento dos valores da tensão com o deslocamento, entretanto nenhuma mudança da
configuração das isocromáticas era observada até que determinado valor de deslocamento
tangencial fosse atingido. Essa observação pode ser comprovada nas Figura 6.23 a 6.31, onde
para o deslocamento tangencial de 1,0 mm não existem alterações significativas no padrão das
isocromáticas, mas um aumento das tensões pode ser verificado nas leituras pontuais. Essa
elevação na tensão cisalhante máxima não foi superior a 0,6 MPa ou a uma diferença entre
deformações principais 548 µε.
O segundo aspecto observado é a dilatação, que começa quando a rugosidade é
mobilizada. Durante o início do deslocamento cisalhante o atrito residual é mobilizado
primeiro, seguido então pela rugosidade causando dilatação. De acordo com o conceito de
rugosidade mobilizada, o modelo de Barton e Bandis estabelece que até que o deslocamento
tangencial corrente atinja 30% do deslocamento de pico, a rugosidade não é mobilizada. Até
esse limite, somente parcelas do ângulo de atrito residual são mobilizadas, acumulando-se até
que, naquela proporção definida de deslocamento, obtém-se a mobilização do valor pleno do
ângulo de atrito residual.
Esse segundo aspecto do comportamento das descontinuidades também foi observado
nos ensaios, onde modificações no padrão das isocromáticas começam a ser observadas para
deslocamentos pouco superiores a 1,0 mm nos ensaios com tensão normal de 0,5 MPa e na
132
faixa de 1,5 a 2,0 mm para ensaios com tensão normal de 2,0 MPa. Esse comportamento é
compatível com o modelo de Barton e Bandis, no qual a rugosidade, para os valores de pico
dos modelos, seria mobilizada entre 0,7 e 1,3 mm para a tensão normal de 0,5 MPa e entre 1,4
e 1,9 mm para os ensaios com tensão normal de 2,0 MPa, sendo os menores valores
correspondentes as rugosidades mais planas.
Outro aspecto observado é que os maiores níveis de birrefringência e conseqüentemente
de tensões e deformações, não são observados no deslocamento cisalhante de pico. Apesar
dos ensaios não terem sido conduzidos até a dilatância máxima, acredita-se que esse ponto
corresponda ao maior nível de deformação localizado, quando para pequenos valores de
tensão normal o modelo tende ao equilíbrio estático pelo apoio nos pontos de contato e para
maiores níveis de carga normal à ruptura das asperezas.
Quando trabalhando com propriedades de descontinuidades, as tensões são calculadas
convencionalmente, isto é força divida pela área total. Isto é realizado devido às dificuldades
práticas na determinação da área de contato real, que pode ser menor em algumas ordens de
grandeza. De acordo com Fishman (1990), em descontinuidades os contatos das paredes
existem em um número limitado de pontos, geralmente entre 1 e 5% da área total.
Conseqüentemente, durante o cisalhamento somente uma parte das asperezas são colocadas
em ação, onde consideráveis tensões são concentradas.
Landanyi et al. em 1973 citado por Bandis (1990), apresentam uma variação da
Equação 2.9 da razão de área cisalhada (as), para a formulação de seu critério de resistência ao
cisalhamento máxima:
75,0
11
−−=
c
nsa σ
σ (6.3)
Essa equação estima para as tensões normais de 0,5; 1,0 e 2,0 MPa uma área de contato
na tensão cisalhante de pico de 0,6, 1,2 e 2,3% da área total da descontinuidade,
respectivamente. Barton & Choubey (1977) avaliaram que na resistência de pico a área real na
tensão cisalhante de pico é aproximadamente igual a:
JCSA
A n
total
real σ= (6.4)
133
Para as tensões normais de 0,5, 1,0 e 2,0 MPa tem-se uma área de contato na tensão
cisalhante de pico de 0,8, 1,5 e 3,1% da área total da descontinuidade. As estimativas obtidas
pela Equação 6.3 e 6.4 são próximas. O fato da área de contato no cisalhamento ser inferior à
área total da descontinuidade relaciona-se com a resistência das asperezas. Devido às altas
tensões nos contatos, as extremidades das asperezas provavelmente sofrerão ruptura, a não ser
quando a tensão normal total é relativamente baixa. Intuitivamente, a redução da área real no
cisalhamento pode ser observada nos registros fotográficos dos ensaios. Entretanto, a
determinação quantitativa dessa área exigiria a medição direta nos modelos, já que as
isocromáticas visíveis nas fotos representam zonas de influência dos contatos, dificultando a
quantificação das regiões de contato direto.
A distribuição dos contatos na descontinuidade de JRC igual a 3 é relativamente
uniforme quando comparados com padrão mais aleatório e variável dos contatos nas
descontinuidades de maior JRC.
A Figura 6.32 apresenta um gráfico que relaciona a máxima tensão cisalhante máxima
detectada no deslocamento tangencial de pico com a tensão normal para as três
descontinuidades ensaiadas. A Tabela 6.5 apresenta os dados que deram origem ao gráfico e
os valores das deformações cisalhantes máximas.
Tabela 6.5 - Máxima diferença entre deformações principais e tensão cisalhante máxima.
(εx –εy)máxima (µε)
τmáximo (MPa)
σn (MPa)
Plana JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15 Plana JRC = 3 JRC = 8 JRC = 150,5 1970 2610 2620 2630 2,05 2,72 2,73 2,74 1,0 1930 4310 4890 5310 2,01 4,49 5,10 5,53 2,0 2625 6900 8505 9510 2,74 7,19 8,86 9,91
As tensões apresentam aumento com a rugosidade e com a tensão normal. Para
descontinuidade plana o aumento é pequeno (0,69 MPa). O gradiente de aumento da tensão
cisalhante com a carga normal é maior para os maiores graus de rugosidade. A diferença entre
as tensões das descontinuidades com JRC de 3 e 15 na σn de 0,5 MPa foi de 0,02 MPa,
enquanto que para a σn de 2,0 MPa foi de 2,72 MPa.
134
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tensão normal (MPa)
Máx
ima
tens
ão c
isal
hant
e m
áxim
a (M
Pa)
JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15 Plana
Figura 6.32 - Evolução da máxima tensão cisalhante.
6.6 ESTUDO DO MODELO DE DESCONTINUIDADE REAL
As Figuras 6.33 e 6.34 apresentam as curvas tensão-deformação para a descontinuidade
de rocha e para o modelo desta em resina, respectivamente. Os ensaios na amostra de rocha
foram realizados com tensões normais de 2,0, 4,0 e 8,0 MPa. Devido ao equipamento e ao
menor módulo de deformabilidade da resina, os ensaios no modelo foram realizados com
tensões normais de 0,5, 1,0 e 2,0 MPa. Ressalta-se ainda que os ensaios em descontinuidade
real foram realizados em três diferentes amostras, o que leva a variações quanto à rugosidade
da superfície. O modelo foi obtido por moldagem a partir de uma quarta amostra.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 4,0 MPa 8,0 MPaTensões normais
Figura 6.33 - Gráficos tensão-deformação cisalhante para descontinuidade de biotita-xisto.
135
0
200
400
600
800
1000
1200
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Te
ns
ão c
isal
han
te (
kP
a)
2,0 MPa 1,0 MPa 0,5 MPaTensões normais
Figura 6.34 - Gráficos tensão-deformação cisalhante para modelo.
Não foi possível determinar a tensão de ruptura em todos os ensaios. Para os modelos,
somente na tensão normal de 0,5 MPa definiu-se a resistência à ruptura e nos ensaios em
rocha somente na tensão de 4,0 MPa. Na Figura 6.35 são plotados os pontos de máxima
tensão cisalhante (e não de ruptura) obtidas nos ensaios de cisalhamento. Não houve um bom
ajuste do critério de Barton & Choubey (1977) para a descontinuidade de rocha. Contribuíram
para isso o pequeno número de corpos-de-prova ensaiados e a indefinição das tensões de
ruptura.
Para a determinação do coeficiente de rugosidade foi realizada a retroanálise a partir da
Equação 2.6, utilizando-se para a descontinuidade de rocha o coeficiente de resistência das
paredes da descontinuidade de 113 MPa e ângulo de atrito básico de 21° (Tabela 5.3). Os
coeficientes de rugosidade (JRC) determinados foram de 4 e 5 para o modelo e para a rocha,
respectivamente. As diferenças podem ser devido à obtenção do modelo a partir de somente
uma das amostras.
O registro fotográfico da distribuição das isocromáticas para as três tensões normais de
ensaio e para diferentes deslocamentos horizontais encontra-se nas Figuras 6.36 a 6.38.
136
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Te ns ão Norm al (k Pa)
Te
ns
ão C
isal
han
te (
kP
a)
Modelo de resinaτ=σn.tg[4.log10(65/σn)+10º ]
Barton - Am ost ra de rocha τ=σn.tg[5.log10(113/σn)+21º ]
Figura 6.35 - Envoltórias de resistência para modelo e rocha.
Deslocamento horizontal = 0,0 mm Deslocamento horizontal = 1,0 mm
Deslocamento horizontal = 2,5 mm Deslocamento horizontal = 4,0 mm
Figura 6.36 - Distribuição de isocromáticas no ensaio de cisalhamento com tensão normal de 0,5 MPa.
137
Deslocamento horizontal = 0,0 mm Deslocamento horizontal = 1,8 mm
Deslocamento horizontal = 2,5 mm Deslocamento horizontal = 4,0 mm
Figura 6.37 - Distribuição de isocromáticas no ensaio de cisalhamento com tensão normal de 1,0 MPa.
Foi observado nos ensaios com o modelo o tombamento da caixa de cisalhamento
superior. No início dos ensaios, com a carga normal aplicada, o ângulo de inclinação ficou
entre 3 e 4°. No máximo deslocamento horizontal de ensaio essa inclinação atingia um ângulo
de aproximadamente 6°. Esse tombamento pode ser creditado ao processo de moldagem do
modelo. Inspeção cuidadosa nos moldes permitiram verificar leve abaulamento na face de um
dos moldes de gesso após o corte. Essa anomalia levou a uma diferença no encaixe entre as
duas metades do modelo de modo que ocorreu a inclinação da parte superior. Esse
tombamento da caixa superior contribui para os altos valores de birrefringência observados.
Infelizmente essa influência nos resultados não pôde ser determinada e na análise dos padrões
fotoelásticos não se considerou esse fato.
A evolução da tensão cisalhante máxima com o deslocamento pode ser visualizada na
Figura 6.39, para as três tensões normais de ensaio. Na mesma figura encontram-se as
máximas diferenças entre as deformações principais que estariam agindo caso o modelo fosse
substituído pela rocha (biotita-xisto). A taxa de aumento da tensão cisalhante máxima com o
deslocamento horizontal é praticamente a mesma para as tensões normais de 1,0 e 2,0 MPa.
138
Para a tensão normal de 0,5 MPa observou-se uma queda no valor da tensão cisalhante, para
os deslocamentos de 3,0 para 4,0 mm. Isso se deve a redistribuição de tensões entre as
asperezas, visto que não ocorre ruptura das mesmas. A Figura 6.36, quando se compara as
fotos de deslocamentos de 2,5 e 4,0 mm, mostram que as tensões concentradas próximas ao
ponto 32, estão sendo deslocadas para contatos nas proximidades do ponto 38.
Deslocamento horizontal = 0,0 mm Deslocamento horizontal = 1,0 mm
Deslocamento horizontal = 2,5 mm Deslocamento horizontal = 4,0 mm
Figura 6.38 - Distribuição de isocromáticas no ensaio de cisalhamento com tensão normal de 2,0 MPa.
Tensões cisalhantes de até 11,8 MPa foram registradas para a tensão de 2,0 MPa. Nas
leituras de incidência oblíqua realizadas foram observadas tensões de compressão de até 15,0
MPa (ponto 32 para tensão normal de 2,0 MPa) e tensões de tração de até 3,0 MPa (ponto
acima do 32 para tensão normal de 1,0 MPa).
139
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
De s locam e nto hor izontal (m m )
Máx
ima
ten
são
cis
alh
ante
m
áxim
a (M
Pa)
0
100
200
300
400
500
600
700
Máx
ima
dif
ere
nça
en
tre
d
efo
rmaç
õe
s p
rin
cip
ais
()
0,5 MPa 1,0 MPa 2,0 MPaTensões normais
Figura 6.39 - Evolução da máxima tensão cisalhante no modelo e da máxima diferença entre
deformações principais na rocha.
Caso as deformações fossem consideradas as mesmas na rocha (biotita-xisto), conforme
a Equação 5.5 as tensões agindo na rocha seriam 21 vezes superiores às observadas no
modelo, atingindo valores superiores a resistência à compressão da rocha. Por outro lado, a
distribuição de tensões no modelo fotoelástico é semelhante à distribuição na rocha para
idênticas condições de carga e de dimensões, sendo possível passar diretamente dos resultados
obtidos com o modelo para as tensões na rocha, já que as constantes elásticas dos materiais
não afetam em princípio a distribuição de tensões. Assim as deformações no modelo deveriam
ser multiplicadas por um fator de Emodelo/Erocha, igual a 1/21. Dessa forma, as máximas
deformações na rocha seriam aquelas indicadas na Figura 6.39.
140
7 CONCLUSÕES
7.1 MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DAS DESCONTINUIDADES
As formulações apresentadas para a modelagem do comportamento mecânico das
descontinuidades rochosas representam o atual conhecimento sobre a sua deformabilidade e
resistência. Maior enfoque foi dado ao modelo empírico de Barton e Bandis, que além de
consagrado, incorpora todos os aspectos do comportamento das descontinuidades e considera
o efeito de escala pela redução dos parâmetros de resistência com o aumento das dimensões
da descontinuidade. Por este motivo a interpretação dos ensaios fotoelásticos procurou
relacionar os resultados obtidos com os princípios deste modelo, sendo possível confirmar
diversos aspectos importantes do comportamento das descontinuidades.
7.2 ANÁLISE EXPERIMENTAL POR FOTOELASTICIDADE
A fotoelasticidade como método ótico para análise experimental da distribuição das
deformações e tensões apresentou perspectivas interessantes. A interpretação dos resultados
dos ensaios é extremamente ilustrativa. A técnica permite a visualização completa da
distribuição de isocromáticas, parâmetros que são diretamente associados com as deformações
e tensões geradas nos carregamentos. A simples visualização do modelo permite a
identificação de áreas críticas, realçando regiões com alto ou baixo nível de tensão e
potenciais áreas de ruptura. Em medidas pontuais permite a determinação da direção e da
diferença entre as deformações e tensões principais e seus valores individuais. É possível
ainda detectar plastificação e observar redistribuição de deformações na faixa plástica de
deformação, bem como medir tensões residuais. Devido à possibilidade de verificação da
ocorrência de deformações residuais é possível realizar ensaios com diferentes combinações
de carregamento sem novo revestimento ou fabricação de outro modelo.
Registros permanentes da distribuição das isocromáticas podem ser feitos por
fotografias. Neste trabalho foi realizado amplo registro fotográfico (aproximadamente 1000
fotos), utilizando máquina fotográfica digital, que facilitou a atividade posterior de análise.
Esse registro em conjunto com as medidas das direções principais, das diferenças de
deformações principais e dessas individualmente proporcionou uma ótima visualização do
desenvolvimento das deformações e tensões.
141
A aplicação da técnica da fotoelasticidade exige algum tempo de aprendizado do
usuário. A interpretação do padrão das franjas fotoelástica e a sua relação com o nível de
deformações e tensões exigem treinamento e prática por parte do operador. Atenção especial
deve ser dada à escolha do revestimento fotoelástico, tendo-se em vista os objetivos da análise
e o objeto ou modelo que será revestido. A correta escolha do material do qual o modelo será
fabricado também tem grande importância. Esse material deve ser o mais rígido possível, mas
fraco e deformável quando comparado com o material em estudo. A resina epóxi e o tipo de
revestimento fotoelástico utilizado neste trabalho mostraram-se adequados para a faixa de
tensões e resposta, em termos de isocromáticas, esperadas. Ressalta-se, entretanto, que o
manuseio e fabricação de modelos a partir da resina epóxi exigem estudos preliminares
quanto a porcentagem de catalisador e da temperatura e tempo de cura.
O correto preparo dos modelos foi necessário para não ocorrência de concentrações de
tensões devido a irregularidades. Os primeiros modelos serviram para avaliar os pontos que
mereciam maior atenção durante a preparação. Birrefringência nas extremidades e bordos dos
modelos era observada quando da aplicação de cargas normais. Esse problema foi contornado
com a preparação cuidadosa dessas regiões, através de corte, lixamento e regularização. A
colagem do revestimento quando má executada pode fazer com que durante os carregamentos
ocorram áreas sem a definição de birrefringência.
Os ensaios fotoelásticos exigiram a fabricação de uma caixa de cisalhamento que
permitisse a visualização e iluminação de toda a lateral do modelo, além da necessária
manutenção da estabilidade do modelo. A caixa utilizada mostrou-se adequada aos ensaios,
sendo observado inclinação da caixa superior somente para o ensaio com modelo da
descontinuidade real, devido a irregularidade no modelo.
A separação das deformações e tensões principais pela incidência oblíqua mostrou-se
bastante trabalhosa, exigindo habilidade e tempo do operador, além de ser limitada
fisicamente pela exigência do contato do adaptador com o ponto de estudo. Entretanto,
considerou-se essa opção mais satisfatória do que a definição das direções principais pela
fotoelasticidade para a orientação posterior de “strain gages” na obtenção das deformações
principais individualmente.
Apesar deste trabalho não contemplar a análise numérica dos casos estudados
experimentalmente, o trabalho conjunto da modelagem numérica e experimental parece ser
vantajoso. Não somente uma valida a outra como também fornecem informações
complementares reduzindo o trabalho de análise. Os resultados de fotoelasticidade permitem
o refinamento da malha dos elementos finitos em regiões críticas e os resultados numéricos
142
reduzem a necessidade de esforço experimental em casos especiais que sejam de difícil
obtenção em laboratório. Assim, poder-se-ia realizar a simulação numérica das
descontinuidades em ensaios de cisalhamento direto, com utilização do modelo de Barton-
Bandis, reproduzindo os mesmos perfis de rugosidade empregados nos ensaios fotoelásticos,
permitindo a comparação das distribuições de tensões obtidas pelos dois métodos.
7.3 ANÁLISE FOTOELÁSTICA DOS ENSAIOS
Neste trabalho foram realizados ensaios de cisalhamento em três modelos
representativos de descontinuidades com diferentes graus de rugosidade, além de uma
superfície plana e um modelo fabricado a partir de uma descontinuidade real. Os ensaios com
superfície plana serviram para definir a influência das condições de fronteira. Durante o
carregamento normal foi observado algum nível de birrefringência na parte inferior dos
modelos devido à situação de confinamento.
Durante a compressão uniaxial foi observada a concentração de tensões em pequenas
áreas e a ocorrência de dois mecanismos durante a compressão: aumento progressivo da carga
nos pontos de contato pré-existentes e criação de novos contatos. O número de novas áreas de
contato foi maior para as descontinuidades rugosas do que para a de menor grau de
rugosidade. Para esta última os pontos de contato pré-existentes estendem-se lateralmente.
Além disso, a rugosidade controla a largura e espaçamento médio destas zonas, ambas
maiores para descontinuidades mais lisas. Quando deslocadas, observou-se que a criação de
pontos ocorre em menor proporção, mas com maiores tensões transmitidas nos contatos.
As observações do comportamento das isocromáticas sob tensão normal podem ser
relacionadas com a rigidez da descontinuidade rugosa, para a qual o número de contatos, sua
largura e a distribuição do seu espaçamento são importantes parâmetros de controle. A rigidez
normal da descontinuidade reflete a natureza dos contatos entre as paredes opostas, a
justaposição das rugosidades, a resistência e deformabilidade da rocha intacta adjacente a
descontinuidade.
Os ensaios fotoelásticos permitiram acompanhar a redistribuição das deformações com
o cisalhamento por meio da variação na configuração das isocromáticas e isoclínicas. O
fenômeno da dilatância e a conseqüente redução de área puderam ser visualizados e a
fotoelasticidade permitiu avaliar a sua influência na redistribuição de tensões. Essa
distribuição é não uniforme com variações quanto ao tipo (compressão ou tração), magnitudes
e direções principais, sendo conseqüência do nível de tensão normal, do nível de
143
deslocamento no cisalhamento e da rugosidade da superfície. O aumento desses fatores
representa aumento das tensões no modelo.
Outros aspectos importantes do comportamento ao cisalhamento das descontinuidades
puderam ser observados nos ensaios. A partir da redistribuição das isocromáticas foi possível
visualizar a mobilização do atrito com o início do cisalhamento e posteriormente da
rugosidade. Os maiores níveis de tensão não ocorreram no deslocamento de pico e
continuaram a aumentar até a finalização dos ensaios. Apesar de não realizar os ensaios até a
dilatância máxima, esse ponto provavelmente corresponde ao de maior nível de deformação,
antecedendo a ruptura das irregularidades e diminuição da dilatância.
Os ensaios conduzidos no modelo da descontinuidade de biotita-xisto permitiram
verificar a real distribuição das tensões em sua superfície e a sua variação com as solicitações.
O modelo foi obtido por moldagem a partir de somente uma amostra. Melhor representação
poderia ser alcançada com modelos obtidos a partir de todos os corpos-de-prova de rocha
ensaiados, de modo a melhor relacionar os resultados em modelos com os resultados da
descontinuidade real. Apesar disso o coeficiente de rugosidade obtido para o modelo foi
semelhante ao da descontinuidade real (quatro e cinco, respectivamente), principal objetivo da
réplica. A obtenção da morfologia detalhada da superfície da descontinuidade pela utilização
de modelos fotoelásticos mostrou-se bastante confiável e forneceu informações adicionais
quanto ao seu comportamento.
As principais limitações dos estudos realizados em modelos fotoelásticos são as da
escala dos modelos, já que os ensaios foram restritos a corpos-de-prova de 13,0 cm de
comprimento, da análise do problema para uma condição de tensão plana, enquanto que o
problema é sabidamente de natureza tridimensional e de que as relações que permitem o
cálculo das tensões a partir da análise fotoelástica são válidas somente para deformações
elásticas.
7.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS
Para um melhor entendimento dos mecanismos envolvidos na resposta das
descontinuidades aos esforços de compressão e cisalhamento, recomenda-se para pesquisas
futuras:
• Condução dos ensaios de cisalhamento direto com um deslocamento que atinja a
resistência última, permitindo a observação da distribuição das isocromáticas e a sua
evolução no intervalo de pós-pico.
144
• Aprimorar a obtenção de réplicas para a fabricação de modelos que representem de forma
mais acurada o perfil de rugosidade de descontinuidades naturais.
• Realizar ensaios em modelos com perfil de rugosidade com formas regulares e irregulares,
como os utilizados por Patton (1966), procurando um melhor entendimento do modo de
ruptura local das asperezas.
• Realizar simulação numérica dos casos estudados. A análise conjunta dos resultados
obtidos com a simulação numérica e ensaios fotoelásticos serviria para a calibração e
ajuste da simulação numérica das descontinuidades.
145
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