oscilacoes amortecidas

Oscilaes e OndasOscilaes Amortecidas

Oscilaes e Ondas Oscilaes Amortecidas 1

Decaimento da energiaJ sabemos que qualquer sistema mecnico perto do equilbrio estvel se comporta como uma

partcula presa a uma mola e, no Cap. 2, vimos tambm que uma matemtica simples suficiente para descrever o oscilador harmnico constitudo por uma massa presa a uma mola. Um pouco de reflexo mostra, no entanto, que nossa analogia entre o sistema massa-mola e o comportamento prximo do equilbrio imperfeita.

Uma vez posta em movimento, a massa do Cap. 2 oscilar para sempre, porque sua energia mecnica conservada. Essa perenidade est em desacordo com a experincia. Em qualquer ambiente, encontram-se inmeros osciladores mecnicos, mas a maioria deles no se manifesta porque repousa no seu ponto de equilbrio. A cadeira de balano, o fio do telefone e o filamento da lmpada so osciladores. Normalmente, eles esto parados. E, se uma interveno os fizer oscilar, voltaro ao equilbrio em menos de um minuto. Evidentemente, antes de proclamar a identidade entre uma massa presa a uma mola e um sistema mecnico prximo do equilbrio, precisamos permitir que a massa perca energia.

Em linhas gerais, a perda de energia pode ocorrer ordenada ou desordenadamente. A massa pode, simplesmente, aquecer o ambiente em que se encontra ou transferir sua energia para um pequeno nmero de corpos. As duas formas de transferncia so importantes e constituem o assunto deste volume. Enquanto a gerao de calor um fenmeno de curto alcance, a passagem da energia de uma partcula para outra a semente do movimento ondulatrio, o qual, como vimos no Cap. 1, pode transportar por distncias enormes uma perturbao produzida em um ponto de partida. A segunda modalidade a mais importante, mas a primeira a mais simples. Por isso, este captulo e o Cap. 4 focalizam a perda de energia por atrito viscoso. O Cap. 5 e os subsequentes estudam a transferncia ordenada de energia.

Equao diferencialUma verso mais realista do sistema massa-mola deve levar em conta a viscosidade do meio,

gasoso ou lquido, em que a massa se move. Na situao da Figura 1, por exemplo, inexiste contato com qualquer superfcie. Mesmo assim, a massa est sujeita a uma fora de atrito, devido resis-tncia do ar, sempre oposta ao movimento.

Figura 1: Massa sujeita fora de atrito viscoso, alm do peso e da fora da mola. O atrito viscoso tem sentido oposto ao da velocidade e proporcional a ela.


A interao de um objeto em movimento com o fluido que o rodeia um fenmeno muito complexo. A altas velocidades formam-se turbilhes, que amplificam a resistncia e dificultam terrivelmente o tratamento matemtico. A baixas velocidades, graas sua simetria, esferas e cilindros so tratveis e observa-se que a resistncia, conhecida como arrasto, proporcional ao dimetro do objeto, viscosidade do meio e velocidade. Clculos numricos e medidas com objetos de outras formas conduzem a resultados semelhantes, resumidos pela seguinte expresso para a fora de arrasto:

(1)

O coeficiente de atrito viscoso b uma constante, que depende da geometria do objeto e cresce em proporo ao seu dimetro e viscosidade. No ar, para um objeto de alguns centmetros de dimetro, a Eq. (1) precisa para velocidades inferiores a 10 cm/s.

A massa m na Figura 1 est sujeita s trs foras indicadas: seu peso

P, o arrasto

FA e a fora da mola

Fk . A segunda Lei de Newton se escreve:

(2)

Precisamos agora de um sistema cartesiano. A experincia adquirida no Cap. 2 recomenda como origem o ponto de equilbrio, aquele em que a fora da mola neutraliza a fora peso. Na Fig. 2, o ponto O est a uma distncia d = mg/k abaixo da extremidade inferior da mola relaxada, na posio em que o peso mg igual ao mdulo kd da fora da mola.

Examinemos agora a acelerao desenhada na Figura 1. Uma vez que, para x > 0, a fora elstica supera o peso, a resultante ascendente. Mesmo assim, para garantir que a acelerao seja a deri-vada segunda da posio, e no o negativo dessa derivada, a figura mostra a acelerao no sentido do eixo x. A projeo da Eq. (1) sobre aquele eixo conduz igualdade algbrica

(3)

Uma vez que d = mg/k, o primeiro termo esquerda cancela o segundo termo dentro dos parn-teses na terceira parcela. Resulta uma equao em que cada parcela proporcional a x ou a uma de suas derivadas:

(4)

F bv= .

P F F maA k+ + = .

Figura 2: Sistema de eixos para anlise da Eq. (2). O ponto P a extremidade inferior da mola relaxada. O ponto O est mg/k abaixo, na posio em que a fora da mola e o peso da massa somam zero.

mg bv k(x d) = ma.

ma = bv kx.


O sinal negativo direita indica que a tem sentido oposto ao desenhado na Figura 1.

Divididos os dois lados da Eq. (4) por m, resulta uma equao diferencial semelhante que encontramos no Cap. 2:

(5)

onde

(6)

uma constante com dimenso de [1/tempo], e

(7)

a frequncia que apareceu no captulo anterior. Sem atrito, zero, e a Eq. (5) reproduz a equao diferencial que gerou o MHS no Cap. 2,

(8)

Assim como a Eq. (8), a Eq. (5) tem uma infinidade de solues. Somente uma delas, porm, concorda com as condies em que a massa m se encontra no instante inicial: em t = 0, a massa da Figura 1 est na posio x0 e tem velocidade v0. Para descrever seu movimento preciso encontrar a soluo x(t) da Eq. (5) tal que x(0) = x0 e que, em t = 0, sua derivada seja v(0) = v0.

Dois regimesAntes de resolver a Eq. (5), vale a pena apresentar uma viso da fsica do oscilador amortecido. Para

explicar o oscilador harmnico livre de amortecimento, o Cap. 2 estudou as consequncias da conser-vao da energia mecnica. Aqui, a dissipao de energia oferece uma discusso igualmente instrutiva.

Como ilustrao, esteja a massa da Fig. 1 inicialmente parada na posio x0. A energia mecnica inicial puramente potencial, E U x kx0 0 0

2 2= =( ) / (seta laranja na figura). A fora da mola comea ento a arrastar a partcula em direo ao ponto de equilbrio x = 0. Inicialmente, a velocidade

a v x= 02 ,

= b/m

0 = r km

0 =km


nula, inexiste atrito, e o movimento imita o MHS do Cap. 2. A partcula ganha velocidade, entretanto, e o atrito passa a consumir energia. fcil acompanhar esse consumo no grfico da Fig. 4, visto que a energia cintica a separao entre a curva que representa a energia e a parbola que representa a energia potencial U x kx( ) / .= 2 2

Quanto maior a energia cintica, mais inclinada a curva, como consequncia da dissipao mais intensa da energia. Mesmo na curva azul, que representa um coeficiente relativamente pequeno, a inclinao se torna acentuada nas proximidades do ponto de equilbrio. Nesse caso, a partcula consegue chegar ao ponto de equilbrio com energia cintica aprecivel, aproximadamente igual a 40% da energia inicial. A partir da, a ascenso da energia potencial passa a reduzir a energia cintica. O bico desenhado pela curva perto de x = 0,4x0 indica que a partcula deixou de consumir energia cintica, parou e recomeou seu movimento no sentido oposto. Em outras palavras, passou por um ponto de retorno.

Da por diante, ela volta a se deslocar em direo a x = 0, ultrapassa o ponto de equilbrio com cerca de 10% da energia inicial e alcana outro ponto de retorno perto de x = 0,2x0, ponto que marca o incio de um novo ciclo. Para 0, o movimento retm a principal caracterstica do MHS: a oscilao. A amplitude do movimento, porm, diminui a cada ciclo at se tornar insignificante. Depois de algum tempo, a partcula praticamente estaciona no ponto de equilbrio. Movimentos oscilatrios amortecidos so muito comuns no quotidiano. Uma batida no fio pendente de um telefone faz o cabo ir e vir quatro ou cinco vezes antes de parar, por exemplo.

A curva verde examina o extremo oposto: grande em comparao com 0. Com muito atrito, a partcula no consegue adquirir energia cintica: toda a energia que a mola fornece quase imediatamente consumida. O grfico da energia mecnica pouco se afasta do da energia potencial. O movimento passa por somente um ponto de retorno: o ponto de partida. Nessas condies, o movimento deixa de ser cclico, e a partcula se desloca lentamente da posio inicial em direo ao ponto de equilbrio.

H, portanto, dois regimes. Num deles, chamado subamortecido e representado pela curva azul, o movimento pode ser descrito como um MHS amortecido.

Como no MHS, a fora da mola e a inrcia da massa dominam a dinmica, e o atrito consegue apenas roubar uma frao da energia a cada ciclo. No outro, chamado sobreamortecido e repre-sentado pela curva verde, a viscosidade est no comando. A inrcia deixa de ser importante porque a velocidade sempre baixa, e a fora da mola consegue apenas trazer a partcula do ponto inicial at o ponto de equilbrio.

Figura 3: Dissipao da energia no sistema da Figura 1. Pela ordem, as curvas azul, verde e vermelha descrevem o comportamento para viscosidade baixa, alta e intermediria.


Os dois regimes so separados por uma condio limtrofe, representada pela curva vermelha na figura e conhecida como amortecimento crtico. Como indicado, e conforme veremos abaixo, o amortecimento crtico quando = 20. Nessa condio, a partcula consegue ganhar energia cintica, mas esta insuficiente para ultrapassar o ponto de equilbrio. Enquanto, no caso < 20, a massa consegue passar por x = 0 e alcanar um ponto de retorno esquerda dele, na condio crtica, o equilbrio um virtual ponto de retorno, mas, como a velocidade se torna cada vez menor nas suas imediaes, o tempo necessrio para alcanar x = 0 cresce infinitamente.

Soluo da equao diferencialUma equao diferencial cria um vnculo entre uma funo e suas derivadas. Como a Eq. (5)

relaciona a segunda derivada da posio (a acelerao) com a velocidade e a prpria posio, ela vincula a x. Como cada uma de suas parcelas proporcional posio ou a uma de suas derivadas, ela linear e o vnculo linear. Significa que, para uma determinada constante s, a funo:

(9)

deve ser mais simples e mais fcil de encontrar que v(t) ou x(t) separadamente. A Eq. (5) ajuda a encontrar tanto s quanto z. Uma vez que a = dv/dt e que v = dx/dt, a derivada da Eq. (9) em relao ao tempo pode ser escrita:

(10)

e substituindo a pelo lado direito da Eq. (5),

(11)

direita, os termos proporcionais a v podem agora ser agrupados, e resulta:

(12)

z(t) = v(t) + sx(t)

dzdt

a sv= + ,

dzdt

v x sv= + 02 .

dzdt

s vsv

x= ( )( ). 02


Aqui, o coeficiente s que multiplica v foi fatorado, para enfatizar que, assim como z, o lado direito uma combinao de v e x. A escolha

(13)

identifica o fator de s com a funo z e, como era esperado, reduz a Eq. (11) a uma equao diferencial simples para z(t):

(14)

com a condio inicial

(15)

A Eq. (14) pode ser reescrita:

(16)

uma forma que conveniente porque equivale a

(17)

Para verificar, basta efetuar a derivada esquerda da igualdade. Uma vez que a funo expo-nencial nunca se anula, a derivada na Eq. (16) zero. O produto ze ts( ) constante. E como, no instante inicial, a funo z vale z(t = 0) = z0, no instante t ela dada por:

(18)

Em resumo, para resolver a equao diferencial (5), basta resolver a equao algbrica (13). Dela resulta um valor para s que, substitudo na Eq. (17), determina z. So passos simples. verdade que ainda precisaremos a posio x de z, mas essa parte se mostrar fcil.

ss

=

02

dzdt

s z= ( ) ,

z(t = 0) = z0 = v0 + sx0.

dzdt

s z+ =( ) 0

e d e zdt

s ts t

( )( )[ ] =

0

z(t) = z0e( s)t.


Oscilaes amortecidasPara mostrar que a mesma fsica emerge em uma situao distinta da discutida na Se. Dois

Regimes, vamos imaginar que o relgio tenha sido ligado no instante em que a massa m passava pelo ponto de equilbrio. As condies iniciais so agora x(0) = 0 e v(0) = v0 ou, na Eq. (15), z0 = v0. Resta encontrar o parmetro s. A multiplicao de ambos os lados por s transforma a Eq. (13) em uma equao do segundo grau para s:

(19)

As duas razes dessa equao

(20)

onde

(21)

so em geral distintas. A condio = 20, que anula r e faz s+ coincidir com s, pontual, um divisor

de guas identificado com o amortecimento crtico encontrado na Se. Dois Regimes.Deixada de lado, por um instante, essa condio especial, a Eq. (20) oferece duas alternativas

para substituir s na Eq. (18). Lembrando-se de que z = v + sx, como definido na Eq. (9), e de que a condio inicial z0 = v0, v-se que uma das alternativas :

(22)

e a outra,

(23)

s s2 02 0 + =

s r = 2

,

r =

2

2

02 ,

v(t) + s+ x(t) = v0e(r y/2)t,

v(t) + s x(t) = v0e( r y/2)t.


Para obter a posio x, basta subtrair a Eq. (23) da Eq. (22). A subtrao elimina a velocidade e deixa um fator s+ s multiplicando x no lado direito. Como a Eq. (20) implica s+ s = 2r, resulta:

(24)

Dessa igualdade emergem os dois regimes apresentados na Se. Dois Regimes. Se o coeficiente for maior que a frequncia 20, a raiz r na Eq. (21) ser real e o lado direito da Eq. (24) se resumir a um produto de exponenciais. Se, ao contrrio, 0 for maior do que /2, a raiz ser imaginria e a Eq. (24) exigir tratamento especial. Comecemos pela primeira hiptese.

Regime sobreamortecidoCom r real positivo, a Eq. (24) pode ser escrita:

(25)

Na Figura 4, a curva verde mostra a evoluo da posio em funo do tempo. Graas velocidade inicial, x inicialmente cresce. Nessa fase, porm, a fora da mola se junta ao atrito para reduzir a velocidade at que a partcula pare. Da por diante, a dinmica segue a discusso da Se. Dois Regimes, e a massa se desloca lentamente rumo ao equilbrio. Quanto maior for , mais prximo de /2 ser r na Eq. (21). Para tempos grandes, sinh(rt) exp(rt)/2, e o produto direita na Eq. (25) se aproxima de uma constante; o tempo necessrio para que x se aproxime de zero tende ento a infinito. Como j explicado, este regime dominado pelo atrito viscoso, e nele o oscilador amortecido imita o movimento moroso de uma bolha em uma garrafa de mel.

x t v e e er

trt rt

( ) ./

02

2

x t v e rtr

t( ) sinh( ) ./= 02

Figura 4: Movimento oscilatrio amortecido com incio no ponto de equilbrio. A velocidade inicial v0. As curvas verde, vermelha e azul representam movimentos subamortecido, criticamente amortecido e sobreamortecido.


Regime subamortecidoPara < 20, o radicando r na Eq. (24) negativo. Convm ento definir uma grandeza real

(26)

tal que

(27)

No limite de baixo atrito ( 0), 1 se aproxima da frequncia 0 do MHS. Por isso, podemos esperar que ela corresponda frequncia da oscilao amortecida descrita pela curva azul na Figura 3. A seguinte anlise dar substncia a esse argumento.

A igualdade de Euler,

(28)

permite escrever a Eq. (24) na forma

(29)

A curva azul na Figura 4 mostra que a posio x(t) oscila em torno de x = 0 e, como no regime sobreamortecido, acaba presa na posio de equilbrio. Ainda que as condies iniciais sejam dis-tintas, a dinmica retm as caractersticas encontradas na curva azul na Fig. 3. O movimento har-mnico, uma vez que a frequncia 1 independe da posio e da velocidade iniciais.

O amortecimento das oscilaes provm do fator exp(t/2) na Eq. (29), o qual define uma amplitude que diminui com o correr do tempo. Para mostrar isso, a Figura 5 traz a posio de um oscilador sujeito a pouco atrito ( = 0.050) em funo do tempo. Assim como o MHS modulado por sua amplitude A, o movimento harmnico amortecido modulado pela funo exponencial direita na Eq. (29).

1 02

02 4= /

r = i1.

ei = cos + isin,

x t v e tt( ) sin( )/= 02 1

1

Figura 5: Oscilaes fracamente amortecidas. Com 0, a massa oscila numerosas vezes antes de parar. A vibrao equivale a um MHS com amplitude exponencialmente decrescente.


Amortecimento crticoNa divisria entre os regimes subamortecido e sobreamortecido, a condio = 20 anula a raiz

r na Eq. (21). Com r = 0, tanto o denominador quanto o numerador do lado direito da Eq. (24) so zero, e a frao indefinida. O limite para o qual ela tende quando r 0, no entanto, bem defi-nido. Ele pode ser obtido tanto fazendo r 0 na Eq. (25) como fazendo 1 0 na Eq. (29). Nesses limites, o seno hiperblico e o seno podem ser substitudos por seus argumentos, e resulta:

(30)

A curva vermelha na Figura 4 mostra a evoluo da posio do oscilador criticamente amortecido. O grfico se assemelha ao do oscilador sobreamortecido, mas o decaimento mais rpido. fcil compreender que, se for muito pequeno, o atrito custar a dissipar a energia, e muito tempo se passar antes de o oscilador chegar ao equilbrio. No outro extremo, tambm fcil compreender que, se for muito grande, o atrito consumir to eficientemente a energia cintica que a massa se mover muito devagar e gastar muito tempo antes de alcanar o equilbrio. Entre esses dois extremos est o amortecimento crtico, que rouba energia cintica, mas deixa uma parcela suficiente para conduzir a partcula rapidamente ao ponto de equilbrio.

Sempre que for desejvel um retorno rpido ao equilbrio, o amortecimento crtico ser o mais adequado. Exemplos so o mecanismo amortecedor empregado nas molas que fecham as portas de elevadores e os amortecedores dos automveis, cuja funo dissipar a energia armazenada no molejo do veculo quando as rodas passam por uma salincia ou por um buraco na pista. Alm de tornar mais realista a correspondncia com sistemas mecnicos prximos do equilbrio, o atrito viscoso enriquece a fsica do oscilador harmnico. Enquanto o MHS universal, a dinmica do osci-lador amortecido comporta dois regimes qualitativamente distintos e uma condio intermediria. Dada a equivalncia matemtica entre o oscilador e inmeros outros sistemas fsicos, essa riqueza merece ateno especial. O prximo captulo a examina sob uma ptica alternativa.

x t v te t( ) ( ).= =0 00 2


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Crditos Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo (USP).

Autoria: Gil da Costa Marques.

Reviso Tcnica e Exerccios Resolvidos: Paulo Yamamura.

Coordenao de Produo: Beatriz Borges Casaro.

Reviso de Texto: Marina Keiko Tokumaru.

Projeto Grfico e Editorao Eletrnica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.

Ilustrao: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Loureno, Joo Costa, Lidia Yoshino, Maurcio Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.

Animaes: Celso Roberto Loureno e Maurcio Rheinlander Klein.

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