usando a lei de coulomb

Electrostática03/04

Universidade de Aveiro

Enquadramento Teórico da ElectrostáticaProblema Seleccionado Conclusão

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e TelecomunicaçõesElectrostática

Estrutura OrganizacionalEstrutura Organizacional

Cálculo VectorialExtra:

Enquadramento Teórico da Electrostática

Conclusão

A Electrostática dedica-se ao estudo dos fenómenos associados às cargas eléctricas em repouso.

Desde há milhares de anos que fenómenos electrostáticos têm vindo a ser documentados. O acontecimento mais antigo que se conhece provém da Grécia Antiga, mais propriamente, do século VI A.C., pelo filósofo Táles de Mileto. Verificou que um pedaço de âmbar obtinha a propriedade de atrair pequenos objectos quando friccionado por um pano de lã (exemplo).

No entanto, tudo o que se sabia sobre a electrostática e força eléctrica era qualitativo, apenas era possível descrever o que se observava nas experiências. Não era possível medir as forças intervenientes nem quantidade de cargas.

Mas o grande avanço quantitativo foi dado pelo francês Charles Coulomb (1736-1806). Foi este cientista que desenvolveu um método e um aparelho para medir a força entre duas cargas eléctricas. O aparelho chama-se balança de torção.

Problema Seleccionado



A Balança de Torção de Coulomb

Sugestão: Tente construir uma Balança de Torção, substituindo, é claro, os materiais mais caros e difíceis de obter por outros mais baratos.


A balança de Coulomb tem 1 metro de altura e é constituída por um tubo cilíndrico assente noutro cilindro mais largo, ambos em vidro e ocos.

No topo existe um micrómetro e um sistema de fixação do fio de prata. O fio passa pelo interior do tubo mais estreito e sustenta na extremidade um peso e um braço horizontal. Numa das extremidades deste braço está uma bola de medula de sabugueiro com 5 mm de diâmetro e na outra um disco de papel com funções de equilíbrio do braço e de redução de oscilações. Outro fio suportando outra bola idêntica está introduzido no cilindro inferior (esta bola ficará “fixa”).

No interior e a meio da parede do cilindro inferior existe um papel com uma escala graduada. O “zero” do aparelho obtém-se alinhando visualmente o primeiro fio com o zero da escala graduada, rodando o micrómetro. As duas esferas devem ficar em contato.

Universidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e Telecomunicações

Enquadramento Teórico da ElectrostáticaProblema SeleccionadoConclusão

(a) Força de Coulomb

(d) Potencial

(e) Equação de Laplace e de Poisson

(c) Lei de Gauss

(b) Campo Eléctrico

Electrostática

Acetato 21

Força de Coulomb:

Charles Coulomb (1736-1806), foi o físico francês que elaborou experiências que lhe permitiram chegar à seguinte conclusão:“Quando se consideram dois corpos carregados (supostamente pontuais), a intensidade das forças atractivas ou repulsivas que se exercem entre si, são directamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre elas, a intensidade dessas forças também depende do meio em que as cargas se encontram.”

Sendo assim a expressão matemática que representa o enunciado anterior é:

(eq. 1-1)NrqqKFe 2

21. .


Nesta expressão as variáveis presentes representam:

_q1 e q2: valor das cargas (em coulomb) que interagem, tomando estas, o seu sinal negativo ou positivo;

_r: valor da distância (em metros) que separa as cargas q1 e q2, supostamente pontuais;

_ : (←LINK) constante de proporcionalidade correspondente ao meio onde se encontram as cargas, no vazio, esta constante toma o valor de 8.9874*109 N*m2/C2.


K


As forças aplicadas em cada uma das cargas representam a força eléctrica que uma carga exerce sobre a outra, ou seja:

é a força eléctrica exercida pela carga q1 na carga q2, o vector que representa essa força é desenhado em q2.

21F

+ +q 1 q 2

12F

21F

- +q 1 q 2

12F

21F

12r̂

21r̂

Obtenção da Constante de Coulomb:

Recordando a expressão que traduz a Lei de Coulomb:

(eq. 1-2)

Vemos que existe uma constante k, que se chama Constante de Coulomb. O seu valor pode ser obtido da seguinte forma através de outras três constantes. Essas constantes são: c – velocidade da luz, 0 – permitividade eléctrica do espaço livre e 0 – permitividade magnética do espaço livre.

A permitividade magnética do meio é tida como tendo o exacto valor de:

(eq. 1-3)

221

rqq

kF

270 /104 AN


Como a expressão da velocidade da luz relaciona as três constantes referidas:

, onde c = 2.99792458 x 108 m/s 3 x 108 m/s (eq. 1-4)

Então é possível, a partir da (eq. 1-4) obter o valor da permitividade eléctrica no espaço livre:

0 = 8.854187817 x 10-12 F/m 8.85 x 10-12 F/m

A constante de Coulomb é dada pela expressão:

(eq. 1-5)

00

1

c

041

k


Fazendo as respectivas substituições obtemos o valor de k:

N m2/C2 = Constante de Coulomb.

Ainda é importante lembrar que as constantes 0 e 0 são referentes ao espaço livre, caso o espaço a considerar seja dieléctrico ou magnético, os seus valores, bem como, os seus nomes são diferentes: permitividade relativa do Campo Eléctrico e Magnético, respectivamente.

910987552.8 k


Campo Eléctrico de uma Carga Pontual:

Através da Lei de Coulomb, é possível calcular o Campo Eléctrico gerado por uma carga pontual num determinado ponto no espaço, aliás este é o método mais usual de o fazer.

Sabendo que a Lei de Coulomb calcula a força eléctrica exercida entre duas cargas pontuais, q1 e q2, para obter o Campo Eléctrico num determinado ponto do espaço, basta considerar uma delas como a carga fonte, seja q1. Dividindo por q2 a expressão que traduz a Lei de Coulomb obtemos o Campo Eléctrico criado pela carga pontual q1 no ponto P, como a seguir se mostra, sendo q1 a carga fonte e dividindo em ambos os lados da equação por q2:

rrqkEr

rqk

qF

rrqqk

qqFr

rqqkF

ˆˆ

ˆ1ˆ

21

121

2

21

221

22

212

2121


Lei de Gauss:

Johann Gauss (1777-1855) estabeleceu a lei que permite calcular o fluxo de campo eléctrico através de uma superfície. No entanto, existem limitações à sua utilização. Para que o seu uso seja eficiente, é necessário que o produto escalar entre o vector campo eléctrico e o vector perpendicular à superfície seja facilmente obtido e que a superfície em causa seja fechada (superfície gaussiana).

Facilmente se conclui que se a distribuição de cargas apresentar grande simetria, estaremos numa situação privilegiada para usar a Lei de Gauss.

Definindo os vários tipos de simetria, temos:_ simetria planar;_ simetria cilíndrica ou axial;_ simetria esférica.



E

Sd

_0 : constante de permeabilidade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2;

_ : vector de campo eléctrico;_ : vector perpendicular à superfície gaussiana;_ : fluxo de campo eléctrico através de uma superfície fechada.

Supondo que a carga q está envolvida por uma superfície fechada, a Lei de Gauss estabelece que:

Nesta equação, as variáveis são:

0

QS.dE

EsferaCarregada

Superfície deGauss

sd

sd

sd

sd

sd

sd

sd

sd

E

E

E

E

E

E

E

E


Potencial Eléctrico:

Potencial Eléctrico é a designação mais comum para: Energia Potencial por Unidade de Carga.

(eq. 1-6)

Mas é também, uma propriedade de um ponto P qualquer, que se situe no espaço vizinho ao da carga q.

(eq. 1-7)

)(1)(1)(1CCoulombJJouleVvolt

rqV

041

.


Nesta expressão as variáveis presentes representam:

_: constante matemática, que representa o valor 3,1415;_0: constante de permitividade do vazio, o seu valor é 8,854187817*10-12 C2N-1m-2;_q: valor da carga (em coulomb) presente no corpo;_r: distância (em metros) da carga q ao ponto P;

Ou seja, independentemente da quantidade de carga existente num determinado ponto, o seu potencial é sempre o mesmo, na medida em que se aumentarmos o número de cargas no ponto P também estaremos a aumentar a energia o mesmo número de vezes. Finalizando, se um corpo possui 100 unidades de carga, a sua energia será 100 vezes maior, logo a sua energia por unidade de carga será a mesma que um corpo que tenha apenas uma unidade de carga.


Equação de Laplace:

A equação de Laplace é útil para o cálculo do Potencial Eléctrico numa região do espaço livre de cargas, e essa relação é apresentada da seguinte forma:

(eq. 1-8)

Esta operação matemática denomina-se por divergência do gradiente de uma função, mas é mais conhecida por Laplaciano. O Laplaciano pode ser expresso em vários sistemas de coordenadas para desta forma se retirar partido de uma distribuição de cargas simétrica. De seguida é apresentado o Laplaciano em coordenadas esféricas, por ser esta a forma mais simples de calculo do Potencial Eléctrico V, para o caso que estamos a tratar – Densidade de Carga esférica.

(eq. 1-9)

02 E

0cot2sin11

22

2

222

2

22

22

Vrg

rV

rV

rV

rrVV


Equação de Poisson:

A utilidade da equação de Poisson é semelhante à anterior, também nos permite calcular o Potencial Eléctrico, mas numa região do espaço onde existem cargas. Assim, esta nova relação é apresentada da seguinte maneira:

(eq. 3)

Da mesma forma, que no caso anterior, é possível a representação da Equação de Poisson noutros sistemas de coordenadas. Aqui apenas indicaremos que basta igualar o Laplaciano (eq. 5) ao valor -4.

42 V


CAMPO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGA UNIFORME

Como exemplo iremos calcular a intensidade campo eléctrico E , tanto dentro como fora da distribuição esférica de carga uniforme, usando os métodos (a), (b), (c) e (d). A distribuição tem um raio R e uma densidade volúmica de carga eléctrica . O nosso problema é encontrar a intensidade de campo eléctrico como função da distância r do centro O da esfera ao ponto P. Deverá ser óbvio, por simetria, que deverá ser independente das outras duas coordenadas esféricas e . Usamos o índice 0 para indicar que estamos a calcular o campo fora da distribuição de carga, e o índice i para indicar que estamos a calcular o campo no interior da distribuição de carga.


•Cálculo de usando a Lei de Coulomb:E

•Cálculo de usando o Potencial:E

•Cálculo de usando a equação de Laplace:E

•Cálculo de usando a Lei de Gauss:E


Problema SeleccionadoConclusão




CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:

CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:


CAMPO NUM PONTO EXTERIOR:OE

Podemos encontrar a contribuição para E0 devido à carga dr’ no elemento de volume dr’ e depois integrar a expressão resultante por toda a esfera. É conveniente usar coordenadas esféricas, visto que a carga tem simetria esférica.

Assim, o elemento de volume é .A carga neste volume produz um campo no ponto P que se direcciona

afastando-se do elemento de volume se >0, e aproxima-se se <0. A sua magnitude, em módulo, será:

(eq. 2-33)

dsenrdrdr '''''

2

23 '''''

41

sdddrsenred

OO

Usando a Lei de Coulomb


onde s é a distância do elemento de volume ao ponto P. O eixo ao longo do qual =0 pode ser assumido como a linha OP. O elemento de intensidade de campo eléctrico é escrito como d3O, visto ser uma diferencial de 3ª ordem.Deveria ser óbvio, através da simetria de distribuição de carga, que E0 tem de ser radial. Por exemplo, enquanto o elemento de carga mostrado na figura 2-5 produz um campo eléctrico de intensidade d3O que não é ao longo do raio OP, existe outro elemento de carga simetricamente colocado que produz um campo simetricamente orientado com a mesma magnitude, e o resultado é um campo ao longo de OP.Sendo assim, consideremos apenas a componente radial de O, e:

(eq. 2-34)

cos'''''4

12

23

sdddrsenred

OO


R

O

P

'

r

s

r'

Figura 2-5. Um elemento de carga no ponto (’,) dentro de uma distribuição de carga esférica uniforme produz um elemento de intensidade de campo electrostático no ponto P fora da esfera. A projecção de no eixo que cruza P e o centro da esfera é .

'3OEd

'3OEd

'3OEd


A integração sobre o ângulo de rotação ’ em volta de OP é linear, e o ângulo ’ varia entre 0 e 2. Podemos levar a cabo as outras duas integrações usando r’ e s como variáveis independentes. Para o fazermos eliminamos a com a ajuda da lei do coseno.

(eq. 2-35)

De igual modo:

(eq. 2-36)

rsrrs

2

'cos222

rrsrr

'2

''cos222


Agora desejamos eliminar sen’.d’ da expressão para d3EO. Podemos determinar sen’.d’ em função de r’, r, s por diferenciação da equação anterior. Aqui temos de nos lembrar que r é uma constante e que r’ é tomada como constante quando da integração da eq. 2-36, tomando ambas r e r’ como constantes, e assim:

(eq. 2-37)

Se substituirmos as equações 2-35 e 2-37 na equação 2-34 e integrarmos:

(eq. 2-38)

(eq. 2-39)

rr'dss'd'sen

Rr

r

rrs

rrsO

O drdssrrrE

'

0'

'

' 2

22

''1'4

1

1212

3

ˆ4

1ˆ)3/4(4

1 rrQr

rRE

OOO


Onde Q é a carga total (4/3)R3, e onde é o versor direccionado para fora.

O vector é direccionado para fora ao longo de OP de Q>0, e para dentro ao longo de OP se Q<0.

Este resultado é o mesmo como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.

1̂r

OE



Usando o PotencialPara calcular a intensidade do campo através do potencial VO usamos

o mesmo elemento de carga anterior.Assim, pela definição de VO:

(eq. 2-40)

Agora não existe o elemento cos(), visto que VO é um escalar. Para executar a integração, integramos ’ e integramos através de ’, s e r’ como fizemos anteriormente. O resultado é:

(eq. 2-41)

OE

sdddrsenrVd

OO

'''''4

1 23

rQV

OO

41


O potencial eléctrico VO, como EO, é o mesmo tal como se a carga Q estivesse concentrada no centro da esfera.Para calcular , calculemos . Por simetria, tem de ser radial, assim:

(eq.2-42)

Como anteriormente.

OE

OV

OE

121 ˆ4

1ˆ rrQr

rV

VEO

OOO



Usando a Equação de LaplacePor hipótese, =0 fora da esfera, e:

(eq. 2-43)

Agora por simetria, VO é independente de e .Portanto:

(eq. 2-44)

(eq. 2-45)

(eq. 2-46)Onde A é uma constante de integração. Deveremos determinar o seu

valor mais tarde, após sabermos o valor de .

02 OV

2

2

22 01

rAE

rA

rV

rV

rrr

O

O

O

iE



Usando a Lei de GaussA maneira mais simples de calcular a intensidade do campo eléctrico

neste caso é usar a Lei de Gauss.Considerando uma esfera imaginária de raio r>R concêntrica à esfera

carregada. Nós sabemos que tem de ser radial. Assim, de acordo com a Lei de Gauss:

(eq. 2-47)

(eq. 2-48)

Se a carga não fosse distribuída uniformemente e simetricamente, seria uma função de e , e não seria constante através da esfera imaginária. A Lei de Gauss só daria o valor médio da componente normal de através da esfera imaginária.

OE

12

2

ˆ4

1

4

rrQE

QEr

OO

OO

OE

OE


CAMPO NUM PONTO INTERIOR:iE

Vamos calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto P no interior da distribuição de carga, como na figura 2-6. Podemos prosseguir como no caso do ponto externo, primeiro escrevemos a contribuição de uma elemento de carga, tanto para como para Vi, e depois integrar para toda a distribuição de carga. No entanto, como a integração é difícil de executar, simplificaremos o problema dividindo-o em duas partes distintas.

Desenhemos uma esfera imaginária de raio r, que passa pelo ponto P, figura 2-6, para dividir a distribuição de cargas em duas partes. Depois calculemos a intensidade de campo eléctrico devido à carga contida na esfera de raio r e depois devido à carga na esfera oca exterior, com raio interior r e raio exterior R. Pelo princípio da sobreposição, a intensidade de campo resultante para os dois sistemas de cargas terá de ser a soma vectorial das duas componentes da intensidade do campo.


A separação da carga em duas partes é especialmente vantajosa neste caso porque, como veremos, o campo produzido pela esfera oca exterior num ponto da sua superfície interna, em qualquer ponto da concavidade, é zero. Isto pode ser demonstrado do seguinte modo sem integrar.

Desenhemos um pequeno cone com um ângulo sólido d, tendo o seu vértice no ponto P e estendendo-o em ambas as direcções, figura 2-6, e consideremos os volumes que estes pequenos cones interceptam, dentro da concavidade interna de raio r’ e espessura dr’, concêntrica à esfera. A distância entre estes dois volumes e P são s1 e s2.




O

P

R

r'

r

dr'

d

s 1

s 2

Figura 2-6. Para encontrar a intensidade do campo no ponto P dentro de uma distribuição uniforme de carga esférica, dividimos a esfera numa concha e num núcleo com a ajuda de uma esfera imaginária de raio r. Assim, qualquer par de elementos de volume, tais como os mostrados na concha produzem os mesmos campos no ponto P, mas opostos. O campo no ponto P é assim devido somente às cargas do núcleo. A imagem mostra um dos elementos de volume em detalhe.


Na esquerda o elemento de volume é:

, (eq. 2-49)

e na direita é :

. (eq. 2-50)

A carga no elemento de volume esquerdo contribui, em P, com um campo de magnitude:

, (eq. 2-51)

que é direccionado para o exterior se >0.

'cos

212 drds

d L

'cos

222 drds

d R

'cos4

21

21

2 drds

sEd

Oi


Do mesmo modo, a carga na direita contribui com um campo idêntico, oposto em direcção, como resultado os dois campos anulam-se. Como este resultado é válido para qualquer d e qualquer dr’, o campo devido à parte oca da esfera num ponto da superfície interior, ou qualquer ponto dentro da concavidade, é zero.

Um modo mais simples de demonstrar que o campo é nulo num ponto interior de uma esfera oca é usar a Lei de Gauss. Imagine uma esfera concêntrica no interior da concavidade. De acordo com a Lei de Gauss, a média da intensidade do campo eléctrico através desta superfície é zero, visto não haver cargas no seu interior. Agora, a simetria do problema, obriga que o campo eléctrico, se existir, seja radial e o mesmo por toda a superfície da esfera. Assim a intensidade do campo eléctrico tem de ser zero em todos os pontos em qualquer superfície esférica dentro da concavidade.



Com o campo eléctrico dentro da concavidade oca da esfera excluído desta forma, podemos calcular a contribuição do que é devido à esfera interna de raio r, tal como fizemos no caso do ponto externo.

. (eq. 2-52)

Assim, a intensidade do campo eléctrico cresce linearmente com r, dentro da distribuição esférica de carga.

Usando a Lei de Coulomb

iE

112

3

ˆ3

ˆ)3/4(4

1 rrrrrE

OOi



Usando o PotencialPodemos chegar ao mesmo resultado começando por calcular o potencial

Vi como função de r dentro da distribuição de carga. Para o fazer poderíamos avançar por integração directa. No entanto, será de novo mais fácil e mais instrutivo dividir a distribuição de carga em duas partes como anteriormente.

Consideremos em primeiro lugar a esfera oca. Vimos que não há campo eléctrico no interior da concavidade oca da esfera de carga. Assim todos os pontos dentro da concavidade deverão estar todos com o mesmo potencial e, em vez de calcular o potencial num ponto interior à superfície da concha, podemos calcular o potencial no centro da concha, onde a integração é mais facilmente executada. Escolhemos para este volume elementar uma concha fina de raio r’ e espessura dr’. Assim a parte de Vi devido à esfera oca é:

OE


(eq. 2-53)

De seguida calculemos o potencial devido à esfera de raio r. Os cálculos são os memsos para o ponto exterior, e podemos usar a eq. 2-41. Este termo é:

. (eq. 2-54)

Somando estas duas contribuições, obtemos o potencial Vi num raio r dentro da distribuição esférica de carga:

(eq. 2-55)

222

2'''4

41 rR

rdrr

O

R

rO

23

3)3/4(

41 r

rr

OO

62

22 rRVO

i


O potencial Vi, também pode ser escrito como:

(eq. 2-56)

Onde o 2º termo é o potencial na superfície da esfera, e o 1º termo é o incremento acima do valor da superfície para os pontos interiores.

Assim:

. (eq. 2-57)

R

QrRQVOO

i 424

22

11 ˆ3

ˆ rrrrV

VEo

iii



Usando a Equação de PoissonAgora temos dentro da distribuição de carga,

(eq. 2-58)

(eq. 2-59)

(eq. 2-60)

(eq. 2-61)

(eq. 2-62)

Onde B é uma constante de integração.

OiV

2

O

i

rV

rrr

2

2

1

22 rrV

rr O

i

BrrV

rO

i

3

32

2_3 r

BrEO

i


É intuitivamente óbvio que não se pode tornar infinito no centro de uma distribuição de carga uniforme e esférica, portanto B tem de ser zero, e:

. (eq. 2-63)

Encontramo-nos, agora, em posição de encontrar o valor da constante de integração A, quando calculámos com a equação de Laplace. Não deveriam os dois valores encontrados para a intensidade de campo , um válido no interior e outro válido no exterior (eq. 2-39 e eq. 2-52), serem iguais na superfície? De acordo com a Lei de Gauss, eles poderiam ser diferentes se tivéssemos uma distribuição de densidade de carga superficial como na superfície de um condutor carregado. Mas, assumimos, que a esfera carregada tem uma densidade volúmica de carga uniforme () para fora do raio R e assim não poderá haver descontinuidade em:

1̂3rrE

Oi


na superfície. Assim os nossos dois valores de têm de ser iguais na

superfície:

(eq. 2-64)

(eq. 2_65)

e a equação 2-46 dá, de facto, o correcto valor para .

rVE

E

OO

ORr

QRA

RRAE

43

23

2

OE



Usando a Lei de GaussPara calcular a intensidade de campo eléctrico num ponto interior a partir

da Lei de Gauss, desenhemos uma esfera imaginária de raio r através do ponto P.A simetria requer que a intensidade de campo eléctrico seja radial, assim:

(eq. 2-66)

(eq. 2-67)

como anteriormente.

A figura 2-7 mostra e V para a nossa distribuição de carga de raio R, como função da distância radial r.

E

1

3

ˆ3

,)3/4(4

rrE

r

Oi

Oi


Exemplos (Matlab) :

Potencial

Campo Eléctrico




Nota:Nota: Estes exemplos só podem ser usados com o programa Matlab.


clear

x=[ ]y=[ ]

disp('O valor de')

E0=8.85e-12 %E0=Constante

R = input('Valor do Raio R[0-5]: ')

while (R<=0 | R>5)

if (R<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (R>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') R = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') end end

IT = input('Precisão 0 - R : ')

Q = input('Valor da carga da esfera (Q=400 ideal) : ')for r = 0:IT:R; x=[x,r]; %Imprimir valores y=[y,((1/E0)*(((R^2)/2)-((r^2)/6)))]; %no ecran end

N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')

while (N1<=R | N1>30)

if (N1<=R) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') end end

ITI = input('Precisão R - R1 : ')

for R = (r):ITI:N1; %Valores para o Raio [5-10] com precisao de 0.5 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((Q)/(4*pi*E0*R))]; %no ecran end

plot (x,y,'b')

xlabel('t(s)')ylabel('V')legend('linha do Potencial V')

title('Potencial Eléctrico')


clear

x=[ ]y=[ ]

disp('O valor de')

E0=8.85e-12 %E0=Constante

N = input('Valor do Raio R[0-5]: ')

while (N<=0 | N>5)

if (N<=0) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') elseif (N>5) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N = input('Valor do Raio R[>0-5]: ') end endIT = input('Precisão 0 - R : ')

for R = 0:IT:N; %Valores para o Raio x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((1*R)/(3*E0))]; %no ecran end

T=(N-0.1)

N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ')

while (N1<=N | N1>30)

if (N1<=N) disp('O valor não se encontra na gama pretendida') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') elseif (N1>30) disp('O valor excedeu o raio pretendido') N1 = input('Valor do Raio R1[R-30]: ') end end

ITI = input('Precisão R - R1 : ')

for R = T:ITI:N1; %Valores para o Raio1 x=[x,R]; %Imprimir valores y=[y,((400)/(4*pi*E0*R^2))]; %no ecran end

plot (x,y,'b')

xlabel('t(s)')ylabel('E')legend('linha do campo E')

title('Campo Eléctrico')

Gráficos:V

E

RO r

O

R

2

2

O

R

3

2

O

R3


Craizer, Marcos e Tavares, Geovan (2002). Cálculo Integral a Várias Variáveis. Brasil: Edições Loyola.

Mendiratta, Sushil Kumar (1995).Introdução ao Electromagnetismo 2ª Edição. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian.

Brito, Lucília; Fiolhais, Manuel e Providência, Constança (1999). Campo Electromagnético. Portugal: McGraw-Hill de Portugal, Lda.

Ehrlich, Robert; Tuszynski, Jaroslaw; Roelofs, Lyle e Stoner, Ronald (1995). Electricity and Magnetism Simulations – CUPS. Canada: John Wiley & Sons, Inc.

BibliografiaUniversidade de Aveiro - Departamento de Electrónica e TelecomunicaçõesElectrostática

R

O

P

'

r

s

r'


O

P

R

r'

r

dr'

d

s 1

s 2


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Exemplo:


Existem vários materiais que podemos friccionar, os quais adquirem a propriedade magnética. Como foi relatado na experiência, o âmbar já é conhecido há vários séculos, mas é possível executar a mesma experiência com canetas de plástico, pedaços de vidro (cuidado com as arestas), mas será possível magnetizar metais da mesma forma, por fricção? Experimentem!!!


Conclusão

CAMPO E0 NUM PONTO EXTERIOR:

CAMPO Ei NUM PONTO INTERIOR:

Problema Seleccionado


usando a lei de coulomb

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