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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE LIMITE DE PROBLEMAS GEOTÉCNICOS COM ELEMENTOS FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS
LENILDO SANTOS DA SILVA
ORIENTADORES: MÁRCIO MUNIZ FARIAS CARMEN LUCIA SAHLIT
TESE DE DOUTORADO EM GEOTECNIA
PUBLICAÇÃO: G.TD-016/03
BRASÍLIA / DF: JUNHO/2003
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
ANÁLISE LIMITE DE PROBLEMAS GEOTÉCNICOS COM ELEMENTOS FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS
LENILDO SANTOS DA SILVA
TESE DE DOUTORADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR. APROVADA POR: ________________________________________ MÁRCIO MUNIZ FARIAS, Ph.D. (UnB) (ORIENTADOR) _________________________________________ CARMEN LUCIA SAHLIT, Ph.D. (UnB) (ORIENTADORA) _________________________________________ ANDRÉ PACHECO ASSIS, Ph.D. (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ ENNIO MARQUES PALMEIRA, Ph.D. (UnB) (EXAMINADOR INTERNO) _________________________________________ ALDO DURAND FARFÁN, D.Sc (UENF) (EXAMINADOR EXTERNO) _________________________________________ ELDON LONDE MELLO, Ph.D. (UnB) (EXAMINADOR EXTERNO) DATA: BRASÍLIA/DF, 27 DE JUNHO DE 2003.
ii
FICHA CATALOGRÁFICA SANTOS DA SILVA, LENILDO ANÁLISE LIMITE DE PROBLEMAS GEOTÉCNICOS COM ELEMENTOS
FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS [Distrito Federal] 2003 xx, 127 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Doutor, Geotecnia, 2003) Tese de Doutorado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil 1. Análise limite 2. Desenvolvimento de software 3. Elementos finitos mistos e híbridos 4. Geotecnia I. ENC/FT/UnB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA SANTOS DA SILVA, L. (2003). Análise limite de problemas geotécnicos com elementos finitos mistos e híbridos. Tese de Doutorado, Publicação G.TD-016/03, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 127 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Lenildo Santos da Silva TÍTULO DA TESE DE DOUTORADO: Análise limite de problemas geotécnicos com elementos finitos mistos e híbridos. GRAU / ANO: Doutor / 2003 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta tese de doutorado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Lenildo Santos da Silva SQN 410 – Bloco B – Ap. 105 70.865-020 - Brasília/DF - Brasil
iii
DEDICATÓRIA
À minha família com amor e carinho.
iv
AGRADECIMENTOS Aos meus pais Eunice e Laécio, pela forma amorosa e honesta com que me prepararam
para a vida.
Aos meus irmãos e sobrinhos, por todo incentivo ao longo desta jornada.
À Ariana, pelo amor e incentivo.
Aos meus filhos Letícia e Lucas, pelas tantas horas de felicidade que me proporcionaram.
Ao amigo Márcio Buzar, pelos estudos do elemento finito híbrido.
Aos amigos Mário, Neil, Marco e Pantoja, que com amizade me incentivaram.
Aos professores e colegas do Programa de Pós-graduação em geotecnia, pelo apoio e
amizade durante todo o curso.
Ao prof. José Henrique Feitosa, pelo bom humor em todas as horas (in memorian).
À profa. Carmen Sahlit, pela sua orientação neste trabalho e, sobretudo, pela participação
fundamental que tem na minha formação como pesquisador.
Ao prof. Márcio Muniz, que com a sua orientação e compreensão viabilizou a realização
deste trabalho.
Ao CNPq pelo apoio financeiro.
À Deus, pela vida.
v
ANÁLISE LIMITE DE PROBLEMAS GEOTÉCNICOS COM
ELEMENTOS FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS
RESUMO
Em muitas aplicações práticas na engenharia geotécnica é de interesse se obter a máxima carga suportada por uma determinada estrutura, a partir da qual se pode definir a carga de trabalho conveniente que garanta uma margem de segurança adequada, considerando-se o menor custo possível. Soluções analíticas baseadas nos teoremas da análise plástica fornecem limites superiores e inferiores para a carga de colapso. Entretanto, dependendo da complexidade do problema, as referidas soluções analíticas podem não ser disponíveis ou podem apresentar uma grande diferença entre os limites superior e inferior da carga de ruptura. A análise elastoplástica por meio do método dos elementos finitos tem se mostrado uma maneira efetiva para se identificar o início e a seqüência de propagação do mecanismo de ruptura. No entanto, muitos programas de elementos finitos apresentam dificuldades quando a carga está muito próxima da carga de ruptura. A combinação do método dos elementos finitos, da análise plástica limite e da programação matemática tem se revelado uma alternativa eficiente para se determinar a carga de colapso numericamente, em problemas de geotecnia. Algumas das características da aplicação da Análise Limite em geotecnia são: (a) as discretizações adotadas não são orientadas pela forma do mecanismo de ruptura, não sendo necessário se conhecer a priori sua forma ou sua localização; (b) é possível a adoção de critérios de ruptura não lineares; e (c) qualquer estrutura geotécnica, passível de ser discretizada em elementos finitos, pode ser considerada. No presente trabalho, o problema é formulado a partir do teorema do limite inferior e, alternativamente, do teorema do limite superior, de tal forma que se procura determinar a máxima carga para a qual as condições de equilíbrio e resistência são satisfeitas, ou ainda a mínima carga que satisfaz simultaneamente as condições de compatibilidade e de fluxo plástico. Adota-se o critério de ruptura de Mohr-Coulomb com plasticidade associada, sendo o referido critério é utilizado tanto em sua forma não linear, quanto de maneira linearizada. Elementos finitos mistos de ordem superior, tanto lagrangeanos quanto serendipity são estudados. Apresenta-se ainda uma formulação matemática do problema usando elemento finito híbrido linear de quatro nós. Desenvolve-se a análise probabilística de maciços de terra por meio de resultados obtidos com a análise plástica limite. Para construção do objetivo especificado acima, foi desenvolvido um programa em ambiente Windows, chamado de LAPS (Limit Analysis for Plane Strain). A tarefa de desenvolver aplicações para ambiente Windows tem sido facilitada devido à grande quantidade de softwares que implementam linguagens de programação com recursos visuais, tais como Delphi, Visual Basic, Visual Fortran e C++ Builder. Estes softwares são, em grande parte, responsáveis pela crescente quantidade de aplicações com interface gráfica, possibilitando a geração de programas de fácil utilização para o usuário. Em particular, o software Delphi é uma ferramenta RAD (Rapid Application Development) para Windows, orientada a objeto e a eventos, sendo baseada em componentes. A linguagem de programação sob o Delphi é uma versão do Pascal orientada a objeto, a qual é denominada Object Pascal. O software gerado no presente trabalho realiza o pré-processamento através da geração de malhas estruturadas, efetuando ainda os cálculos necessários à análise do problema e o pós-processamento através de bibliotecas OpenGL.
vi
PLASTIC LIMIT ANALYSIS IN GEOTECHNICS USING MIXED AND
HYBRID FINITE ELEMENTS
ABSTRACT
In many engineering problems, the primary concern of the designer is to determine the
maximum support load of a given structure. The knowledge of this collapse load allows a design
with a desired margin of safety and lower cost. Analytical solutions to these problems are generally
based in Plastic Limit Theorems, which a lower bound and an upper bound for the load factor. For
complex problems, however, there might be a very large interval between these limits. Finite
element analyses, assuming elasto-plastic models, provide a very effective tool for identifying the
initiation and propagation of plastic zones in boundary problems. However, many finite element
problems face serious difficulties as the external load approaches the ultimate level. A combination
of finite element method, limit analysis theorems and mathematical programming provides an
elegant and efficient means to obtain the collapse load.
In this paper the problem is formulated using the Lower Bound Limit Theorem, in such a
way as to determine the ultimate load, while satisfying both equilibrium and strength requirements.
Mohr-Coulomb criterion with associated flow rule is adopted for the soil strength. The governing
system results in mathematical programming problem, which is non-linear in principle but can be
linearized if a polyhedral representation is adopted for the strength envelope. Quadrilateral elements
with 4, 8, 9, 12, 16, 25 and 17 nodes as well as triangular elements with 3, 6, 10 and 15 nodes are
investigated. The influence of boundary conditions and number of planes necessary to obtain a good
linear representation of the strength criterion are also investigated. Different problems are analyzed
and the results are compared to other available solutions. It is conclude that finite elements of
Lagrangian type yield the best estimates for the collapse load.
vii
ÍNDICE
Capítulo Página
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 MOTIVAÇÃO 2
1.2 OBJETIVOS 3
1.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS 3
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5
2.1 INTRODUÇÃO 5
2.2 PRINCÍPIOS VARIACIONAIS ESTACIONÁRIOS 6
2.3 ANÁLISE LIMITE 8
2.4 FORMULAÇÃO DE ANÁLISE LIMITE PELO MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
10
2.6 COMENTÁRIOS FINAIS 22
3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 24
3.1 INTRODUÇÃO 24
3.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO ELEMENTO FINITO MISTO 24
3.2.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE 24
3.2.2 CONDIÇÕES DE RESISTÊNCIA 27
3.2.3 LEIS DE FLUXO PLÁSTICO 28
3.2.4 TEOREMA CINEMÁTICO 28
3.2.5 TEOREMA ESTÁTICO 30
3.2.6 CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB 31
3.2.7 ELEMENTOS FINITOS ADOTADOS 33
3.2.7.1 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES 33
3.2.7.2 ELEMENTOS FINITOS QUADRILATERAIS LAGRANGEANOS 35
3.2.7.3 ELEMENTOS FINITOS QUADRILATERAIS SERENDIPITY 36
3.3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO ELEMENTO FINITO HÍBRIDO 38
viii
3.3.1 MOTIVAÇÃO PARA DESENVOLVIMENTO DE ELEMENTOS
FINITOS HÍBRIDOS
40
3.3.2 A FORMULAÇÃO DO PRINCÍPIO VARIACIONAL HÍBRIDO 41
3.3.3 INTEGRAIS DE VOLUME E SUPERFÍCIE 42
3.3.4 A FORMA VARIACIONAL 42
3.3.5 HIBRIDIZAÇÃO DO FUNCIONAL 44
3.3.6 O TRABALHO POTENCIAL 45
3.3.7 ELEMENTO DE TENSÃO HÍBRIDO UTILIZADO NO PRESENTE
TRABALHO
47
3.3.7.1 CAMPO DE TENSÕES 48
3.3.7.2 DESLOCAMENTOS NO CONTORNO 49
3.3.7.3 FORÇA DE SUPERFÍCIE 49
3.3.7.4 FORÇA DE SUPERFÍCIE PRESCRITA 50
3.3.7.5 FORMULAÇÃO DISCRETA 50
3.3.7.6 APLICAÇÃO DA FORMULAÇÃO DISCRETA NA ANÁLISE
LIMITE
52
3.4 RESUMO DAS FORMULAÇÕES ADOTADAS 53
3.4 COMENTÁRIOS FINAIS 55
4 SOFTWARE DESENVOLVIDO 56
4.1 INTRODUÇÃO 56
4.2 DIAGRAMAS DE CASOS DE USO 58
4.2.1 CASO DE USO ABRIR ARQUIVO 58
4.2.2 CASO DE USO SALVAR ARQUIVO 59
4.2.3 CASO DE USO IMPORTAR ARQUIVO DXF 60
4.2.4 CASO DE USO IMPORTAR ARQUIVO DAT 61
4.2.5 CASO DE USO EXPORTAR ARQUIVO PARA DXF 61
4.2.6 CASO DE USO EXPORTAR ARQUIVO PARA DAT 62
4.2.7 CASO DE USO ZOOM JANELA 64
4.2.8 CASO DE USO ZOOM TOTAL 64
4.2.9 DIAGRAMA DE CASO DE USO CONFIGURAR GRID 65
4.2.10 CASO DE USO CONFIGURAR JANELA DE EDIÇÃO 65
4.2.11 CASO DE USO DEFINIR LINHA MANUALMENTE 66
ix
4.2.12 CASO DE USO DEFINIR LINHA GRAFICAMENTE 66
4.2.13 CASO DE USO APAGAR LINHA 67
4.2.14 CASO DE USO FORNECER PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS 67
4.2.15 CASO DE USO DEFINIR BLOCOS 68
4.2.15.1 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR BLOCOS 68
4.2.15.2 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR TIPO DE
BLOCO
69
4.2.15.3 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR TIPO DE
ELEMENTO
69
4.2.16 CASO DE USO APAGAR BLOCO 70
4.2.17 CASO DE USO GERAR MALHA 70
4.2.18 CASO DE USO CONFIGURAR CONDIÇÕES DE CONTORNO 71
4.2.19 CASO DE USO DEFINIR CONDIÇÕES DE CONTORNO 71
4.2.20 CASO DE USO APLICAR CARGA DISTRIBUÍDA 72
4.2.21 CASO DE USO MOSTRAR DADOS DA MALHA GERADA 73
4.2.22 CASO DE USO APAGAR CARREGAMENTO 73
4.2.23 CASO DE USO APAGAR CONDIÇÕES DE CONTORNO 74
4.2.24 CASO DE USO REALIZAR ANÁLISE 75
4.2.25 CASO DE USO MOSTRAR FATOR DE CARGA 76
4.2.26 CASO DE USO MOSTRAR MECANISMO DE COLAPSO 76
4.3 DIAGRAMA DE CLASSES 77
4.4 UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE 77
4.5 MÉTODOS DE SOLUÇÃO 84
4.5.1 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO INICIAL PARA O ALGORÍTMO DE
HERKOVITS-LYAMIN-SLOAN
85
5 APLICAÇÕES NUMÉRICAS 87
5.1 INTRODUÇÃO 87
5.2 EXEMPLO 1 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM
ELEMENTO FINITO MISTO LAGRANGEANO DE 3 E 4 NÓS
88
5.3 EXEMPLO 2 – ESTABILIDADE DE TALUDE DISCRETIZADO COM
ELEMENTO FINITO MISTO LAGRANGEANO DE 3 E 4 NÓS
95
5.4 EXEMPLO 3 – ESTABILIDADE DE TALUDE DISCRETIZADO COM
x
ELEMENTOS FINITOS MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY 98
5.5 EXEMPLO 4 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM
ELEMENTOS FINITOS MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY
103
5.6 EXEMPLO 5 – CORTE VERTICAL DISCRETIZADO COM
ELEMENTOS FINITOS MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY
106
5.7 EXEMPLO 6 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM
ELEMENTO FINITO HÍBRIDO DE 4 NÓS
108
5.8 EXEMPLO 7 – ESTABILIDADE DE CORTE VERTICAL
DISCRETIZADO COM ELEMENTO FINITO HÍBRIDO DE 4 NÓS
111
5.9 EXEMPLO 8 – ESTABILIDADE DE TALUDE COM ELEMENTOS
FINITOS MISTOS E HÍBRIDOS
114
5.10 EXEMPLO 9 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE
ESTABILIDADE DE TALUDES OBTIDOS COM ANÁISE LIMITE,
ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA E ANÁLISE DE EQUILÍBRIO LIMITE
116
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 119
6.1 CONCLUSÕES 119
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 121
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
123
xi
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela Página
2.1 Funcionais possíveis em elasticidade linear 7
2.2 Exemplos de funcionais híbridos 8
2.3 Classificação das formulações (Farfán, 2000) 23
3.1 Dimensões dos vetores e matrizes para elementos finitos mistos e híbridos 54
5.1 Carga de colapso (kN) para solos puramente coesivos 89
5.2 Carga de colapso (kN) para solos com coesão e ângulos de atrito 91
5.3 Carga de colapso considerando-se apoio lateral do 1o e 2o gênero 93
5.4 Carga de colapso para aumento de 25% no domínio e apoios laterais do 1o ou
2o gênero
94
5.5 Fator de estabilidade Ns 96
5.6 Fator de estabilidade considerando-se apoios laterais do 1o ou 2o gênero 97
5.7 Fator de estabilidade Ns para elementos lagrangeanos T3, Q4, T6, Q9, T10 e
Q16
102
5.8 Fator de estabilidade Ns para elementos serendipity Q8, Q12 e Q17 102
5.9 Carga de colapso para o caso da fundação corrida 105
5.10 Fator de carga de colapso para corte vertical em solo puramente coesivo 107
5.11 Fator de carga de colapso para solo com coesão e atrito 107
5.12 Carga de colapso para a fundação corrida discretizada com elemento finito
híbrido
109
5.13 Fator de carga de colapso para corte vertical discretizado com elemento híbrido 112
5.14 Fator de carga de colapso para corte vertical em solo com coesão e atrito
(φ=20°) discretizado com elemento finito híbrido
113
5.15 Fator de carga de colapso dos taludes 115
5.16 Resumo dos resultados encontrados no Exemplo 10 117
xii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura Página
3.1 Aproximação poliédrica circunscrita do critério de Mohr-Coulomb no sistema
(x,y)
32
3.2 Elemento finito triangular linear de três nós: (a) Elemento finito; (b) Termos
considerados no triângulo de Pascal
34
3.3 Elemento finito triangular quadrático de seis nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de pascal
34
3.4 Elemento finito triangular cúbico de dez nós: (a) Elemento finito; (b) Termos
considerados no triângulo de Pascal
34
3.5 Elemento finito triangular quártico de quinze nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
34
3.6 Elemento finito quadrilátero linear de quatro nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
35
3.7 Elemento finito quadrilátero quadrático de nove nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
35
3.8 Elemento finito quadrilátero cúbico de dezesseis nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
36
3.9 Elemento finito quadrilátero quártico de vinte e cinco nós: (a) Elemento finito;
(b) Termos considerados no triângulo de Pascal
36
3.10 Elemento finito quadrilátero quadrático de oito nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
37
3.11 Elemento finito quadrilátero cúbico de doze nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
37
3.12 Elemento finito quadrilátero quártico de dezessete nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
38
3.13 Resumo da obtenção de elementos híbridos 39
3.14 Viga analisada com elemento finito de deslocamento e elemento finito híbrido 39
3.15 Resultados para elemento Q4 e elemento híbrido de Pian & Sumihara (1984) 39
3.16 Corte no Volume V, Separado pela Superfície Si 41
xiii
3.17 Domínio Subdividido em Quatro Partes, com Integração no Sentido Anti-
horário
41
3.18 Diagrama para o Funcional da Energia Potencial Complementar de Campo
Unitário (só Tensões como Campo Primário)
43
3.19 Diagrama para o Funcional do Princípio de Tensão Híbrida 44
3.20 Passos Conceituais para a Construção do Elemento Finito Híbrido 46
3.21 Elemento Quadrilátero Bilinear de Tensão Plana 47
4.1 Diagrama de caso de uso Abrir Arquivo 58
4.2 Diagrama de caso de uso Salvar Arquivo 59
4.3 Diagrama de caso de uso Importar Arquivo DXF 60
4.4 Diagrama de caso de uso Importar Arquivo DAT 61
4.5 Diagrama de caso de uso Exportar Arquivo para DXF 61
4.6 Diagrama de Caso de uso Exportar Arquivo para DAT 62
4.7 Diagrama de caso de uso Zoom janela 64
4.8 Diagrama de caso de uso Zoom total 64
4.9 Diagrama de caso de uso Configurar Grid 65
4.10 Diagrama de caso de uso Configurar Janela de Edição 65
4.11 Diagrama de caso de uso Definir Linha Manualmente 66
4.12 Diagrama de caso de uso Definir Linha Graficamente 66
4.13 Diagrama de caso de uso Apagar Linha 67
4.14 Caso de uso Fornecer Propriedades dos Elementos 67
4.15 Diagrama de caso de uso Definir Blocos 68
4.16 Diagrama de caso de uso Apagar Bloco 70
4.17 Diagrama de caso de uso Gerar Malha 70
4.18 Diagrama de caso de uso configurar Condições de Contorno 71
4.19 Diagrama de caso de uso Definir Condições de Contorno 71
4.20 Diagrama de caso de uso Aplicar Carga Distribuída 72
4.21 Diagrama de caso de uso Mostrar Dados da Malha Gerada 73
4.22 Diagrama de caso de uso Apagar Carregamento 73
4.23 Diagrama de caso de uso Apagar Condições de Contorno 74
4.24 Diagrama de caso de uso Realizar Análise 75
4.25 Diagrama de caso de uso Mostrar Fator de Carga 76
4.26 Diagrama de caso de uso Mostrar Mecanismo de Colapso 76
xiv
4.27 Diagrama de classes de negócio 77
4.28 Características do talude analisado 78
4.29 Tela inicial da aplicação desenvolvida 78
4.30 Tela de definição das propriedades 79
4.31 Blocos desenhados no AutoCAD para a geração da malha 80
4.32 Tipos de elementos finitos disponíveis no programa 81
4.33 Malha gerada com as condições de contorno 82
4.34 Tela de configurações de parâmetros da análise 83
4.35 Mecanismo gerado plotando-se o campo de velocidades na ruptura 83
4.36 Mecanismo plotado utilizando-se a biblioteca OpenGL 84
5.1 Discretizações adotadas para elemento Q4: (a) Malha Q4/1 com 20 nós e 12
elementos; (b) Malha Q4/2 com 63 nós e 48 elementos; (c) Malha Q4/3 com
165 nós e 240 elementos
88
5.2 Discretizações adotadas para elemento T3: (a) Malha T3/1 com 20 nós e 24
elementos; (b) Malha T3/2 com 63 nós e 96 elementos; e (c) Malha T3/3 com
165 nós e 280 elementos
89
5.3 Convergência no número de planos (programação linear) 90
5.4 Convergência dos elementos T3 e Q4 em relação ao número de nós na malha 91
5.5 Mecanismo de ruptura para φ igual a 0o: (a) : malha Q4/2 e PNL; (b) : malha
Q4/2 e PL com 32 planos; (c) malha T3/2 e PNL; e (d) malha T3/2 e PL com
32 planos
92
5.6 Mecanismo de ruptura para φ igual a 15o: (a) : malha Q4/2 e PNL; (b) : malha
Q4/2 e PL com 32 planos; (c) malha T3/2 e PNL; e (d) malha T3/2 e PL com
32 planos
93
5.7 Discretizações adotadas: (a) Malha Q4/1, 36 nós e 24 elementos; (b) Malha
Q4/2, 119 nós e 96 elementos; (c) Malha T3/1, 36 nós e 44 elementos; e (d)
Malha T3/2, 119 nós e 192 elementos
95
5.8 Mecanismos de ruptura: (a) Q4/2 e φ igual a 0º; e (b) Q4/2 e φ igual a 15º 96
5.9 Elementos finitos adotados no presente exemplo: (a) T3; (b) Q4; (c) T6; (d)
Q8; (e) Q9; (f) T10; (g) Q12; (h) T15; (i) Q16; (j) Q17
98
5.10 Discretizações para solos puramente coesivos: (a) T3, 165 nós e 280 elmentos;
(b) Q4, 165 nós e 280 elementos; (c) T6, 225 nós e 96 elementos; (d) Q8, 215
xv
nós e 60 elementos; (e) Q9, 225 nós e 48 elementos; (f) T10, 280 nós e 54
elementos; (g) Q12, 220 nós e 36 elementos; (h) T15, 225 nós e 24 elementos
99
5.11 Discretizações para solos puramente coesivos: (i) Q16, 280 nós e 27
elementos; e (j) Q17, 265 nós e 27 elementos
100
5.12 Discretizações para solos com coesão e atrito: (a) T3, 319 nós e 560 elmentos;
(b) Q4, 319 nós e 280 elementos; (c) T6, 319 nós e 140 elementos; (d) Q8, 317
nós e 90 elementos
100
5.13 Discretizações para solos com coesão e atrito: (e) Q9, 319 nós e 70 elementos;
(f) T10, 310 nós e 60 elementos; (g) Q12, 312 nós e 52 elementos; (h) Q16,
310 nós e 30 elementos; e (i) Q17, 321 nós e 33 elementos
101
5.14 Discretização da fundação corrida em elementos finitos lagrangeanos de
dezesseis nós
103
5.15 Discretização da fundação corrida em elementos finitos serendipity de doze
nós
104
5.16 Discretização do corte vertical em elementos finitos Lagrangeanos de nove nós 106
5.17 Discretizações adotadas para o elemento híbrido de quatro nós (Q4): (a) Malha
Q4/1 com 20 nós e 12 elementos; (b) malha Q4/2 com 63 nós e 48 elementos;
(c) malha Q4/3 com 99 nós e 80 elementos; (d) malha Q4/4 com 165 nós e 140
elementos; (e) malha Q4/5 com 221 nós e 192 elementos; (f) malha Q4/6 com
825 nós e 768 elementos
108
5.18 Teste de convergência para as malhas Q4/1, Q4/2 e Q4/3 usando elemento
finito híbrido
109
5.19 Comparação dos elementos finitos híbrido e misto 110
5.20 Discretização do corte vertical em elementos híbridos de quatro nós: Malha
com 96 Nós e 75 Elementos
111
5.21 Teste de Convergência para as malhas em função do número de planos na
linearização da superfície de ruptura
112
5.22 Malha adotada para o talude com altura igual a 10 m: discretização com 286
nós e 250 elementos
114
5.23 Mecanismo de ruptura para talude com altura igual a 10m 115
5.24 Mecanismos de ruptura por equilíbrio limite 117
5.25 Mecanismos de ruptura obtido com a análise elastoplástica 118
5.26 Mecanismo de ruptura obtido com a análise plástica limite 118
xvi
xvii
LISTA DE SIMBOLOS
φ Ângulo de atrito interno
A Área do elemento finito
c Coesão do material
Su Contorno com deslocamentos prescritos
St Contorno com tensões prescritas
Si Contorno interno ou interface
nx Cosseno diretor na direção x
ny Cosseno ditetor na direção y
if Critério de ruptura aplicado no ponto de controle i
u Deslocamento na direção x
v Deslocamento na direção y
ξ Direção horizontal em coordenadas naturais
η Direção vertical em coordenadas naturais
x Direção x dos eixos cartesianos
Ω Domínio do elemento finito híbrido
Uc Energia complementar
cΠ Energia potencial total complementar
h Espessura do elemento finito
λ Fator de carga
t Força de superfície prescrita no elemento híbrido
iN Função de interpolação do nó i
iuN Função de interpolação dos deslocamentos aplicados no nó i
πd Integral potencial de interface
C Matriz constitutiva na forma flexibilidade do elemento híbido
E Matriz constitutiva na forma rigidez do elemento híbrido
F Matriz das derivadas das superfícies de ruptura ou matriz do elemento híbrido
uN Matriz das funções de interpolação dos deslocamentos
G Matriz de conexão ou matriz de influência
xviii
B Matriz de deformação generalizada
iB Matriz de deformação generalizada no nó i
L Matriz de equilíbrio da malha de elementos finito
L Matriz de equilíbrio do elemento finito
Φ Matriz de função de interpolação no elemento finito híbrido
N Matriz de funções de interpolação
σN Matriz de interpolação das tensões
Ψ Matriz de interpolação das tensões no elemento híbrido Tn Matriz de normalidade
Ke Matriz de rigidez de um elemento
nne Número de nós no elemento finito
M Número de partes em que o volume foi dividido
npc Número de pontos de controle das condições de fluxo
αi Parâmetro de tensão i
r Raio da linearização do critério de Mohr-Coulomb
xε& Taxa de deformação na direção x
yε& Taxa de deformação na direção y
q& Taxa de deformação nodal generalizada
xyγ& Taxa de distorção
*q& Taxa dos multiplicadores plásticos no ponto de controle i
xyτ Tensão cisalhante
xyσ Tensão cisalhante no elemento híbrido
xσ Tensão normal na direção x
xxσ Tensão normal na direção x no elemento híbrido
yσ Tensão normal na direção y
yyσ Tensão normal na direção y no elemento híbrido
Cijkl Tensor constitutivo do elemento híbrido
Wd Trabalho potencial
tj Trações de superfície
u& Velocidade na direção x
xix
iu& Velocidade na direção x no nó i
v& Velocidade na direção y
iv& Velocidade na direção y no nó i
p Vetor cargas distribuídas nos lados do elemento
σ* Vetor das capacidades plásticas *q& Vetor das taxas dos multiplicadores plásticos
Pq& Vetor das velocidades de deformação plástica generalizada
p Vetor de cargas concentradas em um elemento
af Vetor de cargas fixas para toda a malha de elementos finitos
λ Vetor de cargas nodais
a Vetor de cargas nodais em um elemento finito
av Vetor de cargas variáveis para toda a malha de elementos finitos
u Vetor de deslocamento
d Vetor de deslocamento no contorno do elemento híbrido
ε& Vetor de taxas de deformação
σ Vetor de tensões
σ Vetor de tensões nodais
u& Vetor de velocidade
u& Vetor de velocidades nodais
α Vetor dos parâmetros de tensão
V Volume
xx
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
Em muitas aplicações práticas na engenharia geotécnica é de interesse se obter a máxima
carga suportada por uma determinada estrutura, a partir da qual se pode definir a carga de
trabalho conveniente que garanta uma margem de segurança adequada, considerando-se o
menor custo possível. Soluções analíticas baseadas nos teoremas da análise plástica fornecem
limites superiores e inferiores para a carga de colapso. Entretanto, dependendo da
complexidade do problema, soluções analíticas podem não ser disponíveis ou podem
apresentar uma grande diferença entre os limites superior e inferior da referida carga (Chen,
1975). A análise elastoplástica através do método dos elementos finitos tem se mostrado uma
maneira efetiva para se identificar o início e a seqüência de propagação do mecanismo de
ruptura. No entanto, muitos programas de elementos finitos apresentam dificuldades quando a
carga está muito próxima da carga de ruptura (Farias & Naylor, 1998).
O estudo de estruturas nas quais se considera o comportamento plástico do material estrutural
pode ser realizado de duas maneiras distintas, quais sejam: métodos iterativos nos quais a
resposta da estrutura para um determinado nível de carga é obtida por incrementos sucessivos
de carga ou deformação, até que o nível desejado seja alcançado (por exemplo, Zienkiewicz
& Taylor, 1991; Ibrahimbegovic & Frey, 1993; Weissman & Jamjian, 1993); e os modelos
baseados na utilização da programação matemática, nos quais se utiliza a otimização de
funções para se obter a resposta da estrutura correspondente a um determinado nível de
carregamento (por exemplo, Maier, 1968; Maier, 1973; Cannarozzi & Laudiero, 1976;
Appleton & Smith, 1979; e Sahlit, 1992). Entretanto, baseando-se na literatura disponível e
nos estudos realizados no presente trabalho, a aplicação da análise plástica limite de maneira
mais genérica, desde que o problema de otimização seja convexo e atenda as condições de
Karush-Kuhn-Tucker, só é possível através da utilização de métodos de programação
matemática.
1
A programação matemática se preocupa com a otimização de funções sujeitas a restrições. Ela
envolve a minimização (ou maximização) de uma função de variáveis reais, chamada de
função objetivo, onde estas variáveis devem satisfazer a restrições adicionais. Estas restrições
podem ser de igualdade e/ou desigualdade, sendo possível que algumas variáveis sejam
também restritas em sinal. Quando a função objetivo e as restrições são funções lineares
contínuas tem-se um problema de programação linear (PL), caso contrário tem-se um
problema de programação não-linear. Se a função objetivo é uma função quadrática
contínua, enquanto que as restrições são funções lineares contínuas, tem-se um problema de
programação quadrática (PQ). Em problemas de natureza física, pode ocorrer que um
programa de minimização, chamado primal, esteja associado a um programa de maximização,
chamado dual. Apesar das variáveis do programa primal nem sempre aparecerem no
programa dual, e vice-versa, ambos os programas apresentam a mesma solução ótima para as
suas respectivas funções objetivo. A programação matemática pode ser aplicada em várias
áreas da análise e síntese de estruturas como, por exemplo, análise elastoplástica, análise
plástica limite, análise de acomodação plástica e plasticidade dinâmica. Informações sobre o
desenvolvimento histórico de programação matemática e suas aplicações na engenharia
podem ser encontradas nos trabalhos de Maier (1973), Maier & Munro (1982) e Maier (1984).
A combinação do métodos dos elementos finitos, da análise plástica limite e da programação
matemática tem se revelado uma alternativa eficiente para se determinar a carga de colapso
numericamente, em problemas de geotecnia. Algumas das características da aplicação da
Análise Limite em geotecnia são: (a) as discretizações adotadas não são orientadas pela forma
do mecanismo de ruptura, não sendo necessário se conhecer a priori sua forma ou sua
localização; (b) é possível a adoção de critérios de ruptura não lineares; e (c) qualquer
estrutura geotécnica, passível de ser discretizada em elementos finitos, pode ser considerada.
1.1 MOTIVAÇÃO
Algumas motivações para o direcionamento do trabalho para Análise Limite via Programação
Matemática e Método dos Elementos Finitos são:
• Número reduzido de pesquisadores trabalhando na área; • Necessidade de delimitar mais claramente a aplicação do método, com relação aos tipos
de elementos finitos, métodos de programação matemática (linear ou não linear), número
2
de planos utilizados na linearização, influência na variação dos parâmetros do material, e consideração de critérios de ruptura distintos;
• Preenchimento da lacuna relativa a um software robusto para realizar as referidas análises; e
• Consistência teórica do método com relação à forma de obtenção dos resultados. 1.2 OBJETIVOS
O presente trabalho tem como objetivo a análise limite de problemas geotécnicos, através da
combinação da programação matemática linear e não linear e do método dos elementos
finitos, adotando-se elementos finitos serendipity e lagrangeanos, misto e híbrido, em regime
de pequenos deslocamentos. Apresenta-se, ainda, a implementação de um software com
interface gráfica interativa, desenvolvida em Delphi e baseada nos conceitos do ambiente
gráfico do sistema operacional windows.
1.3 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS
O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica do tema da presente tese, a qual começa no
início dos anos 70, com a descrição das primeiras formulações dos problemas de análise
limite via programação matemática e vai até a tese de doutoramento apresentada por Farfán
(2000). Destacam-se os aspectos principais de cada formulação, bem como os elementos
finitos adotados em cada uma.
No Capítulo 3, apresenta-se a formulação matemática do problema de análise plástica limite,
tanto para elementos finitos mistos (elementos triangulares, quadrilaterais serendipity e
quadrilaterais Lagrangeanos) quanto para elementos finitos híbridos, considerando-se
métodos de programação matemática linear e não linear.
O Capítulo 4 descreve o software desenvolvido, o mesmo sendo descrito utilizando-se a
Linguagem de Modelagem Unificada (UML), através dos diagramas de casos de uso e do
diagrama de classes. Apresenta-se um passo a passo da utilização do software, a partir de um
exemplo selecionado. O capítulo é finalizado com a apresentação dos métodos de solução
adotados no presente trabalho.
3
O Capítulo 5 apresenta os exemplos numéricos que servem de base para validar as
formulações matemáticas apresentadas no presente trabalho. Inicialmente são apresentados
exemplos de elementos finitos mistos lineares de quatro e três nós. Em seguida são
considerados os elementos mistos lagrangeanos e serendipity de ordem superior. Finalmente,
apresentam-se resultados para o elemento finito híbrido de quatro nós.
No Capítulo 6, apresentam-se as conclusões obtidas com o presente trabalho e sugestões para
estudos futuros.
Finalmente, vale ressaltar que este é o primeiro trabalho que trata de análise limite em
geotecnia, utilizando-se métodos de programação matemática, que é desenvolvido no âmbito
do Programa de Pós-graduação em Geotecnia da Universidade de Brasília.
4
CAPÍTULO 2
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 INTRODUÇÃO
As aplicações dos métodos de estabilidade em problemas geotécnicos podem ser reunidas em
quatro grupos: método da linha de deslizamento, método dos elementos finitos de
deslocamento, método de equilíbrio limite e método de análise limite. O presente trabalho
concentra-se no último desses grupos.
Quando um corpo é solicitado por um determinado carregamento, deforma-se de acordo com
o nível de carregamento aplicado, ou seja, à medida em que se aumenta o carregamento
solicitante, maiores incrementos de tensões corresponderão a maiores taxas de deformações
até que para um determinado nível de carregamento (carga de ruptura) e de tensões, o material
escoe e, em seguida, entre em colapso (processo de ruptura generalizado). Esse tipo de
comportamento mecânico pode ser aproximado por um modelo ideal de comportamento do
material conhecido como modelo elástico perfeitamente plástico. A distribuição do campo das
velocidades de deformação no colapso corresponde, no domínio do corpo, a um campo
denominado mecanismo de colapso. Nesta tese de doutoramento os esforços são empregados
com o objetivo primário de se obter tanto a carga de colapso quanto o mecanismo de ruptura.
Os primeiros trabalhos de análise limite em geotécnica, utilizando-se métodos de
programação matemática, foram desenvolvidos no início da década de 70 e, em geral,
utilizam formulações fracas e elementos finitos triangulares. Atualmente, a análise plástica
limite representa uma importante área de pesquisa, e diversos trabalhos têm sido publicados.
Abordam, em geral, formulações fracas e fortes com elementos finitos mistos triangulares e
quadrilaterais, com interpolação linear e constante de tensões e velocidades.
Embora a aplicação de elementos finitos híbridos remeta aos anos 60, a aplicação deste tipo
de elementos em problemas de análise limite em geotecnia permanece inédita até hoje. Assim,
5
tais elementos constituem atualmente uma ampla área de pesquisa na engenharia geotécnica,
quando se utilizam análise limite e métodos de programação matemática.
2.2 - PRINCÍPIOS VARIACIONAIS ESTACIONÁRIOS
Nesta seção consideram-se os teoremas variacionais da mecânica dos sólidos que são
comumente utilizados em modelos de elementos finitos, bem como os princípios energéticos
da mecânica enfatizando-se o princípio dos trabalhos virtuais. Deve-se atentar para o fato de
que os princípios variacionais híbridos e mistos buscam pontos estacionários de cada variável
primária, os quais não são necessariamente mínimos e máximos. De fato, o funcional pode
atingir o mínimo com respeito a um conjunto de variáveis e o máximo com respeito a outro
conjunto de variáveis envolvidas no funcional (Almeida, 1989).
A seguir descreve-se um esquema de representação dos campos para os princípios
variacionais:
HíbridoMisto
Campos Múltiplos
UnitárioCampo ISVARIACIONAPRINCÍPIOS
Quando um funcional é definido usando somente uma variável primária, este funcional é
denominado de campo unitário. Os princípios associados aos funcionais de campo unitário
são comuns no modelo tradicional do método dos elementos finitos de deslocamentos, o qual
define, em geral, o campo dos deslocamentos como variável primária. O funcional pode
também ser definido em termos do campo de tensões, como variável primária, gerando, então,
um modelo de elementos finitos de tensões.
Os funcionais chamados de campo múltiplo têm vários campos como variáveis primárias, isto
é, mais de um campo está sujeito a variações independentes.
Na literatura há confusões de nomenclatura sobre campos múltiplos, no caso de campos
híbridos e mistos. Campos múltiplos nos modelos do método dos elementos finitos, às vezes,
são chamados de híbridos. O termo misto pode ser reservado para o caso em que os campos
primários são campos internos. O termo híbrido pode ser usado quando o funcional inclui um
ou mais campos de superfície, além de campos internos estabelecidos. Três campos internos
6
da elasticidade linear são candidatos para campos primários, tanto no domínio quanto no
contorno: Deslocamentos (ui); Deformações (εij); e Tensões (σij).
As escolhas dos campos primários podem ser feitas a partir das sete combinações listadas na
Tabela 2.1. Os funcionais correspondentes são denominados como funcionais fundamentais
da elasticidade: quatro deles têm nomes identificados com modelos de elementos finitos, o
quinto funcional não é muito utilizado e os outros dois não têm aplicações práticas na
engenharia (Felippa, 2000).
Tabela 2.1 Funcionais possíveis em elasticidade linear
Tipo
Campo primário Nome
Campo unitário Deslocamentos Energia potencial total
Campo unitário Tensões Energia potencial total complementar
Campo unitário Deformações
Dois campos mistos Deslocamentos e tensões Hellinger-Reissner Dois campos mistos Deslocamentos e deformações de Veubeke Dois campos mistos Deformações e tensões
Três campos mistos Deslocamentos, tensões e deformações Hu-washizu
Na Tabela 2.1 apresentam-se somente os tipos de funcionais de campo unitário ou misto,
cujas variáveis primárias são definidas no domínio do elemento. Funcionais híbridos têm um
ou mais campos primários que são definidos só na interface ou contorno do elemento.
Princípios variacionais híbridos representam uma importante extensão dos princípios
clássicos da mecânica. Esta extensão constitui uma tentativa de fortalecer os modelos de
elementos finitos. A Tabela 2.2 descreve dois casos de elementos híbridos.
Elementos finitos baseados em funcionais híbridos, chamados de elementos híbridos, foram
construídos nos anos 60 (Pian, 1964). O primeiro elemento híbrido era bastante limitado por
não ser capaz de tratar problemas não lineares e dinâmicos. Entretanto, tais limitações foram
gradualmente superadas com o entendimento e evolução dos conceitos básicos. Atualmente,
os princípios híbridos representam uma importante área de pesquisa na construção de
elementos finitos de alta performance, especialmente para placas e cascas (Felippa, 2000). Os
7
modelos híbridos têm sido aplicados a diversos problemas de engenharia como
descontinuidade física, trincas, detecção de dano, otimização e acoplamentos de malhas.
Entretanto, a literatura disponível até a presente data não aborda o emprego do método híbrido
dos elementos finitos para problemas de análise limite em engenharia geotécnica.
Tabela 2.2 Exemplos de funcionais híbridos
Princípio Híbrido Campo primário no domínio do elemento
Campo primário no contorno do elemento Nome
Híbrido de tensão
Tensões Deslocamentos Pian
Misto-Híbrido Tensões e deslocamentos Deslocamentos Pian-Sumihara
Pian-Tong (outros)
De forma geral, os princípios híbridos consideram dois campos distintos de variáveis
primárias: o campo de deslocamentos no contorno e o de tensões no interior do elemento. Esta
idéia tem levado a um melhor entendimento de grande número de aplicações técnicas em
diversas áreas da engenharia. Contrariamente, princípios variacionais mistos consideram dois
ou mais campos no domínio do elemento.
2.3 ANÁLISE LIMITE
A primeira referência à plasticidade é atribuída a Coulomb que, em 1773, propõe um critério
de escoamento para solos (apud Hill, 1950). Subseqüentemente, Rankine, em 1853, aplica os
conceitos de Coulomb para problemas de cálculo de paredes de contenção de solo. Contudo,
Tresca é considerado o primeiro a fazer estudos científicos sobre plasticidade em metais,
tendo publicado os resultados do efeito de punção e extrusão em metais em 1864 e formulado
seu famoso critério de escoamento.
Em 1870 Saint-Venant aplica o critério de escoamento de Tresca para determinar as tensões
em um cilindro sujeito a torção e flexão. Levy, em 1871, também adotando os conceitos de
plasticidade de Saint-Venant, propõe uma relação tridimensional entre tensão e taxa de
deformação plástica.
8
Von Mises, independentemente, propõe uma equação similar à de Levy, sugerindo em 1913
um critério de escoamento com base em formulações matemáticas. As evidências
experimentais no caso de materiais metálicos ou dúcteis têm mostrado que o critério de Von
Mises é o que mais se aproxima da superfície de escoamento, pelo menos no seu estágio
inicial, como descrito em Ford (1969). Uma teoria unificada começa a evoluir somente por
volta de 1945.
A técnica de aproximar a intensidade da carga e prever o mecanismo de ruptura (velocidade
em pontos críticos) de estruturas tipo pórticos no colapso (estado limite) é desenvolvida com
o nome de teorema do limite superior e teorema do limite inferior. De qualquer modo, a
análise limite é apresentada com consistência teórica a partir de 1950, quando provas dos
teoremas do limite inferior e limite inferior são apresentadas por Drucker & Prager (1952),
nos quais se estuda o comportamento de materiais plásticos que obedecem ao critério de
ruptura de Mohr-Coulomb, tendo, portanto, interesse especial em mecânica dos solos. A
teoria de plasticidade e os teoremas dos limites, apresentados no trabalho mencionado,
estabelecem de forma definitiva os teoremas do limite superior e do limite inferior para a
carga de colapso de obras de terra (Lysmer, 1970). A formulação completa dos teoremas da
análise limite em análise numérica é relativamente simples, tendo em vista que podem ser
convertidos em problemas de programação matemática primal e dual. A teoria da plasticidade
dos solos e o conceito do equilíbrio no limite plástico desenvolvidos em 1773 por Coulomb
dão origem à teoria da plasticidade dos metais, desenvolvida entre 1950 e 1960, quando são
incluídos os conceitos da lei de fluxo e a relação tensão-velocidade de deformação (Chen,
1975).
Os teoremas da análise limite podem ser enunciadas da seguinte forma:
(a) Teorema do Limite Inferior (Teorema Estático):
Se um campo de tensões (σij) em equilíbrio, distribuído em todo o corpo, pode ser construído
de modo a satisfazer as condições das tensões no contorno e a não violar o critério de
escoamento (f(σij) ≤ 0) em nenhum ponto, então, esse campo de tensões é estaticamente
admissível, e o corpo não sofrerá colapso ou estará na eminência do colapso.
9
(b) Teorema do Limite Superior (Teorema Cinemático):
Se um mecanismo compatível de taxas de deformação plástica ( e u ) for assumido, o
qual satisfaz às condições das velocidades no contorno, então esse campo de velocidades é
cinematicamente admissível e os carregamentos superficiais t
pijε& p
ij&
i e cargas de volume Fi,
determinados pela igualdade da taxa do trabalho externo com a taxa da dissipação interna,
serão ambos iguais ou maiores que a carga limite verdadeira.
(c) Teorema da unicidade:
Para uma estrutura submetida a um carregamento, se existir pelo menos uma distribuição de
tensões estaticamente admissível e essas tensões plastificarem um número suficiente de
seções para a formação de um mecanismo, o fator de carga λ correspondente será o fator de
carga de colapso plástico λc.
Portanto, devem ser satisfeitas simultaneamente as condições de equilíbrio e resistência
(distribuição estaticamente admissível) bem como de compatibilidade de mecanismo e fluxo
plástico (distribuição cinematicamente admissível). Este teorema não garante a unicidade nem
da distribuição de esforços nem do mecanismo de colapso, porém a carga de colapso é única.
2.4 FORMULAÇÃO DA ANÁLISE LIMITE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS
A generalização da técnica de análise limite para o contínuo, por meio da aplicação do
método dos elementos finitos, foi realizada por diversos pesquisadores. Muitos se baseiam no
teorema do limite superior (Kobayashi, Lee & Shah, 1973; Mori, Shima & Osakada, 1979),
particularmente no campo de plasticidade em metais.
Os primeiros trabalhos de aplicação da análise limite a problemas geotécnicos foram
realizados analiticamente. O problema básico para efetuar a análise plástica limite de maneira
analítica, pelo teorema do limite inferior, é construir previamente um bom campo de tensões
estaticamente admissível (Finn, 1964; Finn, 1967; Chen, 1975; e Chen & Liu, 1990). Existem
diversos métodos propostos para a construção de campo de tensões para poucos e simples
problemas planos em mecânica dos solos. De qualquer modo, não existe nenhum método
racional para encontrar um mecanismo satisfatório que seja cinematicamente admissível para
10
problemas envolvendo geometrias arbitrárias e condições de contorno quaisquer (Lysmer,
1970).
A partir da década de 70, o método dos elementos finitos, as técnicas de programação
matemática e a consolidação dos computadores como ferramenta de pesquisa começam a ser
aplicados na análise limite (Farfán, 2000). Atualmente, diversos trabalhos que tratam do
assunto estão disponíveis (Lysmer, 1970; Bottero et al., 1980; Christiansen, 1981; Munro,
1982; Casciaro & Cascini, 1982; Sloan 1988a; Arai and Jimki, 1990; Araújo, 1997; Yu et al.,
1998; Farfán, 2000), constituindo uma importante área de pesquisa na investigação da carga
de colapso em problemas geotécnicos.
As formulações estão divididas em dois grupos: formulação forte e formulação fraca. A
vantagem da formulação forte está no fato de a mesma utilizar uma abordagem puramente
estática ou puramente cinemática, chegando a um limite inferior (ou superior) verdadeiro. A
desvantagem da abordagem em questão é a falta de estimativa para o erro nos valores dos
limites calculados, não se estabelecendo se o limite encontrado é, ou não, uma boa
aproximação. A abordagem do tipo formulação fraca com elemento finito misto e híbrido,
utilizada na presente tese, fornece uma aproximação da carga limite, a qual se espera que seja
uma melhor aproximação que os limites fornecidos na formulação forte.
Lysmer (1970) apresenta uma formulação para o problema de análise limite, utilizando o
teorema do limite inferior, aplicado à mecânica dos solos. O maciço de terra é discretizado em
elementos triangulares, nos quais as tensões variam linearmente. O equilíbrio, tanto para o
interior do elemento quanto para as interface entre elementos, é desenvolvido em termos das
tensões normais às faces dos elementos. A tensão normal, em planos perpendiculares aos
lados dos elementos, não é necessariamente contínua ao longo da interface entre elementos.
Assim, existem descontinuidades de tensão admissíveis ao longo dos lados dos elementos.
Tanto para o equilíbrio dentro dos elementos quanto para o equilíbrio ao longo dos lados dos
elementos, Lysmer(1970) escreve as tensões cisalhantes em função das tensões normais,
deixando apenas as tensões normais explícitas. As condições de contorno em tensão são
aplicadas diretamente, de modo a satisfazer a geometria e o carregamento do problema em
análise. O critério de ruptura de Mohr-Coulomb é linearizado internamente por um polígno de
12 lados. O sistema governante tem a forma de um problema de programação matemática, no
qual as condições de equilíbrio, as condições de contorno em tensão e as condições de 11
resistência são expressas como um conjunto de restrições lineares. O problema é solucionado
numericamente mediante o método simplex. O autor em questão comenta ainda que 99% do
esforço computacional necessário à solução do problema é consumido pela solução do PL.
Lysmer apresenta ainda um procedimento iterativo para a solução do problema, no qual
somente três condições de resistência em cada nó dos elementos são tratadas
simultaneamente. Embora tal procedimento reduza de forma considerável o esforço
computacional, ele não possui um critério de estabilidade definido. O trabalho de Lysmer
apresenta resultados para a análise do problema de equilíbrio de maciço de terra submetido a
empuxo passivo e do problema de fundação corrida. Lysmer conclui que os resultados
fornecidos pela formulação proposta comparam bem com os resultados conhecidos para os
problemas estudados. Uma outra conclusão é que o uso do método não está limitado a
exemplos simples previamente apresentados e que condições de contorno mais complexas e
variações das propriedades do material de elemento para elemento podem ser analisadas sem
aumento do esforço computacional. Finalmente, Lysmer conclui que o limite prático para uso
do método proposto é principalmente o custo computacional e que a experiência com o
método mostrou que o esforço computacional aumenta rapidamente com o número de
elementos e que é impossível realizar a análise se 10 a 12 elementos são utilizados. Este
problema de custo computacional, segundo Lysmer, poderia ser solucionado no futuro com o
desenvolvimento de computadores mais rápidos e algoritmos de programação matemática
mais eficientes.
Anderheggen & Knöpfel (1972) apresentam uma formulação para análise plástica limite,
tanto para limite inferior quanto para limite superior, baseada em elementos finitos mistos,
isto é, elementos finitos nos quais se tem a interpolação tanto do campo de deslocamentos
quanto do campo de tensões. A formulação proposta é aplicada na solução de problemas de
flexão de placas, com elementos finitos triangulares de três nós. Dois modelos de interpolação
nos elementos finitos são testados. Um considera interpolações lineares para o campo de
deslocamento e para o campo de momento fletor e o outro adota interpolação linear para o
campo de deslocamento e interpolação constante para o campo de momento fletor. O critério
de ruptura é linearizado em um número definido de hiper-planos. Estes autores utilizam o
princípio dos deslocamentos virtuais e o princípio das tensões virtuais para derivar os
problemas de programação matemática (PL) associados aos teoremas estático e cinemático,
respectivamente. Tendo em vista que os PL’s obtidos são duais, o mesmo fator de carga é
obtido pelo teorema cinemático e pelo teorema estático. Adicionalmente, se um PL for 12
resolvido, a solução do outro é automaticamente obtida. Anderheggen e Knöpfel (1972)
observam ainda que o campo de tensões só é coerente na direção e na região onde ocorre
fluxo plástico. Como uma grande porção do contínuo pode permanecer rígida durante o
colapso, o campo de tensões obtido para toda a malha de elementos finitos pode não ser muito
significativo. Os autores do trabalho concluem que: o uso eficiente do hardware disponível
pode ampliar enormemente a faixa de problemas que podem ser analisados, fazendo com que
os aspectos de programação assumam um papel preponderante na análise. Uma possibilidade
interessante é utilizar métodos de programação matemática não linear, tendo em vista que,
embora existam trabalhos que comparem métodos de programação matemática linear e não
linear, para uma conclusão definitiva uma quantidade maior de experiência é necessária. Em
resumo, Anderheggen e Knöpfel (1972) apresentam uma formulação fraca de elementos
finitos mistos triangulares, aplicados ao teorema do limite inferior e ao teorema do limite
superior, com programação matemática linear, para a solução de problemas de flexão de
placas.
Christiansen (1981) utiliza elementos finitos mistos para calcular a carga limite de problemas
de deformação plana. O referido autor avalia os efeitos da formulação forte adotada, quanto
ao tipo de interpolação nodal dos campos de velocidades e tensões, obtendo bons resultados
com elementos que consideram tensão constante e interpolação bilinear das velocidades.
Em seu trabalho sobre elementos finitos mistos para análise limite, Casciaro & Cascini
(1982), destacam o problema em duas linhas gerais, descritas a seguir:
• Primeiramente o problema de análise limite é formulado por um princípio variacional
misto onde o campo de tensões e velocidades no colapso são obtidos a partir de uma
condição estacionária para o funcional de Hellinger-Reissner. Nesta direção, utilizam-se de
técnicas bem estabelecidas e disponíveis para uma conveniente discretização do problema
contínuo. De qualquer modo, o procedimento de solução é reduzido a um processo de
minimização irrestrita;
• Por fim, o uso de elementos finitos mistos, com interpolação independente dos campos
de velocidade e tensão é proposto, abandonando o objetivo de obter limites inferior e superior
da carga de colapso, em favor de se conseguir uma melhor aproximação para esta carga, do
ponto de vista prático.
13
O trabalho sobre análise limite de problemas geotécnicos pelo método dos elementos finitos,
apresentado por Tamura et al. (1984), investiga uma abordagem numérica para analisar o
estado limite de estruturas de solo, assumindo que as propriedades mecânicas do solo são
rígido-plásticas. Os autores primeiro deixam claro a estrutura matemática do método dos
elementos finitos rígidos plásticos, em seguida mostram a equivalência das formulações
baseadas no teorema do limite superior e nas condições de equilíbrio e finalmente discutem os
resultados numéricos de exemplos típicos (fundação corrida e estabilidade de talude),
enfatizando a utilidade e potencialidade do método no campo da engenharia geotécnica. O
desenvolvimento da formulação matemática no trabalho em análise leva a um funcional, para
o qual a análise limite por meio de elementos finitos é apresentada como um problema de
encontrar um ponto de sela do mesmo. O sistema governante final tem a forma de um sistema
de equações não lineares, as quais são resolvidas iterativamente pelo método de Newton-
Raphson. Os elementos finitos utilizados são elementos finitos mistos de quatro nós com
formulação fraca e as condições de resistência são representadas pelo critério de Mohr-
Coulomb. Os autores chegam às seguintes conclusões:
• O elemento finito rígido plástico baseado no teorema do limite superior, no qual o
ponto de sela do funcional é considerado como a solução do problema, é equivalente à
formulação baseada nas condições de equilíbrio.
• A convexidade do problema é um aspecto notável da presente análise limite e é uma
importante regra para a equivalência citada acima.
• O procedimento de programação do método apresentado é formalmente quase o
mesmo do método dos elementos finitos tradicionais com restrições, exceto porque ele
necessita ser solucionado pelo método de Newton-Raphson, já que as equações do
sistema governante final são não lineares com relação à velocidade. Mas devido à
convexidade, o método apresentado no trabalho é estável e de fácil manuseio.
Tendo em vista a proximidade entre os valores encontrados nos exemplos numéricos,
analisados neste trabalho, e os valores fornecidos na literatura, o procedimento apresenta uma
boa confiabilidade do ponto de vista prático. Por essa razão ele pode ser aplicado a muitos
problemas geotécnicos de análise limite com condições de contorno gerais.
Arai & Tagyo (1985) apresentam uma procedimento para análise limite de problemas
geotécnicos baseados no teorema do limite inferior, com formulação fraca, utilizando
elementos quadrilaterais mistos de quatro nós, com tensão constante. O procedimento
apresentado baseia-se na técnica utilizada por Lysmer (1970), de modo que o sistema 14
governante tem a forma de um problema de programação matemática não linear. Os autores
utilizam ainda programação matemática não linear com o método de pontos interiores
denominado SUMT (Sequential Unconstrained Minimization Technique). Esse método
minimiza a função objetivo no interior da região factível, evitando os contornos, os quais
representam as restrições. A formulação apresentada é validada utilizando sua aplicação em
problemas de estabilidade, notadamente o problema de fundação corrida e o problema de
estabilidade de taludes. Os autores concluem que foi desenvolvido um procedimento
numérico para solução apropriada de problemas de limite inferior em uma grande faixa de
problemas de estabilitade. Para evitar os problemas apresentados no método de Lysmer, tais
como discretização complexa do campo de tensões e linearização obrigatória do critério de
Mohr-Coulomb, o procedimento apresentado discretiza o campo de tensões de maneira
similar ao método dos elementos finitos e emprega técnica de programação matemática não
linear. Outra conclusão que merece destaque diz respeito ao fato de utilizar elemento finito
constante em tensão, para o qual não é possível impor a condição de carregamento sem atrito,
em problemas de fundação corrida, tendo em vista que a tensão cisalhante é constante em
todo o elemento e não somente nos nós que estão em contato com o carregamento. Os autores
apresentam ainda a faixa de valores das propriedades do solo em que a formulação
apresentada é eficiente. Segundo os autores é possível analisar problemas de estabilidade para
solos com coesão, atrito e peso próprio, ressaltando que existem dificuldades na análise
quando o valor do ângulo de atrito é muito alto. Finalmente, as conclusões do trabalho em
questão destacam que os resultados encontrados nos exemplos numéricos analisados são
coerentes com os valores apresentados na literatura. A partir das duas linhas gerais
apresentadas acima (formulação mista e elemento finito misto), o problema de análise limite é
formulado de modo que as condições de escoamento e as equações de consistência cinemática
são satisfeitas exatamente; contrariamente, as equações de equilíbrio e a lei de fluxo plástico
são satisfeitas de maneira aproximada. A formulação leva à obtenção do sistema governante
como um problema de programação matemática não linear, o qual é resolvido com a técnica
de minimização seqüencial irrestrita. O objetivo central em se utilizar a programação
matemática não linear é reduzir o número de inequações que formam as restrições do
problema, evitando assim a necessidade de se utilizar algoritmos eficientes em problemas
lineares de grande escala. O trabalho utiliza um elemento finito misto denominado “Simplex
Finite Elements” o qual é linear tanto nas tensões quanto nas velocidades e é constituído por
camadas, as quais podem modelar contínuos de qualquer tipo. Ainda no trabalho de Arai &
Tagyo, a formulação apresentada é aplicada tanto a problemas de engenharia estrutural quanto 15
a problemas de mecânica dos solos. De forma mais específica, são analisados problemas de
flexão de placas, estado plano de tensão e estado plano de deformação. Resultados numéricos
são apresentados para um grande número de exemplos e os resultados são comparados com
outros existentes na literatura.
Os autores concluem que as diferenças das soluções encontradas com a formulação
apresentada em relação a soluções exatas e numéricas situam-se em aproximadamente um por
cento. Os resultados obtidos permitem concluir que: é confirmada a utilidade da formulação,
tanto do ponto de vista conceitual quando do ponto de vista computacional, reduzindo o
problema de análise limite para uma formulação variacional clássica; é conveniente a
utilização de modelos mistos que facilitam a tarefa de gerar e calcular elementos finitos
específicos, bem como a introdução de aspectos não lineares do problema; e é efetivo
abandonar a obtenção de limites inferior ou superior, tendo em vista que é possível obter
estimativas da carga de colapso as quais são consideravelmente acuradas com relação a
padrões tradicionais e suficientemente precisas com relação às necessidades técnicas.
Sloan (1988a), em seu trabalho sobre análise limite utilizando elemento finito e programação
matemática, estende a formulação de Botero et al. (1980) e descreve uma formulação de
elementos finitos triangulares, com interpolação linear do campo de tensão, para obter o limite
inferior da carga de colapso, em condições de deformação plana. A formulação apresentada
assume um modelo de comportamento perfeitamente plástico para o solo, o qual pode ser
puramente coesivo e com coesão e atrito. Elementos infinitos são utilizados para modelar os
problemas com domíno semi-infinitos, permitindo a geração de um campo de tensões
estaticamente admisível para essa classe de problemas. Considera-se que o campo de tensões
em cada elemento varia linearmente no interior do mesmo. Descontinuidades de tensões
estaticamente admissíveis são permitidas nas bordas dos elementos triangulares e entre
elementos infinitos. Tanto a carga de colapso quanto o peso próprio do solo podem ser usados
para definir a função objetivo do problema de programação linear equivalente ao critério
estático. O problema é formulado em termos das equações de equilíbrio, das condições de
resistência e das condições de contorno em tensão, de modo a se obter um PL, o qual é
resolvido utilizando-se um algoritmo desenvolvido pelo próprio autor (Sloan, 1988b), que
busca a direção de máxima descida para as restrições ativas. As incógnitas do problema são as
tensões atuantes nos nós dos elementos. A formulação apresentada é aplicada em problemas
de fundação corrida, com carregamento em condições drenada e não drenada. O autor 16
compara os resultados obtidos no trabalho em questão com resultados fornecidos na literatura
e obtidos por meio de formulações analíticas. O autor conclui que o método calcula um limite
inferior rigoroso da carga de colapso e que este limite é suficientemente preciso para cálculos
práticos.
Sloan (1989), estendendo a formulação de Botero et al. (1980), descreve uma formulação de
elementos finitos triangulares, com interpolação linear do campo de tensão, para obter o limite
superior da carga de colapso, em condições de deformação plana. A formulação apresentada
assume um modelo de comportamento perfeitamente plástico para o solo, o qual pode ser
puramente coesivo e com coesão e atrito. O problema é formulado em termos das condições
de compatibilidade, da lei de fluxo plástico, energia dissipada e condições de contorno em
velocidade, de modo a se obter um PL, o qual é resolvido utilizando-se um algoritmo,
desenvolvido pelo próprio autor (Sloan, 1988b), que busca a direção de máxima descida para
as restrições ativas. As incógnitas do problema são velocidades nodais e as taxas de
multiplicadores plásticos para os elementos. É necessária a colocação de linhas de
descontinuidades de velocidades em pontos da malha de elementos finitos adotada. A malha
de elementos finitos utilizada é construída por triângulos inseridos em quadriláteros, de modo
que cada quadrilátero é dividido em quatro triângulos, com o nó comum aos triângulos
coincidente com o centróide do quadrilátero. Essa distribuição de elementos é necessária para
permitir que o triangulo de três nós modele de forma conveniente a condição de
incompressibilidade em problemas de deformação plana. A formulação apresentada é aplicada
em problemas de fundação corrida, com carregamento em condições drenada e não drenada, e
em problema do tipo alçapão em solo. O autor compara os resultados obtidos no trabalho em
questão com os resultados obtidos por meio do limite inferior em Sloan (1988a). O autor
conclui que o método calcula um limite superior rigoroso da carga de colapso, conclui ainda
que esse limite é suficientemente preciso para cálculos práticos e que os valores obtidos
podem ser utilizados em conjunto com os valores obtidos pelo teorema do limite inferior
(Sloan, 1988a) para fornecer o valor exato da carga de colapso exata.
No trabalho de Chuang (1992a), uma formulação para a análise limite de problemas de
estabilidade em geomecânica é apresentada. O sistema governante é composto por uma par de
programas lineares dual-primal que representam, respectivamente, o teorema estático e o
teorema cinemático em uma versão discreta. O domínio da massa de solo é dividido em
elementos rígidos conectados por interfaces que obedecem ao critério de ruptura de Mohr-17
Coulomb. Para uma malha de elementos finitos gerada, a solução do programa linear
associado ao critério cinemático identifica o mecanismo de colapso crítico entre todos os
possíveis mecanismos de ruptura contidos na malha e fornece os valores das variáveis
estáticas e cinemáticas, assim como o fator de carga de colapso. A solução é cinematica e
estaticamente admissível para a discretização adotada. O método proposto está habilitado para
lidar com forças externas, variações da pressão neutra e materiais não homogêneos,
considerando tanto coesão quanto ângulo de atrito. A formulação gerada é aplicada na análise
de estabilidade de um problema de corte vertical em solo puramente coesivo. O autor destaca
as seguintes conclusões: a análise limite de problemas de estabilidade foi formulada com
sucesso; para uma malha de elementos finitos adotada o mecanismo de ruptura é obtido; e,
este método pode ser aplicado à análise de estabilidade em rochas com vários planos de
fraqueza, podendo também ser estendido para análise sísmica, através da inclusão de forças
horizontais e verticais estaticamente equivalentes a forças sísmicas.
Em um segundo trabalho, Chuang (1992b) aplica a formulação gerada em Chuang (1992a) em
problemas de fundação corrida e estabilidade de talude. Consideram-se problemas com
propriedades variadas tais como: solo puramente coesivo, solo com coesão e atrito, solo não
homogêneo, solo com pressão neutra variável, peso próprio fixo e variável. Apresenta-se
ainda uma comparação de resultados fornecidos pela análise limite e pelo método de
equilíbrio limite. Chuang conclui:
• O método pode ser aplicado em uma grande variedade de problemas, fornecendo
respostas compatíveis com outros resultados apresentados na literatura;
• Para um mecanismo de ruptura de forma arbitrária, o método apresentado determina
de forma precisa o limite superior equivalente;
• A aplicação do método desenvolvido não está limitado á análise de estabilidade de
problemas de massa de solo, podendo também pode ser aplicado a problemas de
estabilidade em rochas com coesão e atrito nas interfaces.
Araújo (1997), em sua tese de doutoramento, aplica a análise limite com formulação fraca e
elementos mistos triangulares e quadrilaterais, com interpolação linear e constante, a diversos
problemas de estabilidade em geotecnia, tais como problemas de empuxo, maciços rochosos
fraturados e capacidade de carga de fundação superficial. No referido trabalho é apresentada
ainda uma formulação para análise limite de problemas em meios com fluxo não associado.
Neste trabalho utiliza-se o critério de ruptura de Mohr-Coulomb e o sistema governante tem a 18
forma de um problema de programação matemática linear, o qual é solucionado utilizando o
software comercial LINDO.
Lyamin e Sloan (1997) reapresentam a formulação de limite inferior do trabalho desenvolvido
por Sloan (1998a), considerando desta feita o critério de ruptura de Mohr-Coulomb de forma
não linear. O trabalho centraliza-se na obtenção de um algoritmo não linear para solução do
sistema governante. O referido algoritmo é baseado no algoritmo de pontos interiores de
Herskovits (1986), com duas diferenças significativas: obtenção de uma solução inicial
factível, garantindo que a solução encontrada, mesmo quando o algoritmo falha, seja um
limite inferior da carga de colapso; e interpretação das particularidades dos critérios de
ruptura usados em solos com o objetivo de melhorar a performance do algoritmo original.
Yu et al. (1998) desenvolvem uma comparação entre a análise plástica limite e a análise via
equilíbrio limite, notadamente os dois métodos mais populares para análise de estabilidade em
geomecânica. O trabalho tem como objetivos principais: apresentar uma formulação para os
limites inferior e superior rigorosos em estabilidade de taludes, para solos homogêneos e não
homogêneos (resistência aumentando linearmente com profundidade); e checar a precisão do
método de Bishop (1955) quando comparado às soluções fornecidas pela análise limite. Os
resultados obtidos para a análise limite baseiam-se na formulação apresentada em Sloan
(1988a), no qual se considera um campo de tensões em cada elemento variando linearmente.
Elementos infinitos podem ser usados para estender a solução em um domínio semi-infinito,
gerando assim um campo de tensões estaticamente admissível para problemas em domínios
semi-infinitos. Nos métodos de equilíbrio limite, considerando-se o solo como sendo elástico
perfeitamente plástico e obedecendo a uma lei de fluxo plástico associada, o mecanismo
obtido é, usualmente, cinematicamente inadmissível. Adicionalmente, a admissibilidade
estática do campo de tensões também não é satisfeita, tendo em vista que algumas hipóteses
arbitrárias são adotadas para remover indeterminações estáticas. Somente a condição de
equilíbrio global é satisfeita. Assim, baseado nas características do equilíbrio limite e da
análise plástica limite, pode-se dizer que os métodos de equilíbrio limite possuem uma
natureza aproximada e arbitrária e os resultados obtidos a partir deste método não são nem
limite inferior nem limite superior da carga de colapso. No trabalho em discussão, os autores
analisam uma grande quantidade de taludes em condições de estabilidade drenada e
estabilidade não drenada. Os autores concluem que:
19
• Para muitos casos considerados no estudo, a diferença entres as respostas analíticas
fornecidas por Chen (1975) e a análise limite, tanto para a condição drenada quando
para a condição não drenada, ficaram em torno de 5% a 10%.
• No caso especial de taludes homogêneos, as soluções de limite superior para taludes
de grande altura são ligeiramente mais altas que os limites superiores apresentados em
Chen (1975) para taludes com a superfície de ruptura passando abaixo do pé do talude.
• A comparação detalhada dos valores dos limites encontrados pelo método de análise
limite com os valores encontrados pelo método de equilíbrio limite de Bishop sugere
que a análise de equilíbrio limite fornece soluções razoáveis para taludes homogêneos
e tende a subestimar a carga de colapso.
• Para taludes em condições não drenadas, o incremento de resistência com a
profundidade tem um efeito significante no fator de estabilidade. É interessante notar
que o fator de estabilidade incrementa praticamente de forma linear com o parâmetro
que representa o incremento da resistência com a profundidade.
Tamura et al. (1987) aplicam a mesma formulação de Tamura et al. (1984) para avaliar a
influência do ângulo de atrito em materiais geotécnicos, utilizando o critério de escoamento
de Drucker-Prager, assim como desenvolvem uma técnica numérica para o comportamento de
fluxo não associado. Essa formulação também é aplicada a fundações superficiais sobre
meios contínuos com descontinuidades (Tamura and Park, 1989), sendo que no meio contínuo
é utilizado o critério de ruptura de Drucker-Prager e nas descontinuidades o critério de Mohr-
Coulomb. Assim como nas modelagens anteriores, são utilizados elementos isoparamétricos
de quatro nós. Adachi e Tamura (1992) aplicam a formulação a problemas de empuxo (ativo
e passivo) em túneis e validam os resultados com dados experimentais e com a solução
analítica de Terzaghi, encontrando bons resultados. Asaoka et al. (1992) acrescentam às
equações da formulação original de Tamura et al. (1984) equações lineares que correspondem
à variação da tensão de confinamento com a profundidade, e aplicam esta formulação a um
problema de fundação superficial em material argiloso com pressão de confinamento variável,
sendo a solução numérica validada com a solução apresentado por Davis e Booker (1973).
Eles também estudam o comportamento acoplado (solo-água) da fundação, para o qual
consideram o modelo Cam clay. Os resultados obtidos são comparados com os resultados do
modelo de Sekiguchi-Otha. Asaoka et al. (1994) mudam a condição de equilíbrio da
20
formulação original para modelar problemas com solo reforçado. Eles aplicam esta técnica a
problemas de capacidade de carga e estabilidade de taludes (Apud, Farfán, 2000).
Jiang (1995) apresenta uma formulação numérica alternativa para a determinação do campo
ótimo de velocidades cinematicamente admissíveis. Com tal propósito, o coeficiente de
viscosidade é incluído no funcional da energia de dissipação plástica (função não-linear
convexa). O campo de velocidades que minimiza a função é obtido utilizando o método de
Lagrange aumentado. A formulação basicamente minimiza uma função objetivo que é um
funcional de energia viscoplástica. Isto é feito por meio de um método de programação não-
linear (PNL). Jiang utiliza o método de Lagrange aumentado para transformar o funcional
viscoplástico não-linear num funcional localmente não-linear. Com o campo de velocidades
obtido, é determinada a carga limite do problema. O autor só garante a unicidade da solução
quando a função de escoamento é estritamente convexa. Esta técnica não lineariza a função
de escoamento e as equações do Lagrangiano são discretizadas com elementos finitos
isoparamétricos, de forma iterativa, tornando o processo mais simples. Uma outra vantagem
deste método é que não é preciso calcular os multiplicadores plásticos, pois a taxa de
dissipação plástica é função da taxa de deformação plástica (lei de fluxo associado). Jiang
valida sua formulação com soluções analíticas em problemas de uma placa em cunha sujeita à
tração, um cilindro de parede grossa sujeito à pressão e um problema de capacidade de carga.
No primeiro exemplo, utiliza o critério de escoamento de von Mises e obtém uma
aproximação de 4% acima da carga de colapso analítica. No segundo exemplo, utilizando o
mesmo critério, obtém a mesma carga de colapso que a carga analítica e, no terceiro exemplo,
utilizando o critério de Mohr-Coulomb, uma carga de colapso 5% superior à carga analítica.
Em todos esses exemplos é utilizada uma malha de elementos finitos formada por elementos
isoparamétricos de três nós com distribuição linear das velocidades (Apud, Farfán, 2000).
Antão et al. (1997) aplicam a formulação de Jiang (1995) a problemas de estabilidade de
aterro, estabilidade de frente de escavação subterrânea e capacidade de carga. O primeiro
exemplo é modelado com elementos quadrilaterais (quatro nós), material Mohr-Coulomb e é
validado com observações de campo; para o segundo exemplo utilizam elementos de três nós
e validam a solução com os resultados do modelo de Davis et al. (1980). O último exemplo é
modelado em três dimensões (3D) obtendo mecanismos de colapso coerentes. Os dois
últimos exemplos são modelados com dois critérios de escoamento (Tresca e Mohr-Coulomb)
(Apud, Farfán, 2000).
21
Farfán (2000), em sua tese de doutoramento, estuda a análise limite de problemas geotécnicos
em duas e três dimensões, usando uma formulação fraca e elementos finitos mistos lineares
considerando problemas de estabilidade em geotécnica. Farfán trabalha tanto com métodos de
programação matemática linear quanto com métodos de programação matemática não linear.
O autor desenvolve ainda uma ampla revisão bibliográfica, classificando as formulações
apresentadas, conforme reproduzido na tabela 2.3 da presente tese. Observa-se na referida
tabela que a distribuição do tipo de formulação em relação aos trabalhos é bastante
equilibrada, sendo que as formulações fracas estão presentes em aproximadamente 57% dos
trabalhos analisados, e, conseqüentemente, as formulações fortes aparecem em 43% dos
trabalhos estudados. As principais conclusões do trabalho de Farfán são: a técnica de análise
limite, aplicada a contínuos de Cosserat, pode ser considerada como uma clara opção para a
solução de problemas de estabilidade; a análise limite é rápida e precisa quando comparada às
técnicas usuais empregadas; as validações realizadas considerando-se dois conjuntos de
parâmetros para as descontinuidades no ensaio biaxial em maciço fraturado mostram-se
consistentes quando comparadas com as curvas experimentais; foram testados os programas
LINGO, MINOS e LANCELOT. O uso destes programas permite afirmar que, em termos de
velocidade de processamento, o LINGO e o MINOS são mais rápidos que o LANCELOT. No
entanto, os mecanismos de ruptura apresentados pelo LINGO não se mostraram adequados,
ao contrário daqueles fornecidos pelo MINOS e LANCELOT; os valores obtidos para a carga
de colapso são bastante próximos das soluções analíticas.
2.6 COMENTÁRIOS FINAIS
Não foi encontrada na literatura estudada nem aplicação de elementos finitos híbridos
lineares, nem aplicação de elementos finitos mistos de ordem mais alta que linear, em
problemas de análise limite em geotecnia. Assim, o presente trabalho está prioritariamente
interessado na aplicação de elementos finitos híbridos e elementos finitos mistos de ordem
superior, tanto no caso de elementos lagrangeanos quanto no caso de elementos finitos
serendipity, aplicados a problemas de engenharia geotécnica, com ênfase na análise plástica
limite, sendo esse assunto de grande relevância e pouco explorado na literatura atual. Uma das
vantagens das formulações híbridas e mistas é o fato de que as mesmas já satisfazem
separadamente as condições de equilíbrio, compatibilidade e material, permitindo executar a
análise plástica limite via programação matemática diretamente. De fato, nas formulações
22
híbridas e mistas a relação de equilíbrio é obtida de forma direta já que as tensões são
variáveis primárias. Como parte da presente tese de doutoramento foi desenvolvido um
software em ambiente gráfico interativo, o qual possui funcionalidades de edição gráfica e
interface via arquivo DXF (Data Exchange File) com outros softwares. Vale ressaltar que o
software desenvolvido permite maior agilidade na manipulação de problemas de estabilidade
em geotecnia, tanto para finalidade de pesquisa quanto para projeto de obras geotécnicas.
Tabela 2.3 Classificação das formulações (Farfán, 2000)
Trabalho Tipo de Formulação Lysmer, 1970 Forte Botero et al. 1980 Forte Sloan, 1988a Forte Singh & Basudhar, 1993 Forte Lyamin & Sloan, 1997 Forte Pontes, 1993 Fraca Anderheggen & Knöpfel, 1972 Fraca Botero et al. 1980 Forte Tamura et al. 1984 Fraca Sloan, 1989 Forte Asaoka & Kodaka, 1992 Fraca Jiang, 1995 Fraca Anderheggen & Knöpfel, 1972 Fraca Christiansen, 1981 Forte Arai & Jinki, 1990 Forte Casciaro & Cascini, 1982 Fraca Munro, 1982 Fraca Chuang, 1992 Fraca Araújo, 1997 Fraca Farfán (2000) Fraca Presente Trabalho Fraca
No próximo capítulo serão apresentadas as formulações matemáticas desenvolvidas neste
trabalho para o problema de análise limite via programação matemática, com a utilização de
elementos finitos mistos e híbridos. O software desenvolvido será apresentado no Capítulo 4.
23
CAPÍTULO 3
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
3.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo descreve-se a formulação utilizada na análise plástica limite, para problemas de
estados planos de deformação, de tal forma que a análise possa ser realizada através da
utilização da programação matemática. A formulação apresentada emprega elementos finitos
mistos e híbridos, em conjunto com os teoremas clássicos da teoria da plasticidade. Utiliza-se
um modelo de material rígido-plástico, com as tensões obedecendo o critério de ruptura de
Mohr-Coulomb. Considera-se ainda como válida a hipótese de plasticidade associada. É
válida ainda a hipótese de pequenos deslocamentos para as equações governantes da estática
(equilíbrio) e da cinemática (compatibilidade).
A teoria da análise limite considera o comportamento tensão-deformação dos materiais de
maneira idealizada como rígido, perfeitamente plástico com o objetivo de calcular a carga do
limite plástico. Esta carga do limite hipotético fornece uma boa aproximação à carga de
colapso plástico físico (Chen & Liu, 1990).
3.2 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO ELEMENTO FINITO MISTO
Neste item do presente trabalho adotam-se as formulações fracas baseadas tanto no teorema
do limite inferior quanto no teorema do limite superior (por exemplo, Santos da Silva, 1997),
considerando-se elementos finitos mistos, com interpolação do campo de velocidades e do
campo de tensões.
3.2.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO E COMPATIBILIDADE
As equações de equilíbrio e de compatibilidade são obtidas a partir de uma formulação de
elementos finitos, com interpolação do campo de deslocamentos e do campo de tensões, e da
24
utilização do princípio dos trabalhos virtuais. Considerando-se um corpo submetido a um
estado de deformação plana, o campo de deslocamentos pode ser escrito, em um sistema de
eixos (x,y), como
=
vu
u (3.1)
Tendo em vista que o presente trabalho trata de análise limite, a cinemática do problema será
descrita em termo de velocidades. Assim, o campo de velocidades pode ser escrito como
=
vu&
&&u
(3.2)
O vetor das taxas de deformações pode ser escrito como
=
xy
y
x
γεε
&
&
&
&ε
(3.3)
Escreve-se a relação de compatibilidade entre as taxas de deformação e as velocidades como
+
=
=
xv
yu
yvxu
xy
y
x
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
γεε
&&
&
&
&
&
&
&ε
(3.4)
Define-se o campo de tensões independentes da seguinte forma
=
xy
y
x
τσσ
σ
(3.5)
Adotando-se uma interpolação para o campo de velocidades pode-se escrever
uNu && u= (3.6)
onde é o vetor de velocidades em um ponto qualquer; Nu& u é a matriz de funções de
interpolação; e u é o vetor de velocidades nodais para um elemento. &
25
O vetor de velocidades em um elemento é então dado por
=
=
= ∑
=
nne
nne
nne
nnenne
i ii
ii
vu
vu
NNNN
vNuN
vu
&
&
&
&
&
&
&
&&
.
..
.1
1
1
1
1u
(3.7)
ou
[ ]
=
nne
nneuuuu
u
uu
NNN
&
&
&
&.
. 2
1
21
(3.8)
onde nne é o número de nós no elemento.
Substituindo-se (3.6) em (3.3), obtém-se o vetor de taxas de deformações em função das
velocidades nodais, ou seja,
uBuB &&
&&
&
&
& ==
+
= ∑∑==
inne
ii
nne
i
ii
ii
ii
ii
vx
Nu
yN
vy
N
ux
N
11
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂
ε
(3.9)
onde B é a matriz de deformação generalizada do elemento.
Interpolando-se o campo de tensões tem-se
σσ σN= (3.10)
onde σ é o vetor de tensões em um ponto qualquer no domínio do elemento; Nσ é a matriz de
funções de interpolação; e σ é o vetor de tensões nodais para um elemento.
Considerando-se um elemento de deformação plana no qual atuam cargas distribuídas p nos
lados do elemento e p nos nós do elemento, pode-se escrever o princípio dos trabalhos
virtuais como
∫∫∫∫ +=A
TT
A
T dAudA pup &&& δδδ σε (3.11)
26
Substituindo-se (3.6), (3.9) e (3.10) em (3.11), obtém-se
∫∫∫∫ +=A
TTu
T
A
TT dAdA pupNuNBu &&& δδδ σ σ (3.12)
( ) ∫∫∫∫ +=A
TuA
T dAdA ppNNB σσ (3.13)
Definindo-se
∫∫=A
T dAσNBL (3.14)
e
∫∫ +=A
Tu dA ppNa (3.15)
a equação (3.13) se torna
σLa = (3.16)
A matriz L na relação de equilíbrio (3.16) é denominada matriz de equilíbrio, relacionando
as tensões nodais σ com as cargas nodais a aplicadas, em um elemento de deformação
plana (por exemplo, Santos da Silva et al., 1997). Levando-se em conta a dualidade estático-
cinemática (por exemplo, Cannarozzi & Laudiero, 1976), pode-se escrever a relação entre
taxa de deformação nodal generalizada q& e velocidade nodal u& como
uLq && T= (3.17)
As expressões (3.16) e (3.17) representam a condição de equilíbrio e a condição de
compatibilidade, respectivamente, para um elemento finito qualquer. Considerando-se todo o
domínio discretizado, as condições de equilíbrio e compatibilidade, para toda a malha de
elementos finitos, são obtidas de acordo com a disposição e conectividade entre elementos.
3.2.2 CONDIÇÕES DE RESISTÊNCIA
Considerando-se um critério de ruptura fornecido pela função f, pode-se escrever o mesmo
para um ponto de controle i como
0)( ≤σif (3.18)
A utilização da expressão (3.18) leva à obtenção de um sistema governante na forma de um
problema de programação não linear (PNL). Tais expressões, que em geral são não lineares,
podem, em alguns casos, ser linearizadas de modo a se trabalhar com sistemas governantes na
forma de um problema de programação matemática linear (PL). Utilizando-se um critério de
27
ruptura linearizado, as condições de resistência, em um ponto qualquer do corpo, são
expressas como *σσ ≤Tn (3.19)
onde n é a matriz de normalidade; e σ* é o vetor das capacidades plásticas.
3.2.3 LEIS DE FLUXO PLÁSTICO
Devido à consideração de plasticidade associada, as leis de fluxo plástico em termos de taxas
(Maier, 1968), e considerando-se (3.18), podem ser escritas como
σ∂∂
=)(
.* σii
pi
fq&&q
(3.20)
0≥*iq& (3.21)
onde *iq& é a taxa dos multiplicadores plásticos nos pontos de controle i. Fazendo-se
)(σii f∇=F (3.22a)
[ ]TnpcFFF)( . . .21=σF (3.22b)
onde npc é o número de pontos de controle das condições de fluxo, os quais podem ser os nós
dos elementos, os pontos de Gauss ou quaisquer outros pontos de interesse, a expressão (3.20)
pode ser reescrita matricialmente para toda a malha de elementos finitos, como *)( qp && σFq = (3.23)
Alternativamente, pode-se escrever as leis de fluxo plástico para toda a malha de elementos
finitos, em uma forma linearizada, como *qnq && =p (3.24)
onde 0≥*
iq& (3.25)
3.2.4 TEOREMA CINEMÁTICO
O Teorema Cinemático, também conhecido como Teorema do Limite Superior, pode ser
enunciado da seguinte forma:
Se um mecanismo compatível de taxa de deformação plástica (ε e u ) for assumido,
o qual satisfaz às condições das velocidades no contorno, então este campo de
pij&
pij&
28
velocidades é cinematicamente admissível e os carregamentos superficiais ti e cargas
de volume Fi, determinados pela igualdade da taxa do trabalho externo com a taxa da
dissipação interna, serão ambos iguais ou maiores à carga limite verdadeira.
Na descrição do comportamento de materiais, é usual dividir-se o vetor das taxas de
deformações nodais generalizadas q em uma componente elástica e uma componente
plástica . Assim, pode-se escrever que
& eq&
pq&
pe qqq &&& += (3.26)
onde q , q e q são escritos agora considerando-se todo o sistema estrutural. & e& p&
Lembrando-se que, no colapso plástico, as taxas de deformações elásticas são nulas e
levando-se em conta (3.26), pode-se escrever a relação entre taxas de deformação
generalizada e velocidades para a malha de elementos finitos, a partir das contribuições dos
diversos elementos, expressas em (3.17), como sendo
uLq && Tp = (3.27)
Como a taxa de trabalho das forças externas no sistema estrutural deve ser igual à taxa de
energia de deformação plástica, tem-se que, no colapso (por exemplo, Smith, 1990; Sahlit,
1993),
** qua &&TT σ= (3.28)
Assumindo-se o carregamento como sendo proporcional e o vetor de cargas formado por uma
parcela fixa e outra variável, pode-se escrever
fv aaa += λ (3.29)
onde λ é o fator de carga; av é o vetor de cargas variáveis para toda a malha; e af é o vetor de
cargas fixas para toda a malha.
Substituindo-se (3.29) em (3.28) e adotando-se a normalização
1=ua &Tv (3.30)
tem-se que, no colapso,
uaq && Tf
T−= **σλ (3.31)
29
Substituindo-se (3.24) em (3.27) e considerando-se (3.30) e (3.31), pode-se escrever o
problema de programação linear (PL), equivalente ao critério cinemático da análise plástica
limite, como
Minimizar uaq && Tf
T−**σ (3.32a)
Sujeito a
=
− 010 *
uq
Lna
&
&
T
T
(3.32b)
& *q ≥ 0 (3.32c)
Alternativamente, substituindo-se (3.23), escrita matricialmente para todos os pontos de
controle, em (3.27) e considerando-se (3.30) e (3.31), pode-se escrever o problema de
programação não linear PNL, associado ao teorema cinemático, como
Minimizar uaq && Tf
T−**σ (3.33a)
Sujeito a
=
− 01
)(0 *
uq
LFa
&
&
T
T
σ
(3.33b)
& *q ≥ 0 (3.33c)
3.2.5 TEOREMA ESTÁTICO
O Teorema Estático, também conhecido como Teorema do Limite Inferior, pode ser
enunciado como se segue:
Se um campo de tensões (σij) em equilíbrio, distribuído em todo o corpo, pode ser
construído de modo a satisfazer as condições das tensões no contorno e a não violar o
critério de escoamento (f(σij) ≤ 0) em nenhum ponto, então este campo de tensões é
estaticamente admissível, e o corpo não colapsará ou estará na eminência do colapso.
Combinando-se (3.16), agora escrita para toda a malha de elementos finitos, com a equação
(3.29), pode-se escrever a relação de equilíbrio como
0=+− fv aaL λσ (3.34)
30
Utilizando-se as expressões (3.19) e (3.34), obtém-se o problema de PL associado ao critério
estático como
Maximizar λ (3.35a)
Sujeito a
=≤
− fv
T
aLan *σ
σλ0
(3.35b)
Alternativamente, considerando-se (3.18) e (3.34), pode-se escrever o problema de PNL,
associado ao teorema estático, como
Maximizar λ (3.36a)
sujeito a
0)( ≤σif
0=+− fv aaL λσ
(3.36b)
(3.36c)
onde i = 1, 2, ..., npc, sendo npc o número de pontos de controle das condições de resistência.
3.2.6 CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB O critério de ruptura de Mohr-Coulomb no espaço de tensões σx, σy e τxy é dado por
[ 022 222 ≤+−−+− φσσφτσσ sen)(cosc)()( yxxyyx ] (3.37)
onde c é a coesão do material; e φ é o ângulo de atrito interno.
Para linearizar o critério (3.37), utiliza-se a substituição de variáveis (Sloan, 1988):
yxx σσ −= (3.38a)
xyy τ2= (3.38b)
φσσφ sen)(cos2 yxcr +−= (3.38c)
Levando-se em conta as expressões (3.38), o critério de resistência pode ser reescrito como 222 ryx =+ (3.39)
o qual representa um círculo de raio r no sistema de eixos (x,y), conforme indicado na Figura
3.1.
31
k
k+1
r
x
y
Figura 3.1 Aproximação poliédrica circunscrita do critério de Mohr-Coulomb no sistema (x,y).
A superfície de ruptura é assim aproximada por uma superfície poliédrica circunscrita, com n
lados e n vértices. Cada lado é definido pelas coordenadas dos vértices k e k+1 que são:
ββα cos/)cos( −= kk rx (3.40a)
ββα cos/)sen( −= kk ry (3.40b)
ββα cos/)cos(1 +=+ kk rx (3.41a)
ββα cos/)sen(1 +=+ kk ry (3.41b)
onde
nπ
β = (3.42a)
βα kk 2= (3.42b)
A equação do lado k do polígono é expressa como
nkyxyxxxyy kkkkxykkyxkk ,...,2,1 0)()(2))(( 1111 ==−+−+−+ ++++ τσσ (3.43)
Substituindo-se (3.40) e (3.41) em (3.42) chega-se a
nkDCBA XYKYKXK ,...,2,1==++ τσσ (3.44a)
onde
φα sencos += kKA (3.44b)
φα sencos +−= kKB (3.44c)
kKC αsen2= (3.44d)
φcos2cDK = (3.44e)
32
Pode-se então definir a representação poliédrica da superfície de ruptura, em função dos
parâmetros do material c e φ, na forma matricial como sendo:
≤
nxy
y
x
nnn D
DD
CBA
CBACBA
............2
1
222
111
τσσ
(3.45a)
*σσ ≤Tn (3.45b)
onde n é a matriz de normalidade; e σ* é o vetor das capacidades plásticas.
No caso de linearização interna da superfície de ruptura, realiza-se um desenvolvimento
análogo ao apresentado acima, chegando a
)cos(sen)cos( βφβα += kKA (3.46a)
)cos(cossen kKB βαβφ −= (3.46b)
)sen(2 kKC βα= (3.46c)
βφ coscos2cDK = (3.46d)
3.2.7 ELEMENTOS FINITOS ADOTADOS No presente trabalho adotam-se elementos finitos triangulares, elementos finitos quadrilaterais lagrangeanos e elementos finitos quadrilaterais serendipity. Vale ressaltar que não foi encontrada na literatura disponível registro da utilização de elementos finitos de ordem maior que linear na análise plástica limite em geotecnia. 3.2.7.1 ELEMENTOS FINITOS TRIANGULARES Os elementos finitos triangulares têm como principal característica das suas funções de interpolação a utilização de polinômios completos de grau igual ao número de nós do elementos finito. As Figuras 3.2 a 3.5 apresentam os elementos finitos adotados, bem como os termos do triângulo de pascal que são utilizados na interpolação do mesmo.
33
(a)
(b)
Figura 3.2 Elemento finito triangular linear de três nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
(a)
(b)
Figura 3.3 Elemento finito triangular quadrático de seis nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de pascal
(a)
(b)
Figura 3.4 Elemento finito triangular cúbico de dez nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
(a)
(b)
Figura 3.5 Elemento finito triangular quártico de quinze nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
34
3.2.7.2 ELEMENTOS FINITOS QUADRILATERAIS LAGRANGEANOS Nos elementos finitos quadrilaterais lagrangeanos utilizam-se como funções de interpolação o
polinômio interpolador de Lagrange (Oñate, 1995). Isso permite obter as funções de
interpolação dos elementos finitos lagrangeanos como o produto de dois polinômios de
Lagrange unidimensionais em cada uma das coordenadas ξ e η . As Figuras 3.6 a 3.9
apresentam os elementos finitos adotados, bem como os termos do triângulo de Pascal que
são utilizados na interpolação do mesmo.
(a) (b)
Figura 3.6 Elemento finito quadrilátero linear de quatro nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
(a) (b)
Figura 3.7 Elemento finito quadrilátero quadrático de nove nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
35
(a) (b)
Figura 3.8 Elemento finito quadrilátero cúbico de dezesseis nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
(a) (b) Figura 3.9 Elemento finito quadrilátero quártico de vinte e cinco nós: (a) Elemento finito; (b)
Termos considerados no triângulo de Pascal
3.2.7.3 ELEMENTOS FINITOS QUADRILATERAIS SERENDIPITY Os elementos quadrilaterais serendipity são obtidos da seguinte maneira: em primeiro lugar
seleciona-se o número de nós de cada lado para definir uma variação linear, quadrática,
cúbica ou outra qualquer, sobre estes lados garantindo-se a continuidade entre elementos; em
seguida escolhe-se o número de nós internos de modo que se obtenha uma variação
polinômica em ξ e η completa e simétrica, de mesmo grau que a variação adotada para os
lados (Oñate, 1995). Vale ressaltar que este procedimento de obtenção dos termos das funções
de interpolação dos elementos serendipity é um tanto arbitrário. Adicionalmente, não existe
36
consistência teórica na formulação de tais elementos e, conseqüentemente, os mesmos não
possuem compromisso formal de funcionar em todos os casos. Com o intuito de corroborar
essas afirmações, Oñate (1995) relata que as características dos elementos serendipity
impedem que suas funções de interpolação possam ser obtidas de um modo tão sistemático
como as funções de interpolação dos elementos lagrangeanos. É por isso que as funções de
interpolação dos elementos serendipity são obtidas na prática combinando observação e
criatividade. Daí a denominação serendipity para esta família de elementos, como referência
aos descobrimentos engenhosos do príncipe de Serendip, citados nos romances de Horacio
Walpole no século XVIII. Nas Figuras 3.10 a 3.12 são mostrados os elementos finitos
serendipity adotados no presente trabalho.
(a) (b)
Figura 3.10 Elemento finito quadrilátero quadrático de oito nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
(a) (b) Figura 3.11 Elemento finito quadrilátero cúbico de doze nós: (a) Elemento finito; (b) Termos
considerados no triângulo de Pascal
37
(a) (b)
Figura 3.12 Elemento finito quadrilátero quártico de dezessete nós: (a) Elemento finito; (b) Termos considerados no triângulo de Pascal
3.3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO ELEMENTO FINITO HÍBRIDO
A formulação apresentada no item 3.2 é do tipo mista, tradicionalmente utilizada no método
dos elementos finitos quando aplicado à análise limite via programação matemática. Tais
formulações utilizam como ponto de partida o funcional da energia potencial total.
Alternativamente, é possível formular elementos finitos híbridos, os quais são obtidos com a
utilização de funcionais híbridos. Os funcionais híbridos tem um ou mais campos primários
que são definidos somente na interface (contorno). Os princípios variacionais híbridos
representam uma importante extensão dos princípios clássicos da mecânica. Elementos
finitos baseados em funcionais híbridos, chamados de Elementos Híbridos, foram construídos
por volta dos anos 60 (Pian, 1964). O primeiro elemento híbrido era bastante limitado por não
ser capaz de levar em conta as não linearidades e problemas dinâmicos. Entretanto tais
limitações foram gradualmente ultrapassadas com o entendimento e evolução dos conceitos
básicos (Felippa, 2000). Atualmente os princípios híbridos representam uma importante área
de pesquisa na construção de elementos finitos de alta performance (por exemplo, Pian &
Chen, 1982; Pian, 1982; Pian & Sumihara, 1984). A Figura 3.13 apresenta um diagrama que
resume a forma de obtenção de elementos híbridos.
A adoção de elementos finitos híbridos, no presente trabalho, foi motivada pelo fato de o
elemento finito híbrido quadrilátero de quatro nós ser provavelmente o elemento de quatro
nós mais preciso em uma ampla gama de problemas de tensão e deformação plana, em regime
elástico (Zienkiewicz & Taylor, 1994). Esta afirmação de Zienkiewicz & Taylor (1994) pode
38
ser verificada para o problema de flexão de viga, apresentado na Figura 3.14, onde a mede a
distorção do elemento adotado.
Elemento de deslocamento Elemento de tensão
A Figura 3.15
balanço (pon
elemento híb
considerando-
elástica o elem
Figura 3.14
Figura 3.15
- Energia potencial total - Aproximação do campo de deslocamento - Campo aproximado no domínio
Elemento Híbri
Figura 3.13 Resumo da obtenção de ele
apresenta o resultado do deslocamento vertica
to A) para o elemento Q4 usual no método d
rido quadrilátero de quatro nós desenvolvido
se distintos valores para a distorção a. Como
ento híbrido em questão é bastante eficaz.
ν
Viga analisada com elemento finito de deslocam
0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0
0 1 2 3a
Des
loca
men
to v
ertic
al e
m A Hí
Q
Soν
Resultados para elemento Q4 e elemento híbrid
39
- Energia potencial complementar - Aproximação do campo de tensões - Campo aproximado no domínio
do
- Energia potencial total com deslocamentos aproximados no contorno - Energia potencial complementar com campo de tensões aproximado no domínio
mentos híbridos.
l no canto inferior da ponta do
os elementos finitos e para o
por Pian & Sumihara (1984),
pode ser observado, na análise
ento e elemento finito híbrido.
4
brido
4
l. Exata
o de Pian & Sumihara (1984)
3.3.1 MOTIVAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DE ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS Uma motivação original para construir modelos híbridos para o MEF foi a de aliviar as
seguintes dificuldades notadas em elementos finitos elaborados usando os modelos de
deslocamentos:
(a) Relaxar a continuidade requerida – No estudo de placas e cascas baseado na teoria de
Kirchhoff, garantir a continuidade requerida na construção das funções de forma de
deslocamentos do mesmo modelo estrutural é bastante difícil, pois o mesmo requer elementos
conforme de classe C1.
(b) Melhorar a solução de deslocamentos – Com a evolução de elementos conformes de
placas e cascas, notou-se que as malhas grosseiras ou irregulares não produzem bons
resultados. O aparecimento de sobre rigidez no elemento requer um tratamento especial,
levando a um esforço computacional maior.
(c) Melhorar a solução de tensões – A sobre rigidez observada nos elementos elaborados
usando o modelo de deslocamentos compromete a precisão dos resultados relativos aos
esforços.
Os três objetivos descritos acima, no sentido de melhorar a performance dos elementos finitos
de deslocamentos, motivaram a utilização dos elementos híbridos na análise linear elástica. A
extensão para dinâmica e análise não linear não pôde ser feita inicialmente por uma carência
de conhecimento em relação aos deslocamentos no interior do elemento, os quais são
necessários para a obtenção da matriz de massa e matriz geométrica do elemento. Estas
matrizes são obtidas mais facilmente adotando-se um campo de deslocamento no interior do
elemento, o que pode levar à formulação de um elemento híbrido-misto.
Pode-se perguntar por que, então, não usar o princípio variacional misto ao invés de híbrido.
Princípios mistos são simples de entender e parecem dar resultados com boa precisão. Só que
no caso de geometrias irregulares em problemas tridimensionais, os métodos mistos não têm
conseguido o sucesso dos métodos híbridos. Em recentes trabalhos, calculam-se as
componentes internas por intermédio de funcionais mistos como o de Hellinger-Reissner, e
utilizam-se funcionais híbridos para superfície (Felippa, 2000).
40
3.3.2 A FORMULAÇÃO DO PRINCÍPIO VARIACIONAL HÍBRIDO
Considere um corpo elástico de volume V e superfície S como mostra a Figura 3.16, cortada
por uma superfície interna Si, o qual permite que se considere uma descontinuidade de campo.
Estas descontinuidades podem ser de natureza física e/ou computacional. Esta interface Si,
também chamada de contorno interno, divide V em dois subdomínios V+ e V-. Os subvolumes
desconectados têm os contornos S+ e S-, como ilustra a Figura 3.16.
Figura 3.16 Corte no Volume V, Separado pela Superfície Si
Si é o contorno interno e Sx é o contorno externo, sendo formado pela soma do contorno Su
onde os deslocamentos são prescritos e do contorno St onde as forças de superfície são
prescritas.
Para se visualizar melhor os contornos internos é conveniente se trabalhar com o domínio
bidimensional. A Figura 3.17 mostra o domínio separado em quatro pedaços ou subdomínios,
nos quais a integração é executada no sentido anti-horário.
Figura 3.17 Domínio Subdividido em Quatro Partes, com Integração no Sentido Anti-horário.
41
Pode-se notar que cada contorno é atravessado duas vezes em sentidos opostos. A mesma
propriedade é verdadeira para casos tridimensionais, pois há sempre duas faces em interface,
o que torna difícil a sua visualização.
3.3.3 INTEGRAIS DE VOLUME E SUPERFÍCIE
No caso tridimensional, as integrações de volume e de superfície que aparecem no princípio
variacional convencional podem ser generalizadas como se segue. Uma integral de função f
sobre V pode ser efetuada como a soma das integrais sobre o volume em separado na forma
Vm, m = 1,2,...M obtendo-se
∫ ∑ ∫=
=V
M
mV m
fdvfdv1
(3.47)
A integral de superfície da função g é expressa pela contribuição de três contornos, ou seja,
∫∫∫∫ ++=ituS
gdSgdSgdSgdS (3.48)
Como pode ser notado, a integral sobre Si atravessa duas vezes cada face da interface, no
sentido positivo e negativo, respectivamente. Geralmente a integral g corresponde ao fluxo na
forma g = f ⋅ n. Então se a componente de f é contínua em Si as integrais se cancelam, pois n+
= -n-. Conseqüentemente, tem-se que f⋅(n++n-)dS ≡ 0.
Um princípio híbrido é geralmente obtido pela adição de dois funcionais:
PRINCÍPIO HÍBRIDO = FUNCIONAL INTERNO + POTENCIAL DE INTERFACE
3.3.4 A FORMA VARIACIONAL
Para este exemplo, o funcional no interior é o correspondente à energia potencial
complementar total para elasticidade linear, sendo escrito como
CS
CjijiklijklV
ijijC WUdSnudVCu
+−=+−=Π ∫∫ σσσσ ˆ21][ (3.49)
42
Aqui a energia complementar Uc, em termos das tensões, é expressa como:
dVCdVU klijklV
ijijV
ijijC σσεσσ σ ∫∫ ==21
21][ (3.50)
representando a energia interna no corpo, e Wc é o trabalho potencial, sendo um funcional de
campo unitário, só com tensões como campo primário. Na Figura 3.18 esquematiza-se a
forma fraca deste princípio.
Os subscritos i, j, k, l podem variar de um a três referindo-se às direções das coordenadas x, y,
z, respectivamente. Índices repetidos têm o sentido de somatório de acordo com a notação
indicial usual. O subscrito depois de uma vírgula (,) representa a derivada com relação ao
sistema de coordenadas.
Figura 3.18 Diagrama para o Funcional da Energia Potencial Complementar
de Campo Unitário (só Tensões como Campo Primário).
O diagrama apresentado na Figura 3.18 enfatiza a elaboração do funcional da energia
potencial complementar, tendo como variável independente a tensão σ no domínio, e como
variáveis dependentes os deslocamentos u e as deformações ε. O funcional é construído com
as equações de equilíbrio e as relações constitutivas do material na forma flexibilidade.
43
3.3.5 – HIBRIDIZAÇÃO DO FUNCIONAL
Para tornar híbrido este princípio e aplicá-lo a um modelo de elementos finitos, cada elemento
é considerado como um subdomínio individual com o superescrito e, tomando o campo de
deslocamentos no contorno di sobre Si uma variável primária adicional. Este conector de
campo de deslocamentos poderia ser único em Si. Ele funciona como um elo para conectar os
subdomínios. Ao campo de tensões primárias σij é ligada uma integral πd sobre Si, chamado
de potencial de interface, que mede o trabalho perdido ou armazenado em Si.
[ ] [ ] [ ] ∫+Π=+Π=ΠtS jijiijCjijdijCiij
dC dSnddd σσσπσσ ,),( (3.51)
O funcional (3.51) é o funcional híbrido de campo múltiplo com duas variáveis primárias, ou
seja, o campo de tensões σij e o campo de deslocamentos di. Ele não é um funcional misto
porque di não é um campo interno, pois ele existe somente sobre a interface Si.
O diagrama para este princípio híbrido é ilustrado na Figura 3.19,
Independente
Tensões
= uid i
em Su û
internos
Deslocamentos
Deformações
Dependente
σ ε
= σiε j σ
iC jkl kl
b
Forças de corpo
t
Trações de Superfície
σ sobre
Independente
Material (forma flexibilidade)
de interface d
Deslocamentos
0 , =+ i j ijσ Equação de equilíbrio
bem V
V em
St
Figura 3.19 Diagrama para o Funcional do Princípio de Tensão Híbrida.
44
A Figura 3.19 descreve a construção do princípio híbrido cujo funcional corresponde à
energia potencial complementar, onde o mesmo é formulado com tensões no domínio e com a
adição do potencial de interface com o campo de deslocamentos na superfície do elemento.
Na Figura 3.19 foi acrescentada uma parte contendo os deslocamentos prescritos em Su, onde
o campo de deslocamentos passou a ser uma variável primária.
Note-se que as condições de contorno primárias se tornaram fortes, e que as condições de
contorno de trações de superfície são agora fracas. Observa-se ainda que se as forças de
superfície tj = σijnj forem contínuas em Si, ou seja, se não há descontinuidade entre
elementos, πd desaparece como será descrito mais adiante. Isto é uma característica do
potencial de interface, ou seja, eles desaparecem quando não são descontínuos.
3.3.6 O TRABALHO POTENCIAL
O funcional da equação (3.51) pode ser decomposto em dois funcionais distintos, como
dCdC WU +−=Π (3.52)
onde Uc é a energia complementar e Wd é o trabalho potencial, sendo igual a
∫ ∫+=u iS S jijijijid dSnddSnuW σσˆ (3.53)
O funcional Wd inclui o trabalho dos deslocamentos prescritos sobre Su bem como a energia
armazenada ou perdida sobre a interface interna Si.
Para o modelo de elementos finitos é necessário transformar a integral sobre S = Su∪ St∪ Si.,
obtendo-se,
∫ ∫ ∫∫ −−=S S S tjijijijijijijS iji
u ti
dSnddSnddSnddSnd σσσσ (3.54)
Substituindo a identidade acima no funcional expresso em (3.53) obtém-se
∫ ∫−=S S tjijid
T
dStddSndW ˆσ (3.55)
45
A integral sobre Su desaparece considerando a conecção forte di = ûi sobre Su . O último
termo em (3.55) é gerado pela substituição σijnj → sobre St t.
Levando-se (3.55) à equação (3.52), chega-se à forma final
∫ ∫ ∫−+−=+−=V S S tiijijiklijlkijdCiij
dC
t
dStddSnddVCWUd ˆ21],[ σσσσΠ (3.56)
A integral sobre Su desaparece enquanto que a integral sobre St tem a mesma forma
apresentada no funcional da energia potencial total, sendo que, no caso presente, ui é
substituído por di. É importante salientar que o potencial de interface é calculado sobre todo o
contorno S, não só Si.
Aplicam-se estes princípios para formular elementos finitos individuais, como esquematizado
na Figura 3.20,
(a) Malha de elementos finitos
(e) Graus de liberdade dos nós
(d) Elementos Finitos de conexão
(c) Campo interno ligado por elemento de barra
(b) Separação do elemento finito em parte interna e parte de contorno Dois elementos
finitos
Figura 3.20 Passos Conceituais para a Construção do Elemento Finito Híbrido.
Na Figura 3.20(a) tem-se a malha de elementos finitos, em (b) definição de dois elementos
para a representação do princípio híbrido, em (c) tem-se a separação do elemento em uma
46
parte interna e outra parte de contorno, em (d) tem-se o campo interno ligado pelo elemento
de barra, em (e) mostra-se o elemento de barra com o respectivo graus de liberdade.
Note-se que a subdivisão do elemento antecede o princípio a ser construído. Assim, é a partir
da malha de elementos finitos que o princípio nasce.
3.3.7 ELEMENTO DE TENSÃO HÍBRIDO UTILIZADO NO PRESENTE
TRABALHO
Aplica-se, em seguida, Π para a construção de um elemento linear quadrilátero de tensão
plana mostrado na Figura 3.21. O elemento tem espessura h, as propriedades do material são
constantes e a relação constitutiva ε = Cσ é expressa na forma flexibilidade, onde C = E
dC
-1.
Para simplificar a construção do elemento deve-se assumir que o campo das forças de corpo b
seja nulo.
Este elemento tem uma importância histórica por ser o primeiro elemento híbrido
desenvolvido (Pian, 1964). A Figura 3.21 esquematiza um elemento quadrilátero de tensão
plana,
Figura 3.21 Elemento Quadrilátero Bilinear de Tensão Plana.
1
2
3
4
x
y
xx
σ
yy
σ
xy
τ
n 34 ( n x34,
n y 34
)
n 23 ( n x23,
n y 23
)
n 12 ( n x12,
n y12
)
n 41 ( n x41,
n y 41
)
Altura constanteh
Ω(e) domínio do elemento
Γ(e) contorno do elemento
47
Na Figura 3.21 mostra-se esquematicamente o elemento interno com a definição das tensões
para o elemento bilinear de tensão plana. Pode-se observar também o elemento de contorno
definido na superfície do elemento. Note-se que, para facilitar a visualização, o elemento
interior é mostrado esquematicamente separado dos elementos de contorno.
3.3.7.1 CAMPO DE TENSÕES
Para a construção do elemento híbrido, considera-se primeiramente o campo de tensões
internas, que se constitui em uma variável primária. Assume-se que cada componente do
campo de tensão (σxx, σyy, σxy), varie linearmente em x e y,
yxxx 541 ααασ ++= (3.57a)
yxyy 762 ααασ ++= (3.57b)
yxxy 983 ααασ ++= (3.57c)
Os αi (i = 1,2...9) são chamados de parâmetros de amplitude de tensão ou simplesmente
parâmetros de tensão, sendo x e y o sistema de coordenadas generalizadas. Como este campo
deve satisfazer a equação de equilíbrio com força de corpo zero, tem-se:
0=∂
∂+
∂∂
yxxyxx σσ (3.58a)
0=∂
∂+
∂
∂
yxyyxy σσ
(3.58b)
Assim, as componentes de tensão não podem ser independentes, podendo-se verificar as
restrições:
094 =+ αα (3.59a)
087 =+ αα (3.59b)
Substituindo (3.59) na expressão das tensões de cisalhamento na equação (3.57), obtém-se
. Conseqüentemente há somente sete parâmetros de tensões independentes.
Escrevendo-se na forma matricial:
yaxaaxy 473 −−=σ
48
−−=
7
6
5
4
3
2
1
0010000010
00001
ααααααα
σσσ
xyyx
yx
xy
yy
xx
(3.60)
ou seja,
ασ Ψ= (3.61)
3.3.7.2 DESLOCAMENTOS NO CONTORNO
Em seguida, consideram-se os deslocamentos de contorno di. É necessário manter a
compatibilidade entre os deslocamentos do elemento de lado 1-2, que dependem somente dos
deslocamentos dos nós do lado desse elemento. Esta restrição pode ser satisfeita por uma
interpolação linear dos deslocamentos ao longo de cada lado, como
−+
+−+−
+−
=
4
2
2
1
1
4141
2323
1212
1212
41
23
12
12
10000010
000101000000101000000101
21
y
y
x
y
x
y
x
y
x
u
uuuu
d
ddd
MMMMMMMMMM
ξξ
ξξξξ
ξξ
(3.62)
onde ξ são as coordenadas isoparamétricas do elemento linear. Esta equação pode ser escrita
na forma matricial:
ij
uΦd = (3.63)
onde Φ é uma matriz 8x8.
3.3.7.3 FORÇA DE SUPERFÍCIE
A força de superfície dependente ti = σi jnj é associada com o campo de tensões que aparece
no potencial de interface. Para um campo de tensão plana bidimensional, referente às
coordenadas (x, y), as componentes de forças no plano são:
49
yxyxxxx nnt σσ += (3.64a)
yyyxxyy nnt σσ += (3.64b)
Escrevendo (3.64) para o lado 1-2, conforme apresentado na Figura 3.21, e levando-se em
conta a relação (3.61), chega-se a,
αΨNN 121212121212
1212
12
12
00
==
=
σ
σσσ
xy
yy
xx
xy
yx
y
x
nnnn
tt
(3.65)
onde S12 é S calculado sobre o lado1-2. Repetindo esta construção para os outros três lados
obtém-se a relação:
Tαt = (3.66)
sendo t um vetor de oito componentes de força, que são funções das coordenadas da matriz S
escrita em (3.61), ou seja,
[ ]Tyyxyx ttttt 4123231212 K=t (3.67)
T é uma matriz (8 x 7), organizada a partir de quatro sub-matrizes (2x7), que são N12S12,
N23S23, N34S34 e N41S41.
3.3.7.4 FORÇA DE SUPERFÍCIE PRESCRITA
Quando uma força atua sobre o elemento, ela é considerada como força de superfície
prescrita, sendo definida por unidade de comprimento do lado do elemento e espessura do
mesmo. Elas são agrupadas de forma vetorial como
[ Tyyxyx ttttt 4123231212
ˆˆˆˆˆˆ K=t ] (3.68)
3.3.7.5 FORMULAÇÃO DISCRETA
Inserindo as equações (3.61), (3.63), (3.66) e (3.68) no funcional , expressão (3.56), para
um elemento individual, obtém-se
dCΠ
ufGuαFαα T TTdC −+−=Π
21 (3.69)
50
onde as matrizes e vetores acima são iguais a,
∫Ω
− Ω=)(
1e
dh T ΨEΨF (3.70a)
∫ Γ= Γ )(e dh TΦTG (3.70b)
∫ Γ= )( ˆetS dh Φtf (3.70c)
A matriz F é freqüentemente chamada de matriz de flexibilidade. Fazendo agora
estacionário com respeito aos graus de liberdade de tensões e deslocamentos, chega-se a
dCΠ
0GuFαα
=−−=∂
∂ dCΠ
(3.71a)
0fαGu
=−=∂
∂ TuCΠ
(3.71b)
A primeira expressão corresponde à versão discreta da relação de cinemática e a segunda é a
versão discreta da relação de equilíbrio.
Considerando que a matriz F possa ser invertida, o vetor α é calculado na forma α = F-1Gu,
porque os parâmetros de tensões são desconectados de elemento para elemento. Substituindo
α assim obtido na relação (3.71b), chega-se a
0fuGFG =−−1T (3.72)
Pode-se reescrever a relação (3.72) na forma )()()( eee fuK = (3.73)
onde Ke é a matriz de rigidez de um elemento, sendo igual a
GFGK 1)( −= Te (3.74)
Em resumo, E é a matriz de flexibilidade em termos dos parâmetros de tensão α, G é a matriz
de conexão ou matriz de influência, e a transposta de G é chamada de matriz de equilíbrio.
A relação (3.71) pode ser também escrita na forma matricial como
=
fu
α0GGF- 0
T (3.75)
O sistema de equações (3.75) enfatiza o elemento híbrido com os campos de tensões
representado pelos parâmetros α e deslocamentos u independentes, um discreto no domínio e
o outro discreto no contorno respectivamente.
51
3.3.7.6 APLICAÇÃO DA FORMULAÇÃO DISCRETA NA ANÁLISE LIMITE
A seguir descrevem-se os procedimentos para se realizar a análise plástica limite com a
formulação em termos de elementos finitos híbridos, empregando-se o teorema estático e
cinemático e valendo-se do método híbrido que dispõe diretamente a matriz de equilíbrio
necessária à realização da análise.
Considerando o vetor de cargas aplicadas, representado pela expressão (3.29), e levando em
conta que no colapso as taxas de deformação elástica são nulas, o funcional (3.69) se reduz a
uauGαT && TuC −=π (3.76)
onde G é fornecida por
∫ Γ= Γ )(e dTΦTG (3.77)
Fazendo π estacionário em relação às velocidades tem-se dC
0=−=∂
∂ TuC aGα
u&π
(3.78)
ou TaGα = (3.79)
A expressão (3.79) é uma relação de equilíbrio entre cargas nodais e parâmetros de tensão
α, sendo G uma matriz de equilíbrio em termos dos parâmetros de tensão.
a
Vale ressaltar que as condições de resistência expressas em (3.19) são funções da tensão σ.
Assim, para que seja possível a montagem do problema de programação linear equivalente ao
critério estático da análise plástica limite é necessário substituir (3.61) em (3.19), chegando-se
a *σ≤ΨαnT (3.80)
Utilizando as expressões (3.79) e (3.80), obtém-se o problema de PL associado ao critério
estático como
Maximizar λ (3.81a)
Sujeito a
=≤
− fv
T
aαGaψn *σλ0
(3.81b)
52
Alternativamente, é possível gerar o PL equivalente ao critério cinemático da análise plástica
limite. Substituindo-se (3.24) em (3.27), levando-se em conta (3.61) e considerando-se (3.30)
e (3.31), pode-se escrever o problema de programação linear (PL), equivalente ao critério
cinemático da análise plástica limite, como
Minimizar uaq && Tf
T−**σ (3.82a)
Sujeito a
=
− 010 *
uq
Gnψa
&
&
TT
Tv
(3.82b)
& *q ≥ 0 (3.82c)
3.4 RESUMO DAS FORMULAÇÕES ADOTADAS
Considerando-se um problema geotécnico discretizado através de uma malha de elementos
finitos com NE elementos, NN nós na malha, NPG pontos de Gauss em cada elemento, NP
planos na linearização do critério de ruptura, NPC pontos de controle de plasticidade na
malha, NGLL graus de liberdade livres na malha, NPT parâmetros de tensão e NCT
componentes de tensão em cada ponto de controle, pode-se escrever os PL´s associados aos
critérios estático e cinemático para elementos finitos mistos e híbrido como:
Elementos Misto – Limite Inferior Maximizar λ (3.83a)
Sujeito a
=≤
− fv
T
aLan *σ
σλ0
(3.83b)
Elemento Híbrido – Limite Inferior Maximizar λ (3.84a)
Sujeito a
=
− fv
T
aαGaψn *σλ0
(3.84b)
53
Elemento Misto – Limite Superior Minimizar uaq && T
fT
−**σ (3.85a)
Sujeito a
=
− 010 *
uq
Lna
&
&
T
T
(3.85b)
& *q ≥ 0 (3.85c)
Elemento Híbrido – Limite Superior Minimizar uaq && T
fT
−**σ (3.86a)
Sujeito a
=
− 010 *
uq
GnSa
&
&
TT
Tv
(3.86b)
& *q ≥ 0 (3.86c)
onde os vetores e matrizes apresentados nas expressões (3.83), (3.84), (3.85) e (3.86) possuem
a ordem apresentada na Tabela 3.1. Na referida tabela a 2a coluna apresenta as dimensões para
elementos finitos híbridos e a 3a coluna as dimensões para elementos finitos mistos.
Tabela 3.1 Dimensões dos vetores e matrizes para elementos finitos mistos e híbridos
Matriz / Vetor
Dimensão Elemento Misto
Dimensão Elemento Híbrido
*&σ NPC x NP NE x NPG x NP *q& NPC x NP NE x NPG x NP
fa NGLL NGLL
u& NGLL NGLL β - NE x NPT σ NCT x NPC - S NCT x NPC , NE x NPT NCT x NE x NPG , NE x NPT n NCT x NPC , NPC x NP NCT x NE x NPG , NE x NPG x
NP G - NGLL , NE x NPT L NGLL , NCT x NPC -
va NGLL NGLL
54
3.5 COMENTÁRIOS FINAIS
No próximo capítulo serão apresentados detalhes do software desenvolvido para análise limite
de problemas geotécnicos. Dentre os detalhes apresentados, destaca-se a documentação do
referido software utilizando a UML (Unified Modeling Language), um exemplo de utilização
do software para análise de estabilidade de talude e os métodos utilizados na solução dos
problemas geotécnicos.
55
CAPÍTULO 4
SOFTWARE DESENVOLVIDO
4.1 INTRODUÇÃO Um software gráfico iterativo em ambiente Windows, escrito na linguagem de programação
Delphi, foi desenvolvido. O referido programa computacional fornece ao usuário um
ambiente de trabalho com diversas facilidades gráficas, tais como: edição, geração de malhas
de elementos finitos, imposição das condições de contorno, aplicação dos carregamentos e
visualização dos resultados. O software em questão será referenciado neste trabalho como
LAPS (Limit Analysis for Plane Strain).
O sistema operacional Windows 9x da Microsoft, além de ser um sistema de 32 bits, fornece
uma interface gráfica intuitiva para o usuário. A tarefa de desenvolver aplicações para
ambiente Windows tem sido facilitada devido à grande quantidade de softwares que
implementam linguagens de programação com recursos visuais, tais como Delphi, Visual
Basic, Visual Fortran e C++ Builder. Esses softwares são, em grande parte, responsáveis pela
crescente quantidade de aplicações com interface gráfica, possibilitando a geração de
programas de fácil utilização para o usuário. Em particular, o software Delphi é uma
ferramenta RAD (Rapid Application Development) para Windows, orientada a objeto e a
eventos, sendo baseada em componentes. A linguagem de programação sob o Delphi é uma
versão do Pascal orientada a objeto, a qual é denominada Object Pascal.
O software gerado no presente trabalho realiza o pré-processamento por meio da geração de
malhas estruturadas (Hinton e Owen, 1979), efetuando ainda os cálculos necessários à análise
do problema (Santos da Silva et al., 1999) e o pós-processamento através de bibliotecas
OpenGL. O referido software roda em plataforma Windows e realiza a análise limite com a
formulação apresentada no Capítulo 3. A análise de um problema, utilizando-se o referido
programa computacional, pode ser dividida em três partes: a definição da malha de elementos
56
finitos e suas propriedades, a análise do problema propriamente dito e a apresentação dos
resultados. Descreve-se a seguir cada uma das partes com suas peculiaridades.
Na definição da malha de elementos finitos, o ponto de partida é a identificação dos macro blocos de elementos, que definem o contorno de regiões com mesmo tipo de solo. Deverão ser desenhadas linhas no contorno de tais macro blocos ou, alternativamente, estas linhas podem ser importadas de arquivos em formato DXF. Vale ressaltar que os macro blocos são elementos quadriláteros de quatro ou oito lados, os quais serão posteriormente divididos para dar origem à malha de elementos finitos.
Em seguida devem ser criados os grupos de propriedades. Cada grupo é formado pela definição das propriedades do solo e do número de divisões da malha em cada direção. Atribui-se a cada macro bloco definido um tipo de elemento finito e um grupo de propriedades, e efetiva-se a geração da malha. Ainda como definição da malha de elementos finitos é necessário informar quais os tipos de condições de contorno do problema, sendo que o software em análise considera tanto condições de contorno cinemáticas (deslocamentos nas direções x e y), quanto condições de contorno estáticas (tensões normal e tangencial ao contorno). Finalmente deve-se definir os carregamentos atuantes, os quais podem ser concentrados nos nós da malha de elementos finitos ou distribuídos ao longo de lados dos elementos finitos.
Para se efetivar a análise é necessário escolher o tipo de teorema da análise limite a ser utilizado. O software implementa tanto o teorema do limite superior quanto o teorema do limite inferior. É possível optar por programação matemática não linear ou linear; no último caso, tem-se que informar ainda o número de planos utilizados na linearização do critério de ruptura, bem como se tal linearização será externa ou interna à superfície de ruptura. No caso de se obter pela programação matemática não linear, o software em questão implementa o algoritmo de Herkovits (1986), com a modificação de Lyamin & Sloan (1997), ou alternativamente, o algoritmo presente no software comercial LINGO. A escolha dos parâmetros da análise é finalizada pela definição da forma de consideração do peso próprio, o qual pode ser influenciado pelo fator de carga (peso próprio variável) ou não (peso próprio fixo).
Após o término da análise, o programa computacional desenvolvido no presente trabalho fornece automaticamente a carga de colapso. Em seguida é apresentado o mecanismo de
57
ruptura que pode ser visualizado ainda em um módulo desenvolvido utilizando-se a biblioteca de rotinas gráficas OpenGL. Para a solução dos sistemas governantes que representam a formulação dos problemas tratados no presente trabalho, fez-se necessária a interação entre o programa LAPS e alguns softwares comerciais que solucionam problemas de programação matemática linear e não-linear, destacando-se os softwares LINDO (Linear INteractive Discrete Optimizer), MINOS (Murtagh & Saunders, 1987), LINGO e CFSQP (C++ Feasible Sequential Quadratic Programming). 4.2 DIAGRAMAS DE CASOS DE USO Seguindo-se a notação definida na UML (Unified Modeling Language) para modelagem de
softwares orientados a objetos, apresentam-se a seguir os diagramas de casos de uso do
software desenvolvido. Vale ressaltar que o LAPS grava os arquivos em um formato próprio
denominado LAP.
4.2.1 CASO DE USO ABRIR ARQUIVO
Figura 4.1 Diagrama de caso de uso Abrir Arquivo
Este caso de uso possibilita abrir um arquivo pré-gravado no formato LAP. Este caso de uso
(UC) inicia com o ator selecionando a opção “File Open”.
Pré-condições: O arquivo a ser aberto deve existir e ter sido previamente gravado no formato do LAPS. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela abrir arquivo e lista todos os arquivos com
extensão lap. 2 O ator seleciona um arquivo da lista ou digita o nome de um arquivo 3 O LAPS abre o arquivo e apresenta a geometria do problema.
58
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 3: O LAPS não consegue abrir o arquivo
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “File not found”
2 O Ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
4.2.2 CASO DE USO SALVAR ARQUIVO
Figura 4.2 Diagrama de caso de uso Salvar Arquivo
Este caso de uso possibilita salvar um arquivo no formato LAP. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “File Save”.
Pré-condições: Deverá existir alguma informação na tela. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela salvar e lista todos os arquivos com extensão lap
existentes.
2 O ator digita um nome para o arquivo a ser salvo.
3 O ator seleciona opção “OK”.
4 O LAPS salva o arquivo gravado.
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 4: O LAPS não consegue salvar o arquivo
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “error”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
59
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe Passos Descrição
1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exists, replace it ?”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS salva o arquivo
4 O LAPS volta para o estado inicial
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exist, replace it ?”
2 O Ator seleciona opção “NO”
3 O LAPS não salva o arquivo
4 O LAPS volta para o estado inicial
4.2.3 CASO DE USO IMPORTAR ARQUIVO DXF
Figura 4.3 Diagrama de caso de uso Importar Arquivo DXF
Este caso de uso possibilita importar um arquivo pré-gravado no formato do DXF, permitindo
a troca de desenhos entre o LAPS e ferramentas de desenho de engenharia, destacando-se o
AutoCAD. Este UC inicia com o ator selecionando a opção “File Import DXF”.
Pré-condições: O arquivo a ser aberto deve existir e ter sido previamente gravado no formato do DXF. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela abrir arquivo e lista todos os arquivos com
extensão DXF.
2 O ator seleciona um arquivo da lista ou digita o nome de um arquivo
3 O LAPS abre o arquivo e apresenta a geometria do problema.
60
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 3: O LAPS não consegue abrir o arquivo
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “File not found”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
4.2.4 CASO DE USO IMPORTAR ARQUIVO DAT
Figura 4.4 Diagrama de caso de uso Importar Arquivo DAT
Este caso de uso possibilita importar um arquivo pré-gravado no formato DAT. Este UC
inicia com o ator selecionando a opção “File Import DAT”.
Pré-condições: O arquivo a ser aberto deve existir e ter sido previamente gravado no formato do DAT. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela abrir arquivo e lista todos os arquivos com
extensão DAT.
2 O ator seleciona um arquivo da lista ou digita o nome de um arquivo
3 O LAPS abre o arquivo e apresenta a geometria do problema.
4.2.5 CASO DE USO EXPORTAR ARQUIVO PARA DXF
Figura 4.5 Diagrama de caso de uso Exportar Arquivo para DXF
Este caso de uso possibilita exportar os dados do arquivo atual para o formato do DXF,
permitindo a troca de desenhos via arquivo texto com outros aplicativos. Este UC inicia com
o ator selecionando a opção “File Export DXF”.
61
Pré-condições: O arquivo a ser aberto deve existir e ter sido previamente gravado no formato do DXF. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela salvar e lista todos os arquivos com extensão
DXF existentes.
2 O ator digita um nome para o arquivo a ser salvo.
3 O ator seleciona opção “OK”.
4 O LAPS salva o arquivo.
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 4: O LAPS não consegue salvar o arquivo
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “error”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exists, replace it ?”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS salva o arquivo em formato DXF
4 O LAPS volta para o estado inicial
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exists, replace it ?”
2 O ator seleciona opção “NO”
3 O LAPS não salva o arquivo
4 O LAPS volta para o estado inicial
4.2.6 CASO DE USO EXPORTAR ARQUIVO PARA DAT
Figura 4.6 Diagrama de Caso de uso Exportar Arquivo para DAT
62
Este caso de uso possibilita exportar os dados do arquivo atual para o formato do DAT. Este
UC inicia com o ator selecionando a opção “File Export DAT”.
Pré-condições: O arquivo a ser aberto deve existir e ter sido previamente gravado no formato do DAT. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela salvar e lista todos os arquivos com extensão
DAT existentes.
2 O ator digita um nome para o arquivo a ser salvo.
3 O ator seleciona opção “OK”.
4 O LAPS salva o arquivo em formato DAT.
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 4: O LAPS não consegue salvar o arquivo
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “error”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exists, replace it ?”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS salva o arquivo em formato DAT
4 O LAPS volta para o estado inicial
Alternativa ao passo 4: O nome do arquivo já existe
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “file already exists, replace it ?”
2 O ator seleciona opção “NO”
3 O LAPS não salva o arquivo
4 O LAPS volta para o estado inicial
63
4.2.7 CASO DE USO ZOOM JANELA
Figura 4.7 Diagrama de caso de uso Zoom janela
Este caso de uso possibilita apresentar um zoom de uma porção do problema em análise. Este
UC inicia com o ator selecionando a opção “Zoom Window”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1
O ator seleciona um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo de
seleção
2 O LAPS desenha o retângulo de seleção do vértice selecionado até a posição
atual do cursor.
3 O ator seleciona o segundo vértice do retângulo de seleção.
4 O LAPS desenha a porção do problema contido no retângulo de seleção em
toda a tela
4.2.8 CASO DE USO ZOOM TOTAL
Figura 4.8 Diagrama de caso de uso Zoom total
Este caso de uso possibilita voltar o zoom ao estado inicial. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Zoom All”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O ator seleciona a opção “Zoom All”
2 O LAPS apresenta o desenho do problema na escala original
64
4.2.9 DIAGRAMA DE CASO DE USO CONFIGURAR GRID
Figura 4.9 Diagrama de caso de uso Configurar Grid
Este caso de uso possibilita configurar o grid que será utilizado para auxiliar nos desenhos das
malhas. Este UC inicia com o ator selecionando a opção “Grid Grid setting”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o formulário de configuração do grid.
2 O ator fornece os dados: cor do grid, apperture e pode selecionar a opção
align to grid.
3 O ator seleciona o botão “OK”
4 O LAPS redesenha o grid com as configurações selecionadas.
4.2.10 CASO DE USO CONFIGURAR JANELA DE EDIÇÃO
Figura 4.10 Diagrama de caso de uso Configurar Janela de Edição
Este caso de uso possibilita configurar a janela de edição que será utilizada para auxiliar nos
desenhos das malhas. Este UC inicia com o ator selecionando a opção “Grid Dimension”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o formulário dimensions of the grid.
2 O ator fornece os dados para ∆x, ∆y, Xmin, Ymin, Xmax, Ymax e ainda
pode selecionar a opção “show grid“
3 O ator seleciona o botão “OK”.
4 O LAPS mostra a janela de edição conforme a configuração escolhida.
65
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 4: O LAPS não consegue aplicar a configuração escolhida na janela de edição
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “error”
2 O ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
4.2.11 CASO DE USO DEFINIR LINHA MANUALMENTE
Figura 4.11 Diagrama de caso de uso Definir Linha Manualmente
Este caso de uso possibilita definir, de forma manual, as linhas que serão utilizadas para
auxiliar nos desenhos das malhas. Este UC inicia com o ator selecionando a opção “Line
Define Manually”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o formulário de definição da linha.
2 O ator fornece os dados para as coordenadas: xi, xf e yi , yf.
3 O ator seleciona o botão “OK”
4 O LAPS desenha a linha com as configurações selecionadas.
4.2.12 CASO DE USO DEFINIR LINHA GRAFICAMENTE
Figura 4.12 Diagrama de caso de uso Definir Linha Graficamente
Este caso de uso possibilita definir a linha graficamente que será utilizado para auxiliar nos
desenhos das malhas. Este UC inicia com o ator selecionando a opção “Line Ddefine
Grafically”.
66
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O ator clica no ponto inicial da linha
2 O LAPS desenha a linha do ponto inicial até a posição atual do cursor do
mouse.
3 O ator clica no ponto final da linha.
4 O LAPS desenha a linha do ponto inicial até o ponto final definido
4.2.13 CASO DE USO APAGAR LINHA
Figura 4.13 Diagrama de caso de uso Apagar Linha
Este caso de uso possibilita apagar linha. Este UC inicia com o ator selecionando a opção
“Line Delete”.
Pré-condições: A linha a ser apagada deve existir. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o cursor no formato borracha. 2 O ator seleciona a linha a ser apagada 3 O LAPS apaga a linha selecionada pelo ator.
4.2.14 CASO DE USO FORNECER PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS
Figura 4.14 Caso de uso Fornecer Propriedades dos Elementos
Este caso de uso possibilita fornecer propriedades dos elementos finitos. Este UC inicia com o
ator selecionando a opção “Propriedades”.
67
Fluxo Principal: Passos Descrição
1 O LAPS apresenta o formulário Propriedades.
2 O ator fornece os dados: cor dos elementos, unit weight, coesion, frictional
angle. O ator seleciona o número de divisões dos blocos nas direções x e y.
3 O ator seleciona a opção add.
4 O LAPS adiciona a propriedade à lista de propriedade disponíveis
5 O ator seleciona a propriedade que será utilizada
6 O ator seleciona a opção Define as actual
7 O LAPS define a propriedade selecionada como a propriedade atual
8 O ator seleciona a opção close
9 O LAPS fecha o formulário de definição de propriedade
4.2.15 CASO DE USO DEFINIR BLOCOS
Figura 4.15 Diagrama de caso de uso Definir Blocos
4.2.15.1 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR BLOCOS
Este caso de uso possibilita definir o tipo de bloco a ser utilizado. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Blocks”.
Pré-condições: • O tipo de elemento deve ter sido definido • O tipo de bloco deve ter sido definido • Uma propriedade deve ter sido selecionada
68
Fluxo Principal: Bloco unidimensional Passos Descrição
1 O LAPS apresenta o cursor em forma de retângulo
2 O ator seleciona uma linha para cada bloco
3 O LAPS registra as informações dos blocos definidos
Fluxo Principal: Bloco de quatro lados
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o cursor em forma de retângulo 2 O ator seleciona quatro linhas para representar os quatro lados de cada bloco
3 O LAPS registra as informações dos blocos definidos
Fluxo Principal: Bloco de oito lados
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o cursor em forma de retângulo 2 O ator seleciona oito linhas para representar os oito lados de cada bloco
3 O LAPS registra as informações dos blocos definidos
4.2.15.2 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR TIPO DE BLOCO
Este caso de uso possibilita definir o tipo de bloco a ser utilizado. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Blocks Define”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta as opções: Unidimensional, Four Sides e Eight Sides
2 O ator seleciona uma opção.
3 O LAPS registra a opção selecionada
4.2.15.3 DETALHAMENTO DO CASO DE USO DEFINIR TIPO DE ELEMENTO
Este caso de uso possibilita definir o tipo de bloco a ser utilizado. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Blocks Define”.
Pré-condições:
• O tipo de bloco deve ter sido definido • Uma propriedade deve ter sido selecionada
69
Fluxo Principal: Passos Descrição
1 O LAPS apresenta a janela Select Element, com as seguintes opções:
Elementos quadrilaterais de 4, 8, 9, 12, 16 e 17 nós; e elementos
triangulares de 3, 6, 10 e 15 nós.
2 O ator seleciona o tipo de elemento
3 O LAPS registra o tipo de elemento selecionado
4.2.16 CASO DE USO APAGAR BLOCO
Figura 4.16 Diagrama de caso de uso Apagar Bloco
Este caso de uso possibilita apagar um bloco. Este UC inicia com o ator selecionando a opção
“Blocks Delete”.
Pré-condições: O bloco a ser apagado deve existir. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela Block Number.
2 O ator digita o número do bloco a ser apagado
3 O ator seleciona o botão “OK”
4 O LAPS apaga o bloco.
4.2.17 CASO DE USO GERAR MALHA
Figura 4.17 Diagrama de caso de uso Gerar Malha
Este caso de uso possibilita gerar uma malha de elementos finitos. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Mesh Generate”.
70
Pré-condições: Os blocos a partir dos quais a malha será gerada deve ter sido definido. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela Setting for Mesh.
2 O ator fornece o valor da precisão para fusão de nós.
3 O ator seleciona o botão “OK”.
4 O LAPS gera a malha e apresenta a mesma na tela.
4.2.18 CASO DE USO CONFIGURAR CONDIÇÕES DE CONTORNO
Figura 4.18 Diagrama de caso de uso configurar Condições de Contorno
Este caso de uso possibilita definir as condições de contorno. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Boundary Settings”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela Settings.
2 O ator seleciona as cores para condições de contorno estáticas (σx, σy τxy) e
cinemáticas (vx e vy)
3 O ator seleciona o botão “OK”
4 O LAPS volta ao estado inicial.
4.2.19 CASO DE USO DEFINIR CONDIÇÕES DE CONTORNO
Figura 4.19 Diagrama de caso de uso Definir Condições de Contorno
Este caso de uso possibilita definir as condições de contorno. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Boundary Null Velocity ou Prescribed Stress”.
71
Fluxo Principal: Passos Descrição
1 O ator seleciona o tipo de condição de contorno a ser manipulada, condição
de contorno estática (σx, σy, τxy, σn, τn) ou condição de contorno cinemática.
2 O LAPS mostra o cursor em forma de cruz.
3 O ator seleciona um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo de
seleção
4 O LAPS desenha o retângulo de seleção do vértice selecionado até a posição
atual do cursor.
5 O ator seleciona o segundo vértice do retângulo de seleção.
6 O LAPS desenha um retângulo (condição de contorno estática) ou um
círculo (condição de contorno cinemática), de acordo com a escolha do ator,
em todos os nós da malha que estão contidos no retângulo de seleção.
7 O LAPS volta ao estado inicial.
4.2.20 CASO DE USO APLICAR CARGA DISTRIBUÍDA
Figura 4.20 Diagrama de caso de uso Aplicar Carga Distribuída
Este caso de uso possibilita aplicar o valor da carga distribuída. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Load Distributed Load”.
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a janela Distributed Load.
2 O ator fornece o valor da carga distribuída.
3 O ator seleciona o botão “OK”
4 O LAPS mostra o cursor em forma de cruz.
5 O ator seleciona um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo de
seleção
6 O LAPS desenha o retângulo de seleção do vértice selecionado até a posição
72
atual do cursor.
7 O ator seleciona o segundo vértice do retângulo de seleção.
8 O LAPS desenha um retângulo nos lados selecionados dos elementos.
9 O LAPS volta ao estado inicial.
4.2.21 CASO DE USO MOSTRAR DADOS DA MALHA GERADA
Figura 4.21 Diagrama de caso de uso Mostrar Dados da Malha Gerada
Este caso de uso possibilita mostrar os dados da malha gerada. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Mesh Mesh information”.
Pré-condições: A malha deve ter sido gerada previamente Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta um formulário com o número de nós e o número de
elementos da malha gerada.
2 O ator seleciona a opção “OK”
3 O LAPS volta ao estado inicial
4.2.22 CASO DE USO APAGAR CARREGAMENTO
Figura 4.22 Diagrama de caso de uso Apagar Carregamento
Este caso de uso possibilita apagar carga distribuída aplicada à malha. Este UC inicia com o
ator selecionando a opção “Load Delete distributed load”.
Pré-condições: O carregamento a ser apagado deverá ter sido definido previamente.
73
Fluxo Principal: Passos Descrição
1 O LAPS mostra o cursor em forma de cruz.
2 O ator seleciona um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo de
seleção
3 O LAPS desenha o retângulo de seleção do vértice selecionado até a posição
atual do cursor.
4 O ator seleciona o segundo vértice do retângulo de seleção.
5 O LAPS apaga os carregamentos contidos no retângulo de seleção.
6 O LAPS volta ao estado inicial.
4.2.23 CASO DE USO APAGAR CONDIÇÕES DE CONTORNO
Figura 4.23 Diagrama de caso de uso Apagar Condições de Contorno
Este caso de uso possibilita apagar condições de contorno utilizadas no desenho da malha.
Este UC inicia com o ator selecionando a opção “Boundary Null velocity Delete”.
Pré-condições: As condições de contorno a serem apagadas deverão ter sido previamente definidas. Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS mostra o cursor em forma de cruz.
2 O ator seleciona um ponto para ser o primeiro vértice do retângulo de
seleção
3 O LAPS desenha o retângulo de seleção do vértice selecionado até a posição
atual do cursor.
4 O ator seleciona o segundo vértice do retângulo de seleção.
5 O LAPS apaga as condições de contorno contidas no retângulo de seleção.
6 O LAPS volta ao estado inicial.
74
4.2.24 CASO DE USO REALIZAR ANÁLISE
Figura 4.24 Diagrama de caso de uso Realizar Análise
Este caso de uso possibilita solicitar ao LAPS a realização da análise plástica limite. Este UC
inicia com o ator selecionando a opção “Run Limit Analisys”.
Pré-condições:
• O problema deve ter sido previamente definido (malha, propriedades do material, carregamentos e condições de contorno)
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o formulário Limit Analysis.
2 O ator seleciona as seguintes opções: theorem: lower bound ou upper
bound; self weight: variable ou fixed; mathematical programming: linear ou
herkovits – sloan ou herkovits – sloan MN ou non linear – LINGO ou non
linear – LINGO MN; linearization: inside ou outside; results: show load
factor e show mechanism; fornece o número de planos.
3 O ator seleciona o botão RUN.
4 O LAPS apresenta a seqüência de solução do problema (montagem das
matrizes, montagem do sistema governantes, análise do problema,
apresentação dos resultados)
5 O LAPS apresenta o valor do fator de carga
6 O ator seleciona OK
7 O LAPS desenha o mecanismo de ruptura
Fluxos alternativos: Alternativa ao passo 5: O LAPS não consegue realizar a análise
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta a mensagem “analysis faied”
2 O Ator seleciona opção “OK”
3 O LAPS volta para o estado inicial
75
4.2.25 CASO DE USO MOSTRAR FATOR DE CARGA
Figura 4.25 Diagrama de caso de uso Mostrar Fator de Carga
Este caso de uso possibilita mostrar o fator de carga. Este UC inicia com o ator selecionando a
opção “Results Load Factor.”
Pré-condições: • A análise deve ter sido realizada com sucesso
Fluxo Principal: Passos Descrição
1 O LAPS mostra o valor do fator de carga
2 O ator seleciona OK
3 O LAPS volta ao estado inicial 4.2.26 CASO DE USO MOSTRAR MECANISMO DE COLAPSO
Figura 4.26 Diagrama de caso de uso Mostrar Mecanismo de Colapso
Este caso de uso possibilita mostrar o mecanismo de colapso. Este UC inicia com o ator
selecionando a opção “Results Show Mechanism”
Pré-condições: • A análise deve ter sido realizada com sucesso
Fluxo Principal:
Passos Descrição 1 O LAPS apresenta o mecanismo de ruptura
76
4.3 DIAGRAMA DE CLASSES Apresenta-se a seguir o diagrama de classes de negócio para o software desenvolvido. Vale ressaltar que o diagrama apresentado encontra-se em uma perspectiva conceitual e as classe de sistema não estão representadas no mesmo.
Figura 4.27 Diagrama de classes de negócio
4.4 UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE Apresenta-se a seguir a forma de manipulação do referido software para realizar a análise de
um talude baixo, com altura H igual a 8m e inclinação α igual a 45o, mostrado na Figura 4.28.
77
Considera-se um solo com coesão c igual a 20kN/m2, ângulo de atrito φ igual a 15o e peso
específico γ igual a 17kN/m3.
α H
Figura 4.28 Características do talude analisado
Executando-se o programa em apreço, é apresentada a tela inicial da aplicação desenvolvida,
a qual é mostrada na Figura 4.29.
O passo inicial é a geração da malha de elementos finitos, a qual contempla as propriedade do
solo utilizado, as condições de contorno impostas, e os carregamentos atuantes.
Figura 4.29 Tela inicial da aplicação desenvolvida
78
O ponto de partida para geração de malhas consiste na definição das propriedades do solo,
bem como em parte das propriedades dos elementos finitos que serão utilizados. Na Figura
4.30, apresenta-se a tela relativa ao fornecimento destas propriedades, que consistem no peso
próprio do solo, na coesão, no ângulo de atrito, no número de divisões da malha em duas
direções e na cor escolhida para representar cada grupo ou conjunto de propriedades.
Em seguida, a geração da malha de elementos finitos é iniciada, definindo-se o desenho da
malha em termos de blocos bidimensionais, lineares de quatro nós ou quadráticos de oito nós,
existindo ainda a opção de blocos unidimensionais. Estes blocos, os quais posteriormente
poderão ser subdivididos de acordo com as opções do usuário, podem ser desenhados
diretamente no software em questão ou importados através de arquivos DXF. Para
exemplificar, a Figura 4.31 apresenta a definição, no AutoCAD, do desenho de três blocos
que servirão de base, no presente trabalho, para a geração da malha de elementos finitos do
talude mostrado na Figura 4.28. O referido desenho deve ser exportado do AutoCAD, em
formato DXF, sendo em seguida, importado para o software aqui apresentado. Esta interação
com o AutoCAD foi contemplada pois o mesmo permite um alto nível de precisão nos
desenhos, sendo ainda amplamente utilizado na prática da engenharia.
Figura 4.30 Tela de definição das propriedades
79
Figura 4.31 Blocos desenhados no AutoCAD para a geração da malha
Para importar o desenho dos blocos gerados através da utilização do AutoCAD, a aplicação
desenvolvida possui a opção File->Import->DXF. Deve-se fornecer a essa aplicação o nome do
arquivo em formato DXF, tendo-se em mente que todas as linhas contidas no citado desenho serão
inseridas no arquivo atual da aplicação.
Procede-se, em seguida, à definição dos blocos que serão posteriormente divididos em elementos
finitos. Para atingir esse objetivo, primeiramente escolhe-se o grupo de propriedades, utilizando
para isto a tela apresentada na Figura 4.30. Em seguida seleciona-se o tipo de bloco a ser adotado.
Por exemplo, utiliza-se a opção Blocks->Define->Eight Sides, no caso específico de se adotar
blocos quadráticos de oito nós. O programa então solicita ao usuário o tipo de elemento finito que
será utilizado. Vale ressaltar que, na aplicação desenvolvida, pode-se optar entre onze tipos de
elementos finitos diferentes (quadriláteros de 4, 8, 9, 12, 16, 17 e 25 nós; e triângulos de 3, 6, 10 e
15 nós), conforme apresentado na Figura 4.32. No caso específico da utilização dos blocos
quadráticos de oito nós, o usuário deve então clicar em oito linhas, definindo assim oito lados do
bloco em questão.
80
Para efetivar a geração da malha seleciona-se a opção Mesh->Generate. A Figura 4.33 mostra a
malha gerada e a diferenciação de propriedades usando-se cores selecionadas previamente na tela
de definição de propriedades. Observa-se ainda, na Figura 4.33, as condições de contorno impostas,
onde os círculos representam condições de contorno em velocidade e os quadriláteros representam
condições de contorno em tensão. Tais condições de contorno são fornecidas através da opção
Boundary->Null Velocity para condições de contorno em velocidade e Boundary->Prescribed
Stress para condições de contorno em tensão.
A aplicação desenvolvida fornece então ao usuário diversas outras informações como, por exemplo,
o número de nós na malha gerada e o número de elementos finitos utilizados.
Figura 4.32 Tipos de elementos finitos disponíveis no programa
Para realizar a análise plástica limite dentro do aplicativo gerado no presente trabalho, utiliza-se a
opção Run->Limit Analysis, que fornece a tela indicada na Figura 4.34, onde os parâmetros da
análise são configurados. É possível configurar várias opções de análise tais como: teorema da
análise limite adotado (limite inferior ou limite superior); forma de consideração do peso próprio
(fixo ou variável); programação matemática linear, devendo-se neste caso fornecer o número de
81
planos adotados na linearização da superfície de ruptura, bem como se essa linearização será
realizada por dentro ou por fora da referida superfície, ou programação matemática não linear, caso
em que o usuário deverá escolher o algoritmo a ser utilizado, estando disponíveis o software
comercial LINGO ou um algoritmo implementado pelo autor, com base no trabalho de Herkovits
(1986).
Figura 4.33 Malha gerada com as condições de contorno
Na análise do talude da Figura 4.28, o software gerado encontrou um fator de ruptura de 1,76, ao
passo que, utilizando-se o software comercial Slope/W e o método de Bishop, o fator de segurança
encontrado foi de 1,78, ou seja, uma diferença de apenas 1,1%.
O mecanismo de ruptura pode ser visualizado utilizando-se o campo de velocidades para os nós da
malha, conforme apresentado na Figura 4.35, ou, alternativamente, através de uma interface
implementada utilizando-se a biblioteca OpenGL, como apresentado na Figura 4.36.
Vale ressaltar que todos os outros exemplos numéricos, a serem apresentados no Capítulo 5, foram
analisados pelo software gerado na presente dissertação, obtendo-se resultados compatíveis com os
fornecidos na literatura.
82
Figura 4.34 Tela de configurações de parâmetros da análise
Figura 4.35 Mecanismo gerado plotando-se o campo de velocidades na ruptura
83
Figura 4.36 Mecanismo plotado utilizando-se a biblioteca OpenGL
4.5 MÉTODOS DE SOLUÇÃO Os problemas de PL, associados aos teoremas estático e cinemático, foram resolvidos utilizando-se o
software comercial LINDO (Linear INteractive Discrete Optimizer) e MINOS (Murtagh & Saunders,
1987), considerando-se a representação poliédrica do critério de ruptura em hiperplanos. Para a solução
dos problemas de PNL, gerou-se, neste trabalho, um programa computacional baseado nos algorítmos
de Herskovits (1986) e Lyamin & Sloan (1997). Foram utilizados ainda, pontualmente em alguns
problemas, os softwares comerciais LINGO, MINOS e CFSQP. Estes últimos consistem em uma
implementação do algoritmo de programação matemática não linear factível denominado programação
quadrática seqüencial.
84
4.5.1 OBTENÇÃO DA SOLUÇÃO INICIAL PARA O ALGORÍTMO DE HERSKOVITS-LYAMIN-SLOAN
O algoritmo desenvolvido por Herskovits (1986) e particularizado para a análise limite por Lyamin &
Sloan (1997) resolve problemas de programação não linear através de pontos interiores (pontos
factíveis). Assim, este algoritmo necessita como ponto de partida uma solução inicial factível.
Originalmente Lyamin & Sloan (1997) propõem uma forma de obter a solução inicial para o problema,
que leva à necessidade de solução de um problema de otimização com n+m (n é igual ao número de
variáveis do problema original; e m é igual ao número de restrições em desigualdade) variáveis para se
encontrar a solução factível inicial. Ao invés de utilizar a forma original da primeira etapa, do
algorítmo de Lyamin & Sloan (1997), propõe-se, na presente tese, tirar partido da mecânica do
problema , da forma descrita a seguir.
Sabendo-se que a solução do sistema
auLL λ=&)( T (4.1)
fornece uma solução de mínima norma euclidiana em equilíbrio com as cargas (Mello, 1980), utiliza-se
o seguinte algorítmo para encontrar uma solução factível inicial, em substituição à etapa 1 do algorítmo
de Lyamin & Sloan (1997):
início
Realize a fatoração LU de LLT
λ := 10
SoluçãoFactível := falso
Iteração := 1
MaxIteração := 50
enquanto ((λ > ZeroConsiderado) e (SoluçãoFactível=falso) e (Iteração<MaxIteração)) faça
encontre u utilizando a fatoração de LL& T e aλ
uLσ &T=:
se σ é factível com relação as condições de resistência então
SoluçãoFactível := verdadeiro
senão
85
inicio senão
iteração:=iteração+1
λ:=10e2.iteracao
fim senão
fim se
fim enquanto
se SoluçãoFactível = falso então
mostre (Impossível encontrar solução factível inicial)
senão
λ e σ formam a solução factível inicial
fim se
fim
Observa-se que o algorítmo encontra uma solução factível inicial por meio da fatoração da matriz das
restrições em igualdade (condições de equilíbrio) e da multiplicação do vetor das cargas aplicadas por
um escalar λ, o qual vai sendo diminuído até que se encontre um valor para o mesmo que satisfaça as
condições de equilíbrio e resistência. O escalar λ assume um valor inicial de 10 e é decrementado
segundo um função exponencial. Esses parâmetros podem variar de acordo com a ordem de grandeza
da solução buscada. Vale ressaltar que a modificação adotada reduz muito o tempo computacional do
algorítmo original, tendo em vista que, ao invés de resolver um problema de otimização maior que o
original, faz-se apenas um única fatoração de matriz e durante as iterações realizam-se multiplicações
da matriz fatorada por um vetor (vetor de cargas das condições de equilíbrio)
86
CAPÍTULO 5
APLICAÇÕES NUMÉRICAS
5.1 INTRODUÇÃO Apresentam-se a seguir um conjunto de resultados da aplicação das formulações apresentadas
para análise plástica limite em problemas geotécnicos, através dos teoremas dos limites inferior e
superior. Utiliza-se o método dos elementos finitos aplicado a um estado de deformação plana e o
critério de ruptura de Mohr-Coulomb. Adotam-se elementos finitos quadrilaterais de 4, 8, 9, 12,
17 e 16 nós e triangulares de 3, 6, 10 e 15 nós, ou seja, tanto elementos serendipity quanto
elementos lagrangeanos. Apresentam-se ainda os resultados fornecidos pelo elemento finito
híbrido de quatro nós.
Apresentam-se a seguir nove exemplos numéricos de aplicação das formulações apresentadas,
com a finalidade de demonstrar o funcionamento das mesmas em problemas de estabilidade em
solos. Em todos os exemplos, busca-se encontrar a carga de colapso do problema em questão.
Nos dois primeiros exemplos, investiga-se a forma do mecanismo de ruptura e o domínio do
problema semi-infinito que deve ser discretizado, utilizando-se na discretização do solo os
elementos finitos lineares T3 e Q4. Nos exemplos 3, 4 e 5, realizam-se ensaios numéricos com
elementos serendipity e lagrangeanos nos problemas de talude, fundação corrida e corte vertical.
Os exemplos 6 e 7 investigam a aplicação do elemento finito híbrido de quatro nós no problema
de estabilidade de fundação corrida e corte vertical. O exemplo 8 estuda um talude discretizado
com elementos finitos mistos e híbridos. No nono e último exemplo, realiza-se a comparação dos
resultados fornecidos pela análise limite, análise de equilíbrio limite e análise elastoplástica. Vale
ressaltar que os resultados apresentados nos exemplos que se seguem foram obtidos tanto pela
aplicação do teorema estático quanto do teorema cinemático.
87
5.2 EXEMPLO 1 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM ELEMENTO
FINITO MISTO LAGRANGEANO DE 3 E 4 NÓS
Analisa-se o caso de uma fundação corrida superficial, assente em um solo com coesão c igual a
20kPa, peso específico γ igual a 17kN/m3 e ângulo de atrito interno φ assumindo os valores 0º, 15º
e 25º. Para φ igual a 0o, o limite superior e o limite inferior da carga de colapso podem ser
encontrados em Naylor et al. (1981). Para os demais valores de φ, as soluções de referência
utilizadas são cargas de colapso fornecidas por Chen (1975). Devido à existência de simetria
foram adotadas as discretizações, em metade do domínio, apresentadas nas Figuras 5.1 e 5.2.
Apresentam-se ainda na referida figura as condições de contorno adotadas. Vale ressaltar que o
domínio discretizado é fixado heuristicamente de tal forma que o mecanismo a ser encontrado
esteja contido no mesmo, obtendo-se velocidades nulas nos limites do domínio. Como estimativa
inicial o domínio pode ter dimensão horizontal igual a 2B e dimensão vertical igual a 1,5B, onde
B é a largura da fundação.
q q
(a) (b) (c)
Figura 5.1 Discretizações adotadas para elemento Q4: (a) Malha Q4/1 com 20 nós e 12
elementos; (b) Malha Q4/2 com 63 nós e 48 elementos; (c) Malha Q4/3 com 165 nós e 240
elementos
88
q
q
(a) (b) (c)
Figura 5.2 Discretizações adotadas para elemento T3: (a) Malha T3/1 com 20 nós e 24
elementos; (b) Malha T3/2 com 63 nós e 96 elementos; e (c) Malha T3/3 com 165 nós e 280
elementos
A Tabela 5.1 apresenta os valores da carga de colapso qu para o caso de solo puramente coesivo,
obtidos tanto pela programação matemática linear quanto pela não linear. No caso da
programação linear, foram adotados linearizações externa e interna da superfície de ruptura.
Observa-se que, para as malhas mais discretizadas (malha 3), os valores fornecidos tanto pelo
elemento T3 quanto pelo elemento Q4 convergem praticamente para um mesmo valor, que é em
torno de 2% menor que o limite inferior.
Tabela 5.1 Carga de colapso (kN) para solos puramente coesivos Elemento/ PL – Número de Planos Linearização
Discretização 4 8 16 28 32 PNL Limites
Sup./Inf.
Q4 /1 131,3 112,69 108,78 107,66 107,49 107,18 102,8/100 Externa 92,84 104,12 106,69 106,98 106,97 Interna Q4 /2 113,21 102,78 99,99 99,34 99,28 97,86 Externa 80,05 94,96 98,07 98,72 98,80 Interna Q4/3 111,25 101,41 99,26 98,23 98,68 98,52 Externa 78,66 93,68 97,35 98,12 98,23 Interna T3/1 153,33 126,23 122,81 121,84 121,85 120,29 Externa 108,42 116,62 120,45 121,07 121,27 Interna T3/2 120,77 105,72 102,45 101,88 101,86 101,5 Externa 83,98 95,44 97,97 98,75 98,78 Interna T3/3 110,43 101,3 99,58 99,08 98,97 98,88 Externa 78,08 93,59 97,66 98,46 98,49 Interna
89
Apresenta-se na Figura 5.3 um teste de convergência para a malha 3 do elemento Q4, no que diz
respeito ao número de planos adotados na linearização da superfície de ruptura. Observa-se que
para o caso da linearização externa a convergência se desenvolve por cima (trajetória
decrescente) e para o caso da linearização interna a convergência se desenvolve por baixo
(trajetória ascendente). Verifica-se que, para uma linearização com 28 planos, o uso da
programação matemática linear, tanto para a linearização interna quanto para a linearização
externa, já convergiu para o resultado fornecido pela programação matemática não linear (PNL).
Tendo em vista que os resultados em questão foram obtidos com o teorema do limite inferior é
mais conveniente a utilização da linearização interna do critério de ruptura pois a referida
linearização fornece, neste caso, resultados a favor da segurança.
70
80
90
100
110
120
0 5 10 15 20 25 30 35
Número de planos
Car
ga d
e co
laps
o (k
N)
Lin. ExternaLin. InternaPNLLimite SupeiorLimite Inferior
Figura 5.3 Convergência no número de planos (programação linear)
A Figura 5.4 mostra a convergência para as malhas 3 dos elementos T3 e Q4 para o caso de
linearização interna com 32 planos. Observa-se nesta figura que, embora o elemento Q4 forneça
resultados mais próximos da solução que o elemento T3 para malhas menos discretizadas, ao
final os dois elementos convergem praticamente para a mesma solução.
Apresentam-se na Tabela 5.2 os valores para a carga de colapso da fundação corrida assente em
um solo com a mesma coesão do caso anterior e com ângulos de atrito igual a 15o e 25o. A
solução de referência consiste em um limite superior fornecido por Chen (1975). No caso da
90
programação linear, adota-se somente a linearização interna da superfície de ruptura. Vale
destacar que, para ângulo de atrito igual a 15o, o problema é relativamente bem comportado.
Contrariamente, para ângulo de atrito igual a 25o, ocorre uma maior variabilidade nos valores
encontrados para a carga de colapso.
95
100
105
110
115
120
125
0 25 50 75 100 125 150 17
Número de nós na malha
Car
ga d
e co
laps
o (k
N)
5
Q4T3Limite InferiorLimite Superior
Figura 5.4 Convergência dos elementos T3 e Q4 em relação ao número de nós na malha
Tabela 5.2 Carga de colapso (kN) para solos com coesão e ângulos de atrito
φ (ο) Discretização PL – Número de Planos
4 8 16 28 32
PNL Solução de
Referência
15 Q4/1 202,87 259,9 265,68 270,82 270,75 237,61
Q4/2 161,79 213,79 228,11 230,25 230,36 204,29
Q4/3 146,94 198,17 207,24 209,78 210,04 208,37 210
T3/1 229,2 259,14 270,29 273,35 273,22 240,4
T3/2 178,14 230,06 239,95 243,86 244,36 209,55
T3/3 148,68 210,12 223,71 226,47 227,15 206,15
25 Q4/1 324,37 475,03 516,49 526,37 528,74 495,43
Q4/2 262,16 401,28 424,65 433,52 433,73 525,21
Q4/3 228,67 339,64 354,85 362,94 363,94 370,28 500
T3/1 499,42 580,89 620,33 627,13 629,96 513,38
T3/2 314,99 435,94 484,97 494,22 494,5 394,01
T3/3 240,89 402,1 445,98 459,07 460,34 399,27
91
Verifica-se que, para valores baixos do ângulo de atrito, as discretizações mais refinadas
fornecem bons valores para a carga de colapso, com um número relativamente pequeno de planos
utilizados na linearização do critério de ruptura. Contrariamente, para valores altos do ângulo de
atrito, é necessário utilizar-se um maior número de planos na citada linearização. Observa-se
ainda que, para discretizações pouco refinadas, o elemento quadrilateral fornece melhores
resultados do que o triangular, para um mesmo número de nós na malha. Vale ressaltar que para
ângulo de atrito igual a 25º o algoritmo de programação matemática não linear utilizada tem
dificuldades para obter a carga de colapso.
Apresentam-se na Figura 5.5 os mecanismos de ruptura obtidos utilizando-se as discretizações
Q4/2 e T3/2, e considerando o ângulo de atrito φ igual a 0o. Para a obtenção desses mecanismos,
utilizou-se tanto a PL, com o critério de ruptura linearizado em 32 planos, como a PNL.
Observa-se, nas referidas figuras, que os campos de velocidades obtidos possuem a mesma forma
dos apresentados em Chen (1975). Vale ressaltar, ainda, a boa concordância entre os mecanismos
obtidos e os fornecidos experimental e teoricamente por Terzaghi (1943) na teoria de capacidade
de carga de fundações superficiais. Observa-se ainda a similaridade entre os mecanismos obtidos
pela programação matemática linear e não linear, tanto com a utilização do elemento quadrilátero
quanto do elemento triangular.
(a) (b) (c) (d) Figura 5.5 Mecanismo de ruptura para φ igual a 0o: (a) : malha Q4/2 e PNL; (b) : malha Q4/2 e PL com 32 planos; (c) malha T3/2 e PNL; e (d) malha T3/2 e PL com 32 planos.
Apresentam-se na Figura 5.6 os mecanismos de ruptura para as discretizações Q4/2 e T3/2, e
ângulo de atrito igual a 15o. Novamente percebe-se a boa concordância com os mecanismos de
Chen (1975) tanto para o elemento triangular quando para o elemento quadrilateral. Comparando
92
estes com os mecanimos apresentados para o caso φ = 0o, observa-se que os mecanismos são
maiores e mais profundos, como previsto pelas teorias de Rankine e de Terzaghi para capacidade
de carga.
(a) (b) (c) (d) Figura 5.6 Mecanismo de ruptura para φ igual a 15o: (a) : malha Q4/2 e PNL; (b) : malha Q4/2 e PL com 32 planos; (c) malha T3/2 e PNL; e (d) malha T3/2 e PL com 32 planos.
No sentido de se estudar a influência da colocação de apoios do 1o ou do 2o gênero na face direita
do domínio discretizado, determina-se em seguida a possível alteração sofrida pelo valor da carga
de ruptura ao se adotar apoios do 1o gênero. Os valores encontrados para a carga de ruptura,
utilizando-se as discretizações Q4/2 e T3/2, e a PL com 32 planos, podem ser vistos na Tabela
5.3. Vale ressaltar que estes valores foram determinados com linearização externa da superfície
de ruptura. Comparando os valores da Tabela 5.3 para apoios do 1o e 2o gênero, verifica-se que os
novos valores encontrados apresentam uma pequena variação de, no máximo, 3.4% em relação
aos anteriores, o que indica que as soluções apresentadas na Tabela 5.1 e 5.2 são praticamente
independentes das condições de contorno.
Tabela 5.3 Carga de colapso considerando-se apoio lateral do 1o e 2o gênero
Discretizações φ (o) Q4/2 T3/2
1o gênero 2o gênero 1o gênero 2o gênero 0 98,21 98,35 100,26 101,86
15 240,58 242,63 243,32 247,04 25 458,41 473,81 488,02 500,22
A Tabela 5.4 apresenta os valores da carga de colapso qu, obtidos com elementos quadrilaterais,
aumentando-se o domínio discretizado em 25% na direção horizontal. Observa-se que a adoção
desse novo domínio discretizado torna os valores obtidos para a carga de colapso ainda mais
independentes das condições de contorno adotadas.
93
Tabela 5.4 Carga de colapso para aumento de 25% no domínio e apoios laterais do 1o ou 2o gênero.
φ (o) 1o gênero 2o gênero 0 98,17 98,16
15 240,21 239,79 25 457,23 453,96
94
5.3 EXEMPLO 2 – ESTABILIDADE DE TALUDE DISCRETIZADO COM ELEMENTO FINITO MISTO LAGRANGEANO DE 3 E 4 NÓS
Analisa-se a estabilidade de um talude com inclinação de 45o, considerando-se um solo com
coesão c igual a 20kPa, peso específico γ igual a 17kN/m3 e ângulo de atrito interno φ assumindo
os valores 0º, 15º e 25º. A solução de referência utilizada consiste em um limite superior da carga
de colapso fornecida por Chen (1975), a mesma tendo sido determinada através de uma aplicação
analítica do teorema do limite superior da análise plástica limite. Adotam-se as discretizações em
elementos triangulares e quadrilaterais, apresentadas na Figura 5.7, e consideram-se as condições
de contorno indicadas.
(a) (b) (c) (d) Figura 5.7 Discretizações adotadas: (a) Malha Q4/1, 36 nós e 24 elementos; (b) Malha Q4/2, 119
nós e 96 elementos; (c) Malha T3/1, 36 nós e 44 elementos; e (d) Malha T3/2, 119 nós e 192
elementos.
A Tabela 5.5 apresenta os valores do fator de estabilidade Ns para os casos estudados, sendo Ns =
Hcγ/c, onde Hc é a altura crítica para estabilidade do talude. Verifica-se novamente que, para
valores baixos do ângulo de atrito, as discretizações mais refinadas fornecem bons valores para a
carga de colapso com um número relativamente pequeno de planos utilizados no critério de
95
ruptura. Contrariamente, para valores altos do ângulo de atrito, é necessário utilizar-se um maior
número de planos na referida linearização.
Tabela 5.5 Fator de estabilidade Ns
PL - Número de Planos φ (ο) Discretização
4 8 16 28 32
PNL Solução de
Referência
Q4/1 6,49 5,49 5,36 5,32 5,32 6,21
Q4/2 6,35 5,47 5,33 5,29 5,29 5,28
T3/1 6,54 5,66 5,47 5,44 5,43 5,43
0
T3/2 6,52 5,58 5,43 5,40 5,40 5,42
5,53
Q4/1 19,13 13,20 12,50 12,36 12,38 13,42
Q4/2 17,44 12,78 12,23 12,08 12,07 12,03
T3/1 21,52 14,62 13,86 13,65 13,66 13,89
15
T3/2 18,02 1353 12,79 12,61 12,60 12,59
12,05
Q4/1 79,83 28,24 24,09 23,45 23,50 22,96
Q4/2 63,99 28,29 25,19 24,73 24,75 24,72
T3/1 107,64 33,73 28,65 28,32 28,08 27,25
25
T3/2 74,69 29,73 27,06 26,48 26,37 26,35
22,90
Apresentam-se na Figura 5.8 os mecanismos de ruptura correspondentes aos casos de ângulo de
atrito igual a 0o e 15o, respectivamente, obtidos através da PL e considerando-se a discretização
Q4/2. Observa-se nas referidas figuras a coerência entre os mecanismos encontrados pois, para φ
igual a 0o o mecanismo é bem mais profundo do que para φ igual a 15o (por exemplo, Fredlund,
1984).
(a) (b)
Figura 5.8 Mecanismos de ruptura: (a) Q4/2 e φ igual a 0º; e (b) Q4/2 e φ igual a 15º
96
A Tabela 5.6 apresenta os valores do fator de estabilidade considerando-se que os apoios laterais sejam do 1o ou do 2 o gênero e utilizando-se a discretização Q4/2. Observa-se na referida tabela que os valores do fator de estabilidade são praticamente independentes do tipo de apoio lateral.
Tabela 5.6 Fator de estabilidade considerando-se apoios laterais do 1o ou 2o gênero.
φ (o) 1o gênero 2o gênero 0 5,14 5,29
15 12,07 12,07 25 24,75 24,74
97
5.4 EXEMPLO 3 – ESTABILIDADE DE TALUDE DISCRETIZADO COM ELEMENTOS
FINITOS MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY Neste exemplo desenvolve-se a análise de estabilidade de um talude com inclinação de 45o, em
um solo com coesão c igual a 20kPa, peso específico γ igual a 17kN/m3 e ângulo de atrito interno
φ assumindo os valores 0º e 25º. A solução de referência utilizada consiste em um limite superior
da carga de colapso fornecida por Chen (1975), a mesma tendo sido determinada através de uma
aplicação analítica do teorema do limite superior da análise plástica limite. Adotam-se as
discretizações em elementos triangulares de 3, 6, 10 e 15 nós; e quadrilaterais de 4, 8, 9, 12, 16 e
17 nós. A Figura 5.9 ilustra os referidos elementos e o posicionamento dos respectivos nós. Vale
ressaltar que os elementos quadriláteros de 8, 12 e 17 nós são do tipo serendipity e os demais são
Lagrangeanos.
(a) (b) (c) (d) (e)
(f) (g) (h) (i) (j)
Figura 5.9 Elementos finitos adotados no presente exemplo: (a) T3; (b) Q4; (c) T6; (d) Q8; (e) Q9; (f) T10; (g) Q12; (h) T15; (i) Q16; (j) Q17
As Figura 5.10 e 5.11 apresentam as malhas utilizadas para solo puramente coesivo e as Figura
5.12 e 5.13 para solo com coesão e ângulo de atrito. Procurou-se manter o número de nós na
malha em torno de 230, embora cada elemento obrigue a malha a possuir um determinado
número de nós. Vale ressaltar que todas as malhas apresentadas nas Figuras 5.10 e 5.11 são o
resultado final de testes de convergência realizados na presente pesquisa e, portanto, representam
uma otimização de forma heurística.
98
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
Figura 5.10 Discretizações para solos puramente coesivos: (a) T3, 165 nós e 280 elmentos; (b) Q4, 165 nós e 280 elementos; (c) T6, 225 nós e 96 elementos; (d) Q8, 215 nós e 60 elementos;
(e) Q9, 225 nós e 48 elementos; (f) T10, 280 nós e 54 elementos; (g) Q12, 220 nós e 36 elementos; (h) T15, 225 nós e 24 elementos
99
(i) (j)
Figura 5.11 Discretizações para solos puramente coesivos: (i) Q16, 280 nós e 27 elementos; e (j)
Q17, 265 nós e 27 elementos
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.12 Discretizações para solos com coesão e atrito: (a) T3, 319 nós e 560 elmentos; (b) Q4, 319 nós e 280 elementos; (c) T6, 319 nós e 140 elementos; (d) Q8, 317 nós e 90 elementos
100
(e) (f)
(g) (h)
(i)
Figura 5.13 Discretizações para solos com coesão e atrito: (e) Q9, 319 nós e 70 elementos; (f)
T10, 310 nós e 60 elementos; (g) Q12, 312 nós e 52 elementos; (h) Q16, 310 nós e 30 elementos; e (i) Q17, 321 nós e 33 elementos
101
As Tabelas 5.7 e 5.8 apresentam os valores para o fator de estabilidade Ns obtidos com a
utilização das discretizações apresentadas nas Figuras 5.10 e 5.11. Observa-se que tanto para o
caso de solo puramente coesivo quanto para solos com coesão e atrito os elementos lagrangeanos
(T3, T4, T6, Q9, T10 e Q16) fornecem boas respostas, muito próximas do limite superior, com
uma diferença máxima de –7,4% em relação à solução de referência.
Contrariamente, os elementos serendipity (Q8, Q12 e Q17) fornecem respostas bem maiores que
o limite superior com uma diferença mínima de 25,9%, indicando que tais elementos não
conseguem convergir para a resposta correta. O fato observado para solos puramente coesivos se
agrava no caso de solo com coesão e atrito. Entre os elementos serendipity a menor diferença
para a carga de colapso ocorre quando se utiliza o elemento Q8.
Tabela 5.7 Fator de estabilidade Ns para elementos lagrangeanos T3, Q4, T6, Q9, T10 e Q16
φ T3 dif.(%) Q4 dif.(%) T6 dif.(%) Q9 dif.(%) T10 dif.(%) Q16 dif.(%) Sol. Ref.
0o 5,1 -7,4 5,0 -8,6 5,3 -3,7 5,2 -4,9 5,2 -4,9 5,2 -4,9 5,5
25o 22,1 -3,6 22,4 -2,4 24,1 5,0 23,3 1,5 24,3 6,2 23,3 1,5 22,9
Tabela 5.8 Fator de estabilidade Ns para elementos serendipity Q8, Q12 e Q17
φ Q8 dif.(%) Q12 dif.(%) Q17 dif.(%) Sol. Ref.
0o 6,9 25,9 7,1 28,4 9,7 75,3 5,5
25o 41,5 81,0 48,3 111,0 83,0 262,0 22,9
102
5.5 EXEMPLO 4 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM ELEMENTOS
FINITOS MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY Com a finalidade de verificar novamente o comportamento dos elementos lagrangeanos e
serendipity analisa-se um exemplo de fundação corrida assente em solo puramente coesivo com
coesão c igual a 20kPa e peso específico γ igual a 17kN/m3, considerando-se os elementos T3,
Q4, T6, Q8, Q9, Q12 e Q16. A solução de referência é a carga de colapso fornecida por Chen
(1975). A Figura 5.14 apresenta a malha de elementos finitos adotada para o elemento finito
lagrangeano de dezesseis nós e a Figura 5.15 mostra a discretização utilizada para o elemento
finito serendipity de dezessete nós.
Figura 5.14 Discretização da fundação corrida em elementos finitos lagrangeanos de dezesseis
nós
103
Figura 5.15 Discretização da fundação corrida em elementos finitos serendipity de doze nós
A Tabela 5.9 apresenta os resultados para a carga de colapso na fundação corrida. Observa-se que
novamente os elementos serendipity não conseguem atingir a convergência para o limite superior,
com uma diferença que chega a +21,1% no elemento Q12. No caso dos lagrangeanos, todos os
elementos estudados neste exemplo fornecem soluções próximas ao limite superior, com uma
diferença máxima de -6,9% no caso do elemento Q16.
104
Tabela 5.9 Carga de colapso para o caso da fundação corrida nós Elemento
elementos Carga (kN)
Limite Superior
dif. (%)
165 T3 280 98,49 -4,2
165 Q4 140 98,23 -4,4
165 T6 70 98,73 -4,0
165 Q9 35 96,43 -6,2
160
lagrangeanos
Q16 15 95,7 -6,9
130 Q8 35 122,59 19,3
100
serendipity
Q12 15 124,44
102,8
21,1
105
5.6 EXEMPLO 5 – CORTE VERTICAL DISCRETIZADO COM ELEMENTOS FINITOS
MISTOS LAGRANGEANOS E SERENDIPITY
Neste exemplo, o comportamento dos elementos finitos lagrangeanos e serendipity é estudado
considerando-se um corte vertical com 5m de altura em um solo com peso específico γ igual a
17kN/m3, coesão c igual a 30kPa e ângulo de atrito interno φ assumindo os valores 0º e 20º.
Empregam-se os elementos Q8, Q9, T10, Q12 e Q16. A solução de referência utilizada consiste
em um limite superior fornecido por Chen (1975) para a altura crítica do corte. A Figura 5.16
mostra a discretização adotada para o elemento finito de lagrangeano de nove nós.
Figura 5.16 Discretização do corte vertical em elementos finitos Lagrangeanos de nove nós
Na Tabela 5.10 são apresentados os valores do fator de carga de colapso no caso de solo
puramente coesivo. É possível inferir da referida tabela que os elementos lagrangeanos fornecem
106
resultados bem próximos do limite superior e sempre com valores inferiores ao referido limite. Já
os elementos serendipity fornecem respostas mais distantes e superiores ao valor da solução de
referência.
Tabela 5.10 Fator de carga de colapso para corte vertical em solo puramente coesivo
nós Elemento elementos
Altura crítica (m)
Limite Superior Dif. (%)
341 Q9 75 1,25 -7,4
595 Q10 120 1,28 -5,2
595
Lagrangeanos
Q16 60
1,27 -5,9
266 Q8 75 1,49 10,4
436
serendipity
Q12 72 1,65
1,35
22,2
A Tabela 5.11 apresenta os resultados do fator de carga de colapso para corte vertical em solos
com coesão e atrito. Verifica-se que neste caso os elementos serendipity fornecem respostas
ainda piores que as apresentadas na Tabela 5.10 para o caso de solo puramente coesivo. Enquanto
que para solos puramente coesivos a máxima diferença era de +22,2% para o elemento Q12, para
solo coesão e atrito a maior diferença sobe para +67,4% para o mesmo elemento Q12. Já os
elementos lagrangeanos novamente fornecem bons resultados, com uma diferença máxima de -
6,7% para solos com coesão e atrito.
Tabela 5.11 Fator de carga de colapso para solo com coesão e atrito
nós Elemento elementos
Altura crítica
Limite Superior dif. (%)
341 Q9 75 1,9 -1,6
595 Q10 120 1,8 -6,7
595
Lagrangeanos
Q16 60 1,93 0,0
266 Q8 75 2,39 23,8
436
Serendipity
Q12 72 3,23
1,93
67,4
107
5.7 EXEMPLO 6 – FUNDAÇÃO CORRIDA DISCRETIZADA COM ELEMENTO FINITO HÍBRIDO DE 4 NÓS Estuda-se novamente a fundação corrida do Exemplo 1, em solo puramente coesivo com coesão c
igual a 20Kpa e peso específico γ igual a 17KN/m3. A Figura 5.17 apresenta as malhas
analisadas e respectivas condições de contorno, considerando-se no presente exemplo o elemento
finito híbrido de quatro nós.
q qq
q q q
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
Figure 5.17 Discretizações adotadas para o elemento híbrido de quatro nós (Q4): (a) Malha
Q4/1 com 20 nós e 12 elementos; (b) malha Q4/2 com 63 nós e 48 elementos; (c) malha Q4/3
com 99 nós e 80 elementos; (d) malha Q4/4 com 165 nós e 140 elementos; (e) malha Q4/5 com
221 nós e 192 elementos; (f) malha Q4/6 com 825 nós e 768 elementos.
A Tabela 5.12 apresenta os valores da carga de colapso obtidos para as seis malhas analisadas e
linearizações da superfícies de ruptura em 4, 8, 16 e 28 planos. Os resultados para o elemento
misto analisados nos exemplos de 1 a 4, também são apresentados. Observa-se que os resultados
obtidos com o elemento híbrido em questão estão muito próximos dos resultados fornecidos pelo
elemento misto. Adicionalmente, comparando-se a solução obtida com o elemento híbrido, para a
108
malha Q4/6 e a linearização em 28 planos, com o limite superior λ igual a 102,80, fornecido em
Naylor et al. (1981), é possível notar que a diferença é de apenas 0,5%.
Tabela 5.12 Carga de colapso para a fundação corrida discretizada com elemento finito híbrido
Híbrido Misto Híbrido Misto Híbrido Misto Híbrido Misto
Q4/1 20 12 99,24 95,98 103,78 106,54 108,29 108,57 109,39 108,72 Q4/2 63 48 87,34 82,69 100,34 97,07 103,18 99,80 104,05 100,24 Q4/3 99 80 86,25 80,84 99,08 96,17 102,69 98,71 103,12 99,27 Q4/4 165 140 86,12 81,32 98,73 96,12 102,44 99,81 103,19 100,4 Q4/5 221 192 85,88 81,11 98,63 95,91 102,38 99,44 103,10 99,98 Q4/6 825 768 83,73 80,65 98,18 95,92 101,43 99,36 102,21 99,97
28 Planos Malha NN NE 4 Planos 8 Planos 16 Planos
A Figura 5.18 apresenta a carga de colapso para o elemento finito híbrido com as discretizações
Q4/1, Q4/2 e Q4/3, considerando-se diferentes linearizações para o critério de ruptura.
Apresentam-se ainda os limites superior e inferior para a carga de colapso plástico (Naylor et
al.,1981). Observa-se que os resultados para a malha Q4/3, com linearizações em 16 planos ou
mais, já fornece resultados bastante satisfatórios do ponto de vista prático.
75 80 85 90 95
100 105 110
0 5 10 15 20 25 30 Número de Planos
Carg
a de
Col
apso
Q4/1 - Híbrido Q4/2 - Híbrido Q4/3 - Híbrido Limite Inferior Limite Superior
Figura 5.18 Teste de convergência para as malhas Q4/1, Q4/2 e Q4/3 usando elemento finito
híbrido.
109
A Figura 5.19 compara os resultados dos elementos finitos híbrido e misto, para a linearização
em 28 planos, com os limites superior e inferior da solução de referência. É possível notar na
referida figura que a diferença obtida entre os elementos finitos híbrido e misto, para a malha
Q4/6, é de apenas 2,3%.
95,00 97,00 99,00
101,00 103,00 105,00 107,00 109,00 111,00
20 63 99 165 221 825 NÚMERO DE NÓS
CARG
A DE
CO
LAPS
O
Híbrido Misto Limite Inferior Limite Superior
Figura 5.19 Comparação dos elementos finitos híbrido e misto.
110
5.8 EXEMPLO 7 – ESTABILIDADE DE CORTE VERTICAL DISCRETIZADO COM ELEMENTO FINITO HÍBRIDO DE 4 NÓS Estuda-se novamente a estabilidade do corte vertical apresentado no Exemplo 5, com 5m de
altura, localizado em um solo com coesão c igual a 30KPa, peso específico γ igual a 17KN/m3 e
ângulo de atrito interno φ assumindo os valores 0° e 20°. As soluções de referência utilizadas
consistem em limites superiores fornecidos em Chen (1975).
Discretiza-se o domínio com elementos finitos híbridos de quatro nós utilizando-se diversas
malhas para se modelar o problema e avaliar a convergência da solução. Na Figura 5.20 mostra-
se uma malha gerada pelo programa desenvolvido na presente tese e apresentado no capítulo 4,
utilizado-se 96 nós e 75 elementos para a discretização do corte vertical.
Figura 5.20 Discretização do corte vertical em elementos híbridos de quatro nós: Malha com 96
Nós e 75 Elementos.
111
A Tabela 5.13 apresenta os valores para o fator de carga de colapso do corte vertical em solo
puramente coesivo, para diversas malhas, considerando-se linearizações do critério de ruptura em
10 e 16 planos. Observa-se que a máxima diferença existente, quando se comparam os resultados
obtidos por meio das linearizações em 10 e 16 planos, é de apenas 2% para a malha com 65 nós e
48 elementos. Conclui-se ainda que tanto a linearização em 10 planos quanto a linearização em
16 planos fornece resultados convergentes para a solução de referência, que é igual a λ igual a
1,35 (Chen, 1975), com diferença em torno de 1,5%.
Tabela 5.13 Fator de carga de colapso para corte vertical discretizado
com elemento híbrido
NN NE 10 PLANOS
Diferença (%)
16 PLANOS
Diferença (%)
21 12 1,60 18,5 1,63 20,7 40 27 1,50 18,5 1,53 13,3 65 48 1,45 7,4 1,48 9,6 96 75 1,43 5,9 1,44 6,7 133 108 1,41 4,4 1,42 5,2 147 120 1,4 3,7 1,41 4,4 200 168 1,38 2,2 1,40 3.3 481 432 1.35 0.0 1,37 1.5
A Figura 5.21 apresenta graficamente os valores do fator de carga de colapso listados na Tabela
5.13, dando ênfase à convergência em função do número de planos utilizados na linearização da
superfície de ruptura, com relação às malhas utilizadas na modelagem do problema.
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
0 100 200 300 400 500 600
Número de Nós
Fato
r de
Car
ga d
e C
olap
so
10 Planos16 PlanosChen (1975)
Figura 5.21 Teste de Convergência para as malhas em função do número de planos na
linearização da superfície de ruptura.
112
A Tabela 5.14 fornece o fator de carga de colapso para solo com coesão e atrito (φ =20o). É
possível notar que neste caso o número de planos usado no para linearizar o critério de ruptura
tem mais influência que no caso de fundação corrida, estudado no Exemplo 6. A diferença entre a
solução de referência (λ=1.93) e a carga de colapso obtida para a malha mais discretizada e
linearização em 16 planos é da ordem de 7%. É possível concluir que neste caso são necessárias
malhas mais refinadas para produzir melhores resultados.
Tabela 5.14 Fator de carga de colapso para corte vertical em solo com coesão e atrito (φ=20°)
discretizado com elemento finito híbrido. NN NE 10 PLANOS DIFERENÇA (%) 16 PLANOS DIFERENÇA (%) 21 12 2,84 47,20 3,04 57,50 40 27 2,60 34,70 2,66 37,80 65 48 2,38 23,30 2,46 27,50 96 75 2,28 18,10 2,33 20,70 133 108 2,17 12,40 2,24 16,10 147 120 2,24 16,10 2,30 19,20 200 168 2,03 5,20 2,07 7,20 481 432 2,01 4,10 2,05 6,20
113
5.9 EXEMPLO 8 – ESTABILIDADE DE TALUDE COM ELEMENTOS FINITOS
MISTOS E HÍBRIDOS
Neste exemplo desenvolve-se a análise de dois taludes, um com altura h igual a 5m e outro com h igual a 10 m, os dois com inclinação de 45o. O material que constitui o talude é admitido como sendo homogêneo e seco. São adotadas as seguintes propriedades: coesão c igual a 50 kPa; e peso específico γ igual a 18,0 kN/m3. A Figura 5.22 apresenta a discretização adotada para o talude com altura igual a 10m.
Figura 5.22 Malha adotada para o talude com altura igual a 10 m: discretização com 286 nós e
250 elementos
A Tabela 5.15 mostra os valores do fator de carga de colapso para os casos estudados. A análise
dos valores apresentados na referida tabela mostra que, no caso do talude com altura igual a 5m, a
diferença entre os valores obtidos para o fator de carga, utilizando-se os elementos misto e
híbrido é de 3%, enquanto que no talude com altura de 10m essa diferença sobe para 5 %. Os
resultados obtidos tanto com o elemento misto quanto com o elemento híbrido, para as malhas
adotadas, são portanto de validade prática.
114
Tabela 5.15 Fator de carga de colapso dos taludes
h = 5 m h = 10 m
Híbrido Misto Híbrido Misto
3,00 2,91 1,50 1,45
A Figura 5.23 mostra o mecanismo de ruptura para o talude com altura de 10m, discretizado tanto
com elemento misto como com elemento híbrido.
Figura 5.23 Mecanismo de ruptura para talude com altura igual a 10m
115
5.10 EXEMPLO 9 – COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS DE ESTABILIDADE DE
TALUDES OBTIDOS COM ANÁLISE LIMITE, ANÁLISE ELASTOPLÁSTICA E
ANÁLISE DE EQUILÍBRIO LIMITE
A fim de comparar as diversas opções de cálculo de fator de segurança, tomou-se quatro configurações de talude: dois taludes com 5 m de altura e inclinações 1V:1H e 1V:2H e dois com 10 m de altura e inclinações 1V:1H e 1V:2H. O material foi admitido homogêneo e seco, com coesão c igual a 50 kPa e peso específico do solo γ igual a 18,0 kN/m3.
Para as análises pelo método de equilíbrio limite convencional fez-se uso do Programa SLOPE/W (Geo-Slope, 1995a). Tomou-se como base de comparação o Fator de Segurança do Método de Morgenstern-Price (FM-P). Adotaram-se superfícies de ruptura circulares para as quais o programa SLOPE/W procura automaticamente a superfície crítica. O programa também fornece os valores de fator de segurança pelo Método Ordinário de Fellenius (FFel), Método de Bishop (FBis) e Método de Janbu (FJan). Na análise elastoplástica com elementos finitos utilizou-se o programa PLAXIS com um modelo elastoplástico do tipo Mohr-Coulomb e lei de fluxo associada. O programa varia automaticamente o fator de redução (FR) da coesão c até não atender mais às condições de convergência. Para o problema de Análise Plástica Limite, utilizou-se o elemento finito misto e o PL associado ao teorema do limite inferior, com uma linearização interna do critério de Mohr-Coulomb em 16 planos. A Tabela 5.16 apresenta os resultados obtidos nas análises realizadas. Conclui-se que os
resultados obtidos estão todos muito próximos, com uma diferença máxima de 8,3 %. A
comparação dos resultados fornecidos pela análise limite e por equilíbrio limite, mostra que os
valores fornecidos por equilíbrio limite são em geral superiores aos valores fornecidos pela
análise limite. Isto decorre do fato de que na verdade as soluções de equilíbrio limite não são nem
limites inferiores nem limites superiores da carga de colapso. Quando se compara a análise
plástica limite com as outras análises, observa-se que, de modo geral, a maior proximidade
existente é com a análise elastoplástica, com uma diferença máxima de 4,2%. Verificando-se
ainda que os resultados elastoplásticos são ligeiramente inferiores aos valores fornecidos pela
análise limite, isto confirma as observações de Farias & Naylor (1998), que afirmam: na análise
116
elastoplástica muitos programas de elementos finitos apresentam dificuldades quando a carga está
muito próxima da carga de ruptura. A menor diferença entre os diversos métodos ocorre no
talude com altura h igual a 10m e inclinação 1V:2H.
As Figuras 5.24, 5.25 e 5.26 apresentam os mecanismo de ruptura para as análises de equilíbrio
limite (M-P), elastoplástica e plástica limite, respectivamente, no caso de talude com altura igual
a 5m e inclinação 1V:2H. Observa-se que em todos os casos os mecanismos de ruptura estão
muito próximos.
Tabela 5.16 Resumo dos resultados encontrados no Exemplo 10 ALTURA h = 5m ALTURA h = 10m
MÉTODO 1V:1H 1V:2H 1V:1H 1V:2H
FFel 3,130 3,210 1,564 1,607 FBis 3,130 3,210 1,564 1,607 FJan 3,073 3,060 1,533 1,547 Equilíbrio Limite
FM-P 3,133 3,210 1,570 1,608 Análise Elastoplástica FR 2,892 3,009 1,449 1,504 Análise Plástica Limite λ 2,91 3,13 1,45 1,57
Figura 5.24 Mecanismos de ruptura por equilíbrio limite
117
Figura 5.25 Mecanismos de ruptura obtido com a análise elastoplástica
Figura 5.26 Mecanismo de ruptura obtido com a análise plástica limit
118
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
6.1 CONCLUSÕES
Foram gerados os problemas de programação matemática associados aos critérios estático e
cinemático da análise plástica limite, considerando-se tanto a programação matemática linear, por
meio de uma representação poliédrica do critério de ruptura de Mohr-Coulomb, quanto a
programação matemática não linear, utilizando-se o referido critério de ruptura em sua forma
original.
Estudaram-se diversos elementos finitos mistos lagrangeanos e serendipity, que podem ser
divididos em quadriláteros de quatro, oito, nove, doze, dezesseis e dezessete nós; e triangulares de
três, seis e dez nós. A formulação matemática do elemento finito híbrido de quatro nós foi
implementada e exemplos numéricos utilizando esta formulação foram estudados. Desenvolveu-se
ainda, por meio de exemplos numéricos, um estudo comparativo de elementos mistos e híbridos.
O software gerado no presente trabalho permite a execução da análise plástica limite mais
facilmente, do ponto de vista de geração de malhas, alteração das propriedades do solo e
visualização dos resultados. Seguindo os conceitos do ambiente gráfico do sistema operacional
Windows, qualquer usuário com um mínimo de competência e habilidade em elementos finitos
pode utilizar o programa para realizar análises limites, tanto do ponto de vista de pesquisa quanto
para fins de projeto de obras geotécnicas.
A modificação proposta na presente tese, em substituição ao primeiro estágio do algoritmo de
Herskovits-Lyamin-Sloan, permite a obtenção, a um custo computacional menor, da solução
factível inicial necessária ao algoritmo de programação matemática não linear de Herskovits-
Lyamin-Sloan. Vale ressaltar que, no trabalho original de Lyamin & Sloan (1997), a solução inicial
119
é obtida resolvendo-se, no primeiro estágio, um problema de programação matemática maior que o
problema original.
Em todos os casos analisados, o domínio foi escolhido de modo que as respostas encontradas não
sofressem influência das condições de contorno adotadas. Para tal o mecanismo de ruptura deve
estar contido no domínio discretizado. Conseqüentemente, as respostas independem da adoção de
apoios de 1o ou de 2o gênero nas faces laterais do domínio. Esta constatação é de grande utilidade
para a adoção da análise plástica limite em projetos de obras de terra, tendo em vista que a
aplicação prática da análise plástica limite com elementos finitos depende da garantia de
convergência das malhas adotadas.
Nos exemplos estudados observou-se que os resultados obtidos tanto para a representação poliédria
inscrita quanto para a representação poliédrica circunscrita da superfície de ruptura convergem para
os resultados obtidos com o critério de ruptura original através da programação matemática não-
linear. Adicionalmente, verificou-se que tanto a PL quanto a PNL fornecem respostas equivalentes
para a carga de colapso, fator de estabilidade e mecanismo de ruptura, quando um número
suficiente de planos é assumido na PL. No caso da utilização da PL, observou-se não ser necessária
a adoção de um número grande de planos na linearização da superfície de ruptura para a obtenção
de bons resultados.
Em todos os exemplos estudados, os elementos finitos lagrangeanos adotados apresentaram
desempenho satisfatório. Contrariamente, os elementos finitos serendipity não funcionaram bem em
nenhum exemplo estudado no presente trabalho, fornecendo sempre respostas maiores do que as
soluções de referência. Este fato sugere a existência de algum tipo de bloqueio (“sobre rigidez”) nos
elementos serendipity quando aplicados à análise limite de problemas geotécnicos.
No caso do solo com ângulo de atrito mais elevado, as respostas fornecidas tanto pela PL quanto
pela PNL, no caso da fundação corrida, não foram tão boas quanto as encontradas para solos com
ângulos de atrito menores. Adicionalmente, é necessário adotar-se um número maior de planos na
linearização, quando o ângulo de atrito é elevado.
Em todos os exemplos analisados tanto os elementos finitos híbridos quanto os elementos finitos
mistos fornecem soluções compatíveis e muito próximas. Vale ressaltar que em todos os casos
120
estudados as respostas fornecidas pelos elementos híbridos são maiores que as respostas fornecidas
pelos elementos finitos mistos. Adicionalmente os sistemas governantes gerados pelos problemas
discretizados com elementos finitos híbridos são maiores que os sistemas governantes fornecidos
pelas malhas geradas a partir de elementos mistos. Isto se deve ao fato de que nos elementos mistos
o controle das condições de resistência ou fluxo plástico é realizado nos nós da malha gerada, ao
passo que quando se utiliza elementos finitos híbridos este controle é realizados nos pontos de
Gauss do elemento.
O presente trabalho advoga a utilização do critério estático da Análise Plástica Limite, ao invés de
um Método de Equilíbrio Limite, para a obtenção do fator de segurança a ser utilizado em uma
análise de risco em problemas geotécnicos. Esta sugestão se baseia no fato de que a aplicação do
teorema do limite inferior da Análise Limite conduz a uma carga de ruptura menor ou igual à carga
de colapso, sendo garantidamente uma solução a favor da segurança. Ao passo que a solução obtida
por métodos convencionais depende da eficiência dos algorítmos de busca da superfície crítica, não
sendo raras às vezes em que a superfície correspondente ao valor mínimo do Fator de Segurança
não é encontrada.
A combinação do Método dos Elementos Finitos, da Análise Plástica Limite e da Programação
Matemática possibilita um tratamento numérico e simples do problema, podendo-se considerar
critérios de ruptura não lineares e problemas geotécnicos com características mais gerais do que as
normalmente apresentadas na literatura; adicionalmente, não é necessário conhecer a priori nem a
forma nem a localização precisa da superfície de ruptura.
6.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Como sugestões para trabalhos futuros, os estudos realizados na tese de doutoramento em questão,
permitem propor os seguintes tópicos:
• Desenvolver estudos numéricos com o objetivo de fornecer uma consistência prática à
análise limite, tendo em vista a utilização da referida análise como um instrumento do dia a
dia do engenheiro projetista de obras geotécnicas. A consistência citada passa pela análise
dos problemas geotécnicos onde o método de análise limite é aplicado e em quais condições.
121
Vale ressaltar que este tipo de estudo assemelha-se ao que foi feito por Fredlund com o
método de equilíbrio limite (por exemplo, Fredlund & Krahn, 1977; Fredlund, 1984);
• Aplicação da análise limite em problemas geotécnicos que tratam solos reforçados;
• Estudo dos elementos finitos híbrios, com o foco da redução do sistema governantes por
meio da transferência dos pontos de controle dos pontos de Gauss para os nós da malha
gerada.
• Utilização de plasticidade não associada empregando duas superfícies, uma para o critério
de ruptura e outra para as leis de fluxo plástico.
122
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