oscilações forçadasdetermine a amplitude do movimento do cilindro para (a) = 6 rad/s e (b) = 12...

Mecânica Aplicada – Vibrações forçadas e de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Oscilações Forçadas

Considere o caso de um corpo de massa m suspenso

por uma mola e submetido a uma força tsenFF m .

Na posição de equilíbrio, P = k est

Figura 1 – A figura mostra um oscilador na

posição vertical sujeito a uma força restauradora com uma

amplitude Fm e uma freqüência angular = f.

A equação de movimento, chamando de x o

deslocamento do corpo a partir de sua posição de

equilíbrio:

)( em xkPtsenFxmF

Ou

tsenFkxxm m

Essa é uma equação diferencial não homogênea,

cuja solução é uma soma da solução da equação

homogênea:

tsenCtCtxkxxm H 0201 cos)(0 com uma solução particular xp(t) que varia com a mesma

função da força aplicada. Também é chamada de solução

permanente pois durará com a aplicação da força externa.

Já a solução homogênea denomina-se termo

transiente, pois é de curta duração.

)()()( txtxtx pH

( )m p mm x k x F sen t x t x sen t

Lembramos aqui que m

k0 é a freqüência

natural do sistema.

Para encontrarmos xm substituímos na equação

não homogênea

( ) ( ) cosp m p mx t x sen t x t x t

2( )p mx t x sen t

Assim, teremos:

2 2

0( )

mm

Fx

m

1 0 2 0 2 2

0

( ) cos( )

mFx t C t C sen t sen t

m

Se introduzirmos uma força externa a um sistema,

variável periodicamente, o sistema vibrará com a mesma

freqüência que a da força. Esse movimento é chamado de

oscilação forçada. Em geral, a amplitude desse

movimento é relativamente pequena, mas se a freqüência

da força coincidir com a freqüência natural de oscilação

(dos modos normais) a amplitude poderá ficar muito

grande.

Sendo m a deflexão máxima produzida por uma

força Fm sobre uma viga, mostre que:

2

0

1

m

mx

Ocorrerá ressonância quando = 0 (A

freqüência da força externa é igual à freqüência natural do

sistema).

Figura 2 – Ilustração da ressonância em um

sistema forçado, quando a freqüência natural f0 coincide

com a freqüência da força aplicada f.

Ressonância

No caso em que a freqüência da força for

exatamente igual à de um modo normal, e supondo

inexistir atrito ou qualquer outra força dissipativa, a força

externa continuaria a fornecer energia ao sistema e a

amplitude cresceria indefinidamente. Em qualquer

sistema real, sempre há dissipação de energia, mas a

“resposta” (a amplitude da oscilação forçada) do sistema é


2

máxima quando a freqüência da força é igual a uma das

freqüências dos modos normais. Esse comportamento é

chamado de ressonância.

Sendo assim:

0 0f f

Exemplos de Ressonância em sistemas

Um exemplo muito comum é quando

empurramos o balanço de uma criança. Dá-se o nome de

ressonância mecânica. O balanço é um pêndulo cuja

única freqüência natural depende de seu comprimento.

Dando uma série de empurrões igualmente

espaçados, cuja freqüência é igual a do balanço, o

movimento torna-se muito grande.

O fenômeno de ressonância pode ser demonstrado

com o auxílio das ondas longitudinais criadas no ar por

um diapasão. Se dois diapasões idênticos forem colocados

a uma certa distância um do outro e um deles for ativado,

o outro começa a ser ouvido no momento em que o

primeiro é subitamente amortecido. Se colocarmos um

pedaço de cera ou massa de modelar em um dos

diapasões, a freqüência deste será alterada a ponto de

destruir a ressonância. Fenômeno semelhante pode ser

demonstrado com o piano. Com o pedal de

amortecimento puxado, de modo que os abafadores

deixem as cordas vibrarem livremente, canta-se uma nota

contínua junto ao piano. Quando se pára de cantar, o

piano parece continuar a tocar a mesma nota. As ondas

sonoras da voz excitam vibrações nas cordas cujas

freqüências naturais estão próximas (nos tons ou

sobretons) das da nota cantada inicialmente.

As cordas esticadas possuem muitas freqüências naturais

vibração. Analogamente, uma ponte é capaz de vibrar

com certas freqüências naturais, tornando-se perigoso

quando um agente externo provoque sobre ela força com

uma freqüência de oscilação igual à natural.

O corpo de um instrumento musical como um

violão é um exemplo de uma caixa de ressonância. As

vibrações da corda entram em ressonância com a estrutura

da caixa de madeira amplificando o som e acrescentando

vários harmônicos, fornecendo o timbre característico do

instrumento. Sem o corpo, o som da corda seria fraco e

insosso. Em uma guitarra a ressonância é substituída,

parcialmente, por efeitos eletrônicos.

Para uma corda de comprimento L, as

freqüências produzidas serão:

,...3,2,12

nL

nvf n

Denomina-se a frequência mais baixa de

fundamental:

L

vf

21

A freqüência fundamental denomina-se primeiro

harmônico. As outras são denominadas de sobretons

(2f1,3f1,4f1,...,). Sobretons cujas freqüências são números

inteiros da fundamental formam a chamada série

harmônica. A freqüência fundamental f1 é chamada de

primeiro harmônico. A freqüência 2f1 é o primeiro

sobretom ou segundo harmônico. A freqüência 3f1 é o

segundo sobretom ou o terceiro harmônico e assim por

diante.

Conta-se que um regimento de Napoleão entrou

marchando em uma ponte e a freqüência do compasso da

marcha, por azar, coincidiu com a freqüência natural de

vibração da ponte. Ocorreu a ressonância e a ponte passou

a oscilar com grande amplitude e desabou. A partir desse

desastre os soldados passaram a quebrar o passo sempre

que atravessam alguma ponte.

Outro exemplo interessante, envolvendo

ressonância mecânica, aconteceu em uma ponte nos

Estados Unidos, configurando o maior incidente desse

porte. A ponte suspensa de Tacoma, localizada no estado

de Washington, caiu devido a força oscilante provocada

por uma ventania de 70km/h. Em 1º de julho de 1940, a

ponte foi aberta ao público e rapidamente ganhou o

apelido de "Galloping Gertie" (Gertie galopante) devido a

seu comportamento oscilante mesmo sob a ação de ventos

fracos. Em 7 de novembro, depois de quatro meses após

sua inauguração, o vão central (com 1,9 km de extensão)

começou a oscilar em modo transverso, com uma

freqüência de 36 Hz e uma amplitude de 1,5 pés. Nos

minutos seguintes, o aparecimento de um modo de

vibração torsional (de 14 Hz) em dois segmentos da

ponte, determinou o colapso final. A ponte foi construída

dentro das normas mais rígidas e com a melhor tecnologia

disponível na época. Cientistas do Instituto de Tecnologia

da Califórnia mostraram com a ajuda do túnel de vento

que o colapso aconteceu devido à ressonância causada

pelo vento através de um mecanismo de formação de

vórtices. Uma vez que a ponte começou a ondular, o

aparecimento dos vórtices laterais compôs o movimento

que partiu a estrutura.

Inicialmente, a ponte começou a vibrar em

modos longitudinais, isto é, ao longo de seu comprimento;

aí apareceram os chamados "modos torsionais", nos quais

a ponte balançava para os lados, se torcendo

simultaneamente. Na ressonância, a amplitude desses

modos torsionais aumentou e a ponte entrou em colapso.

A ressonância óptica também pode ocorrer entre

átomos de um gás a baixa pressão e ondas luminosas

emitidas por uma lâmpada que contém os mesmos

átomos. Assim, a luz de uma lâmpada de sódio pode fazer

com que os átomos de sódio de um recipiente de vidro

brilhem com a luz amarela característica dessa substância.

Figura 3 – Ponte de Tacoma Narrows, em

Tacoma, Washington, inaugurada em 1 de julho de 1940,

nos EUA e derrubada pelo vento, devido a entrar em

ressonância, em 1 de novembro de 1940. Veja só a

situação do carro do .


3

A sintonia de rádio é um exemplo de

ressonância elétrica. Quando giramos o dial faz-se com

que a freqüência natural de uma corrente alternada, no

circuito receptor, se torne igual à freqüência das ondas da

emissora que se deseja captar.

As ondas de rádio e TV que viajam no espaço

tem uma freqüência característica de vibração. E a onda

de cada emissora tem uma freqüência própria, diferente

da freqüência das demais emissoras. Os rádios antigos

tinham um botão - o dial - para "sintonizar" as emissoras.

Atualmente, com os sistemas digitais, os botões não são

de girar e sim de apertar. Sintonizar uma emissora

significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar em

ressonância com a onda da emissora. Modifica-se

freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de

seu receptor mudando-a pelo toque. Essa vibração não é

mecânica, como nas molas, mas uma rápida variação nas

correntes elétricas que percorrem o circuito. Na

ressonância, o receptor "capta" energia da onda de rádio

ou TV com eficiência máxima e o sinal da emissora é

reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras,

com freqüências diferentes, não estão em ressonância com

o receptor e passam sem interagir com ele.

Algumas pessoas sentem enjôo ao viajar de carro

por causa da ressonância entre as vibrações de baixa

freqüência do carro e seus órgãos digestivos, estômago e

intestinos. O remédio para essas pessoas é beber ou comer

algo. Isso mudará a freqüência natural desses órgãos

internos e não causará a ressonância.

Termo de desbalanceamento

Muitas vezes, a força máxima é dada pela

equivalência em massa desbalanceada em relação a um

eixo de rotação de raio R.

Assim, se tivermos um motor girando

com uma freqüência f, teremos para freqüência angular:

2 f

A força centrípeta é dada por: 2

cp

vF m

R

Como:

v R 2

cpF m R

Na maioria dos casos, a vibração é um fenômeno

indesejável, sendo causa de quebra de peças, geração de

ruídos, transmissão de forças às fundações das máquinas,

etc. Nesse caso, procuramos minimizar os seus efeitos

através do isolamento de vibrações, que consiste na

colocação de uma suspensão (molas e amortecedores)

entre a máquina e o solo. Tal suspensão pode ser ativa ou

passiva. Dizemos que a suspensão é ativa quando a

vibração é gerada pelo próprio sistema mecânico e, nesse

caso, desejamos reduzir a vibração transmitida por ele

para a base (fundação). É o caso, por exemplo, de prensas

mecânicas que geram vibrações e as transmitem, através

do solo, para as demais máquinas nas proximidades. Por

outro lado, dizemos que a suspensão é passiva quando a

vibração é gerada no meio ambiente e desejamos reduzir a

vibração vinda da base para o sistema mecânico. É o caso,

por exemplo, das vibrações geradas pelas irregularidades

da estrada e que são transmitidas à carroceria de um

automóvel.

Se o centro de massa de um corpo rígido em

rotação não coincidir com o centro de rotação, dizemos

que o sistema está desbalanceado.

Muitas vezes, a força máxima é dada pela

equivalência em massa desbalanceada em relação a um

eixo de rotação de raio R.

Assim, se tivermos um motor girando com uma

freqüência f, teremos para freqüência angular:

2 f

A força centrípeta é dada por: 2

cp

vF m

R

Como:

v R 2

cpF m R


4

Exercícios

1. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma

mola de constante igual a 320 N/m e está submetido a

uma força periódica vertical mF F sen t , onde

14mF N . Determine a amplitude do movimento do

cilindro para

(a) = 6 rad/s e

(b) = 12 rad/s.

2. Um cilindro de massa m suspenso de uma

mola de constante k está sob a ação de uma força

periódica vertical de módulo mF F sen t .

Determine a faixa de valores de para os quais a

amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão

estática produzida por uma força de modulo mF .

3. No Problema 2 determine a faixa de valores

de para os quais a amplitude de vibração é menor que a

deflexão estática produzida por uma força de módulo

constante mF .

4. Um pêndulo simples de comprimento /está

preso a um cursor C, que é forçado a deslocar-se

horizontalmente de acordo com a relação

C mx sen t . Determine a faixa de valores de

para a qual a amplitude do movimento da massa exceda

2m. (Suponha que m é pequeno em comparação ao

comprimento l do pêndulo.)

5. No Problema 4, determine a faixa de valores

de para a qual a amplitude do movimento da massa

seja maior que 3 m .

6. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga

leve horizontal. O desbalanceamento do rotor é

equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do

eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga

devida ao peso do motor é 6.9 mm, determine

(a) a velocidade (em rpm) em que ocorrerá a

ressonância

(b) a amplitude do estado estacionário do motor

na freqüência de 720 rpm.

7. Resolva o Problema 6 supondo que o motor de

125 kg seja suportado por um conjunto de molas tendo

uma constante total de 50 kN/m.

8. Quando se aumenta lentamente a velocidade

de um motor, suportado por molas, de 300 para 400 rpm,

a amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do

rotor decresce continuamente de 1.95 mm para 1.02 mm.

Determine a velocidade para a qual ocorrerá ressonância.

9. Para o motor considerado no problema

anterior, determine a velocidade do motor a qual a

amplitude de vibração é 2.54 mm.

mF F sen t

.

10. Um motor de 9 kg é suportado por quatro

molas, cada uma de constante 20 kN/m. O motor é

forçado a mover-se verticalmente e a amplitude

observada de seu movimento é de 1.2 mm a uma

velocidade de 1 200 rpm. Sabendo que a massa do rotor

é 2.5 kg, determine a distância entre o centro de massa

do rotor e o eixo da árvore.

11. No Problema anterior, determine a

amplitude do movimento vertical do motor a uma

velocidade de

(a) 450 rpm,

(b) 1600 rpm

(c) 900 rpm.

12. A barra AB está rigidamente presa à

carcaça de um motor de velocidade constante. Quando um

cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se

que vibra com amplitude de 10 mm. Quando dois

cursores, cada um de massa m, são colocados sobre a

mola, a amplitude observada é de 12 mm. Que amplitude

de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada

um de massa m, forem colocados sobre a mola? (Obtenha

duas respostas.)


5

13. Resolva o Problema 12 supondo que a

velocidade do motor é mudada e um cursor tem amplitude

de 12 mm e dois cursores têm uma amplitude de 4 mm.

14. Três cilindros idênticos A, B e C estão

suspensos por meio de arranjos de molas idênticas que se

prendem numa barra DE, como ilustrado. A barra DE,

move-se verticalmente acordo com a relação

my sen t . Sabendo que as amplitudes da

vibração dos cilindros A e B são 0.0381 m e 0.0191 m,

respectivamente, determine a amplitude de vibração de C.

15. Resolva o Problema 15, supondo que as

amplitudes de vibração dos cilindros Ae B são 0.0203 m e

0.0305 m, respectivamente.

16. Um motor de velocidade variável está

rigidamente preso à viga BC. Quando a velocidade de

rotação do motor é menor que 750 rpm ou maior que 1

500 rpm um pequeno objeto colocado em A permanece

em contato com a viga. Para frequências entre 750 rpm e

1 500 rpm, observa-se que o objeto dança e efetivamente

perde contato com a viga. Determine a velocidade angular

guiar em que ocorrerá ressonância.

A

17. Um disco de massa m está preso ao ponto

médio de um eixo vertical que gira com uma velocidade

angular . Denotando por k a constante de elasticidade do

sistema para movimento horizontal do disco e por e a

excentricidade do disco em relação ao eixo, mostre que a

deflexão do centro do eixo pode ser escrita na forma:

2

21

e pr

p

18. Um disco de massa igual a 20 kg está preso,

com uma excentricidade e = 0.25 mm, no ponto médio de

um eixo vertical AB que gira com velocidade angular

constante. Sabendo que uma força estática de 150 N

deflete o eixo de 0.4 mm, determine

(a) a velocidade angular para a qual ocorre

ressonância e

(b) a deflexão r do eixo quando f = 1200 rpm.

19. A amplitude do movimento da massa do

pêndulo mostrado na figura é 60 mm quando a amplitude

do movimento do cursor C é 15 mm. Sabendo que o

comprimento do pêndulo é l = 900 mm, determine os dois

valores possíveis da frequência do movimento horizontal

do cursor C. C mx sen t

C

l

x

20. Considere o sistema indicado na figura. A

amplitude do movimento da esferazinha é 12 mm para l =

750 mm e 17 mm para l = 500 mm. Determine a

frequência e a ampitude do movimento horizontal do

cursor C.

21. Um pequeno reboque com massa total de

272 kg é suportado por duas molas, cada uma de

constante 17,5 kN/m. O reboque é puxado sobre uma

estrada cuja superfície pode ser aproximada por uma

curva senoidal de 38.1 mm de amplitude e 4.88 m de

comprimento de onda (isto é, a distância vertical de uma

crista a um cavado é de 76.2 mm). Determine

(a) a velocidade em que ocorrerá ressonância, e

(b) a amplitude de vibração do reboque a uma

velocidade de 64.4 km/h.

- 4,88 m -

22. Sabendo que a amplitude de vibração do

reboque do Problema 20 não deve exceder 19.1 mm,

determine a menor velocidade com que o reboque pode

ser tracionado sobre a estrada.


6

Vibrações Livres de Corpos Rígidos

A análise das vibrações de um corpo rígido ou de

um sistema de corpos rígidos que possui um único grau de

liberdade é análoga à análise das vibrações de um ponto

material. Uma variável apropriada, como uma distância x

ou um ângulo , é escolhida para definir a posição do

corpo o sistema de corpos, e escreve-se uma equação

relacionando esta variável e sua derivada segunda em

relação ao tempo t. Se a equação obtida for da mesma

forma que: 2

2

020

d xx

dt

a vibração considerada será um movimento harmônico

simples. O período e a freqüência da vibração poderão,

então, ser obtidos identificando-se 0 e substituindo na

equação.

Em geral, um modo simples de se obter a

equação anterior é considerar que o sistema das forças

externas é equivalente ao sistema das forças efetivas,

traçando um diagrama do corpo para um valor arbitrário

da variável e escrevendo a equação do movimento

apropriada. Recordemos que nosso objetivo é a

determinação do coeficiente da variável x ou 2

0 , não a

determinação da variável em si ou das derivadas. Fazendo

este coeficiente igual a2

0 , obtemos a freqüência angular

da qual o período T e a freqüência f pode ser

determinados. O método que acabamos de delinear pode

ser utilizado para analisar vibrações que sejam de fato

representadas por um movimento harmônico simples, ou

vibrações de pequena amplitude que possam ser

aproximadas a um movimento harmônico simples. Como

um exemplo, determinemos o período de pequenas

oscilações da placa de lado L que está suspensa do ponto

médio O de um dos lados. Consideremos aplaca numa

posição arbitrária definida pelo ângulo que a linha OG

forma com a vertical e tracemos um diagrama para indicar

que o peso P da placa e as componentes Rx e Ry da reação

em O são equivalentes aos vetores maN e maT e ao

momento.

Como a velocidade angular e a aceleração

angular da placa são iguais, respectivamente, e , os

módulos dos dois vetores são, respectivamente, m b e 2m b , enquanto o momento é I Q. Em aplicações

anteriores deste método, tentamos sempre que possível

supor o sentido correio para a aceleração. Aqui, porém,

devemos supor o sentido positivo para e a

fim de obter uma equação da forma do oscilador

harmônico. Conseqüentemente, a aceleração angular

será suposta positiva no sentido anti-horário,

ainda que esta suposição não seja obviamente realística.

Igualando os momentos em relação a O,

escrevemos:

Aplicando o teorema dos eixos paralelos: 2_____

O GI I m OG

Lembrando que:

2 21

12G aseI m b h

2aseb b

2h b

2 212 2

12GI m b b

ou 2 21 28

12 3G GI m b I m b

Substituindo na equação

2_____

O GI I m OG

para

_____

OG b , teremos: 2 2

2 22 2 3

3 3O

m b m bI m b m b

25

3OI m b

Assim, se aplicarmos a equação do movimento,

relativa à translação e rotação de um corpo rígido:

Soma das forças externas é igual ao produto da

massa pela aceleração (2a Lei de Newton):

1

N

i R

i

F m a

Soma dos momentos das forças externas em

relação ao eixo de rotação O é igual ao produto do

momento de inércia IO em relação a esse ponto

multiplicado pela aceleração angular:

1iO

N

F O

i

I

OP b sen I


7

25

3m g b sen m b

250

3m b m g b sen

30

5

gsen

b

Para ângulos pequenos:

sen

30

5

g

b

2

2

30

5

d g

dt b

Comparando com: 2

2

020

d xx

dt

Vemos que a freqüência angular de vibração é

dada por:

2 3

5

g

b

3

5

g

b

E o período:

2 5

23

bT T

g

Assim, os passos para resolver um problema de

vibração de corpo rígido consistem em:

Identificar o centro de oscilação O e as forças

externas, juntamente com os pontos de aplicação de cada

força externa identificada no corpo rígido.

Resolver a equação:

1iO

N

F O

i

I

Consiste em:

1) fazer a soma de todos os toques das forças

externas em relação ao centro de oscilação O.

2) Calcular o momento de inércia IO do corpo rígido

em relação ao ponto de oscilação O multiplicando pela

aceleração angular

Quando necessário, utilizar o teorema dos eixos

paralelos: 2_____

O GI I m OG

Escrever a equação na forma: 2

21

0iO

N

F O

i

dI A

dt

Ou 2 0

2

2

21

0iO

N

F O

i

dI

dt

Assim: 2

A T

Exemplo 1 – Um cilindro de peso P e raio r está

suspenso por um laço de corda, como mostra a figura.

Uma extremidade da corda está presa diretamente a um

suporte rígido, enquanto a outra extremidade está presa a

uma mola de constante elástica k. Determine o período e a

freqüência de vibração do cilindro.

B

r

B

T0 T

r

A

x B

P a

1iO

N

F O

i

I

Escolhendo o ponto O = A teremos:

1

2iA

N

F A A

i

I T r P r I

Aplicando o teorema dos eixos paralelos: 2_____

2

2A O A

M RI I M AO I M R

2

222

M RT R P R M R

23

22

M rT r P r

Antes da deformação:

0 0 02

PT T P T

Após a deformação:

0 22

PT T k k r

0 22

PT T k k r


8

23

2 22 2

P M rk r r P r

22 3

42

M rr P k r P r

22 3

42

M rk r

8

3

k

m

2 8 8

3 3

k k

m m

2 32

8

mT T

k

1 8

2 2 3

kf f

m

Exemplo 2 – Um disco cicular, pesando 100N e

de raio 0.2m, está suspenso por um arame como ilustrado.

O disco é girado (torcendo, portanto, o arame) e em

seguida liberado; o período de vibração de torção é de

1.93 s. Supondo que o momento do binário exercido pelo

arame é proporcional ao ângulo de torção, determine

(a) a constante de torção do arame,

(b) o momento de inércia baricêntrico da

engrenagem e

(c) a velocidade angular máxima alcançada pela

engrenagem quando é girada de 900 e liberada.

0.2m

Momento de torção:

oM K

K: constante de torção do arame.

1iO

N

F O

i

I

0o

K

I

2

2

2

o

K K

I m R

222

2

m RT T

K

2

1 2

2 2

Kf f

m R

Exemplo 3 – Determine o período de pequenas

oscilações de um cilindro de raio r que rola sem

escorregar no interior de uma superfície curva de raio R.

r R

(1) G

m

(2)

Energia potencial na posição (1):

1

( ) 1 cosp mE P h P R r

221 cos 2

2sen

Para pequenos ângulos, essa aproximação será

utilizada. Então:

1

2

2

mpE P R r

Quando a esfera estiver na posição mais baixa,

sua energia cinética será dada por:

2

2 21 1

2 2m mcE mv I

Como:

m mv R r

m m

R r

r

Exemplo 4 – Um fio homogêneo dobrado na forma

de um triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a

oscilar com pequena amplitude. Determine o período das

pequenas oscilações

(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice

e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.


9

30° 30°

θ + 30°

30°- θ

θ

1iO

N

F O

i

I

1 2 3

1iO O O O

N

F P P P

i

1

30 302 2iO

N

F

i

l lP sen P sen

P sen h

30 30 cos cos30sen sen sen

30 30 cos cos30sen sen sen

3

2h l

1

32 cos30

2 2iO

N

F

i

lP sen P sen l

1

3 3

2 2iO

N

F

i

P sen l P sen l

1

3iO

N

F

i

m g l sen

1 2 3O O O OI I I I

1 2

2

3O O

m lI I

3 3

22 2

12O G O

m lI I m OG I m h

3

22 3

12 2O

m l lI m

3

2 2 2 2 2103 9

12 4 12 12 12O

m l m l m l m l m lI

3

25

6O

m lI

1 2 3

2 2 25

3 3 6O O O O

m l m l m lI I I I

2 2 2 22 2 5 9

6 6 6 6O

m l m l m l m lI

23

2O

m lI

1iO

N

F O

i

I

23

32

m lm g l sen

2

30

3

2

m g lsen

m l

2 30

3

g

l

2 2 3 2 3

3 3

g g

l l

6.731 rad

s

20.933T s

Aplicação do Princípio da Conservação da

Energia. Quando um ponto material de massa m está em

movimento harmónico simples, a resultante F das forças

exercidas sobre o ponto material tem módulo

proporcional ao deslocamento x medido a partir da

posição de equilíbrio O e está dirigida sempre para O;

escrevemos F = - kx. Notamos que F é uma força

conservativa e que a correspondente energia potencial é

21

2V k x , onde V é suposto igual a zero na posição

de equilíbrio x=0. Como a velocidade do ponto material é

igual a dx

xdt

sua energia cinética é 21

2T m x e

podemos afirmar que a energia total do ponto material se

conserva escrevendo:

2 21 1constante

2 2T V k x m x

Colocando2 k

m onde é a frequência angular

de vibração, temos: 2 2 2 =constantex x

A equação acima é característica do movimento

harmónico simples e pode ser obtida diretamente de

multiplicando-se ambos os termos por 2x e integrando.

O princípio da conservação de energia fornece um

caminho conveniente para a determinação do período

de vibração de um corpo rígido ou de um sistema de

corpos rígidos que possuem um único grau de

liberdade, uma vez que tenha sido estabelecido que o

movimento é harmónico simples, ou que possa ser

aproximado por um movimento harmónico simples.

Escolhendo uma variável apropriada, tal como uma


10

distância x ou um ângulo θ, consideremos duas

posições particulares do sistema:

1. O deslocamento do sistema é máximo; temos T1 =

O e V1, pode ser expresso em função da amplitude xm ou

θm (escolhendo V = 0 na posição de equilíbrio).

2. O sistema passa por sua posição de equilíbrio;

temos V2 = 0 e T2, pode ser expresso em função da

velocidade máxima ou m mx .

Em seguida consideramos que a energia total

o sistema se conserva e escremos:

1 1 2 2T V T V

Lembrando que, para o movimento

harmónico simples:

m mx x

Exercícios

1. A barra homogênea de 3,00 kg mostrada na figura está

presa a uma mola de constante k = 900 N/m. Se a extremidade

da barra é abaixada de 25 mm e então solta, determine

(a) o período de vibração e

(b) a máxima velocidade da extremidade A.

0.75m

1.25m

2. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma mola de

constante k = 525 N/m.A extremidade B da barra for abaixada

de 12,7 mm e, então, solta, determine


(b) a máxima velocidade de B.

b = 0.533m

0.914m

3. Uma barra AB de 5.44 kg está rebitada a um disco

homogêneo de 4.35 kg. Uma Corrêa prende-se à borda do disco

e a uma mola que mantém a barra em repouso, horizontalmente.

0.762 m

A B

C

k = 4.38kN/m

D

Se a extremidade A da barra for abaixada de 38.1 mm e

então solta, determine:

(a) de quanto será o período.

(b) a máxima velocidade da extremidade A.

4. Um cilindro homogêneo de 5,00 kg pode rolar sem

escorregar num plano inclinado e está preso a uma mola AB,

como indica a figura.

Se o centro do cilindro for deslocado de 10 mm, plano

abaixo, a partir do seu ponto de equilíbrio e, então, solto,

determinar (a) qual será o período de vibração (b) a máxima

velocidade do centro do cilindro.

5. Uma correia, passando pela periferia de um disco de

12 kg, está presa a um cilindro de 4 kg e a uma mola de

constante k = 500 N/m, como indica a figura. O cilindro é

abaixado de 75 mm, a partir de sua posição de equilíbrio e,

então, é solto. Determine (a) o período de vibração e (b) a

máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é

suficiente para impedir o escorregamento da correia sobre o

disco.

6. No Problema 5, determine:

(a) a freqüência de vibração e

(b) a máxima tensão entre em S e C.


11

7. A barra homogênea de 5,44 kg está presa a uma

mola de constante k = 525 N/m. A extremidade A da barra for

abaixada de 12,7 mm e, então, solta, determine


(b) a máxima velocidade de A.

8. No Problema 2, determine:

(a) o valor de b para o qual ocorre o máximo o de

vibração e

(b) o valor desse período.

9. Uma barra homogênea AB de 3,00 kg está presa a

uma mola de constante 900 N/m, como indica a figura. Coloca-

se em A um bloquinho C de 0,50 kg.

(a) Se a idade A for então abaixada de o (pequeno) e,

a seguir, for solta, determine o período de vibração.

(b) Determine o máximo valor permissível de o para

que bloco C não perca o contato com durante todo o movimento.

0.75m

1.25m

10. Uma barra de massa m e comprimento /está

suspensa por duas molas, cada uma de constante k. Determine a

freqüência de vibração se a barra for

(a) deslocada verticalmente e, solta e

(b) girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo

horizontal passando por G e, abandonada

(c) Determine a razão b/l para a qual as freqüências

calculadas nos itens (a) e (b) são iguais.

G

B

12

b 12

b

12l 1

2l

11. Uma placa quadrada homogênea de massa m é

mantida num plano horizontal por um pino em B e está presa em

A a uma mola de constante k. Desloca-se ligeiramente o vértice

A e a seguir abandona-se a placa. Determine o período do

movimento subseqüente.

12. Um pêndulo composto e definido como uma placa

rígida que oscila em torno de um ponto fixo O, chamado centro

de suspensão. Mostre que o período de oscilação de um pêndulo

composto é igual ao período de um pêndulo simples de

comprimento OA, onde a distância de A ao centro de massa G é

2kGA

r . O ponto A é definido como o centro de oscilação e

coincide com o centro de percussão definido no Problema 17.66.

13. Mostre que, se o pêndulo composto considerado

no Problema 12, está suspenso em A ao invés de O, o período de

oscilação é o mesmo que antes e o novo centro de oscilação está

localizado em O.

14. Uma placa rígida oscila em torno de um ponto

fixo O. Mostre que o período mínimo de oscilação ocorre

quando a distância r do ponto O ao centro de massa G é igual a

k .


12

15. Algumas dificuldades aparecem quando se usa um

pêndulo simples ou composto determinação experimental da

aceleração da gravidade g. No caso do pêndulo simples, o fio

verdadeiramente desprovido de massa, enquanto no caso do

pêndulo composto, torna-se localizar exatamente o centro de

massa. Neste último caso a dificuldade pode ser contornada se

um pêndulo reversível ou de Kater. Constróem-se dois pontos de

apoio A e B não-simétricos em relação ao centro de massa e

mede-se a distância l com grande precisão. Ajusta-se a do

contrapeso D de modo que o período de oscilação t quando se

usa o ponto de suspensão A é idêntico o período de oscilação

quando se usa B. Mostre que t é igual ao de pêndulo ideal de

comprimento l e que:

2

2

4 lg

.

16. Determine o período de pequenas oscilações

de uma placa homogênea semicircular de raio r quando

(a) suspensa por A.

(b) quando suspensa por B.

17. Uma barra homogênea de comprimento l

pode oscilar em torno de uma articulação A localizada a

uma distância c do seu centro de massa G.

(a) Determine a freqüência de pequenas

oscilações se c = l/2.

(b) Determine um segundo valor de c para o

qual a freqüência das pequenas oscilações é a mesma que

a encontrada na parte a.

18. Para a barra considerada no Problema 19.42,

determine

(a) a distância c para que a freqüência de

oscilação seja máxima e

(b) o correspondente período mínimo.

19. Um fio homogêneo dobrado na forma de um

triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar

com pequena amplitude. Determine o período das

pequenas oscilações

(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice

e (b) pelo ponto médio de um dos seus lados.

20. Duas barras delgadas e homogêneas, cada

uma de massa m estão soldadas na forma de um T, como

indica a figura. Determine a freqüência de pequenas

oscilaçóes do sistema.

A

l

B

C D

2l

2l

21. Remove-se temporariamente a pá AB do

gerador a vento mostrado na figura. Impede-se o gerador

de se mover em torno de y mas as três pás restantes,

rigidamente ligadas, podem oscilar em torno de x.

Supondo que cada pá seja equivalente a uma barra de 36.6

m de comprimento, determine o período das pequenas

oscilações, na ausência de vento.


13

22. Observou-se que o período de pequenas

oscilações em torno de A, da biela, é de 1.06 s. Sabendo

que a distância ra é 170mm. determine o raio de giração

baricêntrico da figura.

ra

rb

23. Uma biela é suportada por um gume no

ponto A; o período das pequenas oscilações, observado, é

de 0.895 s. A biela é então invertida e suportada pelo

gume no ponto B, e o período das pequenas oscilações,

observado, é de 0.805. Sabendo que ra + rb = 270 mm,

determine:

(a) a localização do centro de massa G,

(b) o raio de giração baricêntrico k.

24. e 25. Um disco de raio r pode oscilar em

torno do eixo AB a uma distância b do centro de massa G,

como indica a figura,

(a) Determine o período de pequenas oscilações

para b = r.

(b) Determine um segundo valor de b para o qual

o período de oscilação é igual ao obtido na parte (a).

26. Observa-se um período de 3.60 s para as

oscilações angulares do giroscópio de 750 g. suspenso por

um arame como ilustrado. Sabendo que o período obtido

quando uma esfera de aço de 60 mm de diâmetro é

suspensa da mesma forma, raio de giração baricêntrico do

rotor (massa específica do aço = 7.85 x 103 kg/m

3 ).

27. Suspende-se uma barra de 6 kg por meio de

um fio de aço que constante torsional k = 1,75 N • m/rad.

Dá-se à barra um giro de 180° em torno da vertical e,

então, solta-se o sistema. Determine

(a) o período de oscilação e

(b) a máxima velocidade da extremidade A da

barra.

28. Uma placa fina e circular de raio resta

suspensa por três arames comprimento h, igualmente

espaçados em torno do perímetro da placa. Determine o

oscilação quando

(a) a placa é girada de um pequeno ângulo em

torno de um eixo vertics por seu centro de massa e

liberada e

(b) é dada uma pequena translação horizontal à

seguida, é liberada.

29. Resolva o Problema 28 supondo que r = 750

mm e h = 600 mm.

30. Um disco uniforme de 0.254 m de raio e 8.16

kg de massa está preso a um eixo vertical que é

rigidamente preso em B. Sabe-se que o disco gira de 3°

quando um momento estático de 4,52 N • m é aplicado ao

mesmo. Se o disco é girado de 8° e em seguida liberado,

determine

(a) o período da vibração resultante e

(b) a velocidade máxima de um ponto na borda

do disco.

31. Uma peça de aço fundido é rigidamente

parafusada ao disco do Prob. 19.55. Sabendo que o

período da vibração de torção do disco e da peça é 0,90 s,

determine o momento de inércia da peça fundida em

relação ao eixo AB.


14

32. Determine o period do pêndulo simples de

comprimento l.

33. Observa-se que as molas de um automóvel

expandem-se 0.20 m a partir de uma posição de

relaxamento, quando o veículo é levantado por diversos

guinchos. Supondo que cada mola suporta uma parcela

igual do peso do automóvel, determine a frequência das

vibrações livres do veículo.

34. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o

Problema 19.3.

35. Utilizando o método da Seção 19.6, resolva o

Problema 19.4.

36. Um arame homogéneo de comprimento 2l,

dobrado conforme a ilustração, oscila em torno do pino B.

Denotando por τ0 o período de pequenas oscilações

quando β = 0, determine o ângulo β para que o período de

pequenas oscilações seja 2τ0.

B

l l

β β

A C

37. Sabendo que l = 750 mm e β = 40°, determine

o período de oscilação do arame dobrado.

38. Um fio homogêneo foi dobrado na forma de

um quadrado de lado l está preso em A por uma junta

esférica. Determine o período de pequenas oscilações do

quadrado,

(a) no plano

(b) numa direção perpendicular ao quadrado.

39. Resolva o problema anterior supondo o

quadrado suspenso por um de seus vértices.

40. Um disco homogéneo de raio C está preso em

A por meio de uma junta esférica. Determine a frequência

das oscilações de pequena amplitude

(a) no plano do disco e

(b) numa direção perpendicular ao disco.

41. Observa-se que quando um peso de 35.6 N

está preso à borda de um volante de 1.83 m de diâmetro, o

período das pequenas oscilações do volante é 22 s.

Despreze o atrito no eixo e determine o momento de

inércia baricêntrico do volante.

42. Usando o método da Seção 19.6, resolva o

Problema 19.45.

43. A barra homogénea ABC de 2.27 kg está

preso a duas molas como indica a figura. Dá-se um

pequeno deslocamento à extremidade Ce se libera o

sistema. Determine a frequência de vibração da barra.

44. Resolva o problema anterior considerando-se

que as molas foram permutadas, de modo que kB = 700

N/m e kC = 525 N/m.

45. Solda-se a barra AB de 5 kg a um disco

homogéneo de 8 kg. Uma mola de nstante 450 N/m

encontra-se presa ao disco, mantendo a barra na posição

mostrada na figura. Desloca-se ligeiramente a

extremidade B e libera-se o sistema. Determine o período

de vibração da barra.

0.120 mm 0.500 mm

C A B


15

46. Para o sistema considerado no Problema 45,

determine a constante da mola para a qual o período de

vibração da barra é 1.5 s.

47. A barra delgada AB de massa m está presa a

dois cursores de massas desprezíveis. Sabendo que o

sistema repousa num plano horizontal e está em

equilíbrio na posição ilustada determine o período de

vibração se se deslocar ligeiramente o cursor A e,

então, se liberar o sistema.

48. Os discos A e fitem massas de 3 kg e 8 kg,

respectivamente. Um pequeno bloco C de massa igual

a 750 g está preso à borda do disco B. Supondo que

não haja escorregamento entre os discos, determine o

período das pequenas oscilações do sistema.

90 mm

150 mm

49. Dois discos homogéneos de 5 kg estão

ligados a unia barra AB de 8 kg, como indica a figura.

Sabendo que a constante da mola é 4 kN/m e que os

discos rolam sem escorregar, determine a frequência de

vibração do sistema.

50. A barra AB de Q kg está parafusada ao

disco de 12 kg. Sabendo que o disco rola sem escorregar,

determine o período de pequenas oscilações do sistema.

51. A barra AB de 1.81 kg está parafusada ao

disco de 0.127 m de raio, como indica a figura. Sabendo

que o disco rola sem escorregar, determine o peso do

disco para o qual o período das pequenas oscilações do

sistema é 1.5 s.

Q

52. Três barras idênticas estão ligadas como

ilustrado. Se 34lb determine a freqüència das pequenas

oscilações do sistema.

53. Para o sistema considerado no problema

anterior, determine

(a) a distância b para a qual a frequência de

oscilação é máxima e

(b) o valor dessa freqüência.

54. Uma barra homogênea de comprimento L é

sustentada em A por uma junta e por um fio vertical CD.

Deduza uma expressão para o período de oscilação da

barra se se desloca ligeiramente a extremidade B e então

se libera o sistema.

55. Resolva o Problema 54 considerando L = 3.00

m. b = 2.50 m e h = 2.00.

56. Uma semi-seção de um tubo encontra-se sobre

um plano horizontal. Gira-se a peça de um pequeno

ângulo e então se libera o sistema. Supondo rolamento

sem escorregar. Determine o período de oscilação.

57. Uma barra delgada de comprimento l está

suspensa por dois arames verticais de comprimento h cada

um, localizado a uma distância 1/2b do centro de massa

G. Determine o período de oscilação quando

(a) a barra é girada de um pequeno ângulo em

torno de um eixo vertical que passa por G e liberada e

(b) é dada uma pequena translação horizontal à

barra ao longo de AB e liberada.


16

58. Quando um corpo submerso se desloca

através de um fluido, o fluido move-se torno do corpo e

assim, adquire energia cinética. No caso de uma esfera em

movimento num fio ideal, a energia cinética total

adquirida pelo fluido e21

4V ; onde é a massa

específica do fluído V o volume da esfera e a

velocidade. Considere uma superfície esférica

oca de 5 N e raio 0.075 m. que é mantida submersa num

tanque de água por uma mola de constante 600 N/m.

(a) Desprezando o atrito do fluido, determine o

período de vibração da superfície esférica quando

deslocada verticalmente e em seguida liberada,

(b) Resolva o item a, supondo que o tanque é

acelerado para cima com uma aceleração constante de 3

m/s2 .

59. Uma fina placa de comprimento l repousa

sobre um semicilindro de raio r. Deduza uma relação para

o período de pequenas oscilações da placa.

60. Faça uma pesquisa sobre a vibração

equivalente que destrui a ponte abaixo, indicando os

modos vibracionais que causaram a destruição da ponte.

oscilações forçadasdetermine a amplitude do movimento do cilindro para (a) = 6 rad/s e (b) = 12...

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