O Teorema de Pitágoras é de Pitágoras?

Professor João Lucas M. Barbosa

Sobre as origens da Geometria e suas aplicações mais antigas

O homem no período Paleolítico

• 15000 ac– Comportamento nômade, vivendo da caça e

pesca– Tecnologia - Produzia armas para a caça e

pesca.– Arte – Pinturas rupestres, registrando o mundo

ao seu redor– Grandes avanços – Desenvolvimento da

linguagem

O homem no período Neolítico• 10000 ac

– Descoberta e prática da Agricultura com suas conseqüências:

• Criação da casa, • vida cada vez menos gregária• Criação dos povoados

– Tecnologia• Criação da carpintaria• Trabalho em cerâmica• Trabalho em metais• Invenção da roda• Culinária – pão e cerveja

O homem no período Neolítico

• Ciência– Criação da escrita dos números– Noção de reta e de ângulo reto, usados em

construções e na expressão artística– Astronomia

• Arte– Desenhos geométricos abstratos

• Comercio entre as vilas

Evolução seguinte• 5000 – 3000 ac – nas margens do delta de grandes rios:

Nilo, Tigre, Eufrates, Indu-Ganges, Huang-Ho e Yang-Tse– Evolução das vilas em cidades e das comunidades em povos e

civilizações– Estruturação das classes sociais – Fazendeiros, artesãos, escribas,

militares, religiosos, escravos, aristocratas, família real.– Agricultura extensiva, administração da produção e dos estoques, – Administração dos recursos hídricos e das terras férteis.– Introdução do arado, demarcação de terras– Desenvolvimento do comercio entre vilas e cidades– Construção de palácios, templos, túmulos, monumentos, canais, e

etc.

EGITO

Civilização Egípcia5o 4o e 3o milênios a.C.

Conhecimento de fórmulas para calcular:•Área de um triângulo, área do retângulo.

• de um círculo 

d 

d diâmetro do círculo Área do círculo (d - (d/9))2

•Volumes de sólidos como o cubo, o paralelepípedo, o cilindro circular reto, a pirâmide e o tronco de pirâmide

a

h

Civilização EgípciaVolume da pirâmide de base quadrada

2

31 haV

Civilização EgípciaVolume do tronco de pirâmide de base quadrada

AB

ha

b

Cálculo do Volume do tronco da pirâmide de base quadrada.

Ab = Ba

Ab2 = BabBa2 = Aab

V = Aa2/3 – Bb2/3 = (h + B) a2/3 – (A - h)b2/3 = (ha2 + hb2 + Ba2 – Ab2)/3 = (ha2 + hb2 + Aab – Bab)/3 = (ha2 + hb2 + (A – B)ab)/3 = (ha2 + hb2 + hab)/3

habbaV )(31 22

Civilização EgípciaConhecimento do Teorema de Pitágoras Conheciam um número razoável de triângulos retângulos de lados inteiros e os utilizavam para determinar ângulos retos

3

4

5

Sobre a pirâmide de Quéops• Mais de 2.300.000 blocos de granito• Cada pedra pesa em média 2,5 toneladas• Altura original 140m (49 andares)• Base de 230m x 230m• Originalmente coberta por placas de mármore

trabalhadas e pintadas• O erro entre as medidas dos lados e das arestas é de

menos de 2cm• O erro na medida dos ângulos da base é de menos de

0,1 de grau.

MESOPOTÂMIASUMÉRIOS E BABILÔNIOS

Civilização Suméria2o milênio a.C.

– Os Sumérios absorveram o conhecimento matemático dos egípcios.

– Desenvolveram um sistema de numeração em que os algarismos têm um valor de posição.

– A base desta numeração era 60.• Exemplo:

563 = 5602 + 660 + 3.– Criaram a unidade de medida de ângulos: o

grau.

Civilização Babilônica2o e 1o milênio a.C.

– Os babilônios absorveram o conhecimento matemático dos sumérios.

– Desenvolveram fórmulas para áreas de polígonos regulares e para o volume de sólidos simples.

– A fórmula do volume do tronco de pirâmide era desconhecida.

– O Teorema de Pitágoras era conhecido em sua generalidade atual. Foi gerada uma longa lista de triângulos retângulos de lados inteiros.

Civilização Babilônica2o e 1o milênio a.C.

Os babilônios desenvolveram a Álgebra elementar utilizando a linguagem da Geometria.

Exemplo:“Uma área A consistindo da soma de dois quadrados é

1000. O lado de um dos quadrados é 2/3 do lado do outro diminuído de 10. Quais são os lados dos quadrados? ”

x2 + y2 = 1000y = (2/3)x – 10

(13/9)x2 – (40/3)x – 900 = 0

A resolução deste problema equivale a {ou seja:

o que fornece x = 30. Segue-se que y=10.

Fotografia de um tablete de argila (AO 8862) que aparece no “Revue d´Assyriologie” (1932) cujo texto é um problema do tipo apresentado na transparência anterior.

Observação:

• Em nenhum registro da matemática oriental antiga foi encontrado qualquer indício de uma demonstração.

• A matemática dos egípcios, assírios e babilônios tinha origem em problemas práticos e respondia a questões do tipo “como ....?” .

GRECIAAlexandria

Civilização Grega900 a 300 a.C.

• Os gregos desenvolveram a matemática que responde a perguntas do tipo “por que ...?”

• O objetivo era o entendimento do mundo e da posição do homem no universo.

Civilização Grega Informação da tradição grega:

• O pai da matemática grega foi Tales de Mileto. – Ele visitou a babilônia e o Egito e lá aprendeu

os conhecimentos antigos. – Predisse o eclipse solar de 585 a.C., e – Provou um grande número de teoremas.

• Tales é uma figura lendária.

Civilização Grega500 a 400 a.C.

Os sofistas • Eles desenvolveram a geometria axiomática e já

trataram dos três grandes problemas da antiguidade:

• a tri-secção do ângulo, • a duplicação do cubo e • a quadratura do círculo.

Civilização Grega500 a 400 a.C.

• Pitágoras fundou um movimento político-religioso – o Pitagorismo. Morreu em 490 a.C.

• Os pitagóricos desenvolveram a Teoria dos Números e a Teoria Musical, e descobriram que 2 não é um número racional.

onde m e n representam números inteiros primos entre si.

Prova de que2 não é racional

Suponha que sim, ou seja, que 2 = mn

Segue-se que 2n2 = m2

Decorre daí que m2 é par, e portanto m é par.

Logo m = 2p onde p é um inteiro.

Mas então 2n2 = 4p2 e, portanto, n2 = 2p2

Logo n2 é par e, conseqüentemente, n é par.

Mas então m e n não são primos entre si.

Contradição!

Prova do Teorema de Pitágoras

b

b

b

b

a

aa

a

c

c

c

c

(b + c)2 = 2bc + a2

b2 + 2bc + c2 =

2bc + a2

b2 + c2 = a2

Civilização Grega – Ptolomeu I criou o Museo de Alexandria, com sua

biblioteca – a primeira universidade – 306 a 283 a.C.– Ali surgiu a figura do cientista profissional. Euclides foi

um dos primeiros. Sua principal obra intitula-se “Elementos”, composto de 13 livros, trabalho que se tornou um clássico. É o livro mais publicado depois da Bíblia.

– Os Elementos apresentam 3 das grandes descobertas da Matemática Grega: a teoria das proporções de Eudoxio, a teoria dos irracionais, e a teoria dos 5 corpos regulares de Platão.

Acrópole, Atenas, Grécia

Mas, afinal, o teorema de Pitágoras

é mesmo de Pitágoras??

Biblioteca Alexandrina

(Atual)

Reflexões

• No mundo atual ainda convivem as concepções de ciência dos povos orientais e dos gregos.

• O ensino da Matemática oscila entre tentar responder a questões do tipo “como?” e questões do tipo “por que?”.

• A cobrança sobre os que se dedicam à matemática também oscila de acordo com a concepção dos objetivos da ciência dos que nos governam.

fimMuito obrigado

Bibliografia

• Dirk J. Struik, A concise history of Mathematics, Dover Publications inc., 1967

• G. Sarton, The study of the history of mathematics, MAA 1949, Dover 1936

• L. Bunt, P. Jones, J. Bedient, The historical roots of elementary mathematics, Dover Publications, 1988

Civilização Grega287-212 a.C.

Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília, onde foi íntimo do Rei.

Cientista puro e aplicado, fez inúmeros inventos e profundas descobertas científicas.

Civilização Grega287-212 a.C.

• Contribuições de Arquimedes:– O princípio da alavanca– O princípio básico da hidrostática– O parafuso de Arquimedes – destinado a

elevação de água– Espelhos parabólicos com armas de guerra.– Determinação da área sob um arco de parábola– Desenvolvimento da mecânica teórica– Estimativa das dimensões do universo.